最新人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解复习(知识点、典型例题)教学内容
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a a a 同底数幂的乘法
m · n = m+n
幂的乘方
a a ( m )n = mn
整 式
积的乘方
( ab )n= an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
法
=[4 ( -3)](a2a3) (x5x2)b
=-12a5bx7
a a a 同底数幂的乘法
m · n = m+n
公式的 反向使用
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数） 反向使用: an·bn = (ab)n
试用简便方法计算: (1) 23×53 ;= (2×5)3 = 103
(2) (-5)16 × (-2)15 = (-5)×[(-5)×(-2)]15 = -5×1015
(3) 24 × 44 ×(-0.125)4 ;= [2×4×(-0.125)]4 = 14 =1
(8) (x-y)2(y-x)5= (x-y)7 -(x-y)7 (y-x)7
找一找
D
(A)
(-
7 4
x2y
z
2
)
(-
4 7
x
y2
)
=
x3 y 3
(B) (-2 105) ·(-103) ·(3 102) = -6 1010
源自文库
(C)
(-
1 2
a2b3)3=
-
1 6
a8 b27
(D) (a3n)2·(b2)3n = (ab)6n
= (2a+b)4-
2
=(2a+b)² = 4a2+4ab+b2
(1)(-a)8÷(-a2)=-a6 (2)-5a5b3c÷5a4b3=-ac (3) 6m2n÷(-2mn)= -3m
(4)-3a2x4y3÷(-axy2) =3ax3y
(5)(4×109)÷(-2×103)=-2×106
多项式除以单项式的法则
(a ) a m n mn
其中m , n都是
正整数
幂的乘方
想 一 想
(1) a2+ a3 = a5
(3) a3·a3=2a3 a6
(2) a·a2 = a2 a3 (4) (x2)3 = x5 x6
(5)5a2·2a3=10a6 10a5 (6) (-5)7·(-5)4=511-511 (7) (-3)2·3 3 = (-3)5 35
商式的系数＝(被除式的系数)÷ (除式的系数) (同底数幂) 商的指数＝(被除式的指数) —(除式的指数)
被除式里单独有的幂，写在商里面作 因？式。
观察 & 归纳
议一议
• 如何进行单项式除以单项式的运算?
单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为 商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的 指数一起作为商的一个因式。
议一议
( a+b+c )÷m
= abc mmm
你找到了 多项式除以单项式的规律 吗？
多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。
例题
例题解析
例3 计算：
（1）(27a3 15a2 6a) 3a
（2）(3x2 y xy2 1 xy) ( 1 xy)
（2）原式=
理解 商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂
被除式的系数 底数不变， 除式的系数 指数相减。
保留在商里 作为因式。
解： (1).(2x²y)³·(– 7xy²)÷=(81x46xy43y·³()–
=7-5x6yx²)7÷y5 (÷14(x144yx³4)y³)
= -4x3y2 解：(2).(2a+b)4÷(2a+b)²
单项式 的 除法 法则
被除式 除式
商式
(1)
(x5y) ÷ x2
= x5 − 2 ·y
(2) (8m2n2) ÷ (2m2n) = (8÷2 )·m2 − 2·n2 − 1 ;
(3) (a4b2c) ÷ (3a2b) = (1÷3 )·a4 − 2·b2 −1·c .
仔细观察一下，并分析与思考下列几点： 单项式除以单项式，其结果(商式)仍是 一个单项式;
(4)x (42x31x2)(1x)2
2
2
平方差公式
(a+b)(a-b) = a2-b2
乘 完全平方公式(两数和的平方）
法 公
(a+b)2 = a2+2ab +b2
式
二次三项型乘法公式
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
• 计算： • （1） （2x＋3）（2x－3） • （2） （－x＋2）（－x－2） • （3） （－2x＋y）（2x＋y） • （4） （y－x）（－x－y）
2
2
3x2 y (1 xy)
2
xy 2
(1 2
xy)
1 2
xy (1 2
xy)
= 6x 2 y 1 .
(1)(-2a4b3c)3÷(-8a4b5c) =a8b4c2
(2)(6x2y3)2÷(3xy2)2 =4x2y2
(3 )(-3.6×1010)÷(-2×102)2÷(3×102)2
= –10
口答练习
(1) x3·x2= x5 (3) x ·(x2 )3= x7
(2) (a6 )2+(a4)3= 2a12
x x x (4) 2002 =
1999 3
·
(5)
(
1 7
)1997
·7
1998
=
7
(6) (-abc )2·(-ab) =-a3b3c2
(7) (+abc)2 ·(-ab) = - a3b3c2
如何改正？
(1) (-x+6)(-x-6) = -x2- 6 =(-x)2- 62 =x2 - 36
• ( 5 ) 1998×２００２．
例1 计算 1998 2002
解 1998 2002 = （2000-2）（2000+2）
200 2022
=4000000-4 =3999996
计算 ：
(1)( 2 m n ) 2 ( 2 )( 2 m n ) 2
想一想 下列计算是否正确？如不正确，应
幂的乘方
a a ( m ) n = mn
整 式
积的乘方
( ab
n
)=
an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
法
单项式与多项式相乘 m(a+b)= ma+mb
多项式的乘法(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
同底数幂相乘
am •an amn 指数相加 底数不变 指数相乘
比一比
(1) 计 算 (3x2 )3-7x3[x3-x(4x2+1)]
(2) 先化简，再求值:
(a2 -2b2) (a+2b) -2ab(a-b)
其中
a=1,b=
1 2
.
公式的 反向使用
amn am • an
am n amnanm
已知 10 a＝ 4， 10 b＝7，求下列各式的值 （1） 10 2 a 3b （2） 10 2 a 10 3b
m · n = m+n
幂的乘方
a a ( m )n = mn
整 式
积的乘方
( ab )n= an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
法
=[4 ( -3)](a2a3) (x5x2)b
=-12a5bx7
a a a 同底数幂的乘法
m · n = m+n
公式的 反向使用
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数） 反向使用: an·bn = (ab)n
试用简便方法计算: (1) 23×53 ;= (2×5)3 = 103
(2) (-5)16 × (-2)15 = (-5)×[(-5)×(-2)]15 = -5×1015
(3) 24 × 44 ×(-0.125)4 ;= [2×4×(-0.125)]4 = 14 =1
(8) (x-y)2(y-x)5= (x-y)7 -(x-y)7 (y-x)7
找一找
D
(A)
(-
7 4
x2y
z
2
)
(-
4 7
x
y2
)
=
x3 y 3
(B) (-2 105) ·(-103) ·(3 102) = -6 1010
源自文库
(C)
(-
1 2
a2b3)3=
-
1 6
a8 b27
(D) (a3n)2·(b2)3n = (ab)6n
= (2a+b)4-
2
=(2a+b)² = 4a2+4ab+b2
(1)(-a)8÷(-a2)=-a6 (2)-5a5b3c÷5a4b3=-ac (3) 6m2n÷(-2mn)= -3m
(4)-3a2x4y3÷(-axy2) =3ax3y
(5)(4×109)÷(-2×103)=-2×106
多项式除以单项式的法则
(a ) a m n mn
其中m , n都是
正整数
幂的乘方
想 一 想
(1) a2+ a3 = a5
(3) a3·a3=2a3 a6
(2) a·a2 = a2 a3 (4) (x2)3 = x5 x6
(5)5a2·2a3=10a6 10a5 (6) (-5)7·(-5)4=511-511 (7) (-3)2·3 3 = (-3)5 35
商式的系数＝(被除式的系数)÷ (除式的系数) (同底数幂) 商的指数＝(被除式的指数) —(除式的指数)
被除式里单独有的幂，写在商里面作 因？式。
观察 & 归纳
议一议
• 如何进行单项式除以单项式的运算?
单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为 商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的 指数一起作为商的一个因式。
议一议
( a+b+c )÷m
= abc mmm
你找到了 多项式除以单项式的规律 吗？
多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。
例题
例题解析
例3 计算：
（1）(27a3 15a2 6a) 3a
（2）(3x2 y xy2 1 xy) ( 1 xy)
（2）原式=
理解 商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂
被除式的系数 底数不变， 除式的系数 指数相减。
保留在商里 作为因式。
解： (1).(2x²y)³·(– 7xy²)÷=(81x46xy43y·³()–
=7-5x6yx²)7÷y5 (÷14(x144yx³4)y³)
= -4x3y2 解：(2).(2a+b)4÷(2a+b)²
单项式 的 除法 法则
被除式 除式
商式
(1)
(x5y) ÷ x2
= x5 − 2 ·y
(2) (8m2n2) ÷ (2m2n) = (8÷2 )·m2 − 2·n2 − 1 ;
(3) (a4b2c) ÷ (3a2b) = (1÷3 )·a4 − 2·b2 −1·c .
仔细观察一下，并分析与思考下列几点： 单项式除以单项式，其结果(商式)仍是 一个单项式;
(4)x (42x31x2)(1x)2
2
2
平方差公式
(a+b)(a-b) = a2-b2
乘 完全平方公式(两数和的平方）
法 公
(a+b)2 = a2+2ab +b2
式
二次三项型乘法公式
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
• 计算： • （1） （2x＋3）（2x－3） • （2） （－x＋2）（－x－2） • （3） （－2x＋y）（2x＋y） • （4） （y－x）（－x－y）
2
2
3x2 y (1 xy)
2
xy 2
(1 2
xy)
1 2
xy (1 2
xy)
= 6x 2 y 1 .
(1)(-2a4b3c)3÷(-8a4b5c) =a8b4c2
(2)(6x2y3)2÷(3xy2)2 =4x2y2
(3 )(-3.6×1010)÷(-2×102)2÷(3×102)2
= –10
口答练习
(1) x3·x2= x5 (3) x ·(x2 )3= x7
(2) (a6 )2+(a4)3= 2a12
x x x (4) 2002 =
1999 3
·
(5)
(
1 7
)1997
·7
1998
=
7
(6) (-abc )2·(-ab) =-a3b3c2
(7) (+abc)2 ·(-ab) = - a3b3c2
如何改正？
(1) (-x+6)(-x-6) = -x2- 6 =(-x)2- 62 =x2 - 36
• ( 5 ) 1998×２００２．
例1 计算 1998 2002
解 1998 2002 = （2000-2）（2000+2）
200 2022
=4000000-4 =3999996
计算 ：
(1)( 2 m n ) 2 ( 2 )( 2 m n ) 2
想一想 下列计算是否正确？如不正确，应
幂的乘方
a a ( m ) n = mn
整 式
积的乘方
( ab
n
)=
an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
法
单项式与多项式相乘 m(a+b)= ma+mb
多项式的乘法(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
同底数幂相乘
am •an amn 指数相加 底数不变 指数相乘
比一比
(1) 计 算 (3x2 )3-7x3[x3-x(4x2+1)]
(2) 先化简，再求值:
(a2 -2b2) (a+2b) -2ab(a-b)
其中
a=1,b=
1 2
.
公式的 反向使用
amn am • an
am n amnanm
已知 10 a＝ 4， 10 b＝7，求下列各式的值 （1） 10 2 a 3b （2） 10 2 a 10 3b