分离变量法二-热传导方程
热传导方程的求解
热传导方程的求解热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
求解热传导方程有多种方法，下面将介绍两种常用的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是一种常见且简单的求解热传导方程的方法。
它基于热传导方程的偏微分方程特性，将变量分离并进行独立的求解。
1. 问题设定假设需要求解的热传导问题为一维情况，物体的长度为L，初始时刻温度分布为u(x,0)=f(x)，物体两端保持恒温边界条件u(0,t) = A，u(L,t) = B。
2. 分离变量假设u(x,t)可表示为u(x,t) = X(x)T(t)，将u(x,t)代入热传导方程中，可得到两个方程：X''(x)/X(x) = T'(t)/αT(t)，其中α为热扩散系数。
由于左侧只依赖于x，右侧只依赖于t，所以二者必须等于一个常数λ。
3. 求解分离后的方程将上述得到的分离变量方程代入边界条件，可得到两个常微分方程，分别是X''(x)/X(x) = λ 和T'(t)/αT(t) = -λ。
这两个常微分方程可以求解得到X(x)和T(t)。
4. 求解系数通过使用初始条件u(x, 0) = f(x)，可以求解出常数λ的值，进而求解出X(x)和T(t)。
5. 求解问题最终将X(x)和T(t)重新结合，即可得到热传导问题的解u(x, t)。
二、有限差分法有限差分法是一种数值求解热传导方程的常用方法，它通过将连续的空间和时间离散化，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
1. 空间和时间离散化将物体的空间进行网格划分，时间进行离散化，并在网格节点上计算温度的近似值。
2. 差分方程将热传导方程中的偏导数进行近似，得到差分方程。
例如，可以使用中心差分法来近似偏导数。
3. 迭代求解根据差分方程，通过迭代计算每个网格节点的温度值，直到达到收敛条件。
4. 求解问题最终，根据求解的温度值，在空间和时间通过插值或者线性拟合等方法得到热传导问题的解。
第四章分离变量法-波动方程
2 l nπ an = ∫ ϕ ( x ) sin xdx = 0 0 l l 2 l nπ bn = ∫0ψ ( x) sin l xdx nπ a
l l 2 2 nπ nπ = xdx + ∫ l (l − x) sin xdx ∫0 x sin nπ a l l 2
2l 2l 2 nπ = sin 2 2 nπ a n π 2 2
A+ B = 0 Ae
−λl
X ''( x) + λ X ( x) = 0
X (0) = 0,
X (l ) = 0
A=B=0
−λl
X =0
+ Be −
=0
2）λ = 0 3）λ > 0
A=0
X ( x) = Ax + B
A= B=0
X =0
方程通解为
X ( x) = A cos λ x + B sin λ x
∂ 2u ∂ 2u = a2 2 , 0 < x < l, t > 0 ∂t 2 ∂x t >0 u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, ∂u ( x,0) u ( x,0) = ϕ ( x), = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ∂t u ( x, t ) = X ( x )T (t ) X ′′ + λX = 0 ▪分离变量
而振幅依赖于点x的位置.
ml , m = 0,1,2,⋯ 弦上位于 x = 处的点在振动过程中保持 n
不动称为节点。这种形态的振动称为驻波。
t=t0时：
nπ un ( x, t0 ) = An cos(ωnt0 − θ n ) sin x l
分离变量解法2（圆域与非齐次问题）
(
ρ ρ0
)n
cos n(θ
−
t
⎤ )⎥ ⎦
d
t
∫ u( ρ
,θ
)=
1
2π
2π 0
f
(t)
ρ02
−
ρ2
ρ02 − ρ 2 − 2ρ0ρ cos (θ
d −t)
t
这个解，称为圆域内的泊松（poisson） 公式，它的理论意义是把解写成了积分的形式。
(0 ≤ θ ≤ 2π , ρ < ρ0 )
Poisson 积分公式——Laplace 方程，在圆域内的第一类边界条件的解。
⎞2 ⎠⎟
+
2 ∂2u
∂r∂θ
∂r ∂y
∂θ
∂y
+
∂2u
∂θ 2
⎛ ∂θ
⎝⎜ ∂y
⎞2 ⎠⎟
+
∂u
∂ρ
∂2ρ
∂y 2
+
∂u
∂θ
∂ 2θ
∂y 2
,
∂ρ
∂x
=
x
ρ
,
∂ρ
∂y
=
y
ρ
,
∂θ
∂x
=
−
y
ρ2
,
∂θ = x ∂y ρ 2
∂2ρ
∂x2
=
1
ρ
−
x2
ρ3
,
∂2ρ
∂y 2
=
1
ρ
−
y2
ρ3
,
∂ 2θ
∂x 2
⎧ u ( 0 ,θ ) < +∞
即有
⎪ ⎨ ⎪⎩
u( ρ ,θ ) = u( ρ ,θ + 2π )
bs公式 热传导方程
bs公式热传导方程摘要：一、热传导方程的定义及意义二、热传导方程的求解方法三、热传导方程在实际应用中的案例分析四、如何提高热传导方程求解的效率正文：热传导方程是描述热量在固体、液体和气体等介质中传递过程的偏微分方程。
它在工程、物理、化学等领域具有广泛的应用，对于理解和控制热现象具有重要意义。
一、热传导方程的定义及意义热传导方程基于傅立叶定律，表达了热量传递速率与温度梯度之间的关系。
其通用形式为：$$frac{partial u}{partial t} = kabla^2u$$其中，$u$表示温度分布，$t$表示时间，$abla^2u$表示温度分布的梯度，$k$为热传导系数。
二、热传导方程的求解方法求解热传导方程的方法主要有以下几种：1.分离变量法：将热传导方程中的时间和空间变量分离，转化为求解一系列线性代数方程。
2.有限差分法：将连续的空间和时间离散化，通过离散点的数值计算，逐步逼近解析解。
3.有限元法：将求解域划分为若干个小的子域，在每个子域内建立插值函数，进而求解总的热传导方程。
4.边界元法：在求解域的边界上建立边界积分方程，通过求解边界积分方程得到热传导方程的解。
三、热传导方程在实际应用中的案例分析1.热交换器设计：通过热传导方程计算不同材料和结构参数下的热交换性能，优化热交换器设计。
2.半导体器件散热分析：利用热传导方程分析半导体器件在工作过程中的温度分布，为散热设计提供依据。
3.建筑节能分析：根据热传导方程，研究建筑物的保温性能和能耗，为建筑节能提供理论支持。
四、如何提高热传导方程求解的效率1.选择合适的求解方法：针对不同问题，选用最适合的求解方法，提高求解效率。
2.网格划分与优化：合理划分求解域，减少计算误差，同时通过网格优化技术提高计算效率。
3.高效算法与计算平台：利用高性能计算平台，如GPU集群或超级计算机，加速热传导方程的求解。
4.模型验证与简化：通过实验数据或已有的理论分析，验证热传导方程模型的准确性，并对模型进行简化，降低求解难度。
《分离变量法》课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
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立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
热传导方程求解-分离变量法
牛曼外问题
拉普拉斯方程的狄氏内问题
Q(x, y, z)
拉普拉斯方程的基本解
• 1 三维空间的拉氏方程基本解
将三维空间拉氏方程用球坐标系表示
z
r M(x, y,z)
z
1 r2
r
(r2
u ) r
1
r2 sin
(sin
u )
r2
1
sin2
2u
2
0
A xo
xy
P
y
求其球对称解 u u(r)（解只与r有关，与角度无关）
0
n 0,1, 2,....
X
n
(
x)
sin
2n 2a
1
x
n 0,1, 2....
ux (0, y) u(a, y) 0 u(x, 0) (x) u(x,b) (x)
X (x) X (x) 0
X (0)
X (a)
0
n
(2n 1 2a
)2
0
n 0,1, 2,....
ux (0, y) ux (a, y) 0 u(x,0) (x) u(x,b) (x)
内容回忆
分离变量法(齐次方程 齐次边界条件/周期条件)
• 一维波动
• 一维热传导 • 二维矩形域拉普拉斯 • 二维扇形域拉普拉斯
利用齐次边界条件，
确定特征值问题， 确定特征值和特征 函数
• 二维环扇域拉普拉斯 • 二维圆环域拉普拉斯 • 二维圆域拉普拉斯
利用周期条件，确定
特征值问题，特征 值和特征函数
X (x) X (x) 0
X (0) X (l) 0
n
( n l
)2
0
热传导方程初边值问题
热传导方程初边值问题介绍热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的一类偏微分方程。
在实际生活和工程中，了解和解决热传导问题对于保护环境和优化工艺非常重要。
本文将详细介绍热传导方程的初边值问题及其解决方法。
初边值问题的定义初边值问题是指在给定一定空间区域和时间区域内，求解偏微分方程在这些区域内满足一定初值和边界条件的解。
对于热传导方程，我们通常关注的是物体内部的温度分布随时间的变化，因此需要给出初始时刻物体内各点的温度，并指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式。
热传导方程热传导方程描述了物体内部温度分布随时间变化的规律，其一维形式为：∂u ∂t =α∂2u∂x2其中，u(x,t)代表了某一点(x,t)处的温度，α代表热扩散系数，t代表时间，x代表空间位置。
初边值条件为了求解热传导方程的初边值问题，我们需要给出一些初始条件和边界条件。
常见的初边值条件包括： - 初始条件：u(x,0)=f(x)，给出初始时刻物体内各点的温度分布，f(x)代表初始时刻的温度函数。
- 边界条件：u(a,t)=g(t)和u(b,t)=ℎ(t)，指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式，a和b分别为空间区域的起始和结束位置，g(t)和ℎ(t)为边界处的温度函数。
初边值条件的选择对于求解问题的精确性和适用范围具有重要影响。
解法针对热传导方程的初边值问题，我们可以通过数值方法或解析方法来求解。
下面介绍两种常见的解法。
球坐标系下的分离变量法对于某些具有球对称性的问题，可以采用球坐标系下的分离变量法来求解。
通过假设解具有分离变量形式u(r,θ,ϕ,t)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)T(t)，将热传导方程分解成径向、角度和时间三个单变量函数的形式，然后带入原方程得到各个变量的微分方程。
最后通过求解单变量微分方程和利用边界条件，确定解的具体形式。
差分方法差分方法是一种常用的数值方法，通过将连续的空间和时间区域离散化，将热传导方程转化为有限差分方程组，并通过迭代求解来逼近真实的解。
热传导问题中的特殊函数解析二维传热方程与分离变量法
热传导问题中的特殊函数解析二维传热方程与分离变量法热传导问题在物理学和工程领域中有着广泛的应用。
其中，解析方法是一种常用的求解二维传热方程的方法之一。
而特殊函数与分离变量法是解析方法的重要组成部分。
本文将介绍热传导问题中的特殊函数以及应用分离变量法解析求解二维传热方程的过程。
一、特殊函数特殊函数是一类具有特殊性质的函数，它们在数学中有着重要的地位和广泛的应用。
在热传导问题中，我们常常会遇到以下三类特殊函数：傅里叶级数、傅里叶正弦级数和傅里叶余弦级数。
1. 傅里叶级数傅里叶级数是一组正交函数的线性叠加，可以将任意周期函数表示为这些正交函数的级数形式。
对于具有周期为2L的函数f(x)，其傅里叶级数定义如下：f(x) = a_0 + ∑(a_n*cos(nx) + b_n*sin(nx))其中，a_0、a_n和b_n为函数f(x)的系数，可以通过傅里叶级数的三角函数正交性质计算得到。
2. 傅里叶正弦级数傅里叶正弦级数是一类只包含正弦函数的级数，适用于奇函数的展开。
对于奇函数f(x)，其傅里叶正弦级数定义如下：f(x) = ∑(b_n*sin(nx))其中，b_n为函数f(x)的系数，同样可以通过傅里叶级数的正交性质计算得到。
3. 傅里叶余弦级数傅里叶余弦级数是一类只包含余弦函数的级数，适用于偶函数的展开。
对于偶函数f(x)，其傅里叶余弦级数定义如下：f(x) = a_0/2 + ∑(a_n*cos(nx))其中，a_0和a_n为函数f(x)的系数，同样可以通过傅里叶级数的正交性质计算得到。
二、分离变量法分离变量法是解析求解偏微分方程的一种常用方法。
对于二维传热方程，我们可以利用分离变量法将其分解为两个关于单独自变量的常微分方程，再通过求解这些常微分方程得到二维传热方程的解。
以一个典型的二维传热方程为例：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0首先假设解具有形式 u(x,y) = X(x) * Y(y)，将其代入方程中得到：X''(x) * Y(y) + X(x) * Y''(y) = 0两边同时除以 X(x) * Y(y) 并整理得到：(X''(x)/X(x)) + (Y''(y)/Y(y)) = 0由于左侧和右侧只依赖于 x 和 y 对应的变量，所以它们必须相等于一个常数，假设为 -λ²，得到两个常微分方程：X''(x)/X(x) = λ² 和 Y''(y)/Y(y) = -λ²分别解这两个常微分方程，可以得到 X(x) 和 Y(y) 的解，再将它们乘积得到 u(x,y) 的解。
分离变量法
1.2
分离变量法的物理意义
令 Nn =
2 A2 n + Bn ,
αn = arctan 混合问题 (1) 的解的每一项可化为 un (x, t) = Nn sin
Bn , An
nπ anπ x sin t + αn . l l
un (x, t) 是振动元素。对于弦上任意一点 x ， un (x, t) 描述了这一 anπ nπ ， 频 率 ωn (x) = ，初 点 的 简 谐 振 动 ， 其 振 幅 an (x) = Nn sin l l l n−1 相位为 αn 。于是 ，当 x = 0, , . . . , l, l 时，振幅 an (x) = 0 ；当 n n l 3l 2n − 1 x= , ,..., l 时，振幅 an (x) = ±Nn 达到最大。因此弦的振动 2n 2n 2n 可以看作一系列具有特定频率的驻波的叠加。 特别地，考虑定解问题 utt − a2 uxx = A (x) sin ωt, (x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞) , u (x, 0) = ut (x, 0) = 0, x ∈ [0, l] , u (0, t) = u (l, t) = 0, t ∈ [0, +∞) . x 我们可得
4
将 u (x, t) ， f (x, t) ， ϕ (x) ， ψ (x) 均按特征函数系展开：
∞
u (x, t) =
n=1 ∞
Tn (t) sin fn (t) sin
n=1 ∞
nπ x, l nπ x, l
f (x, t) = ϕ (x) =
n=1 ∞
ϕn sin ψn sin
n=1
nπ x, l nπ x, l
大学物理-曲线坐标系中分离变量法
球坐标系中Laplace方程的奇点 球坐标系的边界：r=0， r=a；r=a，r=
因此，定解问题在球坐标系下的完整表达形式应该是
1 r2
r
(r2
u ) r
r2
1
sin
(sin
u )
r2
1
sin2
2u
2
0
u 有界， u 有界
0
u 有界， u
r 0
ra
f1 ( , )
u ra f1( ,)，u r f2 ( ,)
dx
x q1
dq1
x q2
dq2
x q3
dq3
x q1
dq1
(7)
同理
y
z
dy q1 dq1, dz q1 dq1
(8)
将 (7)、 (8) 式代入 (6) 式，即有
dl1
( x )2 q1
( y )2 q1
( z )2 q1
dq1
(9)
同理可得沿 q2, q3 坐标线的微分线元 dl2, dl3，这样，正交 曲线坐标系的微分线元可记作
将它们代入方程 (6-2-9) 得
即 ——连带勒让德方程
其解为：连带勒让德函数 (见§8–2) ——特殊函数 (6-2-14)
若所讨论的定解问题具有轴对称性，即 u 与 无 关，从而 m = 0，则由方程 (6-2-9) 得
——勒让德方程 其解为：勒让德多项式 (见§8–1)
(6-2-15) 球函数 (见§8–3)： 将 (6-2-13)、(6-2-14) 代入 (7)，有
则通解为：
三、柱坐标系中分离变量法
1. 时空变量的分离 (i) 波动方程
热传导方程求解
联立求解
二维拉普拉斯边值问题(圆域/圆环域/扇域/扇环域)的 特征值、特征函数系
区域
边界条件
特征值问题
特征值
特征函数系
0 2 0 0
0 2 1 0
0 0 0
0 1 0
u 0 f ( )
u( , ) u(, 2 )
u 0 f0 ( ) u 1 f1( )
u 0
u 0 f ( )
dn 0
利用特征函数的正交性求解
二维环扇形域拉普拉斯问题
分离变量后 ，得到关于ρ 和θ的常微分方程
利用齐次边界条件，形 成特征值问题
11类边界条件
n
(
)
sin
n
n 1, 2...
u 0 f1( ), u 1 f2 ( )
利用特征函数的正交性求解
作业
第二章 13
l
l
1 e2x 2
1 e2x 4
1 e2x sin n x
2
l
1 e2x n cos n x
4l
l
( n )2 l e2x sin n x dx
2l 0
l
l e2x 0
sin
n
l
x
dx
1 e2x 2
sin
n
l
x
1 e2x 4
n
l
cos
n
l
x
l 0
( n )2 l e2x sin n x dx
X (x) X (x) 0
X (0) X (l) 0
特征值
n
( n l
)2
0
n 1, 2,....
特征函数 系
X n (x) sin
数学物理方程谷超豪版第二章课后规范标准答案
,.第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-=又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xu kts xu k t s xukdQ xx xx ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l k xu k t u c --∂∂=∂∂ρ 或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
热传导方程2
u 0, u 0
x0x 1u sin( Nhomakorabeax) t0
n n2 2 X n ( x) sin(n x) (n 0,1, )
1
Bn 2 0 sinnx sin(x)dx
1, 0,
n n
1 1
u( x, t ) Bne(n )2 t sinnx
n1
e 2t sinx
9/16
X n ( x)
分离变量法I
热传导方程分离变量法 求解固有值问题 另类边界条件固有值问题 习题与做题方法介绍
1/16
夏日消溶,江河横溢,人或为鱼鳖。
············· 热传导 (热传递的三种基本方式 之一) 是指热量从系统的一部分 传到另一部分的现象。
昆仑冰川
傅里叶1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文， 推导出著名的热传导方程。
(2) 0 通解: X(x) = Ax + B
边界条件: X(0) = 0, X(L) = 0
X ( x) 0 不具备固有函数特点
5/16
(3) 0 m1 i m2 i
通解: X ( x) Acos x B sin x
边界条件: X(0) = 0, X(L) = 0
A=0
sin L 0
B sin L 0
L n ( n=1,2,···
固有值: 固有函数:
n
n2
L2
2)
n
Xn ( x) Bn sin L x
Bn
？ 2
L
6/16
一阶常微分方程
T na2T 0
n
n2
L2
2
un(x, t) = Tn(t) Xn(x)
Tn (t ) ena2t
数学物理方法技巧分离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
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结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
分离变量法解分式方程方法_概述说明以及解释
分离变量法解分式方程方法概述说明以及解释1. 引言1.1 概述引言部分旨在介绍本篇文章的主题和背景。
本文将讨论分离变量法解分式方程方法，这是一种常用的数学方法，用于解决涉及分式方程的问题。
通过将变量进行分离处理，我们可以把一个复杂的分式方程转化为两个简单的方程，从而更容易求解。
1.2 文章结构文章按照如下结构组织：引言、分离变量法解分式方程方法、示例分析、实际应用与案例研究以及结论。
在每个部分中，将详细探讨相关内容，并提供说明和解释。
1.3 目的本文旨在全面介绍和说明分离变量法解分式方程方法。
通过给出方法介绍、原理解释、适用范围等内容，读者将能够了解这一数学技巧的基本概念和应用场景。
同时，通过示例分析和实际应用案例研究，读者还可以进一步理解该方法在具体问题中的使用方式和效果。
注意：这里没有包含具体网址信息2. 分离变量法解分式方程方法：2.1 方法介绍分离变量法是一种常用的求解含有分式方程的方法。
当一个方程可以通过将未知函数的变量分离成两个或多个部分来求解时，就可以使用分离变量法。
具体而言，我们将含有未知函数的方程两边同时乘以一个适当的函数，使得各个变量出现在不同的因子中，从而可以将方程转化为两个或多个只含有单一变量的方程，并进而对这些方程进行求解。
2.2 解释原理在使用分离变量法求解含有分式方程时，我们通常会将包含未知函数和各个独立变量的项移到等号两侧。
然后我们可以通过微积分中的对数运算、反三角函数等技巧，将未知函数和各个独立变量所对应的因子进行隔离和处理。
通过适当选择乘积因子，我们可以得到仅包含单一独立变量及其导数乘积的形式。
最后，我们可以对这些形式简单地进行代数操作和求解。
2.3 适用范围分离变量法广泛应用于物理学、工程学和数学领域中解决许多问题。
它适用于解决某些含有分式方程的动力学问题、生物学模型以及流体力学等领域中的方程。
然而，分离变量法并不是适用于所有类型的分式方程。
对于某些复杂或特殊的情况，可能需要借助其他数值或解析方法来求解。
热传导方程求解-分离变量法
非齐次方程求解
• 某些时候定解问题具有特殊性
1、定解问题的初始条件也是齐次的
不必分为两部分，本身就是一个非齐次方程齐次初始条 件的定解问题，可用特征函数法、冲量法求解
非齐次方程求解
• 某些时候定解问题具有特殊性
2、方程中的自由项与t无关（x的函数或者常数）
可得到
(r2 u ) 0 r r
三维空间拉氏方程的基本解
求解得
u
C1 r
C2
u 1 (r 0) r
拉普拉斯方程的基本解
• 2 二维平面的拉氏方程基本解
与三维问题类似，首先建立极坐标系下的二维拉氏方程
求其圆对称解 u u(r) （解只与半径有关，与角度无关）可得到
求解得 u C1 ln r C2
求定解问题
utt a2uxx Asint , 0 x l
ux x0 ux xl 0 , t 0
u t0 ( x), ut t0 ( x) , 0 x l
vtt
a 2v xx vx
Asint ,
x0 vx xl
0 0
x
l
特征函数法
v t0 0, vt t0 0
– 第四，如果方程是非齐次的，要根据方程的特点选择适 当的方法（特征方程法、冲量法、特解法等）
非齐次方程求解
• 典型的非齐次方程定解问题
也可不分解成两部分，直接 用特征函数法
先分成两部分：齐次 方程非齐次初始条件， 非齐次方程齐次初始 条件，再分别求解。
非齐次方程齐次初始条 件的定解问题，可用特 征函数法、冲量法求解；
一维振动，热传导方程对应的特征值问题，特征值， 特征函数系
第三章热传导方程的分离变量法
百度文库数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第三章 热传导方程的分离变量法引 言上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究，它的研究包括从方程的导出到应用行波法。
本章我们对抛物型方程−以热传导方程为代表进行研究。
复习：数理方程的导出步骤（−−−−→定量化物理模型数学模型） ⅰ 建坐标系 ⅱ 选物理量u ⅲ 找物理规律 ⅳ 写表达式本章，我们先对热传导进行推导。
热传导方程3.1.1热传导方程的导出 1. 物理模型截面积为A 均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求热量的流动。
2.相关概念和定律ⅰ相关概念①热传导：由于温度分布不均匀产生的热传递现象。
设热量：Q 面积：S 体积：V 时间：t 密度：ρ 温度：T ， ②比热：单位物质，温度升高一度所需热量QC VTρ=③热流密度：单位时间流过单位面积的热量（Fourier 实验定律）Q u q tS nκ∂==-∂，κ：导热率 ④热源强度：单位时间，单位体积放出的热量（热源密度）Qf tV= ⅱ用到的物理学规律① Fourier 实验定律(热传导定律)：当物体内存在温度差时，会产生热量的流动。
热流强度（热流密度）q 与温度的下降成正比。
即q u κ→=-∇。
κ：热导系数（热导率），不同物质ℜ不同，(),x u κκ=。
对均匀杆κ是常 数。
负号表示温度下降的方向。
分量形式：x u q x κ∂=-∂ ，y u q y κ∂=-∂，z uq zκ∂=-∂一维问题：uq nκ∂=-∂ ②热量守恒（质量）定律：物体内部温度升高所吸收的热量（浓度增加 所需要的质量），等于流入物体内部的净热量（质量）与物体内部的热源所 产生的热量（质量）之和。
3分析研究的问题: 热流流动是由温差造成,设u 为温度. 已知：C ，ρ，κ常数(),u u x t =是一维问题4研究建立方程取x 轴与细杆重合，(),u x t 表示在x 点t 时刻的温度。
第二章 分离变量法2
( n m )sin( n m )l ( n m )sin( n m )l 2( n m )( n m )
m sin nl cos ml n cos nl sin ml 0 ( n m )( n m )
0
l
x
解：
ut a2uxx 0
u( x, t ) x0 0
第一类边界条件 第二类边界条件
ux ( x, t ) xl 0
u t 0 u0
分离变量：
u( x, t ) X ( x)T (t )
XT ' 'a 2 X ' ' T 0
X (0)T (t ) 0
X ' (l )T (t ) 0
(2k 1)x u ( x,0) Ck sin u0 ; 2l k 0
2 (2k 1) Ck u0 sin d l 0 2l
l
'' 2 X ( x) X ( x) 0, ' X (0) 0, X (l ) hX (l ) 0.
第二步：求解特征值问题
方程的通解形式为 X ( x) A cos x B sin x
A 0, 由边界条件得 cos l h sin l 0 tan l . h 1 令 l , tan hl 上方程的解可以看作曲线y1 tan ，y2 交点的横坐标，显然他们
(第一类边界条件）
(第二类边界条件）
X '' ( x) X ( x) 0 X (0) X (l )+hX (l ) 0
偏微分方程期末复习笔记
《偏微分方程》期末考试复习一、波动方程（双曲型方程）),(2t x f u a u xx tt =-（一）初值问题（柯西问题）1、一维情形⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(),(002x u x u t x f u a u t t t xx tt ψϕ（1）解法（传播波法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(0002x u x u u a u t t t xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==00),(002t t t xx tt u u t x f u a u其中，问题（I ）的解由达朗贝尔公式给出：ξξψϕϕd a at x at x t x u at x atx ⎰+-+++-=)(212)()(),(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t x W t x u t⎰=);,(),(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧===-==),(002τττx f W W W a W t t t xx tt ，利用达朗贝尔公式得ξτξτττd f at x W t a x t a x ⎰-+--=)()(),(21);,(从而问题（Ⅱ）的解为：τξτξττd d f a t x u t t a x t a x ⎰⎰-+--=0)()(),(21),(综上所述，原初值问题的解为：τξτξξξψϕϕττd d f ad a at x at x t x u t t a x t a x at x at x ⎰⎰⎰-+--+-++++-=0)()(),(21)(212)()(),(（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：①依赖区间：点(x , t )的依赖区间为：[x-at , x+at ];②决定区域：区间],[21x x 的决定区域为：{(x,t )|at x x at x -≤≤+21}③影响区域：区间],[21x x 的影响区域为：{(x,t )|at x x at x +≤≤-21} ④特征线：at x x ±=0 （3）解的验证：见课本P10, P142、三维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(),,,()(002z y x u z y x u t z y x f u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ（1）解法（球面平均法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(0)(002z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==00),,,()(002t t t zz yy xx tt u u t z y x f u u u a u其中，问题（I ）的解由泊松公式给出：⎰⎰⎰⎰+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=M at M at S S dS t a dS t a t t z y x u ψπϕπ224141),,,(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t z y x W t z y x u t⎰=0);,,,(),,,(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,,(00)(2τττz y x f W W W W W a W t t t zz yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=M t a S t a r dS r f a t z y x W )()(),,,(41);,,,(τττζηξπτ 从而问题（Ⅱ）的解为：dV ra rt f a t z y x u atr ⎰⎰⎰≤-=),,,(41),,,(2ζηξπ综上所述，原初值问题的解为：dV ra rt f a dS t a dS t a t t z y x u atr S S M at M at ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=),,,(414141),,,(222ζηξπψπϕπ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：①依赖区域（球面）：点),,,(000t z y x 的依赖区域为202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-；②决定区域（锥体）：球面202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-决定区域为：202202020)()()()(t t a z z y y x x -≤-+-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥面）：点)0,,,(000z y x 的影响区域为：22202020)()()(t a z z y y x x =-+-+- )0(>t④特征锥：202202020)()()()(t t a z z y y x x -=-+-+-惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（3）解的验证：见课本P29, P323、二维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(),,()(002y x u y x u t y x f u u a u t t t yy xx tt ψϕ（1）解法（降维法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(0)(002y x u y x u u u a u t t t yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==00),,()(002t t t yy xx tt u u t y x f u u a u其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=⎰⎰⎰⎰∑∑M at M at d d y x at d d y x at t a t y x u ηξηξηξψηξηξηξϕπ222222)()()(),()()()(),(21),,( 由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t y x W t y x u t⎰=);,,(),,(其中，);,,(τt y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),,(00)(2τττy x f W W W W a W t t t yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=M r d d y x r a r t f a t y x W t a r ηξηξηξπττ)(222)()(),,(21);,,( 从而问题（Ⅱ）的解为：⎰⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=at t a r M r d d y x r a r t f a t y x u 0)(2222)()(),,(21),,(ηξηξηξπτ综上所述，原初值问题的解为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑-=∑∑⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=at t a r Mr M at M at d d y x r a r t f a d d y x at d d y x at t a t y x u 0)(2222222222)()(),,(21)()()(),()()()(),(21),,(ηξηξηξπηξηξηξψηξηξηξϕπτ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：①依赖区域（圆饼）：点),,(00t y x 的依赖区域为2022020)()(t a y y x x ≤-+-；②决定区域（锥体）：圆饼2022020)()(t a y y x x ≤-+-决定区域为：2022020)()()(t t a y y x x -≤-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥体）：点)0,,(00y x 的影响区域为：222020)()(t a y y x x ≤-+- )0(>t④特征锥：2022020)()()(t t a y y x x -=-+-后效现象见课本P35、36（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。
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第三章分离变量法二
2
第一步：分离变量 设 u ( x, t ) X ( x)T (t ) 代入方程得
X ( x) X ( x) 0 X(x)： X (0) X (l ) 0 2 T(t)： T (t ) a T (t ) 0
第二步：求解固有值问题
解
2u0 u ( x, t ) 2
2 2 a 2 (n 1 (n 1 ) (1) n 2 2 ) exp t sin 2 1 2 l l n 0 (n 2 )
x
第三章分离变量法二
6
6
混合边值条件情形
例
2 u u 2 x (0, l ), t 0 t a x 2 , x [0, l ] u ( x, 0) ( x), u (l , t ) u (l , t ) u (0, t ) 0, t 0 x
l
B ( 1)e
l
0
A B0
只有零解（舍）
第三章分离变量法二
8
第二步：求解固有值问题 X ( x ) X ( x ) 0 情形二： 0 代入边界条件得
X (0) X (l ) X (l ) 0
通解为 X ( x) A Bx,
分离变量法二
热传导方程
热传导方程
有限杆上的热传导方程 考虑一根长为l的均匀细杆，其右端保持绝热，左 端保持零度，给定杆内的初始的温度分布，在没有 热源的情况下杆在任意时刻的温度分布
2 u 2 u , x (0, l ), t 0 a 2 t x x [0, l ] u ( x, 0) ( x), u (0, t ) u (l , t ) 0, t 0 x
k 1
2 a2 k t
sin k x
第三章分离变量法二
12
第四步：利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初 值条件的解 由初值条件得 ( x ) u ( x , 0) a k sin k x
k 1
因此
ak
( x) sin xdx sin xdx
7
第二步：求解固有值问题 X ( x ) X ( x ) 0 分三种情形讨论 X (0) X (l ) X (l ) 0 情形一： 0 通解为 X ( x) Ae 代入边界条件得
x
Be
x
,
A B 0,
A( 1)e
(k 1, 2, )
sin k x， ak C k Bk . (k 1, 2, )
u k ( x , t ) X k ( x )Tk (t ) ak e
2 a2 k t
一般解为 u ( x , t ) X k ( x )Tk (t )
k 1
ak e
sin l cos l 0 tan l
第三章分离变量法二
10
第二步：求解固有值问题 X ( x ) X ( x ) 0 情形三： 0
X (0) X (l ) X (l ) 0
由于方程 tan l 有无穷多个根 且这些根正负成对地出现，正根记为 1 , 2 , 3 ,. 固有值 k k2 , (k 1,2,3, ). 固有函数 X k ( x) Bk sin k x,
0 k l 2 0 k
l
代入一般解即得定解问题的解
第三章分离变量法二
13
x,
第三章分离变量法二
4
4
第三步：求特解，并进一步叠加出一般解 一般解为
2 2 1 a 2 (n 1 ) ( n 2 2 ) u ( x, t ) an exp t sin 2 l l n 0 an An Bn .
x
第一步：分离变量 令 u ( x, t ) X ( x)T (t ) 代入方程得
X ( x ) X ( x ) 0 X(x): X (0) X (l ) X (l ) 0
T(t):
固有值问题
T (t ) a 2T (t ) 0
第三章分离变量法二
2
固有值问题
n n 1 2 n , X n ( x) Bn sin l l
1 2
x , n 0,1, 2,3,
第三章分离变量法二
3
3
第三步：求特解，并进一步叠加出一般解 2 1 n 2 将固有值 n , n 0,1, 2,3,
第四步：利用固有函数的正交性叠加系数求出满足初 值条件的解
2 l (n 1 2 ) an ( x) sin l 0 l x dx
第三章分离变量法二
5
5
练习 u
2 u 2 a , x (0, l ), t 0 t 2 x u0 x [0, l ] u ( x, 0) x, l u (0, t ) ux (l , t ) 0, t 0
l
代入方程 T (t ) a 2 T (t ) 0
2 2 a 2 (n 1 ) 2 解得 Tn (t ) An exp t , n 0,1, 2,3, 2 l
2 2 1 a 2 (n 1 ) ( n 2 2 ) t sin 特解为 un ( x, t ) an exp 2 l l an An Bn .
(k 1,2, )
第三章分离变量法二
11
第三步：求特解，并进一步叠加出一般解 2 (k 1,2,3, ). 将固有值 k k , 代入方程 T a 2 k2T 0, (k 1,2, ) 解得 特解为
Tk (t ) C k e
2 a 2 k t
A B0
Байду номын сангаас
只有零解（舍）
第三章分离变量法二
9
第二步：求解固有值问题 X ( x ) X ( x ) 0
X (0) X (l ) X (l ) 0 情形三： 0 通解为 X ( x) A cos x B sin x,
由边界条件X(0)=0得 A 0, 由边界条件 X '(l ) X (l ) 0 得 B (sin l cos l ) 0 为了使 B 0 必须使 于是