信号分析与处理第3章-2

3.3
系统函数
jω
将零极点画在复平面上得零 极点分布图。 将零极点画在复平面上得零、极点分布图。 例:
2( s + 2) H (s) = ( s + 1) 2 ( s 2 + 1)
极点： 极点：p1 = -1, p2,3 = ±j 零点： 零点：z = -2
(2) -2 -1
j 0 -j σ
由于多项式的系数为实数，因此系统函数的零极点为： 由于多项式的系数为实数，因此系统函数的零极点为： 实数、共轭虚数、 实数、共轭虚数、共轭复数
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3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性 由系统函数的零极点分布确定时域特性 3.3 系统函数 3、系统函数 与时域响应h(t) 、系统函数H(s)与时域响应 与时域响应 （1）不同极点对应的冲激响应图形 ） 冲激响应的函数形式由H(s)的极点确定。 的极点确定。 冲激响应的函数形式由 的极点确定 所讨论系统均为因果系统。主要讨论单极点的情况。 所讨论系统均为因果系统。主要讨论单极点的情况。
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2
3.3 系统函数
第3章 连续时间信号处理 章
3.3.2 系统的三种描述方式
时域输入输出关系微分方程 时域的冲激响应h(t) 时域的冲激响应 s域的系统函数 域的系统函数H(s) 域的系统函数
在这三种描述中， 在这三种描述中，能够根据其中任一种形式推导出另外两种 形式。 形式。
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3
3.3 系统函数
3.4.2 系统的无失真传输条件
系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输， 系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一 信号的传输 滤波。 类是滤波 传输要求信号尽量不失真， 类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不 需要有的成分， 需要有的成分，必然伴随着失真。 1、无失真传输 、 （1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号 无失真传输是指系统的输出信号与输入信号 ）定义：信号无失真传输 相比，只有幅度的大小 出现时间的先后不同， 幅度的大小和 相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上 的变化。 的变化。 即： 输入信号为x(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 输入信号为 ，经过无失真传输后， y(t) = K x(t–t0)
u2 (t )
R1 R2C
1 k= 令 R1C
R1 + R2 β= R1 R2C
H (s) =
k s+β
E E (s) = s +α
kE kE 1 1 U2 ( s) = H ( s) E ( s) = = − ( s + α )( s + β ) β − α s + α s + β kE u2 ( t ) = e −α t − e − β t ) ε ( t ) ( β −α
第3章 连续时间信号处理 章
3.3.2 系统的三种描述方式
例: 已知系统函数 H ( s) = Y ( s) = 5s + 11 X ( s ) s 2 + 5s + 6 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解：
Y (s) 1 4 H (s) = = + X (s) s + 2 s + 3
第三章 连续时间信号处理
3.1 线性时不变连续系统的时域数学模型
3.1.1 微分方程的建立 3.1.2 微分方程的求解
3.2 计算零状态响应的卷积积分法
3.2.1 零输入响应与零状态响应 3.2.2 冲激响应 3.2.3 用卷积积分计算零状态响应
3.3 系统函数
3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 系统函数的定义 系统的三种描述方式 用系统函数计算系统的零状态响应 由系统函数的零极点分布确定时域特性
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6
3.3 系统函数
第3章 连续时间信号处理 章
3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性 由系统函数的零极点分布确定时域特性
1、系统函数的零、极点 系统函数的零、 LTI系统的系统函数是复变量 的有理分式，即 系统的系统函数是复变量s的有理分式 系统的系统函数是复变量 的有理分式，
N ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + L + b1s + b0 H (s) = = D ( s ) an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0
3.3.3 用系统函数计算系统的零状态响应
1 R2 + U2 ( s) sC H (s) = = 1 E (s) R2 ⋅ sC R1 + 1 1 = R2 + R1 + R2 sC R C (s + )
1
3.3 系统函数
第3章 连续时间信号处理 章
e ( t ) = Ee−α t ε ( t )
e(t )
3.3
系统函数
Байду номын сангаас
均为递增函数 递增函数。 （3）在右半开平面 ：均为递增函数。 ） (a) 正实单极点 α(α>0)，则响应为 αtε(t) 正实单极点p= ，则响应为Ke (b) 一对共轭复极点 1,2=α±jω0 一对共轭复极点p ± 则响应为 K eαtcos(ω0 t+θ)ε(t)
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第3章 连续时间信号处理 章
零状态 我们可以利用系统函数， 我们可以利用系统函数，在复频域中求得系统零状态响应的 象函数，然后对其作拉普拉斯逆变换， 象函数，然后对其作拉普拉斯逆变换，求得时域中零状态响 应的原函数。 应的原函数。
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2举例 如图所示电路，激励信号 1 举例: 举例 如图所示电路， R2 ⋅ sC 求电路的零状态响应u 。 求电路的零状态响应 2(t)。 解:
jω
极点在虚 轴上 极点在左半平面， 极点在左半平面， 共轭复根
B
C
E
极点在右半平面， 极点在右半平面， 共轭复根
A
极点在原点
B∗
D
σ
极点在右半平 面，实根
极点在左半平 面，实根
C∗
E∗
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3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性 由系统函数的零极点分布确定时域特性 3、系统函数 与时域响应h(t) 、系统函数H(s)与时域响应 与时域响应 （2）结论 ）
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3.4.2 系统的无失真传输条件 2 无失真传输的系统条件 a 时域条件 y(t) = Kx(t −t0 )
x (t )
y (t )
3.4 信号的频域处理
x(t )
X (ω )
h(t )
y (t )
LTI
H (ω )
Y (ω )
O
t
O
t0
t
b 频域条件
Y(ω) = KX(ω)e−jωt0
3.4 信号的频域处理
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1
第3章 连续时间信号处理 章
3.3 系统函数
3.3.1 系统函数的定义
系统函数H(s)定义为 定义为 系统函数
Y ( s) N ( s) H ( s) = = X ( s ) D( s)
def
系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。 系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。 它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。 它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。 是系统冲激响应h(t)的象函数 ●系统函数H(s)是系统冲激响应 系统函数 是系统冲激响应 的象函数
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3.3 系统函数 1 思路： 思路：
第3章 连续时间信号处理 章
3.3.3 用系统函数计算系统的零状态响应
零状态 根据系统函数的定义，任意激励下， 根据系统函数的定义，任意激励下，系统的零状态响应的 象函数可以表示为系统函数与激励信号的象函数的乘积。 象函数可以表示为系统函数与激励信号的象函数的乘积。
3.4 信号的频域处理
3.4.1 系统的频率响应
傅里叶变换法 零状态 频率响应H(ω)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换 ω)与 可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y( 与 频率响应 可定义为系统零状态响应的傅里叶变换 激励x(t)的傅里叶变换 ω)之比，即 的傅里叶变换X( 之比 之比， 激励 的傅里叶变换 Y (ω ) jϕ ω H (ω ) = H (ω ) = H (ω ) e ( ) X (ω )
以上两种情况： 以上两种情况：当t→∞时，响应均趋于 。 时 响应均趋于0。
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3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性 由系统函数的零极点分布确定时域特性 3、系统函数 与时域响应h(t) 、系统函数H(s)与时域响应 与时域响应 3 )证明 证明 （2）在虚轴上 ：等幅 ） (a)单极点 单极点p=0，则响应为 单极点 ， 响应为Kε(t) (b)共轭虚数极点 1,2=±j ω0 共轭虚数极点p ± 共轭虚数极点 则响应为 Kcos(ω0 t+θ)ε(t)
取逆变换，可得系统的冲激响应为 h(t)= (e-2t +4e-3t) ε(t) 取逆变换， +4 由系统函数定义， 由系统函数定义，系统的输入输出之间的关系为 s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 5sX(s)+ 11X(s) 微分方程为 y"(t)+5y'(t)+6y(t) = 5x '(t)+ 11x(t)
=k
n>m
∏(s − z )
m
∏(s − p )
i =1 n
j =1 n
j
D(s)=0的根 1，p2，…，pn称为系统函数H(s)的极点；N(s)=0的 的根p ， 称为系统函数 的极点； 的 的根 的极点 的零点。 根z1，z2，…，zm称为系统函数 ， 称为系统函数H(s)的零点。 的零点
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3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性 由系统函数的零极点分布确定时域特性 2、系统零、极点图 系统零、
3.3
系统函数
在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。 ①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当 在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的 t→∞时，响应均趋于 。 时 响应均趋于0。 在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数不增不减。 ②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数不增不减。 在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数不增不减 在右半平面上的极点， ③H(s)在右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。 在右半平面上的极点 其所对应的响应函数都是递增的。 即当t→∞时，响应均趋于∞。 时 响应均趋于 。 即当 的极点的 决定了冲激响应随时间的衰减或增长情况。 ④ H(s)的极点的实部决定了冲激响应随时间的衰减或增长情况。 的极点 实部决定了冲激响应随时间的衰减或增长情况 极点距离虚轴越远，即极点的实部的绝对值越大， 极点距离虚轴越远，即极点的实部的绝对值越大，冲激响应的衰 减或增长越快，反之越慢。而极点的虚部 虚部决定了冲激响应随时间 减或增长越快，反之越慢。而极点的虚部决定了冲激响应随时间 正弦振荡情况 当极点距离实轴越远， 情况。 的正弦振荡情况。当极点距离实轴越远，即极点的虚部的绝对值 越大，冲激响应正弦振荡的角频率越高，反之越低。 越大，冲激响应正弦振荡的角频率越高，反之越低。 的零点分布影响冲激响应的幅度和相位 ⑤H(s)的零点分布影响冲激响应的幅度和相位，但不影响冲激响 的零点分布影响冲激响应的幅度和相位， 应的变化规律。 应的变化规律。
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3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性 由系统函数的零极点分布确定时域特性 3、系统函数 与时域响应h(t) 、系统函数H(s)与时域响应 与时域响应 3 )证明 证明 H(s)按其极点在 平面上的位置可分为 按其极点在s平面上的位置可分为 按其极点在 平面上的位置可分为: 在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。 在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。 （1）在左半开平面：衰减 ）在左半开平面：
ϕ 幅频特性（ 幅频响应）； 称为相频特性 H(ω)称为幅频特性（或幅频响应）； (ω ) 称为相频特性 称为幅频特性 相频响应）。 ）。 的偶函数， 的奇函数。 （或相频响应）。H(ω)是ω的偶函数， ϕ (ω ) 是ω的奇函数。
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3.4 信号的频域处理
第3章 连续时间信号处理 章
3.3
系统函数
(a) 若系统函数有负实单极点p= –α(α>0)，则N(s)中有因子 若系统函数有负实单极点 中有因子(s+α)， 负实单极点 ， 中有因子 ， 其所对应的响应函数为Ke 其所对应的响应函数为 -αtε(t) (b) 若有一对共轭复极点 1,2=-α±jω0，则N(s)中有因子 若有一对共轭复极点 一对共轭复极点p ± 中有因子 [(s+α)2+ ω0 2] K e-αtcos(ω0 t+θ)ε(t)