2020年中考数学考点专题《特殊四边形的相关证明与计算》

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中考数学冲刺专题突破：专题一特殊四边形有关的证明及计算专题突破特殊四边形(学生版+解析版)

中考数学冲刺专题突破特殊四边形专题一特殊四边形有关的证明及计算【专题说明】与特殊四边形有关的证明及计算，考查两种形式：①纯几何综合题；②与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．【类型】一、纯几何图形的证明及计算【精典例题】1、如图，四边形ABCD是正方形，点M在边BC上(不与端点B、C重合)，点N在对角线AC 上，且MN⊥AC，连接AM，点G是AM的中点，连接NG、DN.(1)若AB＝10，BM＝23，求NG的长；(2)求证：DN＝2NG.【精典例题】2、(2019潍坊)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH∥DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：△AHF为等腰直角三角形；(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【精典例题】3、如图，将矩形ABCD沿AF所在直线折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG ∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．【精典例题】1、如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.(1)判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由；(2)当OD＝2时，求CP的长；(3)设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1－S2的最值．【精典例题】2、已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连接EF ，分别交AB 、AD 、AC 于点G 、O 、H .(1)求证：EG ＝HF ；(2)当∠BAC ＝60°时，求AH NC的值；(3)设HFHE＝k，△AEH和四边形EDNH的面积分别为S1和S2，求S2S1的最大值．第2题图中考数学冲刺专题突破特殊四边形专题一特殊四边形有关的证明及计算【专题说明】与特殊四边形有关的证明及计算，考查两种形式：①纯几何综合题；①与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．【类型】一、纯几何图形的证明及计算【精典例题】1、如图，四边形ABCD是正方形，点M在边BC上(不与端点B、C重合)，点N在对角线AC 上，且MN①AC，连接AM，点G是AM的中点，连接NG、DN.(1)若AB＝10，BM＝23，求NG的长；(2)求证：DN＝2NG.(1)解：①四边形ABCD 为正方形，①①B ＝90°，在Rt①ABM 中，①AB ＝10，BM ＝23，①AM ＝AB 2＋BM 2＝47.①MN ①AC ，点G 是AM 的中点，①GN ＝12AM ＝27； (2)证明：如解图，过点D 作DE ①AC 于点E ，①四边形ABCD 是正方形，①AD ＝DC ，DE ＝12AC . ①AC 为正方形对角线，①①ACB ＝45°.①MN ①AC ，①MN ＝NC .设MN ＝NC ＝a ，AN ＝b ，①在Rt①AMN 中，由勾股定理得，AM ＝MN 2＋AN 2＝a 2＋b 2，①MN ①AC ，点G 是AM 的中点，①GN ＝a 2＋b 22. ①AC ＝a ＋b ，①DE ＝EC ＝a ＋b 2. ①EN ＝EC －NC ＝b －a 2.DN ＝DE 2＋EN 2＝2（a 2＋b 2）2①DN ＝2NG .【精典例题】2、(2019潍坊)如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A 作AH①DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：①AHF为等腰直角三角形；(2)若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【精典例题】3、如图，将矩形ABCD 沿AF 所在直线折叠，使点D 落在BC 边上的点E 处，过点E 作EG ①CD 交AF 于点G ，连接DG .(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．(1)证明：①GE ①CD ，①①EGF ＝①DFG .①由翻折的性质可知GD ＝GE ，DF ＝EF ，①DGF ＝①EGF ，①①DGF ＝①DFG .①GD ＝DF .①DG ＝GE ＝DF ＝EF .①四边形EFDG 为菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF . 理由：如解图①，连接DE ，交AF 于点O ，①四边形EFDG 为菱形，①GF ①DE ，OG ＝OF ＝12GF ，DF ＝EG . 又①四边形ABCD 为矩形，①①DOF ＝①ADF ＝90°，又①①OFD ＝①DF A ，①①DOF ①①ADF .①DF AF ＝FO FD ，即DF 2＝FO ·AF .①FO ＝12GF ，DF ＝EG ，①EG 2＝12GF ·AF ；图①(3)解：如解图①，过点G 作GH ①DC ，垂足为点H ，①EG 2＝12GF ·AF ，AG ＝6，EG ＝25，①20＝12GF (FG ＋6)，整理得FG 2＋6FG －40＝0，解得FG ＝4或－10(舍去)，①DF ＝GE ＝25，AF ＝10，①在Rt①ADF 中，AD ＝AF 2－DF 2＝4 5.①GH ①DC ，AD ①DC ，①GH ①AD .①①FGH ①①F AD .①GH AD ＝FG AF ，即GH 45＝410.①GH ＝855.易证四边形GECH 为矩形，①GH ＝EC ， ①BE ＝BC －EC ＝AD －GH ＝45－855＝1255. 图①【类型】二、与函数结合的证明及计算【精典例题】1、如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动(不与点B ，D 重合)，连接OA ，作OP ①OA ，交直线BC 于点P .(1)判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由；(2)当OD ＝2时，求CP 的长；(3)设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为S 1，①AOD 的面积为S 2，求S 1－S 2的最值．解：(1)OA ＝OP .理由如下：如解图①，过点O 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为点M ，N .①OM ①AB ，ON ①BC ，OM ＝ON ，①四边形MBNO 为正方形.①①MON ＝90°.①①AOM ＋①MOP ＝90°，①MOP ＋①PON ＝90°，①①AOM ＝①PON .在①AOM 和①PON 中，⎩⎪⎨⎪⎧①AMO ＝①PNO MO ＝NO ①MOA ＝①NOP，①①AOM ①①PON (ASA).①OA ＝OP ；图①(2)如解图①，过点O 作OK ①CD ，垂足为K ，过点O 作ON ①BC ，垂足为N ，连接OC .①四边形ONCK 为矩形.①NC ＝OK .①OD ＝2，①NC ＝OK ＝1.①AD ＝CD ，①ADO ＝①CDO ＝45°，OD ＝OD ，①①AOD ①①COD (SAS).①OA ＝OC .①OA ＝OP ＝OC ，又①ON ①PC ，①CN ＝PN .①CP ＝2；图①(3)①①AOD ①①COD ，①S ①AOD ＝S ①COD .①S 1－S 2＝S ①OPC .设OK ＝x ，则PC ＝2x ，ON ＝CK ＝4－x .①S ①OPC ＝12×2x ×(4－x )＝－x 2＋4x . ①S 1－S 2＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4.①当x ＝2时，S 1－S 2的最大值为4，无最小值.【精典例题】2、已知在①ABC 中，AB ＝AC ，AD ①BC ，垂足为点D ，以AD 为对角线作正方形AEDF ，DE 交AB 于点M ，DF 交AC 于点N ，连接EF ，分别交AB 、AD 、AC 于点G 、O 、H .(1)求证：EG ＝HF ；(2)当①BAC ＝60°时，求AH NC的值； (3)设HF HE ＝k ，①AEH 和四边形EDNH 的面积分别为S 1和S 2，求S 2S 1的最大值．第2题图。

2020年中考数学人教版专题复习：特殊的平行四边形

2020年中考数学人教版专题复习：特殊的平行四边形考点精析矩形的性质与判定1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．典例精析典例1如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于A．105°B．110°C．115°D．120°【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=O B．∴∠BAO=∠ABO=55°．∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故选B．典例2 如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是–1，则对角线AC、BD的交点表示的数A．5.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】A【解析】连接BD交AC于E，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴190,2B AE AC ∠==o，∴13AC===，∴AE=6.5，∵点A表示的数是−1，∴OA=1，∴OE=AE−OA=5.5，∴点E表示的数是5.5，即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5；故选A.拓展1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是A．AB=BC B．AC垂直BD C．∠A=∠C D．AC=BD、交于点O，并且2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC BD∠=︒∠=︒，，点E是AD边上一动点，延长EO交于BC点F，当点DAC ADB6015E从点D向点A移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形菱形的性质与判定1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．2．菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．典例精析典例3菱形具有而平行四边形不具有的性质是A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．一组邻边相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C 只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）【答案】BO=DO（答案不唯一）【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO（答案不唯一）．拓展3．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．正方形的性质与判定1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．典例精析典例5面积为9㎝2的正方形以对角线为边长的正方形面积为A．18㎝2B．20㎝2C．24㎝2D．28㎝2【答案】A【解析】∵正方形的面积为9cm2，∴边长为3cm，∴根据勾股定理得对角线长=，∴以=(2=18cm2.故选A．典例6如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，过点C作CF⊥AE于F，DE交CF于G，则四边形ADGF的周长是A．8 B．C．D．【答案】D【解析】如图，连接AG，∵∠B=90°，AB=BC=4，∴∠CAB=∠ACB=45°，AC，∵把△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，∴AD=AB=4，∠EAD=∠CAB=45°，∴∠FAB=90°，CD=AC﹣AD﹣4，∵∠B=90°=∠FAB，CF⊥AE，∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=4，∴四边形ABCF是正方形，∴AF=CF=AB=4=AD，∠AFC=∠FCB=90°，∴∠GCD=45°，且∠GDC=90°，∴∠GCD=∠CGD=45°，∴CD=GD﹣4，∵AF=AD，AG=AG，∴Rt△AGF≌Rt△AGD（HL），∴FG=GD﹣4，∴四边形ADGF的周长=AF+AD+FG+GD﹣﹣，故选D．拓展5．如图，在正方形ABCD 内一点E 连接BE 、CE ，过C 作CF ⊥CE 与BE 延长线交于点F ，连接DF 、DE ．CE =CF =1，DE ，下列结论中：①△CBE ≌△CDF ；②BF ⊥DF ；③点D 到CF 的距离为2；④S 四边形DECF +1．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在正方形ABCD 中，,2BE FC CF FD ==，AE 、BF 交于点G ，下列结论中错误的是A ．AE BF ⊥B ．AE BF =C ．43BG GE =D ．ABG CEGF S S =V 四边形中点四边形1．中点四边形一定是平行四边形；2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．典例精析典例7 如图，任意四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，对于四边形EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，故D错误，故选D．拓展7．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形8．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD 各边中点所得四边形EFGH 叫中点四边形．若四边形ABCD 的面积记为S 1，中点四边形EFGH的面积记为S 2，则S 1与S 2的数量关系是A ．S 1=3S 2B ．2S 1=3S 2C ．S 1=2S 2D ．3S 1=4S 2同步测试1．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB =30°，AB =4，则OC =A ．5B ．4C ．3.5D ．32．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知∠AOD =120°，AC =16，则图中长度为8的线段有A ．2条B ．4条C ．5条D ．6条3．如图，在长方形ABCD 中，AB =3，BC =4，若沿折痕EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为A ．B ．C ．D ．154．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC =8 cm ，BD =6 cm ，则菱形的高为158154152A ．cm B ．cm C ．cm D ．cm 5．如图，在菱形ABCD 中，∠ADC =72°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则∠CPB 的度数是A ．108°B ．72°C ．90°D ．100°6．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE =CF ．连接AE ，BF ，AE 与BF 交于点G ．下列结论错误的是A ．AE =BFB ．∠DAE =∠BFC C ．∠AEB +∠BFC =90°D ．AE ⊥BF7．如图，矩形ABCD 中将其沿EF 翻折后，D 点恰落在B 处，∠BFE =65°，则∠AEB =____________.4852451251058．如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP=_______．9．如图，在Y ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长．10．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由．。

2020年浙江数学中考重点四与特殊四边形有关的证明及计算

(2)证明：如解图②，记∠FBG＝∠5， ∠BAG＝∠1， ∵△ABF≌△DAE， ∴AF＝DE， ∵∠1＋∠ABF＝∠ABF＋∠5＝90°， ∴∠5＝∠1，
例2题图②
例2题解图②
题型四与特殊四边形有关的证明及计算
∵tanα＝EF ，tan β＝EF，
DE
BF
∴tan tan
αβ＝DE FE ·BE FF ＝DB FE ＝BA FF
题型四与特殊四边形有关的证明及计算
(杭州6考；台州：2019.24；绍兴3考) 考情总结与特殊四边形有关的证明及计算，杭州考查两种形式：①纯几何综合题；②与函数结合的综合题．背景图形主要涉及正方形，常涉及到利用特殊四边形的性质来证明计算，也结合三角形全等、相似等考查，综合性较强．其中与函数结合的证明及计算常涉及求线段长度、图形面积的最值等．
例1题解图①
题型四与特殊四边形有关的证明及计算
∴CP＝CN. BP BA
∴S1＝AB ＝BC＝BP＋CP＝1＋CP＝1
S2 BP BP BP
BP
＋CBNA＝1＋ABCA＝1＋ 2；
【思维教练】①当AC＝CN时，△ACN为等腰三角形，再结合正方形ABCD可知
∠ACD＝45°，从而利用内外角关系进行求解；②要求△AMB和△BMP的面积
∴△GBH∽△ADH，
∴H G＝H B ＝B G＝B G＝k ， HA HD DA BC
例2题解图③
题型四与特殊四边形G＝(BG)2＝k2，
S△ABH HA
S△AHD AD
设S△SB△HGB＝HG＝S△aA，BD则－SS△△ABBHHG＝＝1kS△a，ABSH＋△ASH△D＝AHk1D2－aS＝△SB1H，G＝S21k＝aS＋四k1边2 形a－CDHaG，＝S△BCD－

2020年中考数学考点提分专题二十二以特殊的平行四边形为背景的证明与计算(解析版)

2020年中考数学考点提分专题二十二以特殊的平行四边形为背景的证明与计算（解析版）考点分析【例1】（2020·安徽初三）（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．【例2】（2019·江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，正方形ABCD的边长为6，把一个含30°的直角三角形BEF放在正方形上，其中∠FBE＝30°，∠BEF＝90°，BE＝BC，绕B点转动△FBE，在旋转过程中，（1）如图1，当F点落在边AD上时，求∠EDC的度数；（2）如图2，设EF与边AD交于点M，FE的延长线交DC于G，当AM＝2时，求EG的长；（3）如图3，设EF与边AD交于点N，当tan∠ECD＝13时，求△NED的面积．考点集训1．（2020·陕西初三期中）问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB=63PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图②)，连接PP′，可得△P′PB 是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得∠AP′B＝°，所以∠BPC ＝∠AP′B＝°，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为，问题得到解决．（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝°，∠BPC＝∠AP′B＝°，等边三角形ABC的边长为．（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝5，PB＝2，PC＝1.求∠BPC 的度数和正方形ABCD的边长．2．（2019·云南初三月考）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是边AB上一点，将△CBE沿直线CE对折，得到△CFE，连接DF．（1）当D、E、F三点共线时，证明：DE＝CD；（2）当BE＝1时，求△CDF的面积；（3）若射线DF交线段AB于点P，求BP的最大值．3．（2019·江苏初二期末）如图1，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点M．（1）直接写出AM=；（2）P是射线AM上的一点，Q是AP的中点，设PQ=x．①AP=，AQ=；②以PQ为对角线作正方形，设所作正方形与△ABD公共部分的面积为S，用含x的代数式表示S，并写出相应的x的取值范围．(直接写出，不需要写过程)4．（2019·江苏初二期末）（1）如图1，已知正方形ABCD，点M和N分别是边BC，CD上的点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，将图（1）中的△APB绕着点B逆时针旋转90º，得到△A′P′B，延长A′P′交AP于点E，试判断四边形BPEP′的形状，并说明理由．5．（2020·山东初三期末）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．6．（2020·深圳市龙岗区石芽岭学校初三月考）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．7．（2020·河南初三）如下图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF 与线段EG 的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =、BC b ，求EF EG的值． 8．（2020·江苏初二期中）如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．（1）如图1，当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF 的长；（2）如图2，当折痕的另一端F 在AD 边上且BG ＝10时，①求证：△EFG 是等腰三角形；②求AF 的长；（3）如图3，当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 到AD 的距离是4，且BG ＝5时，求AF 的长．9．（2019·河南初三期中）正方形ABCD 与正方形DEFG 按如图1放置，点A ，D ，G 在同一条直线上，点E 在CD 边上，AD ＝3，DE 2，连接AE ，CG ．（1）线段AE 与CC 的关系为______；（2）将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）在正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转一周的过程中，当∠AEC ＝90°时，请直接写出AE 的长．10．（2019·云南初三）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长AP 交CD 于F 点，（1）求证：△CBE ≌△CPE ；（2）求证：四边形AECF 为平行四边形；（3）若矩形ABCD 的边AB ＝6，BC ＝4，求△CPF 的面积．11．（2019·江西初三期中）在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、•D•作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足为E 、F ，如图①．（1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点P 在DC 的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点P 在CD 的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论．（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．12．（2020·河北初三期末）如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 的延长线上，且满足90MAN ∠=︒，连接MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E ．（1）求证：AM AN =；（2）如果2CAD NAD ∠=∠，求证：2AN AE AC =⋅．2020年中考数学考点提分专题二十二以特殊的平行四边形为背景的证明与计算（解析版）考点分析【例1】（2020·安徽初三）（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；（2）24cm；（3）存在，过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，证明见解析.【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF，在△AOE和△COF中，∵EAO FCO OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴S△ABF=12AB•BF=24cm2，∴AB•BF=48（cm2），∴AB2+BF2=（AB+BF）2-2AB•BF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），∴AB+BF=14（cm）∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．（3）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF∴四边形AFCE是菱形．∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，由作法得∠AEP=90°，∴△AOE∽△AEP，∴AE AOAP AE，则AE2=AO•AP，∵四边形AFCE是菱形，∴AO＝12 AC，∴AE2=12 AC•AP，∴2AE2=AC•AP．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）；菱形的判定；矩形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理，正确推理论证是解题关键．【例2】（2019·江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，正方形ABCD的边长为6，把一个含30°的直角三角形BEF放在正方形上，其中∠FBE＝30°，∠BEF＝90°，BE＝BC，绕B点转动△FBE，在旋转过程中，（1）如图1，当F点落在边AD上时，求∠EDC的度数；（2）如图2，设EF与边AD交于点M，FE的延长线交DC于G，当AM＝2时，求EG的长；（3）如图3，设EF与边AD交于点N，当tan∠ECD＝13时，求△NED的面积．【答案】（1）15°；（2）3；（3）18 5【解析】解：（1）如图1中，作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M．则四边形EMCH是矩形．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵BC＝BE，∴AB＝BE＝CD，在Rt△BFA和Rt△BFE中，BF BF AB BE=⎧⎨=⎩，∴Rt△BFA≌△Rt△BFE（HL），∴∠ABF＝∠EBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝30°，∴EH＝MC＝12BE＝12CD，∴DM＝CM，∵EM⊥CD，∴ED＝EC，∵∠BCE＝12（180°﹣30°）＝75°，∴∠EDC＝∠ECD＝15°．（2）如图2中，连接BM、BG．∵AM＝2，∴DM＝AD﹣AM＝4，由（1）可知△BMA≌△BME，△BGE≌△BGC，∴AM＝EM＝2，EG＝CG，设EG＝CG＝x，则DG＝6﹣x．在Rt△DMG中，MG2＝DG2+DM2，∴（2+x）2＝（6﹣x）2+42，∴x＝3，∴EG＝3．（3）如图3中，连接BN，延长FE交CD于G，连接BG．AN＝NE，EG＝CG，∵BE＝BC，∴BG垂直平分CE，∴∠ECG+∠BCG＝90°，∵∠GBC+∠ECB＝90°，∴∠ECD＝∠GCB，∴tan∠GBC＝tan∠ECD＝13，∴CGBC＝13，∴CG＝13BC＝2，∵CD＝6，∴DG＝CD﹣CG＝4，设AN＝EN＝y，则DN＝6﹣y，在Rt△DNG中，（6﹣y）2+42＝（2+y）2，解得：y＝3，∴AN＝NE＝3，DN＝3，NG＝5，∴S△NED＝35•S△DNG＝35×12×3×4＝185．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．考点集训1．（2020·陕西初三期中）问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB=PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得∠AP′B＝°，所以∠BPC ＝∠AP′B＝°，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为，问题得到解决．（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝°，∠BPC＝∠AP′B＝°，等边三角形ABC的边长为．（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA PB，PC＝1.求∠BPC 的度数和正方形ABCD的边长．【答案】（1）∠AP′B ＝150°，∠BPC ＝∠AP′B ＝150°，等边三角形ABC 7；（2）∠BPC ＝135°，正方形ABCD 5【解析】（1）∵等边△ABC ，∴∠ABC=60°，将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得出△ABP′，∴AP′=CP=1，3，∠PBC=∠P′BA ，∠AP′B=∠BPC ，∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPP′是等边三角形，∴3BP′P=60°，∵AP′=1，AP=2，∴AP′2+PP′2=AP 2，∴∠AP′P=90°，∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，过点B 作BM ⊥AP′，交AP′的延长线于点M ，∴∠MP′B=30°，BM=32由勾股定理得：P′M=32， ∴AM=1+32=52，由勾股定理得：22=7AM BM故答案为：150°7（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：AE=PC=1，2，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，∴∠BEP=12（180°-90°）=45°，由勾股定理得：EP=2，∵AE=1，5EP=2，∴AE2+PE2=AP2，∴∠AEP=90°，∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；∴∠FEB=45°，∴FE=BF=1，∴AF=2；∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得5∴∠BPC=135°5答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD5【点睛】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．2．（2019·云南初三月考）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E是边AB上一点，将△CBE沿直线CE对折，得到△CFE，连接DF．（1）当D、E、F三点共线时，证明：DE＝CD；（2）当BE＝1时，求△CDF的面积；（3）若射线DF交线段AB于点P，求BP的最大值．【答案】（1）见解析；（2）245；（3）47【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEB∵△CBE翻折得到△CFE∴∠FEC＝∠CEB∴∠DCE＝∠FEC∴DE＝CD（2）如图1，延长EF交CD的延长线于点G，∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEB∵△CBE翻折得到△CFE∴∠FEC＝CEB，CF＝BC＝3，EF＝BE＝1，∠CFE＝90°∴∠DCE＝∠FEC，∠CFG＝90°∴CG＝EG，∴GF＝GE﹣EF＝CG﹣1∵在Rt△CGF中，CG2＝CF2+GF2，∴CG2＝9+（CG﹣1）2，解得：CG＝5∵△CDF与△CGF分别以CD、CG为底时，高相等∴45CDFCGFS CDS CG==VV∴S△CDF＝45S△CGF＝413452⨯⨯⨯＝245（3）如图2，过点C作CH⊥DP于点H，连接CP，∵CD∥AB∴∠CDP＝∠APD，且∠A＝∠CHD＝90°∴△ADP∽△HCD∴CD CHDP AD=＝DHAP，∵CH≤CF，CF＝BC＝AD＝3∴CH≤3∴当点H与点F重合时，CH最大，DH最小，AP最小，BP最大，此时，在△ADP与△HCDAPD CDPA CHD90AD CH︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ADP≌△HCD（AAS）∴CD＝DP＝4，AP＝DF∵AP＝22DP AD-＝7∴BP的最大值为4﹣7．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．3．（2019·江苏初二期末）如图1，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点M．（1）直接写出AM=；（2）P是射线AM上的一点，Q是AP的中点，设PQ=x．①AP=，AQ=；②以PQ为对角线作正方形，设所作正方形与△ABD公共部分的面积为S，用含x的代数式表示S，并写出相应的x的取值范围．(直接写出，不需要写过程)【答案】（1）2（2）①2x，x；②S222x x=-+(0＜x≤2．【解析】解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴对角线AC22AB==2，又∴AM12AC==2．故答案为：2．（2）①Q是AP的中点，设PQ=x，∴AP=2PQ=2x，AQ=x．故答案为：2x；x．②如图：∵以PQ为对角线作正方形，∴∠GQM=∠FQM=45°∵正方形ABCD对角线AC、BD交于点M，∴∠FMQ=∠GMQ=90°，∴△FMQ和△GMQ均为等腰直角三角形，∴FM=QM=MG．∵QM=AM﹣2x，∴S12=FG•QM()12222x x=⋅，∴S222x x=-+，∵依题意得：20xx⎧⎪⎨⎪⎩＞＞，∴0＜2，综上所述：S222x x=-+(0＜2)，【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．解答本题要充分利用等腰直角三角形性质解答．4．（2019·江苏初二期末）（1）如图1，已知正方形ABCD，点M和N分别是边BC，CD上的点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，将图（1）中的△APB绕着点B逆时针旋转90º，得到△A′P′B，延长A′P′交AP于点E，试判断四边形BPEP′的形状，并说明理由．【答案】（1）AM⊥BN，证明见解析；（2）四边形BPEP′是正方形，理由见解析.【解析】（1）AM⊥BN证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN∴∠BAM=∠CBN∵∠CBN+∠ABN=90°，∴∠ABN+∠BAM=90°，∴∠APB=90°∴AM⊥BN．（2）四边形BPEP′是正方形.△A′P′B是△APB绕着点B逆时针旋转90º所得，∴BP= BP′,∠P′BP=90º.又由（1）结论可知∠APB=∠A′P′B=90°，∴∠BP′E=90°.所以四边形BPEP′是矩形.又因为BP= BP′,所以四边形BPEP′是正方形.【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知正方形的性质与判定.5．（2020·山东初三期末）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH ∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【答案】（1）见解析；（2）EM＝5 4【解析】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°∵AD∥BC，AH∥DG，∴四边形AHGD是平行四边形∴AH＝DG，AD＝HG＝CD，∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG，∴△DCG≌△HGF（SAS），∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD∴AH＝HF，∵∠HGD+∠DGF＝90°，∴∠HFG+∠DGF＝90°∴DG⊥HF，且AH∥DG，∴AH⊥HF，且AH＝HF∴△AHF为等腰直角三角形．（2）∵AB＝3，EC＝5，∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5．∵AD∥EF，∴53EM EFDM AD==，且DE＝2．∴EM＝54．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，综合性较强难度大灵活运用这些知识进行推理是本题的关键．6．（2020·深圳市龙岗区石芽岭学校初三月考）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．【答案】(1)证明见解析;(2)23【解析】解：（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠ANM=∠CMN．∴∠CMN=∠CNM．∴CM=CN．（2）过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．∴HC=DN，NH=DC．∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，∴12312CMNCDNMC NHS MCS NDDN NH===VVgg．∴MC=3ND=3HC．∴MH=2HC．设DN=x，则HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN．在Rt △CDN 中，2222DC CN DN x =-=，∴HN=22x ．在Rt △MNH 中，2223MN MH HN x =+=，∴2323MN x DF x==． 7．（2020·河南初三）如下图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ．另一边交CB 的延长线于点G ．（1）观察猜想：线段EF 与线段EG 的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =、BC b =，求EF EG的值．【答案】（1）EF EG =；（2）成立，证明过程见解析；（3）EF b EG a =. 【解析】（1）EF EG =，理由如下：由直角三角板和正方形的性质得90ED EB D EBC BED GEF =⎧⎨∠=∠=∠=∠=︒⎩9090FED BEF GEB BEF D EBG ∠+∠=∠+∠=︒⎧∴⎨∠=∠=︒⎩ FED GEB ∴∠=∠在FED ∆和GEB ∆中，90FED GEB ED EBD EBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()FED GEB ASA ∴∆≅∆EF EG ∴=；（2）成立，证明如下：如图，过点E 分别作,EH BC EI CD ⊥⊥，垂足分别为,H I ，则四边形EHCI 是矩形90HEI ∴∠=︒90,90FEI HEF GEH HEF ∴∠+∠=︒∠+∠=︒FEI GEH ∴∠=∠由正方形对角线的性质得，AC 为BCD ∠的角平分线则EI EH =在FEI ∆和GEH ∆中，90FEI GEH EI EHFIE GHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()FEI GEH ASA ∴∆≅∆EF EG ∴=；（3）如图，过点E 分别作,EM BC EN CD ⊥⊥，垂足分别为,M N同（2）可知，FEN GEM ∠=∠由长方形性质得：90,90,D ENC ABC EMC AD BC b ∠=∠=︒∠=∠=︒==//,//EN AD EM AB ∴,CEN CAD CEM CAB ∴∆~∆∆~∆,EN CE EM CE AD CA AB CA∴== EN EM AD AB ∴=，即EN AD b EM AB a== 在FEN ∆和GEM ∆中，90FEN GEM FNE GME ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩∴∆~∆FEN GEMEF EN b∴==.EG EM a【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键.8．（2020·江苏初二期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长；（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，①求证：△EFG是等腰三角形；②求AF的长；（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E到AD的距离是4，且BG＝5时，求AF的长．【答案】（1）AF＝3；（2）①见解析；②AF＝6；（3）AF＝1【解析】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴BF＝EF，∵AB＝8，∴EF＝8﹣AF，在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，即42+AF2＝（8﹣AF）2，解得AF＝3；（2）①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴∠BGF＝∠EGF，∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EF＝EG，∴△EFG是等腰三角形；②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，∴EF＝EG＝10，在Rt△EFH中，FH＝2222108EF HE-=-＝6，∴AF＝FH＝6；（3）解：如图3，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，∵E到AD的距离为4，∴EM＝4，EN＝8﹣4＝4，在Rt△ENG中，EG=BG=5，∴GN222254EG EN-=-3，∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，∴∠KEM＝∠NGE，又∵∠ENG＝∠KME＝90°，∴△GEN∽△EKM，∴EK KM EM EG EN GN==，即4 543 EK KM==，解得EK＝203，KM＝163，∴KH＝EH﹣EK＝8﹣203＝43，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴FH KHEM KM=，即431643FH=，解得FH＝1，∴AF＝FH＝1．【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质定理，每个小问的问题都是求AF的长度，故解题中注意思路和方法的总结，（3）中的解题思路与（2）相类似，求出FH问题得解，故将问题转化是解题的一种特别重要的思路.9．（2019·河南初三期中）正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A，D，G在同一条直线上，点E 在CD边上，AD＝3，DE＝2，连接AE，CG．（1）线段AE与CC的关系为______；（2）将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中，当∠AEC＝90°时，请直接写出AE的长．【答案】（1）AE＝CG，AE⊥CG；（2）仍然成立；理由见解析；（3）AE的长为2+1或2﹣1．【解析】（1）线段AE与CG的关系为：AE＝CG，AE⊥CG，理由如下：如图1，延长AE交CG于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADE＝∠CDG＝90°，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEH，∴∠GCD+∠CEH＝90°，∴∠CHE＝90°，即AE⊥CG，故答案为：AE＝CG，AE⊥CG；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH，∴∠GCD+∠CPH＝90°，∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG，∴AE＝CG，AE⊥CG，∴①中的结论仍然成立；（3）如图3﹣1，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DM⊥AE于点M，∵∠AEC＝90°，∠DEG＝45°，∴∠AED＝45°，∴Rt△DME是等腰直角三角形，DE＝1，∴ME＝MD＝2在Rt⊈△AMD中，ME＝1，AD＝3，∴AM，∴AE ＝AM+ME ＝22+1；如图3﹣2，当点E 旋转到线段CG 的延长线上时，过点D 作DN ⊥CE 于点N ，则∠END ＝90°，∵∠DEN ＝45°，∴∠EDN ＝45°，∴Rt △DNE 是等腰直角三角形，∴NE ＝ND ＝22DE ＝1，在Rt △CND 中，ND ＝1，CD ＝3，∴CN ＝22CD ND -＝2231-＝22，∴CE ＝NE+CN ＝22+1，∵AC ＝2AD ＝32，∴在Rt △AEC 中，AE ＝22AC CE -＝22(32)(221)-+＝22﹣1，综上所述，AE 的长为22+1或22﹣1．【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS ）与性质，正方形的性质，旋转的性质以及勾股定理，解题关键是在第（3）问中能够根据题意分情况讨论并画出图形，才能保证解答的完整性．10．（2019·云南初三）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长AP 交CD 于F 点，（1）求证：△CBE ≌△CPE ；（2）求证：四边形AECF 为平行四边形；（3）若矩形ABCD 的边AB ＝6，BC ＝4，求△CPF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4225【解析】（1）解：由折叠可知，EP ＝EB ，CP ＝CB ，∵EC ＝EC ，∴△ECP ≌△ECB （SSS ）．（2）证明：由折叠得到BE ＝PE ，EC ⊥PB ，∵E 为AB 的中点，∴AE ＝EB ＝PE ，∴AP ⊥BP ，∴AF ∥EC ，∵AE ∥FC ，∴四边形AECF 为平行四边形；（3）过P 作PM ⊥DC ，交DC 于点M ，在Rt △EBC 中，EB ＝3，BC ＝4，根据勾股定理得：2222345EC EB BC =+=+=1122EBC S EB BQ EC BQ =⋅=⋅V Q ，341255EB BC BQ EC ⋅⨯∴===，由折叠得：BP ＝2BQ ＝245，在Rt △ABP 中，AB ＝6，BP ＝245，根据勾股定理得： 22222418655AP AB BP ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭, ∵四边形AECF 为平行四边形，∴AF ＝EC ＝5，FC ＝AE ＝3，∴PF ＝5﹣185＝75， ∵PM ∥AD ，∴△FPM ∽△FADPF PM AF AD ∴=，即7554PM = 解得：PM ＝2825，则S △PFC ＝12FC•PM ＝12×3×2825＝4225．【点睛】本题考查的是利用折叠性质来证明三角形全等和平行四边形四边形，还考查了利用勾股定理、面积公式来求三角形的边长，利用相似三角形的性质对应边成比例来求出三角形的高，进而求出三角形的面积．本题第（3）中求也可利用△APB ∽△EBC ，对应边成比例AP BA BE EC=,求AP ，这样比较简便． 11．（2019·江西初三期中）在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、•D•作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足为E 、F ，如图①．（1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点P 在DC 的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点P 在CD 的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论．（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．【答案】（1）图①中，BE=DF+EF ；图②中，BE=DF-EF ；图③中，BE=EF-DF ；（2）见解析【解析】解：（1）在正方形ABCD 中,AB=AD,∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=90°，∵BE ⊥PA ，DF ⊥PA ，∴∠AEB=∠DFA=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠DAF ，在△ABE 和△DAF 中，90ABE DAF AEB DFA AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DAF(AAS)，∴AE=DF ，AF=BE ，如图①，∵AF=AE+EF ，∴BE=DF+EF ，如图②，∵AE=AF+EF ，∴BE = DF -EF ，如图③，∵EF=AE+AF ，∴BE = EF -DF（2）证明：如图题①，∵ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∵BE ⊥PA ，DF ⊥PA ，∴∠AEB=∠AFD=90°，∠ABE+∠BAE=90°．∵∠DAF+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠DAF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF ，∴BE=AF ，AE=DF ，而AF=AE+EF ，∴BE=DF+EF ；【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．12．（2020·河北初三期末）如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 的延长线上，且满足90MAN ∠=︒，连接MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E ．（1）求证：AM AN =；（2）如果2CAD NAD ∠=∠，求证：2AN AE AC =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：证明（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠CAD ＝∠ACB ＝45°，∠BAD ＝∠CDA ＝∠B ＝90°，∴∠BAM ＋∠MAD ＝90°，∠ADN ＝90°∵∠MAN ＝90°，∴∠MAD ＋∠DAN ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ，且AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°∴△ABM≌△ADN（ASA）∴AM＝AN，（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°，∴∠MNA＝45°，∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，∴∠NAD＝22.5°∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，∴△AMC∽△AEN∴ANAC＝AEAM，且AN＝AM，∴AN2＝AE•AC【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定及性质是解题的关键．。

中考数学专题复习课件-专题4-特殊四边形相关的证明与计算

(2)在BC边上取点F,使BF=
,连接OF;
(3)在CD边上取点G,使CG=
,连接OG;
(4)在DA边上取点H,使DH=
,连接OH.
由于AE=
+
=
+
=
+
=
.
可证S =S =S =S =S . △AOE 四边形EOFB 四边形FOGC 四边形GOHD △HOA
答案 3;2;1;EB;BF;FC;CG;GD;DH;HA
解析 (1)证明:∵EG垂直平分DC,∴DE=CE,
∴∠EDC=∠ECD.
∵CD平分∠ECG,∴∠ECD=∠DCG.∴∠EDC=∠DCG.
∴DE∥GC. (1分)
同理DG∥EC.∴四边形DGCE是平行四边形.
∵DE=CE,∴四边形DGCE是菱形. (2分)
(2)∵四边形DGCE是菱形,∴DG=DE=6.
解析 (1)证明:∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
∴DE= 1
2
1
BC=FC,DF= 2
AC=EC.
(1分)
∵AC=BC,∴DE=FC=DF=EC. (2分)
∴四边形DFCE是菱形. (3分)
(2)过点E作EH⊥BC于点H,如图.
∵AC=BC,∴∠A=∠B.∵∠A=75°,∴∠C=180°-∠A-∠B=30°. (4分)
图1,图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点. (1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°; (2)在图2中以格点为顶点画出一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).

中考数学精英复习课件：专题四特殊平行四边形的证明与计算

②连接 AF′，DF. 在 Rt△DE′F 中，E′F＝1，DE′＝3， ∴DF＝ 10.在 Rt△AEF′中，EF′＝9，AE＝3， ∴AF′＝3 10.
3.(2017·宁波)在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G， H，使得AE平行四边形； (2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH ＝2，求AE的长．
解：(1)在矩形 ABCD 中，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，又∵BF＝DH， ∴AD＋DH＝BC＋BF 即 AH＝CF. 在 Rt△AEH 中，EH＝ AE2＋AH2.
在 Rt△CFG 中，FG＝ CG2＋CF2. ∵AE＝CG， ∴EH＝FG. 同理得，EF＝HG. ∴四边形 EFGH 为平行四边形．
2．(1)如图1，纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为______；
(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF ＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D. ①求证：四边形AFF′D是菱形； ②求四边形AFF′D的两条对角线的长．
毕节地区
专题四特殊平行四边形的证明与计算
数学
菱形的性质与判定
【例1】(2015·安顺)如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交 AB于点E，DF∥AB交AC于点F. (1)求证：AE＝DF； (2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．思路点拨：(1)证明四边形AEDF为平行四边形； (2)▱AEDF为菱形，证明∠DAF＝∠FDA即可．

2020北京市中考数学专题复习---特殊四边形的相关证明与计算

2020北京市中考数学专题复习特殊四边形的相关证明与计算一、简单专题集训特殊四边形的相关证明与计算(连续7年考查)类型一与平行四边形有关(8 年 2 考:2016.19, 2013.19)1.(2019大兴区一模)如图，矩形救刀，延长G?到点E使得庞=8,连接月匕呵.(1)求证：四边形/L5%是平行四边形：3⑵若tanZDBC=-. CD=d求期磁的而积.第1题图2.已知：如图，在期BCD中，ZADC. ZDAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点氏E, DF 与AE 相交于点G.(1)求证：AE丄DF；(2)若AD=\0. AB=6, AE=4,求DF 的长.D第2题图类型二与菱形有关(8 年 4 考:2019.20、2018.21. 2017.22、2014.19)4・如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE(1)求证：BD=EC；(2)若ZE=57°,求ZBAO的大小.第1题图2. (2019海淀区一模)如图，在四边形ABCD中，AB//CD, AB=BC=2CD,£为对角线AC的中点, 为边BC 的中点，连接D£, EF.⑴求证：四边形CDEF为菱形；⑵连接DF交EC于点G,若DF=2, CD=|,求AD的长.第2题图3.(2019门头沟一模)如图，/£AABD中，ZABD = ZADB.分别以点B, D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C,连接BC, DC和AC, AC与交于点O.(1)用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形;3(2)如果AB=5. cosZABD=j.求BD 的长.第3题图4.（2020原创）在平而内，给定不在同一直线的四点A、B、C、D,如图所示.若四点构成的四边形ABCD中，四条边均相等，对角线AC、BD相交于点O, E、F分别是AB. AD的中点，连接OE、°F、EF.⑴求证：ZAFE= ZOFE；⑵若AC=6,求ZkOEF的周长•.4C第4题图类型三与矩形有关（仅2015.22考查）1.(2019西城区二模)如图，在四边形ABCD中，AB=DC. AD=BC, AD丄CD点E在对角线CA的延长线上，连接BD, BE.(1)求证：AC=BD；7(2)若BC=2, BE=Vl3, tanZABE=y求EC 的长.5第I题图2.(2019昌平区二模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,过点A作AE丄BC于点& 延长BC至点F,使CF=BE.连接DF.(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若BF=8, DF=4,求CD 的长.类型一与平行四边形有关1.(1)证明：•・•四边形ABCD是矩形，:.AB=DC, AB//CD・•••延长CD 到点E, DE=CD,:.AB=DE. AB//DE ・・•.四边形ABDE是平行四边形：(2)解：•••四边形ABCD是矩形，••• Z BCD=90° ・CD 3*•* tan ZDBC= pc =彳9CD=6、:.BC=8.•••AD=BC, AD//BC,•••AD=8, ZADE=90°./• S 二ABDE=DE・AD=6 X 8=48 ・2.(1)证明：在“BCD中，AB//CD,••• ZADC+ZDAB= 180° ・•: DF、A£分别是A ADC. ZDAB的平分线，••• ZADF=ZCDF三ZADC.ZDAE= ZBAE=* ZDAB.:.ZADF+ ZDAE=^(ZADC+ ZDAB)=90Q.:.ZAGD=90°.:.AE±DF；(2)解：如解图，过点£＞作DH//AE.交BC的延长线于点则四边形AEHD是平行四边形，且FD丄DH.:.DH=AE=4. EH=AD=\O・在WCD 中，AD//BC,•••/ADF=ZCFD, ZDAE= ZBEA・:.ZCDF=ZCFD9 ZBAE=ZBEA・:・DC=FC、AB=EB・又•••AD=BC=10, AB=DC=6,:・CF=BE=6, BF=BC-CF=10—6=4.•••FE=BE-BF=6—4=2,:・FH=FE+EH=\2,在RtAFDH 中，DF=y)FH2-DH2 =^/122-42 =8^/2 ・:.DF的长是8迈.类型二与菱形有关1.(1)证明：•・•四边形ABCD是菱形，•••AB = CD, AB//CD.又•••BE=AB,:・BE=CD, BE//CD.・•.四边形BECD是平行四边形，•••BD=EC；(2)解：•.•四边形BECD是平行四边形，:.BD//CE,:.ZABO=ZE=51Q・又•・•菱形ABCD,VAC丄BD,:.ZAOB=90。

中考数学总复习专题提升九以特殊四边形为背景的计算与证明

以特殊四边形为背景的计算与证明一、以平行四边形为背景的计算与证明(第1题图)1．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，DF ∥BE . 求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCA ＝∠BAC .∵DF ∥BE ，∴∠DFA ＝∠BEC ，∴∠AEB ＝∠CFD .在△AEB 和△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD (ASA )，∴AB ＝CD .又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．(第2题图)2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC .求证：四边形ADCE 是平行四边形．证明：∵CE ∥AB ，∴∠ADE ＝∠CED .在△AOD 与△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠CED ，∠AOD ＝∠COE ，OA ＝OC ，∴△AOD ≌△COE (AAS )，∴OD ＝OE .又∵OA ＝OC ，∴四边形ADCE 是平行四边形．(第3题图)3．如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，▱ABCD的对角线交于坐标原点O.(1)请直接写出点C，D的坐标．(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程．(3)直接写出平行四边形ABCD的面积．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD关于点O中心对称，∵点A(－4，2)，B(－1，－2)，∴点C(4，－2)，D(1，2)．(2)线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°(或向右平移5个单位)．(3)由(1)得：点A到y轴距离为4，点D到y轴距离为1，点A到x轴距离为2，点B到x 轴距离为2，∴S▱ABCD的可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴S▱ABCD＝5×4＝20.4．如图，在▱ABCD中，若AB＝6，AD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．(第4题图)解：如解图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝10，AB∥DC.∵AB∥DC，∴∠1＝∠3，又∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC＝CF＝10，∴DF＝CF－DC＝BF－DC＝10－6＝4.二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明(第5题图)5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，n )，B (m ，n )(m ＞2)，D (p ，q )(q ＜n )，点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2.求证：四边形ABCD 是矩形．(第5题图解)解：如解图，过点E 作EF ⊥AB 于点F .∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABE 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE ＝DE ，∴△ABE ≌△CDE ，∴AE ＝CE .又∵BE ＝DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AB ＝CD ＝4.∵点A (2，n )，B (m ，n )(m >2)，∴AB ∥x 轴，∴CD ∥x 轴．∴m ＝6.∴n ＝12×6＋1＝4. ∴点A (2，4)，B (6，4)．∵△AEB 的面积是2，∴EF ＝1，∵▱ABCD 的面积为△ABE 的面积的4倍，∴S ▱ABCD ＝8，∴▱ABCD 的高为2.∵q <n ，∴q ＝2.∴DA ⊥AB ，∴四边形ABCD 是矩形．6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，BD 平分∠ABC .四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连结CE.求证：四边形BECD是矩形．(第6题图)证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD.∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE＝AD，∴BE綊CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴▱BECD是矩形．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.(1)求证：∠PNM＝2∠CBN.(2)求线段AP的长．(第7题图)(第7题图解)解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN＝∠MNB＋∠PNM，∴∠PNM＝2∠CBN.(2)如解图，连结AN.根据矩形的轴对称性，可知∠PAN＝∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN＝∠ANM.由(1)知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN.∵AB ＝CD ＝4，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，∴DN ＝2.设AP ＝x ，则PD ＝6－x ，在Rt △PDN 中，∵PD 2＋DN 2＝PN 2，∴(6－x )2＋22＝x 2，解得x ＝103. ∴AP ＝103. 8．如图，在矩形ABCD 中，点F 是CD 的中点，连结AF 并延长交BC 延长线于点E ，连结AC .(1)求证：△ADF ≌△ECF .(2)若AB ＝1，BC ＝2，求四边形ACED 的面积．(第8题图)解：(1)证明：∵F 是CD 中点，∴DF ＝CF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，即AD ∥CE .∴∠ADF ＝∠ECF ，在△ADF 和△ECF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADF ＝∠ECF ，DF ＝CF ∠AFD ＝∠EFC ，∴△ADF ≌△ECF (ASA )．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，AB ＝CD ＝1，CD ⊥AD .由(1)知，△ADF ≌△ECF .∴AD ＝CE .又∵AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴四边形ACED 的面积＝AD ·DC ＝2.9．如图①，在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ；∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AB 与CE 交于F ，ED 与AB ，BC 分别交于点M ，H .(第9题图)(1)求证：CF ＝CH .(2)如图②，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE ＝45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．解：(1)证明：∵AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝∠E ＝45°.在△BCF 和△ECH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EC ，∠BCE ＝∠ECH ，∴△BCF ≌△ECH (ASA )．∴CF ＝CH .(2)四边形ACDM 是菱形．证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠BCE ＝45°，∴∠1＝∠2＝45°.∵∠E ＝45°，∴∠1＝∠E ，∴AC ∥DE .∵∠ACD ＝90°＋45°＝135°，∴∠A ＋∠ACD ＝45°＋135°＝180°，∴AM ∥CD .∴四边形ACDM 是平行四边形．∵AC ＝CD ，∴四边形ACDM 是菱形．(第10题图)10．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且BE ∥AC ，CE ∥BD .(1)求证：四边形OBEC 是矩形．(2)若菱形ABCD 的周长是410，tan α＝12，求四边形OBEC 的面积．解：(1)证明：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴AC ⊥BD .∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠BOC ＝∠OCE ＝∠OBE ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．(2)∵菱形ABCD 的周长是410，∴AB ＝BC ＝AD ＝DC ＝10.∵tan α＝12， ∴设CO ＝x ，则BO ＝DO ＝2x ，∴x 2＋(2x )2＝(10)2，解得x ＝2(负值舍去)，∴四边形OBEC 的面积为2×22＝4.(第11题图)11．如图，已知△ABC ，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连结CE ，过点C 作CF ∥BA 交PQ 于点F ，连结AF .(1)求证：△AED ≌△CFD .(2)求证：四边形AECF 是菱形．(3)若AD ＝3，AE ＝5，则菱形AECF 的面积是多少？解：(1)∵PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS )．(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形．(3)∵四边形AECF 为菱形，∴AC ⊥EF .∵AD ＝3，AE ＝5，∴根据勾股定理，得ED ＝4，∴EF ＝8，AC ＝6，∴S 菱形AECF ＝8×6÷2＝24，∴菱形AECF 的面积是24.(第12题图)12．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过A 作BC 的平行线交CE 的延长线F ，且AF ＝BD ，连结BF .(1)求证：BD ＝CD .(2)如果AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．(3)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 为正方形(写出条件即可，不要求证明)? 解：(1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .在△AEF 与△DEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS )，∴AF ＝DC .∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD .(2)四边形AFBD 为矩形，证明如下：∵AF ＝BD ，AF ∥BD ，∴四边形AFBD 为平行四边形．∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠BDA ＝90°，∴四边形AFBD 为矩形．(3)AB ＝AC ，且∠BAC ＝90°.13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，连结DE ，DE 的延长线与边BC 相交于点F ，AG ∥BC ，交DE 于点G ，连结AF ，CG .(第13题图)(1)求证：AF ＝BF .(2)如果AB ＝AC ，求证：四边形AFCG 是正方形．证明：(1)∵AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，∴DE ⊥AC .即得DE 是线段AC 的垂直平分线．∴AF ＝CF .∴∠FAC ＝∠ACB .在Rt △ABC 中，由∠BAC ＝90°，得∠B ＋∠ACB ＝90°，∠FAC ＋∠BAF ＝90°.∴∠B ＝∠BAF .∴AF ＝BF .(2)∵AG ∥CF ，∴∠AGE ＝∠CFE .又∵点E 是边AC 的中点，∴AE ＝CE .在△AEG 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AGE ＝∠CFE ，∠AEG ＝∠CEF ，AE ＝CE ，∴△AEG ≌△CEF (AAS )．∴AG ＝CF .又∵AG ∥CF ，∴四边形AFCG 是平行四边形．∵AF ＝CF ，∴四边形AFCG 是菱形．在Rt △ABC 中，由AF ＝CF ，AF ＝BF ，得BF ＝CF .即得点F 是边BC 的中点．又∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，即得∠AFC ＝90°.∴四边形AFCG 是正方形．14．如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA ＝PE ，PE 交CD 于F .(1)证明：PC ＝PE .(2)求∠CPE 的度数．(3)如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连结CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．(第14题图)解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°.在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE .(2)由(1)知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PC ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPE ＝∠EDF ＝90°.(3)AP ＝CE .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，∠ADC ＝∠ABC ＝120°，∠BAD ＝∠BCD .在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC ，∠BAP ＝∠BCP .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPF ＝∠EDF ＝180°－∠ADC ＝180°－120°＝60°，∴△EPC 是等边三角形，∴PC ＝CE ，∴AP ＝CE .15．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，在△AOB 内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标．解：分两种情况；①如解图①，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝0，则x ＝3，∴OA ＝OB ＝3，∴∠BAO ＝45°.∵DE ⊥OA ，∴DE ＝AE .11 ∵四边形COED 是正方形，∴OE ＝DE ，∴OE ＝AE ，∴OE ＝12OA ＝32，∴点E (32，0)．(第15题图解)②如解图②，由①知△OFC ，△EFA 是等腰直角三角形， ∴CF ＝2OF ，AF ＝2EF .∵四边形CDEF 是正方形，∴EF ＝CF ，∴AF ＝2×2OF ＝2OF ，∴OA ＝OF ＋2OF ＝3，∴OF ＝1，∴点F (1，0)．∴正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标为(32，0)或(1，0)．。

【精选】2020年中考数学典例精做专题14 四边形的计算与证明(1) (教师版)

※知识精要一、平行四边形1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形性质定理⑴边：平行四边形的对边相等；两组对边分别平行。

⑵角：平行四边形的对角相等；邻角互补。

⑶对角线：平行四边形的对角线互相平分。

⑷平行四边形性质定理的推论：夹在平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形判定定理：⑴边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

⑵角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

⑶对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

⑷一组对边平行，一对角相等的四边形是平行四边形。

4、平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。

二、矩形:是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。

因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。

1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形）2、矩形性质定理：⑴角：矩形的四个角都相等，都是直角。

⑵对角线：矩形的对角线相等。

4、矩形判定定理：⑴角：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是矩形。

⑵对角线：对角线相等的平行四边形是矩形。

说明：要判定四边形是矩形的方法是：法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）法三：只需证出三个角都是直角。

（这是判定定理2）三、菱形:也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。

1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：⑴边：菱形的四条边相等。

⑵对角线：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3、菱形判定定理⑴边：四边都相等的四边形是菱形。

⑵：对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

2020年数学中考专题复习滚动小专题(七) 与四边形有关的计算与证明

滚动小专题(七)与四边形有关的计算与证明前言：“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节从小学到初中，学生们经历了无数次考试。

通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。

但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。

结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。

这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。

做好试卷分析和总结是十分有必要的。

那么，怎样做好试卷分析呢？我认为，应从下面两点做起：一．失分的原因主要有如下四方面：（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；（4）解题基本功：答题规范性差。

只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。

二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？（1）怎样做出来的？——想解题方法；（2）为什么这样做？——思考解题原理；（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。

转变，让我们从一轮复习开始。

按照上面两点认真完成后面练习题。

希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。

1．(2019·沈阳)如图，在四边形ABCD 中，点E 和点F 是对角线AC 上的两点，AE ＝CF ，DF ＝BE ，且DF ∥BE ，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G .(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)若tan ∠CAB ＝25，∠CBG ＝45°，BC ＝42，则▱ABCD 的面积是24．证明：∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE.∵DF ∥BE ，∴∠DFA ＝∠BEC.∵DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE(SAS)．∴AD ＝CB ，∠DAF ＝∠BCE.∴AD ∥CB.∴四边形ABCD 是平行四边形．2．(2019·哈尔滨)已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F.(1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD.∴∠ABE ＝∠CDF.∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF.(2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .3．(2019·湖州)如图，已知在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，连接DF ，EF ，BF.(1)求证：四边形BEFD 是平行四边形；(2)若∠AFB ＝90°，AB ＝6，求四边形BEFD 的周长．解：(1)证明：∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，∴DF ∥BC ，EF ∥AB.∴四边形BEFD 是平行四边形．(2)∵∠AFB ＝90°，D 是AB 的中点，AB ＝6，∴DF ＝DB ＝DA ＝12AB ＝3. ∵四边形BEFD 是平行四边形，∴四边形BEFD 是菱形．∴四边形BEFD 的周长为12.4．(2019·宁波)如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F ，H 在菱形ABCD 的对角线BD 上．(1)求证：BG ＝DE ；(2)若E 为AD 中点，FH ＝2，求菱形ABCD 的周长．解：(1)证明：在矩形EFGH 中，EH ＝FG ，EH ∥FG.∴∠GFH ＝∠EHF.∵∠BFG ＝180°－∠GFH ，∠DHE ＝180°－∠EHF ，∴∠BFG ＝∠DHE.在菱形ABCD 中，AD ∥BC.∴∠GBF ＝∠EDH.∴△BGF ≌△DEH(AAS)．∴BG ＝DE.(2)连接EG.∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD =BC.∵E 为AD 中点，∴AE ＝ED.∵BG ＝DE ，∴AE=BG.∴四边形ABGE 为平行四边形．∴AB ＝EG.在矩形EFGH 中，EG ＝FH ＝2.∴AB ＝2.∴菱形ABCD 的周长为8.5．(2019·天门)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边CB ，DC 延长线上的点，且BE ＝CF ，过点E 作EG ∥BF ，交正方形外角的平分线CG 于点G ，连接GF.求证：(1)AE ⊥BF ；(2)四边形BEGF 是平行四边形．证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.∴∠ABE ＝∠BCF ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF(SAS)．∴AE ＝BF ，∠BAE ＝∠CBF.∵EG ∥BF ，∴∠CBF ＝∠CEG .∵∠BAE ＋∠BEA ＝90°，∴∠CEG ＋∠BEA ＝∠AEG ＝90°.∴AE ⊥EG.∴AE ⊥BF.(2)延长AB 至点P ，使BP ＝BE ，连接EP ，则AP ＝CE ，∠EBP ＝90°.∴∠P ＝45°.∵CG 为正方形ABCD 外角的平分线，∴∠ECG ＝45°.∴∠P ＝∠ECG.由(1)得∠BAE ＝∠CEG.在△APE 和△ECG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠P ＝∠ECG ，AP ＝EC ，∠PAE ＝∠CEG ，∴△APE ≌△ECG(ASA)．∴AE ＝EG.∵AE ＝BF ，∴EG ＝BF.∵EG ∥BF ，∴四边形BEGF 是平行四边形．6．(2019·海南)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点(与点A ，D 不重合)，射线PE 与BC 的延长线交于点Q.(1)求证：△PDE ≌△QCE ；(2)过点E 作EF ∥BC 交PB 于点F ，连接AF ，当PB ＝PQ 时．①求证：四边形AFEP 是平行四边形；②请判断四边形AFEP 是否为菱形？并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D ＝∠ECQ ＝90°.∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE.又∵∠DEP ＝∠CEQ ，∴△PDE ≌△QCE(ASA)．(2)①证明：∵PB ＝PQ ，∴∠PBQ ＝∠Q.∵AD ∥BC ，∴∠APB ＝∠PBQ ＝∠Q ＝∠EPD.∵△PDE ≌△QCE ，∴PE ＝QE.∵EF ∥BQ ，∴PE EQ ＝PF BF.∴PF ＝BF. ∴在Rt △PAB 中，AF ＝PF ＝BF.∴∠APF ＝∠PAF.∴∠PAF ＝∠EPD.∴PE ∥AF.∵EF ∥BQ ∥AD ，∴四边形AFEP 是平行四边形．②四边形AFEP 不是菱形．理由：设AP ＝x ，则PD ＝1－x.由(1)中△PDE ≌△QCE 得，PD ＝CQ ＝1－x.∴BQ ＝BC ＋CQ ＝2－x.∵PF ＝BF ，PE ＝QE ，∴EF ＝12BQ ＝1－x 2.∵AP ＝EF ，∴x ＝1－x 2，解得x ＝23. ∴PD ＝13. 在Rt △PDE 中，由勾股定理，得PE ＝PD 2＋DE 2＝136. ∵AP ≠PE ，∴四边形AFEP 不是菱形．。

2020年中考备考数学专题复习--新疆第2部分题型2 四边形的相关证明与计算

证明：∵△ABF≌△DAE， ∴AE＝BF，DE＝AF， ∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF， ∴DE＝BF＋EF.
正方形
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，D，E， F 分别是 AC，AB，BC 边上的中点．求证：四边形 CDEF 是正方形．
第 1 题图
证明：∵D，E，F 分别是 AC，AB，BC 边上的中点， ∴EF＝CD＝21AC，DE＝CF＝12BC， ∵AC＝BC， ∴CD＝DE＝EF＝CF， ∵∠C＝90°， ∴四边形 CDEF 是正方形．
第 1 题图
(1)求证：四边形 AECD 是菱形；
证明：∵点 O 是 AC 的中点， ∴OA＝OC， ∵CE∥AB， ∴∠DAO＝∠ECO，在△AOD 和△COE 中，
∠DAO＝∠ECO， OA＝OC， ∠AOD＝∠COE. ∴△AOD≌△COE(ASA)， ∴AD＝CE， ∵CE∥AB， ∴四边形 AECD 是平行四边形，又∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， ∴CD＝AD， ∴四边形 AECD 是菱形．
3．如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F，且 BE＝DF.
第 3 题图
(1)求证：▱ABCD 是菱形；
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵BE＝DF， ∴△AEB≌△AFD(ASA)，
第3题答图
(2)若 AE＝2，求 FC 的长．解：设 EF＝MF＝x， ∵CM＝AE＝2，且 BC＝6，∴BM＝BC＋CM＝6＋2＝8， ∴BF＝BM－MF＝BM－EF＝8－x， ∵EB＝AB－AE＝6－2＝4. 在 Rt△EBF 中，由勾股定理得，EB2＋BF2＝EF2，即 42＋(8－x)2＝x2， ∴解得 x＝5，即 FM＝5. ∴FC＝FM－CM＝5－2＝3.

2020年春人教版中考知识点梳理第20讲特殊平行四边形

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第 20 讲特殊的平行四边形
一、知识清单梳理
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定
矩形
菱形
1.性质
（具有平
行四边形的一切性质，对边平行且相
等）
2.判定
（1）四个角都是直角（2）对角线相等且互
相平分.即 AO=CO=BO=DO. （3）面积=长×宽 =2S△ABD=4S△AOB. （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形（2）有三个角是直角（3）对角线相等的平行四边形
ABCD 为矩形，则 PE+PF 的求法利用面积法，需连接 PO.）
边形中的解题模型
图①
图②
图③
图④
王老师网络编辑整理
=2S△ABD =4S△AOB （1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形（2）一组邻边相等的矩形（3）一个角是直角的菱形（4）对角线相等且互相垂直、平分
关键点拨及对应举例
(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌ Rt△CDB≌Rt△BAC; _两对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题. （2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌ Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ ABC=60°，则△ABC 和△ADC 为等边三角形，且四个直角三角形中都有一个 30°的锐角. （3）正方形中有 8 个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为 45°，斜边=直角边.
（1）四边相等（2）对角线互相垂直、平
分，一条对角线平分一组对角（3）面积=底×高
=对角线_乘积的一半（1）定义法：有一组邻边
相等的平行四边形（2）对角线互相垂直的平

2023年安徽中考数学总复习专题：特殊四边形的判定与计算(PDF版,有答案)

2023年安徽中考数学总复习专题：特殊四边形的判定与计算1．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形．（1）四边形ABCD是什么特殊平行四边形？请说明理由；（2）当AB＝4时，求▱ABCD的面积．2．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．3．如图，四边形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，点E是AB的中点，连结DE并延长交CB 的延长线于点F，连结AF和BD．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形．（2）若AB⊥DF，且AD＝3，BE＝1，求CD的长度．4．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD，点E在BC上，AE∥DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形．（2）若AE平分∠BAC，∠CAD＝90°，EF⊥AB，垂足为F，BE＝3，AD＝2，则cos B 的值为．5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．6．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AC＝2DE＝4，求四边形ABCE的面积．7．如图，在▱ABCD中，E、M分别为AD、AB的中点，DB⊥AD，延长ME交CD的延长线于点N，连接AN．（1）证明：四边形AMDN是菱形；（2）若∠DAB＝45°，判断四边形AMDN的形状，并说明理由．8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．（1）求证：四边形OBEC是矩形．（2）若AB＝8，∠BCD＝120°，求四边形OBEC的面积．9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC 于点F，且AE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠AOE的度数．10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12 AC，连接CE、OE，OE交DC于点F．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若AD＝6，求OF的长．11．在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝2AD，F是BC的中点．（1）如图1，求证：四边形AFCD是矩形．（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，EF．求证：DE＝DC．12．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，DE⊥AB，DE＝AB，AE＝BE＝3，BF＝2，△ADF的面积等于15．（1）求DF的长度．（2）求证：∠ADE+∠BAF＝∠DAF．13．已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE、BF相交于点P，并且AE＝BF．（1）如图1，判断AE和BF的位置关系？并说明理由；（2）若AB＝8，BE＝6，求BP的长度；（3）如图2，FM⊥DN，DN⊥AE，点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），四边形FMNP是否能否成为正方形？请说明理由．14．如图所示，在正方形ABCD中，DF＝AP＝BQ＝CE．（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．15．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．（1）如果，那么四边形ABCD为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明．16．如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝42，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．（1）求证：四边形DEFG是正方形；（2）求AE2+CE2的最小值．17．如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN （1）求证：四边形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．18．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．（1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF；（2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形．19．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，请直接写出正方形DEFG的面积．20．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，以AD，CD为边作平行四边形ADCF，连接BF，BF分别与AD，AC相交于点E，G．（1）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并说明理由．（2）在（1）条件下，若AB＝62，求EF的长．21．问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF 于点G．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．参考答案1．解：（1）四边形ABCD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC=12AC，BO＝OD=12BD，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO．∴AC＝BD．∴平行四边形ABCD是矩形；（2）在Rt△ABC中，∵AB＝AO＝4，∴AC＝2AO＝8，∴BC=3AB＝43，∴S平行四边形ABCD＝AB×BC＝4×43=163．2．证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD，AD∥BC，∴∠EAM＝∠FCN，∵AD∥BC，∴∠E＝∠F．在△AEM与△CFN中，∠EAM=∠FCNAE=CF∠E=∠F，∴△AEM≌△CFN（ASA）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵△AEM≌△CFN，∴AM＝CN，∴BM＝DN，BM∥DN，∴四边形BMDN是平行四边形．3．（1）证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE，∵∠C＝∠ADC＝90°，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠EBF，∠ADE＝∠EFB，在△ADE和△BFE中，∠DAE=∠EBF∠ADE=∠EFBAE=BE，∴△ADE≌△BFE（AAS），∴DE＝FE，∵AE＝BE，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）解：∵四边形AFBD是平行四边形，AB⊥DF，∴四边形AFBD是菱形，∴BD＝BF＝AD＝3，AB＝2BE＝2，∴DE=32―12=22，∴DF＝2DE＝42，∵S菱形AFBD＝BF•CD=12 AB•DF，∴3CD=12×2×42，∴CD=42 3．4．（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD，∴AD∥CE，∵AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：∵四边形AECD是平行四边形，∴EC＝AD＝2，∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴EC⊥AC，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∴EF＝EC＝2，在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF=BE2―EF2=32―22=5，∴cos B=BFBE=53，故答案为：5 3．5．（1）证明：∵BE∥AC，BE＝DC，∴四边形BDCE为平行四边形，∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，∴BD=CD=12 AC，∴四边形BDCE为菱形；（2）解：连接DE交BC于O点，如图，∵四边形BDCE为菱形，BC＝4，∴OC=12BC=2，∠COD=90°，DE=2DO，∴∠ACB＝60°，∴∠EDC＝90°﹣∠ACB＝30°，∴DC＝2OC＝4，DO=3OC＝23，∴DE=2DO=43．6．（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴CE＝BD，∵CD是边AB上的中线，∴BD＝AD，∴CE＝AD，又∵CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=12AB＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵CD是边AB上的中线，∴S△ACD＝S△BCD，∵AC＝2DE＝4，∴DE＝2，∵四边形ADCE是菱形，∴S菱形ADCE＝2S△ACD=12AC•DE=12×4×2＝4，∴S△BCD＝S△ACD＝2，∴S四边形ABCE＝S菱形ADCE+S△BCD＝4+2＝6．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DAM＝∠NDA，∵E为AD中点，∴DE＝AE，在△NED和△MEA中，∠NDE=∠EAMDE=AE∠NED=∠MEA，∴△NED≌△MEA（ASA），∴AM＝ND，∵CD∥AB，∴四边形AMDN是平行四边形，∵BD⊥AD，M为AB的中点，∵AM＝DM＝MB，∴四边形AMDN是菱形；（2）解：四边形AMDN是正方形，理由如下：∵四边形AMDN是菱形，∴AM＝DM，∴∠DAB＝∠ADM＝45°，∴∠AMD＝90°，∴菱形AMDN是正方形．8．（1）证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴平行四边形OBEC是矩形．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴OA＝OC，AB＝BC，∠ACB=12∠BCD＝60°，AC⊥BD，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝8，∴OA＝OC＝4，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=AB2―OA2=82―42=43，∴S矩形OBEC＝OB•OC＝43×4＝163．9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AEO＝∠DFO＝90°，在△AEO和△DFO中，∠AEO=∠DFO∠AOE=∠DOFAE=DF，∴△AEO≌△DFO（AAS），∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠BAE：∠EAD＝2：3，∴∠BAE＝36°，∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．∵AE⊥BD于点E，∴∠AEO＝90°，∴∠AOE＝90°﹣∠EAO＝90°﹣18°＝72°．10．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC=12AC，AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∵DE=12 AC，∴OC＝DE，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）可知，OA＝DE，∵DE∥AC，∴四边形OADE是平行四边形，∴OE＝AD＝6，∵四边形OCED是矩形，∴OF=12OE＝3．11．证明：（1）∵F是BC的中点，∴BF＝CF=12 BC，∵BC＝2AD，∴AD=12 BC，∴AD＝CF，∵AD∥BC，∴四边形AFCD是平行四边形，又∵CD⊥BC，∴∠DCF＝90°，∴▱AFCD是矩形；（2）如图2，连接DF交CE于G，∵BC＝2AD，F是BC的中点，∴AD＝BF，∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∵CE⊥AB，∴CE⊥DF，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵F是BC的中点，∴EF=12BC＝CF，∴GE＝GF，∴DF是线段CE的垂直平分线，∴DE＝DC．12．（1）解：∵DE⊥AB，∠B＝∠C＝90°，∴∠DEB＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BC＝ED，BE＝CD，∵DE⊥AB，AE＝BE＝3，BF＝2，∴DE＝AB＝BC＝6，CD＝3，∴CF＝BC﹣BF＝4，∴DF=DC2+CF2=5；（2）证明：如图，过点F作FG⊥AD，∵AE＝3，DE＝AB＝6，BF＝2．∴AD=AE2+DE2=35，AF=AB2+BF2=210，∵S△ADF=12×AD•FG＝15，∴FG＝25，∴AG=AF2―FG2=25=FG，∴∠GAF＝∠GFA＝45°，∵∠ADE+∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠ADE+∠BAF＝45°，∴∠ADE+∠BAF＝∠DAF．13．解：（1）AE⊥BF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△ABE和Rt△BCF中，AE=BFAB=BC，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴AE⊥BF；（2）在Rt△ABE中，AB＝8，BE＝6，根据勾股定理得：AE=AB2+BE2=10，∵S△ABE=12×AB•BE=12×AE•BP，∴8×6＝10BP，∴BP＝4.8，∴BP的长度为4.8；（3）四边形FMNP不能成为正方形，理由如下：由（1）知：AE⊥BF，∴∠APF＝90°，∵FM⊥DN，DN⊥AE，∴∠FMN＝∠MNP＝90°，∴四边形FMNP是矩形，∵∠BAP+∠NAD＝∠NAD+∠ADN＝90°，∴∠BAP＝∠ADN，在△BAP和△ADN中，∠BAP=∠ADNAB=DA∠APB=∠DNA=90°，∴△BAP≌△ADN（ASA），∴AN＝BP，AP＝DN，∵AE＝BF，∴AE﹣AN＝BF﹣BP，∴EN＝PF，∵点F在线段CD上运动时（点F不与C、D重合），∴P、E不重合，∴PN≠PF，∴四边形FMNP不能成为正方形．14．解：（1）四边形PQEF为正方形，证明：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，∴BP＝QC＝ED＝FA．又∵∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF（SAS）．∴FP＝PQ＝QE＝EF，∠APF＝∠PQB．∴四边形PQEF是菱形，∵∠FPQ＝90°，∴四边形PQEF为正方形；（2）对角线PE总过AC的中点，理由如下：连接AC交PE于O，∵AP平行且等于EC，∴四边形APCE为平行四边形．∵O为对角线AC的中点，∴对角线PE总过AC的中点．15．解：（1）如果AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一）那么四边形ABCD为正方形；故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，①添加条件AB＝AD，∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．②∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．16．（1）证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FMEEN=EM，∠DEN=∠FEM∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）解：如图，连接EG，∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DCG＝∠DAE＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ECG＝45°+45°＝90°，∴AE2+CE2＝EC2+CG2＝EG2，∴AE2+CE2的最小值就是EG2的最小值，∵四边形ABCD是正方形，且AB＝42，∴BC＝AB＝42，∠B＝90°，∴AC＝8，设CE＝x，则AE＝CG＝8﹣x，∴EG2＝EC2+CG2＝x2+（8﹣x）2＝2x2﹣16x+64＝2（x﹣4）2+32，∴当x＝4时，EG2有最小值是32，即AE2+CE2的最小值是32．17．（1）证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四边形EFMN是菱形，∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四边形EFMN是正方形；（2）解：∵AB＝7，AE＝3，∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4，∴EN=AE2+AN2=5，∴正方形EFMN的周长＝4×5＝20．18．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，∴∠ABF+∠CBF＝90°，又∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，∠ABC=∠CAB=BC，∠BAE=∠CBF∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∴∠ABF+∠CBF＝90°，∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，∠ABC=∠C∠BAE=∠CBF，AE=BF∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AB＝BC，又∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．19．（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形；（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC=2AD＝42；（3）解：连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF=22+42=25，∴正方形DEFG的面积为2×12×25×5=10．20．解：（1）当△ABC满足AC＝AB时，四边形ADCF为正方形，理由如下：∵∠CAB＝90°，AC＝AB，AD是BC边上的中线，∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∵四边形ADCF是平行四边形，且AD＝CD，∴平行四边形ADCF是菱形，∵AD⊥BC，∴四边形ADCF为正方形；（2）由（1）得，∠ADB＝90°，∵AD＝BD，AB＝62，∴AD＝BD＝AF＝6，∵四边形ADCF为正方形，∴∠FAD＝90°，AF∥CD，在△FAE和△BDE中，∠AEF=∠DEB∠FAE=∠BDE=90°AF=BD，∴△FAE≌△BDE（AAS），∴AE＝DE=12AD=12×6=3，EF＝BE，∴EF＝BE=AF2+AE2=35．21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AD＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：△AHF是等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABH＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AE＝BF，∵DE＝AF，∴BH＝AE，∴BH＝BF，∵∠ABH＝90°，∴AH＝AF，∴△AHF是等腰三角形．。

2020年中考数学专题特殊平行四边形的证明与计算复习练习(无答案)

特殊平行四边形的证明与计算根据题目条件，运用特殊平行四边形的性质和判定，利用全等、折叠、勾股定理、特殊的三角形的性质等知识解决特殊平行四边形的证明和计算．1．在▱ABCD中，过点D作DE▱AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF、BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是▱DAB的平分线．2.(衢州中考)如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．3．(江西中考)(1)如图(1)，纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15.过点A作AE▱BC，垂足为E，沿AE剪下▱ABE，将它平移至▱DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D 的形状为( )A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图(2)，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下▱AEF，将它平移至▱DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．▱求证：四边形AFF′D是菱形；▱求四边形AFF′D的两条对角线的长．4.(北京中考)如图，在四边形ABCD中，AB▱DC，AB＝AD，对角线AC、BD相交于点O，AC平分▱BAD，过点C作CE▱AB交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝5，BD＝2，求OE的长．5．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为点G. (1)求证：AE▱BF；(2)将▱BCF沿BF对折，得到▱BPF(如图2)，延长FP交BA的延长线于点Q，求BP▱PQ的值．6．(宁夏中考)如图所示，正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且▱EDF ＝45°.将▱DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到▱DCM.(1)求证：EF ＝FM ； (2)当AE ＝1时，求EF 的长．7．如图，线段AB ＝8，射线BG▱AB ，P 为射线BG 上一点，以AP 为边作正方形APCD ，且点C 、D 与点B 在AP 两侧，在线段DP 上取一点E ，使▱EAP ＝▱BAP.直线CE 与线段AB 相交于点F(点F 与点A 、B 不重合)．(1)求证：▱AEP▱▱CEP ；(2)判断CF 与AB 的位置关系，并说明理由；(3)求▱AEF 的周长．以菱形为背景的证明与计算1.如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ；再分别以点B ，F 为圆心，大于12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ，则所得四边形ABEF 是菱形．根据以上尺规作图的过程，求证四边形ABEF 是菱形．2.如图3，在▱ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE，BD，且AE＝AB.(1)求证：∠ABE＝∠EAD；(2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．3.如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD.CE∥AB，连接DE交AC于F.(1)证明：四边形ADCE是菱形；(2)试判断BC与线段EF的关系，并说明理由．4.已知：如图5，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F，G是边AC的三等分点，DF，EG的延长线相交于点H.(1)求证：四边形FBGH是平行四边形；(2)如果AC平分∠BAH，求证：四边形ABCH是菱形．5.D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB，AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.(1)如图6，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，分别与BC，CD 交于点E，F，EH⊥AB于点H，连接FH.求证：四边形CFHE是菱形．7.如图8，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB 边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD的延长线于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：①当AM的值为________时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为________时，四边形AMDN是菱形．8.[2018·安顺]如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E 是AD的中点，过点A作BC 的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．9.如图，将等腰三角形ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度角到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.(1)求证：△BCF≌△BA1D；(2)当∠C＝α时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．以正方形为背景的证明与计算1.四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF(提示：取AB的中点G，连接EG)．2.数学课上，李老师出示了问题：如图2①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的点，过点E作EF⊥AE，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.(1)求证：∠BAE＝∠FEG；(2)同学们很快做出了解答，之后李老师将题目修改成：如图②，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线于点F，求证：AE＝EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF.请借助图②完成小明的证明；在(2)的基础上，同学们作了进一步的研究：(3)小聪提出：如图③，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B，C外)的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小聪的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．3.已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.如图3，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG.4.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且▱GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？请说明理由．5.正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE ＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由．6.如图7▱，在正方形ABCD的内部，作▱DAE＝▱ABF＝▱BCG＝▱CDH，根据三角形全等的条件，易得▱DAE▱▱ABF▱▱BCG▱▱CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究如图▱，在正三角形ABC的内部，作▱BAD＝▱CBE＝▱ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．(1)▱ABD，▱BCE，▱CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)▱DEF是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，▱ABD的三边存在一定的等量关系．如图▱，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．7.[2019·宁波期末]已知，正方形ABCD中，▱MAN＝45°，▱MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N，AH▱MN于点H.(1)如图▱，当▱MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：___________；(2)如图▱，当▱MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；(3)如图▱，已知▱MAN＝45°，AH▱MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．(可利用(2)得到的结论)。

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