证明三点共线问题的若干种思路

证明三点共线问题的若干种思路

王凤波

(高密三中,山东　261519)

本文通过一道题目介绍证明三点共线问题的12种思路,掌握这些思路可加深我们对一些概念、公式、定理的理解.

题目　证明:三点A (1,3),B (5,7),C (10,12)在同一条直线上.

思路1　利用平面内两点间的距离公式.

证法1:∵|AB |=

(5-1)2+(7-3)2=42,

|B C |=

(10-5)2+(12-7)2=52,|A C |=

(10-1)2+(12-3)2=92,∵|AB |+|B C |=

|A C |,∴A ,B ,C 三点在同一条直线上.思路2　利用定比分点坐标公式.

证法2:设B ′

(5,y )是有向线段A C 的定比分点,点B 分A C 所成的比为λ,则

5=1+10λ1+λ

,

y =3+12λ

1+λ

,

解得

λ=45,y =7.∴B ′

(5,7)与B (5,7)重合,∴A ,B ,C 三点在同一条直线上.

思路3　利用向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa .

证法3:∵AB =(5-1,7-3)=(4,4),B C =

(10-5,12-7)=(5,5),∴AB =4

5

B C ,∴AB ∥

B C ,又∵直线AB 与直线B C 有公共点B ,∴A ,B ,C 三点在同一条直线上.

思路4　若a (x 1,y 1),b (x 2,y 2),利用a ∥b Ζx 1y 2-x 2y 1=0.

证法4:AB =(4,4),B C =(5,5),4×5-4×5=0,∴AB ∥B C ,又∵直线AB 与直线B C 有公共点B ,∴A ,B ,C 三点在同一条直线上.

思路5　利用a ,b 同向时,a ·b =|a |·|b |,a ,b 异向时,a ·b =-|a |·|b |.

证法5:AB =(4,4),B C =(5,5),|AB |=

16+16=42,|B C |=25+25=52,|AB _

|·

|B C _

|=42·52=40.

又AB ·B C =4×5+4×5=40,

∴AB 与B C 同向.

又∵直线AB 与直线B C 有公共点B ,∴A ,B ,C 三点在同一条直线上.思路6　利用平面几何知识.

证法6:过A ,B ,C 三点分别向x 轴作垂线,垂

足分别为D ,E ,F ,由三点的坐标知|A D |=3,|B E |=7,|CF |=12,|D E |=4,|EF |=5,|D F |=9.图1　证法6用图　梯形A D EB 的面积

S 1=1

2

(3+7)×4=20,　梯形B EFC 的面积

S 2=12(7+12)×5=952,　梯形A D FC 的面积

S 3=12(3+12)×9=1352

.∵S 1+S 2=S 3,∴A ,B ,C 三点在同一条直线上.

思路7　利用直线的斜率公式.

证法7:直线AB 的斜率k AB =7-3

5-1

=1,直线

B C 的斜率k B C =12-7

10-5

=1,直线AB 和直线BC 都过

点B ,又k AB =k BC ,∴A ,B ,C 三点在同一条直线上.

思路8　利用直线的方程.

证法8:直线AB 的方程为y -37-3=x -1

5-1

,即x -y +2=0.直线B C 的方程为y -712-7=x -5

10-5

,即x -y

+2=0,故直线AB 和直线B C 重合,所以A ,B ,C 三点在同一条直线上.

思路9　利用点在直线上.

证法9:直线AB 的方程为x -y +2=0,把点C 的坐标代入,即10-12+2=0,显然成立,故点C 在直线AB 上,所以A ,B ,C 三点在同一条直线上.

思路10　利用点到直线的距离公式.

证法10:直线AB 的方程为x -y +2=0,点C

到直线AB 的距离d =|10-12+2|

2

=0,故点C 在

直线AB 上,所以A ,B ,C 三点在同一条直线上.

思路11　利用平行线系方程.

证法11:直线AB 的方程为x -y +2=0,设与直线AB 平行的直线系方程为x -y +c =0,把点C 的坐标代入得c =2.过点C 且与直线AB 平行的直线方程x -y +2=0与直线AB 的方程相同,所以A ,B ,C 三点在同一条直线上.

思路12　利用垂直线系方程.

证法12:直线AB 的方程为x -y +2=0,设与直线AB 垂直的直线系方程为x +y +c =0,把点C 的坐标代入得c =-22,过点C 且与直线AB 垂直的

5

12001年第18期 数学通讯

推导定比分点公式的启示

雷淇未

(东安一中,湖南　425900)

定比分点公式是解析几何中的一个重要公式,

有着广泛的应用.推导公式的关键是将有向线段

P1P2投影到坐标轴上(如图1),化点P分有向线段

P1P 2所成的比λ为点M分坐标轴上有向线段M1M2

所成的比.即应用了公式:

λ=P1P

PP2

=

M1M

M M2

=

x-x1

x2-x

(Ⅰ)

λ=P1P

PP2

=

M1M

M M2

=

y-y1

y2-y

(Ⅱ) (1) (2)

图1　推导公式(Ⅰ),(Ⅱ)所用图

然而,定比分点公式一经推出,公式(Ⅰ),(Ⅱ)往往不再被重视.事实上,公式(Ⅰ),(Ⅱ)启示着我们:求解与线段之比有关的问题时,可以将其转化为在同一坐标轴上的射影之比,进而转化为坐标之比来解决.运用它们常能简化运算,缩短解题过程.现举例说明.

例1　已知两点A(-2,3),B(4,0),线段AB

上的点P满足A P

PB =PB

AB

,求P点的坐标.

分析:设P(x,y),于是由A P

PB =PB AB

得

x+2 4-x =

4-x

4-(-2)

,

y-3

-y

=

0-y

0-3

.

解得x=7±35,y=1

2

(-3±35).

图2　例1图 图3　例2图∵-2

∴x=7-35,y=1

2(35-3).

故所求P点坐标为(7-35,1

2

(35-3)).

例2　△AB C的顶点坐标分别为A(-3,0),B

(9,5),C(3,9).直线l:y=a将△AB C的面积平分,

求直线l的方程.

解　如图所示,易知直线l与AB相交,设其交

点为E,又设l交A C于F点.

∵

S△A EF

S△ABC

=

|A E|·|A F|

|AB|·|A C|

=

1

2

,

∴A E

AB

·A F

A C

=

1

2,

即a

5

·a

9

=

1

2.

又a>0,∴a=310

2

.

故直线l的方程为y=310

2

.

例3　过原点O作直线l分别与直线x-y+1

=0和x+y-2=0交于A,B两点.若点P在直线l

上,且2

O P

=

1

OA

+

1

OB

,求动点P的轨迹方程.

解　设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),l的方

程为y=kx.

∵点O,P,A,B均在直线l上,

∴O P

OA

=x

x1

,

O P

OB

=x

x2

.

∵2

O P

=

1

OA

+

1

OB

,∴

O P

OA

+

O P

OB

=2,

∴x

x1

+x

x2

=2(1)

图4　例3图

将y=kx代入x-y+1

=0得x1=

1

k-1

.

将y=kx代入x+y-2

=0得x2=

2

k+1

.

将x1,x2代入(1)式,得

3kx-x=4(2)

将y=kx代入(2)式,

有x-3y+4=0.

∵k≠±1,∴x≠-1且x≠2.

故点P的轨迹方程为:

x-3y+4=0(x≠-1,x≠2).

(收稿日期:2001-05-18)

直线方程为x+y-22=0.由x-y+2=0, x+y-22=0

得垂足(10,12)与点C重合,所以A,B,C三点在同一条直线上.

在解析几何中,一道题常有多种证(解)法,只要同学们勤于思考,对一个问题试用不同的方法去解决,必会有效地提高自己的思维能力.

(收稿日期:2001-06-25)

61数学通讯 2001年第18期