李煜东大牛：图连通性若干拓展问题探讨
图连通性算法及应用
图连通性算法及应用图是计算机科学领域中常见的数据结构，用于表示对象之间的关系。
在图论中，图的连通性是一个重要的概念，指的是在图中任意两个顶点之间是否存在路径。
图连通性算法是为了判断图中的连通性而设计的算法，并且在实际应用中有着广泛的应用。
一、连通性的定义与分类在图论中，连通性有两种常见的定义方式：强连通性和弱连通性。
强连通性是指在有向图中，任意两个顶点之间存在互相可达的路径；弱连通性是指在有向图中，将其所有有向边的方向忽略后，剩下的无向图是连通的。
本文将重点介绍无向图的连通性算法及其应用。
二、连通性算法的原理1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是最常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边深入图中的下一个顶点，直到无法深入为止，然后回溯至上一个顶点，继续深入其他未访问过的顶点。
通过深度优先搜索算法，我们可以得到一个图的连通分量，从而判断图是否连通。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索同样是常用的连通性算法之一。
它从图中的一个顶点开始，沿着一条未访问过的边遍历与该顶点直接相邻的所有顶点，然后再以这些相邻顶点为起点，继续遍历它们的相邻顶点，直到遍历完所有连通的顶点。
通过广度优先搜索算法，我们可以得到一个图的层次遍历树，从而判断图是否连通。
三、连通性算法的应用1. 社交网络分析在社交网络分析中，连通性算法可以用来判断一个社交网络中是否存在分割成多个互不相连的社群。
通过判断社交网络的连通性，我们可以发现隐藏在社交网络背后的关系网络，从而更好地理解和分析社会关系。
2. 网络路由优化在计算机网络中，连通性算法可以用来判断网络节点之间的连通性。
通过分析网络的拓扑结构，我们可以选择合适的路由算法，从而实现快速且可靠的数据传输。
3. 图像分割在计算机视觉和图像处理中，连通性算法可以用来判断图像中的连通区域。
通过判断图像的连通性，我们可以对图像进行分割和提取，从而实现目标检测和图像识别等应用。
《深入浅出图神经网络：GNN原理解析》随笔
《深入浅出图神经网络：GNN原理解析》阅读随笔目录一、前言 (2)1.1 本书的目的和价值 (3)1.2 图神经网络简介 (3)二、图神经网络基础 (5)2.1 图的基本概念 (6)2.2 神经网络的基本概念 (8)2.3 图神经网络与神经网络的结合 (9)三、图神经网络的分类 (10)3.1 基于消息传递的图神经网络 (12)3.2 基于能量函数的图神经网络 (12)3.3 基于图注意力机制的图神经网络 (14)四、图神经网络的训练方法 (15)4.1 迭代训练法 (16)4.2 随机梯度下降法 (17)4.3 动量法 (19)4.4 自适应学习率方法 (20)五、图神经网络的优化技术 (21)5.1 局部优化算法 (22)5.2 全局优化算法 (24)5.3 混合优化算法 (26)六、图神经网络的评估与可视化 (27)6.1 评估指标 (28)6.2 可视化方法 (29)6.3 实战案例分析 (31)七、图神经网络的未来发展方向与应用前景 (32)7.1 当前研究的热点和挑战 (34)7.2 未来可能的技术创新 (35)7.3 图神经网络在各个领域的应用前景 (37)八、结语 (38)8.1 对本书内容的总结 (39)8.2 对未来图神经网络发展的展望 (40)一、前言在人工智能领域，图神经网络（Graph Neural Networks, GNNs）作为一种强大的深度学习模型，近年来得到了广泛的关注和研究。
它们能够处理非结构化数据，如社交网络、分子结构、知识图谱等，因此在许多应用中具有重要的地位。
尽管GNNs在学术界和工业界都取得了显著的成功，但它们的原理和应用仍然是一个活跃的研究课题。
特别是对于初学者来说，理解和掌握GNN的原理解析及其在实际问题中的应用，是一个不小的挑战。
为了帮助读者更好地理解GNNs，本文将从基础到高级逐步展开，深入剖析GNN的核心概念、模型架构以及最新的研究进展。
结合具体的代码实现和实验结果，我们将展示GNN在实际应用中的强大能力。
多连通拓扑和东方经济学的原理及其数学分析
第31卷第4期吉首大学学报(自然科学版)Vo l.31No .42010年7月Journal of Jisho u Univ ersit y (Nat ural Science Edi t io n)July.2010文章编号:1007-2985(2010)04-0059-08多连通拓扑和东方经济学的原理及其数学分析张一方(云南大学物理系,云南昆明650091)摘要:用类似偏爱关系和效用函数的公式,引入信任关系和影响函数以表示不同的家族、集团和组织系统的各种相互作用强度.由于它们可以影响系统中的产品、利润和价格等,并且常常独立于经济结果,因此这种系统可以制造出多连通拓扑经济学.当产量和这个影响是彼此独立时,它们能够形成结点或鞍点.当影响函数足够大,达到某个阈值时,它将形成一个导致资金流失的蛀洞.在回顾西方经济学的某些不足后,结合东方的思维体系,特别是老庄哲学,然后提出了东方经济学及其3个基本原理(阴阳五行生克原理,三才整体原理,多元循环原理),其主要特点是整体、平衡与和谐,其最高境界是天人合一原理,即自然-人-社会和谐原理.进而探讨了相应的数学理论及某些具体应用.东方经济学是一种非线性整体经济学,也是顾及各种因素的多连通拓扑经济学,这些考虑将有助于重构经济学.关键词:经济学;拓扑学;数学理论;信任关系;基本原理;生克;循环中图分类号:O29;F01文献标志码:A在数理经济学中拓扑学的不动点定理被用于证明n 个人对策的Nash 均衡.Arrow 和Debreu 引入了Walras 均衡理论的一般模型,并用拓扑学证明了竞争经济中均衡的存在[1].以后McKenzie [2],Debreu [3]等发展了竞争的均衡理论.当微分拓扑学被引入经济学时,D ebreu [4]详细地讨论了其中的2个问题.在国内王则柯出版了专著拓扑学方法和经济学应用[5],在书中他论述了!理论经济学论证了在理想条件下,市场经济是人类最好的制度选择.这是一般经济均衡理论在20世纪50和60年代的重大成果.通常的经济理论仅包括纯市场过程的某些解释.公共选择理论是对2个学科,即政治制度和经济理论的方法感兴趣的大经济学[6-8].它在经济学中的科学方法被应用和发展到其他社会领域.公共选择理论强调制度上的比较分析,特别是经济和政治制度之间的必然关系,但制度选择也可能发生过失.在经典经济学中,各种量可以分为2类:定量的量(如资本、劳动力、产品、利润等);定性的量(如管理、政策、偏爱(preference)等),后者具有某些个人因素,通常2方面互相交叉,因此经济系统显示出更加复杂的社会现象.在消费行为的微观经济理论中,一个效用函数或二元关系(Binary Relation)可以描述个体的参数选择(Preferences),这2个简单的概念严格等价,有序的效用函数和偏爱关系首先被Debreu 公理化[9-10],他对3种不同的情况,研究了基数效用的概念,其在一个平面中用相同的数学结果,给出平行的3组直线的拓扑特征[9],并讨论了在通常空间R 中一个任意的子集X,定义每个连续的和完备的彼此之间的二元关系!#.这是一个连续的效用表示,R 中X 的一个连续函数u,如果而且仅仅如果y #x 则u(y)#u(x).因此参数选择的更基本的概念是拓扑学的意义或者用参数空间的度规代替效用.毫无疑问,这是经济学中的一个伟大贡献.参数空间的拓扑结构是非常有用的.例如H ildenbrand 用这一结构描述代理商的特征参数和捐赠在交换经济中的贡献.此外,Bellman 方程中稳定解的极大问题导出一个政策函数,它给出当前控制的最佳值,作为时间和当前状况的函数g t (x t ),而明天的状态由x t +1=m t [g t (x t ),x t ]给定,并且对一个简单的问题由解可以导*收稿日期6基金项目国际协同学科学基金资助项目()作者简介张一方(),男,云南昆明人,云南大学物理系教授,主要从事理论物理及交叉科学研究:2010-0-11:2008P001:1947-.出明天的最佳控制[11].1多连通拓扑经济学和信任关系在微观经济学中,笔者引入1个新的信任关系,它表示不同家族、集团和组织系统中的各种相互作用强度.这是经济学中1个重要的人际关系,它甚至独立于经济结果.信任关系能用1个类似于消费理论中的偏爱关系的方法定义[12].在一组选定的集合X 中,信任关系!#定义为一个完全预定的、连续的和严格单调的函数.这要求[11]:(1)自反性.x X,x #x;(2)完备性.x,y X,则x #y 或y #x 或二者;(3)传递性.x,y,z X,[x #y 和y #z]x #z.然后!#可以表示1个具有实数值的、连续的和递增的关系.进一步,影响函数的定义类似于效用函数:对一组选定的代号为i 的集合X i ,如果x,y X i ,x #i,y I i (x)#I i (y)成立,则一组实数值的函数I i :X i %R 用定义{#i }表示1种信任顺序.用影响函数表示信任顺序的定义并不是唯一的,任何单调增加的变化I()的()都严格表示相同的信任度,因为随着()的严格增加,得到:如果并仅仅如果[I (x)]#[I (y)],对所有x,y X,则I (x)#I(y),(1)在此I()是一个有顺序的影响函数.二者的差I(x)-I(y)的符号是重要的,因为其结果是可信赖的,但具体值是无意义的,因为它将随任何非平凡的增函数()的变换而变化.这也是拓扑学的基本性质,其与空间的具体数值无关.虽然影响函数类似效用函数,但影响函数似乎服从权力增加的欲望定理.在一个经济系统中,信任关系、相应的影响函数I()及函数()能够影响产量Q 、利润和价格等,但它们通常是独立于经济结果的,有时是随机的,甚至是突然变化的.在一个连续的经济拓扑流形中,它们容易破坏原来的结构,并形成一个新的洞或分岔领域,由此构成一个多连通拓扑流形.形象化说,经济结构是一个杯子,则影响函数就是一个把柄.在拓扑学的多连通区域中著名的Euler !Poincare 公式为&n m=1(-1)m a m =&nm =1(-1)m p m .(2)对一个凸多面体,a 0,a 1,a 2分别表示顶点数、棱数和面数,p m 是复连通K 的第m 个Betti 数,它可以形象地考虑为K 中!m-维洞的数,或者必需加到K 上的(m+1)-维链的数,作为K 上每个自由m-环的分界线[13],数&nm =1(-1)m a m 被称为复连通K 的Euler 特征数.对多面体p 0=p 2=1,p 1=2p,p 是曲面的亏格.对2-维曲面,a 0=a 1+1-2p.可以假设顶点表示商店数,它正比于销量y 和利润,棱表示销售网络.但是经济学中的多连通结构将使利润减少,此时流失的利润可以定量归结为亏格p.在某些组织系统中,利润的最大化和信任关系是密不可分的,纯生产者的目的是追求利润的最大化(y,w)=max x ,y{py -wx },(3)其中:y 和x 分别表示输出和输入量;p 和w 则是每单量输出和输入的利润.对1个有影响函数为I 的社会系统,应该定义目标函数为A++I.(4)已知面对环境和选择行为是x 时,一般的目的函数f (x;)给出盈利[11].通常的利润为(Q)=TR(Q )-TC(Q ),(5)其中TR(Q)和TC(Q)分别是总收入和总成本,这3个量都是产量Q =f (K ,L)的函数.而现在的最高原则是目标函数A 的最大化.利润最大化的最初条件为d dQ =dTR dQ -dTC dQ=0,(6)dTR dQ =dTC dQ,(7)即M R =M ,边际收入等于边际成本新结果则为Q =TR Q T Q +I Q =,()60吉首大学学报(自然科学版)第31卷C .dA d d d -d C d d d 08M R -M C =-dI dQ<0.(9)在一个社会系统中,目标函数偏离利润最大化,这一欠缺通常是由于M R -M C <0.在传统理论中,一个公司的生产函数表示为产量Q 是输入资本K 和劳动力L 的函数,即Q =Q(K,L),(10)这个公司的利润最大化为=pQ -mK -nL,(11)其中p,m 和n 分别是产品价格、流入的资本价格和劳动力的工资[14].如果影响函数作为经济系统的1个条件,则影响函数的经济学意义也可以用Lagrange 条件极值的方法进行讨论.2奇点和蛀洞如果影响函数随时间变化,则系统将更加复杂.假设经济系统及其变化都是线性的[11],即dQ dt=a 11Q+a 12I ,(12)dI dt =a 21Q+a 22I ,(13)它们的特征矩阵为a 11a 12a 21a 22,(14)其相应的特征方程为!2-(a 11+a 22)!+(a 11a 22-a 12a 21)=!2-T!+D =0.(15)由此可以讨论一般情况.作为一个最简单的例子,如果产品和影响的变化是彼此独立的,即a 12=a 21=0,则对一个实际领域,方程的解为Q =Q 0exp(a 11t),I =I 0exp(a 22t)=T 2-4D =(a 11-a 22)2#0,(16)当a 11,a 22是具有相同符号的实数值时,D >0,系统的态(Q 0,I 0)是1个节点;对a 11,a 22<0它是稳定的;对a 11,a 22>0它是不稳定的,如图1,2所示.当a 11,a 22是符号相反的实数时,D <0,系统的态(Q 0,I 0)是1个鞍点,如图3所示.它表示外在干扰减少时,产量增加.如果产品和影响的变化是彼此相关的,则经济系统的状态也将可以是螺旋、焦点或中心点等.图1稳定的节点图2不稳定的节点图3鞍点影响函数的形式可以是1个无限制的函数,甚至1个随机函数.完全竞争的胜利在于每个生产者和消费者作为自己选定的回收成本和付出价格是彼此独立的[1].具有信任关系和影响函数的经济是一类不完全竞争的经济系统,它破坏拓扑经济学中的对称性,它们不是1个同胚的空间.通常这种结构将阻碍经济的发展.如果信任关系和影响函数有p -级或p -类,即&pi=1I i (Q),则它们将构造1个有亏格p 的多连通正规曲面.当影响函数足够大,达到某个阈值时,经济中的拓扑结构弹性将被破坏,一个新的洞将出现统一的市场将被这个洞迷惑这将形成个新的多连通拓扑流形作为个例子,应用广义相对论的概念,其中巨大的影响就像个大的质量,会在经济系统中形成个深坑按照F !W 理论[5],很强的深坑能构成一个蛀洞,有时它被61第4期张一方:多连通拓扑和东方经济学的原理及其数学分析..1.111.uller heeler 1称为Einstein !Ro sen 桥[16].由此某些资本将经由一个空间流到别的拓扑空间,或者从同一空间的一个区域流到另一区域(见图4).这个模型可以描述资金的流失(包括浪费和贪污).图4社会经济学蛀洞模型总之,信任关系和影响函数为描述人类活动的经济系统提供了有用的工具.从中文字面上说,政治经济学就是一种二元的多连通拓扑经济学[12].由此可以非常容易地解释历史上许多特殊时期的经济政策和经济现象.基于知识经济时代的主要特征和它与信息论的类似性,笔者提出了新时代经济理论的4个定理:人才创新定理,无中生有定理,协同增值定理,持续循环定理.由此讨论了生产函数和基本方程.并阐述了知识经济及其理论的某些可能的发展方向[17],相信拓扑学及其在经济学中的工具应该在知识经济时代发挥更大的作用.3西方经济学的困境和东方经济学的探索及其基本原理长期以来,社会发展被归结为简单的某种社会物质量的增加.经济学一直认为发展就等于经济增长,这是一种单指标、线性发展模式.经济发展也以国民生产总值GDP 为唯一指标.而传统的GDP 完全忽视资源、环境及社会进步.它并不计算自然资源的消耗,也不计算废物的产生、废物的数量及污染程度.这是以自然界的每一种东西都是无穷无尽,任人自取,以地球为无限大,垃圾废物任人堆放,且绝不会被污染为基础的.相应的在目前的宏观经济学中,考虑最全面的4个部门经济流程仅包括厂商、居民、政府和国际市场[18].现在人类已经开始回首反思,才发现实际上社会发展是一个由多种因素共同决定的复杂的非线性问题,由此自然联系于多连通拓扑经济学.从20世纪50年代开始,经济学才提出新的发展=经济发展+工业污染控制这种双指标模型,及发展=经济、社会发展+环境保护,这种自然、经济、社会三元非线性可持续发展模式.从一般的抽象的科学、哲学高度出发也提出社会发展应该涉及5个互相联系的方面:价值、代价、动力、调控和模式.它们必须全面协调,才能保持社会的可持续发展.进一步还探讨了它的一个简化的数理模型及其对称性和演化[19].戴维森在生态经济大未来中提出!经济体系无法在欠缺生态系统支持下独立存在,经济金字塔总是从属于范围更大的生态金字塔之内;如果经济体系想要存续,则生态系统必须在地方、区域和全世界等各个层次上维持体质的健康[20].按照传统的西方经济学,产商及经济增长,成本理论都不考虑环境、生态等成本.但这些却是整体社会必须支付的总体成本.而目前经济增长的GDP 缺乏生态维度.现在许多经济学家开始意识到必须修改GDP,使其能够反映自然资源耗减和环境污染损害程度,例如提出绿色GDP.总之,这是必须正视西方经济学的弊端的时候了.笔者认为经济学结合中国传统价值观和思想方法,有助于克服西方经济学的某些缺陷.结合老庄哲学的思维体系,提出可持续发展的基本原理和主要特点,以发展循环经济[21],为此命名为东方经济学.老庄哲学以道为中心,深刻论述了人类应该顺应自然的超前思想.道是!万物之奥,!万物之母,!万物莫不遵道.它是不变的自然规律.人作为自然的一部分,是天地人三才之一,顺之则泰、吉,逆之则否、凶.在以此为代表的中国传统理想中,最完美的未来模式是人与自然的完全和谐.它和近年热烈讨论的!社会与自然协调发展模式是完全一致的基于协同学,并结合中国古老的老庄哲学,笔者探讨过人自然协同学[3]由此发展为讨论人与自然、环境和谐相处的一种可持续发展的大系统理论[,]老子在道德经中说!人法地,地法天,天法道,道法自62吉首大学学报(自然科学版)第31卷.-22-2.2124.:然.域中诸大,以人和自然为首尾,人与自然协同则万物顺焉.老庄哲学主张人与自然、环境相协调,形成生生不息的良性循环,最后达到天人合一的高级境界.人-自然协同学的最高原理不是彼此竞争,人与动物、植物、自然的竞争,更不是各个国家、民族之间的竞争,而是平等相处,协同发展.最高境界就是天人(自然与人)合一,无人无我,浑然一体,无生无死,万世永存.大经济学家马歇尔(Alfred Marshall)1890年出版了经济学原理[25].20世纪末曼昆(N.Grego ry Man !kiw)也出版了经济学原理,并提出经济学十大原理及5个应该思考的争论问题[26].在此笔者提出东方经济学的3个彼此相关的基本原理:(1)阴阳、五行生克原理.其基础是经济学中普遍存在二元或多元彼此相关,又互相制约的因素.例如阴阳二元可以是以经济发展为一方,以环境保护、社会公正、法治为另一方的互相生克;或者是法国大文豪雨果提出的,全部社会问题可以概括为生产财富和分配财富2方面;或者是减少失业和降低物价等.在生长函数y =y(N ,K)中N 和K 分别是劳动力和资本,这也是二元.(2)三才整体原理.1993年8月22至28日在莫斯科召开的第十九届世界哲学大会接受了作者与黄兆雄的一篇论文复杂系统的三元哲学.老子说:!道生一,一生二,二生三,三生万物,由此结合其他就可以得到三元哲学[27,23].易.系辞下说:!易之为书也,广大悉备,有天道焉,有人道焉,有地道焉.兼三材而两之,故六.六者非它也,三材之道也.易.说卦:!立天之道曰阴与阳,立地之道曰柔与刚,立人之道曰仁与义,兼三才而两之.东汉王符在潜夫论.本训篇中说:!天本诸阳,地本诸阴,人本中和.三才异务,相持而成.自然规律和整个社会都受三才制约.在整体考虑的宏观经济学中,应该更全面地提出资源(天)、社会(人)、环境(地)3个方面.由经济把三才联系起来.中国21世纪议程正是以人为中心,社会、经济、环境可持续发展的三维结构复合系统.(3)多元循环原理.通常资源%社会%废物是一个单向流程.只有再由废物转化为资源,即由天回到地,即天%人%地%天,才能实现循环.资源(T)、经济(J)、社会(R)、环境(D)4方面互相联系.多元还可以是经济(价值)、教育(人才)、科学技术(动力)、社会进步、资源、污染(代价)等及其复杂关系.多元一般可以归纳为经济、社会、环境3个方面.东方经济学的主要特点是整体、平衡与和谐.老子说:!圣人去甚,去奢,去泰.!中也者,天地之大本也;和也者,天下之达道也.致中和,天地位矣,万物良焉.平衡包括阴阳平衡,心身平衡,天人平衡等.最高境界和本质是和谐,即天人合一原理,即自然-人-社会和谐原理.这就是人与自然平衡,即必须考虑环境因素和社会公平.应该由国民经济总体均衡,发展为经济、社会、自然三者和谐.西方经济学过分强调利润最大化,不符合阴阳互补和五行生克原理,易于导致不受道德约束的无序竞争.而强调人的作用是东方经济学的特点之一.老子说:!万物莫不遵道而贵德.!遵道贵德是既遵循经济规律,有必须重视道德修养.!君子爱财,取之有道.这可以结合1870年法国弗雷德里克.巴斯夏提出的和谐经济论[28].4东方经济学中某些可以应用的数学理论及其应用(1)东方经济学的数学基础可以二元、三元、五元、n 元对称群及方程组.它不是投入-产出等的一个方程及其平衡,而是多个方程组及其动态平衡,如由生克达到平衡.二元相应于太极,其数学模型可以是互相消长的Lotka !Volterra 方程,由此导致周期性,及布鲁塞尔振子(Brusselator).更具体时,数学可以由阴阳(五行)生克方程化为最简单的关于x 和y 二元方程,二者分别表示阴阳或生克2个方面.如引入描述哈密顿系统的整体对称结构的方程组[19,29]:dx/dt =y(1-x 2-ay 2),(17)dy/dt =-x(1-ax 2-y 2),(18)由这组方程及其图形[19,29]可知,系统形成4个交叉元(d 01,d 02,d 03,d 04)和5个局部区域(A 01,A 02,A 03,A 04,O),分别对应于上下左右四方和中央,它们组成一个总的呈现出5个方面的经济发展结构的数理模型()()的哈密顿积分为(x,y)=(x +y )x y (x +y )=,()63第4期张一方:多连通拓扑和东方经济学的原理及其数学分析.1718H 222-222-a 44h 19是1个不变量,所以可以假设它对应于经济系统的总效应.且当系统存在扰动0<#1时,方程组化为[19,29]:dx/dt =y(1-x 2-ay 2)-#x (mx 2+n y 2-!),(20)dy/dt =-x(1-ax 2-y 2)-#x (mx 2+n y 2-!).(21)由此可以描述系统的整体的和局部的变化情况.当然,这一数理模型是简化的和近似的,它还可以发展为其他数理模型,例如联系于五行生克,用五维空间中的一组非线性方程描述.3个方程可以描述周期性变化的Belouso v !Z habotinski 反应,具有近似周期性的Lorenz 模型,和俄勒冈振子(Oregonator).由此可以导致极限环.多个方程一般联系于非线性,对应于各种非线性经济学[30].三元可以组成最简单的循环.对应老子!三生万物的思想、扬雄的太玄和三元哲学[23,27].(2)可以用系统论,经济与环境密切相关,甚至天地人三才和谐统一.(3)应用协同学、耗散结构理论和超循环论[31].例如结合环境的自恢复曲线,可以应用协同学.(4)西方经济学是分析型的[11].目前主要以线性的直线图形为主.由此可以结合数理经济学中一般的均衡理论[1-4],进行数学化.这又相应于老庄哲学和天人合一.(5)多元对应空间、立体,由此可以探索高维空间的经济学.这些数学理论还可以互相结合,共同发展.总之,可以认为东方经济学是一种非线性整体经济学,也是顾及各种因素的多连通拓扑经济学.按照通常的观点,资源%产值%环境恶化是一个必然的演化过程,如此经济发展难以完全和资源、生态一致、统一.起码它们之间有生克关系.相应地,GDP 的定义必须修改、发展.经济发展应考虑3个方面:天(资源消耗)、地(废物产生)、人(社会公平等),特别是资源和废物.可持续发展鼓励经济增长,同时以保护自然为基础,与资源和环境的承载能力相协调;以改善和提高生活质量为目的,与社会进步相适应.数学上,保护生态、人文等的社会发展模式就是条件极值问题,F=f +!.此时资源、环境、产值为3个主要量、序参量,其余是人才、公平等,东方经济学的基本原理与现代知识经济理论[17]更加一致.提出的社会发展的科学结构[19]就是考虑整体性、多元性.如果把社会发展的这5个结构放在同一个平面,以社会发展模式为中心,价值(正)-代价(负)为横坐标x 轴,动力(正)-调控(负)为纵坐标y 轴,就可以简化为上述的二元方程(17),(18)式,并得到相同的数学结果[19].当然,这一社会发展结构的数理模型是近似的,它还可以发展为其他数理模型.例如联系于五行生克,金木水火土对应模式、动力、价值、代价、调控.但是,2方面不能完全统一.在社会发展的科学结构中如果应用投入(产出模型.首先应该考虑代价,其特例是污染.5个方面可以是(5,5)矩阵,简化为价值-代价就是(2,2)矩阵.也可以简化为以人为本的人及社会发展的四元结构,模式%代价%价值%动力%模式,从而形成极限环;对应四象.调控极限环(对应中心点),使代价(包括时间、金钱)较小.A.A.Schemid 在财产、权力和公共选择中系统论述的SSP(状态、结构、绩效)通用范式.发展后也可以联系于五元(结构)范式,对应五行、五权分立.近年提出的循环经济是以可持续发展原则为基础,这既是一种关于社会经济与资源环境协调发展的新理念,又是一种新型的、具体的发展形态和实践模式.循环经济本质上是一种生态经济,它要求按照生态规律组织整个生产、消费和废物处理过程,最大限度地提高各种资源利用率.只有实现资源的循环利用,社会才能达到可持续发展的理性阶段.而西方传统经济学无法解决循环经济的问题[32].循环经济理念产生有其必然的自然、经济和社会基础.而东方哲学的一个主要特色就是具有丰富的循环思想,其相应的一种重要应用就是研究循环经济[21].对此循环原理的一种具体形式就是五行生克.中国传统社会超稳定结构的一个重要的经济基础是中国传统农业[33]数千年可持续发展,已经形成了一套最完全的循环经济.总之,循环经济是社会长治久安的一个重要基础.目前循环经济是资源%产品%废物%再生资源的三元循环.以后发展为五元就可能有生克关系.更具体说,金木水火土可能分别对应工业、生态、商业(水利)、管理(交通)、农业.多元循环对应循环经济.其中每一方面又有循环,就组成超循环[31]循环经济的数学基础应该结合,而且可以是超循环论[31]各种小循环组成大循环由此应用、发展超循环及其理论在一般的经济学中也存在各种循环如物价上涨%工资B 提高%生产成本上升%在好的方面,增加生产%就业B 增加和价格降低%市场D 增大%流通领域中的循环64吉首大学学报(自然科学版)第31卷.....A C A.A C A.就更加普遍.环境是十分复杂的巨大的非线性系统,牵一发而动全身,易于造成混沌现象中的蝴蝶效应.由此得到的一个结论:大规模改造自然必须十分慎重.其负面效应是科技进步一时无法克服的.例如,目前应该以建设中小型水电站为主,大型水电站易于改变气候,地质结构,甚至引发地震.这也才真正符合科学发展观.目前人们已经认识到,自然资源和社会资源一起是人类社会存在和发展不可缺少的2大要素.各种自然资源相互依存,相互制约,具有整体性.资源经济学研究人类、资源、环境三者之间,在物质循环、能量转化过程中的经济关系和数量关系.应用最优化方法设计资源利用的最优方案,运用生产函数、线性规划等数学方法,进行定性和定量分析.其目标是经济、合理、有效地开发与利用资源.总之,经济和生态系统应该是共生、互惠关系.资源经济学是自然科学与社会科学互相结合的新兴学科,但至今还没有形成一个完整的理论体系.结合环境经济学还需要考虑投入-产出的资金和效益,人力和就业率.而目前只讨论环境的污染.但结合美学还要考虑整个环境的和谐.进一步,还可以从整体性出发,结合环境、生态、文化等考虑更加丰富的人类社会的多元性.例如在温饱基本满足后,社会发展的一个主要指标是文明程度.这已经不仅仅是经济学问题了.马歇尔就强调经济学与社会学的合流[25].同时这又相应于社会协同学[23].面对当代经济学的一系列困境,有学者已经提出西方经济学的终结[34].结合多连通拓扑经济学及东方的思维体系和文化传统,探索东方经济学的理论和应用,应当有利于重构已经百孔千疮的现代经济学.参考文献:[1]ARROW K J,DEBREU G.Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy [J].Econometrica,1954,22(2):265-290.[2]MCKENZIE L W.On the Existence of General Equilibrium for a Compet itive Market [J].Econometrica,1959,27(1):54-71.[3]DEBR EU G.New Concepts and Techniques for Equilibrium Analysis [J].International Economic R eview,1962,3(2):257-273.[4]DEBR EU G.T he Applicat ion to Economics of Different ial Topology and Global Analysis:R egular Different iable Eco !nomics [J].American Economic Review,1976,66(2):280-287.[5]王则柯.拓扑学方法和经济学应用[M].北京:中国经济出版社,1999.[6]BU CH ANAN J M,TULLOCK G.The Calculus of Consent:Logical Foundat ions for Constitutional Democracy [M].Ann Ar bor:University of M ichigan P ress,1962.[7]BU CH ANAN J M.Cost and Choice [M].Chicago:Mar kham Pub.Co.,1969.[8]BU CH ANAN J M.Libert y,Market and the State [M].New York:New York Univer sity P ress,1986.[9]DEBR EU G.T opological Methods in Ca rdina l Utilit y.Mathemat ical M ethods in the Social Sciences [C].[S.l.]:Stan !for d Universit y Pr ess,1959:16-26.[10]DEBREU G.Continuity P roper ties of Pa retian Utility [J].International Economic Review,1964,5(2):285-293.[11] A.de la Fuente.Mathemat ical Methods and Models for Economists [M].Cambridg:Cambridge Universit y P ress,2000.[12]CH ANG Yi !fang.M ultiply Connected Topological Econom 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《超大规模集成电路物理设计：从图分割到时序收敛》随笔
《超大规模集成电路物理设计：从图分割到时序收敛》读书笔记目录一、内容概览 (1)二、关于本书的背景知识介绍 (2)三、内容概览 (3)3.1 主要章节概述 (4)3.2 重点概念解析 (6)四、详细读书笔记 (7)五、本书中的关键观点和论点分析 (8)5.1 关于超大规模集成电路物理设计的关键观点 (10)5.2 书中论点的深度分析 (11)六、比较与评价 (13)6.1 本书与其他相关书籍的比较 (14)6.2 本书的优点与不足评价 (15)七、实践应用与案例分析 (16)7.1 书中理论在实际设计中的应用 (18)7.2 案例分析 (19)八、总结与心得体会 (21)8.1 本书的主要收获和启示 (22)8.2 个人对超大规模集成电路物理设计的未来展望 (23)一、内容概览《超大规模集成电路物理设计：从图分割到时序收敛》是一本深入探讨超大规模集成电路（VLSI）物理设计过程的著作。
本书从图分割的基本原理出发，详细阐述了集成电路设计的各个阶段，包括布局、布线、时序分析和验证等。
在图分割部分，本书介绍了如何将复杂的集成电路设计问题简化为更易于处理的子问题。
通过图论和计算机辅助设计（CAD）技术，作者提出了一系列高效的图分割算法，从而为后续的物理设计过程奠定了坚实的基础。
在布局阶段，本书重点讨论了如何根据电路结构和约束条件选择合适的布局算法。
作者详细分析了不同布局策略的优缺点，并提出了针对复杂电路的优化方法。
布线是集成电路设计中的关键步骤之一，本书介绍了多种布线算法，包括基于启发式的布线方法、基于物理约束的布线方法和基于人工智能技术的布线方法等。
作者还探讨了布线过程中的优化问题和挑战。
时序分析是确保集成电路正常工作的关键环节，本书详细阐述了时序分析的基本原理和方法，包括静态时序分析、动态时序分析和时序收敛等。
作者通过理论分析和实例验证，介绍了如何有效地进行时序分析和优化，以确保设计的集成电路具有良好的时序性能。
图论_李煜东
• 拓扑排序
– 判定有向无环图(DAG)
3
Graph Theory
图论 目录页
最短路
任意两点间的最短路问题
• 使用动态规划求解？需要定义状态、阶段、决策。 • 以长度为阶段？
– 经过k条边从x到y的最短路F[k,x,y] = Min{F[i,x,z]+F[k-i,z,y]}，O(N^4)
• 倍增优化？
15
Graph Theory
图论 目录页
最短路
欧拉回路(POJ2230)
• 欧拉回路：经过每条边恰好一次的回路（一笔画问题） • 欧拉回路存在 连通图中每个点的度数都是偶数。
• 初始时，1号点入栈。 • 依次把与栈顶节点有未标记的边相连的节点入栈并递归，递归前标记该边。 • 如果当前栈顶结点出发已经没有未标记边，把该节点出栈，并记录到答案序 列中。 • 重复上述步骤直到栈为空。 • 倒序输出答案序列，就是一条欧拉回路。
最短路
Floyd求最小环(POJ1734)
• 最小环：从一个点出发经过至少一条边回到该点，不能重复经过 某条边，距离最短的回路。 • 有向图最小环： • 令dist[i,i]=+∞，然后floyd求最短路。 • 无向图最小环： • 在最外层循环开始进行k时，用“i到k、再到j、再经过编号<k的 节点从j到i”的最短路w(i,k)+w(k,j)+dist[i,j]来更新最小环。
24
Graph Theory
图论 目录页
生成树
生成树
POJ1639
• 题意：求n<=30个点的图的MST，满足根节点的度数<=S。 • 1. 去掉根节点，对得到的每个连通分量求MST，并对每个连通分 量选择一个到根节点距离最近的点连到根节点上，此时得到的生 成树T已经满足度数<=S。 • 2. 枚举每个点，若该点与根节点有边相连，设长度为D1，设该 点在T中到根节点的路径上的最长边长度为D2。找出D2-D1最大 的点，若D2-D1>0，删除边D2，加入边D1，形成一棵更小的生 成树；若D2-D1<=0，说明当前方案已经最优。 • 3. 重复第二步K次，K为第一步后根节点还能连边的条数。
第3章 图搜索与问题求解-人工智能导论-廉师友-清华大学出版社
『导语』
搜索是人工智能技术中进行问题求解的基本技术，不管是符号智 能还是计算智能以及统计智能和交互智能，不管是解决具体应用问题， 还是智能行为本身，最终往往都归结为某种搜索，都要用某种搜索算 法来实现。
符号智能中的搜索是运用领域知识，以符号推演的方式，顺序地 在问题空间中进行的，其中的问题空间又可表示为某种状态图（空间） 或者与或图的形式。所以，这种搜索也称为图搜索技术。
(1) 把初始节点So放入CLOSED表中。 (2) 令N＝So。 (3) 若N是目标节点,则搜索成功,结束。 (4) 若N不可扩展,则搜索失败,退出。 (5) 扩展N,选取其一个未在CLOSED表中出现过的子节 点N1放入CLOSED表中, 令N＝N1, 转步(3)。
第 3 章 图搜ห้องสมุดไป่ตู้与问题求解
树式搜索算法：
(1) 把初始节点So放入OPEN表中。 (2) 若OPEN表为空, 则搜索失败, 退出。 (3) 移出OPEN表中第一个节点N放入CLOSED表中, 并冠 以顺序编号n。 (4) 若目标节点Sg=N, 则搜索成功, 结束。 (5)若N不可扩展, 则转步(2)。 (6) 扩展N, 生成一组子节点, 对这组子节点做如下处理：
④对其余子节点配上指向N的返回指针后放入OPEN表中 某处, 或对OPEN表进行重新排序, 转步(2)。
第 3 章 图搜索与问题求解
第 3 章 图搜索与问题求解
说明：
(1) 这里的返回指针也就是父节点在CLOSED表中的编 号。
(2) 步6中修改返回指针的原因是, 因为这些节点又被第 二次生成, 所以它们返回初始节点的路径已有两条, 但这两 条路径的“长度”可能不同。 那么, 当新路短时自然要走 新路。
善用图表信息提升解题能力
善用图表信息提升解题能力易良斌（杭州市江干区教师进修学校，浙江杭州 310020）文字、符号、图形（图表）语言的交相辉映使数学问题十分精准而格外精美，独辟蹊径地破解三类语言之间的联系，可以彰显数学问题解决过程的精彩与美丽，进而提高学生思维的灵活性，数学图表阅读理解的教学过程主要分为两个层次：第一个层次围绕学生如何获取图表信息，在识图看表时应该注意哪些要点，体验图表中隐含的信息．第二个层次让学生用建模的思想去解有关的图表问题，学生数学图表信息阅读能力的形成与提升离不开相应的训练，数学图表信息的特殊性决定其训练方式、方法与其他方面的数学阅读有着明显的差别．教师要根据图表种类的差异，进行针对性训练，沟通学生对数学图表信息本质的理解．一、培养学生对符号语言和关键字词的“细心阅读、深刻理解”的阅读理解能力，进行关键信息转换，建立良好数学模型一般来说，符号语言中的信息抽象，知识含量较大、有凸现的信息，也有潜在的信息，解题时既要把握凸现的信息，更要挖掘潜在的信息．通过圈画关键信息，结合已有的知识和方法，找到解决问题的切入点，为问题的顺利解决做好铺垫．例1对于a，b，c三个数，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中的最小数．例如M{l，2，3}=2，min{1，2，3}=1．根据上述材料，解答下列问题：(1)填空：如果min{2，2x+2，4-2x}=2，那么x的取值范围是_______(2)如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+l，2x}，求x的值．1．阅读理解(1)能用自己的例子，说明四个主要数学概念“平均数、最小数、取值范围、值”的意义，深刻理解其意义是有效而正确解题的知识基础．(2)能用自己的例子说明对两个特殊的数学符号“M{a，b，c}，min{a，b，c}”的理解，这里M{a，b，c}=(a+b+c)/2，若a≥6≥c，则min{ a,b，c}=c．深刻理解它们的数学意义是建立良好模型，寻找解题突破口的关键．(3)符号语言min{2，2x+2，4-2x}=2，有三层意思，一是三个代数式中有一个是确定的数，另两个式子的值是待定的，但其值不能小于2；二是要求2x+2≥2，同时4-2x≥2成立；三是2x+2和4-2x的大小关系不必考虑，这样三个代数式2，2x+2，4-2x中最小的是2．(4)符号信息M{2，x+l，2x} =min{2，x+l，2x}，直译为：三个数的平均数与这三个数中的最小数相等．由于x+l和2x与2之间的大小关系不确定，所以要进行分类讨论，分类讨论基本思想的应用是问题解决的保证．(5)会解一元一次方程或一元一次不等式（组）是能力基础，对符号语言的正确理解，根据min{2,2x+2,4-2x}_2,M{2,x+1,2x}=min{2,x+l，2x},会用一元一次方程或一元一次不等式（组）的基本模型解数学题是问题解决的基本经验。
基于有向无环图的高效并行区块链
基于有向无环图的高效并行区块链作者：洪璇胡军来源：《上海师范大学学报·自然科学版》2022年第02期摘要：区块链系统的性能制约了它的推广应用，主要表现为交易吞吐量低、交易确认时间长和算力浪费等.针对这些问题，提出一种基于有向无环图（DAG）的区块链及其共识协议，提供区块链的并行工作模式.通过3个指针提供DAG区块的连通性;根据工作量证明（PoW）机制，将较难的区块组成一条谜题链，保证区块的有序性和系统的安全性;按照最长链原则和最难链原则，制定谜题链的共识协议.本方案充分利用了网络节点的计算资源，提高了区块链系统性能，减小了计算冗余度，节省了算力.关键词：分布式账本; 区块链; 并行区块链; 有向无环图（DAG）; 共识协议中图分类号： TP 311 文献标志码： A 文章编号： 1000-5137（2022）02-0135-08Efficient parallel blockchain based on directed acyclic graphHONG Xuan， HU Jun（College of Information， Mechanical and Electrical Engineering， Shanghai Normal University， Shanghai 201418， China）Abstract： The promotion and application was restricted by the performance of blockchain system， which mainly manifested in low transaction throughput， long transaction confirmation time and waste of computing power. To solve these problems， a blockchain based on directed acyclic graph （DAG） and its consensus protocol was proposed to provide a parallel work mode of blockchain. Three pointers were used to provide the connectivity of DAG blocks. Block order and system security were guaranteed by forming a main chain of difficult blocks through the use of proof-of-work （PoW） mechanism. Aconsensus protocol on the main chain was formulated according to the longest chain principle and the hardest chain principle. This scheme made full use of computing resources of network nodes which improved the performance of blockchain system and reduced computing redundancy and computing power.Key words： distributed ledger; blockchain; parallel blockchain; directed acyclic graph （DAG）; consensus protocol0 引言近年来，人们对区块链技术的局限性有了更深刻的认识，其主要表现为交易吞吐量低、交易确认时间长和算力浪费等[1]，这制约了区块链的应用和发展.因此，消除性能瓶颈可以为区块链的广泛应用提供可能.区块链采用的共识机制是影响其性能的重要因素，目前大多数有向无环图（DAG）区块链都使用工作量证明（PoW）共识机制，因为使用其他共识机制失去了区块链去中心化的意义，存在安全性隐患[2].PoW需要计算哈希难题，争取记账权.这种机制的優点是可以完全实现去中心化，缺点是共识达成速度较慢，浪费计算资源且算力集中.PoW共识机制能在完全去中心化的网络环境中保证数据的安全存储与共享.区块链的数据结构本质上是一条单向块状链表，导致确认交易和生成区块的过程无法并行执行，性能较低.因此，将基于单向块状链表的区块链扩展为基于DAG的区块链，使每个DAG节点有多个出度和入度，可以支持多线程并发执行，突破了传统区块链串行处理模式的限制，提高了系统吞吐量，加快了交易速度[3].SARFRAZ等[4]提出了基于DAG的分布式账本埃欧塔（IOTA），实现了良好的吞吐量性能，其交易是无序的，系统安全性无法保证.LI等[5]开发的Conflux系统将DAG中的节点按照时间先后顺序划分成若干纪元，在每个纪元内进行选择具有最高“权重”的区块，得到纪元的主链，进而得到整个系统的主链，锚定了所有区块的全序，在保持并发的情况下，能决定不同区块的顺序，但该方案较复杂，需要计算每个区块的“权重”后，才能达成区块之间的共识机制.CUI等[6]开发的CoDAG系统将图划分为不同的级别，并通过计算其“连通性”将区块分为不同的级别，计算量较大.WANG等[7]提出了一种基于ID分类的有向无环图数据结构，但没有对方案进行详细的设计，也没有进行性能评估与安全性分析.为了让网络节点在完全去中心化的情况下，能对高并发的DAG结构达成共识，本方案结合PoW共识机制与DAG区块链技术，设计了一种基于DAG的区块链结构及其共识机制.通过PoW机制选择一些哈希难度较高的区块组成一条谜题链，根据谜题链的最长链原则和最难链原则，得出DAG的拓扑排序.相较文献[4⁃7]的方案，本方案无需再进行“权重”或“连通性”等额外计算.謎题链由一些难度较大的谜题区块组成，使得区块链更加难被篡改，保证了系统的安全性和一致性.本方案的矿工链包含了矿工的历史记录，可以应用在基于个人信用的场景中，体现了本方案的扩展性.1 数据结构设计1.1整体结构概述为了确保DAG上的区块达成共识机制，设计一种紧密联系DAG上所有区块，且能使之有序排列的结构.考虑到生成区块需要进行PoW计算，选择哈希难度较高的一些区块作为谜题链区块，如图1所示.本方案在DAG中嵌入一条谜题链，谜题链上的区块为谜题区块，比常规区块更难被挖掘，但谜题区块与其他区块的挖掘工作流程相一致.另外，为了能够快速地对DAG进行拓扑排序，考虑将DAG分解退化成若干二叉树，每个节点除了有一条连接谜题链节点的边之外，还需要两条连接别的节点的边，以形成二叉树的左右分支.因此，在矿工准备生成区块的时候，需要配置3个指针指定区块之间的关系.第一个指针peer指向矿工的前一个区块，将矿工挖掘的所有区块连接到一个矿工链中，该矿工链包含了矿工的信息，比如他的哈希算力等;第二个指针main指向最长谜题链上的最新谜题区块，如果这个新区块被确认为谜题区块，那所有谜题区块都将通过这个指针与该新区块保持连接;第三个指针wait指向一个其他矿工挖掘的区块，以增强DAG节点之间的连通性.根据以上连接规则，某一区块连接节点的集合中，每个指针对应于一条有向边，区块之间按照时间先后顺序通过指针连接，即形成了一个DAG[8].当交易量增多的时候，前驱节点有多个入度，可以同时被多个后继节点所指向，从而能够支持数据的并发执行.当交易量减少时，后继节点有多个出度，可以同时指向多个前驱节点，以加速整个图形的收敛[9].1.2区块结构谜题链区块由区块体及区块头组成.区块体中包含应用数据message，区块头中包含了指定区块关系的3个指针（ptr peer，ptr main，ptr wait）、生成该区块的矿工信息peer、时间戳Timestamp、应用数据message的Merkle根、解决哈希难题的解nonce等，如图2所示.在所有区块中，整个DAG中的根节点即定义为创世区块.1.2.1 指针指针指定了区块之间的关系.由于通过指针可以回溯到某个区块的所有前驱区块，可以将对于某区块的共识机制扩展为所有前驱区块的共识机制.1.2.1.1 ptr peer和矿工链指针ptr peer指向由同一名矿工生成的前一个区块，如果该矿工此前没有生成过任何区块，则指向创世区块.这个指针将同一矿工挖掘的所有区块连接成链，即矿工链.矿工链包含了矿工的挖掘历史，可以根据这些信息得到矿工的状态，评估矿工的哈希算力.1.2.1.2 ptr main和谜题链指针ptr main指向一个谜题区块或者创世区块.谜题链以树形结构指向并确认其他一些常规区块.因此，只要节点对所有谜题区块达成共识，就对整个DAG达成了共识.为此，需要将所有谜题区块集合到一个链结构中，进而使所有的区块能被谜题区块所指定.1.2.1.3 ptr wait和连通性为了增强DAG区块间的连通性，将谜题链的安全性扩展到DAG中所有的区块.使用指针ptr wait指向另一个矿工的常规区块或者创世区块.从一般区块到谜题区块的有向边起到确认所有前驱区块的作用，DAG的强连通性会带来更快的交易确认速度.1.2.2 区块及其PoW共识机制矿工为了得到区块的记账权，并确定区块的类型，需要提供区块的PoW.为了获得PoW，在配置了指针之后，需要不断地枚举nonce值，直到计算出符合要求的区块哈希.设H为区块的哈希值，d为常规区块的难度值，p表示谜题区块的难度值，d和p的取值决定了矿工生成区块的难度和速度.本方案中，将p与比特币的难度值设为相同值，谜题链与比特币链的生长规则相一致，与比特币链具备相同的安全性;而d的取值需要比p的取值更容易，以减小常规区块的生成时间，提高系统吞吐量.如果H<d，则表示矿工生成了一个常规区块;如果H<p，则表示矿工生成了一个谜题区块.由于谜题区块的哈希值是难以计算的，由谜题区块所组成的谜题链保证了整个DAG结构的安全性，难以被篡改.1.3DAG结构本节引入一些符号和定义来描述DAG结构，根据图1所示的DAG区块链结构，用G表示区块集合，用B表示某个谜题区块.对于任意谜题区块B m∈G，由它确认的子集为：为了让网络节点在完全去中心化的情况下，能对高并发的DAG结构达成共识，本方案结合PoW共识机制与DAG区块链技术，设计了一种基于DAG的区块链结构及其共识机制.通过PoW机制选择一些哈希难度较高的区块组成一条谜题链，根据谜题链的最长链原则和最难链原则，得出DAG的拓扑排序.相较文献[4⁃7]的方案，本方案无需再进行“权重”或“连通性”等额外计算.谜题链由一些难度较大的谜题区块组成，使得区块链更加难被篡改，保证了系统的安全性和一致性.本方案的矿工链包含了矿工的历史记录，可以应用在基于个人信用的场景中，体现了本方案的扩展性.1 数据结构设计1.1整体结构概述为了确保DAG上的区块达成共识机制，设计一种紧密联系DAG上所有区块，且能使之有序排列的结构.考虑到生成区块需要进行PoW计算，选择哈希难度较高的一些区块作为谜题链区块，如图1所示.本方案在DAG中嵌入一条谜题链，谜题链上的区块为谜题区块，比常规区块更难被挖掘，但谜题区块与其他区块的挖掘工作流程相一致.另外，为了能够快速地对DAG进行拓扑排序，考虑将DAG分解退化成若干二叉树，每个节点除了有一条连接谜题链节点的边之外，还需要两条连接别的节点的边，以形成二叉树的左右分支.因此，在矿工准备生成区块的时候，需要配置3个指针指定区块之间的关系.第一个指针peer指向矿工的前一个区块，将矿工挖掘的所有区块连接到一个矿工链中，该矿工链包含了矿工的信息，比如他的哈希算力等;第二个指针main指向最长谜题链上的最新谜题区块，如果这个新区块被确认为谜题区块，那所有谜题区块都将通过这个指针与该新区块保持连接;第三个指针wait指向一个其他矿工挖掘的区块，以增强DAG节点之间的连通性.根据以上连接规则，某一区块连接节点的集合中，每个指针对应于一条有向边，区块之间按照时间先后顺序通过指针连接，即形成了一个DAG[8].当交易量增多的时候，前驱节点有多个入度，可以同时被多个后继节点所指向，从而能够支持数据的并发执行.当交易量减少时，后继节点有多个出度，可以同时指向多个前驱节点，以加速整个图形的收敛[9].1.2区块结构谜题链区块由区块体及区块头组成.区块体中包含应用数据message，区块头中包含了指定区块关系的3个指针（ptr peer，ptr main，ptr wait）、生成该区块的矿工信息peer、时间戳Timestamp、应用数据message的Merkle根、解决哈希难题的解nonce等，如图2所示.在所有区块中，整个DAG中的根节点即定义为创世区块.1.2.1 指针指针指定了区块之间的关系.由于通过指针可以回溯到某个区块的所有前驱区块，可以将对于某区块的共识机制扩展为所有前驱区块的共识机制.1.2.1.1 ptr peer和矿工链指针ptr peer指向由同一名矿工生成的前一个区块，如果该矿工此前没有生成过任何区块，则指向创世区块.这个指针将同一矿工挖掘的所有区块连接成链，即矿工链.矿工链包含了矿工的挖掘历史，可以根据这些信息得到矿工的状态，评估矿工的哈希算力.1.2.1.2 ptr main和谜题链指针ptr main指向一个谜题区块或者创世区块.谜题链以树形结构指向并确认其他一些常规区块.因此，只要节点对所有谜题区块达成共识，就对整个DAG达成了共识.为此，需要将所有谜题区块集合到一个链结构中，进而使所有的区块能被谜题区块所指定.1.2.1.3 ptr wait和連通性为了增强DAG区块间的连通性，将谜题链的安全性扩展到DAG中所有的区块.使用指针ptr wait指向另一个矿工的常规区块或者创世区块.从一般区块到谜题区块的有向边起到确认所有前驱区块的作用，DAG的强连通性会带来更快的交易确认速度.1.2.2 区块及其PoW共识机制矿工为了得到区块的记账权，并确定区块的类型，需要提供区块的PoW.为了获得PoW，在配置了指针之后，需要不断地枚举nonce值，直到计算出符合要求的区块哈希.设H为区块的哈希值，d为常规区块的难度值，p表示谜题区块的难度值，d和p的取值决定了矿工生成区块的难度和速度.本方案中，将p与比特币的难度值设为相同值，谜题链与比特币链的生长规则相一致，与比特币链具备相同的安全性;而d的取值需要比p的取值更容易，以减小常规区块的生成时间，提高系统吞吐量.如果H<d，则表示矿工生成了一个常规区块;如果H<p，则表示矿工生成了一个谜题区块.由于谜题区块的哈希值是难以计算的，由谜题区块所组成的谜题链保证了整个DAG结构的安全性，难以被篡改.1.3DAG结构本节引入一些符号和定义来描述DAG结构，根据图1所示的DAG区块链结构，用G表示区块集合，用B表示某个谜题区块.对于任意谜题区块B m∈G，由它确认的子集为：为了让网络节点在完全去中心化的情况下，能对高并发的DAG结构达成共识，本方案结合PoW共识机制与DAG区块链技术，设计了一种基于DAG的区块链结构及其共识机制.通过PoW机制选择一些哈希难度较高的区块组成一条谜题链，根据谜题链的最长链原则和最难链原则，得出DAG的拓扑排序.相较文献[4⁃7]的方案，本方案无需再进行“权重”或“连通性”等额外计算.谜题链由一些难度较大的谜题区块组成，使得区块链更加难被篡改，保证了系统的安全性和一致性.本方案的矿工链包含了矿工的历史记录，可以应用在基于个人信用的场景中，体现了本方案的扩展性.1 数据结构设计1.1整体结构概述为了确保DAG上的区块达成共识机制，设计一种紧密联系DAG上所有区块，且能使之有序排列的结构.考虑到生成区块需要进行PoW计算，选择哈希难度较高的一些区块作为谜题链区块，如图1所示.本方案在DAG中嵌入一条谜题链，谜题链上的区块为谜题区块，比常规区块更难被挖掘，但谜题区块与其他区块的挖掘工作流程相一致.另外，为了能够快速地对DAG进行拓扑排序，考虑将DAG分解退化成若干二叉树，每个节点除了有一条连接谜题链节点的边之外，还需要两条连接别的节点的边，以形成二叉树的左右分支.因此，在矿工准备生成区块的时候，需要配置3个指针指定区块之间的关系.第一个指针peer指向矿工的前一个区块，将矿工挖掘的所有区块连接到一个矿工链中，该矿工链包含了矿工的信息，比如他的哈希算力等;第二个指针main指向最长谜题链上的最新谜题区块，如果这个新区块被确认为谜题区块，那所有谜题区块都将通过这个指针与该新区块保持連接;第三个指针wait指向一个其他矿工挖掘的区块，以增强DAG节点之间的连通性.根据以上连接规则，某一区块连接节点的集合中，每个指针对应于一条有向边，区块之间按照时间先后顺序通过指针连接，即形成了一个DAG[8].当交易量增多的时候，前驱节点有多个入度，可以同时被多个后继节点所指向，从而能够支持数据的并发执行.当交易量减少时，后继节点有多个出度，可以同时指向多个前驱节点，以加速整个图形的收敛[9].1.2区块结构谜题链区块由区块体及区块头组成.区块体中包含应用数据message，区块头中包含了指定区块关系的3个指针（ptr peer，ptr main，ptr wait）、生成该区块的矿工信息peer、时间戳Timestamp、应用数据message的Merkle根、解决哈希难题的解nonce等，如图2所示.在所有区块中，整个DAG中的根节点即定义为创世区块.1.2.1 指针指针指定了区块之间的关系.由于通过指针可以回溯到某个区块的所有前驱区块，可以将对于某区块的共识机制扩展为所有前驱区块的共识机制.1.2.1.1 ptr peer和矿工链指针ptr peer指向由同一名矿工生成的前一个区块，如果该矿工此前没有生成过任何区块，则指向创世区块.这个指针将同一矿工挖掘的所有区块连接成链，即矿工链.矿工链包含了矿工的挖掘历史，可以根据这些信息得到矿工的状态，评估矿工的哈希算力.1.2.1.2 ptr main和谜题链指针ptr main指向一个谜题区块或者创世区块.谜题链以树形结构指向并确认其他一些常规区块.因此，只要节点对所有谜题区块达成共识，就对整个DAG达成了共识.为此，需要将所有谜题区块集合到一个链结构中，进而使所有的区块能被谜题区块所指定.1.2.1.3 ptr wait和连通性为了增强DAG区块间的连通性，将谜题链的安全性扩展到DAG中所有的区块.使用指针ptr wait指向另一个矿工的常规区块或者创世区块.从一般区块到谜题区块的有向边起到确认所有前驱区块的作用，DAG的强连通性会带来更快的交易确认速度.1.2.2 区块及其PoW共识机制矿工为了得到区块的记账权，并确定区块的类型，需要提供区块的PoW.为了获得PoW，在配置了指针之后，需要不断地枚举nonce值，直到计算出符合要求的区块哈希.设H为区块的哈希值，d为常规区块的难度值，p表示谜题区块的难度值，d和p的取值决定了矿工生成区块的难度和速度.本方案中，将p与比特币的难度值设为相同值，谜题链与比特币链的生长规则相一致，与比特币链具备相同的安全性;而d的取值需要比p的取值更容易，以减小常规区块的生成时间，提高系统吞吐量.如果H<d，则表示矿工生成了一个常规区块;如果H<p，则表示矿工生成了一个谜题区块.由于谜题区块的哈希值是难以计算的，由谜题区块所组成的谜题链保证了整个DAG结构的安全性，难以被篡改.1.3DAG结构本节引入一些符号和定义来描述DAG结构，根据图1所示的DAG区块链结构，用G表示区块集合，用B表示某个谜题区块.对于任意谜题区块B m∈G，由它确认的子集为：。
判断一个无向图是否连通图的方法
判断一个无向图是否连通图的方法
谭屯子; 高随祥; 杨文国
【期刊名称】《《中国科学院大学学报》》
【年(卷),期】2018(035)005
【摘要】判断图的连通性质是一个经典的图论问题,也是应用图挖掘和图分解的重要子问题。
除了图分解,图的连通性质也被运用于追踪疾病的传播、大型系统设计、社交网络分析和"Cayley图"的一些理论研究。
首先综述几种重要的判断无向图是
否是连通图的方法,例如广度优先搜索、深度优先搜索和图的拉普拉斯矩阵的特征值。
此外,提出一些新方法,例如邻接矩阵的指数和及逻辑和,其中逻辑和是基于搜索方法的计算形式。
在随机生成的超过10 000个顶点的图上测试了所有方法,结果显示广度优先搜索和逻辑和方法在超过100个顶点的大图上效果最好,逻辑和最快。
【总页数】7页(P582-588)
【作者】谭屯子; 高随祥; 杨文国
【作者单位】中国科学院大学数学科学学院北京100049; 中国科学院大数据挖掘和知识管理重点实验室北京100190
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.如何判断一个人是否具有领导人的潜力? [J],
2.判断一个无向图是否连通图的方法 [J], 谭屯子;高随祥;杨文国
3.用矩阵判断无向图同构的几种方法 [J], 张磊;李世群
4.如何判断一个数是否为数列中的项 [J], 陈小红
5.如何判断一个行业是否值得加入? [J], 刘润
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拓扑空间之间的映射对主要拓扑性质的保持性
拓扑空间之间的映射对主要拓扑性质的保持性摘 要拓扑学是近代发展起来的一个数学分支，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
近年来，拓扑学思想愈来愈渗入到物理学、化学和生物学领域中，愈来愈显示出它的重要地位。
在一般拓扑学中，拓扑空间的连通性、可数性、分离性、可度量化、紧性等是整个学科的主要内容，拓扑空间在一些重要映射作用之后是否保持原有性质在拓扑学研究中具有很重要的理论意义和价值。
本论文从最基本的拓扑性质出发，讨论各种映射（连续映射，开映射，闭映射，商映射，同胚映射或几种映射复合）对主要拓扑性质是否保持，保持的给出了证明，不保持的给出了反例。
首先，论文中所涉及的拓扑性质都是拓扑不变性质；其次，在连续映射下保持的性质有连通性、道路连通性、可分、Lindeloff 、紧致、可数紧致、序列紧致，从而它们也都是可商性质，不保持的性质有局部连通性、第一可数性、第二可数性、分离性、可度量化、仿紧致；然后，除了前面所说的可商性质外，还有局部连通性是可商性质，而第一可数性、第二可数性、有关分离性、可度量化、仿紧致都不是可商性质；最后，在开映射和闭映射下，这些拓扑性质都未必能保持，而对于那些在连续映射下也不保持的性质，通过进一步加强映射，发现在连续开映射下保持的有局部连通性、正规和正则，在连续闭映射下保持的有局部连通性、1T 、 3.5T 、4T 和正规。
关键词 连通性 可数性 分离性 紧性 映射To Preserve the Topological Properties by Mappings betweenTwo Topographical SpacesABSTRACTTopology, as a branch of mathematics, was introduced by mathematicians in the middle of the nineteenth century and developed in recent years. Its main purpose is to study some geometric problems originated from mathematical analysis. Invariants and invariant properties of a topological space under topological transformations are the main objects of study. In recent years, Topology becomes more and more important, as its ideas gradually infiltrated into the field of physics, chemistry and biology. In General Topology, connectivity, countability, Axioms of separation, metrizability, and compactness of a topological space are the main contents of the subject. Whether some important topological properties are preservedunder some main mappings has theoretical significance and value in the study of Topology. In this paper, based on the basic topological properties, we discuss whether the main topological properties are preserved under various mappings, such as continuous mapping, open mapping, closed mapping, quotient mappings, and homeomorphism mapping. We give the proofs for the affirmative ones and give counterexamples for the negative ones. First of all, all the topological properties involved in this article are topological invariant properties. Secondly, properties preserved under the continuous mappings are connectivity, path-connectivity, separability, Lindeloff, compactness, countable compact, and sequentially compact. Thus they are preserved under quotient mappings. Properties not preserved under the continuous mappings are the local connectivity, the first countability, the second countability, Axioms of separation, metrizability, and paracompactness. Then, besides the properties previously mentioned, the local connectivity is also preserved under quotient mappings. While the first countability, the second countability, Axioms of separation, measurability, and paracompactness are not preserved under quotient mappings. Finally, under open mappings and closed mapping, these topological properties may not be able to keep. For the properties which are neither preserved under open mappings and closed mapping nor preserved under continuous mappings, we can further consider whether they are preserved under the strengthened mappings. We find that under continuous open mappings, local connectivity, regularity and normality are preserved; under continuous closed mapping ,the local connectivity, 1T , 3.5T , 4T and regularity are preserved.KEY WORDS connectednesscountability Axioms of separationcompactness mapping目 录第一章 拓扑基本概念 (1)1.1 拓扑，邻域，开集，闭集，点列的极限，基，邻域基 (1)1.2 连续映射，同胚映射，开映射，闭映射 (2)1.3 商拓扑，商映射 (3)第二章 连通性 (4)2.1 有关连通性 (4)2.2 局部连通空间 (5)2.3 道路连通空间 (7)第三章 可数性 (9)3.1 第一与第二可数性 (9)3.2 可分空间 (10)3.3 Lindeloff 空间 (11)第四章 分离性 (13)4.1 01,,ausdorff T T H 空间 (13)4.2 正则，正规，3T ，4T 空间 (14)4.3 完全正则空间，Tychonoff 空间 (16)4.4 分离性与商空间 (17)4.5 拓扑空间的可度量化 (19)第五章 紧致性 (22)5.1 紧致空间 (22)5.2 可数紧致和序列紧致 (23)5.3 仿紧致空间 ............................................................................................................................ 24 参考文献 ....................................................................................................................................................26 致 谢 . (27)第一章 拓扑基本概念这一章主要介绍一些基本概念，由于我们对朴素集合论中关于集合的概念及运算关系等都比较熟悉，这里便不再赘述。
图连通性若干拓展问题探讨
因，每次开会前都必须对出席会议的骑士有如下要求：
• ① 相互憎恨的两个骑士不能坐在相邻的2个位置；
• ② 为了让投票表决议题时都能有结果（不平票），出席会议的骑士数必须是奇数。
• 如果有某个骑士无法出席任何会议，则国王会为了Peace of the World把他踢出骑士团。
}
Network
• A network administrator manages a large network. The network consists of N
computers and M links between pairs of computers. Any pair of computers are
双连通分量
• 点双连通图：点连通度大于1的图称为点双连通图（没有割点）。
• 边双连通图：边连通度大于1的图称为边双连通图（没有割边）。
• 无向图G的极大(点/边)双连通子图称为(点/边)双连通分量。
• 缩点：把一个双连通分量缩为一个点的过程，就是删除与该双连通分量相关的所有点和边，
然后新建一个点，向所有与双连通分量中的点有边相连的点连边。
{
mark x as a cut-vertex
repeat
z←top of stack s
pop z from stack s
until z=y
mark vertexes just poped and x as a DCC
}
} else low[x]←min(low[x],dfn[y])
Knights of the Round Table
无向图上的经典Tarjan算法
3-连通图与仙人掌图的计数问题的开题报告
3-连通图与仙人掌图的计数问题的开题报告1. 研究背景图论是离散数学中的重要分支，近年来得到了广泛关注。
图的连通性是图论中的一个基本概念，研究图的连通性问题是图论的重要研究内容。
在无向图中，一个连通分量是指在图中存在一个顶点集合，在此集合中任意两个顶点均可以通过图中的边相连通。
3-连通图是指从一个3-连通图中任意删除1到2个点后，剩下的图仍然是连通的。
而仙人掌图是指图中不存在长度大于等于3的简单环且通过删除图中的任意一条边都可以得到一颗生成树。
3-连通图与仙人掌图的研究在信息学竞赛和实际应用中都有着重要作用。
2. 研究内容本文拟深入探究3-连通图与仙人掌图的计数问题。
具体来说，研究内容包括如下两个方面：（1）3-连通图的计数问题首先要解决的问题是如何计数3-连通图的个数。
较为成熟的解决方法是采用构建某种简单图族来进行计数。
其中一种简单图族就是在一个n 个节点的环上插入若干条边，从而得到一个3-连通图。
因此，我们首先可以计算出插入k条边得到3-连通图的个数，进而计算出总的3-连通图的个数。
另外，一些基于网络流的算法也能够高效计算3-连通图的个数，这也是研究的一个方向。
（2）仙人掌图的计数问题仙人掌图是一种特殊的图，在实际应用中有着广泛的应用。
仙人掌图的计数问题是指给定n个节点的有标号无向简单图，求其中有多少个是仙人掌图。
目前已经有了一些比较成熟的算法，比如基于图的生成函数和Möbius反演的方法，我们需要深入研究这些方法的实现机制，以及采用更为高效的算法解决问题。
3. 研究意义研究3-连通图与仙人掌图的计数问题在科学研究和实际应用中有着重要意义。
在信息学竞赛中，3-连通图与仙人掌图是非常常见的问题，研究计数问题可以为选手们提供解决问题的思路，提高其算法能力；在实际应用中，3-连通图与仙人掌图的计数问题也有着广泛的应用，比如在自组织网络、城市交通、网络安全等方面都有着重要的作用。
4. 研究方法本文将采用数学分析、组合计数、生成函数以及组合枚举等研究方法，综合运用多种算法解决3-连通图与仙人掌图的计数问题。
图论与组合
福建师范大学研究生考试、考查成绩登记表学院数学与计算机科学学院专业学科教学（数学）年级2015级研究生研究生姓名何媛媛学号20151226 导师潘彪课程名称现代数学概览课程类别（学位课、必修课、选修课）考试时间课内学时数总学时数学分数成绩评定结果任课教师主考教师（签名）考试考查补考张胜元对考生学习情况的简要评语：注：请主考教师将此表填写好，附在该学生试卷的首页，连同试卷交研究生秘书处。
考试成绩按百分法，考查成绩按五级制记分法，补考按实际成绩记载、成绩及格评定结果记“通过”、不及格记“不通过”、学位课程75分以上评为合格2015-2016学年第一学期全日制专业学位研究生期末课程论文课程名称：现代数学概览论文题目：图论问题在数学竞赛中的应用任课教师：张胜元老师学院：数学与计算机科学学院专业：学科教学（数学）学号：20151226姓名：何媛媛目录摘要 (1)前言 (2)1、竞赛数学中与图论有关的定理及其性质 (3)1.1简单图 (3)1.2完全图 (3)1.3欧拉图与哈密顿图 (3)1.4竞赛图 (3)2、竞赛数学中与图论有关的常见问题 (4)2.1图的连通性问题 (4)2.2图的遍历问题 (4)2.2.1欧拉问题 (4)2.2.2哈密顿问题 (4)3、解决数学竞赛图论问题的常用方法 (5)3.1存在性问题 (5)3.1.1抽屉原理 (5)3.1.2反证法 (6)3.1.3极端性原理 (6)3.1.4计数方法 (6)3.2组合最值问题 (7)3.2.1构造法 (7)3.2.2调整法 (7)小结 (8)图论问题在数学竞赛中的应用摘要图论问题最早起源于世纪初，随肴计算机等现代工丹的产生，图论又与计算机网络、结构化学等相联系，得到广泛的应用而作为竞赛数学中组合部分的一个分支，在解决问题方面，如果从图论的观点出发，往往给我们提供一个处理问题的角度本文运用文献分析法，结合国内外有关图论的赛题，探究了“图论与竞赛数学组合问题”的联系，搭建起图论研究与竞赛数学研究的桥梁关键词：图论问题竞赛数学解题方法前言经过多年的发展，竞赛数学所涉及的内容，大致可归结为六个方面、四大支柱、三大热点。
《Web数据可视化》教学教案
第1章数据可视化概述教案课程名称：《Web数据可视化》课程类别：必修适用专业：大数据技术类、商务数据分析与应用、电子商务等相关专业总学时：64学时（其中理论31学时，实验33学时）总学分：4.0学分本章学时：4学时一、材料清单（1）《Web数据可视化》教材。
（2）配套PPT。
（3）引导性提问。
（4）探究性问题。
（5）拓展性问题。
二、教学目标与基本要求1. 教学目标根据目前数据可视化发展现状，首先介绍数据可视化的概念，并通过列举数据可视化的一些应用场景，让学生初步了解数据可视化的在一些领域的作用；其次介绍数据可视化的流程和常见的数据可视化工具，然后重点介绍数据可视化工具ECharts的发展历程、使用场景和ECharts4.x的特性；最后，介绍开发工具Eclipse的下载和使用。
2. 基本要求（1）了解数据可视化的基本概念。
（2）熟悉数据可视化的基本流程。
（3）了解常用的数据可视化工具。
（4）了解ECharts发展历程和ECharts4.x的特性。
（5）掌握开发工具Eclipse的下载和使用。
三、问题1.引导性提问引导性提问需要教师根据教材内容和学生实际水平，提出问题，启发引导学生去解决问题，提问，从而达到理解、掌握知识，发展各种能力和提高思想觉悟的目的。
（1）文字和图形哪一种更容易让人理解？（2）举例说明数据可视化能够做什么？（3）现实生活中存在哪些数据可视化的应用？（4）该如何进行数据可视化？2.探究性问题探究性问题需要教师深入钻研教材的基础上精心设计，提问的角度或者在引导性提问的基础上从重点、难点问题切入，进行插入式提问。
或者是对引导式提问中尚未涉及但在课文中又是重要的问题加以设问。
（1）数据可视化的完整流程是怎样的？（2）数据可视化的能够应用在哪些场景？（3）数据可视化工具有哪些？3. 拓展性问题拓展性问题需要教师深刻理解教材的意义，学生的学习动态后，根据学生学习层次，提出切实可行的关乎实际的可操作问题。
“数形结合”沟通算理和算法
“数形结合”沟通算理和算法“数形结合”是一种将数学和几何图形相结合的方法，它能够帮助我们更好地理解和解决实际问题，并且它在算理和算法中也起着重要的作用。
本文将从数学和几何角度来阐述“数形结合”的含义，并探讨其在算理和算法中的应用。
“数形结合”能够帮助我们更好地理解和解决问题，因为图形可以直观地展示数学概念。
例如，在代数中，我们学习到了一元一次方程的概念和解法。
用图形的方式展示一元一次方程，我们可以将方程画成一条直线，通过观察这条线在平面上的位置和斜率，我们可以很容易地得到方程的解。
这样的图形展示不仅更加直观，而且使得解题过程变得更加易于理解。
除了在数学中的应用外，数形结合也在算理和算法中起着重要的作用。
在计算机科学中，算理是指通过逻辑推理和数学方法来研究和解决计算问题的学科。
而算法则是解决问题的一种有效方法，它是一系列指令的有限序列，通过这些指令来解决特定问题。
在算理和算法中，我们往往需要通过数学和逻辑的方法来解决问题，并且需要将问题和解决方法进行形式化和抽象化。
在算理和算法中，数形结合能够帮助我们更好地理解问题的本质，并且能够帮助我们设计出更加有效的算法。
例如，在图论中，我们研究和解决的问题往往与网络、路径和连通性有关。
通过将这些问题用图形的方式表示出来，我们可以更好地理解问题的本质，并且可以利用图形的性质来设计出更加高效和优化的算法。
例如，在最短路径算法中，通过使用图形的形式表示网络和路径，我们可以使用迪杰斯特拉算法或者弗洛伊德算法来解决最短路径问题，从而得到最优解。
总结起来，数形结合是一种将数学和几何图形相结合的方法，它能够帮助我们更好地理解和解决问题。
无论是在数学中还是在算理和算法中，数形结合都起着重要的作用。
通过将抽象的数学概念通过几何图形的方式表示出来，我们可以更加直观地理解问题的本质，并且可以设计出更加高效和优化的算法。
因此，数形结合是数学和计算机科学领域中一个重要的概念和方法，值得我们深入研究和应用。
矩阵的意义
理解矩阵（一）2006-04-02 00:30 54984人阅读评论(145) 收藏举报前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。
于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。
很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。
可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。
比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。
大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。
这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。
对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。
长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。
一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。
这种情形在国内外皆然。
瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。
2-边连通图的合理定向问题
2-边连通图的合理定向问题
韩强;刘家壮
【期刊名称】《山东大学学报：理学版》
【年(卷),期】2003(38)4
【摘要】以城市道路的交通管理为背景 ,在考虑一个交通网通行能力平衡的基础上提出合理定向的概念 ,进而给出一个 2 -边连通图存在合理定向的充要条件 ,并说明合理定向和普通意义下以连通性作为衡量标准的定向是互不包含的 .
【总页数】5页(P58-62)
【关键词】合理定向;奇度点配对;单交叉割集;双交叉割集
【作者】韩强;刘家壮
【作者单位】山东大学数学与系统科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.2-连通图中点不交路的划分问题 [J], 张丽
2.关于2-连通图的哈密顿指数界限的改进 [J], 吴廷增
3.探索2-边连通图的等价定义 [J], 苏静;马飞;姚兵
4.2-连通图的修正的彩虹顶点连通数 [J], 王万禹
5.2-连通图的一些等价定义 [J], 苏静;马飞;姚兵
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一种求连通图树的集合的方法
一种求连通图树的集合的方法
林山
【期刊名称】《电工教学》
【年(卷),期】1997(019)004
【摘要】在图论领域中关于求连通图树的集合的方法不少，但都不很简明与适用。
本文从集合论的基本概念出发，证明了一种求连通图树的集合的简明适用的方法的正确性，并给出计算机计算方法。
【总页数】5页(P34-38)
【作者】林山
【作者单位】东北电力学院设计研究院
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.一种基于属性-值树的求核与约简方法 [J], 王晓帆;王宝树;柴慧敏
2.基于改进Wang-代数生成连通图全部树的方法研究 [J], 唐立军;罗日成;肖红光;邓敏;粟娟
3.连通图的基本割集多项式生成所有支撑树的一种证明 [J], 王忠义
4.一种求图的全部生成树的新方法 [J], 李毅夫
5.一种用“改进的王氏代数法”求有向树组的方法 [J], 李卫国;彭扬烈
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一类笛卡尔积图的连通性
一类笛卡尔积图的连通性葛国菊;马永梅【摘要】本文主要运用约化的方法证明了对图集F上的任意图H,则有H×Cm,m≥2,是Z3-连通的.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2011(013)003【总页数】5页(P17-21)【关键词】笛卡尔积;群连通;直系点【作者】葛国菊;马永梅【作者单位】巢湖学院数学系,安徽巢湖238024;巢湖学院数学系,安徽巢湖238024【正文语种】中文【中图分类】O157.5写本文的主要动机是由两个猜想而引起的猜想 1（ Bondy[1]）：4-边连通图有 Z3-NZF.猜想 2（ Jaeger[2]）：5-边连通图是 Z3-连通的.Kochol在[3]中证明了猜想1等价于5-边连通图有Z3-NZF，因此猜想2包含猜想1.由于H×Cm，m≥2为 5-正则图，且当m≥5时，H×Cm为5-边连通的5-正则图，因此根据猜想2它应该是Z3-连通的.本文主要用约化的方法证明了对图集F 上的任意图H，则H×Cm，m≥2是Z3-连通的.本文中的图都是指无环的有限图，用到的群都是Abel群，对一个有限Abel群A，G是A-连通的，记作G∈＜A＞.一个非平凡的2-正则的连通图称为一个圈，一个圈有k-条边，称为k-圈，记作Ck.由Ck添加一个新顶点x，和k条边xvi（i=1，2，…，k），其中V(Ck)={v1,v2,…,vk}，所得到的图称为k-轮图，记作Wk.设G是一个图，v∈V(G)，d(v)≥4，令 N(v)={v1，v2，…，vm}为 v 的邻点集，令 X={vv1，vv2}，则图G[v，X]是由 G\{vv1,vv2}添加一条新边v1v2所得到的图.若H是G的子图，记作H⊆G.以上的基本概念在[4]中有介绍.命题 1 （i[5]）：对任意 Abel群 A，＜A＞是一族连通图满足：（1）K1∈＜A＞；（2）若e∈E(G),且G∈＜A＞，则G/e∈＜A＞；（3）若 H⊆G 且 H，G/H∈＜A＞，则G∈＜A＞；（4）若|A|≥n+1,则Cn∈＜A＞；（5）若G[v,X]∈＜A＞，则G∈＜A＞.命题 2 （M.Devos[6]）：对∀n≥1，则有W2n∈＜Z3＞.若H⊆G，H∈＜A＞，则称H为G的A-可收缩子图，也可称H上所有的点在A上都可收缩到H 上某点vH；要判断G∈＜A＞，根据命题1（3）知，只要判断G/H∈＜A＞；G/H是把H上所有的点收缩成一点vH，再把所有的环去掉得到的图；由命题 1（4）知C2∈＜Z3＞，其中 V(C2)={v1,v2}，则称 C2可收缩到点v1或v2可收缩到点v1.基本思想方法在[7]中有介绍.定义1：图G和H的笛卡尔积，记作G×H，点集为V(G)×V(H)={(g，h)：g∈V(G)，h∈V(H)}，对任意点(g1，h1)，(g2，h2)∈V(G×H)，若((g1，h1)，(g2，h2))∈E(G×H)，则 g1=g2，(h1，h2)∈E(H)或(g1，g2)∈E（G），h1=h2. 为了叙述方便令 V （H）={h1，h2，…，hn}，V（G）={g1，g2，…，gm}，在G×H 中，一个层G×{hi}称为第i个 G-层；一个层{gj}×H称为第 j个H-层；定义2：F是为一个图集满足下列条件：（1）Cn×e∈F，对∀n≥2；（2）对∀H1，H2∈F，在H1，H2上的任一块的外圈上添加一点，并把这两点用一条边连起来所得到的图为H，则H∈F.由定义2可知F是一个块树集，即F上任意图H的每一个块都是一个Cn×e，n≥2，且块与块之间用一条边连起来.定义3：设H是F中的一个块树，H的每一个块都是一个Cn×e，n≥2，选定H上的一个块作为根块，则其他块有且只有一个父块；每个块上与父块相连的点称为直系点，则每个块（非根块）只有一个直系点；若把块树的各个块看成一点，则一个块点到根块点的距离称为该块的层数，H中各块点的层数的最大值称为该块树H的树高，其中根块所在的层为第0层.由定义3可知，若块（非根块）是引理5中的H，则直系点为5；若块（非根块）是引理4中的H，则直系点为7；若块（非根块）是引理3中的H，则直系点为9；若块（非根块）是引理 1中的H，则直系点为11；若块（非根块）是引理2中的H，则直系点为2n+1.通过研究主要得出以下结论：定理 1：对∀H∈F，G=Cm，m≥2，则G×H∈＜Z3＞.在证明定理之前我们先看几个引理，而下列引理及推论中需要用到以下几个图，我们先描述一下：图G1=C3∪{v1，v2}，其中 V(C3)={1，2，3}，且 v1，v2与点 1，2，3 都相邻；图G2=Cm∪{v1}，其中 V(Cm)={1，2，…，m}（m≥4），且 v1与点 3，…，m 都相邻，同时 v1与点 2形成2-圈；图 G3=Cm∪{v1，v2}，其中 V(Cm)={1，2，…，m}(m≥4)，且 v1与点 1，2，…，m 都相邻，v2与点 2，3，…，m 都相邻；图G4=Cm∪{v1，v2}，其中 V(Cm)={1，2，…，m}(m≥4)，且 v1与点 1，2，…，m 都相邻，v2与点 1，2都形成2-圈；图G5=Cm×e∪{v1}，其中 V(Cm)={1，2，…，m}(m ≥4)，V(e)={g1，g2}，且v1 与点 (g1，1)， (g1，2)，..，(g1，m)都相邻，同时 v1 与点(g2，1)，(g2，2)也相邻；图G6=Cm×e∪{v1，v2}，其中 V(Cm)={1，2，…，m}(m ≥4)，V(e)={g1，g2}，且 v1 与点 (g1，1)， (g1，2)，..，(g1，m)都相邻，v2 与点(g2，1)，(g2，2)，..，(g2，m)都相邻.容易证明它们都是Z3-连通的.引理1：设H1为C5×e再把外圈细分所得到的图，G=Cm，m≥2，记V(H1)={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，其中内圈上点按逆时针方向分别为{1，2，3，4，5}，外圈上点为{6，7，8，9，10}，且1 和6 相邻，外圈上细分点为{11，12，13，14，15}，且 11 与 7，8 相邻，在G×H1中，H1上点12，13，14，15 所对应的 G-层上点都分别与 v12，v13，v14，v15 相邻，令T=G×H1∪{v12，v13，v14，v15}，则T∈＜Z3＞.证明：（i）当m=2时，命题显然成立；（ii）当 m=3 时，记 V（G）={g1，g2，g3}，令（g1，6）为 v1，去掉边（（g1，1），（g1，5）），（（g1，5），（g1，10））和((g1，10)，(g1，14))，添加边（（g1，1），（g1，14）），去掉边（（g1，1），（g1，2）），（（g1，2），（g1，7））和（（g1，7），（g1，15）），添加边（（g1，1），（g1，15）），去掉边（（g1，14），（g2，14））和（（g2，14），（g2，6）），添加边（（g1，14），（g2，6）），去掉边（（g1，15），（g2，15））和（（g2，15），（g2，6）），添加边（（g1，15），（g2，6）），则 v1与（g1，1），（g1，14），（g1，15），（g2，6）形成 W4，由命题2知W4∈＜Z3＞，于是把这个W4收缩成一点，仍记为v1，这时 v1与点（g2，1），（g3，6）都形成 2-圈，同时 v1与（g3，1），（g3，14），（g3，15）都相邻，因此把点（g2，1），（g3，6），（g3，1），（g3，14），（g3，15）依次收缩到 v1，则 v1与点 v14，v15都形成 2-圈，把点v14，v15都收缩到 v1，此时 v1与点（g2，14），（g2，15）都形成2-圈，所以可把点（g2，14），（g2，15）收缩到v1。