浦东新区2013年高考数学二模卷

浦东新区2013年高考二模模拟卷
数学试卷（理科）
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应
编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．已知复数z 满足i z i -=⋅1（其中i 为虚数单位），则z = .
2．已知集合A ＝{}2,1,2-，B ＝
}
1,a ，且B A ⊆，则实数a 的值是 .
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:4:3，现用分层抽样的方法从该校高
中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生. 4．函数x x f 2
log
1)(+=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)3(g .
5．把三阶行列式1
3
1
04
302
--x x
x
中第1行第3列元素的代数余子式记为)(x f ，则关于x
的不等式0)(<x f 的解集为 .
6．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0,10(，则双曲线的标准方程
是 .
7．若直线340x y m ++=与圆1)2()1(:22=++-y x C 有公共点，则实数m 的取值范围
是 .
8．记直线n l ：01)1(=-++y n nx （*
N n ∈）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为n S ，
则=++++∞
→)(lim 321n n S S S S .
9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若4
1cos ,7,2-==+=B c b a ，
则=b .
10．若等式5
5443322105)1()1()1()1()1(x a x a x a x a x a a x ++++++++++=对一切
R x ∈都成立，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实常数，则4a ＝ .
11．方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为 .
12．某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张.约定如下：如果出现两个偶数或两
个奇数，就将两数相加的和记为ξ；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为ξ，
则随机变量ξ的数学期望为 .
13．如果M 是函数)(x f y =图像上的点，N 是函数)(x g y =图像上的点，且N M ,两点之
间的距离MN 能取到最小值d ，那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.
按这个定义，函数x x f =)(和34)(2
-+-=
x x x g 之间的距离是 .
14．数列}{n a 满足1
241+-=
+n n n a a a （*∈N n ）．
①存在1a 可以生成的数列}{n a 是常数数列； ②“数列}{n a 中存在某一项65
49=
k a ”是“数列}{n a 为有穷数列”的充要条件；
③若{}n a 为单调递增数列，则1a 的取值范围是)2,1()1,( --∞；
④只要k
k k k
a 2
32
311--≠
+，其中*∈N k ，则n n a ∞
→lim 一定存在；
其中正确命题的序号为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个
选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
15．“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 （ ）
)(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件 )(C 充分必要条件
)(D 既不充分也不必要条件
16
,3=
,4=,33)3()(=+⋅+b a b a 则a 与b 的夹角为 （ ）
)
(A 6
π
)
(B 3
π
)
(C 3
2π )
(D 6
5π
17．已知以4为周期的函数(](]⎪⎩
⎪
⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos 1,1,1)(2x x
x x m x f π，其中0>m 。

若方程3
)(x x f =
恰有5个实数解，则m 的取值范围为 （ ）
)(
A 8,)33 )(
B 3 )(
C 48,33⎛⎫
⎪⎝⎭
)(
D 4(3．
18．从集合{}2013,,4,3,2,1 中任取3个元素组成一个集合A ，记A 中所有元素之和被3
除余数为i 的概率为)20(≤≤i P i ，则210,,P P P 的大小关系为 （ ）
210)(P P P A == 210)(P P P B =>
210)(P P P C =<
210)(P P P D >>
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.
如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长是2，体积是16，,M N 分别是棱1BB 、11C B 的中点．
（1）求直线M N 与平面11AC C A 所成的角（结果用
反三角函数表示）；
（2）求过11,,C B A 的平面与该正四棱柱所截得的多
面体111A C D ABC D -的体积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分.
已知向量()1,1,m = 向量n 与向量m 的夹角为34
π
，且1m n ⋅=- 。

（1）求向量n
；
（2）若向量n 与(1,0)q = 共线，向量22cos ,cos 2C p A ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
，其中A 、C 为A B C ∆的
内角，且A 、B 、C 依次成等差数列，求n p +
的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
设函数()()||f x x a x b =-+
（1）当2,3a b ==，画出函数()f x 的图像，并求出函数()y f x =的零点； （2）设2b =-，且对任意[1,1]x ∈-，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.
D1
A
B
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，
第（3）小题满分6分.
已知直角ABC ∆的三边长,,a b c ，满足a b c ≤< （1）在,a b 之间插入2011个数，使这2013个数构成以a 为首项的等差数列{}n a ，且它们的和为2013，求c 的最小值；
（2）已知,,a b c 均为正整数，且,,a b c 成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到
大排成一列n S S S S ,,,,321 ，且n n n S S S S T )1(321-++-+-= ，求满足不等式
1
22
6+⋅>n n T 的所有n 的值；
（3）已知,,a b c 成等比数列，若数列{}n X
()
n
n
n c a n N a c *
⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，证明：
数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且n X 是正整数.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，
第（3）小题满分8分.
（1）设椭圆1C ：
122
2
2
=+b
y
a x
与双曲线2C ：18992
2
=-y
x 有相同的焦点21F F 、，M 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共点，且21F MF ∆的周长为6，求椭圆1C 的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.
（2）如图，已知“盾圆D ”的方程为⎩⎨
⎧≤<--≤≤=)
43()
4(12)30(42
x x x x y .
设“盾圆D ”上的任意一点M 到()1,0F 的距离为1d ，M 到直线3:=x l 的距离为2d ，求证：21d d +为定值；
（3）由抛物线弧1E ：x y 42
=（203
x ≤≤
）与第（1）小题椭圆弧2E ：
12
2
22
=+
b
y
a x
（
a x ≤≤32
）所合成的封闭曲线为“盾圆E ”.设过点()1,0F 的直线与“盾圆E ”交于B A 、两点，1||r FA =，2||r FB =且α
=∠AFx （πα≤≤0），试用αcos 表示1r ；并求
2
1r r 的取值范围.。