第二章计算机控制系统的理论基础

[ Ar t r1 Ar1 t r2 L
(r 1)! (r 2)!
n
A1]e p0t
Aie pit
i r 1
14
例2-4
求F(s)
(s
s3 2)2 ( s
1)
的拉氏反变换。
解：对F(s)进行分解
F(s)
(s
s3 2)2 ( s
1)
(s
A2 2)2
A1 s2
A3 (s 1)
计算各项待定系数
当A(s)=0含有一对共轭复极点时， F(s)的原函数中含有正弦或余弦 函数。
10
例2-3
求
F(s)
s 1 s(s2 s 1)
解：对F(s) 分解得
F(s)
A0 s
A1s s2 s
A2 1
F(s) 有一个实极点和一对共轭复极点，分别求其待定系数：
A0
[s
s(
s
s 1 2 s
1)
]s
0
1
s 1 [ s(s2 s 1)
6)
设，F(s) L[ f (t)] 则 f (t)
lim sF(s) 和 lim f (t) 各有极限存在，
s
t0
lim f (t) lim sF(s)
t0
s
7)
若原函数f(t)和函数sF(s)在t→∞和s→0
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
例：
F(s)
s2
2
22
原函数为： sin(2t)
s2
n2 2ns
n2
G(s) e s
(ωn为自然振荡角频率，ζ为阻尼比) (τ为延迟时间)
17
2.2 线性离散系统的数学描述
2.2.1 信号变换
图2-1 计算机控制系统信号变换示意图
18
1) 模拟量到数字量的转换
设连续信号为f(t)，经采样后转换成离散的模拟信号f*(t) , 再对其进行量 化，即A/D
n
L1[
i 1
s
Ai pi
n
]
i 1
Aie pit
7
例2-1
求
F(s)
s2
s2 4s 3
的拉氏反变换。
解：将F(s)分解成部分分式，则
F(s)
s2
s
2 4s
3
A1 (s 1)
A2 (s 3)
∵
Ai
lim (s
s pi
pi )F(s)
A1
lim ( s
s1
1)
(s
s2 1)(s
3)
例2-5
设
F
(
z
)
1
1 0.5z
1
，求原函数f*(t)。
解：用长除法求F(z)的原函数
1 0.5z1 0.25z2 0.125z3 L
1 0.5z1 1 1 0.5z1
0.5z 1
0.5z1 0.25z2
0.25z 2
0.25z2 0.125z3
0.125z3
M
F (z) 1 0.5z1 0.25z2 0.125z3 L
L[af1 t bf2(t)] aL[ f1(t)] bL[ f2(t)] aF1(s) bF2(s)
2)
L[df (t)] sF(s) f (0)
dt
L[
d
2f dt
(t
2
)
]
s2F (s) sf
(0)
f
'(0)
式中：f(0)是函数f(t)在t=0时的值，f’(0)是函数f(t)的微分在t=0时 的值。当f(0)=f’(0)=0时
所以原函数为：
f (t) (t) 1 et 1 e3t 22
9
2）A(s)=0有共轭复根 当A(s)=0含有一对共轭复根时， F(s)可展开为
F (s) A1s A2 (s p1)(s p2 )
式中：A1、 A2为常数，p1、p2为一对共轭复极点， p1、p2可由下式求得 [F (s)(s p1)(s p2 )]s p1 ( A1s A )2 s p1 求出A1，A2后，对F(s)进行适当变形，再求原函数。
1 2
A2
lim ( s
s3
3)
(s
s2 1)(s
3)
1 2
将A1、A2代入原式得：
F(s) s 2 1 1 1 1 s2 4s 3 2 (s 1) 2 (s 3)
其拉氏反变换为：
f
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(t)
L1[F
(s)]
L1[
s2
s
2 4s
] 3
L1[
1 2
(s
1] 1)
L1[
1 2
(s
1
] 3)
当t→∞时极限不存在，不能用终值定理。
5
6
1）A(s)=0均为单根
F(s)
A1
A2
L
An
n
Ai
s p1 s p2
s pn i1 s pi
式中：Ai为常数，可由下式求得
Ai
lim (s
s pi
pi )F(s)
或 Ai [F (s)(s pi )]s pi
f
(t)
L1[F (s)]
15
2.1.5 传递函数
1）传递函数的性质
(1) 传递函数只表示了系统输出量和输入量之间的关系，而不反映系 统物理结构(不同物理性质的系统可以有相同的传递函数)。
(2) 传递函数只与系统结构及参数有关，而与输入信号无关。 (3) 传递函数分子多项式的阶次总是低于或最多等于分母多项式的阶次，
即n≥m(这是由于系统总具有惯性及受到能源限制而决定的)。 (4) 传递函数的拉氏反变换，就是系统的脉冲响。
K 0
F(s):连续函数的拉氏变换
F(z):离散函数的z变换
22
2) 几个常用的z变换
f (t)
脉冲函数
(t)
阶跃函数
1(t)
斜坡函数
t
加速度函数
1 t2 2!
指数函数
e at
F(z)
1
z z 1 Tz ( z 1)2
T 2 z( z 1) 2( z 1)3
z z eaT
23
3) z变换的基本定理
f (1) (0) f (2) (0) 0
L[
f
(t)dt]
1 s
F(s)
L[
f
(t)dt2 ]
1 s2
F(s)
4) 时滞定理(实位移定理)
L[ f (t T )] esT F (s)
5)
L[ f (t)eat ] F (s a)
例
L[sin(t)eat
]
(a
s)2
2
4
2.1.3常用的拉氏变换法则
L[df (t)] sF(s) dt
L[
d
2f dt
(t)
2
]
s2
F
(s)
3
2.1.常用的拉氏变换法则
3)
L[ f (t)dt] 1 F(s) 1 f (1)(0)
s
s
L[
f (t)dt2 ]
1 s2
F(s)
1 s2
f (1) (0) 1 s
f (2) (0)
式中：f (1)(0)，f (2)(0) 分别为 f (t)的一、二次重积分在t=0时的值。当
j!
ds j
M
A1
lim
s p0
(r
1 1)!
d
r 1[( s
p0 )r ds r 1
F
(s)]
13
求出待定系数后代入F(s)，再求拉氏反变换
f (t) L1[ Ar Ar1 L A1 Ar1 L An ]
(s p0 )r (s p0 )r1
s p0 s p r1
s pn
为求原函数，对F(s)
1
s
1 s 0.5 0.5
F (s) s s2 s 1 s (s 0.5)2 0.8662
1 s
(s
s 0.5 0.5)2 0.8662
(s
0.5 0.5)2 0.8662
1
s 0.5
0.5/ 0.577
s
(s
0.5)2
0.8662
0.577 (s
采样定理(也称香农定理)
f *(t) f (KT ) (t KT ) f (t) (t KT )
K 0
K 0
2) 信号的恢复
（K为正整数）
(1)
零阶保持器恢复信号的基本思想是：将某一采样时刻的信号原封不 动地保持(外推)到下一采样时刻。
19
图2-3 零阶保持器恢复信号示意图
零阶保持器的传递函数为
A2
lim[(s
s2
2)2
(s
s3 2)2 ( s
] 1)
1
A3
lim ( s
s1
1)
(s
s3 2)2 ( s
] 1)
2
A1
lim
s2
d[(s
2)2
(s ds
s3 2)2 ( s
1)
]
2
代入F(s) 得
F(s)
(s
s3 2)2 ( s
1)
(s
1 2)2
2 s2
(s
2 1)
原函数为
f (t) te2t 2e2t 2et (t 2)e2t 2et
F (s) Ar (s p0 )r
(s
Ar1 p0 )r1
L
A1 s p0
Ar1 L s p r1
An s pn
式中：
Ar
lim (s
s p0
p0 )r F (s)
Ar1
lim
s p0
d[(s
p0 )r ds
F ( s)]
M
Ar j
lim
s p0
1 d j[(s p0 )r F (s)]
阶跃函数
1(t)
斜坡函数
t
加速度函数
1 t2 2!
指数函数
e at
正弦函数
sin(t)
余弦函数
cos(t)
F(s)
1
1 s
1 s2 1 s3 1 sa s2 2
s
s2 2
2
2.1.常用的拉氏变换法则
设： F(s)=L[f(t)]，F1(s)=L[f1(t)]，F2(s)=L[f2(t)] 1)
0.5)2
0.8662
所以F(s)的原函数为：
f (t) 1 e0.5t cos(0.866t) 0.577e0.5t sin(0.866t)
A(s)=0含有一对共轭复根时，原函数中有正弦和余弦函数。
12
3）A(s)=0有重根 设-p0为r阶重根，-pr+1，-pr+2，…，-pn为单根，则F(s)可展
1 et 1 e3t
22
8
例2-2
求
s2 5s 5 F(s) s2 4s 3
的拉氏反变换。
解：因为F(s)的分母和分子阶数相同，对其进行分解得：
s2 5s 5 (s2 4s 3) (s 2)
(s 2)
F(s) s2 4s 3
s2 4s 3
1 s2 4s 3
原函数为： f*(t)=δ(t)+0.5δ(t-T)+0.25δ(t-2T)+0.125δ(t-3T)+…
25
(2)
z反变换的部分分式法与拉氏反变换的部分分式法类似
例2-6
求
F(z)
0.5z 1 1 1.5z1 0.5z2
的z反变换。
解：将F(z)分解成部分分式之和的形式
F(z)
1
0.5z 1 1.5z1 0.5z
2
(1
0.5z 1 z1)(1 0.5z1)
A 1 z1
1
B 0.5z
1
式中待定系数A和B
A
lim(1
z1
z 1 )
(1
0.5z 1 z1)(1 0.5z1)
0.5 1 0.5
1
B
lim (1
z0.5
0.5z 1 )
(1
0.5z 1 z1)(1 0.5z1)
1 1
(3) 复平移定理
(超前定理)
Z[eat f (t)] F (emaT z)
(4) 初值定理
lim f (t) lim F(z)
t 0
z
(5) 终值定理
lim f (t) lim(z 1)F(z) lim(1 z1)F(z)
t
z1
z1
24
4) z
两种常用的方法：长除法和部分分式法
(1) 长除法
16
2.1.5 传递函数
2) 典型环节的传递函数
(1) 比例环节 (2) 惯性环节 (3) 积分环节 (4) 微分环节 (5) 振荡环节 (6) 延迟环节
G(s) K
G(s) 1 1 Ts
G(s) 1 Ts
G(s) Ts
(T为惯性时间常数) (T为积分时间常数) (T为微分时间常数)
G(s)
1 esT G(s)
s
20
(2) 一阶保持器恢复信号
一阶保持器恢复信号的基本思想是：以前两个采样时刻的值为基础 进行外推，直至下一个采样时刻。
图2-4 一阶保持器恢复信号示意图
一阶保持器的传递函数为 高阶保持器
G(s) T (1 Ts)(1 esT )2 sT
21
2.2.2 z变换
1) z变换
设有一连续函数f(t)，经采样后其离散函数为f*(t)
f *(t) f (KT ) (t KT ) f (t) (t KT )
K 0
K 0
其拉氏变换为
F *(s) f (KT )eKTs
K 0
令
z esT
则
F *(s) f (KT )zK
K 0
称其为f*(t)的z变换。即 F (z) F *(s) f (KT )zK
第二章 计算机控制系统的理论基础
2.1连续线性系统的扼要回顾 2.1.1拉氏变换定义
F(s) L[ f (t)] f (t)estdt (s j)
0
f (t) L1[F (s)]
1
j
F (s)estds
2 j j
1
2.1.2几个常用函数的拉氏变换
f (t)
脉冲函数
(t)
(s2
s
1)]s0.5
j 0.866
[ A1s
A2 ]s0.5
j 0.866
代入极点并整理得
0.5 j0.866 0.5( A1 A2 ) j0.866( A1 A2 )
令两边的实部和虚部分别相等，解得： A1 1, A2 0
1s F(s)
s s2 s 1
11
1s F(s) s s2 s 1
设 F(z) Z[ f (t)], F1(z) Z[ f1(t)], F2(z) Z[ f2(t)]
(1) 线性定理
Z[af1 t bf2(t)] aF1(z) bF2(z)
(2) 滞后与超前定理(平移定理)
Z[ f (t KT )] zK F (z)
(滞后定理)
Z[ f (t KT )] zK F (z)