本科高数第十一章

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高数第十一章-高斯公式

上有连续的一阶偏导数 , 则有
P d y d z Q d z d x Rdx d y

(Gauss 公式)
下面先证: R z d x d y d z R d x d y
高斯目录上页下页返回结束
证明: 设
称为XY -型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) , 2 : z z2 ( x, y), 则 z 2 R z ( x, y ) R d x d y d z d x d y 2 z z1 ( x, y ) z d z 3 Dx y

Dx y
R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y
2 1
3
O
x
Dx y
1 y
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy

Dxy

2π 0
d 0
1
rdr
π 4

2π 0
cos 2 d
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结束
在闭区域上具有一阶和 v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 Pu 2 2 2 x v v v v u x 2 y 2 z 2 d x d y d z Qu y v v v v u cos cos cos d S Ru x y z z u v u v u v d x d y d z x x y y z z 其中是整个边界面的外侧. P Q R d x d ydz 注意: 高斯公式 x y z

高数第十一章复习

第十一章
曲线积分
习题课
高等数学
1
知识梳理一、两类曲线积分
定义对弧长的曲线积分 ∫ f ( x, y)ds
L
对坐标的曲线积分
∫ P( x, y)dx = lim ∑P(ξ ,η )∆x λ
L →0
n
= lim∑ f (ξi ,ηi )∆Si
λ→0
i =1
n
∫ Q( x, y)dy = lim ∑Q(ξ ,η )∆y λ
（7）求）
其中
是以点 A(1,0) , B(0,1) , C(-1,0) 为 y
B (0,1)
顶点的三角形的正向边界曲线. 顶点的三角形的正向边界曲线解上式积分 =
C (-1,0) o
x
A(1,0)
由格林公式，得由格林公式，
高等数学
13
例2.螺旋形弹簧一圈的方程为螺旋形弹簧一圈的方程为
二、四个等价命题
条件：在单连通区域内条件：在单连通区域G内，函数P ( x , y ) , Q ( x , y ) 具有一阶连续偏导数以下四个命题等价：以下四个命题等价：内与路径无关； 1 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在G 内与路径无关；
L
2
∫
∂Q ∂P 3 在 G 内恒成立内恒成立; = ∂x ∂y 4 Pdx + Qdy = du( x , y ), 即Pdx + Qdy 为某一 u( x , y )的全微分的全微分.
此时不能用格林公式
2 xy − 3 y x 2 − 5x dx + 2 dy 解 ∫ 2 2 2 x +y L x + y 1 = 2 ∫ (2 xy − 3 y )dx + (x 2 − 5 x )dy a L 1 = 2 ∫∫ [(2 x − 5 ) − (2 x − 3 )]dxdy a x 2 + y 2 ≤a 2

大一高等数学第十一章无穷级数习题 ppt课件

n1
n1
(3) 当 l 时 , 若 v n 发散 ,则 un 发散;
n1
n1
( 3 ) 极限审敛法
设un为正项级数 ,
n1
如果 n l i m nn ul0(或 n l i m nn u),
则级数 un发散 ;
n1
如果有p1, 使得n l i mnpun存在,
则级数 un收敛.
二、典型例题
例1 判断级数敛散性 :
(1)
n1
nn
n1 (n 1)n;
nnn nn (n 1 )n
n
nn (1 1 )n ,
n2
ln i (m 1n 1 2)nln i [m 1 (n 1 2)n 2]n 1e0 1;
1
limnn
1
limxx
expli{m1lnx}
n
x
x x
n1
则称 x0为级数un(x)的收敛点 , 否则称为发散点.
n1
函数项级数 u n ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域 , n 1
所有发散点的全体称为发散域 .
(3) 和函数
在收敛域上 ,函数项级数的和是 x的函数 s(x),
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.
级数收敛的必要条件: ln i mun 0.
常数项级数审敛法
一般项级数正项级数

高等数学第十一章课件.ppt

这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下：
(1) 分离变量将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两端积分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ；则 G( y) F(x) C 称为隐式通解，隐式解有时可以
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xerx ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2x)erx;
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y py qy f1(x) f2 (x)
的特解．
定理 4 若 Y 是线性齐次方程 y py qy 0 的
通解， y 是线性非齐次方程 y py qy f (x) 的一个
解，则Y y 是 y py qy f (x) 的通解．
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.
第二节一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
形如
dy f (x)g( y)(g( y) 0) dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．

高等数学第十一章

(收敛半径不变)
解
两边积分得
解
收敛区间(-1,1),
常用已知和函数的幂级数
1.定义
2.收敛性
定理1（Abel定理）
证明
这与假设矛盾. 几何说明收敛区域发散区域发散区域
推论
定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径 . 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 .
规定
问题如何求幂级数的收敛半径?
证明
由比值审敛法,
例2
求下列幂级数的收敛区间:
解该级数收敛; 该级数发散.
第三节
幂级数
一、函数项级数的一般概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算
一、函数项级数的一般概念
1.定义
2.收敛点与收敛域
ห้องสมุดไป่ตู้
3.和函数
注意函数项级数在某点x 的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.
解由达朗贝尔判别法
原级数绝对收敛.
原级数发散.
收敛; 发散; 故级数的收敛域为
二、幂级数及其收敛性
发散;
收敛. 故收敛区间为 (0,1].
解
缺少偶次幂的项.
级数收敛.
级数发散, 级数发散, 级数发散,
原级数的收敛区间为
三、幂级数的运算
1.代数运算性质
(1) 加减法
(2) 乘法
柯西乘积
(3) 除法 (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多) 2.和函数的分析运算性质
(收敛半径不变)

高数下十一章重点总结+例题

高数下十一章重点总结+例题第十一章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法。

3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

5.知道散度与旋度的概念，并会计算。

6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；3.两类曲面积分的计算方法；4.高斯公式、斯托克斯公式；5.两类曲线积分与两类曲面积分的应用。

【教学难点】1.两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4.应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

6.两类曲线积分的计算方法，两类曲线积分的关系；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；8.两类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系；9.高斯公式、斯托克斯公式，应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；10.两类曲线积分与两类曲面积分的应用；11.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

【教学课时分配】(14学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6第7次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为μ(x , y ). 求曲线形构件的质量.把曲线分成n 小段, ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n (?s i 也表示弧长); 任取(ξi , ηi )∈?s i , 得第i 小段质量的近似值μ(ξi , ηi )?s i ; 整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ?≈=∑),(1ηξμ;令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }→0, 则整个物质曲线的质量为 i i i ni s M ?==→∑),(lim 10ηξμλ.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界.，将L 任意分成n 个弧段: ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n , 并用?s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段?s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和i i i ni s f ?=∑),(1ηξ; 令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }, 如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L ),(?, 即i i i ni L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(10ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性: 当f (x , y )在光滑曲线弧L 上连续时, 对弧长的曲线积分ds y x f L ),(?是存在的. 以后我们总假定f (x , y )在L 上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L ),(?μ的值, 其中μ(x , y )为线密度.对弧长的曲线积分的推广:i i i i ni s f ds z y x f ?==→Γ∑?),,(lim ),,(10ζηξλ. 如果L (或Γ)是分段光滑的, 则规定函数在L (或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1及L 2, 则规定ds y x f ds y x f ds y x f L L LL ),(),(),(2121+=+.闭曲线积分: 如果L 是闭曲线, 那么函数f (x , y )在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作ds y x f L ),(?.对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c 1、c 2为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121+=+;性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则ds y x f ds y x f ds y x f L LL ),(),(),(21+=;性质3设在L 上f (x , y )≤g (x , y ), 则??≤L L ds y x g ds y x f ),(),(. 特别地, 有≤L L ds y x f ds y x f |),(||),(|二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f (x , y ), 则曲线形构件L 的质量为L ds y x f ),(.另一方面, 若曲线L 的参数方程为x =?(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β),则质量元素为dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψ?ψ?'+'=,曲线的质量为?'+'βαψ?ψ?dt t t t t f )()()]( ),([22.即'+'=βαψ?ψ?dt t t t t f ds y x f L)()()]( ),([),(22.定理设f (x , y )在曲线弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为x =?(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β), 其中?(t )、ψ(t )在[α, β]上具有一阶连续导数, 且?'2(t )+ψ'2(t )≠0, 则曲线积分dsy x f L ),(?存在, 且dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψ?ψ?βα'+'=??(α<β).应注意的问题: 定积分的下限α一定要小于上限β. 讨论:(1)若曲线L 的方程为y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), 则ds y x f L ),(?=?提示: L 的参数方程为x =x , y =ψ(x )(a ≤x ≤b ),dx x x x f ds y x f baL ??'+=)(1)](,[),(2ψψ.(2)若曲线L 的方程为x =?(y )(c ≤y ≤d ), 则ds y x f L ),(?=?提示: L 的参数方程为x =?(y ), y =y (c ≤y ≤d ),dy y y y f ds y x f dcL ??+'=1)(]),([),(2??.(3)若曲Γ的方程为x =?(t ), y =ψ(t ), z =ω(t )(α≤t ≤β), 则ds z y x f ),,(?Γ=?提示:dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψ?ωψ?βα'+'+'=??Γ.例1 计算ds y L, 其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧.解曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1), 因此'+=1222)(1dx x x ds y L ?+=10241dx x x )155(121-=.例2 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为μ=1).解取坐标系如图所示, 则?=L ds y I 2. 曲线L 的参数方程为x =R cos θ, y =R sin θ (-α≤θ<α). 于是 ?=L ds y I 2?-+-=ααθθθθd R R R 2222)cos ()sin (sin-=ααθθd R 23sin =R 3(α-sin α cos α).例3 计算曲线积分ds z y x )(222++?Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.解在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=, 于是ds z y x )(222++?Γ?++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=.小结用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分;(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。

大一高数课件第十一章11-2

二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛
性:
1、1 1 2 1 3 1 n ；
1 22 1 32
1 n2

2、
1
n1 1 a n
(a 0) .
三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性:
1、 3
32

33

uN m r m1uN 1,

而级数
r
u m1 N
1收敛,
m1

uNm un收敛, 收敛
m1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un

0.
发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
证明当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 , un
即 un1 (n N )
un
当 1时, 取 1 , 使r 1,
uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 , ,
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
思考题

设正项级数 un 收敛, 能否推得 un2 收敛?
n1
n1
反之是否成立?
思考题解答

由正项级数 un 收敛，可以推得 un2 收敛,
n1
n1
lim n
un 2 un

lim
n
un

0

由比较审敛法知 un2 收敛.
反之不成立.

高数第11章线性代数PPT课件

• 本章重点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法 2.利用克莱姆法则解线性方程 3.矩阵各种运算，矩阵的初等变换 4.矩阵秩的求法，用初等变换求逆矩阵的方法
5.高斯消元法解线性方程组 6. 层次分析法
• 本章难点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法
2.用矩阵的初等变换求矩阵的秩，逆矩阵
1111213215321213132111163631316??????????????按第一行展开1612106?????21111226121111111111112111126120211211226120261200313100212????????????1111200011111111111112102110211224261200310031????????????11111111211123001212031031???????按第一行展开211111134131124??????????按第二行展开例例2用行列式的性质计算下列行列式
3.高斯消元法解线性方程组
4.层次分析法
第一节二、三阶行列式的概念与计算方法
1.引理：
对于二元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
解得
x1
x
2
b1a 22 b2 a12 a11a22 a12a21 b2 a11 b1a 21 a11a22 a12a21
河北机电职业技术学院
线性代数课件
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2
第十一章线性代数

高数第十一章第1节

则圆内接正十二边形的面积为 a1 a2
如此继续,
4
圆内接正 3 2 n边形的面积为 a1 a2 an
即 A a1 a2 an
如果内接正多边形的边数无限增多, 即n无限增大, 则和a1 a2 an的极限就是所求圆面积A.
此时上面和式变为无穷多项相加 a1 a2 an
n ku1 ku2 kun ksn 于是 lim n lim ksn k lim sn ks ,
n n n
所以,级数 kun 也收敛, 且其和为ks.
n 1

20
由上讨论可知, 如果 un发散, 则{sn }没有极限, 如
n 1
所以 lim Ak lim sn .即
k

n
级数 vm 也收敛, 且 vm un .
m 1 m 1 n 1
29

注:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如, 级数 (1 1) (1 1) 收敛于0.
而级数 1 1 1 1 却发散.
1 n 例如级数 ( ) , n 1 2

sn u1 u2 un ,
为级数（1）的部分和数列。
1 i 1 n 其部分和Sn ( ) 1 ( ) 1 ( n ) 2 i 1 2
n
7
给定一个级数，可以作出它的部分和数列；反之，给定一个级数的部分和数列，也可以作出该级数，即令：u1 s1 , u2 s2 s1 , , un sn sn1 , , 显然级数的部分和数列就是 sn 。 u1 +u2 + +un +

高等数学第十一章知识要点

幂
级
数
概念：收敛点/ 域；发散点/ 域；和函数；余项。 a 1 n lim n 1 , R 1、对 a n x 型，利用阿贝尔定理： n a n n 0 收敛半径 2、对 a x f n ，f n 不是按1， 2，，增长时利用正项级数的比值审敛法， n 的确定 n 0 u 由 lim n 1 1求出R n u n n n 1、 a n x bn x f x g x n 0 n 0 n 2 、 a x bn x n f x g x n 和函数 n 0 n 0 x 的性质 x 3、 f x dx a n x n dx 0 0 n 0 4、f x an x n n 0

数的正交性: 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, , cos nx, sin nx, 1.收敛定理：函数展开为傅立叶级数的充分条件 a 0 a n cos nx bn sin nx, x C 2. f x 2 n 1 1 a f x cos nx, n 0,1,2, 周期为2的函数 n 的傅立叶级数 b 1 sin nx, n 0,1,2, n 1 c x f x 2 f x f x 傅立叶级数 3.正弦级数和余弦级数 a0 f x a n cos nx bn sin nx, x C 2 n 0 a 1 l f x cos nxdx, n 0,1,2, 周期为2l的函数 n l l 的傅立叶级数 1 l bn f x sin nxdx, n 0,1,2, l l 1 c x f x 2 f x f x nx nx i i 1 l 复数形式: f x C n e l , C n f x e l dx l 2l n

大一高数第十一章知识点总结

大一高数第十一章知识点总结第十一章是大一高数的最后一章，也是整个课程的重点和难点之一。

本章主要涉及到了一元函数积分的概念、性质和计算方法。

在学习这个章节时，我们需要掌握一些基本概念和定理，以及一些常用的积分求解方法。

下面就让我们来一起总结一下这些知识点。

一、不定积分的概念和性质不定积分是积分学中最基本的概念之一。

它表示一个函数的原函数。

如果函数f(x)是函数F(x)的导函数，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。

不定积分的计算可以用积分表或者运用常用的积分公式来完成。

在计算时，我们需要注意不定积分具有线性性质和可加性，以及积分与导数的基本关系。

二、定积分的概念和性质定积分是积分学中另一个重要的概念。

它表示了函数在一个闭区间上的平均值。

定积分的计算方法有很多，包括用定积分的性质来计算、用微元法进行计算、利用换元法进行计算等。

在计算定积分时，我们需要掌握换元法和分部积分法，并且需要注意定积分与不定积分的基本关系。

三、变限积分和定积分的换元法当我们计算某些复杂函数的不定积分或定积分时，可以利用换元法来简化计算过程。

换元法可以将原来的积分问题转化成一个更易处理的积分问题。

在应用换元法时，我们需要注意选择合适的换元变量和变限积分的变量范围，从而得到正确的结果。

四、微积分基本定理微积分基本定理是微积分中最重要的定理之一。

它建立了不定积分和定积分之间的关系。

根据微积分的基本定理，我们可以通过计算一个函数的原函数来求解相应的定积分。

同时，基本定理还提供了一种方法来计算带有变限积分的定积分。

五、换元法的应用换元法是微积分中一种非常常用的积分计算方法。

在具体应用中，我们可以通过选取不同的变量进行变量替换，将原来的积分问题简化为更易于计算的问题。

换元法的应用范围非常广泛，包括三角换元法、指数换元法、对数换元法等。

在使用换元法时，我们需要仔细观察被积函数的性质，选择合适的换元方式。

六、分部积分法的应用分部积分法也是微积分中的一种常用的积分计算方法。

高等数学第十一章电子课件

第一节
概率论
一、随机事件
（一）随机事件的概念
引例1 如果问“苹果从树上脱落，会往地上落吗？”，答案是“会”．引例2 如果问“掷一枚骰子，能否出现7点？”，答案是“不能”．引例3 抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，且事先无法确定抛掷的结果是什么．引例4 在400 m短跑比赛前，运动员需通过抽签决定自己所在的跑道，且每次抽签前都无法预测自己会在哪条跑道．
（二）概率的古典定义
在某些情况下，随机试验具有以下特征．有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．具有以上两个特点的概率模型是大量存在的，这种概率模型称为古典概率模型，简称古典概型，也称等可能概型．
（二）概率的古典定义
定义 3 对于古典概型，设试验含有 n 个基本事件，若事件 A 包含 m 个基本事件，则事件 A
第十一章
概率统计基础
导学
概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的重要工具，其应用已遍及自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等各领域，因此掌握一定的概率统计知识十分必要．
本章主要介绍随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的期望与方差，数理统计的基础知识，参数估计，假设检验及回归分析．
随机试验的一切可能结果所组成的集合称为样本空间，记作．随机试验的每
一个可能结果称为样本点，样本空间就是全体样本点的集合．
（一）随机事件的概念
定义1 随机试验的每一种可能的结果称为随机事件，简称事件．它通常用大写英文字母A, B, C… 表示．
随机事件可分为基本事件和复合事件．基本事件：在随机试验中，不可再分解的事件．复合事件：在随机试验中，由若干个基本事件组合而成的事件．

高等数学(本科)第十一章课后习题解答

习题11.11.回答下列问题.(1)何谓级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和？何谓级数∑∞=1n n u 的收敛和发散？何谓收敛级数的和？【答】（1）∑∞=1n n u 的前n 项部分和是指(),...2,11==∑=n u S nk k n ；（2）∑∞=1n n u 收敛是指s S n n =∞→lim 存在，这时并称s 为∑∞=1n n u 的和；∑∞=1n nu发散是指n n S ∞→lim 不存在.(2)当公比q 取何值时，等比级数∑∞=-11n n aq 收敛？当公比q 取何值时，等比级数∑∞=-11n n aq发散？写出收敛时的和数.【答】（1）当1<q 时，∑∞=-11n n aq 收敛，且其和数为qas -=1；（2）当1≥q 时，∑∞=-11n n aq 发散.(3) 级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件是什么？它是否也是充分条件.请举例说明.【答】（1）∑∞=1n n u 收敛的必要条件是0lim =∞→n n u ；（2）0lim =∞→n n u 不是∑∞=1n n u 收敛的充分条件.比如，01lim =∞→n n ，但∑∞=11n n发散.2.若级数()()()......2211+++++++n n b a b a b a 收敛，去掉括号之后的级数级数......2211+++++++n n b a b a b a 是否还收敛？它说明了什么？【答】未必，比如()()() (1111111)+-++-+=-∑∞=-n n .3.把下列级数写成级数”“∑的形式.(1) ...5ln 5ln 5ln 32+++ ；【解】∑∞==+++1325ln ...5ln 5ln 5ln n n ；(2) (8)141211-+-+- ；【解】()11211...8141211-∞=∑-=-+-+-n n n ；(3) ...001.0001.0001.03+++ ；【解】()nn 113001.0...001.0001.0001.0∑∞==+++；(4)...751531311+⨯+⨯+⨯. 【解】()()∑∞=+-=+⨯+⨯+⨯112121...751531311n n n . 4.根据级数收敛与发散的定义，判别下列级数的敛、散性.(1) (8)1614121++++；【解】nn 1.21...816141211∑∞==++++发散.(2)∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2211ln n n；【解】记()()n n n n n n n n u n 1ln 1ln 11ln11ln 22++-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,...)2(=n 则 1432...+++++=n n u u u u S⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n 1ln 1ln ...45ln 43ln 34ln 32ln 23ln 21lnn n n n n n 1ln1ln 1ln ...43ln 34ln 32ln 23ln 21ln ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++= ,...)2,1(11ln 21ln =⎪⎭⎫⎝⎛++=n n因为 21ln lim =∞→n n S ，所以∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-2211ln n n 收敛. (3) ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+14122ln n nn n ；【解】因∑∞=122ln n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛=122ln n n及∑∞=141n n nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=141均收敛，故∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+14122ln n n n n 收敛. (4) (1)31...2191131+++++++n n ；【解】因为 (3)1...9131++++n 收敛，但 (1)...211++++n 发散，故原级数发散.(5) (4)33221+++ ；【解】级数的通项为 ,...)2,1(1=+=n n nu n ，因为01lim ≠=∞→n n u ，故...433221+++发散.(6) ...cos ...3cos 2cos cos +++++nππππ ；【解】级数的通项为 ,...)2,1(cos ==n nu n π，因为010cos lim ≠==∞→n n u ，故...cos ...3cos 2cos cos +++++nππππ发散.(7) nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-12ln ；【解】级数的通项为 ,...)2,1(2ln =⎪⎭⎫⎝⎛-=n n n u nn ，因为02ln 21ln lim lim 222≠-==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∞→∞→en u n n n n ，故nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-12ln 发散.(8) (9)898983322+-+-.【解】...9898983322+-+-nn ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-=198是等比级数，且公比98-的绝对值小于1，故...9898983322+-+-收敛.5.已知级数∑∞=1n n u 的部分和3n S n =，当2≥n 时，求n u .【解】(),...)2(13312331=+-=--=-=-n n n n n S S u n n n .6.若级数∑∞=1n n u 收敛，记∑==ni i n u S 1，则（B ）A. 0lim =∞→n n S ； B. n n S ∞→lim 存在；C. n n S ∞→lim 可能不存在； D. {}n S 是单调数列.7.若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列级数中收敛的是（A ）A. ∑∞=110n n u； B.()∑∞=+110n nu；C. ∑∞=110n nu ； D.()∑∞=-110n nu.8.设501=∑∞=n n u ，1001=∑∞=n n v ，则()∑∞=+132n n n v u （D ）A. 发散；B. 收敛，和为100；C. 收敛，和为50；D. 收敛，和为400. . 9.下列条件中，使级数()∑∞=+1n n n v u 一定发散的是（A ）A.∑∞=1n nu发散且∑∞=1n n v 收敛； B.∑∞=1n nu发散；C.∑∞=1n nv发散； D.∑∞=1n nu和∑∞=1n n v 都发散.10.设级数()∑∞=-11n n u 收敛，求n n u ∞→lim .【解】因为()∑∞=-11n n u 收敛，故根据级数收敛的必要条件知()01lim =-∞→n n u ，所以 =∞→n n u lim ()[]=--∞→n n u 11lim ()1011l i m1=-=--∞→n n u .11.将下列循环小数表示为分数 (1) ∙3.0 ；【解】...003.003.03.03.0+++=∙是公比为1.0=q 的等比级数，故311.013.03.0=-=∙. (2) ∙∙370.0.【解】...0000073.000073.0073.0370.0+++=∙∙是公比为01.0=q 的等比级数，故.9907301.01073.0370.0=-=∙∙12.设级数∑∞=1n n u 满足条件：（1）0lim =∞→n n u ；（2）()∑∞=-+1212n n n u u 收敛，证明级数∑∞=1n n u 收敛.【解】记∑∞=1n n u 的前n 次部分和数列为{}n S .又记()∑∞=-+1212n n n u u 的前n 次部分和数列为{}n σ.则有(),...2,12==n S n n σ.因为已知()∑∞=-+1212n n n u u ，故根据级数收敛的定义知 =∞→n n σl i ms S n n =∞→2lim ①存在；又已知0lim =∞→n n u ，故0lim 12=+∞→n n u ，从而=+∞→12lim n n S ()s s S u n n n =+=++∞→0lim 212②也存在.综合①、②式知s S n n =∞→lim 存在，所以级数∑∞=1n n u 收敛.13.小球从1米高处自由落下，每次弹起的高度均为前一次高度的一半，问小球会在自由下落约多少秒后停止运动？【解】小球为自由落体运动，即212s gt =。

高等数学第六版(同济版)第十一章复习资料

第十一章曲线积分与曲面积分引入：在上一章中，我们研究了二元函数在平面有界闭区域上的二重积分和三元函数在空间有界闭区域上的三重积分，我们知道：重积分的计算都可以化成定积分来完成.这一章给大家介绍二元函数在平面曲线上的平面曲线积分、三元函数在空间曲线上的空间曲线积分以及三元函数在空间曲面上的曲面积分，这些积分的计算可由定积分或重积分来完成第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的相关概念 1.引例：曲线形构件的质量假设曲线形细长构件在空间所处的位置在平面内的一段曲线弧上，它的端点为，曲线弧上任一点的线密度为，求曲线形构件的质量 (1). 大化小：在曲线弧任取一组点将分成个小弧段，第个小弧段的质量为，则 (2). 常代变：记小弧段的长度为si，在小弧段上任取一点，则有， (3). 近似和： (4). 取极限：令为个小弧段的长度的最大值，有抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对弧长的曲线积分 2. 对弧长的曲线积分的定义：设函数在平面上的一条光滑曲线上有界，在上任意插入个点将分成个小弧段，设第个小弧段的长度为si，在其上任取一点，作乘积，有和，，当时，若极限总存在，则称此极限值为函数曲线弧对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即，其中叫做被积函数，叫做积分弧段，叫做弧长微元. 注：1°.若函数在曲线弧上连续，则曲线积分存在2°.第一类曲线积分与积分弧段的方向无关，即事实上：，， . 段的长si与曲线弧的方向无关，恒为正值3°. 定积分不是第一类曲线积分的特例，因为的方向有关4°. 若是闭曲线，则在上的第一类曲线积分为：5°. 若，且积分弧段的长为，则6°. 可推广：三元函数在空间曲线上的第一类曲线积分： 3. 物理意义：可求长的物质曲线的质量，即在引例中，二、对弧长的曲线积分的性质：假设各个曲线积分都存在 1. 线性性质：设、是常数，则2.积分弧段的可加性：若积分弧段可以分成两段光滑曲线弧和，则3.不等式性质：若在上，，则.4. 绝对值不等式性质：三、对弧长的曲线积分的计算：化曲线积分为定积分定理：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为：且，则曲线积分存在，、在且注：1°.若曲线弧的方程为，则的方程为：，有 2.若曲线弧的方程为，则的方程为：，有3°.可推广：若空间曲线弧的参数方程为，则例1.计算，其中是抛物线上点与点之间的一段弧，解：由于曲线弧的参数方程为因此例 2. 计算半径为、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量(设线密度).解：建立坐标系如图，则所求转动惯量，于是取的参数方程为. 例3.计算曲线积分，其中为螺旋线、、于从到的一段弧.解： . 第二节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的相关概念 1. 引例:变力沿曲线所作的功设一质点受变力的作用,在平面内从点沿光滑曲线弧移动到点其中和在上连续，求移动过程中变力所作的的功. (1). 大化小：在曲线弧任取一组点将分成个小弧段，变力沿第个小弧段所作的功为，则 (2). 常代变：有向小弧段可用有向线段来代替在小弧段上任取一点，则有， (3). 近似和：(4). 取极限：令为个小弧段的长度的最大值，有抽取这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对坐标的曲线积分 2.对坐标的曲线积分的定义：设函数、在平面内的从点到点的一条有向光滑曲线弧上有界，在上沿的方向任意插入个点将分成个有向小弧段()，，，在其上任取一点，作乘积与和式与，当个小弧段的直径最大值时， (1). 若极限总存在，则称此极限值为函数在有向曲线弧的曲线积分，记作(2). 若极限总存在，则称此极限值为函数在有向曲线弧的曲线积分，记作其中、叫做被积函数，叫做积分弧段. 以上两个积分也称为第二类曲线积分，有时也写成注：1°.若、在上都连续，则对坐标的曲线积分、都存在2°.若为空间曲线弧 , 则有3°.对坐标的曲线积分的物理意义：变力沿曲线所做的功二、对坐标的曲线积分的性质 1. 线性性质：设、是常数，则 2.积分曲线的可加性：若有向曲线弧段可以分成两段光滑的有向曲线弧和，则3.方向性：记表示的反向弧，则. 注：定积分是对坐标的曲线积分的特例三、对坐标的曲线积分的计算：化曲线积分为定积分定理：设函数、在有向曲线弧上有定义且连续，的参数方程为：当参数单调的由变到时，点从的起点运动到终点.、在或且，则曲线积分存在，且注：1°.与的大小不定，与积分曲线弧的方向有关2°.若曲线弧的方程为，则的参数方程为：，有其中参数对应的起点，对应的终点3°.若曲线弧的方程为，则的参数方程为：，有其中参数对应的起点，对应的终点4°.可推广：若空间有向曲线弧的参数方程为，则，其中对应的起点，对应的终点. 四、两类曲线积分之间的联系设函数、在有向曲线弧上连续，的参数方程为：，起点终点分别对应参数和，假设.、在，则对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的联系为：，其中、是曲线弧的切向量的方向余弦. 推导：由对坐标的曲线积分的计算公式，有，又曲线弧的切向量的方向余弦为，，由对弧长的曲线积分的计算公式，有，从而有注：可推广到两类空间曲线积分之间的联系：例1.计算，其中为抛物线上从点到点的一段弧解法(一)：取为参数，则，，；，, 于是 . 解法(二)：取为参数，则，,于是 . 例2.计算，其中为： (1).半径为、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；(2).从点沿轴到点的直线. 解： (1). 取的参数方程为：，，于是 . (2). 的方程为：，，于是例3.计算，其中为：注：相同的函数在同一起点沿不同路径到同一终点的第二类曲线积分值可以不同 (1).抛物线上从到的一段弧； (2).抛物线上从到的一段弧； (3).有向折线，这里、、依次是点，，. 解： (1). 的方程为：，，于是(2). 的方程为：，，于是(3). ，，；，, 于是注：相同的函数在同一起点沿不同路径到同一终点的第二类曲线积分值可以相同. 例4.计算，其中是从点到点的直线段解：直线段，化为常数方程得，，于是第三节格林公式及其应用引入：在一元函数积分学中，我们知道牛顿—莱布尼兹公式分和原函数(不定积分)联系起来，这节课我们来学习联系二元函数分的公式—格林公式，通过它可以把平面有界闭区域D上的二重积分和区域D的边界曲线上的曲线积分联系起来. 一、格林公式 1.单连通区域：若平面区域D内任一闭曲线所围成的部分都属于，则称D 区域，否则称为复连通区域注：单连通区域就是不含洞或点洞的区域，复连通区域就是含洞或点洞的区域. 2.闭曲线的正向：若观察者沿平面区域的边界曲线的某一方向行走时，区域D在他近处的那部分总在他左侧，则称这一方向为曲线的正向. 3.格林公式：定理：设闭区域D由分段光滑的曲线围成，若函数及在D 偏导数，则有，其中是的取正向的边界曲线注：1°.对于复连通区域，格林公式右端曲线积分应为沿区域的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向2°.若，则有平面闭区域D的面积公式 .这是因为3°.若取负向，则有. 例1.求椭圆所围成图形的面积. 解：由格林公式有 . 例2.设是任意一条分段光滑的闭曲线，证明证明：令，于是例3.计算，其中是以，，为顶点的三角形闭区域解：令，于是 . 例4. 计算，其中是一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，方向为逆时针方向解：记闭曲线所围成的区域为D，当时，有，， . (1).当时，由格林公式得(2).当时，以原点为心、以适当小的作位于D内的圆周.记和所围成的闭区域为对复连通区域应用格林公式，有从而有，，即 ,其中的方向为逆时针方向. 设的参数方程为，参数从到，于是 . 二、平面上曲线积分与路径无关的条件定理2.若函数、在单连通区域互等价： (1).沿区域内任意光滑或逐段光滑闭曲线，有 (2).曲线积分与路径无关，只与位于内的起点和终点有关 (3).在内存在一个函数,它的全微分为，即. (4).对内任意一点 . 注：已知，则可按如下公式求出：或推导：由于与路径无关，取，有取，有例5 在右半平面内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数. 解：令，，有，从而是某一函数的全微分，且曲线积分与路径无关.取积分路径如图，则 . 例6.验证：在整个面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数.解：令，，有，从而在整个平面内是某一函数的全微分求法(一)：由于曲线积分与路径无关.取积分路径如图，则 . 求法(二)：因为满足，从而有，其中是的待，又已知面，故，即，于是， . 第四节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的相关概念 1.引例：曲面形构件的质量假设曲面形构件在空间所处的位置是一张有界光滑曲面上，其上任一点的面密度为，求这曲面形构件的质量 (1). 大化小：将曲面片任意分成个小曲面块，第个小曲面块，则 (2). 常代变：记小曲面块的面积为，在小曲面块上任取一点，则有， (3). 近似和：(4). 取极限：令为个小曲面块的长度的最大值，有抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对面积的曲面积分 2.光滑曲面：若曲面上各点处都有切平面，且当点在曲面上连续移动时，动，则称为光滑曲面 3.对面积的曲面积分的定义：设函数在空间光滑曲面上有界，把任意分成块小曲面，也记是第块小曲面块的面积，在上任取一点，作乘积，有和式，记为限总存在，则称此极限值为函数在曲面或第一类曲面积分，记作，其中叫做积分曲面注：1°.若在光滑曲面上连续，则曲面积分存在2°.对面积的曲面积分与积分曲面的方向无关，因为总为正数. 3°.对面积的曲面积分的物理意义：物质曲面的质量二、对面积的曲面积分的性质 1.线性性质：设为常数，则 . 2.积分曲面的可加性：若分片光滑曲面分成两片光滑曲面和，则 . 三、对面积的曲面积分的计算定理：设光滑曲面：在面上的投影区域为，且函数在上具有一阶连续偏导数，若函数在上连续，则对面积的曲面积分且注：若的方程为，则若的方程为，，则例1.计算，其中是球面被平面截出的顶部.解：的方程为，在面上的投影区域Dxy为圆域：，又，于是，设，则Dxy：，故 . 例2.计算，其中是由平面及界曲面解：设，，，，则，于是，由于在、以及上被积函数，故面上的投影区域为：，在的方程为：，于是且 . 第五节对坐标的曲面积分一、有向曲面的相关概念 1.双侧曲面：在光滑曲面上任取一点，过点的法线有两个方向，选定一个方向为正向，当动点在曲面上连续变动时，法线也连续变动.若动点从出发沿着曲面上任意一条不越过曲面边界的封闭曲线又回到时，法线的正向与出发时的正向相同，则称为双侧曲面，否则称为单侧曲面注：单侧曲面的典型例子：莫比乌斯带 2.有向曲面：称曲面的法向量指向的一侧为曲面取定的侧，称取定侧的曲面为有向曲面. 3.方向不同的曲面在坐标面上的投影面积在有向曲面上任取一小块曲面，在面上的投影区域的面积为上各点处的法向量与z轴的方向余弦不变号.规定在面上的投影注：规定曲面的上侧、前侧、右侧为正侧. 二、对坐标的曲面积分的相关概念 1.引例: 稳定流体通过曲面一侧的流量设稳定流动且不可压缩的流体(假定密度为1)的流速场为，求在单位时是流速场中的一片曲面. 函数、以及在上连续，间内流向指定侧的流体的质量，即流量 (1).简单情形：是以平面区域，面积为，流体在上各点的流速为常向量设为的单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为、斜高为的斜柱体①．当时，斜柱体的体积为，从而通过流向流量为②．当时，显然通过流向所指一侧的流量为，即③．当时，有，仍称之为流体通过流向它是流体通过闭区域流向所指一侧的流量因此，无论为何值，流体通过流向所指一侧的流量均为 (2). 一般情形：流体在空间光滑曲面上各点的流速是变化的.①．大化小：将曲面片任意分成个小曲面块，也记第个小曲面块的面积为②．常代变：记小曲面块的面积为，在小曲面块上任取一点，用该点处的流速代替上其它各点处的流速，以曲面在该点处的单位法向代替上其它各点处的单位法向量，从而得到通过流向指定侧的流量为(3). 近似和： (4). 取极限：令为个小曲面块的直径的最大值，有抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对坐标的曲面积分 2. 对坐标的曲面积分的定义：设函数、以及在有向光滑曲面上有界，把任意分成个块小曲面块，也记第个小曲面块的面积为. 在面上的投影为；在面上的投影为；在面上的投影为在小曲面块上任取一点，作乘积、，有和式、、当个块小曲面块的直径最大值时， (1).若极限总存在，则称此极限值为在有向曲面标、z的曲面积分，记作 (2). 若极限总存在，则称此极限值为在有向曲面标z、的曲面积分，记作(3). 若极限总存在，则称此极限值为在有向曲面标、的曲面积分，记作其中、以及叫做被积函数，叫做积分曲面. 以上三个积分也称为第二类曲面积分，有时也写成，注：1°.若、以及在有向光滑曲面上连续，则曲面积分、、都存在2°. 对坐标的曲面积分的物理意义：流过有向曲面的流体的流量：三、对坐标的曲面积分的性质 1.对积分曲面的可加性：若有向光滑曲面可以分成两片光滑的有向曲线弧和，则2.积分曲面的方向性：记表示的反向曲面，则 . 四、对坐标的曲面积分的计算：化曲线积分为定积分定理：设有向光滑曲面：在面上投影区域为，且函数在上具有一阶连续偏导数，若函数在上连续，则对坐标的曲面积分在，且，其中由曲面的正侧外法线与z 向余弦的符号决定，时取号，时取号注：若的方程为，，则若的方程为，，则五、两类曲面积分之间的联系：设有向光滑曲面：在面上投影区域为Dxy，且函数在Dxy上具有一阶连续偏导数，若函数在上连续，则两类曲面积分之间的联系为：，同理也有，，其中、、为有向曲面上点处法向量的方向余弦，因此两类曲面积分之间的联系为： . 推导：由对坐标的曲面积分的计算公式，有曲面的法向量的方向有向为，，由第一类曲面积分的计算公式，有，从而同理可证，，于是例1.计算曲面积分，其中是长方体 . 解：把有向曲面分为如下六部分：的上侧；的下侧；的前侧；的后侧；的右侧；的左侧先计算：除了、在面上的投影为外，在面上的投影为零，因此，同理可得，，于是 . 例2.计算曲面积分，其中是球面外侧在的部分解：把分成两部分和两部分，其中的上侧；的下侧且和在面上的投影区域都是从而，设，则，于是，令，则，，当时，；时，从而例3.计算曲面积分，其中是旋转抛物面：及之间的部分的下侧解：由两类曲面积分之间的联系，有 . 在曲面上，有，，故又由于在面上的投影区域为，于是，设，则，于是 . 第六节高斯公式引入：前面我们学习了格林公式，知道通过格林公式可以将平面有界闭区域上的二重积分与其边界上的曲线积分联系起来，作为格林公式得推广，下面介绍高斯公式(也叫奥—高公式，全称奥斯特洛夫斯基—高斯公式)，通过高斯公式，可以将空间有界闭区域上的三重积分与其边界闭曲面上的曲面积分联系起来. 一、高斯公式、定理：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，若函数在上具有一阶连续偏导数，则有，或其中是的外侧曲面，是上点处的法向量的方向余弦. 注：若，则闭曲面所围成的闭区域的体积 . 例1.利用高斯公式计算曲面积分，其中为柱面面、所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧. 解：由，，，，由高斯公式得，，设，则，于是 . 例2. 利用高斯公式计算曲面积，其中为锥面介于平面、之间部分的下侧，是上点处的法向量的方向余弦解：设为平面的上侧，则和一起构成一个封闭曲面，围成区域. ，其中，，，有，. ，由高斯公式， .在面上的投影区域为，从而有，由于，再设，则. . 而，于是二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1.空间二维单连通区域 :若空间区域内任一闭曲面所围成的区域全属于，则称为空间二维单连通域空间一维单连通区域 :若空间区域内任一闭曲线总可以张成一片全属于的曲面，为空间一维单连通域注：球面所围区域既是一维也是二维单连通区域；环面所围区域是二维但不是一维单连通区域；两个同心球之间的区域是一维但不是二维单连通区域. 2.闭曲面积分为零的充要条件定理：在空间二维单连通区域由分片光滑的闭曲面所围成，设函数、在空间二位单连通区域内具有一阶连续偏导数，为积分在内恒成立. 第七节斯托克斯公式引入：斯托克斯公式是格林公式另一推广，通过斯托克斯公式，可以将曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线上的曲线积分联系起来. 一、斯托克斯公式定理：设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的正侧符合右手规则.若函数、、在连同上具有一阶连续偏导数，则有， . 或也有，. 其中是上点处的法向量的方向余弦例1.利用斯托克斯公式计算曲线积分，其中为平面标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则. 解：由，， ,,，,，，设由曲线所围成的曲面为，由斯托克斯公式得，其中、以及Dxy分别为在、以及坐标面上的投影区域例2. 利用斯托克斯公式计算曲线积分，其中用平面截立方体的表面所得的截痕，若从轴的正向看去，取逆时针方向的上侧被所围成的部分，的单位法向量为，解：取为平面即，由，由斯托克斯公式，有，其在面上的投影为Dxy，其面积为，且又的方程为，于是 . 二、空间曲线积分与路径无关的条件定理：若函数、以及在单连通区域内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题相互等价：(1).沿区域内任意光滑或逐段光滑闭曲线，有 (2).曲线积分与路径无关，只与位于内的起点和终点有关 (3).在内存在一个函数,它的全微分为，即. (4).对内任意一点，，. 例3. 验证曲线积分与路径无关，并求出函数解：，，，所以曲线积分与路径无关，因此。

高等数学第11章1节

1. 3n1 1 n 1 1 n n 1 解：原式＝ ( 3 ) ( ) 此为等比级数，公比 n 1 n 0 3 1 1 q 1 该级数收敛。 3 3 4n 2. n1 n 1 3 n n 1 4 4 此为等比级数，公比解：原式＝4 n1 4 n 0 3 n 1 3 4 q 1 该级数发散。 3
第十一章无穷级数
数项级数无穷级数幂级数
第一节常数项级数
一、常数项级数的概念
二、级数的收敛与发散三、无穷级数的基本性质
四、级数收敛的必要条件
一、常数项级数的概念
定义：给定一个数列

u1 , u 2 , u3 , , u n , 将各项依
次相加, 简记为 u n , 即
n 1
矛盾! 所以假设不真 .
例4.判断级数的敛散性:
解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
1
称上式为无穷级数，简称为级数。
其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项或通项。
例如： 1 1 1 1 是一个无穷级数， n 2 2 2 23 2 1 1 通项为 u n n , 简记为 n . 2 n 1 2 定义：级数
n 1
u ） 1 n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求和
三、收敛级数的基本性质
性质1. 若级数收敛于 S , 即 S u n , 则各项
n 1
乘以常数 c 所得级数性质2. 设有两个收敛级数
也收敛其和为 c S . ,
所以级数 (1) 发散 ;
技巧: 利用 “拆项相消” 求和

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的外侧.
33.计算曲面积分 (1 z)dxdy ，其中为曲面 z 1 x2 y2(z 0) 的上侧.
34. 求 (ex sin y y)dx ex cos ydy L
外侧。
20. 计算 (x y)dxdy x( y z)dydz ，其中为柱面 x2 y 2 1 与平面
本章练习题共 7页第5页
z 0, z 3 围成的圆柱体表面外侧.
21.计算曲面积分 4xzdydz y2dzdx yzdxdy, 其中是平面
x 1, x 0, y 1, y 0, z 1, z 0 所围成立方体整个表面的外侧.
2xydx x2dy ___________ . L
8. (x 2 y 2 )ds L
，其中 L : x 2 y 2 a 2 。
9. 设 L 为取正向的圆周 x 2 y 2 4 ，则曲线积分
y( ye x 1)dx (2 ye x x)dy L
.
10. 设函数 P(x, y), Q(x, y) 在单连通区域 G 内具有一阶连续偏导，则曲线积
1上点 (1, 0) 到 (1, 0) 的上半弧段，则
2ds=
L
.
16.设 L 为连接 (1, 0 ) 与 ( 0, 1) 两点的直线段，则
(x y)ds
L
.
三、计算题
1.求 I ( 1 y)dx (x e sin y)dy ,其中 L 是位于第一象限中的直线段 x y 1
L2
A. 0
B.1
C. 2
D. -1
11. 已知 axy3 y 2 cos x dx 1 by sin x 3x2 y 2 dy 为某二元函数的全微分，则
a 和 b 的值分别为（）．
A. –2 和 2 B. –3 和 3
12. L ( y x)dx ( y x)dy （
A. 0
B.1
C.
C. 2 和–2 D. 3 和–3；
）.
2
D. -1
二、填空题
1. 设 L 为抛物线 x y2 上从 A(1, 1) 到 O(0, 0) 的一段弧，则第二类曲线积分
2xydx x2dy __________ . L
2.若 (ax cos y y 3 cos x)dx (3y 2 sin x x2 sin y)dy 为某一个函数 u(x, y) 的全微
）.
A. (x y)dx (x y)dy
B. (x y)dx (x y)dy
C. (x y)dx (x y)dy
D． (x y)dx (x y)dy
7. 设
f (x, y)
在曲线弧
L
上有定义且连续，L
的参数方程为
x (t)
y
(t )
( t ) ，其中 (t), (t) 在 [ , ] 上具有一阶连续导数，且
23
(5xy 3x2 2 y2)ds ___ .
L
本章练习题共 7页第2页
6.已知∑为圆柱面 x 2 y 2 9 介于 z 1及 z 1之间的部分，则第一类曲面积
分 (x2 y2 3)dS _____
___ .
7.设 L 为抛物线 x y2 上从 A(1, 1) 到 O(0, 0) 的一段弧，则
{( x, y, z) | 0 x 2, 0 y 2, 0 z 2} .
4. 求 I (ex sin y my)dx (ex cos y mx)dy, 其中 L 是从 A(2, 2) 经 L
y 4x x 2 到 O(0, 0) 的一段弧.
5.计算第二类曲面积分 I zdxdy 其中为平面 x y z 1 位于第一卦
(0,0), (1, 0), (1,1) 和 (0,1) 为顶点的正方形的正向边界线.
12. 计算 yds ，其中 L 是抛物线 y x2 上点 O（0，0）到点 A（1，1）的一 L
段弧.
13.求解 I
L
(x
y)dx
(
y
x)dy, 其中
L
为上半椭圆
x a
2 2
y2 b2
1
( y 0) 取逆
一、选择题
第十一章
1．设椭圆周 x2 y2 1的周长为 l, 曲线积分 (4x2 5y2 )17 ds （
54
L
）.
A． 0
B. 2017 l
C. 517 l
D. 417 l
2.设 L 为 xOy 上 x y2 从点 (0, 0) 到 (1,1) 的一段弧，则 xdy （）. L
A．3 B. 1 2
P(x, y)dx Q(x, y)dy 在 G 内为某一函数的全微分的充分必要条件是 .
13.设为球面 x 2 y 2 z 2 1的外侧，则 I zdxdy .
14.设为球面 x2 y 2 z 2 a 2 的外侧，则 I zdxdy =
.
15.
设 L为 x2 y2
B. 3 和 3
C. 2 和 2
D. 3 和 3
5．设 L 为圆周 x2 y2 4, 则第一类曲线积分 (x2 y2 )2017 ds （ L
）.
A． 0
B. 24034
C. 24035
D. 24036
6. 下列 P(x, y)dx Q(x, y)dy 在 xoy 平面内是某一函数的全微分的是（
时针方向。
14. 计算 L (x y)ds ，其中 L 是连接点（1，0）及点（0，1）的直线段.
解：直线 L 的方程为： y 1 x(0 x 1)
(x y)ds
1
[
x
(1
x)]
1 (1)2 dx
6 分 1 2dx 2
8分
L
0
0
15.利用格林公式计算曲线积分 ( y2 ex )dx (2xy 5x sin2 y)dy ，其中 L 为 L
本章练习题共 7页第3页
经与位于第二象限中的圆弧 x2 y2 1 构成的曲线，方向是由 A(1,0) 到 B(0,1) 再
到 C(1, 0).
2.计算第二类曲面积分 (x2 y2 )dxdy ，其中是 z 1 (x2 y2 ) 介于平面
2
z 0 及 z 2 之间那部分的外侧.
3.计算三重积分 I zdxdydz ,其中
O（0，0）的上半圆周 x 2 y 2 ax ( y 0, a 0) .
18. 利用高斯公式计算曲面积分 xdydz ydzdx zdxdy , 其中是柱面
x2 y2 9 被平面 z 0 及 z 3 所截得整个表面的外侧.
19. 计算 I x2dydz y 2dzdx z 2dxdy ，其中是 x 2 y 2 z 2 (0 z a) 的
8.设为球面 x2 y2 z2 R2 ，则 (x2 y2 z2 )dS （
）
A. 4 R2
B. 2 R2
C. 4R2
D. 4 R4
9.曲线积分 2xydx x2dy 的值与路径（ L
）
A. 有关
B.无关
C. 不确定
D.以上都不对
10. L 2xydx x2dy （ A ）.
分，则 a _________ . 3.设为平面 x y z 1在第一卦限中的部分，则对面积的曲面积分
234
(x 2
y 3
z )dS 4
____.
4. 设 L 为椭圆 x2 y2 1，其周长为 l ， (x y)(x 5y)ds ____ .
5
L
5.设 L 是周长为 a 的椭圆 x2 y2 1，则
和 z 3 和 x2 y2 9 所围成圆柱体表面的外侧.
31. 计算 (x 2 y)dx (x sin 2 y)dy ，其中 L 是在圆周 y 2x x 2 上由点 L
(0,0) 到 (2, 0) 的一段弧.
32. 计算 I xdydz ydzdx 2zdxdy ，其中为球面 x2 y2 z2 1
L
3
x 1， y x ，以及 y 2x 所围成三角形的正向边界.
26.已知圆周 L : x a cos t, y a sin t (0 t 2 ) ，取正方向，计算第二类曲线
积分 xdy ydx 的值.
L x2 y2
27. 已知圆周 L : x a cos t, y a sin t (0 t ) ，取正方向，计算第二类曲线
24.利用格林公式计算曲线积分 (2x y 1)dx (3x y 2 1)dy ，其中 L 为三个 L
顶点分别为 A(0,0) B(3,0) 和 C(3,2) 的三角形的正向边界.
25. 利用格林公式计算曲线积分 (x2 y 2 y)dx (1 x3 x)dy ，其中 L 为由
22. 求解第一类曲面积分 (x2 y 2 )dS ，其中为锥面 z 2 3(x2 y 2 ) 被平面
z 0 和 z 3 所截得的部分。
23. 计算第一类曲面积分 dS , 其中是球面 x2 y2 z2 a2 被平面
z
z h (0 h a) 截出的顶部．
积分 y2dx 的值. L
28. 计算 x2ds 其中 L : x2 y 2 1 L
29.计算 (x2 2xy)dx (x2 y4 )dy L
y sin x . 2
，其中 L
为从 (0, 0)
到 (1,1)
的曲线弧
本章练习题共 7页第6页
30. 计算 x(z y 1)dydz y(x z 1)dzdx z( y x 1)dxdy ，其中为 z 0
圆域 D : x2 y2 4 的边界曲线，取逆时针方向.
16. 计算曲线积分 L (2x y 4)dx (5y 3x 6)dy ，其中 L 为顶点分别为