大学物理第十章有导体和电介质时的静电场习题解答和分析

第十章习题解答

10-1 如题图10-1所示，三块平行的金属板A ，B 和C ，面积均为200cm 2,A 与B 相距4mm ，A 与C 相距2mm ，B 和C 两板均接地，若A 板所带电量Q =3.0×10-7C ，忽略边缘效应,求：（1）B 和C 上的感应电荷？（2）A 板的电势（设地面电势为零）。

分析：当导体处于静电平衡时，根据静电平衡条件和电荷守恒定律，可以求得导体的电荷分布，又因为B 、C 两板都接地，所以有AC AB U U =。 解：（1）设B 、C 板上的电荷分别为B

q 、

C q 。因3块导体板靠的较近，可将6个导体面视为

6个无限大带电平面。导体表面电荷分布均匀，且其间的场强方向垂直于导体表面。作如图中虚线所示的圆柱形高斯面。因导体达到静电平衡后，内部场强为零，故由高斯定理得：

1A C q q =-

2A B q q =-

即 ()A B C q q q =-+ ① 又因为： AC AB U U = 而: 2

AC AC d U E =⋅

AB AB U E d =⋅

∴ 2AC AB E E =

于是：

02C B

σσεε =⋅

两边乘以面积S 可得：

2C B

S S σσεε =⋅

即： 2C B q q = ②

联立①②求得: 77

210,110C B q C q C --=-⨯=-⨯

题图10-1

题10-1解图

d

(2) 002

22

C C A AC C AC AC q d d d

U U U U E S σεε =+==⋅

=

⋅=⋅ 7

3

3

4

12

210

210

2.2610()200108.8510

V ----⨯=

⨯⨯=⨯⨯⨯⨯

10-2 如题图10-2所示，平行板电容器充电后，A 和B 极板上的面电荷密度分别为+б和－б，设P 为两极板间任意一点，略去边缘效应，求： （1）A,B 板上的电荷分别在P 点产生的场强E A ,E B ; （2）A,B 板上的电荷在P 点产生的合场强E ； (3)拿走B 板后P 点处的场强E ′。

分析：运用无限大均匀带电平板在空间产生的场强表达式及场强叠加原理求解。 解：（1） A 、B 两板可视为无限大平板. 所以A 、B 板上的电何在P 点产生的场强分别为:

2εσ

=

A E ,方向为：垂直于A 板由A 指向

B 板

2εσ

=

B E ，方向与A E 相同.

(2)0

2εσ=

=A E E ，方向于A E 相同

(3) 拿走B 板后：0

2'εσ

=

E ，方向垂直A 板指向无限远处.

10-3 电量为q 的点电荷处导体球壳的中心，球壳的内、外半径分别为R 1和R 2，求场强和电势的分布。

分析：由场强分布的对称性，利用高斯定理求出各区域场强分布。再应用电势与场强的积分关系求电势，注意积分要分段进行。

解：由静电感应在球壳的内表面上感应出q -的电量，外表面上感应出q 的电量.

所以由高斯定理求得各区域的场强分布为：

12

04πq E r

ε=

1()r R <

20E = 12()R r R <<

32

04πq E r

ε= 2()R r <

题10-3解图

题图10-2

即： 122

012(,)4π0()

r R r R r

E R r R ε<>⎪=⎨⎪<<⎩

332

004π4πr

r

q q U E dr dr r

r

εε+∞+∞=

⋅=

⋅=

⎰

⎰

，2()r R ≥

22

2

223302

4πR r

R R q

U E dr E dr E dr R ε+∞+∞=

⋅+

⋅=

⋅=

⎰

⎰

⎰

,12()R r R ≤≤

1211

2

2

112313R R R r

R R r

R U E dr E dr E dr E dr E dr +∞+∞=

⋅+

⋅+

⋅=

⋅+

⋅⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

0121114πq

r R R ε⎛⎫

=

-+ ⎪⎝⎭ , 1()r R ≤

综上可知:

10121202

20111()4π()4π()

4πq r R r R R q U R r R R q r R r

εεε⎧⎛⎫

-+≤⎪

⎪⎝⎭

⎪⎪⎪=≤≤⎨

⎪⎪≥⎪⎪⎩

10-4 半径为R 1的导体球，带有电量q ；球外有内、外半径分别为R 2，R 3的同心导体球壳，

球壳带有电量Q 。（1）求导体球和球壳的电势U 1，U 2；（2）若球壳接地，求U 1，U 2；（3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求U 1，U 2。

分析：由场强分布的对称性，利用高斯定理求出各区域场强分布；再由电势定义求电势。接地导体电势为零，电荷重新分布达到新的静电平衡，电势分布发生变化。

解:如图题10-4解图（a ）所示,当导体达到静电平衡时,q 分布在导体球的表面上.由于静电感应在外球壳的内表面上感应出q -电量.外表面上感应出q +电量，则球壳外表面上共带电荷()Q q +.

(1) 由于场的对称性.由高斯定理求得各区域的场强分布为：

10E = 1()r R <

22

04πq E r

ε=

12()R r R <<

30E = 23()R r R <<

题10-4解图（a ）