正方体截面的形状 (3)
正方体的平面切割和截面特征
正方体的平面切割和截面特征正方体是一种六个面都相等且每个面都是直角四边形的立体图形。
平面切割是指将正方体沿着平面进行切割，从而得到不同的截面。
每个截面都有其特征和属性。
本文将探讨正方体平面切割和截面的特征。
首先，我们来了解一下正方体的基本属性。
正方体的六个面都是正方形，相邻面之间的边长相等。
通常，我们用字母a来表示正方体的边长。
此外，正方体的体积可以通过边长的三次方来计算，即V = a³；表面积可以通过边长的平方乘以六来计算，即S = 6a²。
接下来，我们讨论正方体的平面切割。
平面切割正方体时，切割面可以与正方体的面平行，也可以与正方体的面垂直。
对于平行切割，我们可以得到与正方体底面相似的平行四边形。
这些平行四边形的边长和对应边的长度比例与正方体底面相同。
当切割面与正方体的面垂直时，我们将得到线段、正方形、三角形或其他多边形的截面形状。
在平行切割的情况下，截面的特征与正方体的底面相似。
例如，如果我们将正方体平行地切割成一系列平行四边形，这些四边形的形状和相似性将与底面相同。
然而，它们的大小可能会有所不同，但比例关系将保持不变。
当切割面与正方体的面垂直时，截面的形状将根据切割的位置和角度而有所不同。
根据切割的位置，截面可以是线段、正方形、长方形、三角形或其他多边形。
在这些截面中，正方形和长方形出现的频率最高，因为它们是与正方体面相关联的形状。
此外，截面的边长可能与正方体的边长有关，但不一定相等。
当切割面与正方体的对角线平行时，我们将得到等腰直角三角形的截面。
这是因为对角线与正方体的边相切，并且正方体的边是直角的。
所以，切割面与对角线所包围出的截面将是等腰直角三角形。
在切割正方体时，我们还可以观察到一些有趣的截面特征。
例如，当切割面与相对的两条棱平行时，我们将得到矩形形状的截面。
这是因为切割面与这两条棱所包围出的空间将是一个矩形。
总结一下，正方体的平面切割和截面特征是多样化的。
通过平行或垂直切割，我们可以得到与正方体底面相似的平行四边形，以及线段、正方形、长方形、三角形或其他多边形的截面形状。
平面截正方体典例解析
正方体截面问题
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状.
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.
图1 图2 图3
二、截面是四边形
用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、梯形.
①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截面是正方形.
图4
②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形
图5 图6 图7
③按图8的方式所得截面为梯形.
图8
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.如图9.
图9
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六
边形，如图10.
图10
总结：用一个平面截正方体，截面可以是三角形，四边形，五边形，六边形。
但是由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形.。
北师大版数学七年级上册第一章丰富的图形世界截一个几何体
图形编号
①
②
③
截面形状
图形编号
⑤
⑥
⑦
截面形状
答案 ①圆 ②三角形(等腰三角形) ③圆 ④长方形 ⑤三角形 ⑥梯形 ⑦三角形 ⑧长方形
栏目索引 ④ ⑧
3 截一个几何体
栏目索引
1.用一个平面去截①圆锥;②圆柱;③球;④五棱柱,能得到截面是圆面的 是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
答案 D 几何体共有几个面,截面最多是几边形.四棱柱共六个面,五 棱柱共七个面,圆柱共三个面,它们都截不出八边形,七棱柱共九个面,能 截出八边形.
3 截一个几何体
栏目索引
4.如图1-3-3,观察下列几何体,用平面分别截这些几何体,请在表中填写 各图形截面(阴影部分)的形状.
图1-3-3
3 截一个几何体
答案 B 经过圆锥顶点且垂直于底面的截面是等腰三角形.
3 截一个几何体
栏目索引
2.用一个平面去截一个几何体,截面形 状为三角形,则这个几何体可能为 ①正方体;②圆柱;③圆锥;④正三棱柱.
.(写出所有正确结果的序号)
答案 ①③④
解析 ①截去一角,截面形状为三角形;②用任何平面截圆柱都不能截 出三角形;③沿竖截面截,截面形状为三角形;④用与底面平行的面截,截 面形状为三角形.
3 截一个几何体
栏目索引
图1-3-4①是一个正六面体,把它按图1-3-4②中所示方法切割,可以得 到一个正六边形的截面,则下列展开图中正确画出所有的切割线的是 ()
图1-3-4
3 截一个几何体
栏目索引
答案 C 截面没有过立方体的任何一个顶点,只有C选项符合.故选C.
3 截一个几何体
栏目索引
正方体
==》
由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截 面可能为平行四边形。
4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得 到三角形的截面，图示如下:
==》》》
由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角 形截面为正三角形，图示如下：
==》得到：
解： 构造如图１所示的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１.对①选ＡＢ为a， ＢＣ为b，ＣＣ１为c，显然a不平行于c，所以①不正确；②显然正确；对③ 选ＡB为a，平面ＣＣ１Ｄ１Ｄ为β，ＣＣ１为b，a与b不平行，所以③不正确； 对④选ＡＢ为a，Ｂ１Ｃ１为b，过ＡＡ１中点且垂直于ＡＡ１的平面为β ， 显然a、b都与β平行，所以④不正确；对⑤所有平行于a、b的公垂线的直线 （有无数条）都与a、b垂直，所以⑤不正确；故选Ａ.
如果把数学比作一个神 奇的宫殿， 那么正方体就像宫殿中 的奇珍异宝，
时刻散发出绚丽的光彩。
正方体的定义
用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正方体。侧面和底面均 为正方形的直平行六面体叫正方体，即棱长都相等的六面体，又称 “立方体”、“正六面体”。正方体是特殊的长方体。
正方体的动态定义：由一个正方形向垂直于正方形所在面的方向平 移该正方形的边长而得到的立体图形。
棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米。 棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米。 棱长是1米的正方体，体积是1立方米。
用平面截正方体
用一个平面截正方体可能得到那些图形？ 猜想：三角形、矩形、正方形、五边形、正五 边形、六边形、正六边形、菱形、梯形„„„
证明
1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置 与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到， 或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：
常见几何体的截面形状初探——“几何体的截面形状”研究性学习论文汇总
“几何体的截面形状”研究性学习论文---- 常见几何体的截面形状初探【摘要】：正用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面(section),我们可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。
【关键词】：截面形状几何体正方体平面图形等边三角形锐角三角形分类四边形正五边形梯形【正文内容】：按《全国普通高中课程标准》要求，在高中阶段至少要有一次小组合作或独立数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐进的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、合作学习的过程，所以在北师大版高中数学必修二第一章结尾教材编写者设计了《正方体的截面形状》研究性课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。
众所周知，帮助学生认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力是高中数学教师义不容辞的责任和义务；教师要通过课题研究给学生提供一个施展所学的舞台，促进学生对所学知识的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。
此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想象力和创造力。
因此，要培养全面、专业的优秀人才离不开研究性的探究和学习，高中一年级的学生对《正方体的截面形状》研究性课题的深入探究和学习就显得格外重要，很有必要。
用平面去截一个几何体，所截出的面,就叫截面(section),截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况。
用平面去截一个几何体,我们可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。
在医学诊断上,有一种与“截几何体”类似的仪器和方法,它是通过X射线扫过人体的患病器官,然后通过计算机处理相关测量数据,重建人体断层图象,并作出诊断,这就是是“CT影像诊断技术”――在医学史上具有划时代意义。
【精编版】最新北师大版七年级数学上册第1章《丰富的图形世界》同步练习及答案—1.3截一个几何体(4)
北师大版七年级数学上册第1章《丰富的图形世界》同步练习及答案—1.3截一个几何体（4）1．截面定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．如图所示，阴影部分就是截面．谈重点截面的理解①由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．②截面的形状与所截几何体有关，也与所截角度和方向有关．③对于同一个几何体，截面的方向不同，得到的截面形状一般也不相同．同一个几何体可能有多种不同形状的截面．【例1】下列关于截面的说法正确的是( )．A．截面是一个平面图形B．截面的形状与所截几何体无关C．同一个几何体，截面只有一个D．同一个几何体，截面的形状都相同解析：根据截面的定义“用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面”可知，A是正确的；截面与几何体的形状有关，B是错误的；从不同的角度和方向去截同一个几何体，所得的截面一般不同，所以C，D是错误的．故选A.答案：A2.正方体的截面正方体截面的形状：如图所示，正方体的截面的形状可以是：(1)三角形(包括等腰三角形、等边三角形和一般三角形)，如图①.(2)四边形(包括正方形、长方形、梯形等)，如图②③④.(3)五边形，如图⑤.(4)六边形，如图⑥.正方体中不同形状的截面的截法：(1)沿竖直或水平方向截正方体，截面为正方形．(2)图①中的截面是等边三角形，与该平面平行，能截正方体三条棱的平面，都能截出等边三角形．(3)过正方体同一个面上不相邻的两个顶点和一条棱上的一点，可截出等腰三角形(如图)，且与该面平行的能截正方体三条棱的平面，都能截出等腰三角形．(4)分别过正方体的上、下底面，且与任何棱都不平行的截面，可截出梯形．(5)只要截面与五个面相交或与六个面相交，即可截出五边形或六边形．【例2】下列说法正确的是( )．①正方体的截面可以是等边三角形②正方体不可能截出七边形③用一个平面截正方体，当这个平面与四个平面相交时，所得的截面一定是正方形④正方体的截面中边数最多的是六边形A．①②③④ B．①②③C．①③④ D．①②④解析：过正方体三个不相邻顶点的截面是等边三角形，①正确；正方体只有六个面，所以最多与六个面相交，截面最多是六边形，②正确；当一个平面与四个平面相交时，截面也可能是长方形和梯形，③错误；正方体有六个面，当与六个面都相交时，截面是六边形，④正确．答案：D3．圆柱、圆锥、球的截面(1)圆柱的截面用一个平面去截一个圆柱，可得到的截面形状是长方形、圆、椭圆、椭圆的一部分．(2)圆锥的截面用一个平面去截圆锥，可得到的截面形状是三角形、圆、椭圆及椭圆的一部分．(3)球体的截面用一个平面去截球体，可得到的截面形状是圆．【例3】下列几何体的截面分别是__________、________、________、________.解析：观察时要注意平面截几何体的方向和角度，找出它与几何体的几个面相交，同时注意截面是否与底面平行或垂直．答案：圆长方形三角形圆4．根据截面判断几何体(1)常见几何体截面的比较常见几何体主要是棱柱、圆柱、圆锥和球体．棱柱包括正方体、长方体、三棱柱、五棱柱、六棱柱……其中以正方体为代表．各种几何体的截面如下表：(2)根据截面判断原几何体的方法：①截面中有曲线，则原几何体一定有曲面．例如截面形状是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球或圆台．②若一个几何体的各面都是平面，则所得截面一定是多边形；若几何体有曲面，则所得截面可能是多边形，也可能是由直线和曲线组成的图形，还可能是由曲线组成的图形．【例4－1】一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的( )．A．圆柱和圆锥B．球体和圆锥C．球体和圆柱D．正方体和圆锥解析：球的截面只能是圆形；圆柱的截面可以是圆、长方形、椭圆和椭圆的一部分；正方体和圆锥都可以截出三角形，故选C.答案：C【例4－2】一个几何体，用水平的面去截，所得截面都是圆，用竖直的面去截，所得截面是长方形，判断这个几何体的名称(写出一种几何体的名称即可)．分析：本题考查由截面的形状判断几何体．用水平面截，所得截面都是圆，该几何体可能是圆柱、圆锥、球；用竖直的面去截，所得截面是长方形，该几何体可能是棱柱、圆柱、正方体、长方体．综合两个条件可得该几何体可能是圆柱．解：这个几何体可能是圆柱．点评：同一个几何体可能有多个不同的截面图形，只有综合考虑不同的截面图形，才能准确判断出几何体的形状．5.判断截后剩余几何体的顶点数、棱数和面数一个棱柱，截去一部分后，剩余几何体的顶点数、棱数和面数与该图形的形状有关．【例5－1】__________个．解析：过一个顶点截掉一个角后，去掉了一个顶点，又增加了两个，实际上比原来的长方体增加了一个顶点，有9个．答案：9【例5－2】如图，用一个平面截掉正方体的一条棱，剩下的几何体有________个顶点，有________条棱，有________个面．解析：剩下的部分是一个五棱柱，故有10个顶点，15条棱，7个面．答案：10 15 76．截面的应用把一个长方体木块锯成几段，可以看成用几个平面去截长方体，其截面的面积等于与截面平行的底面的面积．如图所示．【例6】72平方厘米，则这根木料原来的体积是多少？分析：木料被锯成4段，实际上可以看成用3个平面去截一个长方体，每个截面处增加2个相等的面，共增加了3×2＝6个面，这6个面的面积和是72平方厘米，可先求出每个面的面积，再求体积．解：因为将木料锯成4段，则表面积多出6个面，且每个面的面积相等，所以72÷6＝12(平方厘米)．所以原木料的体积是12×200＝2 400(立方厘米)．答：这根木料原来的体积为2 400立方厘米．点评：①长方体的体积＝横截面的面积×长；②注意本题单位要统一．。
正方体的截面问题研究资料讲解
正方体的截面问题研究研究性学习报告——正方体的截面形状【课题】正方体的截面形状【作者】刘可歆岳新茹【摘要】探究正方体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。
【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。
再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。
【研究过程】探究1：当截面为三角形根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:====由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：====》正三棱锥探究2：当截面是四边形1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4．菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：5．梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》探究3：当截面是五边形6.五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》探究3：当截面是六边形7.六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：【拓展探究】1. 正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
2. 正方体最大面积的截面四边形:通过猜想及查询资料可知，正方体截面可能得到的四边形有：正方形、矩形、梯形、平行四边形。
正方体截面总结(最全,适用于公务员图形推理)
正方体截面的形状可能出现锐角三角型、等边、等腰三角形,但不可能出现直角和钝角三角形四边形:可能出现正方形、矩形、非矩形的平行四边形、菱形、梯形、等腰梯形不可能出现直角梯形结论如下：1、可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
正方体截面总结
结论如下：1、可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形 2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
正方体的截面图(共27张PPT)
以截面最多只能有六条边。
最大面积的截面：
有两个图形〔长方形跟正六边形〕比较可能， 來比较看看吧。
可是用看的实在看不出哪个大
那就用来算算吧！
先算长方形面积
长方形比较好算，只要长乘以高
宽就是正方体边长n了 那长就依照华氏定理 两股为n，斜边长即对角线长
n2n2 2n2 2n
而这三边比就是直角三角形30度.60度.90度 只要把它当成一长方体对角线
直角三角形、等腰三角形、钝角三角形…
面积就是的底乘以组高除以合二 ，所以角Ｂ的一半为60度。
所以角Ｂ就是120度啦！
因此这六边形是正六边形 。
大于四边之其它形状截面：
六边形以上的多边形无法切出來， 为什么？
因为正方体每个面只能有一个图 形的边，才是一个直的截面，才 能切成一直线，每个面只能有一
算就好了〔见右图〕
依长方体对角线公式：
X Y Z 2
2
2〔ＸＹＺ各代表长方体的长、宽、高。〕
所以：
BC ( 1 n ) 2 ( 1 n ) 2 n 2
2
2
3 n2 2
2
三角形就完成边长了（右上图）
算ＡＣ到Ｂ之高
( 2 n)2 ( 6 n)2
2
4
但有人想如果我这样切〔下面二图〕
不就可切出直角跟钝角吗 ？
Ｏ Ｏ
答案是：沒有这种切法。
因为你看看，此两图虽然两条边都在正方体
之一面上，但是有一条边是存在于正方体內 ，而这样就不是截面了。所以这是不可能出
現直角或钝角三角形。
面积最大的三角形截面：
四边形截面：
正方形：
长方形：
四边形截面：
梯形：
正方体过体对角线的截面形状
正方体过体对角线的截面形状大家好，今天咱们来聊聊一个看似简单但其实挺有意思的数学问题——正方体过体对角线的截面形状。
别担心，这可不是一堂枯燥的数学课，而是带你走进几何世界的小旅行。
我们一起来看看，正方体通过体对角线切割后，截面会变成什么形状。
1. 正方体的基本概念1.1 什么是正方体先来简单了解一下正方体。
正方体就是那种六个面都是正方形的立体，大家平常见的骰子就是正方体的典型代表。
每个面都是四条边相等的正方形，所有的角都是直角。
听起来简单，但这玩意儿可是几何的基础呀！1.2 正方体的对角线正方体里有两种对角线，一种是面对角线，另一种是体对角线。
面对角线就是在同一面上的对角线，比如你用尺子在一个正方形的面上画的对角线。
而体对角线呢，是从一个顶点到对角的顶点，穿过整个立方体。
2. 体对角线的截面形状2.1 截面是什么说到截面，就是把一个立体体积给切开，剩下的部分就叫截面。
就像你把一个橙子切成两半，切面就是橙子的内部展示。
正方体也一样，当你用一个平面切割正方体，截面就会显示出不同的形状。
2.2 体对角线的特殊性当我们说“正方体过体对角线”时，意思就是通过正方体的体对角线来切割。
这个时候，截面会呈现出一种特别的形状。
要弄清楚这个形状，我们可以先做个小实验，想象一下如果我们把正方体“切”成两个部分，那么这两个部分就会有一个交集平面，而这个平面正好是一个等边三角形。
3. 截面形状的形成3.1 为何是等边三角形那么，为什么截面会变成等边三角形呢？这就要从正方体的几何特性说起。
正方体的体对角线长，刚好把整个正方体“切”成两个相等的部分。
因为这两个部分是完全对称的，所以切割出来的截面也就自然变成了等边三角形。
这个三角形的每一边都是正方体对角线的一部分，简直是“如鱼得水”呀！3.2 实验演示为了更加直观，可以用纸做一个小实验。
剪一个正方形纸，然后把它卷成一个立方体。
用刀子从一个顶点穿过另一个对角的顶点切开，你就会看到，切开后的截面是个等边三角形。
正方体三个中点构成的截面
正方体三个中点构成的截面
正方体的三个中点构成的截面可以是一个等边三角形。
在正方体的每个面上，有一个中点，将这些中点连接起来，就可以得到一个等边三角形。
这个等边三角形是正方体的一个截面，它与正方体的边平行且相交于中点。
这个截面的形状与正方体的每个面都不完全相同，因为它是由三个中点构成的。
它的边长与正方体的边长相等，而且它的内角也是60度，因为它是等边三角形。
正方体的三个中点构成的截面是一个等边三角形，它与正方体的边平行且相交于中点。
截一个几何体知识点归纳
截一个几何体
知识点一：截面，用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面，截面形状通常为三角形、正方形、长方形、梯形、圆、椭圆等，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关。
知识点二：截一个几何体所得截面的形状
1、用平面去截正方体：用一个平面截正方体，截面的形状
可能是三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边
形等。
2、用平面去截圆柱：常见的截面有长方形、圆、椭圆、类
似于梯形、类似于拱形。
3、用平面去截圆锥：截面的形状可能是三角形、圆、椭圆、
类似于拱形。
4、用平面去截球：截面的形状都是圆。
截正方体的截面形状
截正方体的截面形状《截正方体的截面形状，超有趣的探索！》嗨，小伙伴们！今天咱们来聊一个超级好玩的事儿——截正方体的截面形状。
这可不像看起来那么简单哦，里面有着好多奇妙的东西呢。
我最开始接触这个的时候，就想啊，正方体方方正正的，截一下能有啥特别的形状呢？我就拿了个小正方体模型，就像那种小塑料块块做的正方体。
我和同桌就开始拿着小刀（当然是那种很安全的塑料小刀啦，可不能用真刀，危险着呢），打算去截一截这个正方体。
我先斜着截了一下，哇塞，出来的形状可把我惊到了。
这个截面不是方的，也不是正正的三角形，而是一个斜斜的三角形。
我就问同桌：“你看，这个三角形好奇怪呀，和咱们平时画的三角形都不太一样呢。
”同桌瞅了瞅说：“是啊，它这个边都是斜着的，感觉像个调皮的小三角。
”我就想啊，这个斜斜的三角形就像一个歪着脑袋的小精灵，有点神秘又有点可爱。
然后我们又换了个方向截，这次我们想试着平行着一个面去截。
嘿，这一截可不得了，出来的截面居然是个正方形。
这就好像是从正方体这个大家庭里又分离出了一个小正方形家庭一样。
我高兴得直拍手，说：“哈哈，这个我能理解，就像是从一个大蛋糕上切出了一块正方形的小蛋糕。
”同桌也笑了，说：“对呀，这个正方形就规规矩矩地待在那儿，可不像刚才那个调皮的三角形。
”接着呢，我们更来劲了。
我们试着从一个顶点出发，向相对的面去截。
哇哦，这次出现的是一个三角形，不过这个三角形和之前那个斜斜的三角形又不一样。
这个三角形是那种尖尖的，就像山峰一样。
我就对同桌说：“你看这个三角形，像不像那种超级尖的山顶啊？”同桌眼睛一亮，说：“还真像呢，感觉这个三角形充满了力量，就像要冲破什么似的。
”我们还不满足呢，又想啊，如果我们从正方体的棱上去截会怎样呢？我们小心翼翼地把小刀放在棱上，然后慢慢截下去。
这次出现的截面是个长方形。
这个长方形长长的、扁扁的，我觉得它就像一个长长的小床。
我跟同桌说：“你看这个长方形，像不像小人儿睡觉的小床呀？”同桌哈哈大笑，说：“你可真能想，不过还真有点像呢。
七年级数学上册第一章丰富的图形世界第3节截一个几何体课件新版北师大版
探究总结 形状
正方体的截面 特殊情形
三角形 四边形 五边形
等
等
腰
边
三
三
角
角
形
形
平
长
正
梯
行
方
方
形
四
形
形
边
形
六边形
探究新知
3.圆柱的截面
平行轴线截切, 垂直轴线截切,
截面是矩形
截面是圆
倾斜轴线截切, 截面是椭圆.
探究新知
4.圆锥的两种常见截面
垂直轴线截切, 截面是圆
沿着顶点往下进行截, 截面是等腰三角形
2019/8/8
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3、用平面去截一个几何体，如果 截面的形状是长方形，你能想象出原来 的几何体可能是什么吗？
（长方体（含正方体）、圆柱、直三棱柱、 直五棱柱等）
课堂小结
1、截面的定义：用一个平面去截 一个几何体，截出的面叫截面 ；
2、正方体的截面可以是三角形、 四边形、五边形、六边形.
3、通过截面形状来猜想原几何体。
截一截
我们可以看到截面的形状是 梯形 .
②正方体的
截面可能是 四边形
截一截
我们可以看到截面的形状是 五边形 .
③正方体的
截面可能是 五边形
截一截
我们可以看到截面的形状是 六边形 .
④正方体的 截面可能是 六边形
想一想
用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是七 边形吗？
结论
由前面的知识我们知道，面与面相交得到线。 用平面去截几何体，所得到的截面就是这个平面 与几何体每个面相交所围成的图形。正方体只有 六个面，截面最多有六条边，即截面的变数最多 是六边形。不可能是七边形。
截一个几何体（课件）
注意： 用一平面去截正方体，由 于正方体共有六个面，所 以截面不可能是七边形。
新知讲解
图1-16的中的样 的截面呢？
拓展提高
练习一：用一个平面去截一个圆柱体，不可能的截面是( D )。
拓展提高
练习六：图1是一个正六面体，把它按图2中所示方法切割，可以 得到一个正六边形的截面，则下列展开图中正确画出所有的切割 线的是( C )。
A、
B、
C、
D、
图1
图2
课堂总结
（1）用一个平面去截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得截 面的形状是三角形。锐角三角形或等腰三角形或等边三角形。其中等 边三角形的三个顶点是正方形的顶点。
图六
图七
图八
用一个平面去截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得截面 的形状是三角形。如图六的锐角三角形、图七的等腰三角形、图八 的等边三角形。其中等边三角形的三个顶点是正方形的顶点。
新知讲解
截面的形状还可 能是几边形呢？
图九
用平面截正方体， 当平面经过正方体 五个面时，所得截 面是五边形。
图十
图一
新知讲解
按图二、图三、图四的方式切截，那么得到的截面是长方形。
图二
图三
图四
新知讲解
按图五的方式切截，那么得到的截面是梯形。
图五
新知讲解
正方体各种截面动态图
新知讲解
用一个平面去截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面 可能是正方形，长方形或梯形。
图一
图二
图三
图四
图五
新知讲解
截面的形状可能 是三角形吗？
A、
B、
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正方体截面的形状
1.按截面图形的边数分类：
三边形（锐角三角形，等腰三角形，等边三角形）
四边形（矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形）
五边形（五边形）
六边形（六边形，正六边形）
2.（1）证明：截面是三角形
①锐角三角形
证明：∵设三边为a,b,c ，
∴则证明a^2+b^2>c^2,且
cosC>0,C为锐角。
同理可证，B、C也是锐角，所以三角形ABC是锐角三角形。
②等腰三角形
证明：取相邻两边任意两点，距离两边交点相等，在第三边取任意一点（与交点不重合）
∵AB长确定，AC=AD,∠CAB=∠DAB=90°。
∴根据勾股定理可知CB=DB
且三角形为等腰三角形
③等边三角形
证明：
在AB.AC.AD上,取三点距离原点A相同。
∵图形为正方体。
∴AB=AC=AD
又∵三线两两垂直，根据勾股定理知
BC=CD=BD，且截面为等边三角形。
（2）证明：截面是四边形。
①．矩形.正方形。
证明：：
取任意一平面平行于上下底面或侧面。
且所截图形为正方形。
又∵正方形是特殊的矩形，∴截面可以是矩形。
∵ABCD平行于上底面，∴AB=BC=CD=AD
又∵AB.BC.CD.AD相交互相垂直，所以截面为正方形。
②．菱形
证明：
以相对顶点为菱形对点，取与顶线不相交的相对侧棱中点，所截平面。
∵图形为正方体，所以对边平行且相等。
∴截面为平行四边形。
又∵AB=BD,AE=DF.∠BAE=∠BDF=90°，
且BE=BF. ∴截面为菱形
③梯形.等腰梯形
证明：
当平面不垂直底面时,且在上底面的截线段平行对角线,所得的截面图形可能为梯形。
当上下底面的截线段都平行于同一条对角线，所得的截面图形可能为等腰梯形。
∵AB∥CD, ∴ABCD为梯形。
作AF’⊥CF，BF1⊥FD
又∵AE=BE,CF=FD,AF’=BF1=EF. ∴AC=BD
且截面为等腰梯形。
（3）证明：截面是五边形。
证明：
第一个为五边形，在正面上画一个直线，直线一端为右下角另一段为左前侧棱1/2往上这样将直线延长与正上棱相交
同样的道理在右侧面画一条直线
直线一端为右下角（与上同理）
另一段为后右侧棱1/2往上这样将直线延长与上右侧棱相交
由图得所截平面为五边形。
（4）证明：截面是六边形。
证明：截面是六边形.正六边形。
取各边的中点，再连接两个平行面的不同位置的中点，所成截面为正六边行。
当平面与正方体的六个面相交时，可以切出六边形。
∵取点为每边中点，图形为正方体。
且过六个面
∴截面为六边形
又∵链接AC.AD 得AC=AD=AE，
且截面为正六边形。
3．由2证明得，截面多边形的边数最多有6条。
为什么六边形以上的多边形无法切出来？
解析：因为正方体只有6个面，所以截面所在的平面与这6个面所在的平面最多只能有6条交线，所以截面的边数至多是6。
4. 为什么正方体的截面不能是直角梯形？
解析：正方体各面全等，并且每条对边互相平行，但直角梯形上底和下底平行，且并不相等，两条腰也不平行，所以不能是直角梯形。
5．为什么切一个正方体所能切出的切面不能为正五边形？
解析：五个边，一定有两边来自一组平行的面，此两边平行，这个五边形就不可能是正五边形。