简谐振动的研究

简谐振动的研究

(用气垫导轨法)

实验目的

1．验证弹簧振子的运动规律。

2．验证谐振动的周期决定于振动系统本身的性质，与初始条件无关。

3．测量弹簧的等效质量。

实验仪器

气垫导轨，滑块儿与附加物，弹簧，光电计时装置等。

实验原理

1．弹簧振子的振动规律

如图12a－1所示。在水平气垫导轨上的滑

块儿两端联接倔强系数分别为K1、K2的两弹簧

振子。选水平向右的方向为x正方向，把滑块

儿由平衡位置O向右移动一段距离x。如果忽略阻力，物体只受弹性恢复力－(K1+K2)x的作用，方向指向平衡位置，由牛顿第二定律可知，其运动方程为

（12a－1）

式中k＝K1＋K2，如令，则有

此微分方程的解为

（12a－2）

上式表明滑块儿的位置按正弦函数随时间而改变。所以，滑块的运动是简谐振动。

式中A是振幅，是初相位。是弹簧振子固有的圆频率，M是弹簧振子的有效质量，它等于滑块儿质量m与二弹簧有效质量m 0之和，即M＝m＋m0。由系统本身决定，A和由初始条件决定。（12a－2）式对时间求微商，有

（12a－3）

上式表明滑块儿的速度按余弦函数随时间变化。由（12a－2）和（12a－3）式可以消去t，有

（12a－4）

上式是滑块儿速度与位移随时间变化时应满足的关系。当x＝0时，由公式（12a －4）可得

v =ω

A

这时v的数值最大，即

v max =ω

A（12a－5）

2．弹簧振子的振动周期

弹簧振子的周而复始完全振动一次所需要的时间，称为简谐振动的周期T。

上面公式可改写为

（12a－6）

当k一定时，～m成线性关系，并且由其斜率和截距可以求出二弹簧的倔强系数k和有效质量m0。

实验内容

1．调整气垫导轨使其成为水平状态，并使光电门与光电计时装置正常工作，按图12a－1装好弹簧振子。

2．考究位移随时间的变化

第一个光电门置于滑块儿的平衡位置，第二个光电门置于平衡位置右侧x处，把滑块儿从平衡位置向左拉开20厘米（即使A＝20cm）然后松开，测量滑块儿通过两光电门所需要的时间间隔t及两光电门之间的距离x。移动第二个光电门改变距离x值（如每次向右增加2cm）,保持A＝20厘米不变。测定时间间隔t。绘出四分之一周期的x～t图线，验证（12a－2）式。

3．考察速度与位移的关系

保持A＝20厘米不变，将光电门置于平衡位置。测x = 0处的最大速度。再移动光电门改变距离x（每次约2厘米），测出相应的瞬时速度v。作v2～x2图线，验证（12a－4）。

4．验证周期与初始条件无关

（1）测振动周期。光电门置于平衡位置，把滑块儿拉开20厘米后松开，测量滑块儿往返通过光电门的时间T/2（半周期）。测量多次取平均值。

（2）改变振幅测量周期。说明周期与振幅的关系。

5．考察T～m关系

改变滑块儿的质量（增加附重物）m,测量相应的周期T，共测量6组（m、T）。用作图法验证（12a－6）式。

数据处理

利用作图法，绘制～m图线，并计算倔强系数k和等效质量m。

思考题

1．气垫导轨没有调节水平，对测量周期、速度、和时间有没有影响？为什么？

2．如何调整气垫导轨及光电计时系统？