计算方法简明教程习题全集及解析
计算方法各习题及参考答案
计算⽅法各习题及参考答案第⼆章数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造⼀多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到⼆次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某⼀个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利⽤差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．2.4 当⽤等距节点的分段⼆次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使⽤多少个节点能够保证误差不超过61102-?．答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔⽶特插值多项式，步长b a h n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平⽅逼近多项式，并给出平⽅误差．答案：()sin f x x =的⼆次最佳平⽅逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-?+-，⼆次最佳平⽅逼近的平⽅误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=??．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-?取最⼩值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳⼀致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳⼀致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 ⽤幂级数缩合⽅法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平⽅逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章数值积分与数值微分4.1 ⽤梯形公式、⾟浦⽣公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =?，并与精确值⽐较．答案：计算结果如下表所⽰4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量⾼，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．（１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++? （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-?答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有⼆次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++?中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量⾼，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的⼆次插值多项式，⽤2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =?的数值积分公式h I ，并⽤台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+．答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+?．4.5 给定积分10sin xI dx x =（１）运⽤复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-?．（２）取同样的求积节点，改⽤复化⾟浦⽣公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若⽤复化⾟浦⽣公式，应取多少个节点处的函数值？答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=? （３）取７个节点处的函数值．4.6 ⽤变步长的复化梯形公式和变步长的复化⾟浦⽣公式计算积分10sin xI dx x =?．要求⽤事后误差估计法时，截断误不超过31102-?和61102-?．答案：使⽤复化梯形公式时，80.946I T ≈=满⾜精度要求；使⽤复化⾟浦⽣公式时，40.946 083I s ≈=满⾜精度要求．4.7（１）利⽤埃尔⽶特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+?，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈．（２）利⽤上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--?，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++ ，⽽ 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．4.8 ⽤龙贝格⽅法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字．答案：49.6884l I =≈．4.9确定⾼斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+?的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证⾼斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+?的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章解线性⽅程组的直接法5.1 ⽤按列选主元的⾼斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中11121 0110A -?? ?= ? ?-??．答案： 1110331203321133A -?? ? ?=---5.2 ⽤矩阵的直接三⾓分解法解⽅程组1234102050101312431701037x x x x= ? ? ? ? ? ? ? ? ??答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 ⽤平⽅根法(Cholesky 分解法)求解⽅程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -?????? ??? ?-=- ??? ? ??? ???????答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 ⽤追赶法求解三对⾓⽅程组123421113121112210x x x x ?????? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?????答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章解线性代数⽅程组的迭代法６.１对⽅程1212123879897x x x x x x x -+=??-+=??--=?作简单调整，使得⽤⾼斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，⽤该⽅法求近似解(1)k x+，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤．答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２讨论松弛因⼦ 1.25ω=时，⽤SOR ⽅法求解⽅程组121232343163420412x x x x x x x +=??+-=??-+=-? 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<．答案：⽅程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３给定线性⽅程组Ax b =，其中111221112211122A ?? ? ?=，证明⽤雅可⽐迭代法解此⽅程组发散，⽽⾼斯－赛得尔迭代法收敛．６.４设有⽅程组112233302021212x b x b x b -?????? ??? ?= ??? ? ??? ?-??????，讨论⽤雅可⽐⽅法和⾼斯－赛得尔⽅法解此⽅程组的收敛性．如果收敛，⽐较哪种⽅法收敛较快．答案：雅可⽐⽅法收敛，⾼斯－赛得尔⽅法收敛,且较快．６.５设矩阵A ⾮奇异．求证：⽅程组Ax b =的解总能通过⾼斯－赛得尔⽅法得到．６.６设()ij n nA a ?=为对称正定矩阵，对⾓阵1122(,,,)nn D diag a a a = ．求证：⾼斯－赛得尔⽅法求解⽅程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章⾮线性⽅程求根例７.４对⽅程230xx e -=确定迭代函数()x ?及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ?∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ?+== 均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<．答案：若取2()x x ?=，则在[1,0]-中满⾜收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x k +== 在(1,0)-中有惟⼀解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x ?=，在[0,1上满⾜收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x k +== 在[0,1]中有惟⼀解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=- 在[3,4]上，将原⽅程改写为23xe x =，取对数得2ln(3)()x x x ?==．满⾜收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +== 在[3,4]中有惟⼀解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６对于迭代函数2()(3)x x c x ?=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ?+=产⽣的序列{}k x（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ?51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所⽰表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ?+=的迭代函数()x ?具有⼆阶连续导数，*x 是()x ?的不动点，且*()1x ?'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y x+===-?=-?-+?⼆阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ?=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ?为迭代函数的迭代法⾄少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有⾼阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且⽜顿法收敛，证明⽜顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第⼋章矩阵特征值8.1 ⽤乘幂法求矩阵A 的按模最⼤的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -?? ?=- ? ?-??，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这⾥()1k λ表⽰1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --． 8.2 ⽤反幂法求矩阵110242012A -??=-- -的按模最⼩的特征值．知A 的按模较⼤的特征值的近似值为15λ=，⽤5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最⼩的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设⽅阵A 的特征值都是实数，且满⾜121, ||||n n λλλλλ>≥≥> ，为求1λ⽽作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 ⽤⼆分法求三对⾓对称⽅阵1221221221A ?? ? ?= ? ? ???的最⼩特征值，使它⾄少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 ⽤平⾯旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]T x =变为与1[1 0 0 0]Te =平⾏的向量．答案：203/2/00001010/0T ??- ?=--?0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --??--= ? ?--8.6 若532644445A -??=- -，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后⽤QR ⽅法求A 的全部特征值．第九章微分⽅程初值问题的数值解法9.1 ⽤反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤??=?，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-．答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈==9.2 ⽤⼆阶中点格式和⼆阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ?=+≤=?的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位⼩数)．答案：⽤⼆阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈⽤⼆阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 ⽤如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，⼩数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使⼆阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y aλλ'=-??=?为实常数绝对稳定，试求步长h 的⼤⼩应受到的限制条件．答案：2h λ≤．9.5 ⽤如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++?=+??=++??==，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '?=<≤?=?时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛．答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式⼆步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能⾼，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时⽅法的局部截断误差阶最⾼，为五阶5()O h ．9.7 试⽤欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx=-≤=+=，取步长0.1h =，⼩数点后⾄少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =??=? ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=??≈=? 220.604 820z 2.090 992y =??=? ， 22 (0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=??≈=?。
计算方法习题集及解答(总结版)
左边 （ ）- 右边 证明：当 m=0 时
∑∞
= T0 h
T=
∆ i
h
2i
=
i=1
设 时等式成立，即 （ ）- m=k
Tk h
∑∞
T=
∆ h (k ) 2k +2i i
i =1
当 时 m=k+1
∑ ∑ Tk+（1 h）-T=
4k
+1Tk
(
h 2
)
−
Tk
(h)
4k +1 −1
−T=
4k +1[T
+
∞ i =1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.46647
9 1.4650
10
11
1.46593 1.4653
x* ≈ 1.466
迭代公式（2）：
k
0
xk
1.5
12 1.46572
13 1.46548
14 1.46563
xk +1
=
ln(4 − xk ln 2
)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
xk 1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386 1.386
x* ≈ 1.386
2. 方程 x3 − x2 −1 = 0 在 x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
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习题一1.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法xmax x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A nR n n .2.试证明maxa ij , A ( a ij )1 in1 i n1j证明：（ 1）令 x rmaxxi1 i nnp 1/ pnx ip1/ pnx r p 1/ p1/ pxlim(x i lim x r [( ]lim x r [limx r))() ]x r npi 1pi 1 x rpi 1 xrp即 xx rnp1/ pnp 1/ p又 lim(lim(x rx i)x r)pi 1pi 1即 xx rxx r⑵ 设 x(x 1,... x n )0 ，不妨设 A 0 ，nnnn令maxaijAxmaxaijx jmaxa ij xjmax x i maxaijx1 i nj 11 i nj 11 i nj 11 i n1 i nj 1即对任意非零 xR n，有Axx下面证明存在向量 x 00 ，使得Ax 0，x 0n( x 1,... x n )T 。
其中 x j设j a i 0 j ，取向量 x 0sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。
1nn显然x 01 且 Ax 0 任意分量为ai 0 jx jai 0 j，i 1i1nn故有Ax 0maxaijx jai 0 j即证。
ii 1j 13. 古代数学家祖冲之曾以355作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？113解： x325 &0.314159292 101133xx355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。
4. 若 T(h)逼近其精确值T 的截断误差为R(T ) : T (h) T A i h2 ii 1T0 ( h) T (h) 其中，系数 A i与h无关。
数值方法简明教程作业集答案
数值计算方法简明教程第一章1 *1x =1.7； *2x =1.73； *3x =1.732 。
2．3． （1） ≤++)(*3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。
4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。
令3)1()1(1*1021102211021)(-----⨯≤⨯⨯=⨯=n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。
5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是*x 的相对误差的1/2倍；（2）n x )(* 的相对误差约是*x 的相对误差的n 倍。
6． 根据********************sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =******)()()(tgc c e b b e a a e ++ 注意当20*π<<c 时，0**>>c tgc ，即1*1*)()(--<c tgc 。
则有)()()()(****c e b e a e S e r r r r ++<7．设20=y ，41.1*=y ，δ=⨯≤--2*001021y y 由 δ1*001*111010--≤-=-y y y y ，δ2*111*221010--≤-=-y y y yδ10*991*10101010--≤-=-y y y y即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小1010-倍。
而11010<<-δ，故计算过程稳定。
计算方法_习题集(含答案)
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
12.1825 13.4637 14.8797 16.4446 18.1741
11.求公式 的代数精度。
12.确定求积公式 中的待定系数,使代数精度尽可能的高,并指出代数精度。
13.确定求积公式 中的待定系数,使代数精度尽可能的高,并指出代数精度.
11.解：取 代入公式，得到：
当 左边=1，右边=1。当 ，左边= ，右边= ，
当 ，左边= ，右边= ,当 ，左边= ，右边= ，
当 ，左边= ，右边= ，
所以公式具有三次代数精度。
12.解：令 ，代入积分公式，有
解之： ,积分公式为： ，
由于当 时，左= 右= ,
所以积分公式具有一次代数精度。
13.解：令 ，代入积分公式，有
16.解：增广矩阵的变换为
，
等价于方程组：
，解之， 。
17.解：消元过程： ，
回代可求出： 。
18.解：
，
， ，
，
所以
19.解：增广矩阵变换为：
等价于方程组
， 所以，方程组的解为
20.解：
等价的三角方程组为
回代可得 。
21.解：迭代格式： ， ，
。 ，所以迭代不收敛.
22.解：因为系数矩阵 是严格的对角占优矩阵，
21.对于方程组 ，写出 迭代的迭代格式并判断是否收敛。
22.对于方程组 ，分析Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代的收敛性。
23.设线性方程组的系数矩阵为 ，求能使Jacobi迭代收敛的 的取值范围
24.用Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代于方程组 是否收敛？为什么？若将两个方程对调，结论又如何？
计算方法8
3.3 矩阵三角分解法
3.4 向量和矩阵的范数
3.1.4 计算量
定理：高斯消去法求解n阶线性方程组共需 n 2 1 3 乘除法次数 (n 3n 1) n 3 3 1 加减法次数 n(n 1)(2n 5) 6 证明：消元过程
( ( mik a ikk ) / a kkk )
( ( ( aijk 1) aijk ) mik akjk ) k 1, 2,, n 1 i, j k 1,, n ( k 1) (k ) (k ) bi bi mik bk
1 除法次数 n k n(n 1) 2 k 1 1 (n k )(n k 1) n(n 2 1) 乘法次数 3 k 1 1 (n k )(n k 1) n(n 2 1) 加减法次数 3 k 1
0.50 x1 1.1x2 3.1x3 6.0 2.0 x1 4.5 x2 0.36 x3 0.020 5.0 x 0.96 x 6.5 x 0.96 1 2 3
设 解： 其 系 数 均 有 两 位 有 效 数 字 ， 为 了 减 小 舍 入 误
(k 且严格对角占优，则akk ) ( k 1, 2, , n)
全是列主元。 证明： 因为A (aij )n 对称且严格对角占优，故有
a11 ai1 max ai1
i2 2i n
n
(2) aij
所以a11是主元。由消元过程和对称可得 ai1a1 j a1i a j1 , a (2) i, j 2,3, n aij a ji ji a11 a11
回代解出x1 x2 1
计算方法习题集及答案第四版
解：
y次迭代公式
k
0
1
2
3
3.5
3.64
3.63
3.63
6. 试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。 解：
令
y次迭代公式 故
从而 ，时， 故， 故牛顿迭代公式是线性收敛的 7. 应用牛顿法于方程, 导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛
性。
解：
相应的牛顿迭代公式为 迭代函数，， 则，
习题1.1
1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如 何？
数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 2. 试证明 及
证明： （1）令
即 又 即 ⑵ 设，不妨设， 令 即对任意非零，有 下面证明存在向量，使得， 设，取向量。其中。 显然且任意分量为， 故有即证。 3. 古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有
解： （1）迭代公式，公式收敛
k
0
1
2
3
0
（2），， 局部收敛 k0 1 2 3
0.25
0.25098 0.25098
456789
1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386
2. 方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
（1）,对应迭代公式;
9
10
11
12
13
14
15
16
1.4650 1.46593 1.4653 1.46572 1.46548 1.46563 1.465534 1.465595
迭代公式（2）：
k
0
1
2
3
计算方法简明教程分章习题参考答案
参考答案习题一1、解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2、解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3、解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4、解：3位5、解：习题二1、解使用二分法先要确定有根区间。
本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。
另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。
用二分法计算各次迭代值如表。
其误差2、解：（1）取区间且，在且，在中，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。
（2），在中，且，在中有，故迭代收敛。
（3），在附近，故迭代法发散。
在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。
用（2）迭代，取，则3、解：（1）迭代函数，对有，（2）取，则有各次迭代值取，其误差不超过（3）故此迭代为线性收敛。
4、解：由于，为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。
迭代函数，。
令，则，由递推有，即5、解:在(2)中,令,,则有令,得,与第2题中(2)的结果一致,可取,则满足精度要求.原迭代不收敛.现令对(3)有,令6、解：（1）Newton迭代法取，则，取（2）令，则，取7、解：方程的根为，用Newton迭代法此公式迭代函数，则，故迭代法2阶收敛。
还可证明迭代法整体收敛性。
设，对一般的，当时有这是因为当时成立。
从而，即，表明序列单调递减。
故对，迭代序列收敛于习题三1、解本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式（3.2）及回代公式（3.4）直接计算即可。
故2、解：先选列主元，2行与1行交换得消元3行与2行交换消元回代得解行列式得3、解：由矩阵乘法得再由求得由解得4、解：A中，若A能分解，一步分解后，，相互矛盾，故A不能分解，但，若A中1行与2行交换，则可分解为LU对B ，显然，但它仍可分解为分解不唯一，为一任意常数，且U奇异。
计算方法课后习题集规范标准答案
习 题 一3.已知函数y =4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意 （1） 采用Lagrange插值多项式220()()j j j y L x l x y ==≈=∑27020112012010*********()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.532.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++------------=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯= 其误差为(3)25(3)25(3)2[4,9]2()(7)(74)(7 6.25)(79)3!3()83max |()|40.0117281|(7)|(4.5)(0.01172)0.008796f R f x x f x R ξ--=---==<∴<=又则（2）采用Newton插值多项式2()y N x =≈ 根据题意作差商表：224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495N =+⨯-+-⨯-⨯-≈4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。
注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。
可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)kf x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有()00(),0,1,...,nn n k kk i j j j j j i j ii jx x x l x x x k n x x ===≠-=≡=-∑∑∏特别地，当0k =时，有()0001nn n ij j j i j ii jx x l x x x ===≠-=≡-∑∑∏而当1k =时有()000nnn ij j j j j i j ii jx x x l x x x x x ===≠⎛⎫- ⎪=≡ ⎪- ⎪⎝⎭∑∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
计算方法第二版课后练习题含答案
计算方法第二版课后练习题含答案前言本文将为大家提供计算方法第二版课后练习题的答案，旨在帮助读者更好地学习和掌握计算方法的知识。
本文全部内容均为作者整理，尽可能保证每一题的答案正确性。
读者可以借助本文的答案，检验自己的练习成果，加强对计算方法知识的理解和掌握程度。
同时，读者也应该注意切勿直接复制答案，本文的答案仅供参考，希望读者能够通过自己的思考和探索，获得更深层次的学习感悟。
第一章引论1.1 计算方法的基本概念和思想练习题 1写出计算方法的三要素，并分别简要解释。
答案计算方法的三要素为：模型、算法、误差分析。
•模型：计算方法所涉及的实际问题所对应的数学模型，是解决问题的基础；•算法：根据模型，构造相应的计算程序，即算法；•误差分析：计算结果与实际应用中所需的精度之间的差异，称为误差。
误差分析是对计算结果质量的保障。
1.2 算法的误差练习题 2写出二分法算法，并解释其误差。
答案算法：function binarySearch(a, target) {let low = 0;let high = a.length - 1;while (low <= high) {let midIndex = Math.floor((low + high) / 2);let midValue = a[midIndex];if (midValue === target) {return midIndex;} else if (midValue < target) {low = midIndex + 1;} else {high = midIndex - 1;}}return -1;}误差:二分法算法的误差上界为O(2−k)，其中k为迭代次数。
在二分法被成功应用时，k取决于与目标值x的距离，即 $k=\\log _{2}(\\frac{b-a}{\\epsilon})$，其中[a,b]是区间，$\\epsilon$ 是目标值的精度。
计算方法_课后习题答案
L3 x 的最高次项系数是 6，试确定 y1 。
解： l0 (x)
x x1 x0 x1
x x2 x0 x2
x x3 x0 x3
x 0.5 0 0.5
x 1 0 1
x2 02
= x3
7 2
x2
7 2
x 1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
(2 2e1 4e0.5 )x2 (4e0.5 e1 3)x 1
2)根据Lagrange余项定理，其误差为
| R2 (x) ||
f
(3) ( 3!
)
21
(
x)
||
1 6
e
x(
x
1)(
x
0.5)
|
1 max | x(x 1)(x 0.5) |, (0,1) 6 0x1
x2 02
x4= 04
x3
7x2 14x 8 8
l1 ( x)
x x0 x1 x0
x x2 x1 x2
x x3 x1 x3
x0 1 0
x2 1 2
x4 1 4
=
x3
6x2 3
8x
l2 (x)
x x0 x2 x0
i j
而当 k 1时有
n
x jl j
j0
x
n
n
j0 i0 i j
x xi x j xi
x
j
计算方法简明教程复习题
引 论1．基于化归策略的三种基本的算法设计技术为缩减技术、校正技术、松弛技术.缩减技术的设计思想是 ，如；校正技术的设计思想是 ，如 ；松弛技术的设计思想是 ，如 ．2．由计算公式32((()))ax bx cx d ax b x c x d +++=+++知，此算法运用了技术.3．设计累乘求积1ni i T a ==∏算法时，可以运用 技术．4．由计算公式322222(((())))x x x = 知：此算法运用了缩减 技术． 5．开方公式是 校正 技术的应用．第一章1．设()i x ϕ为n 次的Lagrange 插值基函数，0~ix i n =（）为两两互异的 节点，则()i x ϕ= ；32()x ϕ= 0；0()ni i x ϕ==∑1 ；4(3)njj j xϕ==∑ 81(4)n ≥；若0()()()nn ii i P x x f x ϕ==∑，则()n P x 为次数 n 的插值多项式．2．20ni i y =∆=∑ ．3．设()p x 、()N x 是()f x 满足同一插值条件的n 次lagrange 、N ew ton 插值多项式，则()p x =()N x ；若()f x 也是次数不超过n 的代数 多项式，则：()p x =()f x ．4．设()3(1)(2)(3)f x x x x x =---，则差商[0,1,2,3]f = 0，[0,1,2,3,4]f = 3，[0,1,2,3,4,5]f = 0．5．已知32()61f x x x =++，则差商23[1,2,2,2]f = 6．6．332,01()1(1)(1)(1)1,132x x s x x a x b x x ⎧ ≤≤⎪=⎨-+-+-+ ≤≤⎪⎩ ，若()s x 是[]0,3上以0,1,3为节点的三次样条函数，则,a b ==3.7．构造插值多项式的三种基本方法是 ．第二章1． Romberg 算法设计中，运用了 技术．2．复化C otes 公式与复化Simpson 公式之间存在公式 ． 3．五个节点的G auss 求积公式具有阶精度；而五个节点的N ew ton C otes-公式具有阶精度．4．复化梯形求积公式具有 阶代数精度．5．Romberg （龙贝格）算法中，2n n n S T T = - ． 6．已知[](1)0()()(),,,nbm ii a i f x dx Af x kfa b kξξ-==+∈∑⎰为常数，则求积公式0()()nbii ai f x dx Af x =≈∑⎰的代数精度为 阶．7．n 个节点的cot N ew ton es -公式的代数精度至少为 ． 8．n 个节点的G auss 求积公式具有 阶的代数精度．第三章 1．梯形格式111((,)(,))2n n n n n n h y y f x y f x y +++=++具有阶精度．2．改进的E uler 格式是 阶的方法，其计算公式为．3．E uler 格式是 阶的方法，其计算公式为 ． 4．隐式E uler 格式111(,)n n n n y y hf x y +++=+是阶的方法．5．差分格式112(,)n n n n y y hf x y +-=+是步法．第四章1． N ew ton 迭代法求方程的根时，在重根附近是 收敛的． 2．方程()0f x =求根的迭代010()()()k k k k k x x x x f x f x f x +-=--是 迭代公式．3．为求方程23(2)0x -=附近迭代1()3()k k k k f x x x f x +=-'是收敛的，其中23()(2)f x x =-． 4．“设[]1(),0,11x x xϕ=∈+，则(0)1ϕ'=，所以迭代函数不满足压缩性条件，因此[]00,1x ∀∈ ，迭代1()k k x x ϕ+=是发散的．” 此 结论 的．5．方程()0f x =求根的迭代111()()()k k k k k k k x x x x f x f x f x -+--=--是法．6．若*x 是方程()x g x =的根，且**()()0g x g x '''==，而*()0g x '''≠则迭代1()k k x g x +=是阶收敛的．7．N ew ton 迭代法求方程的根时，在单根附近是收敛的．8．设迭代函数()x ϕ在方程()x x ϕ=的根*x 的邻近有连续的二阶导数，且*()1x ϕ'<，则1()k k x x ϕ+=在*x 附近，当*()0x ϕ'≠时，是收敛的；而*()0x ϕ'= ，*()0x ϕ''≠时，是 收敛的． 9．为求方程22()0x a -=的根1()()k k k k f x x x f x +=-'是收敛的，其中22()()f x x a =-．第五、六章1．对角占优线性方程组求解，相应的 迭代法是收敛的．2．求解方程组512121012x xx x-⎧+=⎨+=⎩，使用列主元法时，此方程组变为．3．G S-迭代的迭代矩阵为 ；Jacobi迭代的迭代矩阵为 ．4．方程组，其求解的G auss Seidel-迭代总是比其相应的Jacobi迭代收敛得更快．5．矩阵TA LL=，L为对角元为正的下三角矩阵是A为对称正定矩阵的条件．6．若线性方程组 ，则Gauss消去法无需选主元素．7．G auss消去法是 技术的应用．答案：大事化小，小事化了秦九昭算法第五章线性方程组的迭代法1．基本内容：迭代公式的建立及敛散性的判断2．公式：Jacobi迭代、G-S迭代公式的分量及矩阵形式3．定理：1、24．习题：2、4、55．其它：SOR方法第六章线性方程组的直接法1．基本内容：矩阵三角分解法、Gauss消去法2．定理：2、33．习题：1、3、8、104．其它：缩减技术的运用题型：选择题、判断题、计算题、设计题、综合题工具：笔、计算器引论1．基本内容：三种基本的算法设计技术及其设计思想；相关例题及其他各章中三种设计技术的运用。
计算方法习题集及答案
得：
当方法为零稳定时 ，从而 ，故方法是二阶收敛的。
6．给出题(6.5)题中 时的公式的绝对稳定域.
解：
6.5中当 时，即为方法
其相应的差分方程的多项式为
令 ，
即方法的绝对稳定域为
7．指出Heun方法
0
0
0
0
1/3
1/3
0
0
2/3
0
2/3
0
1/4
0
3/4
的相容阶，并给出由该方法以步长h计算初值问题(6.45)的步骤.
即
取 。即
满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法，令 可得
方法即为
3．形如
的k阶方法称为Gear方法，试确定一个三步Gear方法，并给出其截断误差主项。
解：线性k步公式为
由Gear法的定义知，三步Gear法满足
方法为 阶，故有
得：
取 得
得三步Gear方法：
其中
4．试用显式Euler法及改进的Euler法
证明：
且
即 为 的二阶零点
设
令
易知
又
由微分中值定理（Rolle定理） ，使得
进而 有三个零点， 有两个零点， 有一个零点，
即 使得
得
8.设 是Lagrange基函数，则 。
9.求一个次数不超过4次的多项式 ，使它满足
，并写出其余项表达式。
10.求一个四次插值多项式 ，使 时， ；而 时， ，并写出插值余项的表达式。
练习
班级
学号
姓名
1.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：
（1） ; (2) 。
解：
（1）迭代公式 ， 公式收敛
k
计算方法简明教程
只与积分区间[ a , b ]的节点x j的划分有关, 与函数f ( x )无关
其值可以精确给定 因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由
函数值f ( xk )的计算引起
只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影响
假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似 值(计算值 )
k =0 n
( I n − I n = (b − a )∑ Ck n )ε k k =0
( I n − I n ≤ (b − a ) ∑ Ck n ) ε k k =0 n
n
≤ (b − a )ε
若 ∀k ≤ n , Ck( n ) > 0 , 有
∑
k =0
n
n
Ck( n )
ε = max{|ε k |}
( Ck n ) = (b − a )ε ∑ k =0
n
此时,公式的稳定性将无法保证 因此,在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式
In − In
≤ (b − a )ε
∑C
k =0 n k =0
(n) k
= (b − a )ε
Ck( n ) ⋅ 1 ∑
k =0
n
= (b − a )ε
Ck( n ) ⋅ g ( xk ) ∑
b
( g ( x ) ≡ 1)
=ε
∫ g( x)dx
a
b
= ε ∫ dx = (b − a )ε
a
即
I n − I n ≤ (b − a )ε
b+a b−a 取n = 2 , 则x0 = a , x1 = , x2 = b , h = 2 2
计算方法课后习题答案
计算方法课后习题答案在计算方法课程中，学生通常会接触到各种数学问题的求解方法，包括但不限于数值分析、线性代数、微分方程等。
以下是一些课后习题的解答示例：习题一：求解线性方程组设线性方程组为：\[ \begin{align*}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1, \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2, \\\vdots \quad \quad & \ \vdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m,\end{align*} \]解答：使用高斯消元法或矩阵分解法求解上述方程组。
首先将系数矩阵转换为行简化阶梯形式，然后回代求解未知数 \( x_1, x_2,\ldots, x_n \)。
习题二：数值积分给定函数 \( f(x) \)，需要在区间 \( [a, b] \) 上进行数值积分。
解答：可以使用梯形法、辛普森法等数值积分方法。
例如，使用梯形法的公式为：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2} \left( f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + \cdots + 2f(b-h) + f(b) \right), \]其中 \( h = \frac{b-a}{n} \) 是区间的等分宽度，\( n \) 是等分数。
习题三：常微分方程的数值解给定一个常微分方程 \( y' = f(x, y) \)，初始条件为 \( y(x_0) = y_0 \)。
解答：使用欧拉法或龙格-库塔法求解。
以欧拉法为例，其迭代公式为：\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n), \]其中 \( h \) 是步长，\( x_{n+1} = x_n + h \)。
计算方法及答案
《计算方法》练习题一一、填空题1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ ）。
2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ）。
3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （ ）。
4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。
5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。
6． 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ ）。
7．用辛卜生公式计算积分⎰≈+101x dx（ ）。
8．设)()1()1(--=k ij k a A第k 列主元为)1(-k pka ，则=-)1(k pk a （ ）。
9．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2415A ，则=1A （ ）。
10．已知迭代法：),1,0(),(1 ==+n x x n n ϕ 收敛，则)(x ϕ'满足条件（ ）。
二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（ ）。
A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ ）． Ａ．2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 6．近似数21047820.0⨯=a 的误差限是（ ）。
Ａ．51021-⨯ Ｂ．41021-⨯ Ｃ．31021-⨯ Ｄ．21021-⨯ 7．矩阵Ａ满足（ ）,则存在三角分解A=LR 。
A ．0det ≠A Ｂ． )1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det <A8．已知T x )5,3,1(--=，则=1x （ ）。
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例1 已知数据表xk10111213f(xk)2.302 62.397 92.484 92.564 9试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)．并回答用线性插值计算f(11.75)，应取哪两个点更好？解因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值．先作插值基函数．已知x0=11, y0=2.397 9，x1=12, y1=2.484 9 ，x2=13, y2=2.564 9P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)P2(x)=f(11.75)?P2(11.75)==2.463 8若用线性插值，因为所求点x＝11.75在11与12之间，故应取x=11,x=12作线性插值合适．注：在作函数插值时，应根据要求，使所求位于所取的中央为好，任意取点一般近似的效果差些．第五章插值与最小二乘法5.1 插值问题与插值多项式e x实际问题中若给定函数是区间上的一个列表函数，如果,且f(x)在区间上是连续的，要求用一个简单的，便于计算的解析表达式在区间上近似f(x)，使(5.1.1)就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间.通常，其中是一组在上线性无关的函数族，表示组成的函数空间表示为(5.1.2)这里是(n+1)个待定常数，它可根据条件(5.1.1)确定.当时，表示次数不超过n次的多项式集合，，此时(5.1.3)称为插值多项式，如果为三角函数，则为三角插值，同理还有分段多项式插值，有理插值等等.由于计算机上只能使用+、-、×、÷运算，故常用的就是多项式、分段多项式或有理分式，本章着重讨论多项式插值及分段多项式插值，其他插值问题不讨论.从几何上看，插值问题就是求过n+1个点的曲线，使它近似于已给函数，如图5-1所示.插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生以后才逐步完善的，其应用也日益广泛.特别是由于计算机的使用和航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展.尤其是近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得了极为广泛的应用，并成为计算机图形学的基础.本章主要讨论如何求插值多项式、分段插值函数、三次样条插值、插值多项式的存在唯一性及误差估计等.此外，还讨论列表函数的最小二乘曲线拟合问题与正交多项式.讲解：插值多项式就是根据给定n+1个点，求一个n次多项式：使即这里是n+1个待定系数，根据n+1个条件得到的方程组是关于参数的线性方程组。
当节点互异时由于系数行列式所以解是存在唯一的。
但直接求解较复杂，也得不到统一的表达式。
所以通常求插值多项式不用这种方法，而使用下节给出的基函数方法。
5.2 Lagrange插值5.2.1 线性插值与二次插值最简单的插值问题是已知两点及，通过此两点的插值多项式是一条直线，即两点式(5.2.1)显然，满足插值条件，所以就是线性插值.若记则称为与的线性插值基函数.如图5-2所示.于是当n=2，已给三点,称为关于点的二次插值基函数，它满足(5.2.2)的图形见图5-3.它们是满足(5.2.2)的二次插值多项式.满足条件的二次插值多项式可表示为(5.2.3)的图形是通过三点的抛物线.5.2.2 Lagrange插值多项式将n=1及n=2的插值推广到一般情形，考虑通过(n+1)个点，的插值多项式,使(5.2.4)用插值基函数方法可得(5.2.5)其中(5.2.6)称为关于的n次插值基函数，它满足条件显然(5.2.5)得到的插值多项式满足条件(5.2.4)，则称为Lagrange(拉格朗日)插值多项式.引入记号(5.2.7)则于是由(5.2.6)得到的可改写为从而(5.2.4)中的可改为表达式(5.2.8)并有以下关于插值多项式的存在唯一性结论.定理2.1满足条件(5.2.4)的插值多项式是存在唯一的.证明存在性已由(5.2.5)给出的证明，下面只需证明唯一性.用反证法，假定还有另一个使成立，于是有且，它表明n次多项式有n+1个根这与代数基本定理n次多项式只有n个根矛盾，故.证毕.5.2.3 插值余项与误差估计若插值区间为,在上有插值多项式，则称为插值余项.定理 2.2设(表示f(x)在上(n+1)阶导数连续)，且节点，则满足条件(5.2.4)的插值多项式对有(5.2.9)这里是(5.2.7)所定义的.证明由插值条件(5.2.4)可知，故对任何x∈有(5.2.10)其中K(x)是依赖于x的待定函数.将x∈看做区间上任一固定点，作函数，显然，且，它表明在上有n+2个零点及x，由Rolle定理可知在上至少有n+1个零点.反复应用Rolle定理，可得在上至少有一个零点ξ∈,使即代入(5.2.10)则得余项表达式(5.2.9).证毕.注意定理中ξ∈依赖于x及点，此定理只在理论上说明ξ存在，实际上仍依赖于x，即使x固定，ξ也无法确定.因此，余项表达式(5.2.9)的准确值是算不出的，只能利用(5.2.9)式做截断误差估计，由可得误差估计(5.2.11)当n=1时可得线性插值的误差估计(5.2.12)当n=2时有二次插值的误差估计(5.2.13)利用余项表达式(5.2.9)，当时，由于，于是有即 (5.2.14) 它表明当时，插值多项式就是它自身，(5.2.14)也给出了插值基函数的性质，特别当k=0时有例5.1已给，，，用线性插值及二次插值计算sin 0.336 7的近似值并估计误差.解由题意知被插函数为[，给定插值点为，，，，，.由(5.2.1)知线性插值函数为当x=0.336 7时其截断误差由(5.2.12)得其中.因f(x)=sin x,f″(x)=-sin x，故于是若用二次插值，在(5.2.3)中取n=2，则得这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样.其截断误差由(5.2.13)得其中于是例5.2 设，试证解由于的线性插值于是例5.3证明,其中是关于点5的插值基函数. 解讲解：当n=1及n=2得到的是线性插值和抛物线插值，对于一般情形给定被插值函数的n+1个点，要求可通过n+1个点的插值基函数得到，其中就是由（5.2.6）给出的，它在点的初值为1，其余点上为0，于是有（5.2.5）它显然满足条件就是Legrange插值多项式。
在区间上用它的余项为（5.2.9）这里是依赖于和插值点，实际是给不出来的。
所以也不可能精确得到，但当在区间上有最大值，则得误差估计利用余项表达式（5.2.9），令则得到插值基函数得一个重要性质（5.2.14）特别当K＝0有用这一性质可以证明例5.3得等式。
5.3 均差与Newton插值公式5.3.1 均差及其性质利用插值基函数求出Lagrange插值多项式(5.2.8)，在理论上是很重要的，但用计算f(x)近似值却不大方便，特别当精度不够，需增加插值节点时，计算要全部重新进行.为此我们可以给出另一种便于计算的插值多项式，它表达为(5.3.1)其中为待定常数.显然，它可根据插值条件(5.3.2)直接得到，例如当时，得；当时，由(5.3.1)得，得.实际上就是直线方程的点斜式.，.为了给出的系数的表达式，先引进以下定义.定义3.1记为f的零阶均差，零阶均差的差商记为称为函数关于点的一阶均差.一般地，记(k-1)阶均差的差商为(5.3.3)称为f关于点的k阶均差.均差有以下重要性质：(1) 均差对称性.k阶均差可表示为函数值的线性组合，即(5.3.4)这个性质可用归纳法证明，见［3］.(5.3.4)表明均差与节点排列次序无关，称为均差对称性.(2) 如果是x的m次多项式，则是x的(m-1)次多项式.证明由均差定义可知右端分子为x的m次多项式，且当时，此式为零，所以分子含有的因子，与分母相约后得到(m-1)次多项式.(3) 若，并且互异，则有,其中(5.3.5) 这公式可直接由Rolle定理证明(略).其他均差性质可作为习题自己证明.均差可列均差表，见表5－15.3.2 Newton插值根据均差定义，把x看成上一点，可得只要把后一式代入前一式，就得到其中(5.3.6)(5.3.7)是由(5.2.7)定义的.由(5.3.6)确定的多项式显然满足插值条件，且次数不超过n，它就是形如(5.3.1)的多项式，其系数为我们称为Newton均差插值多项式.系数就是均差表5-1中加横线的各阶均差，它比Lagrange插值的计算量少，且便于程序设计.(5.3.7) 为插值余项，由插值多项式的唯一性可知，它与(5.2.9)是等价的.事实上，利用均差与导数关系式(5.3.5)，可由(5.3.7)推出(5.2.9).但(5.3.7)更有一般性，它对f 是由离散点给出的情形或f导数不存在时均适用.例5.4给出f(x)的函数表(见表5-2)，求四次牛顿插值多项式，并由此计算f(0.596)的近似值.从均差表看到四阶均差已近似于常数.故取四次插值多项式做近似即可.于是截断误差这说明截断误差很小，可忽略不计.讲解：均差即差为函数值之差商比相应自变量之差。
K阶均差是K－1阶均差的均差。
由（5.3.3）给出，它有很多性质，其中（5.3.4）及（5.3.5）最重要，利用均差定义则可推出Newton均差插值公式，从而得到Newton均差插值多项式及均差形式的余项表达式（5.3.7），实际上当则的极限就是函数在处的Taylor多项式。
余项极限就是Taylor多项式。
Newton插值多项式有点是计算简单。
且增加一个插值点就增加一项。
前面计算都是有效的。
注意，由于插值点固定时插值多项式是存在唯一的。
因此Newton插值多项式与Lagrange插值多项式只是形式不同，它们都是同一个多项式。
5.4 差分与Newton前后插值公式5.4.1 差分及其性质当插值节点为等距节点时，称h为步长，此时均差及Newton 均差插值多项式(5.3.6)均可简化.定义4.1设，记(5.4.1)(5.4.2)分别称为在处以h为步长的一阶向前差分及一阶向后差分.符号Δ及Δ分别称为向前差分算子及向后差分算子.利用一阶差分可定义二阶差分为（二阶向前差分）（二阶向后差分）一般地，可定义m阶向前差分及m阶向后差分为此外还可定义不变算子I及位移算子E为：(5.4.3)于是，由,可得同理可得.由差分定义并应用算子符号运算可得下列基本性质.性质1各阶差分均可用函数值表示.例如(5.4.4)(5.4.5) 其中为二项式展开系数.性质2 可用各阶差分表示函数值.例如，可用向前差分表，因为于是(5.4.6) 性质3均差与差分有的关系.由定义可知，向前差分一般地有(5.4.7) 同理，对向后差分有(5.4.8)利用(5.4.7)及(5.3.5)又可得到(5.4.9) 其中，这就是差分与导数的关系.差分的其他性质从略.计算差分可列差分表，表5-3是向前差分表.表5－35.4.2 等距节点插值公式将牛顿均差插值多项式(5.3.6)中各阶均差用相应差分代替，就可得到各种形式的等距节点插值公式.这里只推导常用的前插与后插公式.如果有节点，要计算附近点x的函数f(x)的值，可令，于是将此式及(5.4.7)代入(5.3.6)，则得(5.4.10)称为Newton前插公式，其余项由(5.2.9)得(5.4.11)如果要用函数表示附近的函数值f(x)，此时应用牛顿插值公式(5.3.6)，插值点应按的次序排列，有作变换，并利用公式(5.4.8)，代入上式得(5.4.12) 称为Newton后插公式，其余项(5.4.13)例5.5设，给出在的值.试用三次等距节点插值公式求f(1.01)及f(1.28)的近似值.解本题只要构造出f的差分表，再按Newton前插公式及后插公式计算即可.的差分表如下所示.计算f(1.01)可用Newton前插公式(5.4.10)，此时用到差分表中的上半部分划波纹线的各阶差分值.计算f(1.28)要用Newton后插公式(5.4.12)，它用到差分表下部分的差分Δ(即下划直线的).f(1.01)与f(1.28)的7位有效数字分别为，，可见计算结果已相当精确.讲解：实际使用时给定的函数表常常是等距节点的情形，这时只需考察函数值之差。