级数理论-幂级数

n
（4）
n
sin ⎟(x ∑⎜ ⎝ 3n ⎠
∞
⎛
1 ⎞
2
+ x +1 ．
)
n
n =1
(− 1)n 解（1）令 u n ( x ) =
⎛ 2− x⎞ ⎜ ⎟ ，由于 3n + 2 ⎝ 2 + x ⎠
lim n u n (x ) = lim n
n →∞ n →∞
1 2− x 2− x = ． 3n + 2 2 + x 2+ x
−1 n +1
)
}严格单调递减收敛于 e） ．
n →∞
（2）由于 lim n
∞
3n + 2 n = 3 ，所以收敛半径为 3 −1 ．当 x = 3 −1 时， n
∞ ∞ 3n + 2 n n 3n + 2 n 1 1 ∞ 2n x =∑ = + ， ∑ n n 3n ∑ n ∑ n n =1 n =1 n =1 n =1 n ⋅ 3
∞
思考题 10（北京科技大学 2001）求幂级数
∑ (−1) n
n =1
∞
( x + 2) 2 n 的收敛域与和函数． n ⋅ 3 n +1
2
和函数的分析性质
(1) 关于逐项取极限定理及其应用 例 46 （ 西 安 电 子 科 大 ） 设 级 数
∑ u (x )
⎩
其内部任一闭区间一致收敛．
⎫ ⎧ 1 1⎫ ⎧ 1⎫ < 1⎬ = ⎨ x x > ⎬ ∪ ⎨ x x ≤ − ⎬ 收敛，由幂级数性质知在 2x ⎭ ⎩ 2⎭ ⎩ 2⎭
例 43（北京大学 1998）解答下列问题：
(−1) n n n n ( ) x 的收敛半径； （1）求级数 ∑ n! e n =1
1 1 1 + 2 + 3 + 2x 2 4 x 3 8x 4
+
1 2 x
n n
n +1
+
的收敛
性，求出它的收敛区间与一致收敛区间． 解 令t =
1 ，则原级数化为 2x
∑
n =0
∞
∞ tn ⎛ 1 ⎞ ，此级数收敛域为 ⎜ ⎟ =∑ n + 1 ⎝ 2x ⎠ n +1 n =0
1
n
[− 1, 1) ，故原级数在 ⎧ ⎨x −1 ≤
三
幂级数问题
1 收敛域问题 例 40 求下列级数的收敛域：
∞
⎛ 2− x⎞ （1） ∑ ⎜ ⎟ ； n =1 3n + 2 ⎝ 2 + x ⎠
(− 1)n
n
（2）
xn ∑ 1 + x) 1 + x 2 n =1 (
∞
(
) (1 + x ) ；
n
⎛ x⎞ 1+ ⎟ ∞ ⎜ n⎠ ⎝ （3） ∑ ； x n n =1
n =1
∞
1
n ( n +1)
（武汉大学 1999） xn ；
（2）
3n + 2 n n x ； （天津大学 1998） ∑ n n =1
∞
n →∞ n →∞
解 （1） 由于 lim n (1 + n −1 ) n ( n +1) = lim (1 + 时，
1 n +1 所以收敛半径为 e −1 ． 当 x = ± e −1 ) = e， n
当
2− x < 1 ，即 2 − x < 2 + x ， x > 0 时，原级数绝对收敛； 2+ x 2− x > 1 ，即 x < 0 时，原级数发散； 2+ x
∞ (− 1) ，条件收敛； 2− x = 1 ，即 x = 0 ，原级数化为 ∑ 2+ x n =1 3n + 2 n
当
当
因此，本级数的收敛域为 [0, + ∞ ) ．
∞
（2）求级数
2 n (n + 1) 的和． （内蒙古大学） ∑ n! n =0
∞
解（1）记该级数的系数为 a n ，则
a n +1 (−1) n+1 n + 1 n +1 n! e n (1 + n −1 ) n lim a = lim ( e ) ⋅ ( ) = lim = 1， e n →∞ n →∞ ( n + 1)! n →∞ n (−1) n n
∞
∞
∞
′ x −1 ⎡ x −1⎤ ． = = ( x − 1) ⎢ ⎥ (2 − x) 2 ⎣2 − x⎦
（3）由比式判别法易知其收敛半径为 1，且当 x = ±1 时，级数收敛，所以收敛域为
[ −1, 1] ．
记 f ( x) =
∞ x n +1 1 ′ ′ ，则 ，积分可得 f ( x ) = x n −1 = ∑ ∑ 1− x n =1 n( n + 1) n =1
1 1 3 3
∑ (−1)
n =1 ∞ n =1
∞
n −1
2n + 1 2 n （北航 2001） x ； n
n
（2）
∑ n( x − 1)
∞
； （北航 2000）
（3）
xn ． （北航 1999） ∑ n =1 n( n + 1)
解（1）由于
2n + 3 2 n + 2 x n +1 = x2 ， lim n →∞ 2 1 + n (−1) n x 2n n (−1) n
n
（3）
⎡1 ⎤ n + (− 1) + sin n ⎥ x 2 n +1 ； ∑ n ⎢ ⎦ n =1 ⎣ 2
−n2
（4）
−n
3n + (− 2) (x + 1)n ． ∑ n n =1
⎛ 1⎞ 解（1） lim n ⎜1 + ⎟ n →∞ ⎝ n⎠
⎛ 1⎞ = lim⎜1 + ⎟ n →∞ ⎝ n⎠
n →∞
3n + (− 2 ) =3． n
n n n n
∞ ∞ 1 1 3n + (− 2 ) ⎛ 1 ⎞ 1 ∞ 1 ⎛ − 2⎞ 所以 R = ．当 t = 时，原级数化为 ∑ ⎜ ⎟ =∑ +∑ ⎜ ⎟ ，发散， 3 3 n ⎝ 3⎠ n =1 n =1 n n =1 n ⎝ 3 ⎠ ∞ ∞ ∞ 3n + (− 2 ) ⎛ 1 ⎞ 1 1⎛ 2⎞ n 1 当 t = − 时，原级数化为 ∑ ⎜ − ⎟ = ∑ (− 1) ⋅ + ∑ ⎜ ⎟ ，收敛．因此 3 n n n =1 n ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ n =1 n =1 n n n
令 x 2 < 1 得 − 1 < x < 1 ，所以收敛区间为 ( −1, 1) ．当 x = ±1 时，级数的通项不收敛于 0， 所以级数在 x = ±1 处都发散，故收敛域为 ( −1, 1) ．其和函数为
∑ (−1) n−1
n =1
∞
∞ ∞ 2n + 1 2 n (−1) n −1 2x 2 x = 2∑ (−1) n −1 x 2 n + ∑ n x 2 n = + ln(1 + x 2 ) ． 2 n 1+ x n =1 n =1
由比较判别法知，当 x > 1时收敛，当 x ≤ 1 时发散，故原级数的收敛域为 (1, + ∞ ) ．
n
1 1 ⎞n ⎛ 3n = 1 ，t = 1 发 （4）令 t = x 2 + x + 1 ，则原级数化为 ∑ ⎜ sin ⎟t ， R = lim n → ∞ 1 3n ⎠ n =1 ⎝ sin 3n + 3
，而
∑x
n =1
∞
2 n +1
的收敛域为 (− 1, 1) ，因此，幂级数
∑ sin n ⋅ x
n =1
∞
2 n +1
在 (− 1, 1) 内收敛．
因此原级数的收敛域为 (− 1, 1) ． （4）令 t = x + 1 ，则原级数化为
3n + (− 2) n t ，而 ∑ n n =1
∞ n
lim n
∞
sin
散， t = −1 收敛，因此原级数在 − 1 ≤ x 2 + x + 1 < 1 ，即 − 1 < x < 0 时收敛． 例 41 求下列幂级数的收敛半径与收敛域．
∞ − n2
⎛ 1⎞ （1） ∑ ⎜1 + ⎟ n⎠ n =1 ⎝
∞
xn ；
（2）
∑a
n =1
∞
∞
xn （ a > 0, b > 0 ） n + bn
1 1 (1 + n −1 ) n +1 n (1 + n ) n ( n +1) (± e ) n = ( ) ≥ 1， e
即 级 数 在 x = ± e −1 处 都 发 散 ， 所 以 收 敛 域 为 ( − e , e ) （ 其 中 最 后 一 步 是 由 于 数 列
−1 −1
{(1 + n
∞
理 x = −a 时也发散，因此收敛域为 (− max{ a, b}, max{ a, b}) ． （3）原级数化为三个幂级数之和，即
⎡1 + (− 1) ∑⎢ ⎣2
n =1 ∞ n
∞
n
∞ ∞ ∞ 1 ⎤ n + sin n ⎥ x 2 n+1 = ∑ n x 2 n+1 + ∑ (− 1) x 2 n +1 + ∑ sin n ⋅ x 2 n +1 ． ⎦ n =1 2 n =1 n =1
∑2
n =1 ∞ n =1
1
n
x 2 n+1 ： 2 n +1
n
1 2 → ， R = 2 ，收敛区间为 − 2 , 2 ； n 2 2
(
)
∑ (− 1)
x 2 n +1 ：收敛域为 (− 1, 1) ；
∑ sin n ⋅ x 2 n+1 ： sin n ⋅ x 2n+1 ≤ x
n =1
∞
2 n +1
所以，收敛半径为 1． （2）
∞ ∞ 2 n (n + 1) ∞ 2 n n 2 n 2 n −1 2n = ( + ) = 2 + = 3e 2 ． ∑ ∑ ∑ ∑ n ! n ! n ! n! n =0 n =0 n =1 ( n − 1)! n =0 ∞
例 44 求下列级数的收敛域： （1）
∑ (1 + n )
∑2
n =1
∞
1
n
，收敛；当 x = −1 时无意义，因此收敛域为 (− ∞, − 1) ∪
(− 1, + ∞) ．
x⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ ⎝ n ⎠ ，对任意 x ，当 n 充分大时 u ( x ) 为正．因此可认为原级数是 （3）令 u n ( x ) = n nx
正项级数．由于
n
⎛ x⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠ x u (x ) = lim n = ex ， lim n n →∞ n →∞ 1 1 x nx n
xn （2）令 u n ( x ) = (1 + x )(1 + x 2 )
lim
n →∞
(1 + x ) ，则
n
u n+1 ( x ) u n (x )
= lim
n →∞
x 1 + x n+1
⎧ x, x <1 =⎨ ⎩0 , x > 1
故当 x > 1 或 x < 1 时，原级数绝对收敛． 当 x = 1 时，原级数为
右端第一个级数发散，第二个级数收敛，所以原级数发散．当 x = −3 −1 时，
∞ ∞ 3n + 2 n n 3n + 2 n 1 (−1) n ∞ (−1) n 2 n x =∑ = +∑ ， ∑ n (−3) n ∑ n n 3n n n =1 n =1 n =1 n =1 ∞
右端两个级数都收敛，所以原级数收敛．由此得收敛域为 [ − , ) ． 例 45 求下列级数的收敛域与和函数： （1）
（2）易求其收敛域为 (0, 2) ，记其和函数为 S ( x ) ，则由幂级数的逐项可微性可得
S ( x ) = ( x − 1)∑ n( x − 1) n −1 = ( x − 1)∑ [( x − 1) n ]′ = ( x − 1)[∑ ( x − 1) n ]′
n =1 n =1 n =1
∞
f ( x) = (1 − x ) ln(1 − x) − x ，
所以
⎧(1 − x) ln(1 − x) − x, x ∈ [−1, 1], x ≠ 0, xn =⎨ ∑ x = 0. n =1 n ( n + 1) ⎩0,
∞
思考题 9（北京科技大学 1999）求幂级数
(−1) n n x 的和函数． ∑ n = 2 n( n + 1)
收敛域为 ⎢− , 1⎟ ，从而所求级数的收敛域为 −
∞
⎡ 1 ⎞ ⎣ 3 ⎠
1 1 ⎡ 4 2⎞ ≤ x + 1 < ，即 x ∈ ⎢− , − ⎟ ． 3 3 ⎣ 3 3⎠
2
思考题 8（华中科技大学）求级数 例 42（北师大）讨论级数 1 +
∑ (1 + n − n
n=0
1
)(
1− x n ) 的收敛域． 1+ x
∞
= e −1 ， R = e ，收敛区间为 (− e, e ) ．
n
⎡ ⎤ e −1 当 x = e 时，原级数变为 ∑ ⎢ ，而 1 + n −1 n ⎥ n =1 ⎣ (1 + n ) ⎦
(
)
n
⎡ ⎤ e < e，⎢ ≥ 1 ，发 −1 n ⎥ ⎣ (1 + n ) ⎦
n
散；同理 x = −e 时也发散，故收敛域Байду номын сангаас (− e, e ) ． （2） lim n
n →∞
1 1 1 ，所以 R = max{ a, b} ． = = n a +b lim n a n + b n max{ a, b}
n n →∞
不妨设 a ≥ b ，则当 x = a 时，得数项级数
an an u ， = → 1 ≠ 0 ，发散；同 ∑ n n n an + bn n =1 a + b