级数理论-幂级数

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第四章第二节幂级数

可沿K内曲线逐项积分,且收敛注1 (4.5)可沿内曲线逐项积分且收敛可沿内曲线C逐项积分半径与(4.5) 相同相同. 半径与即
或∫
∫
C
z a
f ( z )dz = ∑ cn ∫ ( z − a ) n dz , C ⊂ {z : z − a < R} .
n =0
∞
∞
C
cn f (ζ )dζ = ∑ ( z − a ) n +1 . n= 0 n + 1
证明设z是圆K内任一点,
因为级数∑ cn ( z1 − a ) 收敛,
n
∞
a•
所以 lim cn ( z1 − a ) = 0,
n n →∞
n =0
•z
•z1
从而它的通项序列必有界, 即有正数M,使从而它的通项序列必有界即有正数使
cn ( z1 − a) < M , (n = 1,2,L)
n
(3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收敛的复数.
y
设 z = z1 时, 级数收敛;
收敛圆
z2
•
z = z2 时, 级数发散.
a•
收敛半径
R • z1.
如图: 如图幂级数
cn ( z − a ) n ∑
n =0 ∞
x
的收敛范围是以点a为中心的圆域.
cn ( z − a )n 的收敛范围是何区域问题1: 问题幂级数 ∑ 的收敛范围是何区域?
n →∞
或lim n cn = l , (Cauchy-Hadamart)
n →∞
则幂级数∑ cn ( z − a ) 的收敛半径
n
∞

幂级数运算

幂级数运算幂级数是一种非常重要的数学工具，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

幂级数的运算是幂级数理论的核心，下面我们来详细了解一下幂级数的运算。

我们需要了解什么是幂级数。

幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中a和an是常数，x是变量。

幂级数的收敛半径R是一个非负实数，它表示幂级数在哪些点上收敛，而在哪些点上发散。

当x-a的绝对值小于R时，幂级数收敛；当x-a的绝对值大于R时，幂级数发散；当x-a的绝对值等于R时，幂级数可能收敛也可能发散。

接下来，我们来看看幂级数的加法运算。

设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。

如果R1=R2，则它们可以直接相加，即∑(an+bn)(x-a)n。

如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相加，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相加。

接下来，我们来看看幂级数的减法运算。

设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。

如果R1=R2，则它们可以直接相减，即∑(an-bn)(x-a)n。

如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相减，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相减。

接下来，我们来看看幂级数的乘法运算。

设有两个幂级数∑an(x-a)n 和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。

它们的乘积为∑cn(x-a)n，其中cn=∑an-kbk，k从0到n。

幂级数的乘法运算比较复杂，需要注意的是，幂级数的乘积的收敛半径不一定等于两个幂级数的收敛半径之积。

我们来看看幂级数的除法运算。

设有两个幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n，它们的收敛半径分别为R1和R2。

如果R1=R2，则它们可以直接相除，即∑an/bn(x-a)n。

如果R1≠R2，则它们只能在它们的交集上相除，即在|x-a|<min{R1,R2}的范围内相除。

需要注意的是，幂级数的除法运算只有在bn≠0时才有意义。

数学分析2课件：14-1 幂级数

n1 2
原级数的收敛域为 ( 2, 2).
定理3（Cauchy-Hadamard定理）
如果幂级数 an x n 的所有系数an 0 ,
n0
设
lim n
n
an
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当时,R 0 .
二、幂级数的一致收敛性
定理4 : 证
若 an xn收敛半径为R 0,则在( R, R)内的
n0
收敛，则 an xn在[0，R](或[ R,0])一致收敛。
n0
证设 an xn在x R收敛，
n0
由 | an xn || an Rn |, 用优级数法，可否？
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
(-R, R)称为幂级数的收敛区间.
幂级数的收敛域为下列4种情况之一：
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
收敛域(,).
(4) (1)n 2n ( x 1)n .
n1
n2
lim an1 lim 2 n 2 n an n n 1
R 1, 2
即 x 1 1 收敛, x (0,1)收敛,
22
当x 0时,
级数为
1,
n1 n
发散
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
收敛
故收敛域为(0,1].
(3) 当时,R 0 .
证明对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0

高等数学§6.3.4幂级数

故原幂级数的收敛半径为 R 2 。
当 x 2 ，原级数化为 n 1 2 n n ( 2 ) 2 n n 1 n ，发散；当 x 2 ，原级数化为 n 1 2 n n ( 2 ) 2 n n 1 n ，发散。
故收敛域为 ( 2 , 2 ) 。
n a n n l n 1 n ) (
∴ 收敛半径 R 1 1 。
当 t 1 时，新级数成为 ( 1 ) n ， n 2 l n n
∵ 1 1 ， li 1 m 0 ， ∴ ( 1 ) n 收敛。
ln n ln n 1 )n ( ln nn 2 ln n
n0
点 x1适x合 1x0使幂级数收敛，则由（ 1）中的结论，
幂级数在点 x0 应收敛，这与所设矛只要幂级数 a n x n在点 x 0 0
n 0
处收敛，则幂级数在以原点为中心， x 0为半径的
2
dt
arctan
x,。x[1,1]
例 3 ．在区间 ( 1 ,1 ) 内求幂级数 x n 的和函数。
n 0 n 1
解：设 S ( x ) x n ， x ( 1 , 1 ) ，且 S ( 0 ) 1 。 n 0 n 1 x ( x ) x n 1 ， S n 0 n 1 [ x ( x ) ] ( x n S 1 ) x n 1 ， n 0 n 1 n 0 1 x x ( x ) 0 x 1 1 S t d l 1 x ) n t ， (
即 1 t 1 ，从而 1 x 1 1 ， 0 x 2 ，

幂级数的知识点总结

幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。

我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。

当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。

当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。

2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。

收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。

3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。

我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。

二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。

2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。

具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。

三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。

幂级数的定义及其收敛性分析

幂级数的定义及其收敛性分析幂级数是数学中重要的一类级数，它在各个数学分支中有着广泛的应用。

本文将介绍幂级数的定义，并对其收敛性进行分析。

一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an*x^n)的级数，其中an为系数，x为变量，n为指数。

其中，an可以是实数也可以是复数，x可以是实数或复数。

幂级数的一般形式为：∑(an*x^n) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^n + ...二、幂级数的收敛性分析对于幂级数的收敛性，我们需要分析其收敛域。

收敛域是指幂级数在哪些点上收敛，以及在哪些点上发散。

1. 收敛半径收敛域的核心是收敛半径，记作R。

幂级数在收敛半径范围内收敛，在其外发散。

收敛半径的计算可以使用伯努利、根值或比值法等。

2. 收敛域类型根据收敛半径的值，幂级数的收敛域可以分为三种类型：a) 当R=0时，幂级数在x=0处收敛；b) 当0<R<∞时，幂级数在(x-R, x+R)范围内收敛；c) 当R=∞时，幂级数在整个定义域内收敛。

3. 边界收敛如果幂级数在某个或某些边界点上收敛，但在该边界范围内不一定绝对收敛，只是条件收敛。

这种情况称为边界收敛。

三、幂级数的应用幂级数在数学中有着广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 函数展开幂级数可以用来展开各种函数，使其在某个特定区间上变为幂级数形式。

利用这种展开，我们可以方便地对函数进行近似计算，提高计算的精度和效率。

2. 微分方程幂级数可以用来解微分方程。

通过将微分方程变换成幂级数形式，再求解该幂级数，可以得到微分方程的解析解。

3. 物理应用幂级数在物理学中有着广泛的应用。

例如，波函数展开、场变量展开等都可以利用幂级数进行表示和计算。

四、结论幂级数作为一种重要的数学工具，在数学和物理学中有着广泛的应用。

本文介绍了幂级数的定义，讨论了幂级数的收敛性及其应用领域。

通过对幂级数的研究，可以深入理解其在数学和自然科学中的重要作用。

数学分析14.1幂级数

第十四章幂级数1幂级数概念：由幂函数序列{a n (x-x 0)n }所产生的函数项级数∑∞=0n nn )x -(x a=a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…称为幂级数. 特别地，当x 0=0时，有∑∞=0n n n x a =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…一、幂级数的收敛区间定理14.1：(阿贝尔定理)若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x ≠0处收敛，则对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛；若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x 处发散，则对满足不等式|x|>|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n nx a发散.证：设级数∑∞=0n n n x a 收敛，从而数列{nn x a }收敛于0且有界，即存在某正数M ，使得|nn x a |<M (n=0,1,2,…). 又对任一个满足不等式|x|<|x |的x ，可设r=xx<1, 都有 |a n x n|=x x x a nn ⋅=|n n x a |x x <Mr n. 又级数∑∞=0n n Mr 收敛，∴对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.设级数∑∞=0n nn x a 发散，若存在某一x 0，满足|x 0|>|x |且使∑∞=0n n 0n x a 收敛，则∑∞=0nnnxa绝对收敛，矛盾！∴对满足不等式|x|>|x|的任何x，幂级数∑∞=0nnnxa发散.注：由定理14.1可知，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛域是以原点为中心的区间. 若以2R表示区间的长度，则称R为幂级数的收敛半径. R就是使得幂级数∑∞=0nnnxa收敛的收敛点绝对值的上确界. 所以幂级数∑∞=0nnnxa当R=0时，仅在x=0处收敛；当R=+∞时，在(-∞,+ ∞)上收敛；当0<R<+∞时，在(-R,R)上收敛；对一切满足不等式|x|>R的x，发散；在x=±R处，不确定. (-R,R)称为幂级数∑∞=0nnnxa的收敛区间.定理14.2：对于幂级数∑∞=0nnnxa，若n n∞n|a|lim→=ρ，则当(1)0<ρ<+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=ρ1；(2)ρ=0时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=+∞；(3)ρ=+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=0.证：对于幂级数∑∞=0nnnxa，∵n nn∞n|xa|lim→=nn∞n|a|lim→|x|=ρ|x|，根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0nnnxa收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.注：也可由比式判别法|a ||a |lim n1n ∞n +→=n n ∞n |a |lim →=ρ，来求出幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径.例1：求级数∑2nnx 的收敛半径R 及收敛域.解：记a n =2n 1, 则|a ||a |lim n1n ∞n +→=22∞n )1(n n lim +→=1，∴R=1. 又当x=±1时，2nn)1(±=2n 1，由级数∑2n 1收敛，知∑2n n x 在x=±1收敛.∴级数∑2nnx 的收敛域为[-1,1].例2：求级数∑nx n的收敛半径R 及收敛域.证：记a n =n1, 则|a ||a |lim n 1n ∞n+→=1n nlim ∞n +→=1，∴R=1. 又当x=1时，级数∑n 1发散；当x=-1时，级数∑n (-1)n 收敛.∴级数∑nx n的收敛域为[-1,1).注：级数∑∞=0n nn!x 与∑∞=0n n x n!的收敛半径分别为R=+∞与R=0.定理14.3：(柯西—阿达马定理)对幂级数∑∞=0n n n x a ，设ρ=n n ∞n|a |lim →，则 (1)当0<ρ<+∞时，R=ρ1；(2)当ρ=0时，R=+∞；(3)当ρ=+∞时，R=0.证：对于任意x,∵n n n ∞n|x a |lim →=n n ∞n |a |lim →|x|=ρ|x|，根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0n n n x a 收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.例3：求级数1+3x +222x +333x +442x +…+12n 1-2n 3x -+2n 2n 2x +…的收敛域.解：∵n n ∞n|a |lim →=21，∴R=2. 又当x=±2时，原级数都发散，∴原级数的收敛域为(-2,2).例4：求级数∑∞=1n 2n2n3-n x 的收敛域. 解：方法一：∵2n n ∞n|a |lim →=2n 2n ∞n 3-n 1lim →=2n 2n∞n 3n11lim 31-→=31，∴R=3.方法二：∵当n2n2n ∞n 3-n x lim →=n2n2n∞n 3n -1x lim 91→=9x 2<1，即|x|<3时，收敛.∴原级数的收敛半径为R=3.又当x=±3时，原级数=∑∞=1n 2n2n3-n 3=-1≠0，发散.∴原级数的收敛域为(-3,3).定理14.4：若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R(>0)，则∑∞=0n n n x a 在它的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]上都一致收敛.证：设x =max{|a|,|b|}∈(-R,R)，则任一x ∈[a,b]，都有|a n x n |≤|a n x n |. ∵∑∞=0n nn x a 在x 绝对收敛，由优级数判别法知∑∞=0n n n x a 在[a,b]上一致收敛.定理14.5：若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R(>0)，且在x=R(或x=-R)收敛，则∑∞=0n n n x a 在[0,R](或[-R,0])上一致收敛.证：设幂级数∑∞=0n n n x a 在x=R 收敛，对于x ∈[0,R]有∑∞=0n n n x a =nn n n R x R a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=.已知级数∑∞=0n nn R a 收敛，函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在[0,R]上递减且一致有界，即1≥R x ≥2R x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥…≥nR x ⎪⎭⎫⎝⎛≥…≥0. 由阿贝尔判别法知∑∞=0n n nx a在[0,R]上一致收敛. 同理可证：∑∞=0n n nx a在x=-R 收敛时，在[-R,0]上一致收敛.例5：考察级数∑n21)-(x n n的收敛域.解：∵|a ||a |lim n1n ∞n +→=|1)(n 2||n 2|lim 1n n ∞n ++→=1)2(n n lim ∞n +→=21，∴R=2.又当x-1=2时，原级数=∑n 1发散；当x-1=-2时，∑-n22)(n n =∑n (-1)n 收敛.∴x-1∈[-2,2)，原级数的收敛域为[-1,3).二、幂级数的性质定理14.6：(1)幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数是(-R,R)上的连续函数；(2)若幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右(左)连续.定理14.7：幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求导与逐项求积后分别得到幂级数：∑∞=1n 1-n n x na 与∑∞=++0n 1n n x 1n a ，它们的收敛区间都是(-R,R). 证法一：设x 0为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上任一不为零的点，由阿贝尔定理(定理14.1)的证明过程知，存在正数M 与r(<1)，对一切正整数n ，都有|a n x 0n |<Mr n . 于是|na n x 0n-1|=x n|a n x 0n |<0x M nr n .由级数比式判别法知级数∑n nr 收敛，根据级数的比较原则知，∑∞=1n 1-n nxna收敛. 由x 0为(-R,R)上任一点，知∑∞=1n 1-n n x na 在(-R,R)上收敛.若存在一点x ’，使|x ’|>R ，且幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在x ’收敛，则必有一数x ，使得|x ’|>|x |>R ，由阿贝尔定理，∑∞=1n 1-n n x na 在x 处绝对收敛.但，取n ≥|x |时，就有|na n x n-1|=xn |a n x n |≥|a n x n |，由比较原则得幂级数∑∞=0n n n x a 在x 处绝对收敛，矛盾！∴幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在一切满足不等式|x|>R 的x 都不收敛，即幂级数∑∞=0n n n x a 与其在收敛区间(-R,R)上逐项求导所得幂级数∑∞=1n 1-n nx na有相同的收敛区间(-R,R).又幂级数∑∞=0n nn x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求积可得幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a ，即∑∞=0n nn x a 是由幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a 在其收敛区间上逐项求导所得， ∴它们也有相同的收敛区间(-R,R). 证法二：对于幂级数∑∞=0n n n x a ，R=1n n∞n a a lim+→. 对幂级数∑∞=1n 1-n n x na ，1n n ∞n1)a (n na lim +→+=1n n ∞na a 1n nlim +→⋅+=R. 对幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a，2n a 1n a lim 1n n∞n +++→=1n n ∞n a a 1n 2n lim +→⋅++=R. 得证！定理14.8：设∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数为f ，x ∈(-R,R)，则：(1)f 在点x 可导，且f ’(x)=∑∞=1n 1-n n x na ；(2)f 在0与x 之间的这个区间上可积，且⎰x0f(t)dt=∑∞=++0n 1n n x 1n a .证法：由定理14.7知，∑∞=0n nn x a ,∑∞=1n 1-n n xna 和∑∞=++0n 1n n x 1n a 有相同的R. ∴总存在r ，使|x|<r<R ，根据定理14.4，它们在[-r,r]上都一致收敛. 根据逐项求导与逐项求积定理得证！推论1：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数，则在(-R,R)上f 具有任何阶导数，且可逐项求导任何次，即： f ’(x)=∑∞=1k 1-k k x ka ；f ”(x)=∑∞=2k 2-k k x1)a -k(k ；…；f (n)(x)=∑∞=n k n -k k x a n)!-(k k!；….推论2：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在点x=0某邻域上的和函数，则{a n }与f在x=0处的各阶导数有如下关系：a 0=f(0), a n =n!(0)f (n),(n=1,2,…).三、幂级数的运算定义：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在该邻域内相等.定理14.9：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内相等，则它们同次幂项的系数相等，即a n =b n (n=1,2,…).定理14.10：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R a 和R b ，则λ∑∞=0n nn x a =∑∞=0n nn x λa , |x|<R a , λ为常数；记R=min{R a ,R b }, c n =∑=nk k -n k b a , 有∑∑∞=∞=±0n 0n nn nn x b x a =∑∞=±0n nn n )x b (a ；⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n n 0n n n x b x a =∑∞=0n n n x c . |x|<R.例6：几何级数∑∞=0n n x 在收敛域(-1,1)上有f(x)=x-11. 在(-1,1)上逐项求导可得：f ’(x)=2x )-(11=∑∞=1n 1-n nx ; f ”(x)=3x )-(1!2=∑∞=2n 2-n 1)x -n(n . 在[0,x](x<1)上逐项求积可得：⎰xt -1dt=∑⎰∞=0n x 0n t dt ，从而可得： ln x -11=∑∞=++0n 1n 1n x (|x|<1), 其对x=-1也成立.注：可通过的逐项求导或逐项求积间接地求出级数的和函数.例7：求级数∑∞=1n n 21-n x n (-1)的和函数.解：由R=1n n ∞n a a lim +→=2n 21-n ∞n 1)(n (-1)n (-1)lim +→=2∞n 1n n lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=1，且x=±1时，级数发散，知其收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=1n n21-n x n (-1)=x ∑∞=1n 1-n 21-n x n (-1)=xg(x), x ∈(-1,1)，则⎰x)t (g dt=∑⎰∞=1n x1-n 21-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n nx (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=xh(x)，则⎰x)t (h dt=∑⎰∞=1n x1-n 1-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n x (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=x1x+, x ∈(-1,1). ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛+x 1x =2x )(11+；g(x)=(xh(x))’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x)(1x =3x )(1x -1+； ∴原级数的和函数S(x)=xg(x)=32x)(1x -x +, x ∈(-1,1).习题1、求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：(1)∑nnx ；(2)∑⋅n 2n2n x ；(3)∑n 2x (2n)!)(n!；(4)∑n n x r 2(0<r<1)； (5)∑1)!-(2n )2-(x 1-2n ；(6)nn n )1x (n )2(3+-+∑；(7)∑+⋯++n x )n1211(；(8)∑n n 2x 2. 解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散，∴原级数的收敛域为(-1,1).(2)R=1n n ∞n a a lim +→=n 21n 2∞n 2n 21)(n lim ⋅⋅++→=2. 又当x=±2时，原级数收敛， ∴原级数的收敛域为[-2,2].(3)R=1n n∞n a a lim+→=2)]![(2n ]1)![(n (2n)!)(n!lim 22∞n ++→=2∞n 1)(n 1)2)(2n (2n lim +++→=4. 又当x=±4时，|u n |=n 24(2n)!)(n!=(2n)!)2(n!2n ⋅=(2n)!]![(2n)!2=!1)!-(2n !(2n)!>12n +→∞ (n →∞)， ∴原级数发散. ∴收敛域为(-4,4).(4)∵n n ∞n |a |lim →=nn ∞n2r lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(5)R=1n n ∞na a lim +→=1)!-(2n 1)!(2n lim ∞n +→=1)2n(2n lim ∞n +→=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(6)R=1n n ∞n a a lim +→=1n 1n nn ∞n )2(3)2(3n 1n lim ++→-+-+⋅+=1n n∞n 3233321n 1n lim +→⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+=31. 又当x=31时，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=4，原级数发散. 当x=-31，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=2，原级数发散. ∴x+1∈(-31,31)，原级数的收敛域为(-34,-32). (7)∵1=n n 1n ⋅≤n n1211+⋯++≤n n →1 (n →∞)，∴R=1. 又当x=±1时，n ∞n)1()n1211(lim ±+⋯++→≠0，∴原级数发散. ∴原级数的收敛域为(-1,1).(8)∵n1n ∞nu u lim +→=22n n1n 1)(n ∞n x 22xlim ⋅++→=2x lim 12n ∞n +→=⎪⎩⎪⎨⎧>∞+=<1|x |1|x | ，211|x | 0，，，∴R=1，且当x=±1时，原级数收敛. ∴原级数的收敛域为[-1,1].2、应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域)：(1)∑∞=++0n 12n 12n x ；(2)∑∞=1n n nx ；(3)∑∞=+1n nx )1n (n ；(4)∑∞=1n n 2x n . 解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=12n 32n lim ∞n ++→=1，又当x=±1时，级数∑∞=+±0n 12n 1发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S ’(x)=∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0n 12n 12n x =∑∞=0n 2nx =2x 11-, ∴S(x)=⎰x 02t -1dt =21ln x -1x 1+, x ∈(-1,1). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nt dt=∑∞=1n n x =x 11-，∴f(x)='⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 11=2x )1(1-. ∴S(x)=2x )1(x-, x ∈(-1,1). (3)∵R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n (n 1)n(n lim ∞n +++→=1，又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且⎰xS(t)dt=∑⎰∞=+1n xn1)t n(n dt=∑∞=+1n 1n nx=x ∑∞=1n nnx =22x)1(x -. ∴S(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22x)1(x =3x )1(2x-, x ∈(-1,1). (4)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n n2x n =x ∑∞=1n 1-n 2x n =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n 2t n dt=∑∞=1n n nx =2x )1(x -，∴f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2x)1(x=3x )1(x 1-+. ∴S(x)=32x)1(x x -+, x ∈(-1,1).3、证明：设f(x)=∑∞=0n nn x a 当|x|<R 时收敛，若∑∞=++0n 1n nR 1n a 也收敛，则 ⎰Rf(x )dx=∑∞=++0n 1n n R 1n a . 应用这个结论证明：⎰+10x 11dx=ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).证：∵∑∞=++0n 1n n R 1n a 收敛，补充定义f(x)=∑∞=++0n 1n n R 1n a , x=R.则f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R]. ∴⎰R0f(x )dx=∑⎰∞=0n R0nn x a dx=∑∞=++0n 1n nR 1n a . 对幂级数∑∞=1n 1-n 1-n x(-1)=x 11+, 又当x=1时，∑∞=+1n 1n n 1(-1)收敛，∴⎰+10x 11dx= ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).4、证明：(1)y=∑∞=0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y ；(2)y=∑∞=0n 2n )(n!x 满足方程xy ”+y ’-y=0. 证：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n (4n)!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 4n (4n)!x =∑∞=1n 1-4n 1)!-(4n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 1-4n 1)!-(4n x =∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x ；y ”’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x =∑∞=1n 3-4n 3)!-(4n x ；y (4)=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 3-4n 3)!-(4n x =∑∞=1n 1)-4(n 1)]!-[4(n x =∑∞=0n 4n (4n)!x =y. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n )(n!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 2n )(n!x =∑∞=0n 1-n n!1)!-(n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=0n 2-n n!2)!-(n x . 则 xy ”+y ’=x ∑∞=1n 2-n n!2)!-(n x +∑∞=1n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=1n 21-n ]1)!-[(n x =∑∞=0n 2n )(n!x =y. ∴xy ”+y ’-y=0.5、证明：设f 为∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数，若f 为奇函数，则原级数仅出现奇次幂的项，若f 为偶函数，则原级数仅出现偶次幂的项. 证：∵f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R)；∴f(-x)=∑∞=0n n n n x a (-1).若f 为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=-∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =-a n ,当n=2k-1时，成立；当n=2k 时，a 2k =0. 即f(x)=∑∞=1k 1-2k 1-2k x a .若f 为偶函数，即f(-x)=f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =a n ,当n=2k 时，成立；当n=2k-1时，a 2k-1=0. 即f(x)=∑∞=0k 2k 2k x a .6、求下列幂级数的收敛域：(1)∑+n n n b a x (a>0,b>0)；(2)nn x n 112∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+.解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=n n 1n 1n ∞n b a b a lim ++++→=max{a,b}，又当|x|=R 时， nn n∞n b a R lim +→=1≠0，∴原级数的x=±R 发散，收敛域为(-R,R). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n n ∞n 2n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=n∞n n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=e ，∴R=e 1，又当x=±e 1时，nn ∞n e 1n 11lim 2⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+→≠0，∴原级数在x=±e 1发散，收敛域为(-e 1,e1).7、求下列幂级数的收敛半径：(1)n n n x n](-1)[3∑+；(2)a+bx+ax 2+bx 3+… (0<a<b).解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n n∞n n 4lim →=n ∞nn4lim →=4，∴R=41. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n b lim →=1，∴R=1.8、求下列幂级数的收敛半径及其和函数：(1)∑∞=+1n n 1)n(n x ；(2)∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x ；(3)∑∞=+2n n2x 1n )1-n (. 解：(1)R=1n n ∞na a lim +→=1)n(n )2n )(1n (lim ∞n +++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=+1n n 1)n(n x =∑∞=++1n 1n 1)n(n x x 1=x 1f(x).∵f ”(x)='⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=+1n 1n 1)n(n x =∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n nn x =∑∞=0n n x =x -11. ∴f ’(x)=⎰xt-11dt=-ln(1-x)；f(x)=⎰--x 0)t 1ln(dt=(1-x)ln(1-x)+x. 又当x=1时，S(1)=∑∞=+1n 1)n(n 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→1n 11lim ∞n =1；当x=0时，S(0)=0. ∴S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+ 0x ，0 1x ，10x 1x 1，1x)-ln(1x x-1且. (2)R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n n(n )3n )(2n )(1n (lim ∞n +++++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x =∑∞=+++1n 2n 22)1)(x n(n x x 1=2x 1f(x). ∵f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1n 2n 2)1)(x n(n x=∑∞=++1n 1n 1)n(n x =x ∑∞=+1n n 1)n(n x =(1-x)ln(1-x)+x.∴f(x)=t]t)-t)ln(1-[(1x 0+⎰dt=-21(1-x)2ln(1-x)+43x 2-21x.又当x=0时，S(0)=0；当x=1时，S(1)=f(1)=41.∴S(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+- 0x ，0 1x ，410x 1x 1，432x 1-x)-ln(12xx)-(122且 . (3)R=1n n ∞n a a lim +→=1)(n n 2)(n )1-n (lim 22∞n ++→=1. 又当x=±1时，原级数发散. ∴收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=+2n n 2x 1n )1-n (=∑∞=++2n 1n 21n x 1)-(n x 1=x 1f(x). f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2n 1n 21n x 1)-(n =∑∞=2n n 2x )1-n (=x 2∑∞=2n 2-n 2x )1-n (=x 2g(x). ⎰xg(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n 2t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x )1-n (=x ∑∞=2n 2-n x )1-n (=xh(x).⎰xh(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x =∑∞=1n n x =x-1x. ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11；g(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+；f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+332x)-(1x x =42x)-(1x 42x +；又当x=0时，S(0)=0；∴S(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<+0x 0，1|x |，x )-(1x424.9、设a 0, a 1, a 2,…为等差数列(a 0≠0). 试求： (1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径；(2)数项级数∑∞=0n nn2a 的和数. 解：记等差数列a 0, a 1, a 2,…的公差为d ，则a n =a 0+nd ，a n =a 0+(n+1)d ，R=1n n∞n a a lim +→=1)d n (a nd a lim 00∞n +++→=1. ∴幂级数∑∞=0n n n x a 有收敛区间(-1,1). 记S(x)=∑∞=0n nn x a =∑∞=+0n n0nd)x (a = a 0∑∞=0n nx +d ∑∞=0n n nx =x 1a 0-+2x )1(dx-，当x=21∈(-1,1)时，S(21)=∑∞=0n nn 2a =2a 0+2d=2a 1. ∴(1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径R=1; (2)数项级数∑∞=0n n n2a 的和数S=2a 1.。

高等数学-幂级数

9.5 幂级数
9.5.1 幂级数及其收敛域

1. 设 x0, a0, a1,L ,为常数.形如 an (x x0 )n n0
a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 L an (x x0 )n L x (, )的级数称为 x x0 的幂级数. 当 x0 0 时,上述幂级数变成 :

(2)若幂级数 an xn 在 x x0 时发散, n0

则当 x 满足 x x0 时, an xn 发散. n0
收敛半径

由阿贝尔定理知 : an xn 的收敛性有以下几种情况 : n0

(1) 存在常数 R(R 0),当 x R 时, an xn 绝对收敛; n0
n0
n0
n0
n
这里 cn ankbk k 0
幂级数的分析运算
幂级数在其收敛半径内连续,可逐项积分,可逐项求导:

性质 9-6 设幂级数 anxn S(x), 则 S(x) 在 anxn
n0
n0
的收敛域上连续,即

lim
x x0
n0
an xn

lim

例如, xn 1 x x2 L ,的收敛域为I (1, 1) n0
例 9 24 试求幂级数
xn
n0 n 1
的收敛域
阿贝尔定理

(1)若幂级数 an xn 在 x x0 (x0 0)时收敛, n0

则当 x 满足 x x0 时, an xn 绝对收敛; n0
1
, x (1, 1)
n0
1 x
收敛半径 R 1,收敛域 I (1, 1)

第四章-幂级数

2 2
因此 z 2k (k 0, 1,...) 都是 f ( z) sin z 1 的二阶零点
2
解析函数零点的孤立性，唯一性定理
• 定理：设函数 f ( z ) 在 z a R 解析，且不恒为零，a为其零点，则必有a的一个邻域，使得 f ( z ) 在其中没有a之外的零点。

的系数
cn
满足
cn 1 l cn
（2）
lim n cn l
n
（3）则幂级数 c ( z a) 的收敛半径
n
lim n cn l

n
n 0
n
1 l , l 0, l R 0, l , l 0
cos(in)( z 1) 例.
1、幂级数各项均为幂函数的复变项级数
(*)
其中，都是复常数，这样的级数叫做以 z0 为中心的幂级数。 2、幂级数的收敛性，收敛半径先看由上级数各项的模所组成的正项级数
应用正项级数的比值判别法可知，如果
则级数收敛，即原级数绝对收敛，可引入记号
即，如果果，则
则原级数绝对收敛，如
即级数后面的项的模越来越大，不满足级数
eiz eiz 2i
(eiz i)2 0, eiz i

2
2 k
(k 0, 1,...)
这是 f ( z) sin z 1 的全部零点注意到
(sin z 1) ' z 2 k cos z z 2 k 0
2 2
(sin z 1) '' z 2k sin z z 2k 1
n z 2 z3 z 4 z f 0 ( z ) (ln( z 1))0 z ... (1) n1 ... 2 3 4 n

幂级数概念

幂级数概念公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-§ 11. 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I上的函数列{u n(x)}, 由这函数列构成的表达式u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +u n(x)+ × × ×称为定义在区间I上的(函数项)级数, 记为∑∞=1) (nnxu.收敛点与发散点:对于区间I内的一定点x0, 若常数项级数∑∞=1) (nnxu收敛, 则称点x0是级数∑∞=1) (nnxu的收敛点. 若常数项级数∑∞=1)(nnxu发散, 则称点x0是级数∑∞=1) (nnxu的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1) (nnxu的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域.和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1) (nnxu的和是x的函数s(x),s(x)称为函数项级数∑∞=1) (nnxu的和函数, 并写成∑∞==1)()(nnxuxs.∑u n(x)是∑∞=1) (nnxu的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n(x)的和是x的函数s(x),s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ).这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ × × × +u n (x ). 在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )?s (x )(n ??) .余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n .二、幂级数及其收敛性幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是a 0+a 1x +a 2x 2+ × × × +a n x n + × × × ,其中常数a 0, a 1, a 2, × × × , a n , × × ×叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ × × × +x n+ × × × , !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x .注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ × × × +a n (x -x 0)n + × × × , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ × × × +a n t n + × × × . 幂级数1+x +x 2+x 3+ × × × +x n + × × ×可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |?1时, 它是发散的. 因此它的收敛域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 010)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |?|x 0|的一切x 使这幂级数发散.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0 (x 010)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑a n x n当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |?|x 0|的一切x 使这幂级数发散.提示: ∑a n x n是∑∞=0n n n x a 的简记形式.证先设x 0是幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛点, 即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使 | a n x 0n |￡M (n =0, 1, 2, × × ×). 这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数nn x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.简要证明设∑a n x n 在点x 0收敛, 则有a n x 0n ?0(n ??) , 于是数列{a n x 0n }有界, 即存在一个常数M , 使| a n x 0n |￡M (n =0, 1, 2, × × ×).因为 n n n n n nn n n n x x M x x x a x x x a x a || |||| || ||00000⋅≤⋅=⋅=,而当||||0x x <时, 等比级数n n x x M ||0⋅∑∞=收敛, 所以级数∑|a n x n|收敛, 也就是级数∑a n x n绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.推论如果级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得当|x |<R 时, 幂级数绝对收敛; 当|x |?R 时, 幂级数发散;当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径? 开区间(?R ? R )叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间? 再由幂级数在x ??R 处的收敛性就可以决定它的收敛域? 幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R ,R ]、[-R , R ]之一.规定: 若幂级数∑∞=0n n n x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径R =+￥, 这时收敛域为(-￥, +￥).定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10R ?定理2如果幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R ?定理2 如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R 为? 当??0时ρ1=R ? 当??0时R ???? 当????时R ?0? 简要证明: || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. (1)如果0<r <+?, 则只当r |x |<1时幂级数收敛? 故ρ1=R .(2)如果r =0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+?. (3)如果r =+?, 则只当x ?0时幂级数收敛, 故R =0.例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n 的收敛半径与收敛域. 例1 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的收敛半径与收敛域.解因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n!1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域.例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n 的收敛域.解因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+￥, 从而收敛域为(-￥, +￥). 例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n nx n n 的收敛半径. 解级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2?1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R .提示? 2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n xn n xn n x u x u n n n n +++=++=++. 例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nnx 的收敛域.解令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n n nt . 因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n ,此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n n nt 的收敛域为-2￡t <2? 因为-2￡x -1<2, 即-1￡x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算设幂级数∑∞=0n nn x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ￠, R ￠)内收敛, 则在(-R , R )与(-R ￠, R ￠)中较小的区间内有加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n n n n n n x b a x b x a , 减法: ∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ￠, R ￠)内收敛, 则在(-R , R )与(-R ￠, R ￠)中较小的区间内有加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n n n x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ × × ×+(a 0b n +a 1b n -1+ × × × +a n b 0)x n + × × ×性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R ,R ))连续.性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积? 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xn n x n n n xx n a dx x a dx x a dx x s (x ?I )? 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(?R ? R )内可导? 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |?R )?逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质1 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.性质2 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积? 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xn n x n n n xx n a dx x a dx x a dx x s (x ?I )? 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛区间(?R ? R )内可导? 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |?R )?逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解求得幂级数的收敛域为[?1? 1)?设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s ? x ?[?1? 1)? 显然s (0)=1.在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001. 对上式从0到x 积分, 得)1ln(11)(0x dx xx xs x--=-=⎰.于是, 当x 10时, 有)1ln(1)(x x x s --=. 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(11000x dx xdx x xx n n --=-==⎰⎰∑∞=,所以, 当x 10时, 有)1ln(1)(x xx s --=,从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 1 1||0 )1ln(1)(x x x x x s .例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解求得幂级数的收敛域为[?1? 1)?设幂级数的和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s ? x ?[?1? 1)?显然S (0)?1? 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )11( )1ln(11000<<---=-==⎰⎰∑∞=x x dx xdx x xx n n ,所以, 当1||0<<x 时, 有)1ln(1)(x xx s --=?从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .由和函数在收敛域上的连续性? 2ln )(lim )1(1==-+-→x S S x ?综合起来得⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0 1)1 ,0()0 ,1[ )1ln(1)(x x x x x s .提示? 应用公式)0()()(0F x F dx x F x -='⎰? 即⎰'+=xdx x F F x F 0)()0()(?11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x .例7 求级数∑∞=+-01)1(n nn 的和.解考虑幂级数∑∞=+011n n x n , 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s .在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n n n .。

幂级数常见6个公式

幂级数常见6个公式一、幂级数的定义幂级数是数学中常见的一种级数形式，可以用来表示各种函数。

幂级数的一般形式为∑(n=0)∞(an⋅x^n)，其中an为系数，x为变量，n为指数。

幂级数可以收敛于一个特定的值，也可以在一定范围内发散。

二、泰勒级数公式泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，可以用来近似表示函数。

泰勒级数公式可以将一个函数表示为一系列无穷多个项的和，其中每个项都是函数在某一点的导数与该点的函数值的乘积。

泰勒级数公式为f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + ...。

三、麦克劳林级数公式麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式，可以用来近似表示函数。

麦克劳林级数公式是泰勒级数公式的特例，当函数在某一点的所有导数都为零时，麦克劳林级数公式简化为f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^n(0)x^n/n! + ...。

四、幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是幂级数收敛的范围。

根据幂级数的收敛半径，可以确定幂级数在哪些点收敛，以及收敛的范围。

收敛半径的计算可以使用柯西—阿达玛公式，即R = 1/lim⁡sup⁡〖√(│an│)〗。

五、常见的幂级数公式1. 指数函数幂级数：e^x = ∑(n=0)∞(x^n/n!)，其中e为自然对数的底数。

2. 正弦函数幂级数：sin(x) = ∑(n=0)∞((-1)^n⋅x^(2n+1)/(2n+1)!)。

3. 余弦函数幂级数：cos(x) = ∑(n=0)∞((-1)^n⋅x^(2n)/(2n)!)。

4. 自然对数函数幂级数：ln(1+x) = ∑(n=1)∞((-1)^(n-1)⋅x^n/n)，其中|x|<1。

5. 反正切函数幂级数：arctan(x) = ∑(n=0)∞((-1)^n⋅x^(2n+1)/(2n+1))，其中|x|≤1。

幂级数阿贝尔定理证明

幂级数阿贝尔定理证明一、引言幂级数是数学中的重要概念，而阿贝尔定理则是关于幂级数收敛性的一个重要定理。

本文将对幂级数阿贝尔定理进行证明，并深入探讨其相关性质和应用。

二、幂级数的定义幂级数是指形如 f (x )=∑a n ∞n=0x n 的级数，其中 a n 是常数系数，x 是变量。

幂级数可以看作是多项式的无穷级数形式，是一类非常重要的函数表示方式。

三、阿贝尔定理的表述阿贝尔定理是关于幂级数收敛性的一个定理，它给出了幂级数在收敛域边界上的收敛性质。

具体来说，阿贝尔定理可以表述为：如果幂级数在某个点 x 0 处收敛，那么当 |x |<|x 0| 时，幂级数在 x 处绝对收敛；当 |x |>|x 0| 时，幂级数在 x 处发散。

四、证明过程为了证明阿贝尔定理，我们需要借助一些数学工具和技巧。

下面是证明的详细过程：1. 幂级数收敛半径的计算首先，我们需要计算幂级数的收敛半径 R ，它的定义为 R =lim n→∞|a n a n+1|。

根据收敛半径的计算公式，我们可以确定幂级数的收敛域。

2. 幂级数的收敛性分析接下来，我们需要分析幂级数在收敛域内的收敛性。

根据阿贝尔定理的假设，假设幂级数在某个点 x 0 处收敛，那么我们可以使用比较判别法、根值判别法等方法来证明幂级数在收敛域内的绝对收敛性。

3. 幂级数的发散性分析在幂级数的收敛域外，我们需要分析幂级数的发散性。

根据阿贝尔定理的假设，当 |x |>|x 0| 时，幂级数在 x 处发散。

我们可以使用比较判别法、根值判别法等方法来证明幂级数在收敛域外的发散性。

4. 阿贝尔定理的证明通过对幂级数的收敛性和发散性分析，我们可以得出结论：当幂级数在某个点x0处收敛时，当|x|<|x0|时，幂级数在x处绝对收敛；当|x|>|x0|时，幂级数在x处发散。

这就是阿贝尔定理的证明过程。

五、阿贝尔定理的应用阿贝尔定理在数学和物理学中有着广泛的应用。

幂级数

lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
n!
( x x0 ) lim S n1 ( x )
n n
x ( x0 ) x ( x0 )
n
S n1 ( x) f ( x) Rn ( x) lim S n1 ( x) f ( x)
S ( x) C e
x x
e
x
S ( x) 0

由S (0) 1 得 S ( x) e ,
故得
例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发散,
n x ( x ) x x n n 1 n 1

x x 1 x
f (0) f (0) x
x
2
f
(n)
(0)
x
n
n!
待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
内具有定理1 设 f (x) 在 x0 的某一邻域各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
n n ! ( n 1) !
对任何有限数 x , 其余项满足
e
3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
注:据此定理
的收敛半径为 R lim
an an 1
n
例1.求幂级数的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim
an an 1
n
lim
n
n 1 n 1

幂级数

n0
系数cn按乘法的定义求.
(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)
2.和函数的分析运算性质
(1)幂级数 an xn 的和函数 s( x) 在收敛域上
n0
连续.
(2)幂级数 an xn的和函数 s( x) 在收敛域上
n0
可积, 并可逐项积分.
x
s( x)dx
0
x
(
0
an xn )dx
n1
(1)n1
n1
[(1)n1
n
xn
n xn
]
显然 s(0) 0,
(1)n1 xn1
1
,
n11Biblioteka x(1 x 1)两边积n分1得
x s(nt )dt x 1 dt
0
0 1 t
即 s( x) s(0) ln(1 x) s(x) ln(1 x),
0
(1)n1 xn ln(1 x)，(1 x 1).
1
即|
x |
1 时,
n0
级数 | an xn
n0
| 发散,
从而级数 anxn发散，
n0
于是收敛半径 R 1 .
limliamn1anx1 x0 a a nn
nn
（2）若 0, 根据比值审敛法，对任意的x，
级数an xn绝对收敛. 因此收敛半径 R .
n0
（3）若 , 对于除x 0外的一切x,
问题如何求幂级数的收敛半径?
定理2
如果幂级数 an xn的所有系数 an 0，
n0
设
lim an1 a n
n
,
则 (1)
当
0 时, R
1；

高数第9章函数项级数、幂级数-幂级数

f ( x ) a n ( x x0 ) n
n 0

1 (n) f ( x0 ) 则其系数 a n n!
且展开式是唯一的.

( n 0,1,2,)
证明 an ( x x0 ) n 在U ( x0 )内收敛于f ( x),即
n 0
f ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a n ( x x0 ) n Leabharlann 的收敛半径为 R,其和函数为
s( x ) ,则在 ( x0 R, x0 R) 内幂级数可以逐项积分和
an 即 s( x)dx ( an x )dx ( x x0 ) n 1. x0 x0 n 0 n 0 n 1
x n
即 s( x) ( an ( x x0 ) n ) (an ( x x0 ) n ) nan ( x x0 ) n 1.
收敛区间( , ) .
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数学分析
n 2 1 n n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1 a n 1 2 n lim lim 2 n a n n 1 n
1 R , 2
1 1 即 x 收敛, 2 2
x (0,1)收敛,
( 1)n n 令 t 2 x 3 , 原级数变为 t . n 0 2n 1

由于
an 1 lim 1 n a n
3 1 因此 , 当 t 1 , 即 x 时 , 原幂级数收敛 , 2 2 3 1 当 t 1 , 即 x 时 , 原幂级数发散 , 2 2
例2
a n 1 n 解 (1) lim lim 1 R 1 n a n n 1 n

幂级数

半径为R=2。当x=±2时，级数为
∑
∞
n=0
1 22n = n4n
∑
∞
n =1
1 n
级数发散，故原级数的收敛区间为(-2, 2)。
1 n 4. ∑ x n =0 n !
∞
an +1 1 1 1 = lim = 0, lim / = lim n →∞ a n →∞ ( n + 1)! n ! n →∞ n + 1 n
∑
∞
n=0
a n x n ,由正项级数的比值法，
= a n +1 an x
a n +1 x n +1 an x
n
并设极限
a n +1 lim = ρ n→ ∞ an
有意义，则 (1)若ρπ0且ρπ∞，则由比值判别法，当ρ|x|<1时，级数绝对收敛；当ρ|x|>1时，级数发散。即收敛半径为
R=
1
ρ
∞ ∞ ∞ ∞ n n n
n=0
比较系数，得关系
a0 = b0c0 , a1 = b1c0 + b0c1 , a2 = b2c0 + b1c1 + b0c2 ,
从中解出ci。
an xn 的收敛半径为R，则其和函数连续性设幂级数 ∑
n =0
∞
s(x)在区间(-R, R)内连续；若幂级数在端点收敛，则和函数在端点连续。可积性设幂级数 ∑ an x 的收敛半径为R，则其和函数
例5 求幂级数解
nxn 的和函数。 ∑
n=1
∞
显然该幂级数的收敛半径R=1，收敛区间(-1, 1)。
当|x|<1时，令
s ( x) = ∑ nx n ,

幂级数几何级数

幂级数几何级数那我开始讲幂级数和几何级数啦。

一、幂级数。

1. 啥是幂级数呢？幂级数啊，就像是一堆带着幂次的项加起来的式子。

你看啊，它的一般形式是∑_n = 0^∞a_n(x x_0)^n=a_0+a_1(x x_0)+a_2(x x_0)^2+·s。

这里面的a_n呢，就是一些系数，就像给每个带幂次的小部分分配不同的权重一样。

x是变量，x_0是个固定的数。

比如说，∑_n = 0^∞x^n=1 + x+x^2+x^3+·s这就是一个简单的幂级数，这里a_n=1，x_0 = 0。

2. 幂级数的作用可不小呢！在数学里，幂级数就像一把万能钥匙。

它可以用来表示很多函数。

有些函数看起来很复杂，但是用幂级数一表示，就好像把它拆成了一个个小零件，每个小零件都好理解。

比如说，e^x这个函数，它就可以写成幂级数∑_n =0^∞frac{x^n}{n!}=1+(x)/(1!)+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+·s。

这样我们就能通过计算幂级数的部分和来近似计算e^x的值啦。

而且在物理、工程这些学科里，幂级数也经常用来解决问题。

比如说在研究一些波动现象的时候，把相关的函数用幂级数展开，就能更容易分析它的特性呢。

3. 收敛性是个大问题。

幂级数不是在任何情况下都能随便相加得到一个确定的值的。

就像一群小伙伴一起干活，如果干得太乱了就没结果。

幂级数也有收敛和发散的情况。

如果对于某个x的值，当你把幂级数的项加得越多，它就越接近一个确定的值，那这个幂级数在这个x处就是收敛的；要是加得越多越乱，没有个确定的结果，那就是发散的。

我们有一些方法来判断幂级数的收敛性，比如比值判别法。

如果lim_n→∞<=ft|frac{a_n + 1(x x_0)^n+1}{a_n(xx_0)^n}right|=lim_n→∞<=ft|frac{a_n+1}{a_n}right|<=ft|x x_0right|<1，那这个幂级数就是收敛的。

级数理论-幂级数

第四章 第二节 幂级数

幂级数运算

数学分析2课件：14-1 幂级数

高等数学§6.3.4幂级数

幂级数的知识点总结

幂级数的定义及其收敛性分析

数学分析14.1幂级数

高等数学-幂级数

第四章-幂级数

幂级数概念

幂级数常见6个公式

幂级数阿贝尔定理证明

幂级数

幂级数

高数第9章函数项级数、幂级数-幂级数

幂级数

幂级数 几何级数

第四章第二节幂级数

幂级数几何级数