复旦大学数学分析考研试题及答案

2 2
5.用 Lagrange 乘数法，解 f ( x, y, z ) = x + y +
2 2 2 3
z4 在xyz = 1 条件下的极植问题。 （13 分） 2
6.求曲面 ( x + y + z ) = 3 xyz 所围区域的体积。 （13 分）
1 2 x dx = π （推导过程要说明理由） 7.证明： ∫ （13 分） 0 1− x 6
∫
+∞
a
f ( x)dx 收敛， lim g ( x ) = 1 ，问积分 ∫
x →+∞
+∞
a
f ( x) g ( x)dx 是否一定收敛？收敛的话，请证明之；不一
定收敛的话，请举出反例。 （12 分） 4.设 z = z ( x, y ) 是由隐函数 F ( x +
z z ∂z ∂z , y + ) = 0 确定，求表达式 x + y ，并要求简化之（12 分） y x ∂x ∂y
1
ln
8.将 y = sin x, x ∈ (0, π ) 展开成余弦级数，并求级数
(−1) n +1 的和（13 分） ∑ 2 n =1 4n − 1
+∞
复旦大学 2001 年招收硕士学位研究生考试试题 数学分析 习题答案
− e x −e [ x − e ]' 1. 解: lim 2 = lim 2 x ln(2 x −1) (0 0 ) = lim 2 x →1 ln (2 x − 1) x →1 [ln (2 x − 1)]' x →1 4 2 x −1
n +1
n =1
则
当
n = 2m , (m = 1,2,3"), x = π 2
,
则
有
m +1 ∞ ∞ 1 cos mπ = 2 + 4 ∑ (− 1) y x= π = 2 − 4 ∑ , π π m = 1 4m 2 − 1 2 π π m = 1 4m 2 − 1
= 1 ,则 ∑ 而 y x = π = sin π 2
t n −1 dt ∑ 0 n =1 n
1 ∞
1 2 1 π x dx = π 成立.■ 而由数项级数 ∑ 2 = ,故 ∫ 0 1− x 6 6 n =1 n
∞ 2
ln 1
8. 解: 将 y = sin x 延拓为 [ −π , π ] 上的偶函数.
⎧ − sin x , x ∈ [−π ,0] ˆ=⎨ y . , x ∈ [0, π ] ⎩sin x
2 2
解得
所以 f ( x, y, z ) = x + y +
z4 在xyz = 1 条件下的极植为 5 2 .■ 2
6. 解: 由曲面方程知所围立体只能位于第一,三,五,七卦限,且体积为第一卦限立体 V1 得 4 倍, 即 V = 4V1 = 4
∫∫∫ dxdydz
V1
⎧ x = r sin ϕ cosθ 1 ⎪ 2 3 π π 3 令 ⎨ y = r sin ϕ sin θ , 则0 ≤ θ ≤ 2 ,0 ≤ ϕ ≤ 2 ,0 ≤ r ≤ 3 (sin ϕ cosϕ cosθ sin θ ) , ⎪ z = r cosϕ ⎩
2
(−1) n +1 π 1 = 4 − 2 .■ 2 n =1 4n − 1
+∞
G (0) = − f (0) > 0, G ' ( x) = xf " ( x)
, 而
− 21x e
x −1 2
−
x 2
e
x −1 2
f ' ' ( x ) > 0( −∞ < x < +∞ ),
故
当
x ∈ (−∞,0)
时
,
f ( x) 分别在 ( −∞,0) 上严格单调增加; x f ( x) 当 x ∈ (0,+∞ ) 时, G ' ( x ) > 0 , G ( x ) > G (0) ,此时 F ' ( x ) > 0 ,即有 分别在 ( −∞,0) 上严格单调增加; x f ( x) 综上所述, 分别在 ( −∞ ,0) 与 (0,+∞ ) 都是严格单调增加函数.■ x
ln[1 − (1 − x )] = − (1 − x ) − 1 (1 − x ) 2 − 1 (1 − x ) 3 − " − 2 3
1 x = 1 + 1 (1 − x ) + 1 (1 − x ) 2 + " + 则有: 2 3 1− x 取 t = 1 − x ,则有 ln
1
1 n +1
1 n +1
x
,
xy 2 F '+ zxF ' ∂z = u v ∂y xyF '− y 2 F ' u v
∂z ∂z x 2 yFu '+ zyFv ' xy 2 Fu '+ zxFv ' x 2 yFu '+ zyFv '− xy 2 Fu '− zxFv ' .■ +y = + = ∂x ∂y yFv '− xFu ' xFu '− yFv ' yFv '− xFu '
G ' ( x) < 0 , G ( x ) > G (0) ,此时 F ' ( x ) > 0 ,即有
3. 解:
∫
+∞
a
f ( x) g ( x)dx 不一定收敛.
2a x−2a
取 g ( x) = 1 +
， f ( x) =
+∞
1 x2
，取 a > 0 ，则有
∫
+∞
a
f ( x)dx 收敛， lim g ( x) = 1 ，而
∂v ∂x
u Fu ' ∂ + F 'v ∂x
= Fu ' (1 +
∂z y∂x
) + F 'v
∂z z−x ∂ x
x
2
=0
u ∂v Fu ' ∂ + F 'v ∂ = Fu ' ∂y y
∂z z− y ∂ y
y2
+ F 'v (1 +
∂z x∂y
)=0
x 2 yF '+ zyF ' ∂ z u v 则有: = ∂x xyF '− x 2 F ' v u
则 bn = 0 , ( n = 1,2,3") , பைடு நூலகம் 0 =
π
2
∫
π
0
sin xdx =
∞ 2
π
4
, an =
π
2
∫
π
0
) −1 sin x cos nxdx = 2 (π−(1n 2 −1)
n +1
由收敛定理有:对于 ∀x ∈ (0, π ) . y =
π
) −1 + 2∑ (π−(1n cos nx . 2 −1)
1 1 2 x −1 2 x −1 2 x −1 2 x −1 2
2 x − 11 − xe 2 = lim x →1 8 x ln(2 x − 1)
x −1
1 [1 − xe ]' 1 1 =− ■ = lim = lim 2 8 x →1 [ln(2 x − 1)]' 8 x→1 16 2 x −1 f ( x) xf ' ( x) − f ( x) 2. 证 : 设 F ( x ) = , 则 F ' ( x) = , 设 G ( x ) = xf ' ( x ) − f ( x ) , 而 f (0) < 0, 从 而 有 x x2
x → +∞
∫
+∞
a
f ( x) g ( x)dx = ∫
a
1 x2
(1 +
2a x−2a
)dx = ∫
+∞
a
1 x 2 − 2 ax
dx . 显然 x = a 为该积分的一奇点,并且在这一点
处该积分不收敛,所以 4. 解: 设 u = x +
∫
+∞
a
f ( x) g ( x)dx 不一定收敛.■
z z , v = y + ,则有该方程左右两边分别对 x,y 求导有: y x
复旦大学 2001 年招收硕士学位研究生考试试题 数学分析
x −e 2 1 求极限 lim 2 x →1 ln (2 x − 1)
x −1
（12 分）
2.已知 f (0) < 0, f ' ' ( x ) > 0( −∞ < x < +∞ ), 证明 （12 分） 3.设
f ( x) 分别在 ( −∞,0) 与 (0,+∞ ) 都是严格单调增加函数。 x
(1 − x ) n +1 − "
(1 − x ) n + "
1 1 2 ∫0 1 − xxdx = ∫0[1 + 12 (1 − x) + 13 (1 − x) + " + ln = ∑∫
n =1 ∞ ∞ t n −1 1 dt = ∑ 2 . 0 n n =1 n 1
1 n +1
(1 − x) n + "]dx = ∫
2 2
z4 + λ ( xyz − 1) 5. 解: 作 Lagrange 函数有: L( x, y, z , λ ) = x + y + 2
.∗ 解答人: 王 伟 嘉兴南洋职业技术学院 基础部 助教
令 L ' x = L ' y = L ' z = L ' λ = 0, 得
⎧ 2 x + λyz = 0 ⎪2 y + λxz = 0 ⎪ ⎨ ⎪2 z + λxy = 0 ⎪ ⎩ xyz − 1 = 0 ⎧ x = 1 ⎧ x = 1 ⎧ x = −1 ⎧ x = −1 ⎪ y = 1 ⎪ y = −1 ⎪ y = 1 ⎪ y = −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 或⎨ 或⎨ 或⎨ ⎨ ⎪ z =1 ⎪ z = −1 ⎪ z = 1 ⎪ z = −1` ⎪ ⎩λ = −2 ⎪ ⎩λ = −2 ⎪ ⎩λ = −2 ⎪ ⎩λ = −2
V = 4∫ dθ ∫ dϕ ∫
2 0 2 0
π
π
3
3 (sin 2 ϕ cos ϕ cos θ sin θ ) 3
1
0
r 2 sin ϕdr
=
4 2 3 0
∫
π
dθ ∫ 2 3 sin 2 ϕ cos ϕ sin θ cos θdϕ = 1 2 ■
0
π
7. 解: 由于 ln 1 = − ln x = − ln[1 − (1 − x)] , x