概率与数理统计第八章 --第十一章例题

• 分布函数为
0, x -1, 1 F(x;1) ,1 x 2, 2 1, x 2.
• 2、设随机过程X(t)=e-At，t>0，其中A是在区间(0，a)上 服从均匀分布的随机变量，试求X(t)的均值函数和自相 关函数。 解：由关于随机变量函数的数学期望的定理知道X(t)的均 值函数为
192 190
188 187
A2
A3 A4
201
179 180
187
191 188
196
183 175
200
194 182
• 判断4个林场松毛虫密度有无显著变化，取显著性 水平=0.05。
• 解 记Ai林场的平均松毛虫密度为I,i=1,2,3,4.则 所述问题为在显著性水平=0.05下检验假设
H 0 : 1 2 3 4 , H1 : 1 , 2 , 3 , 4不全相等。 今s 4,n1 n 2 n 3 n 4 5, n 20.T.1 932, T.2 974, T.3 935, T.4 912, T.. 3753 .
2 2 S r xij T..2 / n 705225 3753 / 20 974.55. j 1 i 1 4 4 5
SA
j 1
T. 2 j 5
T..2 n 704653 .8 704250 .45 403.35
S E S r S A 571.2. S r , S A , S E的自由度分别为 n - 1 19, s 1 3, n s 20 4 16, 从而得方差分析表如下 ：
S xx
S xy
S xy
1 x ( xi ) 2 n 1 13 32 .81 25 14 1.252 2.70 83 33 , 15 1 xi yi xi yi n 1 98 5.5 14 1.25 10 4.5 1.45 83 33 , 15 1 2 yi ( yi ) 2 n 1 7.29.62 5 10 4.5 2 1.60 83 33 . 15
cost ,出现H， X(t ) - t . 2t ,出现T， 1 假设P( H ) P(T ) , 试确定X(t )的 2 1 一维分布函数 F( x; ), F ( x;1). 2
解 (1) 由X(t)的定义
0,出现H， 1 X( ) 2 ，出现T。 1 这一离散型随机变量的 分布律为
• 3、以x与Y分别表示人的脚长(英寸) 与手长(英寸)， 下面列出了15名女子的脚的长度与手的长度Y的 样本值。 x 9.00 8.50 9.25 9.75 9.00 10.00 9.50 9.00
y
x
6.50
9.25
6.25 7.25 7.00 7.00 7.00 7.50
6.75 7.25
7.00
• 不落在拒绝域之内，故在显著性水平 接受原假设
0.05
下
H 0 : Leabharlann 0.618.• 3、按规定，100g罐头番茄汁中的平均维生素C含 量不得少于21mg/g。现从工厂的产品中抽取17个 罐头，其100g番茄汁中，测定维生素C含量(mg/g) 记录如下： • 16 25 21 20 23 21 19 15 13 23 17 20 29 18 22 16 22 • 设维生素含量服从正态分布N(，2)， ，2 均 未知，问这批罐头是否符合要求(取显著性水平 =0.05). • 解： 本题 需检验假设(=0.05)， •
9.25
10.00 10.00 9.75 9.50 ∑ 141.25
7.00
7.50 7.25 7.25 7.25 104.5
85.5625
100 100 95.0625 90.25 1332.8125
49
56.25 52.5625 52.5625 52.5625 729.625
64.75
75 72.5 70.6875 68.875 985.5
x (t ) E[ X (t )] E (e
At
)

a
0
e
iu
1 du a
1 (1 e at ), t 0. at 自相关函数为 R x (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E (e At1 e At 2 ) E[e
X(̊C) Y(%) 300 40 400 50 500 55 600 60 700 67 800 70
• 画出散点 图并求Y对于x的一元线性回归方程。
解 画散点图：从图上看，取回归函数为x的线性函 数a+bx是合适的。现在n=6，为求线性回归方程， 所需计算列表如下： x 300 400 500 600 700 800 3300 y 40 50 55 60 67 70 342 x2 90000 160000 250000 360000 490000 640000 1990000 xy 12000 20000 27500 36000 46900 56000 198400
t x 0 s n t 0.025 (1 9) 2.0 9 3 .
n 20, x 0.660, s 0.0925 , 0.05, t 2 (n 1) t0.025 (19) 2.093,
今观察值 0.6 6 0 5- 0.6 1 8 t 2.0 5 5 2.0 9 3 , 0.0 9 2 5 20
( t1 t 2 ) A a
]

0
e ( t1 t 2 ) u
1 du a
1 [1 e a ( t1 t 2 ) ], t1 , t 2 0. a (t1 t 2 )
• 3、设随机过程X(t)≡X(随机变量)， E(X)=a,D(X)=2(>0) ，试求X(t)的均值函数和 协方差函数。 解 x(t)=E[X(t)]=E(X)=a. Cx(t1,t2)=E{[X(t1)- x(t1)][X(t2)- x(t2)]} =E[(X-a)2]=D(X)=2.
，方差为 ，， 均未知。试检验假 设(取 0.05) H 0 : 0.618, H1 : 0.618.
2 2
解：本题要求在显著性水平 0.05 下 ，检验正 态总体均值的假设
H 0 : 0.618, H1 : 0.618.
因 未知，故采用t检验。因 拒绝域为
• 解 已知齐次马氏链的一步转移概率矩阵为 0 1 •
0 0.75 0.25 P . 1 0.5 0.5
• 应用公式(2.5),现在a=0.25,b=0.5,即有
P ( n) P n 1 0.5 0.75 0.5 n 1,2,... 。 在上式中令n , 得到 0.25 (1 0.25 0.5) n 0.75 0.25 0.25 0.25 , 0. 5 0.5
2 1 0.5 0.25 3 lim P(n) n 0.75 0.5 0.25 2 3 由定义知此齐次马氏链 是 遍历的，其极限分布为 2 1 ， . 3 3
x2
81 72.25 85.5625 95.0625 81 100 90.25 81 85.5625 90.25
y2
42.25 39.0625 52.5625 49 45.5625 49 42.25 49 49 49
xy
58.5 53.125 67.0625 68.25 60.75 70 61.75 63 64.75 66.5
第十一章例题讲解
• 1、在一计算系统中，每一循环具有误差的概率取 决于先前一个循环是否有误差。以0表示误差状态， 以1表示无误差状态。设状态的一步转移概率矩阵 0 1 为
0 0.75 0.25 P . 1 0.5 0.5
• 试证明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分 布(平稳分布)
第八章 例题讲解
• • • •
0.693 0.672 0.668 0.553
0.749 0.615 0.611 0.570
0.654 0.606 0.606 0.844
0.670 0.690 0.609 0.576
0.662 0.628 0.601 0.933
• 设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服 从正态分布，其均值为
H 0 : 21 ，H1 : 21.
今n 17, x 20, s 3.984, t0.05 (16) 1.7459, 20 21 t 1.035 1.7459. 3.984 17
故接受H0，认为这批罐头是符合规定的。
第九章例题讲解
• 1、某防治站对4个林场的松毛虫密度进行调查， 每个林场调查5块地的资料如下表： 地点 A1 松毛虫密度(头/标准地) 189 176 185 190
2 i
• 从而 （1）
ˆ b
S xy S xx
0.53846 ,
ˆ ˆ 1 b 1 b ˆ yi xi 104.5 141.25 a n n 15 15 1.896. 所求的回归方程为 ˆ 1.896 0.53846x y
第十章例题讲解
• 1、利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程
方差来源 平方和 因素A 误差E 总和 403.35 571.2 974.55
自由度 3 16 19
均方 134.45 35.7
F比
SA SE 3.766
因F0.05(3,16)=3.24, F比=3.766>3.24,故在显著性 水平0.05下拒绝H0，认为差异是显著的。
• 2、下表数据是退火温度x(°C) 对黄铜延性Y效应的 实验结果，Y是以延长度计算的。
∑
1 2 Sxx 1990000 3300 175000 , 6 1 S xy 198400 3300 342 10300 , 6 从而 S xy ˆ b 0.058857 , S xx 1 1 ˆ 342 3300 0.058857 24.62865 a . 6 6 回归方程为 ˆ 24.6287 0.05886 y x.
1 X( ) 2
0
1 2
1
1 2
pk
• 其分布函数为
0, x 0, 1 1 F( x; ) ,0 x 1 , 2 2 1 , x 1. 同理 , 出现H， 1 X( 1) ，出现T， 2 其分布律为
X(1) pk
-1
1 2
2
1 2
• 4、已知随机过程{X(t),tT}的均值函数x(t) 和协方差函数Cx(t1,t2)，(t) 是普通的函数， 试求随机过程Y(t)=X(t)+ (t)的均值函数和协 方差函数。 解 Y(t)=E[Y(t)]=E[X(t)+ (t)] =E[X(t)]+E[(t)]= x(t)+ (t) . CY(t1,t2)=E{[Y(t1)- Y(t1)][Y(t2)- Y(t2)]} =E{[X(t1)+ (t1)- x(t1)- (t1) ] X[X(t2)+ (t2)- x(t2)- (t2)]} =E{[X(t1)- x(t1)][X(t2)- x(t2) ]} = Cx(t1,t2).
9.75
6.50 7.00
9.50
9.50 9.25 10.00 10.00
y
7.00
7.25
7.25
• 试求Y关于x的线性回归方程
ˆx ˆ a ˆ b y
解：先作必要的计算见下表：
X
9.00 8.50 9.25 9.75 9.00 10.00 9.50 9.00 9.25 9.50
Y
6.50 6.25 7.25 7.00 6.75 7.00 6.50 7.00 7.00 7.00