刚体的角速度与角加速度
角加速度介绍(最全版)PTT文档
在定轴转动过程中，角坐标 根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内从圆心到某一质点矢径的转动情况
是时间的函数：= （t），叫 就足够了。
那么描写平动的线量、与描写转动的角量之间有什么关系呢？
v1
t时刻，质点在P点，角坐标为 ，
P 刚体的平动是指刚体在运动过程中其中任意两点的连线始终保持原来的方向（或者说，在运动的各个时刻始终保持彼此平行）。
t到t+Δt时刻，刚体角速度的增量为：
1.平均角加速度
t
刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
2.角加速度 对变速转动，如何确定角加速度？
ω dθ
dt
①.用平均角加速度代替变化的角加速度；
②.令 t 0取极限；
lim d d 2
t0 t dt
dt 2
角加速度为角速度对 时间 t 的一次导数， 或为角坐标对时间 t 的二次导数。
加速度等角量是用来描述定轴转动刚
体的整体运动，也可用来描述质点的 曲线运动；
位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质
点的运动。
5.匀变速转动的计算公式
1.特点： 1.角加速度为一常量 βC
2由.匀变速 转d2d3动.t.定初公轴始有式转条：动d件 。：t d0时 t两边积分000d
t
dt
0
0t 0t （1）
3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。
根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚
体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内 从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。
二、定轴转动刚体的角量描述
1.角坐标 描写刚体转动位置的物理量。
刚体平面运动角速度和角加速度相同
刚体平面运动角速度和角加速度相同刚体平面运动是指刚体在平面内沿着直线或曲线运动的一种运动形式。
角速度和角加速度是描述刚体平面运动的重要物理量，它们在运动过程中起着关键的作用。
我们来了解一下角速度和角加速度的概念。
角速度是指单位时间内角度的改变量，用符号ω表示，单位是弧度/秒。
角加速度是指单位时间内角速度的改变量，用符号α表示，单位是弧度/秒²。
对于刚体的平面运动，角速度和角加速度是常用的描述运动状态的物理量。
在刚体平面运动中，角速度和角加速度通常是相等的。
这是因为刚体在平面内的运动是受到力矩的作用而产生的，而力矩和角加速度之间存在着线性关系。
当刚体受到力矩作用时，它会产生角加速度，而角加速度的大小与力矩的大小成正比。
而角速度则是角加速度随时间的积分，表示角度的变化情况。
在刚体平面运动中，角速度和角加速度的相等性有很多重要的应用。
首先，它可以用来描述刚体的旋转运动。
在刚体平面运动中，当刚体绕某一轴旋转时，它的角速度和角加速度的大小是相等的，方向也是相同的。
通过观察刚体的角速度和角加速度的变化，我们可以推断出刚体的旋转状态和运动轨迹。
角速度和角加速度的相等性还可以用来解决刚体平面运动的动力学问题。
在刚体平面运动中，通过已知刚体的角速度和角加速度，我们可以推导出刚体的运动方程和运动规律。
这对于研究刚体的运动特性和预测刚体的运动轨迹都具有重要意义。
角速度和角加速度的相等性还可以用来计算刚体的力矩和动能。
在刚体平面运动中，力矩是刚体受到的外力对刚体的转动效果的度量，而动能则是刚体由于旋转而具有的能量。
通过计算角速度和角加速度，我们可以得到刚体的力矩和动能的表达式，从而进一步分析刚体的运动特性。
刚体平面运动中的角速度和角加速度相等是一个重要的物理现象。
它不仅可以用来描述刚体的旋转运动和解决动力学问题，还可以用来计算刚体的力矩和动能。
研究刚体平面运动中的角速度和角加速度的相等性，对于理解刚体平面运动的本质和应用物理学有着重要的意义。
定轴转动刚体内各点的速度和加速度
a
aτ2 an2 r
2 4
arctan
aτ an
arctan
2
式中：——全加速度的方向与转动半径间的夹角。
1.3 转动刚体内各点的速度和加速度的分布规律
由上面各式可得到转动刚体内各点的速度和加速度的下述分布 规律：
1）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度、切向加速度、法向 加速度及全加速度的大小均与该点的转动半径成正比。
= 0.5 m的圆轮绕定轴O转动，转动
方程为＝－t2+3t， 的单位为rad，
t的单位为s。求t = 1s时轮缘上任一 点M的速度和加速度。如果在此轮 缘上绕一柔软而不可伸长的绳子， 绳端悬挂一物块A，求t = 1s时物块 A的速度和加速度。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度
【解】 由圆轮的转动方程，可得其在任 一瞬时的角速度和角加速度为
下面求物块A的速度和加速度，由于绳子不 可伸长，A点落下的距离与M点转过的弧长相同，
A点的运动方程为s= r，t = 1 s时的速度和加速
度为
v ds r d r (0.51) m/s 0.5 m/s
dt dt
a dv r d r [0.5 (2)] m/s2 1m/s2
dt dt
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 2）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度方向垂直于各自的转
动半径；全加速度的方向与各点的转动半径的夹角均相同且小于 90°。
因此，刚体内通过转轴且与其垂直的任一直线上各点在同一 瞬时的速度和全加速度是按线性规律分布的，如图所示。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 【例6.3】 如图所示，一半径r
刚体动力学中的角速度和角加速度
刚体动力学中的角速度和角加速度角速度和角加速度是描述刚体旋转运动的重要物理量。
在刚体动力学中，角速度表示刚体围绕旋转轴旋转的速度，而角加速度则表示刚体旋转速度的变化率。
本文将介绍角速度和角加速度的定义及计算方法，并探讨它们在刚体动力学中的应用。
一、角速度的定义和计算方法在刚体动力学中，角速度表示刚体绕某一旋转轴旋转的快慢程度。
我们可以将刚体的任意一点看作旋转轴，通过旋转轴指向的方向来定义角速度的正负。
角速度的计算公式如下：ω = Δθ / Δt其中，ω表示角速度，Δθ表示角度的改变量，Δt表示时间的改变量。
角速度的单位通常是弧度/秒(rad/s)。
二、角加速度的定义和计算方法角加速度表示角速度的变化率，即角速度的改变快慢程度。
我们可以通过角速度随时间的变化率来定义角加速度。
角加速度的计算公式如下：α = Δω / Δt其中，α表示角加速度，Δω表示角速度的改变量，Δt表示时间的改变量。
角加速度的单位通常是弧度/秒²(rad/s²)。
三、角速度和角加速度的应用角速度和角加速度在刚体动力学中具有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用场景。
1. 轮胎的滚动问题：在车辆行驶过程中，轮胎的滚动是刚体的旋转运动。
通过计算轮胎滚动的角速度和角加速度，我们可以研究车辆的操控性能、轮胎磨损情况等。
2. 飞行器的操纵：在飞行器的操控过程中，熟练掌握角速度和角加速度对飞行器的稳定性至关重要。
通过计算飞行器的角速度和角加速度，我们可以预测和控制飞行器的姿态。
3. 自转天体的运动：恒星、行星等自转天体的运动也可以通过角速度和角加速度进行描述。
通过观测和计算恒星的角速度和角加速度，我们可以了解天体的运动规律、自转周期等重要信息。
4. 陀螺仪和陀螺仪导航系统：陀螺仪是基于刚体旋转原理工作的重要仪器，广泛应用于导航、惯性测量等领域。
通过测量陀螺仪的角速度和角加速度，可以获得可靠的导航信息。
通过对角速度和角加速度的研究，我们可以更好地理解刚体旋转运动的规律，并应用于各个领域中。
-,-,-,-刚体的定轴转动转动定律转动惯量角动量角动量守恒定律动能定理(forC)
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
2019/10/24
shenyuhm44@
16
（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
2019/10/24
shenyuhm44@
32
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml2 3
盘, 可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动. 转轴与
圆盘之间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索,
绳的一端固定在圆盘上, 另一端系质量为 m 的物体.
试求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速
度.
m
Ro
m
T
m
oR m
T'
Py
解：1）分析受力 2）选取坐标
注意：转动和平 动的坐标取向要一致.
转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动
后其转速随时间变化关系为： m (1 et / )
式中 m 540 r s1， 2.0 s ．求： (1)t=6 s时电动机的转速．(2)起动后，电动 机在 t=6 s时间内转过的圈数．(3)角加速度 随时间变化的规律．
角速度有关的公式
角速度有关的公式角速度是描述旋转物体快慢的物理量，它指的是物体在单位时间内旋转的角度。
角速度是角度和时间的比值，通常用符号ω表示，单位是弧度/秒。
角速度的公式可以通过角度和时间的关系推导得到。
假设一个物体从初始角度θ1旋转到角度θ2，所用的时间为t，那么角速度ω可以表示为：ω = (θ2 - θ1) / t这个公式的意义是，物体旋转的角度差除以所用的时间，就得到了角速度。
角速度的正负表示旋转的方向，逆时针转为正，顺时针转为负。
角速度与线速度之间也存在一定的关系。
线速度是表示物体沿着圆周运动的速度，它可以通过角速度和半径的乘积来计算。
假设物体的半径为r，则线速度v可以表示为：v = ω * r这个公式的意义是，角速度乘以半径，就得到了线速度。
这是因为旋转的物体在单位时间内走过的弧长与半径成正比。
角速度在物理学中有着广泛的应用。
在刚体的旋转运动中，角速度是描述刚体旋转快慢的重要参数。
在机械工程中，角速度用于描述发动机的转速。
在天文学中，角速度用于描述天体的自转速度。
除了上述的基本概念和公式外，还有一些与角速度相关的概念和定理。
其中最重要的是牛顿第二定律在旋转运动中的应用。
根据牛顿第二定律，刚体的转动惯量乘以角加速度等于合外力矩。
与角速度的关系是，角速度的变化率等于角加速度。
因此，可以通过计算合外力矩和转动惯量的比值，来求解角速度的变化情况。
角速度还有一个重要的概念是角频率。
角频率是指单位时间内旋转的周期数，用符号ω表示，单位是弧度/秒。
角频率与角速度之间的关系是，角频率等于角速度除以2π。
也就是说，角速度等于角频率乘以2π。
角频率在描述周期性旋转运动中非常有用，例如振动系统中的谐振。
总结起来，角速度是描述旋转物体快慢的物理量，它可以通过角度和时间的关系来计算。
角速度与线速度之间存在一定的关系，可以通过半径和角速度的乘积来计算。
角速度在物理学中有着广泛的应用，特别是在刚体的旋转运动和机械工程中。
除了基本的公式外，还有一些与角速度相关的概念和定理，如牛顿第二定律和角频率。
角加速度
角加速度
制中，单位是“弧度/秒平方”，通常是用希腊字母α来表示。
α=dω/dt(此方程适用于绕固定轴的旋转,如果ω和α二者都被看作是矢量,它们也可以普遍使用)。
空间和时间的量。
SI单位:rad/s2(弧度每二次方秒)。
平均加角速度的概念
转动刚体从瞬时t开始的角速度变化Δω与相应时间间隔Δt的比值称为平均角加速度，即α=Δω / Δt。
瞬时加角加速度的概念
若Δt→0，则这一比值就称为在瞬时t刚体转动的角加速度，又称瞬时角加速度[1]，记为ε，即ε= lim εm)(Δt→0=Δω / Δt.
当作用於物体的力矩 是常数时，角加速度也会是常数．在这个等角加速度的特别状况里，此运动方程式会算出一个决定性的，单值的角加速度．
当作用於物体的力矩 不是常数时，物体的角加速度会随时间而变．这方程式成为一个微分方程式．这微分方程式是此物体的运动方程式；它可以完全的描述此物体的运动．。
刚体转动的角速度和角加速度
刚体转动的角速度和角加速度
角速度和角加速度是指一个刚体围绕自身轴线旋转时的角速度和角加速度，它们是力
学上一个重要的基本概念，可用来理解刚体运动和受力问题，引出它们的定义也是物理学
课程中学习运动学的重要知识。
角速度指的是刚体每秒绕自身轴线转动的圈数，用弧度每秒的单位来表示，一般符号
表示为ω，因为一般情况下，刚体一秒之内运动角度和角速度之间可以直接表达，所以角速度和角度之间也可以直接表达，常用弧度制表示，把它和角度分别写两个大写字母表示。
角加速度是指刚体在单位时间内绕自身轴线旋转改变角速度所受到的力，一般用角单
位/秒的平方表示，符号表示为α，它和角加速度也可以看做是线性加速度的旋转形式，
表示的是每平方秒所旋转的弧度。
角速度和角加速度的关系可以用微分方程表达，即ω=α· t，其中，t是持续时间。
另外，角速度和角加速度还可以用矩阵形式定义，即ω转矩为α分子· I·ω，其中，
I为轴心的惯性矩，其意义与梯度表示的动量类似。
最后，可以运用力学原理求解角速度和角加速度，同时可以用梯度乘以惯性向量，以
及线性动量求解角速度和角加速度，作为包装应用到更多力学中，使得研究刚体动力学变
得更加简单。
刚体的平动和转动
刚体的平动和转动刚体是物理学中的重要概念，它是指在力的作用下不会发生形变的物体。
刚体的运动可以分为平动和转动两种形式。
本文将就刚体的平动和转动进行详细阐述。
一、刚体的平动刚体的平动是指整个物体在空间中沿直线运动，其每一部分都以相同的速度和方向移动。
刚体的平动可以用质心的运动来描述。
质心是刚体在空间中的一个点，刚体的质量集中于此点。
在刚体平动的过程中，质心的位置发生变化。
根据牛顿第二定律，刚体所受的合外力等于质量乘以加速度。
因此，刚体平动的加速度与合外力成正比，与质量成反比。
刚体平动时，其质心的速度与作用在质心上的合外力成正比，与质体的质量成反比。
二、刚体的转动刚体的转动是指物体围绕固定轴线进行旋转。
刚体转动的基本量是角速度和角加速度。
角速度是刚体每单位时间转动的角度，通常用符号ω表示。
角加速度是角速度变化的速率，通常用符号α表示。
刚体的转动是由力矩产生的。
力矩是力对轴线的垂直距离乘以力的大小。
根据力矩定理，一个物体的转动平衡需要满足合外力矩为零的条件。
根据转动定律，刚体的转动惯量与其质量和形状有关。
转动惯量用符号I表示，它与质体质量的分布以及围绕的轴线位置有关。
转动惯量越大，刚体越难以改变其转动状态。
三、刚体的平动与转动的联系刚体的平动和转动是密切相关的。
根据转动定律，刚体的转动加速度与转动力矩成正比，与转动惯量成反比。
因此，当一个刚体在平动时，可以通过产生合适的力矩使其发生转动。
进一步地，根据动量定理，刚体的平动动量等于质量乘以质心的速度。
而角动量定理则表明刚体的转动动量等于转动惯量乘以角速度。
刚体的平动和转动动量都遵循守恒定律，在运动过程中保持不变。
在实际应用中，刚体的平动和转动经常同时发生。
比如，汽车在行驶的过程中既存在平动又存在轮胎的转动。
为了描述这种情况，物理学家提出了受力分析的方法，将平动和转动各自相关的力和力矩进行分析。
总结：刚体的平动和转动是物理学中重要的运动形式。
刚体的平动是指整个物体沿直线运动，由质心的运动来描述；刚体的转动是指物体围绕固定轴线进行旋转，由角速度和角加速度来描述。
刚体的平面运动动力学课后答案
其中： 是从速度瞬心 引向M点的矢径， 为平面图形的角速度矢量。
4、平面图形上各点的加速度
基点法公式：
（7－9）
其中： 。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要平面图形的角速度和角加速度不同时为零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的加速度瞬心，用 表示。
(b)
再根据对固定点的冲量矩定理：
系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的
动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为：
将其代入冲量矩定理有：
(c)
由（a,b,c）三式求解可得：
(滑块的真实方向与图示相反)
其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即：
将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：
科氏加速度 ，由上式可求得：
3-14：取圆盘中心 为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。
由速度合成定理有：
速度图如图A所示。由于动系平移，所以 ，
根据点的复合运动速度合成定理有：
其中： ，根据几何关系可求得：
AB杆作平面运动，其A点加速度为零，
B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知
由该式可求得
由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：
再取AB杆为动系，套筒C为动点，
根据复合运动加速度合成定理有：
3－25设板和圆盘中心O的加速度分别为
，圆盘的角加速度为 ，圆盘上与板
角加速度公式怎么计算
角加速度公式怎么计算
角加速度公式怎么计算
α=Δω/Δt
单位：弧度/秒²；
〔rad/s²；〕
平均角加速度
转动刚体从瞬时t开场的角速度变化Δω与相应时间间隔Δt的比值称为平均角加速度，即α=Δω/Δt。
瞬时角加速度
假设Δt→0，那么这一比值就称为在瞬时t刚体转动的角加速度，又称瞬时角加速度，记为ε，即ε=limεm〕〔Δt→0=Δω/Δt=dω/dt〕。
是角速度w对时间的微商dw/dt，不是微分dw。
w均匀变化时，角加速度等于角速度的攺变量除以发生攺変所用的时间。
拓展阅读：角加速度与角速度关系是什么
角加速度：描绘刚体角速度的大小和方向对时间变化率的物理量，在国际单位制中，单位是“弧度/秒平方”，通常是用希腊字母α来表示。
角速度：一个以弧度为单位的圆，在
单位时间内所走的弧度即为角速度。
公式为：ω=Ч/t〔Ч为所走过弧度，t为时间〕，ω的单位为：弧度/秒。
角速度与角加速度的关系为：角速度等于角加速度乘以时间。
角加速度意义
角加速度意味着什么呢？想象一个静止的旋转木马。
因为它没在旋转，它的角速度为零。
如今你启动，使它以每4秒1转，即0.25r/s的速度旋转。
于是旋转木马的角速度变为非零。
其后假设是保持此转速不变，那么它的角加速度便是零。
角加速度表征刚体角速度变化的快慢
旋转运动中的角加速度
在旋转运动中，角加速度是描述旋转运动状态变化的重要物 理量。在匀速旋转运动中，角速度的大小和方向保持不变； 而在变速旋转运动中，角速度的大小和方向会发生变化，此 时就需要用到角加速度来描述这种变化。
角加速度的大小和方向决定了旋转运动状态变化的快慢和方 向。在圆周运动中，角加速度的方向与圆周切线方向一致， 指向圆心；在旋转抛物面运动中，角加速度的方向与旋转轴 线一致，指向旋转轴线。
角加速度在日常生活中的应用
角加速度在日常生活中的应用非常广 泛，例如汽车转向、陀螺仪、洗衣机 等。
VS
在汽车转向过程中，驾驶员施加在方 向盘上的力矩会使车轮产生角加速度， 使汽车发生转向动作。陀螺仪则利用 角动量守恒原理，通过测量和计算角 速度和角加速度来指示方向和保持平 衡。洗衣机则利用角加速度使衣物产 生离心力，从而将衣物甩干。
角加速度的方向变化与外力矩的方向有关，当外力矩作用 在刚体的转动轴上时，角加速度方向不变；当外力矩作用 在刚体的非转动轴上时，角加速度方向会发生改变。
角加速度与线加速度的关联
在刚体的平面运动中，角加速度与线 加速度存在一定的关系。
当刚体做定轴转动时，线加速度为零 ；当刚体做平面运动时，线加速度等 于角加速度乘以半径。
04
角加速度的特性
角加速度的方向性
01
角加速度的方向始终与刚体的转 动轴线一致，表示刚体角速度变 化的方向。
02
当刚体做定轴转动时，角加速度 方向与转动轴线重合；当刚体做 平面运动时，角加速度方向垂直 于运动平面。
刚体的角速度和角加速度的矢量表示角速度矢教育课件
三、弧坐标表示法： 举例： 人造地球卫星的运动轨迹——椭园（左图） 火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹 ——摆线（右图）
z
y
x
01-5-12
24
概念
O点 —— 参考点、弧坐标原点。
v lim t 0 t
l i m v j
t 0
t
j s
lim v
t 0
s t
j
s
v lim
lim
t 0 s
t 0 t
(5 18)
v ds r dt
v2 r
c o （ s v , i）
vx v
c o （ s v , j）
vy v
( 5
8)
c o （ s v , k )
vz
v
2、运动加速度： 同理，将速度对时间求一次导数，即可求得加速度
的笛卡儿坐标表达式及其在笛卡儿坐标轴上的投影式：
加速度的笛卡儿坐标表达式
( 5 11 )
合加速度方向 合加速度的方向由其方向余弦确定
c o （ s a , i）
ax a
c o （ s a , j）
ay a
( 5
12)
c o （ s a , k )
az a
总结
笛卡儿坐标法是矢径法的代数运算。
动点的速度在笛卡儿坐标轴上的投影等于其对应坐 标对时间的一阶导数。
t0 t
d dv t d dt22 r
角加速度介绍
θ
P
x
过P作垂直于转轴的横截 作垂直于转轴的横截 转动平面）， ），转动平面 面（转动平面），转动平面 与转轴的交点为O。 与转轴的交点为 。 在转动平面内， 点作一极轴， 在转动平面内，过O点作一极轴，设极轴的正方 点作一极轴 向是水平向右。 向是水平向右。 连接OP，则OP与极轴之间的夹角为θ。 与极轴之间的夹角为θ 连接 ， 与极轴之间的夹角为 θ角称为角坐标（或角位置）。 角称为角坐标（或角位置） 角坐标
t 0
t 0
θ θ0
10
ω = ω 0 + βt 1） （ ）
1 2 ） θ θ 0 = ω 0t + βt （2） 2
）、（2） 由（1）、（ ）式消 t得： ）、（ 得
2 2 0
ω = ω + 2 β (θ θ 0 ) （3） ）
与匀变速直线运动计算公式有对应关系： 与匀变速直线运动计算公式有对应关系：
∴ v = rω
（2） ）
12
3.加速度与角加速度的关系 3.加速度与角加速度的关系 可以将作圆周运动的加速度沿圆周轨 道的切向和法向分解为两个分量。 道的切向和法向分解为两个分量。
o
a
r a n
a τ
r r r ∴ a = aτ τ + an n
2 dv v 切向加速度： a 切向加速度： τ = 法向加速度： 法向加速度：an = dt r
dθ θ = 角速度 ω = lim t → 0 t dt
角速度为角坐标对时间的一次导数。 角速度为角坐标对时间的一次导数。 方向：满足右手定则， 方向：满足右手定则，沿刚体 转动方向右旋大拇指指向。 转动方向右旋大拇指指向。 角速度是矢量， 角速度是矢量，但对于刚体定轴转 动角速度的方向只有两个， 动角速度的方向只有两个，在表示角 速度时只用角速度的正负数值就可表 示角速度的方向，不必用矢量表示。 示角速度的方向，不必用矢量表示。
第六讲 角速度合成定理
Z,
ωe
O
α
R
r Cm
E
解：用角速度合成定理
取OC杆作动系，在其上固连坐标系Cxeyeze ω = ωe +ωr = ωee3 +ωre2 = −ωectgαe2 +ωee3
ε
=
d dt
ω
=
d% dt
ω
+
ωe
×ω
= ωe × (ωe + ωr )
ω
= ωe × ωr
ωr
( ) = ωe2ctgα e1
则 ωCA = ωBA +ωCB
εCA = εBA + εCB + ωBA × ωCB
证明：取B作为动系
ω& CA = ω& BA + ω& CB
=
εBA
+
d% dt
ωCB
+
ωBA
× ωCB
B ωCB
C
ωCA
ωBA
A
= εBA + εCB + ωBA × ωCB
证毕
2
刚体角加速度的复合
取B 刚体为动系, 研究C 刚 体相对 A 刚体的角速度 ωCA = ωBA +ωCB
定轮 0 惰轮 1
动轮 2
在曲柄O0 O1 O2上看其它 刚体均作定轴转动。相
对运动简单！
例2 解：取曲柄为动系(3)
ωij — 第 i 个刚体相对与第 j 个刚体的角速度
根据角速度合成公式得： ω03 = −ω30
根据假设的方向： ω03 = ω30
由齿轮啮合的无滑动条件得：
r0ω03 = r1ω13 = r2ω23
角加速度介绍
t 0
θ θ0
10
ω = ω 0 + βt 1） （ ）
1 2 ） θ θ 0 = ω 0t + βt （2） 2
）、（2） 由（1）、（ ）式消 t得： ）、（ 得
2 2 0
ω = ω + 2 β (θ θ 0 ) （3） ）
与匀变速直线运动计算公式有对应关系： 与匀变速直线运动计算公式有对应关系：
ω t dω 由 β = 有： ω = βdt 两边积分 ∫ dω = ∫ βdt d ω0 0 dt ω ω 0 = βt ω = ω 0 + βt （1） ）
ω = ω0
dθ 由 ω = 有： θ = ωdt 两边积分 d dt
∫ dθ = ∫ ωdt = ∫ (ω 0 + βt )dt 1 2 ） θ θ 0 = ω 0t + βt （2） 2
p′ r
R
θ
v1 P
θxLeabharlann θ ω= t转/分，rev/min 分
6
刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。 刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。 单位：弧度 秒 单位：弧度/秒，rad/s,
2π 1rev/min = rad/s 60
平均角速度也只是刚体转动快慢的粗略描述。 平均角速度也只是刚体转动快慢的粗略描述。 2.角速度 . 用平均角速度代替变化的角速度； ①.用平均角速度代替变化的角速度； 用平均角速度代替变化的角速度
dθ ω= dt
t → 0
取极限； 取极限；
2 ω dω d θ β = lim = = 2 t → 0 t dt dt
角加速度为角速度对 的一次导数， 时间 t 的一次导数， 或为角坐标对时间 t 的二次导数。 的二次导数。
关于刚体转动的角速度和角加速度的讨论
关于刚体转动的角速度和角加速度的讨论
张明影
【期刊名称】《西安航空技术高等专科学校学报》
【年(卷),期】2002(020)001
【摘要】在理论力学教学中,平面运动刚体的转动与基点无关的证明过于简单,本文利用矢量代数的知识,证明平面运动刚体的角速度与角加速度与基点的选择无关.【总页数】2页(P49-50)
【作者】张明影
【作者单位】西航工学院基础部,陕西,西安,710021
【正文语种】中文
【中图分类】O31
【相关文献】
1.刚体角速度和角加速度与基点选择无关的证明 [J], 王希凡
2.刚体的角动量,角速度,力矩和角加速度的关系 [J], 陈跃敏
3.刚体平面运动的角动量和角速度 [J], 杨文平;李素琴
4.重刚体在和角速度成一次正比例阻尼力下定点转动的解 [J], 张惠业;张颐;张帆
5.转动刚体的动量矩和角速度的共线问题 [J], 王叙贵
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2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学 EXIT 3
刚体的平面运动/定轴转动
取该不动点为刚体连体基的基点
t t1 t t2
r t r0
刚体的位形 刚体的位形
qt1 r t1
qt 2 r t 2
T
t1 x0
T
T
r y
yb
ys
平动参考基 s e
连体基 b e
xb
qt rC t
T T • 刚体的平面一般运动 T
t
C
xC t yC t t
yC
s x
rC
O
• 连体基相对于参考基的姿态与它 相对于的平动参考基的姿态一致
xC
r x
EXIT 7
2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学
机械臂中两臂各做什么运动 刚体的平面运动/定轴转动
内臂
外臂 相对内臂 相对基座 定轴运动 定轴运动？ 定轴运动 定轴运动
平动
2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学 EXIT 8
参考基 r e
刚体的平面运动/平面一般运动
qt r t
常数
T
t1 x1
T
T 2
T
t
y1 0
T
x2
y2 0
T
刚体平动的特征
2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学 EXIT 2
刚体的平面运动/定轴转动
在运动过程中，刚体上某点始终保持不动，且绕过该点的垂直 运动平面的轴作转动 • 刚体的定轴转动
• 四连杆机构两摇臂等长
10.5+2t (rad)
刚体的平面运动/例
x2 l cos1 cos1 • l sin 摇臂 B y2 1 sin 1 1作定轴转动
摇臂与连杆位形坐标的时间历程
t 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 y1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
B2 B1
2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学 EXIT 5
刚体的平面运动/例
C1 e1
C2 e 2
– 建立公共参考基： • [解 ]
Oe
– 建立摇臂与连杆的连体 基 B1 ：摇臂 B2 ：连杆
2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学 EXIT 6
刚体平面运动学
小结
刚体运动大见小
位形如同连体系
一般运动可分解 定轴转动与平移
2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学 EXIT 13
t 2 x0
T
y0 1
y0 2 Biblioteka TT常矢径
常值阵
r t r0
刚体定轴转动的特征
2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学 EXIT 4
刚体的平面运动/例
[例] 图示一四连杆机构。两摇臂等长，均为1m。摇臂B1 相对公
共基的转角1的变化规律为 10.5+2t (rad) 分别写出在时间区间[0 1]s内摇臂与连杆B2的位形 （时间间隔为0.2s）
刚体的平面运动/平动
刚体运动的每个瞬时，其连体基或固结刚体上的任意 直线始终保持平行 • 刚体的平动
2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学 EXIT 1
t 刚体的平面运动 t1 刚体的位形 /平动 t t 2 刚体的位形
(t ) 0
qt1 r t1
2 2
1
0.5 0.9 1.3 1.7 2.1 2.5
x2 0.540 0.622 0.267 -0.129 -0.505 -0.801
y2
2
0.479 0.0 0.783 0.0 0.964 0.0 0.992 0.0 0.863 0.0 0.598 0.0
r1 (t ) 0 0
T
• 连杆B2作平动 2 (t ) 0
• 结论：在研究连体基相对于参考基的姿态时，可不 考虑基点的移动
2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学 EXIT 9
刚体的平面运动/平面一般运动
• 平面一般运动的分解
2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学 EXIT 10
刚体的平面运动/平面一般运动
• 平面一般运动的分解
2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学 EXIT 11
刚体的平面运动/平面一般运动
• 平面一般运动的分解
先转动后平动
2018年11月4日 理论力学CAI 刚体平面运动学
结论：在刚体平 面运动的定性 分析时可将刚 体的平面一般 运动分解为刚 体的平动与刚 体定轴转动
先平动后转动
EXIT 12