学年 1.2.1《任意角的三角函数》(第3课时)PPT课件
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几何画板演示 小结 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已
知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以
后研究三角函数很有用处．
练习 1 根据下列三角函数值，作角 α 的终边，然后求角的取 值集合： (1)cos α＝12；
解 (1)因为角 α 的余弦值为12，所以 OM＝12，则 在 x 轴上取点12，0，过该点作 x 轴的垂线，交 单位圆于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是所求角 α 的 终边，α 的取值集合为：{α|α＝2kπ±π3，k∈Z}．
3、当正弦线、余弦线、正切线的方向与 x轴或y轴的正方向相同时，对应的三角 函数值为正值；与x轴或y轴的正方向相反 时，对应的三角函数值为负值。
几何画板演示
思考1：设a为锐角，你能根据正弦线
和余弦线说明sin a ＋cos a >1吗？
y
P
O M x MP＋OM>OP=1
思考2：对于不等式 sin
练习 1 根据下列三角函数值，作角 α 的终边，然后求角的取
值集合：
(2)tan α＝－1.
y
3
1
4
-1
1
O
Ax
{α|α＝nπ＋34π，n∈Z}．
-1 T
4
练习 1 根据下列三角函数值，作角 α 的终边，然后求角的取 值集合：
(2)tan α＝－1.
三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具 ，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域及 比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作 图工具．
1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域．
2．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表 示一个角的正弦、余弦和正切．
3．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数 问
有向线段：带有方向的线段
例：如右图所示，角a 是第二象限角
有向线段OM表示以点O为 起点，点M为终点的线段，
a 的终边 y
即OM的方向与x轴的正方 向相反的线段，
P(x,y)
我们规定，方向与坐标轴的
正向相同的有向线段表示一
个正值，反之即为负值，
-1 M O
1x
故由|OM|=| x |可得 OM=x(<0)
tan
（其中a为锐角），你能用数形结合
思想证明吗？
yT P
O M Ax
思考 3：若 α 为任意角，根据单位圆中正弦线 和余弦线的变化规律探究 sin2α＋cos2α 与 1 的关系．
解 当 α 的终边落在 x 轴上时，sin α＝0，|cos α|＝1， sin2α＋cos2α＝1；
当 α 的终边落在 y 轴上时，|sin α|＝1，cos α＝0， sin2α＋cos2α＝1； 当 α 的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM. 在 Rt△OMP 中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1.
-1 M O
A(1,0)
1x
tana AT
T
三角函数线：用有向线段的数量来表示。
当角a 的终边不在坐标轴上时，我们把OM，MP都看
成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．
y
sina y MP MP (正弦线)
r OP
PT
cosa x OM OM (余弦线) O
r OP
tana y AT AT (正切线)
1.2.1任意角的三角函数
第三课时
本节课以有向线段来引出三角函数线，在一系列的思考中让 学生学习到三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，正 弦线、正切线的正向与y轴的正向相同，向上为正，向下为负；余 弦线的正向与x轴的正向一致，向右为正，向左为负；当角α的终 边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正 弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一 个点，正切线不存在.
x OA
MAx
作三角函数线的步骤:
(1) 作出角的终边，画单位圆;
(2) 设a的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则 有向线段MP是正弦线,有向线段OM是余弦线;
y
(3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A，
过点A作x轴的垂线与角a的终边
(或其反向延长线)交于点T，
则有向线段AT是正切线.
O
PT MAx
同理可得，MP=y(>0)
练习：如图所示，角a 是第四象限角，试判断下列四
个有向线段的值.
OM=
x
；
y
MO= -x
；
MP=
y
；
PM= -y
.
M
-1
O
1x
P(x,y)
a 的终边
来自百度文库
a 的终边 y P(x,y)
y a 的终边 P(x,y)
-1 M O y
1x
-1
|MP=|=y|=ysi|n=a|sina | |OM=|=x|=xco|=s|acosa |
O M 1x y
M
-1
O
P(x,y) a 的终边
1x
M
-1
O
1x
P(x,y) a 的终边
探究：借助单位圆，你能找到一条如OM、MP一样的线段
来表示tana 吗？
例如，若角a 表示第一象限角，
过点A(1，0)作单位圆的切线，
设它与a 的终边交于点T，
y
a 的终边
tana y MP
x OM
MP AT AT OM OA
tana AT
T P(x,y)
A(1,0)
-1
O
M 1x
探究：借助单位圆，你能找到一条如OM、MP一样的线段
来表示tana 吗？
又如，若角a 表示第二象限角，
仍过点A(1，0)作单位圆的切线，
设它与a 终边的反向延长线交于点T，
tana y MP
x OM
y
a 的终边
P(x,y)
MP AT AT OM OA
y a终边 PT
a终边
y
P
O
y
P
M
O
a终边 P
MAx
MO
正弦线
余弦线
y
T 正切线
Ax
O
Ax T
M Ax
PT a终边
注意：1、正弦线、余弦线、正切线解释了正弦 函数、余弦函数、正切函数的几何意义。
2、正弦线的起点在x轴上，正弦线与y轴平行； 余弦线的起点在原点，余弦线在x轴上； 正切线的起点在A（1，0）,正切线与y轴平行.
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
例 1 在单位圆中画出满足 sin α＝12的角 α 的终边，并求角 α 的取值集合．
解 已知角 α 的正弦值，可知 MP＝12，则 P 点纵坐标为12.所以在 y 轴上取点0，12.过 这点作 x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，则 OP1，OP2 是角 α 的终边， 因而角 α 的集合为{α|α＝2kπ＋π6或 α＝2kπ＋56π，k∈Z}．
知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以
后研究三角函数很有用处．
练习 1 根据下列三角函数值，作角 α 的终边，然后求角的取 值集合： (1)cos α＝12；
解 (1)因为角 α 的余弦值为12，所以 OM＝12，则 在 x 轴上取点12，0，过该点作 x 轴的垂线，交 单位圆于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是所求角 α 的 终边，α 的取值集合为：{α|α＝2kπ±π3，k∈Z}．
3、当正弦线、余弦线、正切线的方向与 x轴或y轴的正方向相同时，对应的三角 函数值为正值；与x轴或y轴的正方向相反 时，对应的三角函数值为负值。
几何画板演示
思考1：设a为锐角，你能根据正弦线
和余弦线说明sin a ＋cos a >1吗？
y
P
O M x MP＋OM>OP=1
思考2：对于不等式 sin
练习 1 根据下列三角函数值，作角 α 的终边，然后求角的取
值集合：
(2)tan α＝－1.
y
3
1
4
-1
1
O
Ax
{α|α＝nπ＋34π，n∈Z}．
-1 T
4
练习 1 根据下列三角函数值，作角 α 的终边，然后求角的取 值集合：
(2)tan α＝－1.
三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具 ，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域及 比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作 图工具．
1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域．
2．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表 示一个角的正弦、余弦和正切．
3．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数 问
有向线段：带有方向的线段
例：如右图所示，角a 是第二象限角
有向线段OM表示以点O为 起点，点M为终点的线段，
a 的终边 y
即OM的方向与x轴的正方 向相反的线段，
P(x,y)
我们规定，方向与坐标轴的
正向相同的有向线段表示一
个正值，反之即为负值，
-1 M O
1x
故由|OM|=| x |可得 OM=x(<0)
tan
（其中a为锐角），你能用数形结合
思想证明吗？
yT P
O M Ax
思考 3：若 α 为任意角，根据单位圆中正弦线 和余弦线的变化规律探究 sin2α＋cos2α 与 1 的关系．
解 当 α 的终边落在 x 轴上时，sin α＝0，|cos α|＝1， sin2α＋cos2α＝1；
当 α 的终边落在 y 轴上时，|sin α|＝1，cos α＝0， sin2α＋cos2α＝1； 当 α 的终边不落在坐标轴上时，sin α＝MP，cos α＝OM. 在 Rt△OMP 中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1. ∴sin2α＋cos2α＝1.
-1 M O
A(1,0)
1x
tana AT
T
三角函数线：用有向线段的数量来表示。
当角a 的终边不在坐标轴上时，我们把OM，MP都看
成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．
y
sina y MP MP (正弦线)
r OP
PT
cosa x OM OM (余弦线) O
r OP
tana y AT AT (正切线)
1.2.1任意角的三角函数
第三课时
本节课以有向线段来引出三角函数线，在一系列的思考中让 学生学习到三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，正 弦线、正切线的正向与y轴的正向相同，向上为正，向下为负；余 弦线的正向与x轴的正向一致，向右为正，向左为负；当角α的终 边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正 弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一 个点，正切线不存在.
x OA
MAx
作三角函数线的步骤:
(1) 作出角的终边，画单位圆;
(2) 设a的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则 有向线段MP是正弦线,有向线段OM是余弦线;
y
(3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A，
过点A作x轴的垂线与角a的终边
(或其反向延长线)交于点T，
则有向线段AT是正切线.
O
PT MAx
同理可得，MP=y(>0)
练习：如图所示，角a 是第四象限角，试判断下列四
个有向线段的值.
OM=
x
；
y
MO= -x
；
MP=
y
；
PM= -y
.
M
-1
O
1x
P(x,y)
a 的终边
来自百度文库
a 的终边 y P(x,y)
y a 的终边 P(x,y)
-1 M O y
1x
-1
|MP=|=y|=ysi|n=a|sina | |OM=|=x|=xco|=s|acosa |
O M 1x y
M
-1
O
P(x,y) a 的终边
1x
M
-1
O
1x
P(x,y) a 的终边
探究：借助单位圆，你能找到一条如OM、MP一样的线段
来表示tana 吗？
例如，若角a 表示第一象限角，
过点A(1，0)作单位圆的切线，
设它与a 的终边交于点T，
y
a 的终边
tana y MP
x OM
MP AT AT OM OA
tana AT
T P(x,y)
A(1,0)
-1
O
M 1x
探究：借助单位圆，你能找到一条如OM、MP一样的线段
来表示tana 吗？
又如，若角a 表示第二象限角，
仍过点A(1，0)作单位圆的切线，
设它与a 终边的反向延长线交于点T，
tana y MP
x OM
y
a 的终边
P(x,y)
MP AT AT OM OA
y a终边 PT
a终边
y
P
O
y
P
M
O
a终边 P
MAx
MO
正弦线
余弦线
y
T 正切线
Ax
O
Ax T
M Ax
PT a终边
注意：1、正弦线、余弦线、正切线解释了正弦 函数、余弦函数、正切函数的几何意义。
2、正弦线的起点在x轴上，正弦线与y轴平行； 余弦线的起点在原点，余弦线在x轴上； 正切线的起点在A（1，0）,正切线与y轴平行.
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
例 1 在单位圆中画出满足 sin α＝12的角 α 的终边，并求角 α 的取值集合．
解 已知角 α 的正弦值，可知 MP＝12，则 P 点纵坐标为12.所以在 y 轴上取点0，12.过 这点作 x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，则 OP1，OP2 是角 α 的终边， 因而角 α 的集合为{α|α＝2kπ＋π6或 α＝2kπ＋56π，k∈Z}．