人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点

第二十一章 一元二次方程

21.1一元二次方程

1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。形如：()2

00ax bx c a ++=≠ 例1．关于x 的方程(m －4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.

【答案】≠4，=4

【解析】

试题分析：根据一元二次方程、一元一次方程的定义即可求得结果.

由题意得当m≠4时，是一元二次方程，当m=4时，是一元一次方程.

考点：一元二次方程，一元一次方程

点评：熟练掌握各种方程的基本特征是学好数学的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.

例2．关于x 的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.

【答案】m ≠-1且m ≠2

【解析】

试题分析：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），由a≠0即可得到m2-m-2≠0，从而得到结果。 由题意得m2-m-2≠0，解得m ≠-1且m ≠2.

考点：本题考查的是一元二次方程成立的条件

点评：解答本题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），尤其注意a≠0.

2、a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项

3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 例1．一元二次方程3x2-6x+1=0中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是 （ ）

A ．3，-6，1

B ．3，6，1

C ．3x2,6x ，1

D ．3x2,-6x ，1

【答案】A

【解析】

试题解析：3x2-6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1．

故选A ．

考点：一元二次方程的一般形式．

例2．若关于x 的方程0142=--x ax 是一元二次方程，则a 满足的条件是（ ）

A ．a ＞0

B ．0≠a

C ．0

D ．4≠a

【答案】B

【解析】

试题分析：本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a b c 都是常数，且a ≠0）．根据一元二次方程的定义得出a ≠0即可．

考点：一元二次方程的定义．

例3．请你写出一个有一根为1的一元二次方程____________________．

【答案】（x+1）（x －1）=0（不唯一）

【解析】

试题分析：本题利用因式分解法，保证其中有一个解为x=1就可以．

考点：一元二次方程的解．

例4．关于x 的方程053)2(2=-+-x x m 是一元二次方程，则m 的取值范围是 ．

【答案】m ≠2．

【解析】

试题解析：由一元二次方程的定义可得m-2≠0，解得m ≠2．

考点：一元二次方程的定义．

例5．关于x 的方程221(1)50a a a x x --++-=是一元二次方程，则a=_________．

【答案】3．【解析】

试题分析：221

(1)a a

a x--

+是方程二次项，即

2212

10

a a

a

⎧--=

⎨

+≠

⎩

，解得：a=3．故答案为：3．

考点：一元二次方程的定义．

21.2解一元二次方程

21.2.1 配方法

配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。

例1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）

A．（x﹣6）2=﹣4+36

B．（x﹣6）2=4+36

C．（x﹣3）2=﹣4+9

D．（x﹣3）2=4+9

【答案】D

【解析】

试题分析：本题考查了利用配方法解一元二次方程，一般步骤：

第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

第二步：方程两边同时除以二次项系数；

第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x±m）2=n的形式；第四步：用直接开平方解变形后的方程．

解：x2﹣6x﹣4=0，

移项，得x2﹣6x=4，

配方，得（x﹣3）2=4+9．

故选：D．

考点：解一元二次方程-配方法．

例2．若把代数式223x x --化为2()x m k -+的形式，其中m k ，为常数，则m k += ．

【答案】-3

【解析】配方得223x x --=4)1(2--x ，所以m=1，k=-4，则m k +=-3.

例3．用配方法解方程：01422=--x x

【答案】11x =+ 21x = 【解析】 2122x x -=

23(1)2x -=

∴ 11x =+ 21x =- 例4．用配方法解方程0562=+-x x

【答案】2694x x -+=

2

(3)4x -=

32x -=± 15x =，21x =

【解析】利用配方法求解

21.2.2 公式法

1. 24b ac ∆=-

（1）120,x x ∆>==（2）120,2b x x a

∆===- （3）0∆<，方程无实数根

求根公式：x = 例1．一元二次方程2x 2+3x+1=0的根的情况是（ ）

A ．有两个不相等的实数根

B ．有两个相等的实数根