人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点
人教版初中数学一元二次方程知识点总结(含答案)
元二次方程一、本章知识结构框图2a二、具体内容（一）、一元二次方程的概念1.理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2,整式方程，可化为一般形式：2.正确识别一元二次方程中的芥项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数a^O时，整式方程ax2+bx + c = O才是一元二次方程。
（2）各项的确定（包括各项的系数及各项的未知数）.（3）熟练整理方程的过程3.一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4.列出实际问题的一元二次方程（二）、一元二次方程的解法1.明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2.根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程：3.体会不同解法的相互的联系：4.值得注意的几个问题：$（1）开平方法：对于形如x2 = n或（0¥ + /，）2=〃（。
0）的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解-形如/ = 〃的方程的解法: 当〃>0时，X = ±yfn ；当n = 0 时，Xj = %, = 0 ；当«<0时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为（x + 〃i）2=,?的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1：③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为（X + 〃?）2=〃的形式：④求解：若77 >0时，方程的解为x = —土丁？，若〃<0时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程ax2+bx + c = 0（a^0）的根工=一”±?'；耻：2a当b2-4ac>。
人教版21章一元二次方程知识点总结
21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式,含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.注意：〔1〕一元二次方程必须是一个整式方程；〔2〕只含有一个未知数；〔3〕未知数的最高次数是2 ; 〔4〕二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0〔a 0〕,它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式,等式右边是零,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数；bx 叫做一次项,b叫做一次项系数；c叫做常数项.注意：〔1〕二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号.〔2〕要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式.〔3〕形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程,当且仅当 a 0时是一元二次方程.二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解, 如：当x 2 . 2 2时,x 3x 2 0所以x 2是x 3x 2 0万程的解.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 一元二次方程有两个根〔相等或不等〕三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据：平方根的定义.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.根据平方根的定义可知,x a是b的平方根,当b 0日寸,x a Vb , x a屈,当b<0时,方程没有实数根.三种类型：(1) x2a a 0的解是x ja ;(2) x m 2n n 0的解是x 品 m ;(3) mx n 2c m 0,且 c 0 的解是x ————n. m2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式a2 2ab b2 (a b)2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,那么有x2 2bx b2 (x b)2.(一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2)在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方,再减去这个数；(3)把原方程变为x m2 n的形式.(4)假设n 0,用直接开平方法求出x的值,假设n<0,原方程无解.(二)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为ax2 bx c 0a 0,a 1时,用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2) 先把常数项移到等号右边,再把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数；(3)在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为x m2 n的形式；(4)假设n 0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程.3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法.一i兀二次方程ax2 bx c 0〔a 0〕的求根公式： 2b b 4ac 2x ------------------------ 〔b 4ac 0〕2a用求根公式法解一元二次方程的步骤是：〔1〕把方程化为ax2 bx c 0 a 0的形式,确定的值a,b.c 〔注意符号〕；〔2〕求出b2 4ac的值；并判断方程根的情况；〔3 〕假设b2 4ac 0 ,那么把a,b,及b2 4ac的值代人求根公式b ' 4ac,求出x i,x2. 2a2x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即假设pq=0时,那么p=0或q=0.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：〔1〕将方程的右边化为0 〔即化为一般式〕；〔2〕将方程左边分解成两个一次因式的乘积.〔3〕令每个因式分别为0,得两个一元一次方程.〔4〕解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.关键点：〔1〕要将方程右边化为0 〔即化为一般式〕；〔2〕熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有：提公式法,公式法〔平方差公式,完全平方公式〕、十字相乘法.注意：一元二次方程解法的选择,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法, 不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊要求,一般不采用配方法,由于配方法解题比较麻烦.三、一元二次方程根的判别式一i兀二次方程ax2 bx c 0〔 a 0〕中,b2 4ac叫做一i元二次方程ax2 bx c 0〔a 0〕的根的判别式,通常用“ 〞来表示,即b2 4acI 当4>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当4=0时,一元二次方程有2个相同的实数根；III 当△ <0时,一元二次方程没有实数根利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b2 4ac的值；④根据b2 4ac的符号判定方程根的情况.根的判别式的逆用在方程ax2 bx c 0a 0中,(1)方程有两个不相等的实数根b2 4ac>0(2)方程有两个相等的实数根b2 4ac=0(3)方程没有实数根b2 4ac < 0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围, 但不能忽略二次项系数不为0这一条件.四、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是x1, x2 ,那么x i x2 b , x/2 -.a a也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程, 两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.五、一元二次方程的应用知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)审题,(2)设未知数,(3)列方程,(4)解方程,(5)检验,(6)作答.关键点：找出题中的等量关系.(1) “审〞指读懂题目、审清题意,明确和未知,以及它们之间的数量关系.这一步是解决问题的根底；(2) “设〞是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的, 但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3) “列〞是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个相等关系列出含有未知数的等式, 即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4) “解〞就是求出所列方程的解；(5)检验应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100满等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验.(6)作答知识点二用一元二次方程解与增长率(或降低率)有关的问题增长率问题的有关公式：增长数(增长了多少)=基数X增长率实际数(增长后的值)=基数+增长数增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：1, 假设基数为a,增长率X为,那么一次增长后的值为a 1 x , 两次增长后的值为al x2;2, 假设基数为a,降低率x为,那么一次降低后的值为al x , 两次降低后的值为al x2.两次增长后的总和等于基数+第一次降低后的值+第二次降低后的值知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等.与利润相关的常用关系式有：(1)每件利润=销售价-本钱价；(2)利润率=(销售价一进货价)+进货价X 100%(3)销售额=售价X销售量知识点四数与数字的关系两位数=(十位数字)X10+个位数字三位数二(百位数字)X100+ (十位数字)X 10+个位数字连续的整数：设其中一数为x,另一数为x+1; (x-1 , x, x+1).连续的奇数：设其中一数为x,另一数为x+2; (x-2, x, x+2).连续的偶数：设其中一数为x,另一数为x+2; (x-2, x, x+2). 和一定的两数(和为a):设其中一数为x,另一数为a-x 差一定的两数(差为a):设其中一数为x,另一数为x+a 积一定的两数(积为a):设其中一数为x,另一数为a/x 商一定的两数(商为a):设其中一数为x,另一数为ax (x/a)知识点五传染问题：传染源：1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1: (1+x)】患者：第一轮后：共(1+x)个第二轮后：共1+ x + (1+x) x = (1+x) ? (1+x),即(1+x) 2个第三轮后：共(1+x) 2+ (1+x) 2? x = (1+x) 2? (1+x),即(1+x) 3个第n轮后：共(1+x) “个［注意：上面例举的是传染源为“ 1〞的情况得到的结论.假设传染源为a,那么第n轮后患者共为：a (1+X) n个］知识点六翻一番即表示为原量的2倍,翻两番即表示为原量的4倍.知识点七银行利率应用题〔含利滚利问题〕年利息=本金X 年利率〔年利率为 a%知识点八 几何类题：①等积变形,②动态几何问题,③梯子问题,④航海问题,⑤几何与图表信息,⑥探索存在问题,⑦平分几何图形 的周长与面积积问题,⑧利用图形探索规律最常见的如：求直角三角形的边.面积S 一定,两直角边和〔和为a 〕 一定：设其中一边为x,另一边为 a-x ,贝U l x 〔a-x 〕 =S 2面积S 一定,两直角边差〔差为a 〕 一定：设其中一边为x,另一边为 x+a 或〔X-a 〕贝U l x 〔x+a 〕 =$或1乂〔x-a 〕 =S 2 2 斜边c 一定,两直角边和〔和为a 〕 一定：设其中一边为x,另一边为 a-x ,那么 x 2+ 〔a-x 〕 2=c 2④斜边c 一定,两直角边差〔差为a 〕 一定：设其中一边为x,另一 边为 x+a 或 x-a 贝1J x 2+ 〔x+a 〕 2=c 2或 x 2+ 〔x-a 〕 2=c 2知识点九 赛制循环问题：【单循环比双循环少了一半】单循环：设参加的球队为x,那么全部比赛共1 [x 〔x-1 〕]场；双循环：设参加的球队为x,那么全部比赛共x 〔x-1 〕场；注：双循环公式X 〔X-1〕,单循环公式1X 〔X-1〕,其实也就可以理 2 解为单循环循环赛就是和每个对手比赛 1次〔对手数量=参赛队数量 -1〕,而每场比赛有2队参加,就得除以2.双循环比赛场次是单循存一年的本息和: 存两年的本息和: 存三年的本息和: 存n 年的本息和: 本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕,即本金x ( 1+ a%) ,即本金x ( 1+a% ,即本金x ( 1+a% ,即本金x ( 1+a%环的2倍.类似于此题其它题型如：相互握手；铁路沿线有n个站点要设计多少种车票；一条线段上有n个点(含两个端点),①该线段上共有n (n-1)条有向线段,②该线段上共有：n (n-1)条线段、二次根式的相关概念1 .平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫a的平方根,其中正的平方根而叫做a的算术平方根.2 .二次根式：形如a>0的式子叫做二次根式；3 .同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式称为同类二次根式.4 .最简二次根式：满足两个条件：①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.特别提示：二次根式,后有意义的条件是a>0 .二、二次根式的性质1. (1)三个非负性：①y>0(a>0);②册 2 a> 0(a> 0); 4a |a >0(a为任意实数).2.四个性质:_ 2① 4a a > 0(a > 0); =a (a>0)或-a(a <0)③ 7ab Va 而(a>0,b>0);④三、二次根式的运算:1 )二次根式的加减运算只需对同类二次根式进行合并;(2)二次根式的乘除法G x/b Vab(a > 0,b > 0) ^a^(a > 0,b>0)b特别提示：二次根式运算的结果应化为最简二次根式.。
人教版九年级上册第二十一章一元二次方程第1讲_一元二次方程 讲义(无答案)
初中九年级数学上册第1讲：一元二次方程一：思维导图 二：知识点讲解知识点一：一元二次方程的定义及一般形式➢ 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程➢ 一元二次方程的一般形式是()002≠=++a c bx ax ，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系统；c 是常数项 ➢ 构成一元二次方程的三个条件：✧ 是整式方程✧ 只含有一个未知数 ✧ 未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程➢ “0≠a ”是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的重要组成部分。
当0=a ，0≠b 时，它就成为一元一次方程。
若方程02=++c bx ax 未指明0≠a ，则它不一定是一元二次方程例1：下面关于x 的方程：①022=++x ax ；②()()119322=+--x x ；③xx x 1=+；④02=-a x (a 为任意实数)；⑤11-=+x x 。
其中，为一元二次方程的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个知识点二：一元二次方程的根➢ 概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
➢ 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根例2：若31-是方程022=+-c x x 的一个根，则c 的值为（ ）A.2-B.234-C.33- D. 31+知识点三：根据实际问题列出一元二次方程➢ 步骤1．正确理解题目的含义2．找出其中的数量关系和等量关系 3．列出一元二次方程例3：将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的地面长比宽多2米。
求该矩形铁皮的长和宽各是多少米。
第二十一章21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
在ax2+bx+c=0(a≠0)中,当b2-4ac≥0时,由求根公式可得x1= b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
,x2= 2a
,
所以x1+x2=b
b2
2a
4ac
&(b2 4ac) 4a 2
=
c a
=-
b a
,x1·x2=
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
4.(2016山东德州中考)方程2x2-3x-1=0的两根为x1,x2,则 x12 + x22 =
.
13
答案 4
解析 由根与系数的关系可得x1+x2=- ba = 32 ,x1·x2= ac =- 12 ,∴ x12 + x22 =(x1+x2)2-
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
5.(2018上海静安期末)已知关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数
根分别是x1、x2,当|x1|+|x2|=7时,k的值是
.
答案 -2
解析 由题意得Δ=(3-2k)2-4×1×(k2+1)≥0,9-12k+4k2-4k2-4≥0,∴k≤ 5 ,
12
∵x1·x2=k2+1>0,∴x1、x2同号.分两种情况:①当x1、x2同为正数时,x1+x2=7,
把x1+x2、x1·x2的值整体代入,即可求出所求代数式的值.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
栏目索引
例3 (2018湖北仙桃中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点(含答案解析)
一、选择题1．方程()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，则m 的值为（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．4B 解析：B【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，根据定义解答．【详解】∵()224(2)0m x x m y -+--=是关于x ，y 的二元一次方程，∴240,20m m -=-≠，∴m=-2，故选：B ．【点睛】此题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（ ）．A ．()40012900x +=B ．()40021900x ⨯+=C ．()24001900x +=D ．()()240040014001900x x ++++=C 解析：C【分析】设月平均增长率为x ，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长率为x ，根据题意得：400（1+x ）2=900．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．3．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ）A ．（x+2）2＝3B ．（x+2）2＝11C ．（x ﹣2）2＝3D ．（x ﹣2）2＝11D 解析：D【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．【详解】解：x 2﹣4x ﹣7＝0，移项得：247x x -=配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -=故答案为：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．4．关于x 的一元二次方程()2230x a a x a +-+=的两个实数根互为倒数，则a 的值为（ ）A ．-3B ．0C ．1D ．-3或0C 解析：C【分析】根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-3a ）x+a=0的两个实数根互为倒数，∴x 1•x 2=a=1．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a≠0，b 2-4ac≥0）的两根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 5．方程22x x =的解是（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =，22x = D ．10x =，2x = 解析：C【分析】移项并因式分解，得到两个关于x 的一元一次方程，即可求解．【详解】解：移项，得220x x -=，因式分解，得()20x x -=，∴0x =或20x -=，解得10x =，22x =，故选：C ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．6．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2B 解析：B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，得： a 2+a-6=0，解得：a 1=﹣3，a 2=2，∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，∴a=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．7．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ）A ．p ＜qB ．p ＝qC ．p ＞qD ．与c 的取值有关A 解析：A【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．【详解】解：∵m 是方程220x x c --=的一个根，∴220m m c --=∵2(1)p m =-，2q c =+，∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-，∴p ＜q故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．8．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=D解析：D【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：2000（1+x ）2=2880．故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．9．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．210x x +=B ．ax 2+bx +c ＝0C ．(x ﹣1)(x ﹣2)＝0D ．3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2C 解析：C【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、是分式方程．错误；B 、当a ＝0时不是一元二次方程，错误；C 、是，一元二次方程，正确；D 、3x 2+2＝x 2+2(x ﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误；故选：C ．【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．10．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ）A ．x ＝5B ．x ＝1C ．x 1＝5，x 2＝﹣5D ．x 1＝1，x 2＝5D解析：D【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∵（x ﹣3）2﹣4＝0，∴（x ﹣3）2＝4，则x ﹣3＝2或x ﹣3＝﹣2，解得x 1＝5，x 2＝1，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.二、填空题11．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解解析：1+x+x 2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．【详解】解：依题意得支干的数量为x 个，小分支的数量为x•x=x 2个，那么根据题意可列出方程为：1+x+x 2=91，故答案为：1+x+x 2=91．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．12．一元二次方程 x ( x +3)＝0的根是__________________．【分析】用因式分解法解方程即可【详解】解：x(x+3)＝0x ＝0或x+3＝0；故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法掌握两个数的积为0这两个数至少有一个为0是解题关键解析：12x 0x -3==，【分析】用因式分解法解方程即可．【详解】解：x ( x +3)＝0，x ＝0或 x +3＝0，12x 0x -3==，；故答案为：12x 0x -3==，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握两个数的积为0，这两个数至少有一个为0是解题关键．13．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析：1k -＞且0k ≠．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>，解得1k >-．又∵该方程为一元二次方程，0k ∴≠，1k ∴>-且0k ≠．故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．14．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数解析：()2312x +=【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】∵2630x x +-=∴263x x +=∴26939x x+++=∴()2312x+= 故答案为：()2312x+=【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．16．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．17．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝解析：2016．【分析】将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，即a +b ＝2016．故答案是2016．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 18．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】解析：2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a-是解题的关键． 19．用因式分解法解关于x 的方程 260x px --=，将左边分解因式后有一个因式为3x -，则的p 值为_______1【分析】方法一：根据题意因式分解得到再展开去括号根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将代入方程可得一个关于p 的一元一次方程解方程即可得【详解】方法一：由题意得解得则；方法二：由题意得是关于x 的方程的解析：1【分析】方法一：根据题意因式分解得到26(3)()x px x x a --=-+，再展开去括号，根据恒等式即可求出p 的值；方法二：将3x =代入方程可得一个关于p 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】方法一：由题意得，226(3)()(3)3x px x x a x a x a --=-+=+--， 3p a ∴-=-，36a -=-，解得2a =，则1p =；方法二：由题意得，3x =是关于x 的方程260x px --=的一个解，则将3x =代入得：23360p --=，解得1p =，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式因式分解的方法、利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握多项式的运算法则和方程的解法是解题关键．20．将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则b ＝_____．21【分析】先把常数项移到等号的右边再等号两边同时加上16即可【详解】解：∵x2﹣8x ＝5∴x2﹣8x+16＝5+16即（x ﹣4）2＝21故答案为：21【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方掌握完全解析：21【分析】先把常数项移到等号的右边，再等号两边同时加上16，即可．【详解】解：∵x 2﹣8x ＝5，∴x 2﹣8x +16＝5+16，即（x ﹣4）2＝21，故答案为：21．【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．三、解答题21．用配方法解方程：22510x x -+=解析：154x =+，254x = 【分析】依据配方法的基本步骤解方程即可．【详解】解：22510x x -+=，系数化为1得：251022x x -+=，配方得：2255251()024162x x -+--+=， 即：2517()416x -=，两边同时开平方得：54x -=，即154x =254x =-． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．配方法的关键步骤在于配完全平方公式，此步需熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系．22．已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0．（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．解析：（1）证明见解析；（2）k 的值为2或1或3．【分析】（1）先计算出△＝4（k ﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，然后分类讨论：当AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k 2+4k +12）＝4（k ﹣2）2≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0，（x +k ﹣6）（x ﹣k ﹣2）＝0，解得：x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，当AB ＝AC 时，﹣k +6＝k +2，则k ＝2；当AB ＝BC 时，﹣k +6＝5，则k ＝1；当AC ＝BC 时，则k +2＝5，解得k ＝3，综合上述，k 的值为2或1或3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．23．解方程：2410y y --=．解析：12y =22y =【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可得到答案．【详解】解：2410y y --= 24=1y y -24+4=5y y -2(2)=5y -2=y -±解得，12y =22y =【点睛】此题主要考查了解一元二次方程---配方法，熟练掌握各种解法是解答此题的关键． 24．解下列方程：（1）2410x x --=；（2）(4)123x x x -=-．解析：（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.【详解】（1）2410x x --=2445x x +=-2(2)5x -=则2x -=解得12x =22x =（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，(4)(3)0x x -+=，则40x -=或30x +=，解得x 4=或x 3=-.【点睛】此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.25．如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD ，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，求AB 和BC 的长．解析：AB=8米，BC=12米．【分析】设AB 为x 米，然后表示出BC 的长为（36-3x ）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【详解】解：设AB 为x 米，则BC 为（36-3x ）米，x （36-3x ）=96，解得：x 1=4，x 2=8，当x=4时，36-3x=24＞22（不合题意，舍去），当x=8时，36-3x=12．答：AB=8米，BC=12米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．26．解下列方程：（1）2810x x --=；（2）2(2)6(2)80x x ---+=．参考答案解析：（1）1417x =，2417x =；（2）16x =，24x =．【分析】（1）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可；（2）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可．【详解】解：（1）2810x x --=281x x -=281617x x -+=()2417x -=417x -=±1417x =，2417x =（2）2(2)6(2)80x x ---+=[]2(2)31x --=51x =±，16x =，24x =．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，正确的对原方程配方成为解答本题的关键． 27．某地为刺激旅客来旅游及消费，讨论5月至9月推出全城推广活动．杭州某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？解析：30名【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用54000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x 名员工去旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x-25）]元，列出方程求解．【详解】解：设该单位这次共有x 名员工去旅游．因为2000×25=50000＜54000，所以员工人数一定超过25人．根据题意列方程得：[2000-40（x-25）]x=54000．解得x 1=45，x 2=30．当x 1=45时，2000-40（x-25）=1200＜1700，故舍去；当x 2=30时，2000-40（x-25）=1800＞1700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的应用，一元二次方程的解法的运用，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人数的范围；2、用人均旅游费用不低于1700元来判断，得到满足题意的x 的值． 28．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值． 解：∵0x >，∴112212x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值； （2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．解析：（1）6；（2）4；（3）25．【分析】（1）将原式变形为99x x x x+≥⋅ （2）结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】 解：（1）∵0x >，∴99x x x x+≥⋅又∵296=，∴96x x+≥ ∴9x x +的最小值为6；（2）∵1x >∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥- ∴2251x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AODS S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x=△， ∴四边形ABCD 面积364913x x =+++≥， ∵13=25，当且仅当x=6时，取等号， ∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。
初中数学知识点大全—人教版九上
（二）二次函数的图像和性质 1. 二次函数 y ax 2 (a 0) 的图像和性质
x h, y 最大值 0
x h 时，y 随着 x
的增大而减小
y a ( x h) 2 k a 0
向上
xh
( h, k )
当 x h 时， y 随着 x 的增大而增大，当
x h, y 最大值 k
x h 时，y 随着 x
的增大而减小
a0
向下
xh
( h, k )
p n m
（1）定义：把一元二次方程通过配方转化为 ( x m) 2 n(n 0) 的形式，再利用 直接开平方法解一元二次方程的形式. （2）配方法的一般步骤： （一移，二除，三配，四开） 一移：把常数项移到等号的右边 二除：方程两边同时除以二次项系数 三配： 方程两边同时加上一次项系数一般的平方，等号左边配成完全平方的形式 四开：若等号右边为非负数，则直接利用开平方法求解. 3. 公式法 （1）根的判别式：式子 b 2 4ac 叫做方程 ax 2 bx c 0(a 0) 根的判别式，通 常用希腊字母 来表示，即 b 2 4ac （2）一元二次方程根的个数的判别情况：
当 0，方程有两个不相等的 实数根 当 0，方程有两个相等的实 数根 当 0，方程无实根 当 0，方程有实根
（3）定 义 ： 当 0 时 ， 方 程 ax 2 bx c 0(a 0) 的 实 数 根 可 以 写 成
九年级上册数学第21章《一元二次方程》知识点梳理完整版
【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；九年级数学上册第21 章《一元二次方程》知识点梳理2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：1 2 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为 2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为 0．要点二、一元二次方程的解法1. 基本思想一元二次方程 −降−次−→ 一元一次方程 2. 基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. 一元二次方程根的判别式一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中， b 2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式， 通常用“ ∆ ”来表示，即∆ = b 2 - 4ac（1） 当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2） 当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3） 当△<0 时，一元二次方程没有实数根.2. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.要点诠释：1. 一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1) 不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0 的一个根是0，则a 的值为（）A．1 B．﹣1 C．1 或﹣1D．【思路点拨】根据方程的解的定义，把 x=0 代入方程，即可得到关于 a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B；【解析】解：根据题意得：a2﹣1=0 且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选 B．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【变式】关于 x 的方程(a2−2a −8) x2+ (a + 2) x −1 = 0 ,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2- =0； (2) (x+a)2= ；(3) 2x2-4x-1=0；(4) (1- )x2=(1+ )x．【答案与解析】(1)原方程可化为 0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1= ，x2=- ．(2)原方程可化为 x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2= a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1= a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1= ，x2= .(4)将方程整理，得(1- )x2-(1+ )x=0用因式分解法，得x[(1- )x-(1+ )]=0∴x1=0，x2=-3-2 ．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴(3x-2)(3x-2-1)＝0．∴3x-2＝0 或 3x-3＝0，∴x=2，x= 1．1 3 2(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴(t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴(t-1)(2t-1)＝0，∴t-1＝0 或2t-1＝0．∴t= 1，t=1 ．1 2 2类型三、一元二次方程根的判别式的应用1 23．（2015•荆门）若关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，则 a 的取值范围是（） A ．a≥1B ． a ＞1C ． a≤1D ． a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∴a≥1．故选 A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出 a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2- 2x + t + 2 = 0 的两个不相等的实数根， （1）求 t 的取值范围； （2）设 s = x 2+ x 2 ，求 s 关于 t 的函数关系式．【答案与解析】(1) 因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即 t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知： x 1 + x 2 = 2 ， x 1x 2 = t + 2 ， 从而 s = x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x = 22 - 2(t + 2) = -2t ，即 s = -2t (t < -1) ．1 2 1 2 1 2【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于 x 的一元二次方程 x 2 = 2(1- m )x - m 2 的两实数根为 x ， x ．1 2（1） 求 m 的取值范围；（2） 设 y = x 1 + x 2 ，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为 x 2 + 2(m -1)x + m 2 = 0 ．∵ 原方程有两个实数根．∴ △= [2(m -1)]2 - 4m 2 = -8m + 4 ≥ 0 ，∴ m ≤ 1． 2（2） y = x + x = -2m + 2 ，且 m ≤ 1 ． 1 2 2因为 y 随 m 的增大而减小，故当m 1时，取得最小值 1．2类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为 10cm，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为 xcm，由题意得 4x2＝10×8×(1-80%)．解得 x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2 符合题意，x2＝-2 不符合题意舍去．∴x＝2．答：截去的小正方形的边长为 2cm．【总结升华】设小正方形的边长为 x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的 80%，所以 4 个小正方形面积是原矩形面积的 20%．举一反三：【变式】（2015 春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m），现在欲砌 50m 长的墙，砌成一个面积 300m2的矩形花园，则 BC 的长为多少 m?【答案】解：设 AB=x 米，则 BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去）， 50﹣2x=50﹣30=20．答:BC 的长为 20m．6．某旅行社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元，空床可全部租出；若每床每晚提高 2 元，则减少 10 张床位租出；若每床每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出．以每次提高 2 元的这种方法变化下去，为了每晚获得 1120 元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高 x 个2 元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得 x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴ 当 x＝2 时，2x＝4；当 x＝3 时，2x＝6．答：每床每晚提高 4 元或6 元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高 x 个2 元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高 2 元，出租出去的床位减少 10 张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．一元二次方程及其解法（一）直接开平方法【学习目标】1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2.掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3.理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1 是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1 是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为 0.要点二、一元二次方程的解法1.直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则 x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1) ；(2) ．【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的概念-例 1】【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①x2 +x +1 ；②9x2 - 6x = 0 ；③1y2= 0 ；④5x2-1+ 4 = 0 ；2 2x⑤x2+xy - 3y2= 0 ；⑥3y2= 2 ；⑦(x +1)(x -1) =x2．【答案】②③⑥.【解析】①x2 +x +1不是方程；④5x2-12x+4 = 0 不是整式方程；⑤ x2+xy - 3y2= 0 含有 2 个未知数，不是一元方程；⑦(x + 1)(x -1) =x2化简后没有二次项，不是 2 次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x2-4x+2=0； (2) ．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中 c=-2 不能写为 c=2，(2)题中不能写为．举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的形式-例 3】【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2 = 5x - 2 ；（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x ．【答案】（1）3x2 - 5x+2=0 ，二次项系数是 3、一次项系数是-5、常数项是 2.（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x 化为ax2 +x -a - 2 = 0, 二次项系数是 a、一次项系数是 1、常数项是-a-2.⎩ ⎩类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2+px+q ＝0 的两根分别为 x 1＝2，x 2＝1，那么 p ，q 的值分别是( ) A ．-3，2 B ．3，-2 C ．2，-3 D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2 是方程 x 2+px+q ＝0 的根，∴ 22+2p+q ＝0，即 2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即 p+q ＝-1 ②⎧2 p + q = -4, ⎧ p = -3,联立①，②得⎨ p + q = -1, 解之得： ⎨q = 2.【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用 2，1 代替方程中未知数 x 的值，得到两个关于 p 、q 的方程，解方程组可求 p 、q 的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4. （2016 春•仙游县月考）求下列 x 的值 （1）x 2﹣25=0 （2）（x+5）2=16．【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．【答案与解析】解：（1）∵x 2﹣25=0， ∴x 2=25， ∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16， ∴x+5=±4，∴x=﹣1 或﹣9．【总结升华】应当注意，形如 =k 或（nx+m ）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式 1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x 2=361；(2)2y 2-72=0；(3)5a 2-1=0；(4)-8m 2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19 或 x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6 或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2= ，∴a=或 a=- ．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2= ，∴m=或m=- ．【变式 2】解下列方程：(1) （2015 •东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；(2)（2014 秋•滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25，∴ 2x+3=5 或 2x+3=-5．∴x1=1，x2=-4．(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，∴1﹣2x=±（x﹣3），∴1﹣2x=x﹣3 或1﹣2x=﹣（x﹣3），4∴x1=，x2=﹣2．3一元二次方程的解法（二）配方法【学习目标】1.了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式a2± 2ab +b2= (a ±b)2．知识点二、配方法的应用1.用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3.用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4.用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016•淄博）解方程：x2+4x﹣1=0．【思路点拨】首先进行移项，得到 x2+4x=1，方程左右两边同时加上 4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【答案与解析】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣．【总结升华】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0；(2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为 x2-4x=2．两边都加 4，得 x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2= 或 x-2=- ．于是，原方程的根为x=2+ 或x=2- ．(2)将常数项移到方程右边 x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2 或 x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式M = 10a2 +b2 - 7a + 8 ，N =a2 +b2 + 5a +1 ，则M -N 的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B；【解析】（作差法）M -N = 10a2+b2- 7a + 8 - (a2+b2+ 5a +1)=10a2 +b2 - 7a + 8 -a2 -b2 - 5a -1= 9a2 -12a + 7 = 9a2 -12a + 4 + 3 = (3a - 2)2+ 3 > 0 ．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5 的值一定小于 0．【答案与解析】解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣ ＜0， 即﹣8x 2+12﹣5 的值一定小于 0．【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【变式】求代数式 x 2+8x+17 的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0 时，代数式 x 2+8x+17 的最小值是 1.4．已知 a2- 3a + b 2 - b + 37= 0 ，求 a - 4 2 16的值．【思路点拨】解此题关键是把 37拆成 9+ 1，可配成两个完全平方式．16 4 16【答案与解析】将原式进行配方，得⎛ a 2- 3a + 9 ⎫ + ⎛ b 2 - b +1 ⎫ = 0 ，4 ⎪ 2 16 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2即 a - 2 ⎪ + b - 4 ⎪ = 0 ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴ a - 3 = 0 且b - 1= 0 ，24∴ a = 3，b = 1． 2∴ a - 4 4= 3 - 2= 3 - 2 = - 1 ． 2 2【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于 0 的形式，进而求出 a ．b 的值．b b1 4【学习目标】一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 a、b、c 的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程ax2+bx +c = 0 (a ≠ 0) ，用配方法将其变形为：(x + b)22a=b2- 4ac4a2.①当∆=b2-4ac > 0 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：x1,2 =2a .②当∆=b2 - 4ac = 0 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x =-b1,2 2a .③ 当∆=b2 - 4ac < 0 时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为 0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x2+3x+1=0； (2) 2x2 = 4x -1 ；(3) 2x2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1= ，x2= ．(2)原方程化为一般形式，得2x2 - 4x +1 = 0 ．-b ±∵a = 2 ，b =-4 ，c =1 ，∴b2- 4ac = (-4)2- 4 ⨯ 2 ⨯1 = 8 > 0 ．∴ x =4 ± 2 2= 1±2，即x =1+2，x= 1-2．2 ⨯ 2 2 1 2 2 2(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1= ，x2= ．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对 a、b、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定 a，b，c 的值并计算b2 - 4ac 的值；(3)若b2 - 4ac 是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x2﹣3x﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x1=，x2= ．2．用公式法解下列方程：(1) （2014•武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2014 秋•开县期末）3x2﹣6x﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x2+x﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x== = ，-1± 3 -1- 3 -1+ 3 ∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1= ，x 2= （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x== ，解得 x 1=，x 2= ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出 a 、b 、c 的值，在b 2- 4ac ≥ 0 的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2x 2+ 2x = 1；【答案】解：移项，得2x 2 + 2x -1 = 0 ．∵ a = 2 ，b = 2 ，c = -1 ， b 2 - 4ac = 22 - 4 ⨯ 2 ⨯(-1) = 12 > 0 ，∴ x =-2 ± 12 = ， 2 ⨯ 2 2∴ x 1 =2 ， x 2 = 2 ．类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2016•沈阳）一元二次方程 x 2﹣4x=12 的根是（） A ．x 1=2，x 2=﹣6 B ．x 1=﹣2，x 2=6 C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6D ．x 1=2，x 2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【答案】B【解析】解：方程整理得：x 2﹣4x ﹣12=0， 分解因式得：（x+2）（x ﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，故选 B【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2) (3x -1)(x -1) = (4x +1)(x -1) ．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即(2x + 3)2= 0 ，∴x =x =-3 ．1 2 2(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以x1=1 ，x2=-2 ．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉 x＝1 这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3 x(2 x+1) =4 x+2【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X1=-6,x2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0x =-1, x =2.1 2 2 35．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2﹣2x+1=0x1=1，x2=1 x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）x2﹣3x+2=0x1=1，x2=2 x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）x1= ，x 2=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）2x2+5x+2=2（x+）（x+2）x1=﹣，x2=﹣2将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1、x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【学习目标】1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 中，b 2- 4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式，通常用“ ∆”来表示，即∆=b 2- 4ac（1）当△>0时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计1 2 算b 2 - 4ac 的值；④根据b 2 - 4ac 的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中，（1） 方程有两个不相等的实数根⇒b 2 - 4ac ﹥0； （2） 方程有两个相等的实数根⇒b 2 - 4ac =0； （3） 方程没有实数根⇒b 2 - 4ac ﹤0.要点诠释：（1） 逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件；（2） 若一元二次方程有两个实数根则 b 2 - 4ac ≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b ， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x 1、x 2 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：① x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x ； 1 2 1 2 1 2② 1 +1 x 1 x 2= x 1 + x 2 ； x 1 • x 2 ③ x x 2 + x 2 x = x x (x + x ) ； 1 2 1 2 1 2 1 2。
第21章 一元二次方程(知识点汇总·人教9上)
第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的概念1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．2、一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠3、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）. 【注意】1、定义的隐含条件：①是整式方程；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．2、任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。
其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．3、任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．二、一元二次方程的解法 １．一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． 【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零．（2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b ac -的值．求根公式：x =2(40)b ac -≥ （3）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如2ax b =或()()20x a b b +=≥或()2ax b +=()2cx d +的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（4）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为： 2ax bx c ++22222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=+++-=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）就转化为22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的形式，即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．三、根的判别式1、一元二次方程根的判别式：24b ac ∆=-2、根的判别式用来判别根的个数情况：（1）0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =（2）0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． （3）0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 3、一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围； （3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况．四、根与系数的关系——韦达定理1、设一元二次方程20ax bx c ++=的两个根为12x x ，，则两个根满足：1212b cx x x x a a +=-⋅=， 2、韦达定理的重要推论推论1：如果方程20x px q ++=的两个根是12x x ，，那么1212x x p x x q +=-⋅=，． 推论2：以两个数12x x ，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++= 3、利用根与系数的关系，可知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有如下重要的结论：（1）若两根互为相反数，则0ba -=，得0b =；（2）若两根互为倒数，则1c a =，得a c =；若两根互为负倒数，则1ca =-，得a c =-； （3）若有一个根是零，则0ca=，得0c =； （4）若两根都为零，则0b a -=，0ca=，得0b =，0c =；（5）若有一根为1，则0a b c ++=；若有一根为1-，则0a b c -+=． 4、几个常见转化；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x 1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221（2）222121212()2x x x x x x +=+-；（3）12121211x x x x x x ++=； （4）22121212()()4x x x x x x -=+-；（5）12||x x -=（6）2212121212()x x x x x x x x +=+；（7）22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==．五、用一元二次方程解决实际问题 1、面积最大化问题 2、利润最大化问题 3、增长率问题 4、传播问题 5、动点问题解题方法技巧1、一元二次方程的整数根问题：对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： （1） 24b ac ∆=-为完全平方数；（2）2b ak -+或2b ak --，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)2、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．3、把一元二次方程根的判别式和根与系数的关系结合起来，判别讨论一元二次方程根的符号常常需要解不等式组．对于方程20(0)ax bx c a ++=≠，则： （1）有两正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪->+>⎪⎩≥（2）有两负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪-<+<⎪⎩≥（3）有一个正跟一个负根：121200(0)0(0)c x x a b x x a ⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪->+>⎪⎩正根的绝对值较大 121200(0)0(0)cx x a b x x a⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪-<+<⎪⎩负根的绝对值较大（4）有一零根一正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪->+>⎪⎩（5）有一零根一负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-<+<⎪⎩（6）有两个零根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆=⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-=+=⎪⎩。
九年级上册数学第二十一章 一元二次方程 知识归纳
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）21.2解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化1：将二次项系数化为13.移项：将常数项移到等号右侧4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方：左右同时开平方7.求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．。
2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程“必背知识点
2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程”必背知识点一、一元二次方程的定义定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
其中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。
方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
二、一元二次方程的解法1. 配方法步骤：一移 （把常数项移到等号的右边）、二除 （方程两边都除以二次项系数）、三配 （方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式）、四开 （若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解）。
2. 公式法求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠。
0），如果b²-4ac ≥ 0，则方程的两个根为x1,2=−b±√b2−4ac2a 根的判别式：Δ = b² - 4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
当Δ < 0时，方程无实数根。
3. 直接开平方法适用条件：如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
步骤：移项、使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1、两边直接开平方。
4. 因式分解法方法：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解。
三、一元二次方程的根与系数的关系对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），若其两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/ax₁x₂ = c/a四、一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
2022年九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程知识点总结素材 (新版)新人教版
一元二次方程知识点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
知识点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程乘积的形式，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
人教版初中数学九年级上册教学课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 教学课件 公式法
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ 9 .
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0
∴m=
9 8
.
8
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜ 9 .
（1）当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根：
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根： x1
x2
b ; 2a
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通 常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac.
x 6 60 . 23
x1
3 3
15
,
x2
3-
15 3
.
探究新知
知识点 2 一元二次方程的根的情况
用公式法解下列方程： （1） x2＋x－1 = 0
（2）x2－2 3 x＋3 = 0
（3） 2x2－2x＋1 = 0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根 的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数 项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情 况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.
第二十一章21.1一元二次方程
答案 2 易错警示 根据一元二次方程的定义求未知字母的值是常考题型.当二 次项系数中含有未知字母时,如果忽视隐含条件a≠0,也许就会导致解 题错误.如本题中,如果忽视这个条件,就会得出m有两个值,扩大m的取 值范围.
21.1 一元二次方程
栏目索引
知识点一 一元二次方程的定义及一般形式
1.(2019江西九江柴桑月考)下列方程属于一元二次方程的是 ( )
解析
① 3
x2-x= 5
1
符合一元二次方程的定义;②x= x 不是整式方程,故
不是一元二次方程;③由x(x-3)Байду номын сангаас(x-2)(x+2)化简得到-3x=-4,是一元一次方
程;④由(2x-1)(x+3)=2x-1化简得到2x2+3x-2=0,符合一元二次方程的定
义;⑤ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)不是方程.综上所述,是关于x的一
定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一 元二次方程
一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b 是一次项系数;c是常数项
知识拓展 (1)构成一元二次方程的三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程.(2)这里所说的整式是关于未知数的整 式,在有些含有字母系数的方程中,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含未知数,这样的方程 仍是整式方程
正确理解题 目的含义
找出其中的数量 关系和等量关系
列出一元 二次方程
栏目索引
人教版初中数学九年级上册 第二十一章 一元二次方程的根与系数的关系
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.
∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
由根与系数的关系得x1+x2=
k 1 2
,
x1x2
=k
2
3
.
∴（k
1
2 ）2-4×
k
2
3 =1.
解得k1=9,k2= -3.
当k=9或-3时，由于Δ ＞0，∴k的值为9或-3.
链接中考
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另
一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
1 × x1 =
c 16 . a3
∴x1 =
16 . 3
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
根与系数的关系 （韦达定理）
内容 应用
21.2 解一元二次方程/
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个
根分别是x1、
x1
x2
b a
xx21，x2 那 ac么
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
1 1 x1 x2 x1 x2 x1 • x2
素养考点 2 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的 另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2 .
所以：x1 ·x2=2x2=
人教版九年级数学上册第21-25章《小结与复习》课件全套精选全文完整版
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重 要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
不相等的实数根，则m的值可能是 0 （写出一个即
可）．
考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n， 则m2－mn＋n2＝ 25 ．
解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2 ＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
人教版九年级数学上册
第二十一章 一元二次方程 小结与复习
要点梳理
一、一元二次方程的基本概念
1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的 方程叫做一元二次方程． 2.一般形式：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）
课堂小结
一元二次方 程的定义
概念：①整式方程； ②一元； ③二次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
直接开平方法
一元二次方 程的解法
一元二次方程
配方法 公式法
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
因式分解法
根的判别式及 根与系数的关系
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12D解析：D【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．【详解】由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，配方得；（x ﹣3）2＝12．故选：D ．【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．2．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或20B 解析：B【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=，∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．3．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C．5000（1﹣x）2＝6050 D．5000（1+x）2＝6050D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝6050．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（）A．4 B．5 C．6 D．7B解析：B【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：1x（x-1）=10，2化简，得x2-x-20=0，解得x1=5，x2=-4（舍去），∴参加此次比赛的球队数是5队．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．5．若关于x的一元二次方程260-+=有两个相等的实数根，则常数c的值为（）x x cA．3B．6C．8D．9D解析：D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：260x x c -+=有两个相等的实根，2(6)40c ∴∆=--=，解得：9c =故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．6．一元二次方程20x x -=的根是（ ）A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x ==A 解析：A【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：∵x 2-x=0，∴x （x-1）=0，则x=0或x-1=0，解得：x 1=0，x 2=1，故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7．方程23x x =的解为（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =-C解析：C【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：方程变形得：x 2-3x=0，分解因式得：x （x-3）=0，可得x=0或x-3=0，解得：x 1=3，x 2=0．故选：C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案．【详解】解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8．∵k 2≥0，∴k 2+8＞0，即△＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．9．已知关于x 的二次方程()21210--+=k x kx （k ≠1），则方程根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两不等实数根C ．有两相等实数根D ．无法确定B解析：B【分析】 根据方程的系数结合根的判别式，可得出△21432k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭＞0，由此即可得出：无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．【详解】在方程()21210--+=k x kx 中， ∵1a k =-，2b k =-，1c =，∴()()224241b ac k k =-=--- 214302k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， ∴无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．10．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2＝0B ．x ﹣3＝0C ．x 2﹣5＝0D ．x 2+2＝0C 解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．【详解】解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意；B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意； D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 二、填空题11．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．13．已知0x =是关于x 的一元二次方程()()22213340m x m x m m -+++-=的一个根，则m =__________．-4【分析】根据方程根的定义把代入原方程求出m 的值【详解】解：将代入原方程得解得∵该方程是一元二次方程∴即∴故答案是：【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程需要注意一元二次方程的二次项解析：-4【分析】根据方程根的定义，把0x =代入原方程，求出m 的值．【详解】解：将0x =代入原方程，得2340m m +-=，解得14m =-，21m =，∵该方程是一元二次方程，∴10m -≠，即1m ≠，∴4m =-．故答案是：4-．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程，需要注意一元二次方程的二次项系数不能为0．14．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为________．-1【分析】根据方程的根的判别式得出m 的取值范围然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1）α•β=m2-m 结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的解析：-1【分析】根据方程的根的判别式，得出m 的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根，∴△=[2（m-1）]2-4×1×（m 2-m ）=-4m+4≥0，解得：m≤1．∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根α，β，∴α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，∴α2+β2=（α+β）2-2α•β=[-2（m-1）]2-2（m 2-m ）=12，即m 2-3m-4=0，解得：m=-1或m=4（舍去）．故答案为：-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系得出关于m 的一元二次方程．15．一元二次方程()422x x x +=+的解为__．【分析】利用因式分解法解一元二次方程提取公因式【详解】解：故答案是：【点睛】本题考查解一元二次方程解题的关键是掌握一元二次方程的解法 解析：114x =，22x =- 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式()2x +．【详解】解：()422x x x +=+ ()()4220x x x +-+=()()4120x x -+=114x =，22x =-． 故答案是：114x =，22x =-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．16．已知关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，则m =________．0【分析】先将方程化成一般式然后再运用根的判别式求解即可【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根∴关于的方程有两个相等的实数根∴△=02-4m=0解得m=0故答案为0【点睛】本题主要考查了一元二次解析：0【分析】先将方程化成一般式，然后再运用根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的方程2x m=有两个相等的实数根，∴关于x的方程20x m-=有两个相等的实数根，∴△=02-4m=0，解得m=0．故答案为0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解答本题的关键．17．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．10【分析】设共有x个队参加比赛根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：设共有x个队参加比赛根据题意得：2×x（x-1）=90整理得：x2解析：10．【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设共有x个队参加比赛，根据题意得：2×12x（x-1）=90，整理得：x2-x-90=0，解得：x=10或x=-9（舍去）．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x的一元二次方程是解题的关键．18．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意，可得方程_______54（1-x）2=42【分析】根据题意经过两次的钢量减少最后的结果应该是原来的（1-x）2倍列出方程即可【详解】解：根据题意有：54（1-x）2=42故答案为：54（1-x）2=42【点睛】本题考查解析：5.4（1-x）2=4.2【分析】根据题意，经过两次的钢量减少，最后的结果应该是原来的（1-x）2倍，列出方程即可．【详解】解：根据题意有：5.4（1-x）2=4.2故答案为：5.4（1-x）2=4.2【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用问题，属于基础题．19．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛(即每两个队之间比赛一场)一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜__场11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x+1）支队伍参加比赛根据一共比赛66场即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x解析：11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：12x(x+1)=66， 整理，得：x 2+x-132=0，解得：x 1=11，x 2=-12（不合题意，舍去）．所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项可以通过配方法得到三个平方数的和为0然后根据非负数的性质可以得到abc 的值从而求得a+b+c 的值【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：即∴∴a=解析：3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：2222267117a b b c c a ++-+-=--，即222226110a b b c c a ++-+-+=，∴()()()2223110a b c -+++-=，∴a=3,b=-1,c=1，∴a+b+c=3-1+1=3，故答案为3．【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．三、解答题21．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止．（1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm =？（2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPC Scm =？（3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ ＝BQ ？解析：（1）2或4；（2）2；（3）1082-+【分析】本题可设P 出发x 秒后，QPC S 符合已知条件：在（1）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，2QC xcm =，根据题意列方程求解即可； 在（2）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，()22QC x cm =-，进而可列出方程，求出答案；在（3）中，()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -，利用勾股定理和PQ BQ =列出方程，即可求出答案．【详解】（1）P 、Q 同时出发，经过x 秒钟，28QPC Scm =， 由题意得：()16282x x -⋅= ∴2680x x -+=，解得：12x =，24x =．经2秒点P 到离A 点1×2＝2cm 处，点Q 离C 点2×2＝4cm 处，经4秒点P 到离A 点1×4＝4cm 处，点Q 到离C 点2×4＝8cm 处，经验证，它们都符合要求．答：P 、Q 同时出发，经过2秒或4秒，28QPC Scm =． （2）设P 出发t 秒时24QPC S cm =，则Q 运动的时间为()2t -秒，由题意得：()()162242t t -⋅-=， ∴28160t t -+=，解得：124t t ==．因此经4秒点P 离A 点1×4＝4cm ，点Q 离C 点2×（4﹣2）＝4cm ，符合题意． 答：P 先出发2秒，Q 再从C 出发，经过2秒后24QPC S cm =．（3）设经过x 秒钟后PQ ＝BQ ，则()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -， ()()()2226282x x x -+=-，解得：110x =-+210x =--答：经过10-+PQ ＝BQ ．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．22．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？解析：（1）口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）预计4月份平均日产量为39930个．【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为36300个，即可预计4月份平均日产量．【详解】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意，得30000（1＋x ）2＝36300，解得x 1＝−2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）36300（1＋10%）＝39930（个）．答：预计4月份平均日产量为39930个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 23．5月10日，重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”，以推动直播带货和“网红经济”发展，已知云阳桃片糕每盒12元，仙女山红茶每盒50元，第一次直播期间，共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒．（1）若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元，则至少卖出仙女山红茶多少盒？（2）第一次直播结束，为了回馈顾客，在第二次直播期向，桃片糕每盒降价10%3a，红茶每盒降价4a%，桃片糕数量在（1）问最多的数量下增加6a%，红茶数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a 元，求a的值．解析：（1）至少卖出仙女山红茶800盒；（2）a的值为5．【分析】（1）设卖出仙女山红茶x盒，则卖出桃片糕（2000-x）盒，由题意得关于x的不等式，求解即可；（2）根据（1）的结果得出桃片糕最多卖出的盒数，根据题意得出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：（1）设卖出仙女山红茶x盒，则卖出桃片糕（2000-x）盒，由题意得：50x+12（2000-x）≥54400，解得：x≥800，∴x的最小值是800，∴至少卖出仙女山红茶800盒；（2）∵（1）中最少卖出仙女山红茶800盒，∴桃片糕最多卖出的盒数为：2000-800=1200（盒）．由题意得：12×（110%3a）×1200×（1+6a%）+50（1-4a%）×800×（1+4a%）=54400-80a，解得：a1=0（舍去），a2=5．∴a的值为5．【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下面的问题：例题：说明代数式m2+2m+4的值一定是正数．解：m2+2m+4＝m2+2m+1+3＝（m+1）2+3．∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3，∴m2+2m+4的值一定是正数．（1）说明代数式﹣a2+6a﹣10的值一定是负数．（2）设正方形面积为S1，长方形的面积为S2，正方形的边长为a，如果长方形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为4，请你比较S1与S2的大小关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）S1＞S2，见解析【分析】（1）利用配方法，将原式化成含平方代数式形式﹣（a﹣3）2﹣1，可判断其值为负数；（2）用a 分别表示出S 1与S 2，再作差比较即可．【详解】解：（1）﹣a 2+6a ﹣10＝﹣（a 2﹣6a+9）﹣1＝﹣（a ﹣3）2﹣1，∵（a ﹣3）2≥0，∴﹣（a ﹣3）2≤0，∴﹣（a ﹣3）2﹣1＜0，∴代数式﹣a 2+6a ﹣10的值一定是负数；（2）S 1＞S 2，理由是：∵S 1＝a 2，S 2＝4（a ﹣3），∴S 1﹣S 2＝a 2﹣4（a ﹣3）＝a 2﹣4a+12＝a 2﹣4a+4+8＝（a ﹣2）2+8，∵（a ﹣2）2≥0，∴（a ﹣2）2+8≥8，∴S 1﹣S 2＞0，∴S 1＞S 2．【点睛】本题主要考查配方法的应用，掌握配方法是解题的关键，注意两数比较大小时可用作差法．25．某种品牌的衬衫，进货时的单价为50元．如果按每件60元销售，可销售800件;售价每提高1元，其销售量就减少20件．若要获得12000元的利润，则每件的售价为多少元? 解析：每件的售价为70元或80元．【分析】要求衬衫的单价，就要设每件的售价为x 元，则每件衬衫的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可．【详解】解:设每件的售价为x 元，根据题意，得()()50800206012000 ,x x ⎡⎤⎣⎦---=化简整理，得215056000x x -+=()70800()x x --=1270,80x x ∴==答:每件的售价为70元或80元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．26．回答下列问题．（1（2|1-． （3）计算：102(1)-++． （4）解方程：2(1)90x +-=．解析：（13；（21+；（3）44）12x =，24x =-． 【分析】 （1）利用用二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘除法则以及绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可； （3）根据零指数幂，负整数指数幂以及完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可； （4）移项，利用直接开平方法即可求解．【详解】（133=+3=； （2|11)=-1=12=+； （3）102(1)-++121=+-4=-（4）2(1)90x +-=，移项得：2(1)9x +=，∴13x +=或13x +=-，12x =，24x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．27．解下列方程（1）2210x x ++= （2）233x x解析：（1）121x x ==-；（2）123,4x x ==．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】（1）2210x x ++=，2(1)0x +=，解得121x x ==-；（2）233x x ，2330x x ， 3310x x ，即()()340x x --=，30x -=或40x -=，3x =或4x =，即123,4x x ==．【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．28．某文具商从荷花池小商品批发市场购进一批书包，每个进价50元．调查发现，当销售价为80元时，每季度可售出500个；如果售价每降低1元，那么平均每季度可多售出40个．（1）当降价2元时，平均每季度销售书包_____个．（2）某文具商要想平均每季度赢利18000元，且尽可能让利与顾客，应该如何定价？ 解析：（1）580；（2）70元．【分析】（1）根据降价后销量＝降价前销量＋增加的销量可求得结果；（2）设定价x 元，根据每季度的总利润＝每个玩具利润×降价后每天的销售数量列出方程，解方程可求得定价．【详解】（1）500240580+⨯=（个）．故答案为：580．（2）设定价x 元，根据题意得：(50)[50040(80)]18000x x -+-=，解得：1272.5,70x x ==，∵尽可能让利与顾客，70x ∴=．答：应该定价70元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目隐含的等量关系是解决问题的关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二十一章 一元二次方程21.1一元二次方程1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。
形如：()200ax bx c a ++=≠ 例1．关于x 的方程(m －4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.【答案】≠4，=4【解析】试题分析：根据一元二次方程、一元一次方程的定义即可求得结果.由题意得当m≠4时，是一元二次方程，当m=4时，是一元一次方程.考点：一元二次方程，一元一次方程点评：熟练掌握各种方程的基本特征是学好数学的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.例2．关于x 的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.【答案】m ≠-1且m ≠2【解析】试题分析：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），由a≠0即可得到m2-m-2≠0，从而得到结果。
由题意得m2-m-2≠0，解得m ≠-1且m ≠2.考点：本题考查的是一元二次方程成立的条件点评：解答本题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），尤其注意a≠0.2、a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
例1．一元二次方程3x2-6x+1=0中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是 （ ）A ．3，-6，1B ．3，6，1C ．3x2,6x ，1D ．3x2,-6x ，1【答案】A【解析】试题解析：3x2-6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1．故选A ．考点：一元二次方程的一般形式．例2．若关于x 的方程0142=--x ax 是一元二次方程，则a 满足的条件是（ ）A ．a ＞0B ．0≠aC ．0<aD ．4≠a【答案】B【解析】试题分析：本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a b c 都是常数，且a ≠0）．根据一元二次方程的定义得出a ≠0即可．考点：一元二次方程的定义．例3．请你写出一个有一根为1的一元二次方程____________________．【答案】（x+1）（x －1）=0（不唯一）【解析】试题分析：本题利用因式分解法，保证其中有一个解为x=1就可以．考点：一元二次方程的解．例4．关于x 的方程053)2(2=-+-x x m 是一元二次方程，则m 的取值范围是 ．【答案】m ≠2．【解析】试题解析：由一元二次方程的定义可得m-2≠0，解得m ≠2．考点：一元二次方程的定义．例5．关于x 的方程221(1)50a a a x x --++-=是一元二次方程，则a=_________．【答案】3．【解析】试题分析：221(1)a aa x--+是方程二次项，即221210a aa⎧--=⎨+≠⎩，解得：a=3．故答案为：3．考点：一元二次方程的定义．21.2解一元二次方程21.2.1 配方法配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。
例1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9【答案】D【解析】试题分析：本题考查了利用配方法解一元二次方程，一般步骤：第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；第二步：方程两边同时除以二次项系数；第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x±m）2=n的形式；第四步：用直接开平方解变形后的方程．解：x2﹣6x﹣4=0，移项，得x2﹣6x=4，配方，得（x﹣3）2=4+9．故选：D．考点：解一元二次方程-配方法．例2．若把代数式223x x --化为2()x m k -+的形式，其中m k ，为常数，则m k += ．【答案】-3【解析】配方得223x x --=4)1(2--x ，所以m=1，k=-4，则m k +=-3.例3．用配方法解方程：01422=--x x【答案】11x =+ 21x = 【解析】 2122x x -=23(1)2x -=∴ 11x =+ 21x =- 例4．用配方法解方程0562=+-x x【答案】2694x x -+=2(3)4x -=32x -=± 15x =，21x =【解析】利用配方法求解21.2.2 公式法1. 24b ac ∆=-（1）120,x x ∆>==（2）120,2b x x a∆===- （3）0∆<，方程无实数根求根公式：x = 例1．一元二次方程2x 2+3x+1=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程的根的判别式，可由24b ac =-=9-8=1＞0，可知其有两个不相等的实数根． 故选A考点：根的判别式例2．方程x 2＋4x －2=0的根的情况是（ ）A ．两个不相等的实数根B ．两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】A【解析】试题分析：先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． ∵2441(2)240=-⨯⨯-=>△，∴方程有两个不相等的实数根．故选答案：A考点：根的判别式．例3．若关于x 的方程(m －1)x 2－2mx ＋(m ＋2)=0有两个不相等的实根，则m 的取值范围是________．【答案】m ＜2且m≠1．【解析】试题解析：根据题意列出方程组()()()22412010m m m m ---+⎧⎡⎤⎪⎣⎦⎪≠⎨-⎩＞ 解之得m ＜2且m≠1．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．21.2.3 因式分解法先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
韦达定理：1212,b c x x x x a a+=-⋅= 例1．用因式分解法解方程9=x 2－2x+1（1）移项得__________；（2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________；（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________；（4）分别解这两个一次方程得x 1=__________,x 2=__________.【答案】9－(x 2－2x+1)=0，32－(x －1)2=0，(3－x+1)(3+x －1)=0，4，－2【解析】试题分析：根据因式分解法解方程的步骤依次分析即可得到结果.用因式分解法解方程9=x 2－2x+1（1）移项得9－(x 2－2x+1)=0；（2）方程左边化为两个平方差，右边为零得32－(x －1)2=0；（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得(3－x+1)(3+x －1)=0；（4）分别解这两个一次方程得x 1=4，x 2=－2.考点：因式分解法解一元二次方程点评：熟练掌握各种解方程的一般方法是学习数学的基础，因而此类问题在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.例2．用因式分解法解方程03722=+-x x【答案】(21)(3)0x x --=112x =，23x =【解析】利用因式分解法求解。
例3．用因式分解法解方程：x 2；【答案】x 1=x 2【解析】试题分析：先根据完全平方公式分解因式，即可解出方程。
x 2x+3=0（2=0解得x 1=x 2.考点：本题考查的是解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.)(2222b a b ab a ±=+± 21.3实际问题与一元二次方程实际问题要符合实际，看方程的根符合实际吗？不符合要舍去例1．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．100（1+x ）=121B ．100（1﹣x ）=121C ．100（1+x ）2=121D ．100（1﹣x ）2=121【答案】C【解析】试题解析：设平均每次提价的百分率为x ，根据题意得：100（1+x ）2=121，故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．例2．在一次学习交流会上，每两名学生握手一次，经统计共握手253次．若设参加此会的学生为x 名，根据题意可列方程为 （ ）A ．253)1(=+x xB ．253)1(=-x xC ．253)1(2=-x xD ．506)1(=-x x【答案】D ．【解析】试题分析：参加此会的学生有x 名,则每名同学需握手（x-1）次，x 名同学一共握手x （x-1）次，而两名学生握手一次，所以应将重复的握手次数去掉，由此可列出方程21x （x-1）=253，即506)1(=-x x ，故答案选D ． 考点：一元二次方程的应用．例3．某种手机经过四、五月份连续两次降价，每部手机由3200元降到2500元。
设平均每月降价的百分率为x ，则根据题意列出的方程是（ ）.A 、 2500)1(32002=-xB 、2500)1(32002=+xC 、2500)21(3200=-xD 、250032002=-x【答案】A.【解析】试题分析：依题意得：两次降价后的售价为3200（1-x ）2=2500.故选：A.考点：由实际问题抽象出一元二次方程.例4．某学校准备建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为：（ ）A 、x （x-10）=200B 、2x+2（x-10）=200C 、x （x+10）=200D 、2x+2（x+10）=200【答案】C【解析】试题分析：宽为x 米，则长为（x+1）米.S=长×宽，即x （x+10）=200.考点：一元二次方程的应用.例5．某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元售出时，每天可销售100件，如果每件提高1元，日销售量就要减少10件，若使商场投资少，收益大，那么该商品的售出价格定为多少元时，才能使每天获得350元？【答案】25元．【解析】试题分析：设售价定为每件x 元，由：利润=每件利润×销售量，列方程求解．试题解析：解：设售价定为每件x 元，则每件利润为（x ﹣8）元，销售量为[100﹣（x ﹣10）×10]，依题意，得（x ﹣8）[100﹣（x ﹣10）×10]=360，整理，得2281960x x -+=，解得12x x ==14．答：他将售出价定为每件14元时，才能使每天所赚利润为360元．考点：一元二次方程的应用．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。