高数函数图形的描绘
高等数学——函数图形的描绘
函数图形的描绘在中学时我们用描点法来作函数的图像，这种方法常遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等，使得函数的一些重要性态难以准确地显示出来。
在本章前两节我们借助于导数的符号讨论了函数图形的升降和凹凸，以及在什么地方有极值点，什么地方有拐点，这样也就基本掌握了函数的性态，并把函数的图形画得比较准确。
此外，为了描绘函数图形在无穷远处的走势，还有必要讨论函数图形在无穷远处的变化趋势，即渐近线。
一、渐近线1、定义定义 若曲线)(x f y =上一动点沿着曲线无限远去时，该点与某条定直线L 的距离趋于零，则称直线L 为曲线)(x f y =的渐近线（如图153--）。
2、分类渐近线可分为水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线。
（1）水平渐近线 若函数)(x f y =的定义域为无穷区间，且C x f x =∞→)(lim （或C x f x x =-∞→+∞→)(lim )(） 图153--则称直线C y =为曲线)(x f y =的水平渐近线。
例如，因为01lim=∞→x x ，故直线0=y 为曲线xy 1=的水平渐近线；又如，因为2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ，故直线2π=y 及直线2π-=y 均为曲线x y arctan =的水平渐近线。
（2）铅直渐近线 若函数)(x f y =在点0x 处间断，且∞=→)(lim 0x f x x则称直线0x x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线。
注：铅直渐近线定义式∞=→)(lim 0x f x x 中，0x x →可换作-→0x x 或+→0x x ，∞→)(x f 亦可换作-∞→)(x f 或+∞→)(x f 。
例如，因为∞=→x x 1lim0，故直线0=x 为曲线xy 1=的铅直渐近线；又如，因为-∞=+→x x ln lim 0，故直线0=x 为曲线x y ln =的铅直渐近线。
*（3）斜渐近线 设有函数)(x f y =，若0)]()([lim =+-∞→b ax x f x则称直线b ax y +=为曲线)(x f y =的斜渐近线，其中xx f a x )(lim∞→=，])([lim ax x f b x -=∞→注：若x x f x )(lim ∞→不存在，或虽然xx f x )(lim ∞→存在但])([lim ax x f x -∞→不存在，则可以断定)(x f y =不存在斜渐近线。
高等数学第四版38节函数图形的描绘课件
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点 (1, 1 )
2e
极大值
1 2
0
拐点
(1, 1 ) 2eLeabharlann y121o
1
x
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第16页，共26页。
( x)
1
x2
e2
2
上页
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返回
第17页，共26页。
例4 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
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返回
第7页，共26页。
f ( x) 2( x 2)( x 3) 的两条渐近线如图 x1
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第8页，共26页。
二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
第一步 确定函数 y f ( x)的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 f '( x) 和二阶导数 f "( x);
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)( x 1), f ( x) 2(3x 1).
令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1. 3
令 f ( x) 0,
得特殊点 x 1 . 3
补充点 : A (1,0),
B (0,1), C (3 , 5). 28
2
的图形.
解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性.
f
(
x)
4(
x x3
2)
,
f
(
x)
8(
x x4
3)
高等数学3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
高等数学3.6----函数图形的描绘
高等数学
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例 求曲线
的渐近线.
解: lim y , ∴曲线无水平渐近线 .
x
y
x3
, lim y , lim y ,
(x 3)(x 1)
x3
x1
x 3及 x 1是曲线的铅直渐近线
又
lim
x
f (x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
lim[
x
f
(
x)
x]
lim
x
2x2 x2 2x
3x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
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二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数
的定义域 及特性 (对称性、周期性);
2. 求
并求出
及
为 0 和不存在的
点 , 这些点把定义域划分为几个部分区间; 3. 列表判别各个部分区间的单调性及凹凸性, 求出极值点
y
(x
2 1)3
x 1 是函数的间断点.
x (, 2) 2 (2, 1) 1 (1,0) 0 (0, )
y 0
0
y
y
极大值
4
间断
极小值
0
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(4) 渐近线
是曲线的铅直渐近线
是曲线的斜渐近线
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x (, 2) 2 (2, 1) 1 (1,0) 0 (0, )
思考与练习
1.
曲线
y
1 1
ex2 ex2
(A) 没有渐近线；
(D)
高等数学入门——描绘函数图像的一般步骤及例子
高等数学入门——描绘函数图像的一般步骤及例子高等数学是大学数学的基础课程之一，其重要内容之一是描绘函数的图像。
描绘函数图像的一般步骤如下：1.确定定义域和函数的类型：首先需要确定函数的定义域，即函数可以取值的范围。
同时，需要确定函数是一元函数还是多元函数，是线性函数还是非线性函数等。
2.求导或求导数的一般规律：对于一元函数，可以通过求导的方法来描绘函数的变化趋势。
求导可以确定函数的关键点，如极值点、拐点等。
对于多元函数，则需要利用偏导数来确定函数的变化趋势。
3.确定增减、凹凸和拐点：通过求导或偏导数，可以确定函数的单调性和凹凸性。
当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减。
当二阶导数大于零时，函数凹，小于零时函数凸。
4.确定函数的特殊点：特殊点包括与坐标轴的交点、零点、无穷大点等。
这些点是函数图像的关键部分，需要特别关注。
5.确定函数的渐近线：渐近线是函数图像在无穷远点的变化趋势。
有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线等。
下面举例说明：例子1：绘制函数y=x^2-2x+1首先，确定定义域和函数的类型：该函数为一元二次函数，定义域为实数集。
然后，求导：y'=2x-2接着，确定增减、凹凸和拐点：当x<1时，y'<0，函数递减；当x>1时，y'>0，函数递增；令y'=0，则x=1，该点为拐点。
继续求二阶导数：y''=2可以确定函数为凹函数。
然后，确定函数的特殊点：与x轴的交点为y=0，即x=1；与y轴的交点为x=0。
最后，确定函数的渐近线：无垂直渐近线；当x趋于无穷大时，y趋于无穷大，可以确定y轴为水平渐近线。
综上所述，根据以上步骤，我们可以描绘出函数y=x^2-2x+1的图像。
例子2：绘制函数 y = sin(x) / x首先，确定定义域和函数的类型：该函数为一元函数，定义域为实数集，但要注意x≠0。
然后，求导：y' = (x*cos(x) - sin(x)) / x^2接着，确定增减、凹凸和拐点：当x<0时，y'>0，函数递增；当x>0时，y'<0，函数递减；令 y' = 0，则 x = tan(x)，求解该方程需要使用数值逼近法得到近似解。
高等数学基本函数及图像
第一节 初等函数1、基本初等函数及图形基本初等函数为以下五类函数：(1) 幂函数 μx y =，μ是常数；(2) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；(3) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；(4) 三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；(5) 反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数 x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．我现在就付诸行动［美］奥格.曼狄诺著安辽我的幻想毫无价值，我的计划渺如尘埃，我的目标不可能达到。
一切的一切毫无意义——除非我们付诸行动。
我现在就付诸行动。
一张地图，不论多么详尽，比例多么精确，它永远不可能带着它的主人在地面上移动半步。
一个国家的法律，不论多么公正，永远不可能防止罪恶的发生。
任何宝典，即使我手中的羊皮卷，永远不可能创造财富。
只有行动才能使地图、法律、宝典、梦想、计划、目标具有现实意义。
行动像食物和水一样，能滋润我，使我成功。
我现在就付诸行动。
拖延使我裹足不前，它来自恐惧。
现在我从所有勇敢的心灵深处，体会到这一秘密。
我知道，要想克服恐惧，必须毫不犹豫，起而行动，惟其如此，心中的慌乱方得以平定。
现在我知道，行动会使猛狮般的恐惧减缓为蚂蚁般的平静。
chap3-6函数图形的描绘 共22页
第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f'(x)和 f"(x)的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 与 极 值 及 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 （ 可 列 表 进 行 讨 论 ） ；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
那么yaxb就是y f(x)的一条斜渐 . 近
斜渐近线求法:
limf(x) a, li[m f(x)a]x b.
x x
x
那y么 a xb就是y 曲 f(x)线 的一条.斜
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注意: 如果
(1) lim f (x) 不存在; x x
(2 )lif m (x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
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yx3x2x1
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四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
x x
x
可以断 y定 f(x)不存在斜.渐近线
例1 求f(x)2(x2)x (3)的渐. 近线 x1
解 D :(,1 ) (1 ,) .
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limf(x), x1
高等数学课件D3_6函数图形的描绘
例
描绘
y
1 3
x3
x2
2
的图形.
解: 1) 定义域为(, ),无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2,
y
令 y 0, 得 x 0, 2
令 y 0, 得 x 1
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y 0
0
x 0 (0, 1) 1 (1, )y 0 Nhomakorabeay
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y0 O
y
1
x2
e2
2π
B
1
x
思考与练习
y
y
x 1 3
4)
y
2 3
2
2
(极大)
0
4 3
(拐点)
2 3
(极小)
例
描绘函数 y
1
e
x2 2
的图形.
2π
解: 1) 定义域为 (, ), 图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1
x
2
)
2π
令 y 0得 x 0; 令 y 0 得 x 1
高中数学函数图像大全
高中数学函数图像大全1. 常用数学函数1.1. 直线函数直线函数是数学中最简单的函数之一。
它的特点是图像为一条直线，表达式为y=kx+b，其中k和b是常数。
直线函数的图像与直线的斜率和截距有关。
1.2. 平方函数平方函数的图像为抛物线，表达式为y=x2。
平方函数的特点是对称于y轴，并且开口向上。
1.3. 立方函数立方函数的图像为一条类似于S字形的曲线，表达式为y=x3。
立方函数的特点是对称于原点，并且开口向上。
1.4. 平方根函数平方根函数的图像为一条向右开口的抛物线，表达式为 $y = \\sqrt{x}$。
平方根函数的特点是定义域为非负实数集。
1.5. 绝对值函数绝对值函数的图像为一条折线，表达式为y=|x|。
绝对值函数的特点是对称于y轴，并且在原点处转折。
2. 复合函数复合函数是由两个或多个函数相互组合而成的函数。
其图像可以通过将各个函数的图像进行组合来得到。
3. 反函数反函数是与给定函数互为反函数的函数。
其图像可以通过将给定函数的图像关于直线y=x进行对称得到。
4. 常见函数图像的变换常见函数图像可以通过平移、伸缩、翻转等操作进行变换，从而得到新的函数图像。
4.1. 平移变换平移变换是将函数图像沿x轴或y轴方向移动的操作。
对于函数y=f(x)，平移变换的一般形式为y=f(x−a)或y=f(x)+b。
4.2. 伸缩变换伸缩变换是将函数图像在水平或垂直方向进行拉伸或压缩的操作。
对于函数y=f(x)，伸缩变换的一般形式为 $y = a \\cdot f(bx)$。
4.3. 翻转变换翻转变换是将函数图像关于x轴或y轴进行翻转的操作。
对于函数y=f(x)，翻转变换的一般形式为y=−f(x)或y=f(−x)。
5. 实际应用数学函数图像在实际应用中起到了重要的作用。
例如，在物理学中，函数图像可以用来描述物体的运动轨迹；在经济学中，函数图像可以用来描述经济变量之间的关系；在计算机科学中，函数图像可以用来进行数据的可视化等。
高等数学-函数图形的描绘
= ∞，
所以直线 = −1是曲线 =
1
的垂直渐近线.
+1
9
本节内容
01 渐近线
02 描绘函数图形
10
02 描绘函数图形
描绘函数图形的步骤：
（1）确定函数 = ()的定义域；
（2）讨论函数的奇偶性、周期性，确定函数图形的对称特征；
（3）讨论函数图形的单调性和凹凸性，并求出函数的极值和拐点；
为曲线 = ()的水平渐近线.
注 水平渐近线最多有两条.
3
01 渐近线
例1 求曲线 = 的水平渐近线.
解 因为 = 0,
→−∞
所以直线 = 0是曲线 = 的水平渐近线.
4
例2 求曲线 =
解
1
因为
→∞ +1
1
的水平渐近线.
+1
= 0，
2. 垂直渐近线
垂直渐近线
若函数 = ()在0 的某去心邻域（或左侧邻域，或右
侧邻域）内有定义，当 () = ∞（或 − = ∞
→0
→0
或 + () = ∞）时，则称直线 = 0 为曲线 =
→0
的垂直渐近线.
注 1.垂直渐近线可以有无数条.
所以直线 = 0是曲线 =
1
的水平渐近线.
+1
5
01 渐近线
例3 求曲线 = 的水平渐近线.
解 因为 =
→+∞
=
→−∞
所以直线 =
和
2
=
，
2
− ，
2
− 是曲线
2
高数 第三节 曲线的凹凸性和函数图形的描绘
y 2 e
(1 2 x 2 )
1
( 1 ,1 e ) 2
1 2
(
1 ,1 e 2 2
1
)
o
x
机动
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备用题 求笛卡儿叶形线 x 3 y 3 3a x y 的渐近线 . 解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
3a t2 3a t , y x t 1 3 3 1 t 1 t 当x 时t 1, 因 y 3a t2 3a t 1 lim lim t 1 1 t 3 x x 3 1 t 3a t2 3a t 3 at (1 t ) lim y ( x) lim lim (1t )(1t t 2 ) 3 3 x t 1 1 t t 1 1 t a 所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a
机动
x1x x1 x1x2x2x2 xx x2 x 1 2 2
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定义2 . 设函数
在区间 I 上连续 ,
(1) 若曲线弧位于其上每一点处切线的上方， 则称f(x)图形是凹的; (2) 若曲线弧位于其上每一点处切线的下方， y y 则称f(x)图形是凸的 . y 连续曲线上有切线的凹凸分界点
2) 求拐点可疑点坐标
令 y 0 得 x1 0 , x2 2 , 对应 y1 1 , y2 11 3 27 2 3 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3
( 2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
( , 0) 及 ( 2 , ) 上向上凹, 在 (0 , 2 ) 上 故该曲线在 3 3 点 ( 0 , 1 ) 及 ( 2 , 11 ) 均为拐点. 向上凸 , 3 27
高等数学 上、下册3_6 函数图形的描绘
2πe
2πe
（4）因为lim
1
x2
e2
0，所以y 0为曲线的渐近线.
x 2π
（5）将在区间[0,)上的讨论列表如下：
x
0
(0,1)
1
(1,+)
y
0
y
0
y
1 极大
1 拐点
2π
2πe
（6）在[0, ) 上作图，并利用对称性得函数在 (, )上的图形.这条曲线称为概率曲线（图 3-11）.
3
3
33
在 ( , 1 ) 内 ， y 0 ， 曲 线 为 凸 的 ， 在 ( 1 , ) 内 ， y 0 ，
3
3
曲 线 为 凹 的 .当 x 1 时 ， y 16 .故 (1 , 16 ) 为 拐 点 .
3
27 3 27
（ 4） limf(x).曲 线 没 有 渐 近 线 . x
33
3
y 0 曲 线 上 升 .在 ( 1 ,1) 内 ， y 0 曲 线 下 降 .当 x 1 时 ， y
3
3
取极大值，当x 1时，y 取极小值.
(3) y 6 x 2 ，当 x 1 时 ，y 0.x 1 将 ( , 1 ), ( 1 , ) .
（ 5） yx3x2x1(x1)2(x1).当 x1时 ， y0.当 x0时 ， y1.曲 线 与 x轴 交 于 点 (1,0)及 (1,0)， 与 y轴 交 于 点 (0,1).极 大 值 yx10.
（6）将以下结果列表如下：
x (, 1) 1 ( 1 , 1) 1 (1 ,1) 1 (1,+) 3 3 33 3 3
高等数学3.8 函数图形的描绘
4 极大
11/3 拐点
0
6
(6，)
x (，3) f (x) f (x) f (x)
(3，3)
3 0
(3，6)
6 0
4 极大
(6，)
11/3 拐点
(5) x = 3是曲线的铅直渐近线，y = 1是曲线的水平渐近线； 补充f(1)8， f(9)8， f(15)11/4； (6)特殊点：f(0)1． y (7)绘图． x = 3 36 x (3,4) 11 y 1 ( x 3) 2 (6, ) 3 3 y=1
最后按照曲线的性态逐段描绘．
例1 画出函数yx 3x 2x1的图形． 解 (1)函数的定义域为(，)， (2) f (x)3x22x1(3x1)(x1)，f (x)6x22(3x1)． 驻点为x 1/3和x1；二阶导数为零的点为x 1/3． (3)列表分析： x (,1/3) 1/3 (1/3,1/3) 1/3 + 0 ຫໍສະໝຸດ 画函数的图形都要考虑什么？
描绘函数图形的一般步骤： (1)确定函数的定义域；
(2)观察函数y=f(x)是否具有奇偶性、周期性；
(3)求出一阶、二阶导数为零的点和一阶、二阶导数不存在 的点；
(4)列表， 确定曲线的单调性、极值点和极值，确定曲线的
凹凸性和拐点； (5)确定曲线有无渐近性； (6)确定一些特殊点(曲线与坐标轴的交点等); (7)在直角坐标系中，描出所有关键性的点，画出渐近线，
y
ye
x2
2
1
0
1
2
x
观察与思考： 观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两 侧(或两点间)曲线有什么特点？ 函数的图形有无渐近线？有无 对称性？
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1
x2
e2Leabharlann 2πB1x
9/30/2020
内容小结
1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线 ; 垂直渐近线; 斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
9/30/2020
思考与练习
1. 曲线
y
1 1
ex2 ex2
(A) 没有渐近线；
(B) 仅有水平渐近线；
(D )
(C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
y
0
0
y y
4) x 1 3
y
2 3
2
9/30/2020
0
2
4 3
(极大) (拐点)
2 3
(极小)
例4. 描绘方
程 解: 1) y (x 3)2 , 定义域为
4(x 1)
2) 求关键点.
原方程两边对 x 求导得
的图形.
2(x 3) 4 y 4 y 4xy 0
①
y x 3 2y 2(x 1)
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) k x]
x (或 x )
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例2. 求曲线
的渐近线.
y
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或 x 1)
3 O1 x
y x2
所以有铅直渐近线
x 3 及 x 1
又因
y 1 x 5 为斜渐近线 44
5) 求特殊点
x0 2 y 9 1
44
y (x 3)2 4(x 1)
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
1)
y
(x
2 1)3
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6）绘图
x (, 1) 1 (1,1) 1
y
2
义无
(极大)
定
(1,3) 3 (3, )
0
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线
①两边对 x 求导得
2 4 y 8y 4xy 0
y 1 4 y 2(x 1)
令 y 0 得 x 1, 3 ;
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3) 判别曲线形态
x (, 1) 1 (1,1)
y
0
y
1 (1,3) 3 无 0
定
义
(3, )
y
2
(极大)
0
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
y
y f (x)
CM
y kxb
L PN
O
x
y
Ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
(或 x )
若
则曲线
有水平渐近线 有铅直渐近线
(或 x x0 )
例1. 求曲线
y
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2
2
x x 1
O1
y 2 为水平渐近线;
lim( 1 2) , x 1为铅直渐近线. x1 x 1
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y b. x x0 .
x
2. 斜渐近线 ( P76 题14)
若
(kx b)
(或 x )
(kx b)
斜渐近线 y k x b. k lim [ f (x) b ]
x x x
lim x [ f (x) k b ] 0
x
x
x
k lim f (x) x x
(或 x )
k
lim
x
f (x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
b
lim [
x
f
(x)
x]
lim
x
2x2 3x x2 2x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
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二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数 期性 ;
的定义域 , 并考察其对称性及周
2. 求
并求出
及
为 0 和不存在
的点 ;
当x 时t 1, 因
t 1
lim y lim 3a t 2 3a t 1 x x t1 1 t 3 1 t 3
lim y
x
(x)
lim 3a t 2
t 1 1 t 3
3at 1 t3
lim
t 1
3 at(1t) (1t)(1t t
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
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一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,
则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
或为“纵坐标差”
例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线
x y0 ab
无渐近线 .
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
9/30/2020
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近 线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
y
1 2π
A
5) 作图
y0 O
y
提示:
9/30/2020
lim
x
1 1
e e
x x
2 2
1;
lim 1 x01
e e
x x
2 2
2. 曲线y 1 ex2 的凹区间是
( 1 , 1 )
22
,
凸区间 是
拐点 为
( ,
1 )
2
及
(
1 , )
2
,
(
1
1
,1e 2 )
2
渐近线
,
y 1 .
提示:
y 2 ex2 (1 2 x2 )
y
1
1
( 1 ,1 e 2 )
2
O
(
1
,1
1
e2 )
2
x
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作业
P76 P169 5
14 (2); 2;
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第七节
备用题 求笛卡儿叶形线x3 y3 3axy 的渐近线 .
y = t x 解: 令
代, 入原方程得曲线的参数方程 :
x
3at 1 t3
,
3at2 y 1t3 ,
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
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例3. 描 绘
解: 1) 定义域为
的图形. 无对称性及周期性.
2) y x2 2x , y 2x 2,
y
令 y 0,
令 y 0,
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
特殊点
x 1 y1x5
44
x0 2 y 9 1
44
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O12 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
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例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1
x
2
)
2π
令 y 0 得 x 0; 令 y 0 得 x 1
x1
y (x 3)2 , 4(x 1)
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
1)
,
y
(
x
2 1)3
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又因
lim y 1 , 即 k 1
x x 4
4
b lim ( y 1 x) lim [(x 3)2 1 x] x 4 x 4(x 1) 4
lim 5x 9 5 x 4(x 1) 4