圆和扇形学而思讲义
学而思培优之圆和扇形的周长与面积(二)
3
差不变——化不规则为规则
【例4】(★★★) ( ) 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形 边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取 3.14) D A E
B
C
F
等积变形——化不可求为可求
【例5】(★★★★) 【例 】( ) 如图，矩形ABCD中，AB＝ 6厘米，BC＝ 4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6 厘米，扇形CBF 的半径CB＝ 4厘米，求阴影部分的面积。(π 取3)
圆和扇形的周长与面积(二)
加油站
圆的周长
弓形： 弓形 弓形一般不要求周长 般不要求周长，主要求面积。 主要求面积。 弓形面积＝扇形面积－三角形面积。
C＝πd 或 C＝2πr
圆的面积
“弯角”：弯角的面积=正方形 弯角 ：弯角的面积=正方形-扇形 扇形
S＝πr2 扇形的弧长 C＝2 r
n 360
“谷子”： “谷子”的面积=弓形面积×2
整体考虑——柳暗花明 【例6】(★★★) (1)如图，求阴影部分的面积。( π取3)
北大附中“资优博雅杯”数学竞赛) (2)如图，阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH各边的中点，分别以 大正方形各边的一半为直径向外做半圆，再分别以阴影正方形的各边 为直径向外作半圆，形成8个“月牙形”。这8个“月牙形”的总面积 为32平方厘米 问大正方形EFGH的面积是多少？ 为32平方厘米，问大正方形 A E H C F B G D
从简单情况入手 从特殊到一般 【例7】(★★★★★) 传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10平方米。每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如下图)。那么， 阴影部分的面积是多少平方米？ 12 1 11 2 10
9 8 7 6 5 4
最新六年级数学讲义：圆和扇形.docx
已知公园面积为
1
2
平方千米,绿地面积为公园的
5
2，建筑物和道路的占地总面积为公园面积的
1
.问湖泊的面积是多少平方米？
3
18
23．预备（1）班在校田径运动会中得到42分，预备（2）班的得分是预备（1）班的6，预备（3）班的
7
得分比预备（2）班多
5
．预备（3）班得到了多少分？
12
11/14
24．在比例尺为1:3000000的地图上，量得A、B两地的距离是4.5厘米．一辆汽车上午10点从A地出
【即时检测】
1、求出下列图形中空白部分的面积.
2cm
4cm
2、 求出下列图形中阴影部分的面积
（1）
（2）
C
120°
ABD
4cm
CAB90 , ABAC , BC2cm
(3)(4)
4cm
2cm
3/14
4cm
3、求阴影部分的周长和面积（精确到0.1cm）
10cm
6cm
4、求下图阴影部分周长与面积（单位：厘米）
30%
，这件商品的现价是原价的
（用百分数表示） ．
9．按有关规定，进口某种货物需交纳货物价值12%的税.某公司进口了一批这种货物，交税
6万元，这批
货物价值
万元．
10．一个不透明的袋子里装有4个红球，5个黄球，1个白球． 小杰第一次摸出一个黄球后又放回袋子中，
接着摸第二次．他第二次摸中黄球的可能性的大小是
（1）、B类学生占全校学生的百分之几？
（2）、偶尔上网的学生有多少人？
A
C
126°
B
30、一根长314厘米的铁丝，问：
【初中数学暑期课程数学讲义】北师大版初一数学讲义-圆与扇形的相关计算
第1讲圆与扇形的相关计算知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：北师大版初一，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于北师大版初一新课，本节课我们要认识圆与扇形，了解圆与扇形的相关计算。
知识梳理讲解用时：20分钟1.圆的定义如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB 的圆心角.课堂精讲精练【例题1】在同一个圆中，分成的三个扇形A，B，C的面积之比为2∶3∶5，则最大扇形的圆心角为( )A．72°B．100°C．120°D．180°【答案】D【解析】360°÷（2+3+5）×5=180°讲解用时：5分钟解题思路：略教学建议：略难度：1 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习1.1】如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于．【答案】80°【解析】∵OM=ON，∴∠N=∠M=50°，∴∠MON=180°﹣∠M﹣∠N=80°，故答案为80°讲解用时：5分钟解题思路：考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题2】下列说法，正确的是（）A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是弧 D．过圆心的线段是直径【答案】C【解析】A.弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误；B.弧是圆上任意两点间的部分，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆，不是所有的弧都是半圆．故本选项错误；C.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的．D.过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误．故选：C．讲解用时：5分钟解题思路：根据弦，弧，半圆和直径的概念进行判断．弦是连接圆上任意两点的线段．弧是圆上任意两点间的部分．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．直径是过圆心的弦教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习2.1】有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）【答案】B【解析】解答：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．其中错误说法的是①③两个．故选：B．讲解用时：5分钟解题思路：根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题3】实践探究：有一个周长62.8米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为应选哪种比较合适？安装在什么地方？【答案】选射程为10米的喷灌装置，安装在圆形草坪的中心处【解析】选射程为10米的喷灌装置，安装在圆形草坪的中心处．解答：设圆形草坪的半径为R，则由题意知，2πR＝62.8，解得：R≈10m．所以选射程为10米的喷灌装置，安装在圆形草坪的中心处．讲解用时：5分钟解题思路：具体应选哪一种装置，取决于圆形草坪的半径，周长为62.8米的圆的半径约是10米．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习3.1】有两个圆，⊙1O的半径等于地球的半径，⊙2O的半径等于一个篮球的半径，现将两个圆都向外膨胀（相当于作同心圆），使周长都增加1米，则半径伸长的较多的圆是（）A．⊙1O B．⊙2OC．两圆的半径伸长是相同的 D．无法确定【答案】C【解析】解答：设⊙1O 的半径等于R ，膨胀后的半径等于R ′；⊙2O 的半径等于r ，膨胀后的半径等于r ′，其中R ＞r ．由题意得，2πR ＋1＝2πR ′，2πr ＋1＝2πr ′，解得R ′＝R ＋12π，R ′＝R ＋12π； 所以R ′－R ＝12π，R ′－R ＝12π，所以，两圆的半径伸长是相同的． 故选C ．讲解用时：5分钟解题思路：由L ＝2πR 计算出半径的伸长量，然后比较大小． 难度：3 适用场景：当堂练习题 例题来源： 年份：【例题4】将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么【答案】见解析【解析】这三个圆心角的度数分别为：°°236080234⨯=++；°°3360120234⨯=++；°°4360160234⨯=++.圆的面积29r ππ=，这三个圆心角的面积分别为：8092360ππ⨯=；12093360ππ⨯=；16094360ππ⨯=．这三个圆心角的面积之比为：2:3:4πππ=2：3：4．发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．讲解用时：5分钟解题思路：考查扇形面积及圆心角的概念．教学建议：总结升华：一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n与360的比，即S扇：S圆＝n：360，几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习4.1】一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？【答案】16.75平方厘米【解析】解：设扇形所在圆的半径为r，则216r=，则：扇形的面积为：1203.141616.75360⨯⨯≈（平方厘米）.答：这个扇形的面积为16.75平方厘米．【例题5】如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.【答案】【解析】略讲解用时：5分钟解题思路：略教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习5.1】一只小狗被一根6米长的绳子拴在一长10米宽4米的长方形建筑物的墙角上，狗不能进入建筑物活动，求狗能活动到的地面部分的最大面积。
学而思初三数学暑假班第7讲.圆的概念及性质.提高班.学生版
“圆”来如此漫画释义满分晋级7圆的概念及性质圆1级 圆的 概念及性质圆2级 与圆有关 的位置关系 圆3级 正多边形和圆 与圆中的计算暑期班 第七讲暑期班 第八讲暑期班 第九讲中考内容中考要求A B C圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题中考内容与要求扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份2010年2011年2012年题号11，20 20，25 8，20，25分值9分13分17分考点垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析定 义示例剖析圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆． 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径． 由圆的定义可知：⑴ 圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． ⑵ 要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 圆O半径圆心AO表示为“O ⊙”圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆．等圆O‘O同心圆O知识互联网模块一 圆的基本概念知识导航OEDCB A 弦和弧：1. 连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A B 、为端点的弧记作»AB ，读作弧AB ． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．4. 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．Cm劣弧优弧弦BAO表示：劣弧»AB优弧¼ACB 或¼AmB 圆心角和圆周角：1. 顶点在圆心的角叫做圆心角．2. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．O DC BA 圆周角圆心角下面这些都不是圆周角：【例1】 如图，若点O 为O ⊙的圆心，则线段_________________是圆O 的半径；线段___________是圆O 的弦，其中最长的弦是________；________是劣弧；___________是半圆．若40A ∠=︒，则ABO ∠=_________，C ∠=_______，ABC ∠=_______．【例2】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若2AB DE =，18E ∠=︒，求AOC ∠的度数．能力提升夯实基础OCBAD CBA NM O定 理示例剖析1. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦E DCBAO1. 若AB CD ⊥于E ，则CE DE =； »»AC AD =；»»BC BD =．2. 若CE DE =，则AB CD ⊥； »»AC AD =；»»BCBD =．【例3】 1．如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．求证：AMN CNM ∠=∠．2．如图，∠P AC =30°，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是 cm ．知识导航模块二 垂直于弦的直径FE ADOB CP3．如图，⊙O 的半径为2，弦32=AB ，点C 在弦AB 上，AB AC 41=，则OC 的长为（ ）A ．2 B ．3 C ．23 D ． 7【例4】 ⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB =8 cm ，CD =6cm ，求AB 与C 之间的距离．定 理示例剖析弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． O D CB A如图，由定理可知：若AOB COD ∠=∠，则AB CD =、»»AB CD =；若AB CD =，则AOB COD ∠=∠、»»AB CD =； 若»»AB CD =，则AB CD =、AOB COD ∠=∠．能力提升知识导航BCAO圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．C BAO2AOB ACB ∠=∠EO DCB A若ACB AED ∠=∠，则»»AB AD =直角直径OCB A圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补．如图，A B C D 、、、四点都在圆上，OD CBA则180A C ∠+∠=︒，180B D ∠+∠=︒、【例5】 ⑴ 已知，A B C 、、分别为O ⊙圆周上任意三点，请你判断同弧所对的ACB ∠与AOB∠的大小关系．O OO根据上面的推理，可以发现：__________________________________________________．⑵ 若点D 是优弧»AB 上任意一点，试判断ADB ∠与ACB ∠的大小关系． 根据上面的推理，可以发现：__________________________________________________．⑶ 如果点D 在劣弧»AB 上，此时ADB ∠和ACB ∠的大小关系还一样吗？可夯实基础ODCA以得到什么结论？COADE O B DFCA【例6】 ⑴ 如图，△ACD 和△ABE 都内接于同一个圆，则∠ADC +∠AEB +∠BAC =⑵ 在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ， 且CF ⊥AD ．则∠D = ．⑶ 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD +∠OCD = °．⑷ 如图，A B C D 、、、是O ⊙上的点，直径AB 交CD 于点E ，已知 57C ∠=︒，45D ∠=︒，则CEB ∠=________．⑸ 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，则该弦所对的圆周角为 ．【例7】 已知：在半径为52的⊙O 内，有互相垂直的两条弦AB ，CD ，它们相交于P 点．（1）求证：P A ·PB =PC ·PD ；（2）设BC 的中点为F ，连接FP 并延长交AD 于E ，求证：EF ⊥AD ； （3）如果AB =8，CD =6，求O 、P 两点之间的距离．判断正误能力提升探索创新EDCBA OCBADCB ED APEDOBFCAOGFE DC BAOEDCBA⑴ 半圆是弧⑵ 半径相等的两个圆是等圆⑶ 过圆心的线段是直径⑷ 两个端点能够重合的弧是等弧⑸ 圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分 ⑹ 长度相等的弧是等弧 ⑺ 直径是最大的弦 ⑻ 半圆所对的弦是直径 ⑼ 两个劣弧的和是半圆⑽ 圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R.训练1. 如图，CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．训练2. 图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，2cm DE =，则EF =_________．训练3. ⑴ 如图，O ⊙的直径为10，弦8AB =，P 是线段AB 上一点，则OP 的取值范围是________________．思维拓展训练(选讲)OBA⑵ 如图，将O ⊙沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O ，若O ⊙的半径为6，则弦AB 的长度等于_________．训练4. 如图，O ⊙中，AB 为直径，弦CD 交AB 于P ，且OP PC ，试猜想»AD 与»BC之间的关系，并证明你的猜想．OPABPCOAO DC BA E知识模块一 圆的基本概念 课后演练【演练1】 已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D ，两点．⑴ 求证：AOC BOD ∠=∠；⑵ 试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系，并证明你的结论．知识模块二 垂直于弦的直径 课后演练【演练2】 如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，若以C 为圆心、CB 的长为半径的圆交AB 于P ，则AP = .【演练3】 如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ，连接AC OC BC 、、， ⑴ 求证：ACO BCD ∠=∠，⑵ 若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径．知识模块三 弧、弦、圆心角和圆周角 课后演练实战演练DCAOPABC【演练4】 已知如图，在O ⊙中，AB 是O ⊙的直径，AC 、BC 分别交O ⊙于E 、D ，D 是»BE的中点，40A ∠=︒，求C ∠的大小．【演练5】 如图，ABC △内接于O ⊙，OD AC ⊥于D ，2OD =，4OC =，则B ∠=________．OD CB A OE DCBA第十七种品格：成就史蒂芬与他的导演梦史蒂芬·史匹柏在36岁时就成为世界上最成功的制片人，电影史上十大卖座的影片中，他个人囊括四部。
学而思-----第二讲 圆和扇形的周长与面积
D
E
D
E
A
A
B
C
F
B
C
F
4、旋转法（例 6） 旋转法是本讲的重 点与难点，对于“羊吃草”的问题还是比较 简单的。关键是直线型旋转面积，学员无法 想到
直线旋转后所扫发到 过的面积，其实，由教师讲解后你会发现， 一般情况下直线所扫过一周的面积（有特例 ，如：钝
角三角形的长边绕钝角顶点旋转时）就是一个圆环的面积。所以旋转多少度就再乘以 即可。
够活动的最大范围是 多少？（
）
分析：如图，羊活动的范围是受绳子的牵制的，所以羊活动的最大范围即绳子 AE 所扫过的总面积。（三部分）
（1） 红色部分为按绳长 30 米所能达到的最大范围（绳子不受任何牵制），此图形为半径 30，
圆心角 270 度的扇形。
（2） 黄色部分为按绳长 10 米所能达到的最大范围（绳子受点 D 牵制），所以之后只能按半径
由第三个图可知：所求面积已转化为扇环的面积，圆心角度数为 120 度。所以 阴影=
（
）
S=
E
E
E
C
C
G
C
G
A
B
D
A
F
B
D
A
F
B
D
第二讲 圆和扇形的周长和面积 2.2
五年级秋季班 第二讲 圆和扇形的周长与面积
曹威
拓展练习：“羊吃草 ”问题
草场上有一个长 20 米，宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈外的一角，用长 30 米的绳子拴着一只羊，问这只羊能
B
C
C
B
O
A
O
A
分析：与丄题同理 A 点移到 O 点，阴影面积变为扇形 OBC 的面积，注意：圆心角 COB=60 度。
圆和扇形学而思讲义
测试题
1.根据图中给出的数值，求这个图源自的周长和面积（ ）2.求下列各图中阴影部分的面积：
3.（实验中学07年期末考试题）
如下图，长方形ABCD，长是8cm，则阴影部分的面积。（ ）
4.在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。(圆周率取 )
D E
A B C
“谷子”的面积＝弓形面积×2
常用的思想方法：
１．转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）
２．等积变形（割补、平移、旋转等）
３．借来还去（加减法）
４．外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”。就是我们暑期学
习的“求反面”）
５．容斥（实际上容斥思想是贯穿于加减法始终的。我们把两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的
5.如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC长。（ 取3.14）
6.用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板。问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？
7.如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。已知 ，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取 )
8.一只羊被拴在一个长为4米，宽为3米的长方形的羊圈内，在 处有一个缺口，羊可以自由出入，拴绳长9米，那么羊能够到达的地方的面积约为平方米。( 取 )
答 案
1．18.28；23.14
2．25；ab
3．3.44平方厘米
4．1.42
5．15
6．8
7．32.125
8．50.465
内容提要
圆形
周长和面积
扇形
(精品)数学讲义六年级秋季班-第18讲：圆和扇形章节复习
圆和扇形是初中数学六年级第四章的内容，同学们需要学会用圆的周长、面积、弧长和扇形面积公式进行简单的计算，并体会近似与精确的数学思想．难点是圆的组合图形的面积计算，同学们需要灵活运用各个基本图形面积的计算方法，并能看出组合图形是由哪些基本图形组成，从而进行相关的计算．基本内容注意点4.1 圆的周长 1、圆的周长公式及应用． 4.2 弧长 1、弧长公式及应用． 4.3 圆的面积 1、圆的面积公式及应用． 4.4 扇形的面积1、扇形的面积公式及应用；2、*圆的组合图形的面积计算．【例1】 圆的周长是这个圆半径的（ ）倍A ．6B ．2C ．3.14D ．6.28【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 同一个圆里，直径与半径的比是______． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析圆和扇形章节复习内容分析知识精讲【例3】要画一个周长为18.84厘米的圆，它的半径应取______厘米．【难度】★【答案】【解析】【例4】如果圆的半径缩小到它的13，那么圆的周长缩小到原来的______．【难度】★【答案】【解析】【例5】如果圆上一条弧长占圆周长的15，那么这条弧所对的圆心角占圆的周角的______．【难度】★【答案】【解析】【例6】圆心角为45°的扇形，如果拼成一个圆，需要这样的扇形至少____个．【难度】★【答案】【解析】【例7】下列叙述中正确的个数是（）（1）弧的长度只取决于弧所在圆的半径大小；（2）两条弧的长度相等，则它们所对的圆心角相等；（3）圆心角扩大3倍，而圆的半径缩小13，那么原来的弧长不变．A．0B．1C．2D．3【难度】★【答案】【解析】2/ 13【例8】一个扇形的面积是它所在圆面积的79，这个扇形的圆心角是______度．【难度】★【答案】【解析】【例9】一个圆的周长为9.42厘米，那么这个圆的面积是______平方厘米．【难度】★★【答案】【解析】【例10】把一根长314厘米的细钢丝绕在一个圆筒上，正好绕10周，这个圆筒的半径是（）A．5B．10C．20D．3.14【难度】★★【答案】【解析】【例11】在一个边长为8厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是______厘米．【难度】★★【答案】【解析】【例12】有一个直径是8厘米的半圆形铁片，这个铁片的周长是______厘米．【难度】★★【答案】【解析】【例13】一个环形纸板，内圆半径是3厘米，外圆直径是10厘米，这个环形纸板的面积是______平方厘米．【难度】★★【答案】【解析】【例14】下列说法正确的是（）A．扇形是圆的一部分，圆的一部分是扇形B．圆中任意画两条半径，一定能构成两个扇形C．如果圆的面积扩大9倍，那么圆的直径扩大9倍D．在所有扇形中，圆半径大的面积大【难度】★★【答案】【解析】【例15】已知大扇形的面积是小扇形面积的94倍，如果它们的圆心角相等，那么小扇形的半径是大扇形半径的______．【难度】★★【答案】【解析】【例16】已知扇形的弧长是9.42厘米，圆心角是270°，那么这个扇形的面积是______平方厘米【难度】★★【答案】【解析】4/ 13【例17】图中的三角形是等边三角形，阴影部分是一个扇形，那么阴影部分的面积是______平方厘米．【难度】★★【答案】【解析】3厘米【例18】下面两个图形中，其中正方形的面积相等，那么阴影部分面积大小关系是（）A．甲> 乙B．甲< 乙C．甲= 乙D．无法比较【难度】★★【答案】【解析】【例19】要画一个面积是3.14平方厘米的圆，圆规两脚之间的距离要取______厘米．【难度】★★【答案】【解析】【例20】在周长为24厘米的正方形纸片上剪去一个最大的圆，则剩余部分的周长是______厘米，面积是______平方厘米．（结果保留 ）．【难度】★★【答案】【解析】【例21】如图，阴影部分周长相同的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】【解析】6 / 13ABCDABCD【例22】 如图，正方形中，分别以两个对角顶点为圆心，以正方形的边长6为半径画弧，形成树叶形的图案（阴影部分），求树叶形图案的周长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】 扇形的面积是314平方厘米，扇形所在的圆的面积是1256平方厘米，这个扇形的圆心角是多少度？【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】 如图，AB = BC = CD = 2厘米，分别求出大、中、小圆的周长和面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 如图，四边形ABCD 是长方形，AB = 12 cm ，求图中阴影部分的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】一辆自行车轮胎的外直径是0.7米，如果车轮每分钟转90周，40分钟能行多远？通过一座567米的大桥需要多少分钟？（ 取3）【难度】★★【答案】【解析】【例27】在长19厘米，宽9厘米的长方形纸片中，剪半径都是1.5厘米的小圆，共可剪出小圆多少个？剪去这些小圆后，剩下的边角料的总面积是多少？．【难度】★★【答案】【解析】【例28】四个半径为2厘米的圆围成的图形中，求阴影部分的面积和周长．【难度】★★【答案】【解析】【例29】如图，圆的周长为6.28厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是______厘米．【难度】★★★【答案】【解析】8 / 13拥有2台拥有1台 其他【例30】 两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子直径是3 dm ，当它旋转7周时，另一个轮子转了5周，则另一个轮子的半径是______dm ．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例31】 将一个圆沿半径剪开，再拼成一个近似长方形，已知这个长方形的周长是41.4厘米，那么，这个圆的周长和面积各是多少？【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例32】 在一次对某小区500户家庭拥有电视机的数量的调查中，调查结果如图所示，根据图中所给的信息回答问题：（1）家中拥有一台电视机的家庭有几户？（2）如果拥有一台电视机的家庭数正好是拥有2台电视机的家庭数的27，那么拥有2 台电视机的家庭有几户？（3）图中的“其他”的扇形的圆心角是几度？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】若一弧的长是它所在圆的周长的15，则此弧所对的圆心角是______度．【难度】★【答案】【解析】【作业2】如果一条弧所对的圆心角缩小为原来的14，所在圆的半径扩大为原来的3倍，那么所得的新弧长与原来的弧长之比是______．【难度】★【答案】【解析】【作业3】甲圆与乙圆的半径之比是 2 : 3，则甲与乙的直径之比是______，周长之比是______，面积之比是______．【难度】★【答案】【解析】【作业4】下列说法正确的个数是（）（1）半径越大，圆的面积越大；（2）半径越大，所对的弧越长；（3）弧是圆上两点间的一条线段；（4）圆心角相等，它们所对的弧长也相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】【解析】课后作业【作业5】求下列各圆的周长和面积：（1）r = 3，C =______，S =______；（2）d = 8，C =______，S =______；（3）l = 5，n = 72°，S =______．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】求下列弧的弧长：（1）r = 4，n = 90°，l =______；（2）d = 9，n = 120°l =______；（3）C = 20，n = 175°l =______．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】在长是6厘米，宽是4厘米的长方形内剪一个最大的圆，则圆的面积是______平方厘米【难度】★★【答案】【解析】【作业8】用一根长为37.68厘米的铅丝围成一个圆，圆的面积是______平方厘米．【难度】★★【答案】【解析】10/ 13【作业9】一个圆环形纸片，外环半径6厘米，内环半径5厘米，这个圆环的面积是______平方厘米，周长是______厘米．【难度】★★【答案】【解析】【作业10】已知一个扇形的半径是6厘米，圆心角是120°，则此扇形的周长是______厘米．【难度】★★【答案】【解析】【作业11】扇形的半径是6分米，扇形的弧长是4π分米，这段弧所对的圆心角是______度，这个扇形的面积是______平方分米．（结果保留π）【难度】★★【答案】【解析】【作业12】一个时钟的时针长5厘米，它从上午8点到下午4点，时针针尖走过的距离是（）A．203πB．103πC．60πD．30π【难度】★★【答案】【解析】12 / 13 A B O A B C D A BC D 【作业13】 已知一条弧长等于1，它的半径为R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加（ ）A ．1nB ．180Rπ C ．180R π D ．1360【难度】★★【答案】【解析】【作业14】 如图，半径r = 12，60AOB ∠=︒，求这个图形的周长．【难度】★★【答案】【解析】【作业15】 如图，正方形ABCD 的边长为4，求阴影部分的面积和周长．【难度】★★【答案】【解析】【作业16】 如图，四边形ABCD 是长方形，AB = 10 cm ，BC = 6 cm ，求阴影部分的周长．【难度】★★【答案】【解析】A BCAB CD【作业17】如图，一个边长是1厘米的等边三角形，将它沿直线作顺时针方向翻动，到达图示中最右边三角形的位置，点B所经过的路程是______厘米．（结果保留π）【难度】★★★【答案】【解析】【作业18】如图所示，已知正方形ABCD的边长为3.2厘米，在这个正方形中有个半径为0.4厘米的圆沿着它的四条边滚动一周，求圆滚动时扫过的面积．（结果保留π）【难度】★★★【答案】【解析】。
小学思维数学讲义圆与扇形-带详解
圆的面积 = πr 2 ；扇形的面积 = πr 2 ⨯ ；圆的周长 = 2πr ；扇形的弧长 = 2πr ⨯ ．1 1 1n比如：扇形的面积 = 所在圆的面积 ⨯ ；圆与扇形（三）例题精讲研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．n360n 360一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的 圆、 圆、 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几2 4 6分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是 ．360n360 扇形中的弧长部分 = 所在圆的周长 ⨯n360扇形的周长 = 所在圆的周长 ⨯ n 360+ 2 ⨯ 半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积 = 扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积 = 正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积 = 弓形面积 ⨯2二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块、曲线型旋转问题【例 1】 正三角形 ABC 的边长是 6 厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使 A 点再次落在这条直线上，那么 A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是 15 平方厘米，那么三角形在滚 动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留 π )BAC B A【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答π ⨯ 62 ⨯ ⨯ 2 + 15 = 24π + 15 平方厘米．= ，弧 C C 为小圆360︒ 122π ⨯ 20 ⨯ + 2π ⨯10 ⨯ = π + 5π = π (厘米)．【答案】 π第 1 段是弧 AA ，它的长度是 2 ⨯ π ⨯ 4 ⨯ ( cm )；4第 2 段是弧 A A ，它的长度是 2 ⨯ π ⨯ 5 ⨯ ( cm )；4第 3 段是弧 A E ，它的长度是 2 ⨯ π ⨯ 3 ⨯ ( cm )；4所以 A 点走过的路程长为： 2 ⨯ π ⨯ 4 ⨯ + 2 ⨯ π ⨯ 5 ⨯ + 2 ⨯ π ⨯ 3 ⨯ = 6π ( cm )．2π ⨯ 6 ⨯ 120 360⨯ 2 = 8π 厘米；三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个 120︒ 的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：120360【答案】 24π + 15【巩固】直角三角形 ABC 放在一条直线上，斜边 AC 长 20 厘米，直角边 BC 长 10 厘米．如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕 A 点转动，到达位置Ⅱ，此时 B ，C 点分别到达 B ，C 点；再绕 B 点转动，到达位置Ⅲ，111此时 A ， C 点分别到达 A ， C 点．求 C 点经 C 到 C 走过的路径的长．12 2 1 2A 2B C 1C60︒Ⅰ 30︒AⅡB 1 ⅢC 2【考点】曲线型旋转问题【难度】3 星 【题型】解答【解析】由于 BC 为 AC 的一半，所以 ∠CAB = 30︒ ，则弧 CC 为大圆周长的1180︒ - 30︒ 51 2周长的 1 4，而 CC + C C 即为 C 点经 C 到 C 的路径，所以 C 点经 C 到 C 走过的路径的长为1 12 1 2 1 25 1 50 6512 4 3 3653【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为 4cm 和 3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是 5cm ．让这个长方形绕顶点 B 顺时针旋转 90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点 A 到达点 E 的位 置．求点 A 走过的路程的长．ⅠⅡⅢⅣⅠA 1ⅡⅢA 2 Ⅳ A BCDE ABCD E【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】因为长方形旋转了三次，所以 A 点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．这三段路程分别是：11 11 2 12 1 1 14 4 4【答案】6π【例 2】 草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊(见如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取 3.14 )所以羊活动的范围是 π ⨯ 302 ⨯ + π ⨯ 202 ⨯ + π ⨯102 ⨯ = π ⨯ 302 ⨯ + 202 ⨯ + 102 ⨯ ⎪= ⨯ π ⨯ 32 = π = 4.5(cm 2 ) ．3030A10 C10B20【考点】曲线型旋转问题【难度】3 星 【题型】解答【解析】如图所示，羊活动的范围可以分为 A ， B ，C 三部分，其中 A 是半径 30 米的34个圆， B ，C 分别是半径为 20 米和10 米的 1 4个圆．3 1 14 4 4⎛ 3 1 1 ⎫ ⎝4 4 4 ⎭ = 2512 ．【答案】2512【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是 4m ，求狗所能到的地方的总面积．(圆周率按 3.14 计算)33【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】如图所示，羊活动的范围是一个半径 4m ，圆心角 300°的扇形与两个半径1m ，圆心角 120°的扇形之和．所以答案是 43.96m 2．【答案】43.96【例 3】 如图是一个直径为 3cm 的半圆，让这个半圆以 A 点为轴沿逆时针方向旋转 60︒ ，此时 B 点移动到 B '点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为 cm ，圆周率按 3 计算)．B'60︒AB【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】面 积 = 圆心角为 60︒ 的扇形面积 + 半圆 - 空白部分面积 ( 也是半圆 ) = 圆心角为 60︒ 的扇形面积60 3360 2【答案】4.51所以阴影部分面积为⨯ π ⨯ (AB 2 - BC 2 )= 75 (平方厘米)．因此可以求得，三角形扫过的面积为： 24 + ⨯ π ⨯10 ⨯10 = 24 + 25π = 99 (平方厘米)．【例 4】 如图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米， ∠ABC = 60︒ ，此时 BC 长 5 厘米．以点 B 为中心，将 ∆ABC 顺时针旋转 120︒ ，点 A 、 C 分别到达点 E 、 D 的位置．求 AC 边扫过的图形即图 中阴影部分的面积．( π 取 3)ECAB D【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】注意分割、平移、补齐．EC(1)(2)AB D如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置， 因为 ∠EBD = 60︒ ，那么 ∠ABE = 120︒ ，则阴影部分为一圆环的 ．31 3【答案】75【巩固】如右图，以 OA 为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 10 厘米，将它以 O 点为中心旋转 90︒ ，问：三角形扫过的面积是多少？( π 取 3)AOA'【考点】曲线型旋转问题【难度】3 星 【题型】解答【解析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边OA ．14【答案】99【巩固】(“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形 ABC 中， ∠B 为直角，且 BC = 2 厘米， AC = 4 厘米，则在将 ∆ABC 绕 C 点顺时针旋转120︒ 的过程中， AB 边扫过图形的面积为 ．( π = 3.14 )差，为 ⨯ π ⨯ 42 - ⨯ π ⨯ 22 = 4π = 12.56 (平方厘米)．所求面积为 12 π ⨯ - 12 ⨯ ⎪ + (12 - r 2 )π ⨯ ⎛ 1 1 ⎫ 1 π 1 π AAB'BC B C A'【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】如右上图所示，假设 ∆ABC 旋转120︒ 到达 ∆A ' B 'C 的位置．阴影部分为 AB 边扫过的图形．从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于 扇形 ACA' 的面积与 ∆ABC 的面积之和，空白部分面积等于扇形 BCB ' 的面积与 ∆A ' B 'C 的面积，由 于 ∆ABC 的面积与 ∆A ' B 'C 的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形 ACA' 与扇形 BCB' 的面积之120 120360 360【答案】12.56【例 5】 如下图，△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是 1 米。
学而思五年级春季下学期超长123班讲义学案试题(8-13讲)
第八讲圆与扇形进阶圆的面积=乃广；扇形的面积=万厂x——：360n圆的周长=2万厂；扇形的弧长=24r X ——o360二5.传说古老的天竺国有一座钟楼,钟楼上有一座大钟,这座大钟的钟面有10平方米. 每当太阳西下,钟面就会出现奇妙的阴影〔如图〕.那么,阴影局部的面积是_________ 平方米.作业4,图中正方形的边长为5厘米,那么图中阴影局部的面积是多少?作业5.在图中所示的正方形ABCD中,对角线AC长2厘米,扇形ADC是以D为圆心,以AD 为半径的圆的一局部,求阴影局部的面积？万二3.1 4作业6.图中正方形的边长为2 0厘米,中间的三段圆弧分别以°:、Q为圆心,求阴影局部的面积？一 2.将以、£1、0. 5 23、0. 523、0.52从小到大排列,第三个数是 ___________________250 40一 3.比拟大小：U.和H ；_LLL 和ULL27 57 1111 11111交叉相乘假设2>«〔a 、b 、c 、d 为正整数〕,那么bc>ad . a c一 5,下式中五个分数都是最简真分数,要使不等式成立,这些分母的和最小是多少?_!_> 三,3 > 4 >工(_) (_) (―) (_) (_)•o 】O 2 B一.大小比拟1.通分相乘6、糖水原理二.估算1、整体放缩 放缩2 .化成小数 a a + c c 2、局部放缩 第九讲比拟与估算3 .倒数法 4.参考值法 5.交叉 7.糖水原理 2. 〞〃一 a a + m 3、中项放缩 4、分组 3 - 5 、2 - 2、u 根据从小到大的顺序排列. 7 19一.7 设a = -L + _L + _L,z? = _L + L + L + L + _L,那么在a与b中,较大的数是___________30 31 32 48 49 50 51 52参考值法二6.将乌、11、竺、卫按从小到大的顺序排列. 17 24 35 59糖水原理一结论1假设那么2Va c a a+c c1 3 _导问4.如果一个班的女生人数占全班人数的一和一之间,这个班至少有多少人?3 8糖水原理一结论2假设0<2<l,ni>0,那么2〈处竺 a a a + in原理解读：(1)横向看:分子分母同时“十〞一个常数,分数值变大；(2)纵向看：每个分数的“分母-分子〞差是相同的,也就是说这个糖水原理的应用条件是:如果“分母-分子〞差不同,可以通过扩倍变成差相同,之后就可以应用糖水原理二2 (2).比拟2、卫、丝、吧的大小. 7 23 33 161二4(1).比拟大小：3x5、11x13, 7x915x1719x21 23x25二、估算本讲估算用到4种方法:整体放缩、局部放缩、中项放缩、分组放缩.1、整体放缩指的是所有项都参与放缩,每一项都根据最大项、最小项估算得到最大值和最小值,得到算式估算的范围.题目一般是求：整数局部.2、局部放缩指的是:不是所有项都参与放缩,留一局部差异比拟大的项参与计算,其它项再进行放缩,放缩也是找最大值和最小值.题目一般也是求:整数局部.3、中项放缩算式中的两项,找两项的中间数来表示,这种放缩方法叫作中项放缩.三.3 (1) 1 的整数局部是1 i i F——+——+——...4-——30 31 32 49(2) ] 的整数局部是______1 --- i i r 1 ------------- 1 --- ... H IO 1 1 12 28三 4. I+L+L+_L+1+L+L+L+_L+L+_L+_L+_L+_L+_L的整数局部是多少？2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 154、分组放缩指的是,算式中+、-交错,对算式进行〔+、-〕分组和〔-、+〕分组,舍弃后面一些值较小的分组,可以得到算式的最大值和最小值.三.5 1 …+_L__L + _L的整数局部是_______2 3 4 5 98 99 100补充1.+…+ _L__L + _L) X 10的整数局部是______________________2 4 6 96 98 100补充2_L__L + _L__L+…+___________ 1____ 化成小数,小数点后第1位是 __________ 1x2 3x4 5x6 7x8 2021x2021作业4.假设将算式1r 3r l l …诉•焉/K 的值化为小期 期费点后第1 1x2 3x4 5x6 7x8 2007x20212021x2021个数字是多少？在111JL …J L学案L £2'3'4' RblQO 靓出假设干个数使它们的 和大于3,最少要选多少个数?第十讲比例法解行程-7.从甲地到乙地,假设速度提升0, 2倍,那么时间少用1小时,那么原方案用多少小时? 一 3.甲乙二人分别从A 、B 两地同时出发,相向而行,甲乙的速度之比是4： 3,二人相遇 后继续前进,甲到达B 地和乙到达A 地后都立即返回,二人第二次相遇的地点距离第 一次相遇的地点3 0千米,那么A 、B 两地相距多少千米？作业6.：S i i L -1980*1981*1982^^*2006.那么S 的 郃分是 2007 2021 占2 3 4 5 1984.」 Tf+5+3■+…4■丽的大乙 学案2. 1 2 3 —I --- 1 ---- F …+ 2 3 4二2.A、B两地相距6 0 0米,甲、乙分别从A、B两地同时出发,结果在距B地2 0 0米处相遇,如果乙的速度提升到原来的3倍,那么两人可提前2分钟到达,那么中的速度是每分钟多少米？二3.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行.出发时,甲、乙的速度比是5： 4, 相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%.这样当中到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A、B两地相距多少千米？二4.如图,C、D为AB的三等分点;8点整时甲从A出发匀速向B行走,8点12分乙从B出发匀速向A行走,再过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走；甲、乙在C点相遇时丙恰好走到D点,甲、丙8:30相遇时乙恰好到A.那么,丙出发时是8点分.••••A C D B三L甲乙两车由A地开往B地,甲车速度是每小时8 0千米,乙车速度是70千米/时,甲车比乙车提前1 5分钟到达B地,那么AB两地的距离是多少？三2 .乐乐从家到学校平时需要45分钟,今天乐乐起晚了,她需要用1.5倍的速度赶去学校,才刚好不会迟到,那么现在距离上课还有多少分钟？三3 . 一辆汽车从甲地开往乙地,每分钟行7 5 0米,预计20分钟到达,但出发时被耽误了5分钟,如果仍需在预定的时间内到达,汽车每分钟必须比原来快多少米？三4.王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原方案的速度提升了u结果提前9一个半小时到达；返回时,按原方案的速度行驶280千米后,将车速提升1,于是提前1小时64 0分到达北京.北京、上海的路程是多少千米?三5.上午8点整,甲从A地出发匀速去B地,2 0分钟后,甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提升到原来的3倍,乙速不变;8点30分,中乙两人同时到达各自目的地,那么,乙从B地出发是8点分？学案1.运动会上,康子和阿雪正在为100 0 0米跑的冠军做最后冲刺,康子暂时领先阿雪1 0米,阿雪奋力追赶.:阿雪跑5步的距离,康子只需跑4步;但阿雪跑9步的时间,康子只能跑7步.现在阿雪离终点还有4 00米,如果两人都保持这个速度到终点,谁得冠军？学案2 .甲、乙两人从相距4 9 0米的A、B两地同时步行出发,相向而行,丙与甲同时从A 出发,在中、乙二人之间往返跑步〔遇到乙立即返回,遇到甲也立即返回〕.丙每分钟跑2 4 0米,甲每分钟走40米,当丙第一次折返回来并与甲相遇时,甲、乙二人相距210米,那么乙每分钟走______ 米；甲下一次遇到丙时,甲、乙相距_____ 米.学案3. 一列火车出发1小时后因故停车0. 5小时,然后以原速的3 / 4前进,最终到达目的地晚1.5小时;假设出发1小时后乂前进90公里再因故停车0. 5小时,然后同样以原速的3/4前进,那么到达目的地仅晚1小时,那么整个路程为多少公里？作业工李经理的司机每天早上7: 3 0分到达李经理家接他去公司.有一天李经理7点从家里出发去公司,路上遇到从公司按时来接他的车,再乘车去公司,结果比平时早到5分钟. 那么李经理乘车的速度是步行速度的倍？作业5 .如图：中乙分别从A、C两地同时出发,匀速相向而行,他们的速度之比为5: 4,相遇于B地后,甲继续以原来的速度向C地前进,而乙那么立即调头返回,并且乙的速度比相遇2前降低M这样当乙回到C地时,中恰好到达离C地18千米的D处,那么A、C两地之间的距离是多少？AB C D作业6. 一辆大货车与一辆小轿车同时从中地开往乙地,小轿车到达乙地后立即返回,返回时速度提升509、出发2小时后,小轿车与大货车笫一次相遇,当大货车到达乙地时,,小轿车刚好走到甲乙两地的中点.小轿车在甲乙两地往返一次〔返回时提速〕需要多长时间？补充1.甲乙两人从A、B两地同时出发,相向而行,在图C点处相遇；当甲乙相遇时,丙从B 地出发,在图D点和中相遇;相遇后中立即掉头,并以原来速度的80%向A行走,最后和丙同时到达A地,而此时,乙离A地还有720米,CD=900米,求全程？.位值原理1、位值原理:错误!未定义书签.=a X 10000+bXlOOO+cXl 0 0+dX 10+e 二错误！ X 10 0 + 错误！3、三个互不相同的非零数字,组成的所有三位数之和一定是222的倍数.位值原理题目,常用的解题方法有：提取公因数、不定方程等.-6. 一个六位数错误!,如果满足4义错误!未定义书签.=错误!,那么称错误!为“迎春数〞 〔如4X102564 = 4 1 0 256,那么102564就是“迎春数〞〕.请你求出所有“迎春数〞的 总和.二3. 一个四位数的反序数比它本身大880 2 ,求这个四位数.二5.一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积〔即错误!未定义书签.二4 5X 错误!〕,那么这个五位回文数最大的可能是 _______ o三3 .一个四位的完全平方数,它的前两位数字相同,后两位数字也相同,请找出所有符合 条2、m 为原序数与其反序数的差一定是?’99的倍数,m 为奇数 9的倍数,m 为偶数件的四位数.三4.两个不同的数字组成的两个两位数的平方差,仍然是一个平方数,即而:丽三x方,求AB ?三5 .如果一个五位数,它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的2 5倍.那么,这个五位数的最大值是_______ ,前两位的最大值是______ o学案1 .设六位数\x\to (abcdef)满足错误!二fX错误!,请写出这样的六位数.学案2. ABCDCBA是一个七位回文数,其中相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字,这个七位数第一位能被2整除,前2位组成的两位数能被3整除,前3位组成的三位数能被4整除,……,前7位组成的七位数能被8整除,那么错误!未定义书签.学案3.将4个不同的数字排在一起,可以组成2 4个不同的四位数.将这2 4个四位数按从小到大的顺序排列的话,第二个是5的倍数；按从大到小的顺序排列的话,第二个是不能被4整除的偶数;按从小到大排列的第五个与第二十个的差在300 0 ~4 0 0 0之间.求这2 4个四位数中最大的那个.作业4.观察如下图的减法算式,得数1 7 5和被减数571的数字顺序相反.那么,减去3 96后,使得数与被减数的数字顺序相反的三位被减数共有个.作业5.在十进制中,有两个两位数错误!未定义书签.、bb o假设〔痴〕、〔砺了=错误!, 请问错误!未定义书签.的值是什么？作业6.保险箱的密码是一个两位数,其中左边3位相同,右边3位数字是3个连续的自然数,6个数的和恰好等于末尾的两位数,那么这个密码是什么？补充1.有4个不同的数字共可组成1 8个不同的四位数,将这18个不同的4位数由小到大排成一排,其中第一个是完全平方数,倒数第二个也是完全平方数,那么,这18个数中最小的是多少？这18个数的平均数是多少？补充2 .一个四位数满足错误! =2X 错误！ X 错误!未定义书签.,求这个四位数.第十三讲概率初识=上,其中n 和m 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法 nm 求出.0< 一W1, n错误!未定义书签.一 3. S 老师每天出门后都要坐地铁10号线去上班；地铁I 0号线的 每辆列车停靠时间都是1分钟,并且从一辆车离开到下一辆车到来的时间是5分钟;那么：(1) S 老师一进地铁就能坐上车的概率是多少？(2) S 老师进了地铁后要等待的概率是多少？(3)其实S 老师是个急性子,他只要等两分钟就会开始着急；请问S 老师会着急的概率 是多少？(4) Z 老师在S 老师后3分钟出发,问两个人在地铁 中遇到的概率是多少？(在车上遇到也算) 一 5. S 老师喜欢买“七星彩〞彩票,即从00000 0 0、9 9 999 9 9中选取号,开奖时看所选 号是否与开奖号一致；每个号售价2元,一等奖(7个数字全猜中)奖金是五百万元； 那么：(1) S 老师花2元买了一个号,请问S 老师中一等奖概率是多少？(2) S 老师总中不了一等奖,于是这周他一下子还100元买了互不相同的彩票,这回中一 等奖的概率是多少？(3 ) S 老师花2元买了一个号,请问S 老师中二等奖概率是多少？(二等奖:有6个连 续的数字与开奖号一致而另一个数字不一致)(4)S 老师心里想：“我每周都花100元买彩票,我就不信半年之内我中不了一等奖！ 〞请 问S 老师如果真的这样买彩票的话,半年(按26周计算)之内他能中一等奖的概率是多少？ 二2.袋子里有大小、形状都相同的2个红球、3个黄球、4个篮球,从中一次摸出5个球,, 满足条件的情况总数概率: ---------------所有情况的总数请问摸出的5个球中,3种颜色都有的概率是？二1.袋子里有大小形状都相同的小球共5个,其中白球3个,红球2个；(1)从中无放回的摸出2个球,这2个球都是白色的概率是多少？(2 )从中无放回的摸出2个球,这2个球颜色相同的概率是多少？颜色不同的概率是多少？(3 )从中有放回的依次摸出3个球,这3次摸出的球颜色都相同的概率是多少?不都相同的概率是多少？(4 )如果每次摸出一个球就要放回一个另一种颜色的球,摸3次,三次摸出的颜色不都相同的概率是多少？二3.袋子里只有1个红球,其余都是大小、形状都相同的白球;S老师和Z老师轮流从袋子中取球,每人每次不放回地取1个球,谁先取到红球谁获胜；Z老师先取,那么：(1)假设袋中共有2个球,这个游戏公平吗？(2)假设袋中共有3个球,这个游戏公平吗？(3)假设袋中共有4个球,这个游戏公平吗？(4)假设袋中共有4个球,但现在Z老师第1次取球很倒霉,取出的是白球,此时S老师的获胜概率是多少？请结合前面的知识作答；(5)假设把游戏规那么改为袋中共有30个球,每人每次取3个球的话,此时的游戏公平吗？三2.有几人正在进行扑克牌游戏,从52张(即一副不带大小王的)扑克牌中抽出5张,谁的牌更罕见、儿率更小,谁就赢；此时有两人起了争执:第一个人认为5张牌中有4张牌数字相同的几率小；而另一个人认为5张牌数字依次相连,并且包含所有花色的儿率更小(10、J、Q、K、A也算相连)；Z老师帮助他们计算了一下,终于使输的一方心服口服；同学们, 你们能算出究竟哪种牌更罕见吗?请计算两种牌各自出现的概率.三3.有几个人正在玩“猜骰子〞游戏：一个罐子里有3个骰子,庄家摇罐子招揽客人下注,每次6人参加,每人猜1〜6中的一个数字,不允许两人猜一样的,每人每次下的注都是10元钱;输赢规那么如下：①摇出的骰子中有你猜的点数,你就赢;没有就输；②输的话,你的1 0元就归庄家所有；③3个骰子中有儿个被猜中的点数,庄家就付给客人几个1 0元.客人们都想：“6种点数,3个骰子,我获胜的几率是二分之一;并且我输就输10元,赢的时候还有可能赢20、30元;这是一个对我有利的游戏呀！〞于是纷纷报名;X老师在一边摇了摇头感慨道：“真是十赌九输呀！〞请问客人的想法错在哪里?按概率计算：庄家平均每局的收益是多少元？学案2.袋中有大小和形状完全相同的红、黄、蓝、绿色球各2个,共8个,那么:(1)一次摸出2个颜色相同的球的概率是多少？(2)一次摸出2个颜色各不相同的球的概率是多少？请用2种不同的方法计算(3)一次摸出3个颜色互不相同的球的概率是多少？学案3 .S老师、Z老师两人猜拳(石头、剪子、布),三局两胜;请问：(1)一局之内,S老师赢的概率是多少?平的概率是多少?输的概率是多少？(2)S老师连胜2局拿下比赛的概率是多少？(3 )2局以内两人就能决出胜负的概率是多少？(4) 3局以内两人就能决出胜负的概率是多少？(提示:别忘了可以“胜平胜〞哦)作业2.某一个“七星彩〞号换奖金时,只换得了两倍的末等奖〔有两个连续的号猜中〕奖金;这样的号共有几种？作业3.袋中有大小、形状相同的球共6个,其中红球、黄球、篮球各2个；甲、乙、丙三人从袋中摸球,每个人都不放回地摸出2个；请问：发生“有人摸出颜色相同的球〞这件事的概率是多少？作业4.某个游戏要从袋中摸球；袋中有大小、形状相同的白球2个、红球3个；游戏规那么是：每次不放回地摸出1个球,直到摸出2个相同颜色的球为止；请问：以摸出2个红球结束游戏的概率是多少？作业5.某个比赛会把参赛的1 0名选手随机地排广10号;然后1〜5号一队,6〜1 0号队；10名选手之中有一对兄弟,请问兄弟俩被分在同一队伍的概率是多少？作业6.S老师、Z老师和X老师3人玩扑克游戏,轮流摸牌,摸完了 5 4张牌;请问S老师同时摸到大王和小王的概率是多少？补充1.在半径为1的单位圆中,长度＞7q的弦出现的概率是多少?补充2 .周润发?赌神?电影中的“梭哈〔showhand〕"是从52张〔即一副不带大小王的〕扑克牌中抽出5张,大小顺序为：同花顺＞四条〔炸弹〕,葫芦〔三带二〕〉同花〉顺子? 三条〉两对〉单对〉散牌,计算各牌的概率.补测试：有黑桃、红桃、方块、草花这四种花色的扑克牌各2张,从这8张牌中任意取出2张,请问‘这二张扑克牌相同的概率是多少？第十四讲特殊图形本讲的主要内容包括:正三角形、正六边形、正十二边形.1、正多边形的特点：每个内角都相等,每条边都相等.2、正门边形的内角和：〔片2〕又180°,外角和：36 0 ° o〔n-2〕x180°3、正n边形的一个内角——--- ----- on4、求正n边形变形面积的常用方法:分割法.一、正三角形正三角形被分割成小正三角形,小正三角形的个数=层数\黄蓉分饼,各边三等分,顶点与对边三等分点依次相连,中间的三角形面积是1.7二、正六边形.大多少正六边形的题目,都是需要把正六边形分割,一般分割成6个小正三角形或者6个钝角等腰三角形.三、正十二边形c:\iknow\docshare\data\cur_work\htt p : / \wi k i . m b alib. c o m / wi ki / % E 4 %B8%BB%E8%A7%82%E6%A6%82%E7%8E%87 - no t e -a正12边形的面积二3 A2, R为外接圆半径.正12边形的做法：1、以正六边形往外拓正方形,连顶点；2、以正方形往外拓正三角,连顶点〔4个〕,取中点〔外围1 2条边〕；3、以正六边形往里拓正方形,连顶点；4、以正方形往里拓正三角,连顶点〔4个〕,取中点〔里侧12条边〕.一5.如图,最小的正三角形的面积是4,最大的正三角形的面积是4 9, A、B、C分别是三个正三角形的中央,那么,△ ABC的面积是多少？三6.如图,正十二边形和中央白色的正六边形的边长均为1 2,图中阴影局部的面积是经典例题第一单元：等为三角形11【分析】4. 25, 49导基数列下和,让程子找我施律〔平方教〕,以做F一题2 .【分析】1 +3 + 5+…+3 .【分析】3. 13三角形邦戊.左国为占6个格的平行四道形的一半,右图可以公加为三个左图中的三角形和中间四个W5-, 3x3 + 4^13 4 .【分析】13理中没有格点,但耳以自己后出三角彩格点5 .【分析】恋中没有格点,但可以自己同出三角形塔点.正三角脑的中央在面的三等分点.处,所以可以找到三个中央的位置,发配都不在格点上,不能直挂校上面的方法侬.但是由于三个点到录近结点的经离方向都一样,所以可以把此三的彩平移到三个疾点郡在希史上,之后的处理方法与上面的几通一致一6 .【分析】这小西边彩的内角只短是60度或121〕良,所以这个四立形只能是平行四龙形或学段梯格. 根据一蹊行多少小三前形来看.平行四边影的话,每层的小三冗彩教是--杼的,且为他数.12 = 2x6 = 3x4 = 1x12,可西出两秒.700(/ AAAAAA/梯船的话.神印层的小三做屋敷小2,且就为奇效,12 = 5 + 7,可显出一种.所以一共有3舛拼法,周长分别为ID. 14、10.其两押可能.7 .【分析】这个六边形的内龟只能是仙民.衣120度,所以逮个六边灯只能是各个内角转是12.度的六线形.所以对边平行,平行的两条河边之间所央的四条边分为两匆.而相等.可以拘造如下列图的六边形,构造方汰不唯一〞.第二单元等边三附形匕3:六边形1.【分析】各认膜型,外围三个三两老的曲松粕是,卜止三角彩的2倍.2x34-1=7.2. I分析】至似的,由马头模型,外囤六个三角影就是三角彬/AC画枳的两倍.而三网的ABC玲.朋T’面取和等.林芝小壬六边形的L.所以大六边彩的面积是小六边彩的6片2yLM = 3倍.6 63,【分析】如图分割.于以后出阴褥都分占正六边形的,,面枳为,x54 = 18,3 34.【分行】做个叶标,战后如图分割,正六边彩为6份,三角曲人〞都为32 + 2 = 16 49,所以三角彩而枳为60 + 6x16 = 160.【分析】如图进行刷补.可吹阴幽的⑥枳为2000、1148第三单元正十二边形1.【分析】三角不八〔7.寿老等腆三角明所以乙48U = 4UK.=75,/A4e = NtMC = ?0~ /及AD = a〕0,所以三危形ABO是一个角力60度的导装三衔当.印等追三用影,所以以＞=6, /,/"〕 = 601 所以工C与仔.扪互叁五.5^ff〔 =lx4Cx/fD = l8 .1.t分析】空个「二边毋可以分割成6个上题.的田形,所以$ = «lx|xlx6=3 23.【分析】结金上迎结出,类以圆名.可有3的-/〕三2004 •而K-r三2,所以/?十『二2〔X〕4 +3+ 2三334 .r = L〔334 - 2〕=166. 74 .【分析】根居正十二边形的马法,讣原因成为下困,不中无出,存个心影四边形都是三角班ABC 而枳的一半,而由于成年于内部四边用*戈和上它是个正方彩〕的边长,高是边长的一半.所以三角彩川夕r的面积是这个正方方的L,所以忻影局部总面积是正方脑的!X L X4=I.4 2 J 25 .【分析】根据正十二域数的国法.补原图应为下田,将外囤六个三用布布i*内都的正六出有,叩以行到空台局部就是6个正方町.6 . 1分析】根据正十二边形的瓯法.补脱图成为下列图.可以自到,限影局部的面枳是.三个的而枳加三个HC0的曲枳,ABC的南枳是小正方形的ACD的面极〔等依受形,与CW?的面枳相等〕走小正方账的,,所以花杉局部的面枳是3/ J + LxlZ:'SNd,4 2 4。
六年级奥数讲义：圆与扇形
｜六年级奥数讲义：圆与扇形1. 利用圆与扇形面积公式进行面积计算．2. 会将不规则图形转化为规则图形进行面积计算．研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.圆的面积=2r π；扇形的面积=2360nr π⨯； 圆的周长=2r π；扇形的弧长=2360n r π⨯.一、 跟曲线有关的图形元素。
1、 扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分.我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是360n . 比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯； 扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n ⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长）2、弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积。
一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积。
（除了半圆）3、“弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形4、“谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积×2二、常用的思想方法：1、转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）2、等积变形（割补、平移、旋转等）3、借来还去（加减法）4、外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”）用平移、旋转、割补法求面积【例 1】如图，在18⨯8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几?【分析】我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+16=54个，其中部分有2｜6+6+8=20个，部分有6+6+8=20（个），而1个和1个正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含54+20=74（个）完整小正方形，而整个方格纸包含8⨯18=144（个）完整小正方形．所以图中阴影面积占整个方格纸面积的74144，即3772． ［拓展］ 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．（π取3）DCBAaDCBAa［分析］ 这道题目是很常见的面积计算问题.阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了.如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形 21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【例 2】 如图，阴影部分的面积是多少？224【分析】首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积。
圆和扇形的图形讲义甄选
圆和扇形的图形讲义（优选.)圆和扇形一、圆（一）圆的认识圆是研究平面上的一种曲线图形；在纸上画一个圆，然后剪下来，像下图的那样，对折，打开，再换个方向对折，再打开，反复折几次。
折过若干次后，可以发现:这些折痕相交于圆中心的一点。
把圆中心的这一点叫做圆心。
圆心一般用字母0表示。
用有刻度的直尺量一量圆心到圆上任意一点的距离，可以发现：圆心到圆上任意一点的距离都连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示。
在同一个圆里，有无数条半径，所有半径的长度都相等。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母d表示。
在同一个圆里，有无数条直径，所有直径的长度都相等。
在同一个圆里，直径的长度与半径的关系:1，即。
d＝直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的21d。
2r，或r＝2（二）圆的计算1、圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
通过一些实验和统计可以知道，圆的周长总是直径的3倍多一些。
任何圆的周长和直径比的比值是一个固定的数。
这个比值叫做圆周率，用字母π(读pài)表示。
约2000年前，中国的古代数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法，意思是说圆的周长是直径的3倍。
约1500年前，中国有一位伟大的数学家和天文学家祖冲之。
他计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值的计算精确到6位小数的人。
他的这项伟大成就比国外数学家得出这样精确数值的时间，至少要早一千年。
后来数学家们逐渐发现圆周率是一个无限不循环的小数。
现在已经能用计算机算出它的小数点后面上亿位。
π＝3.141592653 ……但是，在实际应用中并不需要这么多位小数。
在计算时，一般只取它保留两位小数的近似值，即π≈3.14；或取它保留整数的近似值，即π≈3。
因为圆的周长总是直径的π倍，当我们知道了圆的直径或半径时，就可以计算出它的周长。
如果用C 表示圆的周长，那么 C ＝πd ，或C ＝2πr2、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积。
学而思培优之圆(一)
◆ 圆的性质
O
1cm ③ ） ） ）
④圆周上的点到圆心的距离都等于半径 圆内的点到圆心的距离都小于半径 圆外的点到圆心的距离都大于半径
加油站 ◆ 圆的周长
①如何测量圆的周长呢？
【例2】（★★） 在这个城市有座教堂，教堂的屋顶有一个大钟，钟的 秒针长约2米，请问秒针顶点1分钟走多少米？ 1小时走多少米？（π取3.14）
神 奇 的
① 它居然是个 数！ ②它还是个无限不循环小数！ ②圆的周长公式：
π
C＝πd＝2πr
4
【例3】(★★) 记忆1π~25π（π取3.14） 1π＝ 6π＝ 11π＝ 16π＝ 21π＝ 2π＝ 7π＝ 12π＝ 17π＝ 22π＝ 3π＝ 8π＝ 13π＝ 18π＝ 23π＝ 4π＝ 9π＝ 14π＝ 19π＝ 24π＝ 5π＝ 10π＝ 15π＝ 20π＝ 25π＝
1
A
◆ 圆的性质
①半径处处相等，每条半径都连接圆心与圆周。
◆ 认识圆
什么决定了圆？
圆心：确定位置 半径：通常用 半径 通常用 r来表示 直径：通常用 d来表示
O
圆有无数条半径。
B 确定圆的大小 d＝2r
◆ 圆的性质 ◆ 圆的性质
③圆心是唯一的 ②直径 相等，每条直径都通过圆 ，连接圆周 的两点， ②直径处处相等，每条直径都通过圆心，连接圆周上的两点， 把圆分成相等的两部分。圆有无数条直径。 每条直径都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 直 都
加油站 ◆ 认识圆
圆
圆（一） ◆ 认识圆
圆
生活中的圆： 生活中的圆
三角形
正方形
长方形
平行四边形
梯形
◆ 认识圆
圆
怎么画圆？
【讲义】5年级下册第02讲_圆与扇形进阶
第二讲圆与扇形进阶- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -自然界中，圆与方是最基本的两种图形．古人认为“天圆地方”，宇宙就像一个圆形的大锅盖在一个方形的棋盘上．中国古代的建筑也会经常采用圆形和正方形的图案．而在面积计算中，圆与正方形也有很大的关系．关于正方形和圆，有以下的面积关系：由此我们可以进一步推断：圆外切正方形面积是内接正方形面积的______倍；正方形外接圆面积是内切圆面积的______倍．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．（1）左图中正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？（π取3.14）（2）右图中正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？（π取3.14）分析：利用圆中方和方中圆的比例关系可以轻松求解．练习1．如图，已知正方形的边长是2，求大圆及小圆的面积．（π取3.14）圆的外切正方形 与内接正方形 正方形的外接圆 与内切圆方中圆 圆中方例题2．计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小．（π取3.14）分析：利用方中圆的比例关系可以轻松求解．练习2．如图，已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）- - - - - - - - - - - - - -小故事圆与方有一天，圆形和方形碰到了一起，它们一见面就吵了个面红耳赤，不管谁劝都不听．圆形说：“我们圆形就是比你们方形用处大，人们日常生活中用的锅呀、碗呀，体育中的蓝球、排球，水果里的苹果、桔子，大到汽车轮胎、自行车轮胎，都是我的家族．瞧，我们是不是比你们用处大！”圆形得意洋洋地说完．方形“哼”了一声说：“我们方形家族才是无处不在呢，人们用的电器、冰箱、彩电、电脑，就连学生用的课本都是我们方形的哟！”方形也自豪地说．它们谁也无法说服谁，都来到大街上．望着街上的车，方形对着圆形的车轮喊了声：“变！”转眼间车轮变成了方形．正当方形喜笑颜开时，人群出现了混乱，汽车开不了，自行车也只能扛着了，大家都在说：“这是谁干的呀！真是害人呀！”而圆形来到一座刚建好的大楼前，望着由一块块方形红砖盖成的大楼，圆形生气地大声 喊了声“变！”呀，方形红砖变成圆形了．圆形还没来及高兴呢，就听“轰”一声大楼倒了下来．看到这个情景，圆形呆住了：“这是怎么回事？”只见混乱的人群里走出了一位老人，他来到方形和圆形面前对它们说：“其实你们都很棒，只是你们分工不同而已，只要你们齐心协力，一定会为人类作更大的贡献．在上一讲中，我们主要使用割补的方法来计算不规则图形的面积．而对于一些比较特殊8的形状，我们可以把它看成是一些基本图形的重叠部分，利用容斥原理计算出它的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．如图，求下面各图中阴影部分的面积．（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是哪些图形的重叠部分？练习3．已知下图中正方形的面积是16，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）在生活当中，有很多旋转的物体，比如车轮、方向盘等．这些物体在运动的过程中，扫过的图形都是曲线形．这些曲线形的周长和面积应该怎么计算呢？例题4．图中正方形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）分析：要求扫过的面积，关键在于弄清扫过的区域；而要弄清扫过的区域，关键在于弄清区域的边界．你能通过合理动态想象，画出边界来吗？练习4．如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）例题5．如图，求阴影部分的面积．（π取3.14）分析：阴影部分可以看成是四个扇形的重叠部分，但是扇形的半径图中并没有给出，那么应该怎么计算扇形的面积呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题6．（1）如图，一只小狗被拴在一个边长为4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都是空地．绳长8米．小狗的活动范围是多少平方米？（2）如果小狗不是被拴在A处，而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3.14）分析：如果没有建筑物的阻挡，小狗的活动范围应该是一个圆．有建筑物的话，活动范围会受到什么样的影响呢？A含有“圆”字的成语圆首方足：出自《淮南子·精神训》：“头之圆也象天，足之方也象地．”用来代指人类．戴圆履方：出自《淮南子·本经训》：“戴圆履方，抱表怀绳．”履：踩着；圆、方：古人以为天圆地方．头顶着天，脚踩着地．指生活在人间．方枘圆凿：出自战国时楚国宋玉的《九辨》：“圆凿而方枘兮，吾固知其龃龉而难入．”凿：榫眼；枘：榫头．方枘装不进圆凿．比喻格格不入，不能相合．这三个成语之外，还有很多成语中都含有“圆”和“方”这两个字，如圆孔方木、圆颅方趾、外圆内方等．这说明古人对于圆和方的认识非常深刻，已经将其应用到了生活中的很多方面．而我们在圆与扇形的学习中，也要注意圆形与正方形之间的联系．元方，你怎么看？破镜重圆：这个成语故事是由华阴人、隋越国公杨素的一段成人之美的佳话而来的．杨素，字处道，在辅佐隋文帝杨坚结束割据，统一天下，建立隋朝江山方面立下了汗马功劳．他不仅足智多谋，才华横溢，而且文武双全，风流倜傥．在朝野上下都声势显赫，颇著声名．隋开皇九年（公元589年）杨素与文帝杨坚的两个儿子陈后主叔宝的嫔妃、亲戚，其中有陈叔宝的妹妹枣陈太子舍人徐德言之妻，也就是陈国的乐昌公主．由于杨素破陈有功，加之乐昌公主才色绝代，隋文帝就乱点鸳鸯，将乐昌公主送进杨素中，赐为杨素小妾．杨素既仰慕乐昌公主的才华，又贪图乐昌公主的美色，因此就更加宠爱，还为乐昌公主专门营造了宅院．然而乐昌公主却终日郁郁寡欢，默无一语．原来，乐昌公主与丈夫徐德言两心相知，情义深厚．陈国将亡之际，徐德言曾流着泪对妻子说：“国已危如累卵，家安岂能保全，你我分离已成必然．以你这般容貌与才华，国亡后必然会被掠入豪宅之家，我们夫妻长久离散，名居一方，唯有日夜相思，梦中神会．倘若老天有眼，不割断我们今世的这段情缘，你我今后定会有相见之日．所以我们应当有个信物，以求日后相认重逢．”说完，徐德言把一枚铜镜一劈两半，夫妻二人各藏半边．徐德言又说：“如果你真的被掠进富豪人家，就在明年正月十五那天，将你的半片铜镜拿到街市去卖，假若我也幸存人世，那一天就一定会赶到都市，通过铜镜去打问你的消息．”一对恩爱夫妻，在国家山河破碎之时，虽然劫后余生，却受尽了离散之苦．好容易盼到第二年正月十五，徐德言经过千辛万苦，颠沛流离，终于赶到都市大街，果然看见一个老头在叫卖半片铜镜，而且价钱昂贵，令人不敢问津．徐德言一看半片铜镜，知妻子已有下落，禁不住涕泪俱下．他不敢怠慢，忙按老者要的价给了钱，又立即把老者领到自己的住处．吃喝已罢，徐德言向老者讲述一年前破镜的故事，并拿出自己珍藏的另一半铜镜．颤索索两半铜镜还未吻合，徐德言早已泣不成声……卖镜老人被他们的夫妻深情感动得热泪盈眶．他答应徐德言，一定要在他们之间传递消息，让他们夫妻早日团圆．徐德言就着月光题诗一首，托老人带给乐昌公主．诗这样写道：镜与人俱去，镜归人不归．无复嫦娥影，空留明月辉．乐昌公主看到丈夫题诗，想到与丈夫咫尺天涯，难以相见，更是大放悲声，终日容颜凄苦，水米不进．杨素再三盘问，才知道了其中情由，也不由得被他二人的真情深深打动．他立即派人将徐德言召入府中，让他夫妻二人团聚．府中上下都为徐陈二人破镜重圆和越国公杨素的宽宏大度、成人之美而感叹不已．在欢庆的感激之情．宴罢，夫妻二人携手同归江南故里．这段佳话被四处传扬，所以就有了破镜重圆的典故，一直流传至今．作业1. 如图，图中较小圆的面积是3.14，较大圆的面积是多少？作业2. 如图，正方形的面积是8，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业3. 如图，一头山羊被拴在一个边长为4米的等边三角形的建筑物的一个顶点处，四周都很空旷．绳长刚好够山羊走到三角形建筑物外的任一位置，山羊的活动范围有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，山羊身长忽略不计，π取3）作业4. 如图，正方形ABCD 边长为1厘米，依次以A 、B 、C 、D 为圆心，以AD 、BE 、CF 、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业5. 如图，长方形的长为6厘米，宽为2厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕长方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 AB C D EH F。
《扇形的认识》圆和扇形PPT课件
练一练 1.下面哪个图形中的涂色部分是扇形？
2.在下面的圆中画出大小不同的扇形 并涂色。
看轻别人很容易，要摆平自己却很困难。 种子牢记着雨滴的叮嘱,增强了发芽的勇气；泉水经过一路曲折，才唱出美妙的歌。——成文之 你不能左右天气，但你能转变你的心情。
我们不希望自己是什么天才。没有从天而降的成功，每从跌倒里站起来一次，成功就近了一寸。也没有平白无故的威信。每正确一次，威信就 增加一分。 不管失败多少次，都要面对生活，充满希望。 “不可能”只存在于蠢人的字典里。 成功就是你被击落到失望的深渊之后反弹得有多高。
冀教版数学六年级上册第一单元
扇形的认识
教学目标
1、在观察、讨论、判断等活动中，经历初步认 识扇形的过程。 2、知道扇形，初步了解扇形的特征，能在圆中 画出扇形。 3、体会扇形和圆的关系，知道扇形的各部分名 称。
观Байду номын сангаас各圆中涂色的部分，说一说它们 的形状像什么？
说一说
扇形有什么特征？
扇形都有一个角， 角的顶点是圆心。
扇形是由两条半径 和圆上的一段曲线围 成的。
左图中，圆上A、B 两点之间的部分叫做弧。 读作：弧AB。
顶点在圆心，两条半 径组成的∠AOB，叫做 圆心角。
圆心角与扇形的大小有什么关系？
（1）画圆心角不同的扇形：在同一个圆中分别画 出圆心角是30°、60°、90°和120°的扇形。
C
90°
●
B 60°
A 30°
D
120°
①画一个圆。
②画30°、60°、 90°120°的圆心角。
结论：在同一个圆中，扇形的大小与其 圆心角的大小有关。圆心角大，所对应的 扇形就大；圆心角小，所对应的扇形就小。
圆与扇形综合 讲义
校内重难点：圆与扇形重点突破第四节圆与扇形的综合练习【知识导航】1. 圆面积=πr2 ，圆周长=2πr=πd2. 扇形的面积=πr2×n360，扇形的周长=2r+2πr×n360（n是圆心角）【例1】圆的周长与面积（1）如果甲圆的半径是3cm，乙圆的直径是9cm，那么乙圆的直径是甲圆的倍，乙圆的周长是甲圆的倍，乙圆的面积是甲圆的倍．（2）圆的半径扩大到原来的2倍，则它的面积扩大到原来的（）倍．A．2 B．4 C．6 D．8【例2】圆中方与方中圆（1）在一张边长为5分米的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径是（）．A．5分米B．2.5分米C．15.7分米D．78.5分米（2）在一个面积是80平方分米的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是（）平方分米．A．20πB．30πC．40πD．50π（3）如果在圆内剪一个最大的正方形，正方形面积是80平方分米，这个圆的面积是（）平方分米．A．20πB．30πC．40πD．50π【例3】求阴影部分面积与周长．45秋2期（期中考试后半学期）六年级秋季班班型介绍班型 适合学员 版本覆盖面难度课本班 （火热报名中…）使用人教版教材，课本掌握不牢固，基础较薄弱的同学。
（85分以下，成绩不稳定的学员，如果使用人教版教材也可就读）只同步人教版课本人教版所有知识点全覆盖，既有基础，也有拓展同步提高班（火热报名中…）校内成绩不稳定的学员通用主流版本（人教，北师，苏教），选取重难点章节讲解兼顾同步讲解，也有部分超前学习；只学重难点章节，基础部分不细讲同步尖子班（火热报名中…） 校内成绩稳定在90分以上的学员通用主流版本（人教，北师，苏教），选取重难点章节讲解难度比同步提高班大，多为学校附加题，思考题，方法技巧较多请根据你的学习情况，选择合适的班型。
适合你的，才是最好的！【选课路径：作业帮一课-六年级-数学】。
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圆形
周长和面积
扇形
认识一些概念：
面积
周长
半径
直径
圆周率无限不循环小数（通常取3或3.14）
公式总结:
பைடு நூலகம்圆的面积 圆的周长 =
扇形的面积 = 扇形的弧长：
扇形的周长： =
一些特殊的图形：
１．弓形：
弓形通常只求面积
弓形面积＝扇形面积－三角形面积（除了半圆）
２．“弯角”：
弯角的面积＝正方形－扇形
３．“谷子”：
就是重叠部分面积）
“谷子”的面积＝弓形面积×2
常用的思想方法：
１．转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）
２．等积变形（割补、平移、旋转等）
３．借来还去（加减法）
４．外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”。就是我们暑期学
习的“求反面”）
５．容斥（实际上容斥思想是贯穿于加减法始终的。我们把两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的