函数地定义域与值域知识点与题型归纳
函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
函数的概念及定义域.值域基本知识点总结函数概念1.映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。
2.函数的概念（1）函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常⑵函数的定义域、值域在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法(1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；(2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。
4.分段函数在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。
(-)考点分析考点1：映射的概念例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ；(2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ；(3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x .上述三个对应是A到B的映射.例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对(4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是()考点2：判断两函数是否为同一个函数例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1) /(X )= , g(x) = V?":⑶ /(x) = 2n ^X^ , g(X )= (2“V7)2"T (/7GN 4);(4) /(x) = Vx Jx + 1 , g(x) = Jx ，十 x ；(5) /(x) = x 2 -2x -1, g(t) = t 2 -2r -1 考点3：求函数解析式方法总结：(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；(2) 若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；(3) 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(%)题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1.已知二次函数/(X )满足/(2X + 1) = 4X 2-6X + 5,求/U)(三种方法)| + V* | _ Y 2例2. (09湖北改编)已知/(-—)=—v ，则/(X )的解析式可取为 l-x 1 + JC题型2：求抽象函数解析式例1.已知函数/⑴满足/U) + 2/(-) = 3x,求/⑴函数的定义域题型1:求有解析式的函数的定义域(1) 方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的X 的取值范 围，实际操作时要注意：酚母不能为0；②对数的真数必须为正；酬次根式中被开方数应 为非负数；歿指数幕中，底数不等于0；矽分数指数幕中，底数应人于0；魁解析式由 儿个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦n 果涉及实际问题，还应使得实际 问题有意义，而11注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义 域不耍漏写。
求函数定义域、值域、对应关系(知识点+例题)pdf版
2
2
综上 1 y 1 ．
2
2
答案：[ 1 , 1 ] 22
（6）单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值 域．
例 17 求函数 y 4x 1 3x 的值域．
解析：由解析式知1 3x 0 ，即 x 1 3
4x 单调递增， 1 3x 也递增，则 y 4x 1 3x 在定义域内单调递增
x3
x3
答案：{y | y 2}
（5）判别式法：把函数转化为关于 x 的二次方程，通过方程有实根，判别式 0 ，从而 求得原函数的值域．
例 15
求函数
y
3x x2
4
的值域．
解析：将函数化为 yx2 3x 4y 0
原函数有意义，等价于此方程有解
y 0 时， x 0 有解符合题意
y 0 时，判别式 9 16y2 0 ，解得 3 y 0或0 y 3
{x | x 0}
R 决定 [1,1] [1,1]
R (, 2 k ) (2 k , )
2．函数的定义域的求法
函数的定义域就是使得整个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．
（1）求定义域注意事项：★
①分式分母不为 0；
②偶次根式的被开方数大于等于 0；
③零次幂底数不为 0；
④对数的真数大于 0；
例 21 已知 f ( 2 1) lg x ，求 f (x) 的解析式． x
解析：令 2 1 t ，则 x 2 且 t 1
x
t 1
带入原式得 f (t) lg 2 (t 1) t 1
f (x) lg 2 (x 1) ． x 1
答案： f (x) lg 2 (x 1) x 1
例 22 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x) 的解析式．
高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)
函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。
(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。
函数的定义域与值域知识点与题型归纳
●高考明方向了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.★备考知考情定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.一、知识梳理《名师一号》P13知识点一常见基本初等函数的定义域注意：1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域均为R(4)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R(5)y＝log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)(6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}12 (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充）三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为{|,,}2∈≠+∈x x R x k k Z ππ 如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．知识点二 基本初等函数的值域注意：值域必须写成集合或区间的形式！！！(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a}； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a} (3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .（补充）三角函数中正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R3 《名师一号》P15知识点二 函数的最值注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3函数最值与函数值域有何关系？函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．1、温故知新P11 知识辨析1（2）函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）答案：正确2、温故知新P11 第4题4 函数(]()1122,,222,,2--⎧-∈-∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩x x x y x 的值域为（ ） 3.,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A ().,0-∞B 3.,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C (].2,0-D答案：D注意：牢记基本函数的值域3、温故知新P11 第6题函数()=y f x 的值域是[]1,3，则函数()()123=-+F x f x 的值域是（ ）[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D答案：A注意：图像左右平移没有改变函数的值域二、例题分析：（一)函数的定义域1．据解析式求定义域例1. （1）《名师一号》P13 对点自测15(2014·山东) 函数()=f x 为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)解析 要使函数有意义，应有(log 2x )2>1，且x >0， 即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12. 所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1）函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]6 解析：由题意得⎩⎨⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1） 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集． 函数的定义域一定要用集合或区间表示例2. (补充)若函数2()lg(21)f x ax x =++的定义域为R 则实数a 的取值范围是 ；答案：()1,+∞变式：2()lg(21)=++f x ax ax练习：(补充) 若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R7则实数k 的取值范围是 ；答案：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．求复合函数的定义域例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）(2015·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则函数y ＝f (2x )－ln(x －1)的定义域为( )A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[1,8]D ．(1,8]解析：由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]．则使函数y ＝f (2x )－ln(x －1)有意义，需⎩⎨⎧ 0≤2x ≤4，x －1>0，解得1<x ≤2，所以定义域为(1,2]．例3. （2）《名师一号》P13 对点自测2已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f (f (x ))的定义域是( ) A ．{x |x ≠－1} B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2}8解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠－1，1x ＋1＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（2） （P13 问题探究 问题1 类型二）已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域， 是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．例4．(补充)已知2(1)f x +的定义域是[]0,1，求()f x 的定义域。
定义域与值域
函数一轮复习学案二（函数的定义域与值域）一、知识梳理1、 函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
2、定义域的类型及求法（1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解。
（2）对实际问题：由实际意义及使解析式有意义的不等式（组）求解。
（3）抽象函数：①若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出。
②若已知函数(())f g x 的定义域为[],a b ,则函数()f x 的定义域为()g x 在[],a b 上的值域。
3、求简单函数值域的方法①观察法及图象观察法；②单调性法；③分离常数法；④基本不等式法；⑤换元法二、典型例题考点一 函数的定义域问题1.求给定函数解析式的定义域例1.（1）求()f x =的定义域.（2）求1ln(1)y x=++.2.已知()f x 的定义域，求(())f g x 的定义域.例2.已知()f x 的定义域为[]1,1-，求2(log )f x 的定义域.3.已知定义域确定参数问题例3.（1）若函数()f x =R ，求a 的取值范围。
（2）已知函数1()log (01)a x f x a b x-=+＜＜为奇函数，当(1]x a ∈-，时，函数()f x 的值域是(1]-∞，，则实数a b +的值为＿＿＿＿＿考点二 函数的值域问题1．求下列函数的值域:（1）24,[1,4]y x x =+∈- (2)3123x y x +=- （3）3131x x y -=+ （4）21y x =-- （5）13+--=x x y （6）函数f （x ）的值域为[－2，2]，则函数f （x ＋1）的值域函数的定义域与值域反馈练习一命题人：丁红梅 做题人：王小飞1．函数f (x )＝11－x ＋log 2(2x －1)的定义域是________． 2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________． 3．函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为________． 4．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________． 5．求函数y ＝x －1－2x 的值域________．6．求函数y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域________．7．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域为________． 8．设函数f (x )＝－x 2－2x ＋15，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________.9．已知函数f (x )＝ 2x －11－x，若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称． (1)写出函数g (x )的解析式；(2)记y ＝g (x )的定义域为A ，不等式x 2－(2a －1)x ＋a (a －1)≤0的解集为B .若A 是B 的真子集，求a 的取值范围．10．知函数2()lg(68)f x mx mx m =-++的值域为R ，求实数m 的取值范围．11．已知函数f (x )＝2a ＋1a －1a 2x，常数a ＞0. (1)设m ·n ＞0，证明：函数f (x )在[m ，n ]上单调递增；(2)设0＜m ＜n 且f (x )的定义域和值域都是[m ，n ]，求常数a 的取值范围．函数的定义域与值域反馈练习二命题人：丁红梅 做题人：王小飞1．若0.51()log (21)f x x =+，则f (x )的定义域为________． 2．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{3,19}的“孪生函数”共有________个．3．函数f (x )＝1＋x －1－x 的最大值为M ，最小值为m ，则M m＝________. 4．已知函数f (x )＝2x ＋ln x ，若f (x 2＋2)≤f (3x )，则x 的取值范围是________．5．函数2()2log x f x x =+(x ∈[1,2])的值域为________．6．若对任意x ∈(0,1]，函数f (x )＝x |x －a |－2的值恒为负数，则实数a 的取值范围是________．7．已知函数()a ax x y 3log 221+-=在[)+∞,2上为减函数，则实数a 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．9、已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．10、设f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，f ⎝⎛⎭⎫x m －4m 2 f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围．11、已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )在R 上是减函数．(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．。
函数的定义域与值域(含解析)
函数的定义域和值域1.知函数解析式求定义域的基本依据： （1）分式的分母 ；（2）偶次根式的被开方数 ； （3）对数函数的真数必须 ；（4）指数函数和对数函数的底 ； （5）正切函数的角的终边 ； （6）零次幂的底数 。
2.求复合函数定义域方法：（1）已知()y f x =的定义域是A ，求[]()yf x ϕ=的定义域的方法：解不等式 ，求出x 的范围，再将所得范围写成集合或区间形式，即得所求[]()y f x ϕ=的定义域。
（2）已知[]()yf x ϕ=的定义域是A ，求()y f x =的定义域的方法：求出 时，()x ϕ的范围，再将所得范围写成集合或区间形式，即得所求()y f x =的定义域。
3.反函数的定义域是原函数的 。
4.函数的值域：（1）值域是函数值组成的集合，它是由 和 确定的，因此求值域时一定要看 。
（2）函数的最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （I ）对任意的x I ∈，都有 ；（II ）存在0x I ∈使得 ，那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值。
5.函数的最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数N 满足： （1）对任意的x I ∈，都有 ；（2）存在0x I ∈使得 ，那么，我们称N 是函数()y f x =的最小值。
6.常见基本初等函数的值域： （1）一次函数(0)ykx b k =+≠的值域是R 。
（2）二次函数2(0)y axbx c a =++≠，当0a >时，值域是 ， 当0a <时，值域是 。
（3）反比例函数(0)ky k x=≠的值域是 。
（4）指数函数(0,1)xy a a a =>≠的值域是 。
（5）对数函数log (0,1)a yx a a =>≠的值域是 。
7.求函数值域及最值的基本类型及方法： （1）形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数，用 求值域，要特别注意定义域。
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切tan y x =的定义域是{,x x R ∈且,2x kx k Z π⎫≠+∈⎬⎭； （6）已知()f x 的定义域求解()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法： （1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解 思路提示对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子()f x 有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式. 二、给出函数解析式求解定义域 例2.10 函数ln 1x y +=的定义域为（ ）．A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解解析 210,340x x x +>⎧⎨--+>⎩得11x -<<，故选C变式1 函数()1y x =- 的定义域为（）A.(0，1) B[0，1） C.(0，1] D[0，1] 变式2求函数()2f x = 的定义域.三、抽象函数定义域已知()f x 的定义域求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f x 的定义域，或已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域. 解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同. 例2.11 （1）已知函数()f x 的定义域为（0，1）求()2f x 的定义域 （2）已知函数()2f x 的定义域为（2，4）求()f x 的定义域 （3）已知函数()2f x 的定义域为（1，2）求()21f x +的定义域.分析 已知函数()f x 的定义域为D ，求函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定又域'D ，只需(){}'D x g x D =∈;已知函数()f g x ⎡⎤⎣⎦ 的定义域'D ,求函数了()f x 的定义域，只需(){},'D t t g x t D ==∈，即求()g x 的值域.解析 （1）()f x 的定义域为（0，1），即0<x<1.故201x <<，所以11x -<<且x ≠0，所以()2f x 的定义域为()()1,00,1-(2) ()2f x 的定义域为(2，4).即2<x<4.所以4<2x <16，故()f x 的定义域为（4，16）；（3）因为()2f x 的定义域为（1，2）即1＜x ＜2，所以1＜2x ＜4，故需1＜2x ＋1＜4．所以0＜x ＜32， 故()21f x +的定义域为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭评注 定义域是对自变量而言的，如()2f x 的定义域为（1，2）指的是x 的范围而非2x 的范围. 变式1 已知函数()2x f 的定义域是［0，1］，求()21f x -的定义域． 变式2设()2lg2xf x x+=-，则22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为（） A(-4,0)U(0，4) B ()()4,41,4-- C. ()()2,11,2-- D ()()4,22,4--三、实际问题中函数定义域的求解例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝()f x ，并写出其定义域.分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.解析 由题意：2,,CD x CD x π==于是122x xAD π--=，因此()212222x x x y f x x ππ--==•+ ，化简即为24.2y x x π+=-+又根据实际应有201202x x x π>⎧⎪⎨-->⎪⎩,得102x π<<+，即所求函数的定义域为10,2π⎛⎫ ⎪+⎝⎭评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域 题型2 函数定义域的应用思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.例2.13若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围为_____.分析 函数()f x 的定义域为R,即2221x ax a+-- ≥0在R 上恒成立，再利用指数函数的单调性求解解析 由题意知2221x ax a+--≥0在R 上恒成立,所以220212xax a+-≥=,即有220x ax a +-≥恒成立,其等价于△=244010a a a +≤⇒-≤≤, 则实数a 的取值范围为[―1,0] 变式1 若函数()2143f x ax ax =++的定义域是R ，求则实数a 的取值范围是（）A.{}a a R ∈ B.304a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ C.34a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ D.304a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭变式2 函数()2lg 1y ax ax =-+ 的定义域是R,求a 的取值范围.变式3若函数y =的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 题型3 函数值域的求解思路提示 函数值域的求法主要有以下几种(1)观察法:根据最基本函数值域（如2x ≥0,0xa >及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.（2）配方法：对于形如()20y ax bx c a =++≠的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y ax b =+转化为二次型函数.（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如y Ax B =+ ，c bx ax++2或fex d c bx a y x x ++++=22的函数值域问题可运用判别式法（注意x 的取值范围必须为实数集R ）.(8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如d cx b ax y +++=或d cx b ax y +++=的函数，当ac>0时可利用单调性法.（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y 的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.(10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域. 一 观察法 例 2.14 求函数1+=x y 的值域.分析 由观察法直接得到函数的值域.解析 因为0≥x ，所以函数的值域为),1[+∞. 变式1 函数)(122R x y x x ∈+=的值域是 . 变式2 函数)(1||||R x x x y ∈+=的值域是 . 二 配方法例 2.15 求函数xx y 245-+=的值域.分析 对于根式中的二次函数，利用配方法求解. 解析 由0452≥-+xx ，得]5,1[-∈x .[0,3]y ==.变式1 求函数)1(11)(x x x f --=的值域.变式2 求x x x f -++=53)(的值域. 变式3 设函数)0()(2<++=a c bx a x f x 的定义域为D ，若所有点),()),(,(D t s t f s ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）.A -2B -4C -8D 不能确定 三 图像法（数形结合）例 2.16 求函数y =.分析 由函数表达式易联想到两点间距离公式，可将其转化为动点与两定点的距离之和. 解析 如图2-4所示，1)1(1)1(2222+++=-+x x y ，所示动点P （x,1）到两定点A （-1,0）和B（1,0）的距离之和，作点B （1,0）关于直线y=1的对称点,(1,2)B ，连接B¹A 交y=1于点P¹（0,1）,此时AB¹的长即为PA 与PB 的长之和的最小值，点P¹（0,1）到A,B 两点的距离之和为[,+∞﹚.评注 本题中也可看着动点P （x,0）与两定点A¹(-1,1),B¹(1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA¹|+|PB¹|'''||A B ≥=|PA¹|+|PB¹|的最小值为.变式1 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 变式2函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ）.A2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B []1,0- C⎡⎤⎣⎦ D⎡⎤⎣⎦变式3函数()f x =的值域是（ ）.A6655⎡⎢⎣⎦ B6355⎡⎢⎣⎦ C2⎤⎥⎣⎦D⎡-⎢⎣⎦四 基本不等式法例2.17 已知x>2,求函数245()24x x f x x -+=-的值域.解析 令24(0,)t x =-∈+∞,则42t x +=， 224445412244t t t t y t t t ++⎛⎫-⨯+ ⎪+⎝⎭===+≥1=（当且仅当14t t=，即t=2,x=3时取等号）.故函变式1 求函数11y x x =++的值域. 五、换元法（代数换元与三角换元）【例2.18】求函数]2,1[,3243)(-∈+-⋅=x x f xx的值域.解析 令]2,1[,2-∈=x t x，则]4,21[∈t ，得]4,21[,332∈+-=t t t y .因为函数332+-=t t y 的对称轴61=t ，所以函数在区间]4,21[上单调递增，所以值域为]47,413[.故函数)(x f 的值域为]47,413[.变式1：求函数x x y -+=2的值域.变式2：求函数22x x y -+=的值域.六、分离常数法【例2.19】求212++=x x e e y 的值域.分析 本例中的函数是关于xe 的齐次分式，故可以考虑使用分离常数法加以求解.解析 由题意得2322342112+-=+-+=++=x x x x x e e e e e y ，因为0>xe ，所以23230<+<xe . 223221,02323<+-<<+-<-x x e e ，故值域为)2,21(.变式1：求函数153--x x y 的值域.变式2：求函数66522-++-=x x x x y 的值域.七、判别式法【例2.20】求函数2211x x y x x -+=++的值域.解析 因为043)21(122≠++=++x x x 恒成立，所以函数的定义域为R. 原式可化为1)1(22+-=++x x x x y .整理得01)1()1(2=-+++-y x y x y .若1=y ，即02=x ，即0=x ；若1≠y ，因为R x ∈，即有0≥∆，所以0)1(4)1(22≥--+y y ，解得331≤≤y 且1≠y .综上所述，函数的值域为]3,31[.变式1：已知函数1)(2++=x bax x f 的值域为]4,1[-，求b a ,的值.变式2：已知函数18log )(223+++=x nx mx x f 的定义域为R ，值域为]2,0[，求n m ,的值.八、单调性法 【例2.21】求函数11++-=x x y 的值域.解析 由函数的定义域为),1[+∞，且函数11++-=x x y 在区间),1[+∞上单调递增.当1=x 时，2=y ，所以函数的值域为),2[+∞.变式1：求函数11--+=x x y 的值域.变式2：函数x x x f 3245)(---=的值域是_______________.变式3：求函数225222+++++=x x x x y 的值域.变式4：求函数225222++-++=x x x x y 的值域.九、有界性法【例2.22】求函数)(2222R x x x y ∈+=的值域. 解析 解法一（有界性法）：由题意可得y x y x y yx x x y 2)2(222222222-=-⇒=+⇒+=，即有222--=y y x ，由R x ∈，可知02≥x ，故0222≥--=y y x ，可得20<≤y ，因此所求函数的值域为)2,0[. 解法二（分离常数法）：24224)2(2222+-=+-+=x x x y ，由Rx ∈，可知222≥+x ，故22402≤+<x ，因此函数的值域为)2,0[.变式1：已知函数])1,0[(22∈+=x e e y xx，求函数的值域.变式2：已知函数34)(,1)(2-+-=-=x x x g e x f x，若有)()(b f a f =，则b 的取值范围为（ ）]22,22.[+-A )22,22.(+-B ]3,1.[C )3,1.(D【例2.23】已知π<<x 0，求函数xxy sin cos 2-=的值域.解析 由x x y cos 2sin -=，得2cos sin =+x x y 2)sin(12=++⇒ϕx y ，且y1tan =ϕ，故112)sin(2≤+=+y x ϕ.得3≥y 或3-≤y .又0sin ),,0(>∈x x π，0cos 2>-x ，则0>y .故3≥y .因此函数的值域为),3[+∞.评注 本题也可以用数形结合思想求解，设x v x u cos ,sin =-=，则y 的几何意义为点)2,0(与点),(v u 所确定直线的斜率，其中),(v u 为单位圆在y 轴左侧部分.变式1：已知)2,0[π∈x ，求函数xxy cos 2sin 1--=的值域.十、导数法【例2.24】求函数])3,3[(12)(3-∈-=x x x x f 的值域.解析 由0312)('2=-=x x f ，得2,221=-=x x .由表21-看出，)(x f 的最大值)(,16)}2(),3(m ax {)(max x f f f x f =-=的最小值16)}3(),2(m in{)(min -=-=f f x f ，故)(x f 的值域为]16,16[-.()()()2-133,222,222,33()00()99x f x f x -----'-+--表极小值极大值评注 对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.变式1：若函数cx bx x y ++=23在区间]0,(-∞及),2[+∞上都是增函数，而在)2,0(上是减函数，求此函数在]4,1[-上的值域.最有效训练题1.已知R a ∈，则下列函数中定义域和值域都可能是R 的是（ ）a x y A +=2. 1.2+=ax y B 1.2++=x ax y C 1.2++=ax x y D 2.若函数344)(2++-=mx mx x x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）R A . )43,0.(B ),43.(+∞C )43,0.[D3.定义域为R 是函数)(x f y =的值域为],[b a ，则函数)(a x f y +=的值域是（ ） ],2.[b a a A + ],0.[a b B - ],.[b a C ],[b a a +-4.函数x y 416-=的值域是（ ）),0.[+∞A ]4,0.[B )4,0.[C )4,0.(D5.设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=))(()())((4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则)(x f 的值域是（ ）),1(]0,49.[+∞-A ),0.[+∞B ),49.[+∞-C ),2(]0,49.[+∞- D 6.对任意两实数b a ,，定义运算“*”如下：⎩⎨⎧>≤=)()(*b a b b a a b a 若若，函数x x x f 221log *)23(log )(-=的值域为（ ）)0,.(-∞A ),0.(+∞B ]0,.(-∞C ),0.[+∞D 7.函数)2lg(1x x y -++=的定义域是________________.8.函数],0[,2sin 1cos π∈--=x x x y 的值域为________________.9.若函数)(x f y =的值域为]3,1[，则函数)3(21)(+-=x f x F 的值域是____________. 10.已知函数430(2--=x x x f ，定义域为],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是_________________. 11.求下列函数的定义域. （1）1||212-+-=x x y ；（2）02)45()34lg(-++=x x x y ；（3）x x y cos lg 252+-=；（4）)34(log 25.0x x y -=； （5）xey -=11；（6）229)2lg()(xx x x f --=；（7）已知函数)(x f 的定义域是]4,2[-，求)3(2x x f -的定义域； （8）已知函数)1(+x f 的定义域为]3,2[-，求)22(2-x f 的定义域.12.求下列函数的值域.（1）)30(1422≤≤+-=x x x y ； （2）xxy 2121+-=； （3）2234x x y -+-=；（4）x x y 212-+=；（5）21x x y -+=；（6）xx y sin 2sin -=； （7）)1)(111(log 5.0>+-+=x x x y ； （8）1322+-+-=x x x x y .。
函数的定义域与值域知识点及题型总结
函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。
二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。
题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。
二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。
A。
$(-4,-1)$ B。
$(-4,1)$ C。
$(-1,1)$ D。
$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。
解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。
解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。
故选C。
变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。
A。
高中函数定义域,值域复习大全(绝对经典)含答案版
高中函数定义域与值域复习大全一、函数定义域1.定义域：自变量x的取值范围①养成一种素养：出现函数，马上写出定义域在旁边，换元法换了新元，也是一样。
①求定义域x的求法：a.已知f（x）的定义域，求f（x+a）的定义域b.已知f（x+a）的定义域，求f（x）的定义域c.已知（x+a）的定义域，求f（bx+c）的定义域d.不熟悉的定义域转化到熟悉的定义域中e.题目中的定义域无形中发生改变1.例题：a.已知f(x+2)的定义域为（1,2）,求f（x）的定义域b.已知f(x)的定义域为（1,2）,求f（x+1）的定义域c.已知f(x+2)的定义域为（1,2）,求f（2x+1）的定义域d. ①已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f （x ）=x 2-2x ，则y=f （x ）在R 上的解析式为（ ）①定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （3+x ）=f （3﹣x ），当x①（0，3）时，f （x ）=2x ，则f （x ）在区间（3，6）上的解析式是f （x ）= ．e.题目在无形中使定义域发生改变2.例.已知。
（1）写出()H x 的解析式与定义域；（2）试讨论方程的根的个数。
()()f x g x ==()()()H x f x g x =⋅(1)2H x m -+=二、值域①函数单调性法2-① 例.求函数的值域。
①换元法（包含三角换元法）2-①例：求y=x+(1-x)1/2的值域①分离常数法2-① 例. 求函数x x y -+=21的值域2-①拓展题 .已知函数f （x ）=，g （x ）=，其中实数k 为常数．（1）求g （x ）的值域．)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-（2）若函数f （x ）是区间[0，1]的单调函数，求实数k 的取值范围．（3）在（2）的条件下，若对任何x 1①[0，1]，都存在x 2①[0，1]，使得g （x 1）=f （x 2）成立，求k 的取值范围．①图像法（数形结合法）2-① 例. 求函数，x①[-π/12 ，π/12]值域。
专题2.3 函数的定义域与值域重难点题型精讲-高中数学一轮复习【新高考地区专用】
专题2.3 函数的定义域与值域-重难点题型精讲1．函数的三要素 (1)定义域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域． (2)值域与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (3)对应关系f ：A →B .【题型1 求具体函数的定义域】【例1】（2021•浙江模拟）函数y =√−x 2+x +6+1x−1的定义域为（ ） A ．[﹣2，3]B ．[﹣2，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）D ．（﹣2，1）∪（1，3）【解题思路】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答过程】解：由题意得：{−x 2+x +6≥0x −1≠0，解得：﹣2≤x ＜1且1＜x ≤3， 故选：B ．【变式1-1】（2021•天河区校级模拟）函数f （x ）=√32x−1−1的定义域是（ ） A ．[1，+∞）B ．[12，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）【解题思路】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【解答过程】解：由题意得：32x ﹣1﹣1≥0，故32x ﹣1≥1＝30，故2x ﹣1≥0，解得：x ≥12，故函数f （x ）的定义域是[12，+∞），故选：B ．【变式1-2】（2020•新乡三模）函数f （x ）=√−x 2+3x+4lnx的定义域是（ ）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）【解题思路】根据函数的解析式，列出使函数有意义的不等式组，求出解集即可． 【解答过程】解：函数f （x ）=√−x 2+3x+4lnx中，令{−x 2+3x +4≥0x ＞0lnx ≠0，得{x 2−3x −4≤0x ＞0x ≠1，解得{−1≤x ≤4x ＞0x ≠1，即0＜x ≤4且x ≠1；所以函数f （x ）的定义域是（0，1）∪（1，4]． 故选：A ．【变式1-3】（2020•荔湾区校级模拟）函数f （x ）＝lg 3−x x+1cosx的定义域为（ ）A ．（0，3）B ．{x |x ＜3且x ≠π2} C ．（0，π2）∪（π2，3)D ．{x |x ＜0或x ＞3}【解题思路】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答过程】解：由{3−x x ＞0cosx ≠0，得{0＜x ＜3x ≠π2+kπ，k ∈Z ，∴0＜x ＜3且x ≠π2． ∴函数f （x ）＝lg 3−x x+1cosx的定义域为（0，π2）∪（π2，3)．故选：C ．【题型2 求抽象函数的定义域】【例2】（2021春•开封期末）已知函数f （2x ﹣1）的定义域为（﹣1，2），则函数f （2﹣3x ）的定义域为 ． 【解题思路】由题意先求出2x ﹣1的范围，可得2﹣3x 的范围，从而得出x 的范围，即为函数f （2﹣3x ）的定义域．【解答过程】解：函数f （2x ﹣1）的定义域为（﹣1，2），故﹣3＜2x ﹣1＜3， ∴对于函数f （2﹣3x ），﹣3＜2﹣3x ＜3，求得−13＜x ＜53， 故对于函数f （2﹣3x ），它的定义域为（−13，53），故答案为：（−13，53），【变式2-1】（2020秋•蚌埠期末）已知函数f （x ）的定义域是[0，2]，则函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的定义域是（ ） A ．[12，1]B ．[12，2]C ．[12，32]D ．[1，32]【解题思路】由函数f （x ）的定义域是[0，2]可得：要使函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的解析式有意义，则{x +12∈[0，2]x −12∈[0，2]，解不等式可得答案． 【解答过程】解：∵函数f （x ）的定义域是[0，2]， 要使函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的解析式有意义， 则{x +12∈[0，2]x −12∈[0，2]，解得：x ∈[12，32]，故函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的定义域是[12，32]，故选：C ．【变式2-2】（2021•襄城区校级模拟）已知函数y ＝f （x 2+2x−1x 2+x−1）的定义域是[1，+∞），则函数y ＝f （x ）的定义域是 ．【解题思路】利用换元法，设t =x 2+2x−1x 2+x−1，x ∈[1，+∞），求出t 的值域即可．【解答过程】解：设t =x 2+2x−1x 2+x−1，x ∈[1，+∞），则t ＝1+xx 2+x−1=1+1x−1x+1， 再设g （x ）＝x −1x +1，x ∈[1，+∞），则g （x ）是定义域上的单调增函数，且g （x ）min ＝g （1）＝1， 所以1g(x)∈（0，1]，所以t ∈（1，2]；所以函数y ＝f （x 2+2x−1x 2+x−1）的定义域是[1，+∞）时，函数y ＝f （x ）的定义域是（1，2]．故答案为：（1，2]．【变式2-3】（2021•荆州区校级四模）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数Jzzx （x ）定义域为[211，985]，则函数shuangyiliu （x ）＝Jzzx （2018x ）+Jzzx （2021x ）的定义域为（ ） A ．[2112018，9852021] B ．[2112021，9852018] C ．[2112018，9852018] D ．[2112021，9852021] 【解题思路】由2018x ∈[211，985]且2021x ∈[211，985]可求得定义域．【解答过程】解：根据题意得{211≤2018x ≤985211≤2021x ≤985，解得：x ∈[2112018，9852021]．故选：A ．【题型3 已知函数定义域求参数】【例3】（2020春•兴庆区校级期末）若函数y =√的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，12]B ．（0，12）C ．[0，12]D ．[0，12）【解题思路】根据题意即可得出，不等式ax 2﹣4ax +2＞0的解集为R ，然后可讨论a 是否为0：a ＝0时，显然满足题意；a ≠0时，可得出{a ＞0△=16a 2−8a ＜0，然后解出a 的范围即可．【解答过程】解：根据题意，ax 2﹣4ax +2＞0的解集为R ， ①a ＝0时，2＞0恒成立，满足题意； ②a ≠0时，{a ＞0△=16a 2−8a ＜0，解得0＜a ＜12，综上得，实数a 的取值范围是[0，12)． 故选：D ．【变式3-1】（2020秋•解放区校级月考）已知函数f （x ）＝5√a+1−x的定义域为M ，集合N ＝{x |x ≥9}，若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（4，8]B ．（﹣∞，8]C ．（﹣∞，4]D ．[8，+∞）【解题思路】根据条件可得出M ⊆{x |x ＜9}，可求出f （x ）的定义域为M ＝{x |x ＜a +1}，从而得出a +1≤9，然后解出a 的范围即可．【解答过程】解：∵N ＝{x |x ≥9}，M ∩N ＝∅， ∴M ⊆{x |x ＜9}，∵M ＝{x |x ＜a +1}，∴a +1≤9，解得a ≤8， ∴实数a 的取值范围是（﹣∞，8]． 故选：B ．【变式3-2】（2020秋•宝山区校级期末）若函数f （x ）＝lg [（a 2﹣1）x 2+（a +1）x +1]的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ．【解题思路】根据对数函数的定义域为R ，转化为不等式恒成立进行求解即可． 【解答过程】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴（a 2﹣1）x 2+（a +1）x +1＞0恒成立， 当a 2﹣1＝0，即a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，不等式等价为2x +1＞0，此时x ＞−12，不恒成立，不满足条件． 当a ＝﹣1时，不等式等价为1＞0，恒成立，满足条件． 当a ≠±1时，要使不等式恒成立，则{a 2−1＞0△=(a +1)2−4(a 2−1)＜0，即{a ＞1或a ＜−1(a +1)(−3a +5)＜0，得{a ＞1或a ＜−1a ＞53或a ＜−1，即a ＞53或a ＜﹣1， 综上a ＞53或a ≤﹣1， 故答案为：a ＞53或a ≤﹣1．【变式3-3】（2020秋•太原期中）若函数f （x ）=√|2x +1|−|x +1|−a 的定义域为R ，则实数a 的取值范围为 ．【解题思路】由题意，|2x +1|﹣|x +1|≥a 恒成立，利用分段函数求得f （x ）＝|2x +1|﹣|x +1|的最小值，可得a 的范围．【解答过程】解：∵函数f （x ）=√|2x +1|−|x +1|−a 的定义域为R ，∴|2x +1|﹣|x +1|≥a 恒成立． 令f （x ）＝|2x +1|﹣|x +1|={x ，x ≥−12−3x −2，−1≤x ＜−12−x ，x ＜−1，则f （x ）取得最小值大于或等于a ．根据f （x ）的单调性，当x =−12时，f （x ）取得最小值为−12， ∴a ≤−12，故答案为：（﹣∞，−12]．【题型4 利用函数单调性求函数的值域】【例4】（2020秋•上高县校级期末）下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（ ） A ．y =log 2(x 2+2x −3) B ．y =√1−2x C ．y ＝2﹣2x +1D ．y =31x+1【解题思路】根据函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可．【解答过程】解：x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4≥﹣4，∴y =log 2(x 2+2x −3)的值域是R ，不满足条件． ∵0≤1﹣2x ＜1，则函数的值域为[0，1），不满足条件． y ＝2﹣2x +1＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．y =31x+1∈（0，1）∪（1，+∞），不满足条件．故选：C ．【变式4-1】（2021•3月份模拟）函数f （x ）=√2−x +√x 2−6x +10的值域为 ． 【解题思路】先求出函数的定义域和单调性，从而得到函数的值域．【解答过程】解：∵函数f （x ）=√2−x +√x 2−6x +10，∴{2−x ≥0x 2−6x +10≥0，求得x ≤2，故函数的定义域为（﹣∞，2]．且y =√2−x 和y =√x 2−6x +10在定义域内都是减函数，故f （x ）在其定义域内是减函数， 故当x ＝2时，函数f （x ）取得最小值为√2，当x 趋于﹣∞时，函数f （x ）趋于无穷大， 故f （x ）的值域为[√2，+∞）， 故答案为：[√2，+∞）．【变式4-2】（2021•松山区校级模拟）已知函数f （x ）＝log 3（x ﹣2）的定义域为A ，则函数g （x ）＝（12）2﹣x（x ∈A ）的值域为（ ）A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，1）C ．[1，+∞）D ．（1，+∞）【解题思路】根据对数函数的性质先求出f （x ）的定义域，结合指数函数的单调性，求g （x ）的值域即可．【解答过程】解：要使函数有意义，则x ﹣2＞0得x ＞2，即函数f （x ）的定义域为（2，+∞），即A ＝（2，+∞），g （x ）＝（12）2﹣x =14•2x ，为增函数，则g （x ）＞g （2）=14•22＝1，即g （x ）的值域为（1，+∞）， 故选：D ．【变式4-3】（2021•全国模拟）已知函数f （x ）对任意x ∈R ，都有f(x)=−12f(x +2)，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝﹣x 2+2x ，则函数f （x ）在[﹣2，6]上的值域为（ ） A ．[0，1]B ．[−12，0]C ．[﹣2，0]D ．[﹣2，4]【解题思路】x ∈[0，2]时，f （x ）＝﹣x 2+2x ，则利用f(x)=−12f(x +2)，将区间[﹣2，0]，[2，4]，[4，6]的自变量x 利用加减转化到区间[0，2]上，从而进行值域的求解．【解答过程】解：当x ∈[0，2]时，f （x ）＝x （2﹣x ）＝1﹣（x ﹣1）2∈[0，1]， 则当x ∈[﹣2，0]时，即x +2∈[0，2]，所以f(x)=−12f(x +2)∈[−12，0]； 当x ∈[2，4]时，即x ﹣2∈[0，2]，由f(x)=−12f(x +2)，得f （x +2）＝﹣2f （x ），从而f （x ）＝﹣2f （x ﹣2）∈[﹣2，0]； 当x ∈[4，6]时，即x ﹣2∈[2，4]，则f （x ）＝﹣2f （x ﹣2）∈[0，4]． 综上得函数f （x ）在[﹣2，6]上的值域为[﹣2，4]． 故选：D ．【题型5 利用换元法求函数的值域】【例5】（2020•重庆模拟）已知函数f （x ）＝2x ，则函数f （f （x ））的值域是（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．[1，+∞）D ．R【解题思路】利用指数函数的性质容易求出值域．【解答过程】解：由指数函数的性质可知，函数f （x ）＝2x 的值域为（0，+∞）， 令t ＝2x ，则t ＞0，∴f （f （x ））＝f （t ）＝2t ＞20＝1，即所求函数的值域为（1，+∞）． 故选：B ．【变式5-1】（2020秋•瑶海区校级期中）函数y ＝2x +√1−3x 的值域是（ ） A ．（﹣∞，23]B ．[2524，+∞） C ．[−∞，2524] D ．[23，+∞）【解题思路】设t =√1−3x ，则x =1−t 23且t ≥0，然后代入后结合二次函数的性质可求． 【解答过程】解：设t =√1−3x ，则x =1−t 23且t ≥0，y ＝2x +√1−3x =2−2t 23+t =−23t 2+t +23开口向下，对称轴t =34，结合二次函数的性质可知，当t =34时函数取得最大值2524．故函数的值域（﹣∞，2524]．故选：C ．【变式5-2】（2020秋•道里区校级月考）函数f （x ）=1x 2−2x+2的值域为（）A ．（0，1]B ．（0，12]C ．（0，1）D ．（0，12）【解题思路】只需求解t ＝x 2﹣2x +2的范围，结合反比例函数的性质可得值域；【解答过程】解：设t ＝x 2﹣2x +2＝（x ﹣1）2+1， 可得t ∈[1，+∞）， 则y =1t ∈（0，1]． 即函数f （x ）=1x 2−2x+2的值域为（0，1]．故选：A ．【变式5-3】（2021春•水富市校级月考）函数f （x ）＝x 2﹣1的定义域为[0，4]，则函数y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的值域为（ ） A ．[−12，992]B ．[−12，24]C ．[−12，4]D ．[−12，4−2√2]【解题思路】先根据f （x ）的定义域求出y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的定义域，再换元利用二次函数的性质即可求出．【解答过程】解：∵f （x ）＝x 2﹣1的定义域为[0，4]，∴y ＝f （x 2）+[f （x ）]2中，{0≤x 2≤40≤x ≤4，解得0≤x ≤2，即y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的定义域为[0，2]，令t ＝x 2，则t ∈[0，4]，则y =f(x 2)+[f(x)]2=x 4−1+(x 2−1)2=2x 4−2x 2=2t 2−2t =2(t −12)2−12， ∴当t =12时，y min =−12；当t ＝4时，y max ＝24， ∴y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的值域为[−12，24]． 故选：B ．【题型6 利用分离常数法求函数的值域】【例6】（2021•海淀区校级模拟）若函数f(x)=x−1x+1的定义域是[0，+∞），则f （x ）的值域是 ． 【解题思路】由已知利用分离常数，然后结合反比例函数的性质可求． 【解答过程】解：当x ≥0时，∈[﹣1,1)． f (x )=x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1∈[﹣1,1)． 故答案为：[﹣1,1)．【变式6-1】（2020秋•泉山区校级期中）函数y =2+x4−3x 的值域是（ ）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，−12）∪（12，+∞）C．（﹣∞，−13）∪（13，+∞）D．（﹣∞，−13）∪（−13，+∞）【解题思路】分离常数即可得出y=−13+103(4−3x)，从而得出y≠−13，进而得出该函数的值域．【解答过程】解：y=2+x4−3x=−13(4−3x)+1034−3x=−13+103(4−3x)，∴y≠−1 3，∴该函数的值域为(−∞，−13)∪(−13，+∞)．故选：D．【变式6-2】（2020•武汉模拟）函数y=2lnx−1lnx+1的值域为（）A．{y|0＜y＜2}B．{y|y＞0且y≠2}C．{y|y≠2}D．{y|y＞2}【解题思路】由已知利用分离法，结合反比例函数的性质即可求解．【解答过程】解：因为y=2lnx−1lnx+1=2(lnx+1)−3lnx+1=2−31+lnx≠2．故选：C．【变式6-3】（2020秋•成都期末）设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.2]＝﹣4，[4.3]＝4，已知函数f（x）=2×3x1+3x−32，则函数y＝[f（x）]的值域是（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解题思路】由已知结合指数函数的性质先求出f（x）的值域，然后结合已知定义即可求解．【解答过程】解：∵f（x）=2×3x1+3x−32=4⋅3x−3−3⋅3x2(1+3x)=3x−32(3x+1)=12−23x+1，∵3x+1＞1，∴0＜21+3x＜2，∴−32＜12−21+3x＜12，故y＝[f（x）]的值域是{﹣2，﹣1，0}．故选：B．【题型7 已知函数的值域求参数】【例7】（2020•柯城区校级模拟）已知函数f(x)=√x 2+tx 2−1的值域为[0，+∞），则实数t 的取值范围是 ．【解题思路】设y ＝x 2+t x 2−1，先分类求y ＝x 2+t x 2−1的值域A ，再根据[0，+∞）为A 的子集来求t 的取值范围．【解答过程】解：令y ＝x 2+tx 2−1， ①当t ＜0时，y ＝x 2+t x2−1，设m ＝x 2＞0，则y ＝m +tm −1在（0，+∞）上单调递增， ∴y 的值域为R ，∵[0，+∞）⊆R ，∴t ＜0符合题意； ②当t ＝0时，y ＝x 2+tx2−1＝x 2﹣1≥﹣1， ∵[0，+∞）⊆[﹣1，+∞），∴t ＝0符合题意； ③当t ＞0时，y ＝x 2+t x 2−1≥2√x 2⋅t x2−1＝2√t −1，当且仅当|x |=√t 4时，等号成立， ∵[0，+∞）⊆[2√t −1，+∞）， ∴2√t −1≤0，解得0＜t ≤14，综上所述，实数t 的取值范围是（﹣∞，14]．故答案为：（﹣∞，14]．【变式7-1】（2020•青秀区校级模拟）已知函数f （x ）＝lg （3x +43x +m ）的值域是全体实数R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，+∞）B ．[﹣4，+∞）C ．（﹣∞，﹣4）D ．（﹣∞，﹣4]【解题思路】由题意可知3x +43x +m 能取遍所有正实数，结合基本不等式可求． 【解答过程】解：由题意可知3x +43x +m 能取遍所有正实数， 因为3x +43x +m ≥m +4， 则m +4≤0，即m ≤﹣4． 故选：D ．【变式7-2】（2020•一模拟）已知函数f （x ）＝lnx −12ax 2+（a ﹣1）x +a （a ＞0）的值域与函数f （f （x ））的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，1]B ．（1，+∞）C ．(0，43]D ．[43，+∞）【解题思路】求出f （x ）的单调区间和值域，从而得出f （x ）的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a 的范围【解答过程】解：函数f （x ）＝lnx −12ax 2+（a ﹣1）x +a （a ＞0），其定义域满足：x ＞0． 则f ′（x ）=1x −ax +（a ﹣1）（a ＞0） 令f ′（x ）＝0，可得x =−1a（舍去），x ＝1．当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在区间（0，1）递增； 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在区间（1，+∞）递减； ∴当x ＝1时，f （x ）取得最大值为32a −1；f （x ））的值域为（﹣∞，32a −1]，∴函数f （f （x ））的值域为（﹣∞，32a −1]，则32a −1≥1；解得：a ≥43．则a 的取值范围为[43，+∞）；故选：D ．【变式7-3】（2020•南岗区校级四模）已知函数f(x)={(1−a)x +a ，x ＞0ln(x +2)，−2＜x ≤0的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜ln 2B ．a ≤ln 2C ．a ＞0D ．ln 2＜a ＜1【解题思路】由已知求出﹣2＜x ≤0时函数的值域，把函数f （x ）的值域为R 转化为当x ＞0时，f （x ）＝（1﹣a ）x +a 的值域包含（ln 2，+∞），由此列关于a 的不等式组求解． 【解答过程】解：当﹣2＜x ≤0时，0＜x +2≤2，f （x ）＝ln （x +2）∈（﹣∞，ln 2]； 要使函数f(x)={(1−a)x +a ，x ＞0ln(x +2)，−2＜x ≤0的值域为R ，则当x ＞0时，f （x ）＝（1﹣a ）x +a 的值域包含（ln 2，+∞）．则需{1−a ＞0a ≤ln2，即a ≤ln 2．∴实数a 的取值范围是a ≤ln 2． 故选：B ．【题型8 函数的定义域与值域综合】【例8】[多选题]（2021•锡山区校级三模）一般地，若函数f （x ）的定义域为[a ，b ]，值域为[ka ，kb ]，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[a ，b ]，值域也为[a ，b ]，则称[a ，b ]为f （x ）的“跟随区间”．下列结论正确的是（ ）A ．若[1，b ]为f （x ）＝x 2﹣2x +2的跟随区间，则b ＝2B ．函数f （x ）＝1+1x 存在跟随区间C ．若函数f （x ）＝m −√x +1存在跟随区间，则m ∈（−14，0]D ．二次函数f （x ）=−12x 2+x 存在“3倍跟随区间”【解题思路】（1）易由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解b 的值，（2）假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解a ，b 的值，若有解则存在，反之不存在，（3）先设跟随区间为[a ，b ]，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出a ，b 的关系，然后统一变量表示出m ，列出关于m 的关系式，利用方程思想求解m 的取值范围，（4）若存在3倍跟随区间，则设定义域为[a ，b ]，值域为[3a ，3b ]，由此建立方程组，再 等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．【解答过程】解：选项A ：由已知可得函数f （x ）在区间[1，b ]上单调递增，则有f （b ）＝b 2﹣2b +2＝b ，解得b ＝2或1（舍），所以b ＝2，A 正确；选项B ：若存在跟随区间[a ，b ]（a ＜b ），又因为函数在单调区间上递减，则有{f(a)=bf(b)=a ，解得a ＝b ＝1，显然不成立，B 错误；选项C ：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间[a ，b ]（﹣1≤a ＜b ）， 则有{f(a)=b f(b)=a ，即{b =m −√a +1a =m −√b +1，两式做差得：a ﹣b =√a +1−√b +1，即（a ﹣b ）（√a +1+√b +1）＝a +1﹣（b +1）＝a ﹣b ，又﹣1≤a ＜b ，所以√a +1+√b +1=1，易得0≤√a +1＜√b +1≤1， 所以m ＝a +√b +1=a +1−√a +1，设√a +1=t ∈（0，12），则m ＝t 2﹣t ，即t 2﹣t ﹣m ＝0在区间（0，12）上有两个不相等的实数根，只需：{△=1+4m ＞0−m ≥0，解得−14＜m ≤0，C 正确；选项D ：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为[a ，b ]，值域为[3a ，3b ]， 当a ＜b ≤1时，易得函数在定义域上单调递增，则a ，b 是方程−12x 2+x =3x 的两个不相等的实数根，解得x ＝0或﹣4， 故存在定义域为[﹣4，0]使得值域为[﹣12，0]，D 正确， 故选：ACD ．【变式8-1】（2021春•越秀区校级期中）一般地，若f （x ）的定义域为[a ，b ]，值域为[λa ，λb ]，则称[a ，b ]为f （x ）的“λ倍跟随区间”；特别地，若f （x ）的定义域为[a ，b ]，值域也为[a ，b ]，则称[a ，b ]为f （x ）的“跟随区间”．（1）若[1，b ]为f （x ）＝x 2﹣2x +2的跟随区间，则b ＝ ．（2）若函数f （x ）＝m −√x +1存在跟随区间，则m 的取值范围是 ． 【解题思路】（1）结合f （x ）＝x 2﹣2x +2图象和跟随区间定义可解此问题；（2）根据跟随区间定义与函数f （x ）＝m −√x +1是在[﹣1，+∞）上是减函数可解此问题．【解答过程】解：（1）∵[1，b ]为f （x ）＝x 2﹣2x +2的跟随区间，∴函数值域为[1，b ]．∵二次函数f （x ）＝x 2﹣2x +2的对称轴方程为：x ＝1，∴函数f （x ）在[1，b ]上单调递增．∴{f(b)=b 2−2b +2=bb ＞1f(1)=12−2×1+2=1，解得：b ＝2，故b 的值为2；（2）设跟随区间为：[a ，b ]．∵函数f （x ）＝m −√x +1的定义域为：[﹣1，+∞），∴﹣1≤a ＜b ． ∵函数f （x ）＝m −√x +1是定义域上的减函数且定义域、值域都是[a ，b ]， ∴{f(b)=m −√b +1=af(a)=m −√a +1=b，∴√b +1−√a +1=b −a ，∴√b +1−√a +1=b −a =＝（b +1）﹣（a +1）＝（√b +1−√a +1）（√b +1+√a +1），又∵√b +1＞√a +1， ∴√b +1+√a +1=1，∴√b +1=1−√a +1，代入m −√b +1=a 得：m ＝a +1−√a +1，同理：m ＝b +1−√b +1，∴可令m ＝t 2﹣t （0≤t ≤1），∴方程m ＝t 2﹣t 在0≤t ≤1范围内有两个不等实根，∴函数y ＝m 与函数y ＝t 2﹣t （0≤t ≤1）有两个交点，又∵函数y ＝t 2﹣t （0≤t ≤1）的值域[−14，0]， ∴由二者图象可知：m ∈（−14，0]．故答案为：（−14，0]，【变式8-2】（2021春•宝山区校级期末）设函数y ＝f （x ）的定义域为D ，对于非空集合Y ⊆R ，称集合{x |f （x ）∈Y ，x ∈D }为集合Y 的原像集，记作f ﹣1（Y ），设f （x ）＝2sin （ωx +2π3），x ∈[0，π]，其中ω为实常数，且ω＞0，若函数y ＝f （x ）在集合f ﹣1（[0，2]）的值域恰为闭区间[0，2]，则ω的取值范围是 ．【解题思路】由所给的信息可得函数f （x ）的值域，由函数f （x ）的定义域，求出ωx +23π的范围，进而求出ω的范围．【解答过程】解：因为x ∈[0，π]，所以ωx +23π∈[23π，ωπ+23π]，令t ＝ωx +23π∈[23π，ωπ+23π]，所以y ＝2sin t ，t ∈[23π，ωπ+23π]，因为f ﹣1（[0，2]）的值域恰为闭区间[0，2]，所以f ﹣1（[0，2]）＝{x |f （x ）∈[0，2]，x ∈R }，所以2sin t ∈[0，2]，因为t ＝ωπ+23π≥2π+π2，所以可得ω≥116， 故答案为：[116，+∞）．【变式8-3】（2021•青羊区校级模拟）函数f （x ）的定义域为D ，若满足： （1）f （x ）在D 内是单调函数；（2）存在[m 2，n 2]⊆D ，使得f （x ）在[m 2，n 2]上的值域为[m ，n ]，那么就称函数f （x ）为“梦想函数”． 若函数f(x)=log a (a x +t)(a ＞0，a ≠1)是“梦想函数”，则t 的取值范围是 ．【解题思路】根据复合函数单调性的关系先判断函数f （x ）是单调递增函数，然后根据值域关系建立方程，然后转化为方程根的个数问题即可．【解答过程】解：（1）设u （x ）＝a x +t ，则y ＝log a u ，当a ＞1时，u （x ）＝a x +t 为增函数，y ＝log a u 也是增函数，则y ＝log a （a x +t ）为增函数， 当0＜a ＜1时，u （x ）＝a x +t 为减函数，y ＝log a u 也是减函数，则y ＝log a （a x +t ）为增函数， 综上可得：y ＝log a （a x +t ）为增函数，即f （x ）在D 内是单调函数． （2）∵f （x ）是单调递增函数，∴若f （x ）＝log a （a x +t ）为“梦想函数”， 则有{f(m2)=log a (a m2+t)=m f(n2)=log a (a n 2+t)=n，即方程a x 2+t ＝a x 有两个不同的正数解，即可得（a x2）2﹣ax2−t＝0有两个不同的正数解，则有{△=1+4t＞0x1+x2=1＞0x1x2=−t＞0，即{t＞−14t＜0，可得−14＜t＜0，即t的取值范围为（−14，0），故答案为：（−14，0）．。
专题 函数的定义域和值域
专题：函数的定义域、值域之宇文皓月创作A 一、基本知识①函数的定义域：函数自变量的取值范围。
此定义包涵以下内容：⑴自变量即是函数方程中的某一个未知数，可以是x ，也可以是其他字母b a ,；如：12++=ax ax y 的定义域是[]1,1-，无法确定是x 或a 的范围，但1)(2++=ax ax x f 和1)(2++=ax ax a g 就非常明确；⑵复合函数的定义域：①)1(+x f 的定义域是[]1,1-[]1,1-∈⇒x ，不是[]1,11-∈+x ；②)]([x g f 的内函数的值域是外函数定义域的子集。
⑶分段函数的定义域：分段函数各子函数的定义域交集为φ，值域为各子函数的并集。
题型一、惯例函数的定义域例1、求下列函数的定义域1．（1）x x x x x x f +-++-=02)1(65)(； （2）1132---=x x x y ； 2.函数)1lg(11)(++-=x x x f 的定义域是 （ ）A ．(-∞,-1)B ．(1,+∞)C ．(-1,1)∪(1,+∞)D ．R3. 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是 （ ）A ．（∞-，31-）B ．(31-，31）C ．(31-，1）D ．(31-，∞+）4．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是（ ）A ．[,]a bB ．[,]b a --C ．[,]b b -D ．[,]a a -5. 已知()f x =11+x ，则函数(())f f x 的定义域是 ( )A ．{|1}x x ≠-B ．{|2}x x ≠-C ．{|12}x x x ≠-≠-且D ．{|12}x x x ≠-≠-或6. 函数＝y =R ，则k 的取值范围是（）A.09k k ≥≤-或B.1k ≥C.91k -≤≤D. 01k <≤7．已知函数22(3)1xy ax a x -=--+的定义域是R , 则实数a 的范围是_________________.题型二、抽象函数的定义域例2、1．若函数()f x 的定义域为[－2，2]，则函数f 的定义域是（ ）A ．[－4，4]B ．[－2，2]C ． [0，2]D ． [0，4]2．已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2x f x f y ++=的定义域为（ ）A ．[2,1]--B ．[1,2]C ．[2,1]-D ．[1,2]-3.若函数)2(+x f 的定义域为[－2，2]，则函数)12(-x f 的定义域是_________________.B 一、基本知识①函数的值域：在定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有取值所组成的集合。
(完整版)求函数定义域及值域方法及典型题归纳
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。
则称f:为A 到B 的一个函数。
2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。
由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。
3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。
（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。
（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。
二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
(完整word版)函数定义域、值域求法总结,推荐文档
函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数 yf x 中的自变量 x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面下手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于 0。
（4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1（5）y=tanx 中 x ≠k π+π/2； y=cotx 中 x ≠k π等等。
( 6 ) x 0 中 x 0二、值域是函数 yf x 中 y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （ 1）直接法 （2）图象法（数形联合） （3）函数单一性法（ 4）配方法 （5）换元法 （包含三角换元） （6）反函数法（逆求法）（ 7）分别常数法 （8）鉴别式法 （9）复合函数法（ 10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯串了高中数学的一直。
三、典例分析1、定义域问题例 1 求以下函数的定义域：① f ( x)1f ( x) 3x 2 ；③ f ( x)x 11；②2 xx 21解：①∵ x-2=0 ，即 x=2 时，分式无心义，1 x 2而 x 2 时，分式存心义，∴这个函数的定义域是x | x2 .2x②∵ 3x+2<0 ，即 x<-2时，根式3x 2 无心义，3而 3x 20 ，即 x2 2 才存心义，时，根式 3x32 ∴这个函数的定义域是{ x | x}.31③∵当 x1 0且2 x 0 ，即 x1 且 x2 时，根式 x1 和分式同时存心义，{ x | x 1 且 x 2 }2x∴这个函数的定义域是另解：要使函数存心义，一定：x 1 0 x 12 xx 2例 2 求以下函数的定义域：① f ( x)4 x 21② f (x)x 2 3x 4x 1 2③ f ( x)1 1111x⑤ yx2313x 73解：①要使函数存心义，一定：( x1) 0④ f ( x)x x4 x 2 1即：3x 3∴函数 f (x)4 x 21 的定义域为： [3, 3 ]②要使函数存心义，一定： x 23x 4 0x 4或 x 1x 1 2x3且 x 1x3或 3 x1或 x 4∴定义域为： { x| x3或 3 x1或 x 4}x1x③要使函数存心义，一定：1 0 x 1xx111 0211x1}∴函数的定义域为：{ x | x R 且 x 0, 1,2④要使函数存心义，一定：x 1 0x 1xxx 0∴定义域为：x | x1或 1xx 2 3 0x R⑤要使函数存心义，一定：x73x737 或x>7 ∴定义域为： { x | x 7}即 x<333例 3若函数 yax 2ax 1 的定义域是 R ，务实数 a 的取值范围a解：∵定义域是R,∴ ax 2ax1 0恒建立，a∴ 等价于a 010 a2a 24aa例 4 若函数 yf (x) 的定义域为 [ 1， 1]，求函数 yf (x1) f ( x 1 ) 的定义域44解：要使函数存心义，一定：1 x15 314x33441 3 5 x41 x41 4x44∴函数 y f (x1) f ( x1) 的定义域为：x | 3x 3444 4例 5 已知 f(x) 的定义域为 [－1，1]，求 f(2x －1)的定义域。
函数的定义域和值域知识题型总结(含答案)
函数得定义域与值域一、定义域:1。
函数得定义域就就是使函数式得集合、2。
常见得三种题型确定定义域：①已知函数得解析式，就就是、②复合函数f [g（ｘ)]得有关定义域,就要保证内函数g（x）得域就是外函数ｆ (x)得域、③实际应用问题得定义域,就就是要使得有意义得自变量得取值集合、二、值域：１。
函数y＝ｆ（x)中，与自变量x得值得集合、2．常见函数得值域求法,就就是优先考虑，取决于 ,常用得方法有：①观察法;②配方法;③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法;⑦判别式法；⑧有界性法;⑨换元法（又分为法与法)例如:①形如y＝,可采用法;②y＝,可采用法或法;③y=a［f（x）］2＋ｂf (x)＋ｃ,可采用法;④y=ｘ－，可采用法；⑤y＝x－,可采用法;⑥y=可采用法等、典型例题例１、求下列函数得定义域：(１）ｙ＝；（2)y=; （3）y＝、解:（1)由题意得化简得即故函数得定义域为｛x|x〈0且x≠—１}、（2)由题意可得解得故函数得定义域为｛ｘ|—≤x≤且x≠±｝、（3）要使函数有意义，必须有即∴x≥１,故函数得定义域为［１，+∞）、变式训练1：求下列函数得定义域:（1）ｙ=+(x—1）0 ; （2)y=+(５x－4)０； (３)y=+lgcosx;解:（1）由得所以－３〈x〈2且x≠１、故所求函数得定义域为（—3,1）∪（１，２)、（2）由得∴函数得定义域为（３)由,得借助于数轴，解这个不等式组,得函数得定义域为例2、设函数ｙ＝f（x）得定义域为[0，1］，求下列函数得定义域、(1)y=f（3x）； (2）y=f(）;(３)y=f(； (４)ｙ=f（x+a)+f(x－a)、解：（1)０≤3x≤1，故0≤ｘ≤,ｙ=f（3x)得定义域为［0, ］、（2）仿(１）解得定义域为[1，+∞)、(3）由条件,y得定义域就是f与定义域得交集、列出不等式组故ｙ＝f得定义域为、(4）由条件得讨论:①当即０≤a≤时,定义域为[a，1—a］；②当即－≤ａ≤0时，定义域为［-a,1＋ａ］、综上所述：当0≤a≤时,定义域为［a,1－a］;当—≤a≤0时,定义域为［—a，１+ａ］、（0<a＜）得定义域就是（ ) 变式训练2:若函数f（x）得定义域就是［0，1］,则f(x+a)·f（ｘ—a）A、 B、[ａ，１—a］ C、［—a,１+a]D、［0,1］解: B例3、求下列函数得值域：（1)y= (２)y＝x—；（３)y＝、解：(1)方法一（配方法)∵y=1—而∴0〈∴∴值域为、方法二 (判别式法）由y=得(ｙ-1）∵ｙ=1时，1、又∵R,∴必须＝(1-y）2—4y（y-１）≥0、∴∵∴函数得值域为、（2)方法一（单调性法）定义域，函数y=x,y＝-均在上递增,故y≤∴函数得值域为、方法二 (换元法）令=ｔ，则ｔ≥0，且x=∴y=－（t+1)2+1≤(t≥０），∴y∈(—∞，]、（3）由ｙ=得，ｅx=∵ｅx＞０,即＞0，解得－1＜y＜1、∴函数得值域为{y|—1〈y〈1}、变式训练3：求下列函数得值域：(1）y＝; (２）y=｜x|、解：(１）（分离常数法）y=-，∵≠0,∴y≠-、故函数得值域就是｛y｜ｙ∈Ｒ,且ｙ≠-｝、(２)方法一（换元法）∵１－x2≥0,令ｘ=sin,则有y＝｜ｓincｏs|＝｜sｉn２|,故函数值域为［０,］、方法二y=|x|·∴0≤y≤即函数得值域为、例4.若函数f(x）=ｘ2-x＋a得定义域与值域均为［1，b](b＞1）,求ａ、ｂ得值、解：∵f（x)＝（x－1）2＋a-、∴其对称轴为ｘ=1,即［1,b］为f（x)得单调递增区间、∴f(x）min=f(1）=a—=１①f（x)ｍax=f（b)=b２—b+a=b ②由①②解得变式训练4：已知函数f（x）=x2—4ax+2a+６（x∈R)、(1)求函数得值域为［0,＋∞）时得a得值;(2）若函数得值均为非负值，求函数ｆ(a）=2—ａ|a+3|得值域、解：（１)∵函数得值域为［0,+∞),∴Δ=1６a2—４（2ａ＋６)＝02ａ2－a－3=0∴a=-1或a ＝、(２)对一切x∈R，函数值均非负，∴Δ=8（2a2-a－3)≤0-1≤a≤,∴a+３＞０，∴f(a）＝２-a(a+3）=－a2－3a+2＝－(a+)2+（a）、∵二次函数f(a）在上单调递减，∴ｆ（a)min=f＝—，f(a)max=f（-1)=4，∴f（a）得值域为、小结归纳１。
高三一轮复习：函数的定义域及值域
2.2 函数的定义域及值域【考纲解读】【要点梳理】1.函数的定义域是自变量x 的取值集合，函数的值域是因变量y 的取值集合.2.已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0;(2)偶次根式函数,被开方数非负数;(3)一次函数、二次函数的这定义域为R ；（4）0x 中的底数不等于0；（5）指数函数xy a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >；（7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；（9）cot y x =的定义域均为{}|,x x k k z π≠∈.4.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义.5.函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.【例题精析】考点一函数的定义域函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例1.(2012年高考山东卷文科3)函数21()4ln(1)f x xx=+-+的定义域为( )(A)[2,0)(0,2]-(B)(1,0)(0,2]-(C)[2,2]-(D)(1,2]-1.(2011年高考江西卷文理科3)若()log()f xx12=2+1，则()f x的定义域为( ) A. (,)1-02B. (,]1-02C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞【答案】A【解析】要使原函数有意义,只须12log(21)0x+>,即0211x<+<,解得x1-<<02,故选A.考点二 函数的值域例2.（2010年高考山东卷文科3）函数()()2log 31x f x =+的值域为（ ） A. ()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣2.（2010年高考重庆卷文科4）函数164xy =-的值域是（ ） （A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 【答案】C 【解析】[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈.【易错专区】问题：对定义域理解不全而导致错误例.已知函数(1)f x +的定义域是[-1,1],求函数(2)xf 的定义域.【课时作业】1.(广东省肇庆市中小学教学质量评估2012届高中毕业班第一次模拟)已知函数()lgfx x=的定义域为M，函数2,231,1x xyx x⎧>=⎨-+<⎩的定义域为N，则M N=( )A. (0,1)B. (2,)+∞ C. (0,)+∞ D. (0,1)(2,)+∞【答案】D【解析】由已知得(0,),(,1)(2,)(0,1)(2,)M N M N=+∞=-∞+∞⇒=+∞.2．(广东省六校2012年2月高三第三次联考文科)函数1lg(1)y x x=--+的定义域为( )A．{|1}x x≥ B．{|11}x x-<< C．{|1}x x>- D．{|11}x x-<≤3.(2011年高考安徽卷文科13)函数216yx x=--的定义域是.【答案】（－3,2）【解析】由260x x-->可得260x x+-<，即()()+320x x-<，所以32x-<<.4. (北京市西城区2012年1月高三期末考试)函数21()logf xx=的定义域是______．【答案】{|011}x x x<<>或【解析】由2,0,1,log0xx xx>⎧∴>≠⎨≠⎩函数21()logf xx=的定义域为{|011}x x x<<>或. 5．(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)已知函数3()1+2+(0)f x x xx=>在x=a时取到最小值，则a=________．6．（辽宁省大连市2012年4月高三双基测试文科）若函数2()(2)xf x x x e=-的最小值是00(),f xx则值为．【答案】2【解析】由题意可知,本小题只能利用导数法求函数的最小值.【考题回放】1.(2011年高考广东卷文科4)函数1()lg(1)1f x xx=++-的定义域是（）A．(,1)-∞-B．(1,)+∞C．(1,1)(1,)-+∞D．(,)-∞+∞2．（2010年高考湖北卷文科5）函数0.51log(43)yx=-的定义域为（）A.(34,1) B(34,∞) C（1，+∞） D. (34,1)∪（1，+∞）【答案】A3．（2010年高考天津卷文科10）设函数2()2()g x x x R=-∈，()4,(),(),().(){g x x x g xg x x x g xf x++<-≥=则()f x的值域是（）（A）9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦（B）[0,)+∞（C）9[,)4-+∞（D）9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦为(2,)+∞；当(1,2)x ∈-时，()f x 的值域为9[,0)4-，故选D 。
热点2-1 函数的定义域、解析式与值域8大题型(解析版)
热点2-1 函数定义域、解析式与值域8大题型函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。
函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。
在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。
一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n x n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根的被开方数取全体实数，即(21,)n xn k k N *=+∈其中中，x R ∈.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
(精华)函数定义域与值域经典题型归纳总结讲义学生版(无答案)
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。
(形如：2()x f x x=) 练习1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-2.抽象函数（没有解析式的函数） 解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。
总结为： （1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围； （2）在同一个题中x 不是同一个x ；（3）只要对应关系f 不变，括号的取值范围不变。
（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。
例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f （2x-1）的定义域。
练习2、设函数()f x 的定义域为[01]，，则函数2()f x 的定义域为__________；函数2)f 的定义域为_________；3、若函数(1)f x +的定义域为[23]-，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
函数的概念及定义域.值域基本知识点总结函数概念1.映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。
2.函数的概念（1）函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常⑵函数的定义域、值域在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法(1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；(2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。
4.分段函数在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。
(-)考点分析考点1：映射的概念例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ；(2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ；(3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x .上述三个对应是A到B的映射.例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对(4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是()考点2：判断两函数是否为同一个函数例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1) /(X )= , g(x) = V?":⑶ /(x) = 2n ^X^ , g(X )= (2“V7)2"T (/7GN 4);(4) /(x) = Vx Jx + 1 , g(x) = Jx ，十 x ；(5) /(x) = x 2 -2x -1, g(t) = t 2 -2r -1 考点3：求函数解析式方法总结：(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；(2) 若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；(3) 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(%)题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1.已知二次函数/(X )满足/(2X + 1) = 4X 2-6X + 5,求/U)(三种方法)| + V* | _ Y 2例2. (09湖北改编)已知/(-—)=—v ，则/(X )的解析式可取为 l-x 1 + JC题型2：求抽象函数解析式例1.已知函数/⑴满足/U) + 2/(-) = 3x,求/⑴函数的定义域题型1:求有解析式的函数的定义域(1) 方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的X 的取值范 围，实际操作时要注意：酚母不能为0；②对数的真数必须为正；酬次根式中被开方数应 为非负数；歿指数幕中，底数不等于0；矽分数指数幕中，底数应人于0；魁解析式由 儿个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦n 果涉及实际问题，还应使得实际 问题有意义，而11注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义 域不耍漏写。
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●高考明方向了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.★备考知考情定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.一、知识梳理《名师一号》P13知识点一常见基本初等函数的定义域注意：1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域均为R(4)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R(5)y＝log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)文案大全文案大全(6)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充）三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为 {|,,}2∈≠+∈x x R x k k Z ππ如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．知识点二 基本初等函数的值域注意：值域必须写成集合或区间的形式！！！(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a}； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a } (3)y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R . （补充）三角函数中正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1-文案大全 正切函数y ＝tan x 值域为R《名师一号》P15知识点二 函数的最值注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3函数最值与函数值域有何关系？函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在． 1、温故知新P11 知识辨析1（2）函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （ ）答案：正确2、温故知新P11 第4题文案大全函数(]()1122,,222,,2--⎧-∈-∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩x x x y x 的值域为（ ） 3.,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A ().,0-∞B 3.,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C (].2,0-D答案：D注意：牢记基本函数的值域3、温故知新P11 第6题函数()=y f x 的值域是[]1,3，则函数()()123=-+F x f x 的值域是（ ）[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D答案：A注意：图像左右平移没有改变函数的值域二、例题分析：（一)函数的定义域1．据解析式求定义域例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1文案大全(2014·山东) 函数()=f x 的定义域 为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)解析 要使函数有意义，应有(log 2x )2>1，且x >0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12. 所以函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1）函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]文案大全解析：由题意得⎩⎨⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1） 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集． 函数的定义域一定要用集合或区间表示例2. (补充)若函数2()lg(21)f x ax x =++的定义域为R则实数a 的取值范围是 ；答案：()1,+∞变式：2()lg(21)=++f x ax ax ?练习：(补充)文案大全 若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R 则实数k 的取值范围是 ；答案：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．求复合函数的定义域例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）(2015·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则函数y ＝f (2x )－ln(x －1)的定义域为( )A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[1,8]D ．(1,8]解析：由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]．则使函数y ＝f (2x )－ln(x －1)有意义，需⎩⎨⎧ 0≤2x ≤4，x －1>0，解得1<x ≤2，所以定义域为(1,2]．例3. （2）《名师一号》P13 对点自测2文案大全已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f (f (x ))的定义域是( )A ．{x |x ≠－1}B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2}解析 ⎩⎨⎧ x ≠－1，1x ＋1＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（2） （P13 问题探究 问题1 类型二）已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域， 是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．例4．(补充)已知2(1)f x +的定义域是[]0,1，求()f x 的定义域。
文案大全答案：[]1,2 注意： 《名师一号》P13 问题探究 问题1 类型三 若已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，求()f x 的 定义域相当于当[],x a b ∈时，求()g x 的值域 （即()f x 的定义域）练习：(补充)已知()f x 的定义域是[]0,1，求函数2()()g x f x =的定义域。
已知2()()g x f x =的定义域是[]1,1-，求函数()f x 的定义域。
如:()=f x 的定义域是[]0,1,2()()==g x f x []1,1-练习：(补充)1、设函数1()ln 1+=-x f x x，文案大全 求函数1()2⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x g x f f x 的定义域。
答案：112111⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩x x 得()()2,11,2--U2、设函数2(23)--f x x 的定义域为[]0,3，求函数()f x 的定义域。
答案：[]0,3∈x 得[]2234,0--∈-x x3．实际问题中函数定义域的确定注意：实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义（二）求函数值域注意：求函数的值域先求定义域！(1)确定函数值域的原则①当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的值域是指表格中y的值的集合．②当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合．③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．④当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的实际意义确定．(2)基本初等函数的值域(3)求函数值域的方法求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：《名师一号》P14 问题探究问题2怎样求解函数的值域？求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．文案大全文案大全(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．《名师一号》P17 高频考点 例3 规律方法 (3)、（4） 基本不等式、导数法例1. 《名师一号》P14 高频考点 例2（1）求函数4=-y 的值域答案: []2,4 小结: 求函数值域的基本方法1．配方法： 《名师一号》P14 问题探究 问题（2） ——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的值域问题，均可使用配方法，要特别注意自变量的范围；二次函数在给定区间上的最值有两类：（1）求闭区间[],m n 上的最值； （2）求区间定（动），对称轴动（定）的最值----二次函数专题例2. （1）(补充)文案大全求函数()22211log log 5,,42⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦y x x x 的值域答案: []7,11例2. （2）《名师一号》P14 高频考点 例2（2） 求函数y ＝2x －1－2x 的值域方法1：令 1－2x ＝t (t ≥0)，则x ＝1－t 22. ∴y ＝1－t 2－t ＝－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122＋54. ∵二次函数对称轴为t ＝－12， ∴在[0，＋∞)上，y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122＋54是减函数． 故y max ＝－⎝⎛⎭⎪⎫0＋122＋54＝1， 故函数有最大值1，无最小值，其值域为(－∞，1]．文案大全 函数，故y ＝2x －1－2x 是定义域为{x |x ≤2}上的增函数，故y max ＝2×12－ 1－2×12＝1，无最小值． 故函数的值域为(－∞，1]．变式：求函数2=+y x分析:令()0=≥t t答案: 5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)的函数令=t例2. （3）(补充)求函数=+y x文案大全分析:令,2sin 2-≤⎛⎫= ⎪⎝⎭≤x t t ππ 答案:⎡-⎣ 练习：求函数3=+y 的值域分析:令,22⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭x t t ππ 答案: []1,2-小结: 求函数值域的基本方法2．换元法：《名师一号》P14 问题探究 问题（3） 运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定 的另一函数，从而求得原函数的值域．例如：文案大全令=t结构的函数，可以利用三角代换， 令[]cos ,0,=∈x a θθπ， 或令sin ,,22⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x a ππθθ转化为三角函数 强调：换元后要确定新元的取值范围！例3. （1）《名师一号》P14 高频考点 例2（3） 求函数4=+y x x的值域例3. （2）(补充)求函数()2301=<++x y x x x 的值域文案大全()2330111==<++++x y x x x x x 11211+≤-∴++≤-Q x x x x 33011-≤<++x x答案：[)3,0-变式1：求函数231x y x x =++的值域答案：[]3,1- 变式2：求函数()()231133x y x x x +=<-++的值域答案：[)3,0-文案大全小结: 求函数值域的基本方法3.不等式法：《名师一号》P17 高频考点 例3 规律方法 (3)利用基本不等式：a ＋b ≥2ab (a 、b ∈R ＋)求函数的值域． 用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件 “一正、二定、三相等”．例4. （1）(补充)求函数2=y 的值域答案：5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例4. （2）求函数2y x =-（前面换元法已讲解）答案：(],1-∞ 小结: 求函数值域的基本方法文案大全 4.利用函数单调性: 《名师一号》P14 问题探究 问题（5） 根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域．(补充)注意双勾函数()()0k f x x k x=+>的单调性!函数在区间(单调递减;函数在区间)+∞单调递增.例5. （1）温故知新P11 知识辨析1（2） 函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （ ）答案：正确例5. （2）(补充) 求函数()122-=+x f x x 的值域.文案大全 值域{}2≠-y y小结: 求函数值域的基本方法5.分离常数法: 《名师一号》P14 问题探究 问题（5） 形如()0cx d y a ax b+=≠+的函数的值域可使用此法 练习：1、()125-=+x f x x 2、()1212-=+x x f x 3、()224534--=--x x f x x x答案：1、12⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭y y 2、()1,1- 3、()()()()()()51541414-+-==≠≠--+-x x x f x x x x x x 且615⎧⎫≠≠⎨⎬⎩⎭y y y 且 例6.《名师一号》P14 高频考点 例2（4） 求函数331=+xx y 的值域文案大全法一：换元+分离常数法※法二：利用函数有界性由y ＝3x 3x ＋1，得3x ＝y 1－y. ∵3x ＞0，∴y1－y＞0，∴0＜y ＜1. ∴原函数的值域为(0,1)，无最值．变式1：(补充)求函数()1212-=+xx f x 的值域答案： ()1,1-法一：换元+分离常数法※法二：利用函数有界性变式2：(补充)求函数()1sin 1sin -=+x f x x 的值域答案： [)0,+∞ 法一：换元+分离常数法文案大全※法二：利用函数有界性小结: 求函数值域的基本方法※6．函数有界性法：(补充)直接求函数的值域困难时，可以利用已学过的函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数、指数函数的有界性。