全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全(2009-2018年非数学专业)高清无水印版

x
f
求导数，e
y
xe
f
y f
y
y
x
ey y x
ln 29 。因
为 xe f (y) ey ln 29 ，所以
f y e
yx 1 f yey ln 29
d2 y dx2
y x
ey
f y e
1
f
y
ln
29
x
ef y
ey
1 f
y
e
f
y
ey 1 f y
x
e2y 1 f y2 ln 29
1
也就有
n
S
/ /nπ
x, 2y,1 / /2, 2,1
x 2y 1 x 所以 ，即 y 1 ，得x 2, y 1 ，
2 2 1 2
z
2, 1
x22
y2 22,1 2 1 2 1
因此，所求的平面即为经过点
2, 1, 1
，法向量为
n
S
2, 2, 1
的平面，于是有平面的点法式方
证：
3
(1) xesiny d y yesinx d x xesiny d y yesinx d x;
L
L
(2) xesin y d y yesin x d x 5 π2 .
2
L
【参考证法一】由于区域 D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.
π
0
π
左边 πesin y d y πesin x d x π (esin x esin x ) d x ，
，
，
u,v
v2
1x y
u
所以由二重积分换元法的积分变换公式，原积分也就等于
D
(x
y)ln1 1x y
y x
dx
dy
2
D
(1 u2 )2
ln v v2
du
dv
uv
2
1
(1u2)2 du
lnv
8 16
dv 2 1= .
0
1 v2
15 15
2
(2) 设 f (x) 是连续函数，满足 f (x) 3x2 f (x)dx 2 ，则 f (x) =_______. 0
e
第二题：(5 分)求极限
lim
x 0
ex
e 2x
n
enx
x
，其中 n 是给定的正整数.
【参考答案】原式
lim
e
e x
lnex
e 2x
enx n
e e
lim x0 x
lnex
e 2 x
enx n
x0
由洛必达法则，有
lim
e
ln(ex
e2x
enx
)
ln
n
lim
e(ex
2ex
nenx )
x 0
x
x0 ex e2x enx
e(1 2 n) n 1
e
n
2
e
于是
lim
x 0
ex
e2x
n
enx
x
n 1 e
e 2 .
1
f (x)
第三题：(15 分)设函数 f x 连续, g(x) f (xt)d t ，且 lim
A ,A 为常数，求
0
x0 x
g (x) 并讨论g (x) 在x 0 处的连续性.
0
π
0
右边
π
πesin ydy
0
πesin xdx π
π
(esin x esin x ) d x ，
x
lim g (x) lim xf (x) 0 f (u)du
x 0
x0
x2
x
f (x) lim lim
0
f (u)du
A A A g (0)
x0 x
x0
x2
22
从而知 g (x) 在 x 0 处连续.
第四题：(15 分)已知平面区域D {(x, y) | 0 x π , 0 y π} ，L 为 D 的正向边界，试
3
3
(3) 曲面z x 2 y2 2 平行平面 2x 2y z 0 的切平面方程是___________. 2
【参考答案】曲面在任意点 x, y, z 处的法向量可以取为nS fx, fy, 1 x, 2y,1 。平面
π : 2x 2y z 0 的法向量为 nπ 2, 2,1 。于切平面的法向量与平面π 的法向量平行，
f
e
y
f
y
y
x
ey
1
f
y
f
e
y
eyy
x
1
f
y
f
y
/ {e2y 1f y2 ln29}
ef yyx 2f y f 2 y 1 f y
ey 1 f y2 ln 29
f y
e
代入一阶导数表达式y x
，有
1 f yey ln 29
2f y
e
2f y f 2 y 1 f y
y
x
f (u)d u
【参考答案】由题设，知 f (0) 0 ，g(0) 0 . 令u xt ，得g(x) 0
(x 0) ，
x
x
g (x) xf (x) 0
f (u) d u (x
0)
x2
x
由导数定义有g (0) lim
0
f (u)du
f (x) A lim .
由于
x 0
x2
x0 2x 2
2009 年第一届初赛（非数学类）试卷及参考答案
一、填空题(本题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分)：
(x
y)
ln
1
y x
(1) 计算
d x d y =____________，其中区域 D 由直线x y 1 与两坐标
D 1x y
轴所围三角形区域.
y
1 u2
1 u2 v 1
程，有 2x 2 2y 1 z 1 0 ，展开化简后有 2x 2y z 5 0.
(4) 设 y y(x) 由方程 xe f (y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则
d2 y
=___________.
dx2
【参考答案】对等式两端分别关于
2
【参考答案】令A f (x) d x ， f (x) 3x2 2 A 0
2 0
3x 2
2A
dx
x 3
2x
Ax
2 0
8 4 2A
4 2A
4 所以A 4 2A A ，代入所设函数表达式，得
3
f (x) 3x2 2 A 3x 2 2 4 3x 2 10 .
【参考答案】令 1 x y u, 1 v ,解得x
,y
x
v
v
Duv u, v | 0 u 1, 1 v
x
x,y
u
u,v y
u
x
2u
v
v
y
2u(v 1)
v
v
1u2
v2
2u u2 1
1u2
v2
v2
x,y
2u 1 u2
(x
y) ln
1
y x
(1 u2)ln v
e2y
1 f
y
3
ln2
29
2
由原等式xe f (y)
ey
e2f (y) ln 29 可以推得
e2y ln2 29
eye
f (y)
ln 29
2
1 x2
，所以
2f y f 2 y 1 f y [1 f (y)]2 f (y)
y
x2 1 f y3Biblioteka Baidu
x 2[1 f (y)]3