全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全(2009-2018年非数学专业)高清无水印版
2009-16大学生数学竞赛真题(非数学类)--整理20171002
n=1
n=1
9
2013 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、 解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤）
( )n
1.求极限 lim 1+ sin π 1+ 4n2 . n→∞
∫ 2.证明广义积分 +∞ sin x dx 不是绝对收敛的 0x
3.设函数 y = y ( x) 由 x3 + 3x2 y − 2 y3 = 2 确定，求 y ( x) 的极值。
二、（5
分）求极限 lim( ex
+
e2x
+"+
e nx
e
)x
，其中 n 是给定的正整数.
x→0
n
∫ 三、（15 分）设函数 f (x) 连续，g(x) = 1 f (xt)dt ，且 lim f (x) = A ，A 为常数，求 g′(x)
0
x→0 x
并讨论 g′(x) 在 x = 0 处的连续性.
（1）
∫∫
S
ρ
(
z x, y,
z
)
dS
；（2）
∫∫
S
z
(
λ
x
+
3μ
y
+ν
z
)
dS
( ) ( ) ( ) 六．（本题 12 分）设 f(x)是在 −∞, +∞ 内的可微函数，且 f 、 x < mf x ，其 ( ) 中 0 < m < 1 ， 任 取 实 数 a0 ， 定 义 an = ln f an−1 , n = 1, 2,..., 证 明 ：
平面与路径3 x x+1 sin t dt
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2n π==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦=2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分） 而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x +'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-，故()01y=-为极大值，()21y-=为极小值。
2009-2011年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类).
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）(x+y)ln(1+yxdy=____________，其中区域D由直线x+y=1与两) 1．计算⎰⎰D-x-y坐标轴所围成三角形区域.⎛0解令x+y=u,x=v，则x=v,y=u-v，dxdy=det 1⎝(x+y)ln(1+y)ulnu-ulnvD1⎫⎪dudv=dudv，⎪-1⎭⎰⎰D-x-yxdy=⎰⎰10-uudv==⎰(⎰10ulnu-uulnu-uu22⎰udv-u-u-u⎰ulnvdv)du-u(ulnu-u)du=⎰-udu （*）令t=-u，则u=1-t2，du=-2tdt，u2=1-2t2+t4，u(1-u)=t2(1-t)(1+t)，24(*)=-2⎰(1-2t+t)dt=2⎰102315⎤16⎡24(1-2t+t)dt=2⎢t-t+t⎥=3515⎣⎦02．设f(x)是连续函数，且满足f(x)=3x2-解令A=A=⎰20f(x)dx-2, 则f(x)=____________.⎰20f(x)dx，则f(x)=3x-A-2，2⎰20(3x-A-2)dx=8-2(A+2)=4-2A,2解得A=432。
因此f(x)=3x-103。
3．曲面z=x22+y-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是__________.x22解因平面2x+2y-z=0的法向量为(2,2,-1)，而曲面z=2+y-2在2(x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)与(2,2,-1)平行，因此，由zx=x，zy=2y知2=zx(x0,y0)=x0,2=zy(x0,y0)=2y0，即x0=2,y0=1，又z(x0,y0)=z(2,1)=5，于是曲面2x+2y-z=0在(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x-2)+2(y-1)-(z-5)=0，即曲面z=2x+2y-z=0的切平面方程是2x+2y-z-1=0。
前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(大纲)非数学类
中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式. 4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积 7. 欧拉(Euler )方程. 8. 微分方程的简单应用 五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(大纲)非数学类,DOC
中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
123.4567891.2.3.4.5.6.7.)、函数图形的描绘.8.函数最大值和最小值及其简单应用.9.弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '=''),(y y f y '=''.4.5. 6. 7. 8. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用. 七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯(Gauss )公式、斯托克斯(Stokes )公式、散度和旋度的概念及计算.6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) 八、无穷级数1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2. 几何级数与p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz )判别法.3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数7. 8. [-l ，l]1解:令2．设(f 0解:令⎰=2d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
【全国大学生数学竞赛真题试卷】2009年第一届全国初赛-非数学类试卷
12009年第一届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷一、填空题(本题共4个小题，每题5分，共20分)：(1)计算()ln 1d d D y x y x x y ⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪⎰⎰=____________，其中区域D 由直线1x y +=与两坐标轴所围三角形区域.(2) 设 ()f x 是连续函数，满足220()3()2f x x f x dx =--⎰，则()f x =_______.(3) 曲面2222x z y =+- 平行平面 2x +20y z -=的切平面方程是___________. (4) 设 ()y y x =由方程 ()ln 29f y y xe e =确定，其中 f 具有二阶导数，且 1f '≠，则22d d yx =___________.第二题：(5分)求极限 20lim ex x nx x x e e e n →⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中 n 是给定的正整数. 第三题：(15分)设函数 ()f x 连续,10()()d g x f xt t =⎰，且 0()lim x f x A x→= ,A 为常数，求 ()g x '并讨论()g x '在0x =处的连续性.第四题：(15分)已知平面区域{(,)|0,0}D x y x y =≤≤≤≤ππ，L 为D 的正向边界，试证：(1) sin sin sin sin d d d d ;y x y x L Lxe y ye x xe y ye x ---=-⎰⎰(2) sin sin 25d d 2y x L xe y yex --≥⎰ π. 第五题：(10分)已知21x x y xe e =+ ，2x x y xe e -=+ ，23x x x y xe e e -=+-是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.第六题：(10分)设抛物线 22ln y ax bx c =++过原点，当 01x ≤≤时，0y ≥，又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为13. 试确定,,a b c 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 第七题：(15分)已知 ()n u x 满足 1()()n x n n u x u x xe -'=+（n 为正整数），且(1)n e u n=，求函数项级数 1()n n u x ∞=∑之和.第八题：(10分)求1x →- 时，与20n n x ∞=∑等价的无穷大量.。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,，那么vu y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1，那么21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。
因此。
3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历届全国大学生数学竞赛数学类试卷及解析
评阅人
⎛0
⎜ ⎜
1
0 0
# #
0 0
−an −an−1
⎞ ⎟ ⎟
的复数域 C 上的线性空间， F = ⎜ 0
⎜ ⎜
#
1 #
# #
0 #
−
an−2 #
⎟ ⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 0 # 1 −a1 ⎟⎠
（1）假设
A
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
a11
a21 "
a12
a22 "
" " "
a1n
a2n "
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
，若
AF
G
G
n = (1,1,1) ， 且圆柱面经过点 O(0, 0, 0) ， 过点 O(0, 0, 0) 且垂直于 n = (1,1,1) 的平
面π 的方程为： x + y + z = 0 .
……………………………（3 分)
π 与三已知直线的交点分别为 O(0, 0, 0), P(1, 0, −1),Q(0, −1,1) ………… （5 分)
年级： 线
封
所在院校：
密
身份证号：
得分
一 、（ 15 分 ） 求 经 过 三 平 行 直 线 L1 : x = y = z ，
评阅人
L2 : x −1 = y = z +1 ， L3 : x = y +1 = z −1的圆柱面的方程.
解： 先求圆柱面的轴 L0 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是
=
FA ，证明：
⎜⎜⎝ an1 an2 " ann ⎟⎟⎠
A = an1F n−1 + an−11F n−2 +" + a21F + a11E ；
09-16大学生数学竞赛真题(非数学类)(最新整理)
四、（15 分）已知平面区域 D {(x, y) | 0 x , 0 y }， L 为 D 的正向边界，试证：
（1） xesin ydy yesin xdx xesin ydy yesin xdx ；
L
L
（2） xesin ydy yesin ydx 5 2 .
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是某二阶常系数
2
f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________.
0
3．曲面 z x2 y2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是__________. 2
4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则
（1）当
1 时，级数
n1
an Sn
收敛；
（2）当
1且 sn
(n ) 时，级数
n1
an Sn
发散。
五、（15 分）设 l 是过原点、方向为 ( , , ) ，（其中 2 2 2 1) 的直线，均匀椭球 x2 y2 z2 1 ，其中（ 0 c b a, 密度为 1）绕 l 旋转。 a2 b2 c2
已知 lim1 x x0
f
(x) x x
e3 。则 lim x0
f (x) x2
____________________
二、
（本题 12 分）设 n 为正整数，计算 I
1 e 2 n
d cos ln 1 dx 。 dx x
三、 （本题 14 分）设函数 f (x) 在[0,1] 上有二阶导数，且有正常数 A, B 使得| f "(x) | B 。证明：对任意 x [0,1] ，有| f '(x) | 2A B 。 2
2009年第一届全国大学生数学竞赛初赛(非数学类)试卷及答案
2009年第一届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷一、填空题(本题共4个小题，每题5分，共20分)：(1)计算()ln 1d Dy x y x x y æöç++ççòò=____________，其中区域D 由直线1x y +=与两坐标轴所围三角形区域.(2) 设 ()f x 是连续函数，满足22()3()2f x x f x dx =--ò，则()f x =_______.(3) 曲面2222x z y =+- 平行平面 2x +20y z -=的切平面方程是___________.(4) 设 ()y y x =由方程 ()ln 29f y y xee =确定，其中f 具有二阶导数，且 1f ¢¹，则22d d y x=___________.第二题：(5分)求极限 20lim e x x nx xx e e e n æö+++ç÷ç÷ç÷ç÷èø，其中 n 是给定的正整数.第三题：(15分)设函数 ()f x 连续,1()()d g x f xt t =ò，且 0()limx f x A x= ,A 为常数，求()g x ¢并讨论()g x ¢在0x =处的连续性.第四题：(15分)已知平面区域{(,)|0,0}D x y x y =££££ππ，L 为D 的正向边界，试证：(1)sin sin sin sin d d d d ;yx y xL Lxey ye x xe y ye x ---=-òò(2) sin sin 25d d 2yx Lxe y ye x --³òπ.第五题：(10分)已知21xxy xe e =+ ，2x xy xe e-=+ ，23x xx y xe ee -=+-是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.第六题：(10分)设抛物线 22ln y ax bx c =++过原点，当 01x ££时，0y ³，又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为 13. 试确定,,a b c 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.第七题：(15分)已知 ()n u x 满足 1()()n xn n u x u x x e -¢=+（n 为正整数），且(1)n eu n=，求函数项级数 1()n n u x ¥=å之和.第八题：(10分)求1x - 时，与2n n x ¥=å等价的无穷大量.2009年第一届初赛（非数学类）试卷及参考答案一、填空题(本题共4个小题，每题5分，共20分)：(1)计算()ln 1d Dy x y x x y ⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪⎰⎰=____________，其中区域D 由直线1x y +=与两坐标轴所围三角形区域.【参考答案】,1yu v x=+=,解得()()22111,u v u x y v v---==221221220()ln 1ln d 2(1)d d ln 8162(1)d d 21=.1515uvDD y x y x v x y u u vvu u v vv +∞ ⎪++ ⎪⎪ =-⋅=-=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 设 ()f x 是连续函数，满足220()3()2f x x f x dx =--⎰，则()f x =_______.【参考答案】令2()d A f x x =⎰，2()32f x x A =--()22230032d 284242x A x x x Ax A A ⎡⎤--=--=--=-⎢⎥⎣⎦⎰所以4423A A A =-⇒=，代入所设函数表达式，得222410()32323.33f x x A x x =--=--=-(3) 曲面2222x z y =+- 平行平面 2x +20y z -=的切平面方程是___________. 【参考答案】曲面在任意点(),,x y z 处的法向量可以取为()(),,1,2,1S x y n f f x y ''=-=-。
第一届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)试题及答案
解： 因抛物线过原点，故 c = 1
a b 1 2 + = .即 b = (1 − a) ，………..………….…(2 分) 3 2 3 3 1 1 2 1 1 2 2 2 而 V = π ∫0 (ax + bx) dx = π [ a + ab + b ] 5 2 3 1 2 1 1 4 = π [ a + a(1 − a ) + ⋅ (1 − a ) 2 ] . …………………….…………….…(5 分) 5 3 3 9 dv 2 1 2 8 = π [ a + − a − (1 − a)] = 0 ， 令 da 5 3 3 27 5 3 得 a = − ，代入 b 的表达式 得 b = . 所以 y ≥ 0 ， ……………..…………(8 分) 4 2
+ ne nx ) + enx
=
e(1 + 2 + n
原式= e
(
于是
n +1 )e 2
.
……………………………………..…………..…(5 分) f ( x) 连 续 , g ( x) = ∫ f ( xt )dt ， 且
0 1
得
分
三、 （ 15 分 ） 设 函 数
评阅人 在 x = 0 处的连续性.
π
所以 年级： 线
∫ xe
L
sin y
dy − ye− sin x dx =
sin x
∫ xe
L
− sin y
dy − yesin x dx . ……………………………(10 分)
(2) 由于 e
+ e − sin x ≥ 2 + sin 2 x ， …….…………………….…...(12 分)
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类)
第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=，dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，那么v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，那么21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ， 解得。
因此。
3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，那么.解:方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 因)(29ln y f y xe e =，故，即，因此二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解:因 故 因此三、〔15分〕设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解:由与函数)(x f 连续知，0)(limlim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x 因⎰=10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g ， 因此，当0≠x 时，，故 当0≠x 时，这说明)(x g '在0=x 处连续.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 〔1〕y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 与y 是对称的，即知 因此 〔2〕因 故 由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，那么x x e e y y 212-=--与x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''与 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 得 即 因此七、〔15分〕)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且, 求函数项级数之与.解 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由知，0=C ， 于是下面求级数的与：令 那么 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数的与 八、〔10分〕求-→1x 时, 与等价的无穷大量.解令2)(t x t f =，那么因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。
全国大学生数学竞赛初赛2018年第十届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
sin t cos t
dt
sin t ln sect tan t ln | cost | C
x 由于 tan t ，所以 cost
1 , sin t
x
，sect 1 x 2 ，代入得原
1
1 x2
1 x2
积分为
F x
x 1 x 2 ln
1 x2 x ln
1 C
1 x2
所以由夹逼准则可得
lim
n
1
n
0.
n
【思路二】
lim
n
1
n
1 x
lim
1
n
x0
x
lim
x
lim
x1 0.
x0 x
x 0
（2）若曲线y y x 由x t cost
确定，则此曲线在t 0 对应点处的切线方
ey ty sin t 1
程为
.
【参考解析】：当t 0 时，x 1 且ey 1 ，即y 0 ，即求点 1, 0 处曲线y y x 的
第十届全国大学生数学竞赛试卷
（非数学类，2018 年 10 月）
一、填空题（本题满分 24 分，共 4 小题，每小题 6 分）
（1）设 0, 1 ，则
lim
n
1
n
.
n
【参考解析】：【思路一】因为
1
1 n
1 1
n
，所以
0
n
1
n
n
1
1 n
1
n 1
1 n
1
1 n 1
0n
0
3
0
，即
f
x
f
大学数学竞赛试题及答案非数学类
大学数学竞赛试题及答案非数学类大学数学竞赛试题及答案（非数学类专业）一、选择题（每题2分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(2) \)的值。
A. -1B. 1C. 3D. 52. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π3. 以下哪个是等差数列1, 4, 7, ...的第10项？A. 27B. 28C. 29D. 304. 已知\( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\theta) \)的值（假设\( \theta \)在第一象限）。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. 05. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：1. B2. B3. A4. A5. A二、填空题（每题3分，共15分）6. 圆的周长公式是 \( C = \) ________ 。
7. 已知\( a \)和\( b \)是两个正整数，且\( a > b \)，若\( a \)和\( b \)的最大公约数是3，最小公倍数是90，则\( a \)和\( b \)的值分别是________ 和 ________ 。
8. 已知\( \log_{10}100 = 2 \)，求\( \log_{10}1000 \)的值是________ 。
9. 将\( 0.\overline{3} \)（即0.333...）转换为分数形式是________ 。
10. 一个等比数列的首项是2，公比是3，求第5项的值是________ 。
答案：6. \( 2\pi r \)7. 15, 68. 39. \( \frac{1}{3} \)10. 162三、解答题（每题10分，共20分）11. 证明：对于任意实数\( a \)和\( b \)，不等式\( a^2 + b^2\geq 2ab \)总是成立。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类.docx
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解:令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
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x
f (u)d u
【参考答案】由题设，知 f (0) 0 ，g(0) 0 . 令u xt ，得g(x) 0
(x 0) ，
x
x
g (x) xf (x) 0
f (u) d u (x
0)
x2
x
由导数定义有g (0) lim
0
f (u)du
f (x) A lim .
由于
x 0
x2
x0 2x 2
2
【参考答案】令A f (x) d x ， f (x) 3x2 2 A 0
2 0
3x 2
2A
dx
x 3
2x
Ax
2 0
8 4 2A
4 2A
4 所以A 4 2A A ，代入所设函数表达式，得
3
f (x) 3x2 2 A 3x 2 2 4 3x 2 10 .
x
lim g (x) lim xf (x) 0 f (u)du
x 0
x0
x2
x
f (x) lim lim
0
f (u)du
A A A g (0)
x0 x
x0
x2
22
从而知 g (x) 在 x 0 处连续.
第四题：(15 分)已知平面区域D {(x, y) | 0 x π , 0 y π} ，L 为 D 的正向边界，试
e
第二题：(5 分)求极限
lim
x 0
ex
e 2x
n
enx
x
，其中 n 是给定的正整数.
【参考答案】原式
lim
e
e x
lnex
e 2x
enx n
e e
lim x0 x
lnex
e 2 x
enx n
x0
由洛必达法则，有
lim
e
ln(ex
e2x
enx
)
ln
n
lim
e(ex
2ex
nenx )
0
π
0
右边
π
πesin ydy
0
πesin xdx π
π
(esin x esin x ) d x ，
程，有 2x 2 2y 1 z 1 0 ，展开化简后有 2x 2y z 5 0.
(4) 设 y y(x) 由方程 xe f (y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则
d2 y
=___________.
dx2
【参考答案】对等式两端分别关于
【参考答案】令 1 x y u, 1 v ,解得x
,y
x
v
v
Duv u, v | 0 u 1, 1 v
x
x,y
u
u,v y
u
x
2u
v
v
y
2u(v 1)
v
v
1u2
v2
2u u2 1
1u2
v2
v2
x,y
2u 1 u2
(x
y) ln
1
y x
(1 u2)ln v
f
e
y
f
y
y
x
ey
1
f
y
f
e
y
eyy
x
1
f
y
f
y
/ {e2y 1f y2 ln29}
ef yyx 2f y f 2 y 1 f y
ey 1 f y2 ln 29
f y
e
代入一阶导数表达式y x
，有
1 f yey ln 29
2f y
e
2f y f 2 y 1 f y
y
1
也就有
n
S
/ /nπ
x, 2y,1 / /2, 2,1
x 2y 1 x 所以 ，即 y 1 ，得x 2, y 1 ，
2 2 1 2
z
2, 1
x22
y2 22,1 2 1 2 1
因此，所求的平面即为经过点
2, 1, 1
，法向量为
n
S
2, 2, 1
的平面，于是有平面的点法式方
2009 年第一届初赛（非数学类）试卷及参考答案
一、填空题(本题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分)：
(x
y)
ln
1
y x
(1) 计算
d x d y =____________，其中区域 D 由直线x y 1 与两坐标
D 1x y
轴所围三角形区域.
yLeabharlann 1 u21 u2 v 1
，
，
u,v
v2
1x y
u
所以由二重积分换元法的积分变换公式，原积分也就等于
D
(x
y)ln1 1x y
y x
dx
dy
2
D
(1 u2 )2
ln v v2
du
dv
uv
2
1
(1u2)2 du
lnv
8 16
dv 2 1= .
0
1 v2
15 15
2
(2) 设 f (x) 是连续函数，满足 f (x) 3x2 f (x)dx 2 ，则 f (x) =_______. 0
证：
3
(1) xesiny d y yesinx d x xesiny d y yesinx d x;
L
L
(2) xesin y d y yesin x d x 5 π2 .
2
L
【参考证法一】由于区域 D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.
π
0
π
左边 πesin y d y πesin x d x π (esin x esin x ) d x ，
x
f
求导数，e
y
xe
f
y f
y
y
x
ey y x
ln 29 。因
为 xe f (y) ey ln 29 ，所以
f y e
yx 1 f yey ln 29
d2 y dx2
y x
ey
f y e
1
f
y
ln
29
x
ef y
ey
1 f
y
e
f
y
ey 1 f y
x
e2y 1 f y2 ln 29
e2y
1 f
y
3
ln2
29
2
由原等式xe f (y)
ey
e2f (y) ln 29 可以推得
e2y ln2 29
eye
f (y)
ln 29
2
1 x2
，所以
2f y f 2 y 1 f y [1 f (y)]2 f (y)
y
x2 1 f y3
x 2[1 f (y)]3
3
3
(3) 曲面z x 2 y2 2 平行平面 2x 2y z 0 的切平面方程是___________. 2
【参考答案】曲面在任意点 x, y, z 处的法向量可以取为nS fx, fy, 1 x, 2y,1 。平面
π : 2x 2y z 0 的法向量为 nπ 2, 2,1 。于切平面的法向量与平面π 的法向量平行，
x 0
x
x0 ex e2x enx
e(1 2 n) n 1
e
n
2
e
于是
lim
x 0
ex
e2x
n
enx
x
n 1 e
e 2 .
1
f (x)
第三题：(15 分)设函数 f x 连续, g(x) f (xt)d t ，且 lim
A ,A 为常数，求
0
x0 x
g (x) 并讨论g (x) 在x 0 处的连续性.