解三角形中的高、中线、角平分线问题

解三角形中的高、中线、角平分线问题

浙江温州龙湾中学2008级学生 王煜坤

指导老师 陈华云

[注]：此文获校首届“科技节”系列活动之“数学小论文”评比三等奖

在学习了《解三角形》这一章后，我们学会了怎样利用正弦定理和余弦定理来求三角形的边、角等问题。先让我们来回顾这部分主要内容： 正弦定理：

C c

B b A a sin sin sin =

= 余弦定理：)

3(cos 2)2(cos 2)1(cos 22222

2

2

222C

ab b a c B

ac c a b A

bc c b a -+=-+=-+= 思考1：正弦定理和余弦定理可以互推吗？ ①正弦定理⇒余弦定理 设

R C

c

B b A a 2sin sin sin === 则

C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===

2

22222222222222222222222222222222222sin 4)cos sin cos (sin 4]cos cos sin sin 2cos sin cos [sin 4]cos cos sin sin 2)sin 1(sin )sin 1([sin 4)]sin sin 2cos cos sin sin 2sin [sin 4)]sin sin cos (cos sin sin 2sin [sin 4)]

cos(sin sin 2sin [sin 4)cos sin sin 2sin (sin 4cos sin sin 8sin 4sin 4cos 2a A R B C C B R C B C B B C C B R C B C B B C C B R C B C B C B C B R C B C B C B C B R C B C B C B R A C B C B R A C B R C R B R A bc c b ==+=++=+-+-=-++=-++=+++=-+=-+=-+∴

同理B ac c a b cos 22

2

2

-+=；C ab b a c cos 22

2

2

-+= 故“正弦定理⇒余弦定理”成立 ②余弦定理⇒正弦定理

由 （1）+（2） 得B ca A bc c b a b a cos 2cos 222

2

2

2

2

--++=+ 即B a A b c cos cos +=代入（3）得

C ab b a B a A b cos 2)cos cos (222-+=+

⇒C ab b a B A ab B a A b cos 2cos cos 2cos cos 222222-+=++ ⇒0)cos cos (cos 2)cos 1()cos 1(2222=+--+-C B A ab B a A b

⇒0)]cos(cos [cos 2sin sin 2222=+--+B A B A ab B a A b ⇒0sin sin 2sin sin 2222=-+B A ab B a A b ⇒0)sin sin (2=-B a A b ⇒B a A b sin sin =⇒

B

b

A a sin sin =

同理

C c A a sin sin =；B

b

C c sin sin =

故“余弦定理⇒正弦定理”成立 思考2：三角形的边和高有何关系？

如图，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，h a 、h b 、h c 分别为a 、b 、c 三边上的高。

分析：由余弦定理ac

b

c a B 2cos 2

22-+=

而2

2

2

22)2(1cos 1sin ac

b c a B B -+-=-=

则

))()()((4

1])(][)[(41)2)(2(41)()2(41)2(121sin 2122222222222

22222222c a b c b a c b a c b a c a b b c a b c a ac b c a ac b c a ac ac b c a ac B ac S +-+--+++=---+=+---++=-+-=-+-== 根据a ah S 21

=

∆，则a

c a b c b a c b a c b a a s h a 2)

)()()((2+-+--+++==

同理b

c a b c b a c b a c b a h b 2)

)()()((+-+--+++=

c

c a b c b a c b a c b a h c 2)

)()()((+-+--+++=

思考3：三角形的边和中线有何关系？

如图，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，ma 、mb 、mc 分别为a 、b 、c 三边上的中线。

分析：由余弦定理ac

b c a B 2cos 222-+=

a

a

])(2[4

1244242)2(2)2(cos )2(2)2(2222

22222222222

2222

a c

b b a

c b c a c a ac

b c a c a c a B c a c a m a -+=+-=-+++=-+⋅

⋅-+=⋅⋅-+= 所以222)(221

a c

b m a -+=

同理222)(221b c a m b -+=；222)(22

1

c b a m c -+=

思考4：三角形的边和角平分线有何关系？

如图，在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，Ta 、Tb 、Tc 分别为∠A 、∠B 、∠C 的角平分线。

分析：设BD 、CD 分别为x 、y 根据三角形内角平分线的性质得

由

y x b c =得y

y x b c b +=+ c

b ab

y a y x +=

∴=+ 由余弦定理ab

c

b a C 2cos 2

2

2

-+=

2

2

2222222222

2222

2222

2222

2

2

2

)())(()2()(])

)(()2([)

(]

)()[()(2)(2)(cos 2c b a c b c b a bc a bc c b c b bc c c b a c b a bc c b b c b bc b c b a c b a c b c b b ab

c b a c b ab b c b ab b C by y b T a +-+++=-+++=-++-++++=-+⋅+-+++=-+⋅

+⋅-++=-+=

所以c b a c b c b a bc T a +-+++=

)

)((

同理c

a b c a c b a ac T b +-+++=

)

)((；b

a c

b a

c b a ab T c +-+++=

)

)((

通过以上四个思考题，你是否发现还可以利用正弦定理和余弦定理来推导三角形的高、中线、角平分线等问题，它们可以作为正弦定理和余弦定理内容的扩充。

C