拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理的

应用

总结拉格朗日中值定理的应用

以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！

拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。

凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式，

凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1.

常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通

常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分

作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3.

倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。

乘积因子法：对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关

系的证明，直接构造函数往往比较困难．将所证结论的两端都乘以或除以一个

恒正或恒负的函数，证明的结论往往不受影响，(为常数)是常用的乘积凶子．如例5.

介值法：证明中，通过引入辅助函数g(x)=f(x)-x将原问题转化为(a,b)可导函数g(x)的最大值或最小值至少有一个在必在内点达到，从而可通过g(x)在（a,b）可导条件，直接运用费马定理，完成证明。如例6。

一拉格朗日中值定理证明（不）等式在不等式的证明中，关键是选取适当的辅助函数ｆ（ｘ）和区间（ａ，ｂ），通过ξ的范围，根据导函数ｆ′确定ｆ′（ξ）和分式的范围，得证。如例题7。

例7．

例8：

例9：

二利用拉格朗日中值定理求极限

求极限的方法有很多，常见的有利用洛必达法则,利用重要极限等，而对于一些极限也可用拉格朗日中值定理或者只能用这种方法来求解，如例10,11.

例10：

例11：

三研究函数在区间上的性质

因为拉氏中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候。我们可以借助其导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识。比如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的结论。通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要的方法。如例12：

四估值问题

证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便。特别是二阶及二阶以上的导函数估值时。但对于某些积分估值，可以采用拉氏中值定理来证明。

五证明级数收敛

例13：