第八章参数估计(一)

解：
E(X )
2
替换得 X
2
∴ 的矩法估计量为
的矩法估计值为
^
2X
2 n
n i 1
Xi
^
2x
2 n
n i 1
xi
例3 设 x1 , x2 , …, xn是来自正态总体 N( , 2) 的样 本，求 和 2 的矩法估计。
E(X )
解：
E( X
2)
Var(X
)
(E(X
))2
若总体 X 离散：
设其概率函数 p(x, ) ，样本X1,X2，…,Xn, 观测值 x1,x2，…,xn 。观测值出现的概率：
L( ) P(X1 x1, X 2 x2,...,X n xn )
P( X1 x1)P( X 2 x2 )P( X n xn )
注： 这说明矩法估计可能不唯一，这是矩法估计的一个缺点。
通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。
矩法估计小结:
1. 原理：替换原理
2. 矩法估计步骤： (1) E(X j ), j 1,2,, k (2) 替换 (3) 解方程组
3. 优点：简单、直观；
不用知分布形式便可进行估计数学期望和方差
缺点：要求前 k 阶总体矩存在；
参数估计的类型
点估计 —— 估计未知参数的值
区间估计—— 估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值.
本章主要内容：
参数的点估计
矩估计 最大似然估计
点估计的评判标准
参数的区间估计
§8.1 参数的点估计
例： 设某城市房价 X ~ N (, 2 )，估计未知参数
, 2 ? P(X a) (a ) ?
X～
Sn2 ～
Aj
1 n
n i 1
Xi j
～
E(X )
Var( X )
E(X j)
设 X , f (x; ), (1,2,,k ) ， 则
E(X )
xf
( x;
)dx
g(1,2 ,,k
)
近似地有
X g(1,2 ,,k )
同样
E(X j)
x
j
f
( x;
)dx
g
j
(1,2
,,k
),
j 1,2,, k
样本 X1, X 2 ,, X n
点估计 ˆ g( X1, X 2,, X n )
定义：设 X1, X 2,, X n 是来自总体的一个样本，用于
估计未知参数 的统计量
ˆ ˆ(X1, X2,, Xn ) 称为 的点估计量
ˆ ˆ(x1, x2,, xn )
称为 的点估计值
一般地，设总体X 的分布函数的形式已知,
例1 设总体X ~ N ( , 2 ), 在对其作28 次
独立观察中, 事件 “X < 4” 出现了21 次, 试
用频率替换法求参数 的估计值.
解： 由 P(X 4) (4 ) 21 0.75
2 28
查表得 4 0.675
2
于是 的估计值为 ˆ 3.045
矩法估计
原理： 用样本矩代替总体矩 （依据大数定律）
X )2
S
2 n
例： 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测
得其寿命为(单位:小时)
1050, 1100, 1080, 1120, 1200
1250, 1040, 1130, 1300, 1200
试用矩法估计该天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.
1 10
E ( X
D( X
)矩
)矩
未充分利用分布信息
极大似然估计法
思考：粉笔盒中共 100 支粉笔，只有两种可能： 要么是 99 黄 1 白要么是 99 白 1 黄。现从中 抽取一支发现是黄色的，请问是哪种情况（即估
计未知参数 p）？
99黄1白 p = 0.99 99白1黄 p = 0.01
基本原则：
使样本观测值x1,x2,…,xn出现的概率最大！！
s
x
2 n
11100i10i11xix2 ix
1147(h)
2 6821(h2
)
.
例4 设总体 X ~ U (a, b), a, b 未知, 求参数 a, b 的 矩法估计量.
解：由于 E(X ) a b , D(X ) (b a)2
2
12
令
X ab
2
Sn2
1 n
n
（X i
Fra Baidu biblioteki1
-
X）2
2
2
用X
替换 E(X )，用
A2
1 n
n i 1
Xi2
替换
E(X 2)
得
X
A2
2
2
解方程组得
ˆ X
ˆ 2
A2
X2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
S
2 n
一般, 不论总体服从什么分布, 总体期望 与方差 2 存在, 则它们的矩估计量分别为
ˆ
1 n
n i1
Xi
X
2
1 n
n
(Xi
i 1
近似地有
Aj g j (1,2 ,,k ), j 1,2,, k
解方程组，得1,2 ,,k 的矩法估计
ˆ1, ˆ2, , ˆk
矩法估计步骤：
(1) E( X j ), j 1,2,, k
(2) 替换 (3) 解方程组
例2 设总体 X 服从均匀分布 U(0,)， >0， 样本x1, x2，…, xn。求 的矩法估计值。
第八章 参数估计
参数是刻画总体某方面概率特性的数.当这些 参数未知时,从总体抽出一个子样，用某种方法 对这些未知参数进行估计就是参数估计.
通过样本对总体未知参数进行估计
例：X ~N ( , 2), 若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容. 点估计 区间估计
(b a)2 12
解得 aˆ矩 X 3S
bˆ矩 X 3S
例5 设总体 X服从指数分布e()，样本x1, x2，…, xn， 求 的矩法估计值。
解：E( X
)
1
替换得
X
1
另法：
Var(X )
1
2
替换得 Sn2
1
2
^
1 X
1 n
1
n
Xi
i 1
^
1 x
1 n
1
n
i 1
xi
^
1
^
1
Sn
sn
但含有一个或多个未知参数：1,2, ,k
设 X1, X2,…, Xn为总体的一个样本 构造 k 个统计量：
1( X1, X 2 ,, X n ) 2(X1, X 2,, X n )
k (X1, X 2,, X n )
随机变量 估计量
当测得样本值(x1, x2,…, xn)时,代入上述 统计量，即可得到 k 个数：
ˆ1(x1, x2 ,, xn ) ˆ2 (x1, x2 ,, xn )
ˆk (x1, x2 ,, xn )
数 值 估计值
问 如何构造统计量？ 题 如何评价估计量的好坏？
常用的点估计方法介绍
频率替换法 利用事件A 在 n 次试验中发生的频率
nA / n 作为事件A 发生的概率 p 的估计量
nA p p n