线性规划含参问题
2018届一轮复习人教A版第11讲 含参的线性规划问题的处理 学案
高中数学热点难点突破技巧第11讲：含参的线性规划问题的处理【知识要点】含参的线性规划问题在选择题和填空题中经常考察，难度较大，对于学生 说，是比较棘手的问题.含参的线性规划问题一般有三类，1、不等式含参函数不含参；2、不等式不含参函数含参；3、不等式含参函数含参.它们的具体解法见下面的方法点评. 【方法点评】【例1】已知不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为（）A ．1B ．﹣3C ．1或﹣3D ．0如图，不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分，可知面积为以PQ 为底，高为2的三角形的面积，又)22,2(+k P ，故42)22(21=⨯+⨯k ，解得1=k .【点评】作含参的不等式20kx y -+≥表示的平面区域是本题型的关键，可以利用特值法.如果令k=-2,不等式220x y --+≥，它表示的平面区域和前面的不等式没有公共区域，所以不能取k=-2.也就是说，你在给k 取值时，一定要保证该不等式表示的区域和前面的不等式表示的区域有公共部分.平面区域找到了，后面的问题就好解决了.【例2】若实数,x y 满足不等式组024010x y x y x my +≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，且z x y =+的最大值为3，则实数m =（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．2可得，B （23224+++m m m ,）．而目标函数y x z +=可看作是直线z x y +-=在y 轴上的截距，显然当直线过点B 时，截距最大，即x y +最大，所以有3=++++23224m m m ，解得1=m ．方法二：数形结合分析得三线240x y +-=、3x y +=、10x my --=共点，解方程组324010x y x y x my +=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩得m =1. 【点评】（1）作不等式10x my --≤对应的平面区域用的是特值法. (2)利用特值法计算比较难，利用三线共点解方程组，计算就比较简单，解题效率高.学【反馈检测1】已知实数x ，y 满足不等式组21,0,10,x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是（ ）A.(B.C.[D.[【反馈检测2】若函数图象上存在点满足约束条件，则实数的最大值为__________．【例3】已知点满足，目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的范围为 （ ） A.B.C.D.方法二（比较法）：目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，所以点B ，C 的函数值都比点A 的函数值小，即A B A Cz z z z <⎧⎨<⎩，即120324120021a a a a ⨯+⨯<⨯+⨯⎧⎨⨯+⨯<⨯+⨯⎩，解之得42a -<<.【点评】（1）目标函数，它表示的是斜率为2a -，纵截距为2z的直线，但是斜率的正负不确定，所以要分类讨论.但是本题没有分类讨论，直接数形结合分析出了目标直线的位置，优化了解题，提高了解题效率. 当然分类讨论的结果也是一样的，只不过稍微复杂一点.（2）解不等式组（比较法）也是一个简洁高效的方法,减轻了学生理解的负担和画图的繁琐. （3）由于函数“仅”在（1,0）取得最小值，所以不等式组A BAC z z z z <⎧⎨<⎩中不能加等号. 如果没有“仅”字，不等式组可以加等号.所以注意审题和转化的严谨性.【反馈检测3】若实数满足不等式组，目标函数的最大值为12，最小值为0，则实数__________．【反馈检测4】已知实数，满足若有最大值，则实数的值为__________．【例4】设实数x ，y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z ax by=+（0a >，0b >）的最大值为10，则22a b +的最小值为 ．又22a b +的几何意义为直线上的点到圆的距离的平方，则圆心到直线的距离d ==22a b +的最小值为22513d =.【点评】这种题型，由于含有的参数较多，所以看起 复杂，实际上不复杂. 先要确定目标直线的斜率的正负，再作直线平移数形结合分析即可.学 3【反馈检测5】设满足约束条件，若目标函数的最大值为6，则的最小值为_________.【例5】设,x y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A. -5B. 3C. -5或3D. 5或-3 【解析】根据约束条件画出可行域如下图所示：可知可行域为向上开口的的V 字型，即在顶点处有最小值，顶点为，代入，解得.当时，如图，虚线向上移动时减小，故可以取无穷小，没有最小值，故只有满足题意.【点评】这种题型，先可以给参数取特值，画出平面区域，再数形结合分析解答.【反馈检测6】如果在约束条件1020 (01)x yx y aax y-+≥⎧⎪+-≤<<⎨⎪-≤⎩下，目标函数x ay+最大值是53，则a＝（）A.23B.13C.12或13D.12高中数学热点难点突破技巧第11讲：含参的线性规划问题的处理【反馈检测1答案】D【反馈检测1详细解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点2211,22m m A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭处取得最大值，即22112422m m -+-⋅+≤，解得[m ∈.学//【反馈检测2答案】1【反馈检测3答案】3 【反馈检测3详细解析】做出可行域如图，目标函数，当时，显然最小值不可能为0，当时，当过点时取最小值，解得，此时过点时有最大值，符合题意，故填．【反馈检测4答案】【反馈检测5答案】50 3【反馈检测5详细解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线经过点，时，目标函数取得最大值为6，即，也即，所以，应填答案50 3.【反馈检测6答案】C【反馈检测6详细解析】如下图，画出不等式组所表示的区域，即可行域，易知点A的坐标为22(,)11aa a++，显然直线0ax y-=与直线:0l x ay+=垂直，平移直线l，可知当21x a =+，21a y a=+时， 2max225()113a x ay a a +=+=++，∴12a =或13.学 ……。
含参不等式和线性规划专项题
含参不等式和线性规划专项题（适用于有一定基础）一、一元二次含参不等式解法思路：在解一元二次含参不等式时，先将不等式化为标准的一元二次不等式（一边为零），然后根据参数所在位置进行分类讨论，若二次项含有参数，则需要讨论正负（决定方向）和等于零的情况，若二次项不含参数，则无论参数在什么位置，首先判断“△”的正负，其次得到一元二次方程的根（配方法求根优先，配方不行用求根公式），最后讨论各根的大小（即讨论参数的范围）从而得到不等式的解。
例1 解关于x 的不等式224ax x a -+>解析：此题是一个二次项含参的不等式，所以首先要讨论参数a 的正负及是否为零的情况，当a 不为零时，再求得各根比较大小，过程如下：由题意224ax x a -+>等价于2420ax x a --+>即(2)(21)0x ax a -+->当0a =时，不等式等价于20x -+>，不等式解集为(2)-∞，（比较两根2和12a-大小） 当122a =-时，即14a =时，不等式等价于2(2)0x ->，不等式解集为(2)(2)-∞+∞ ，， 当122a <-时，即104a <<时，不等式的解集为1(2)((2))a -∞-+∞ ，， 当122a >-时，即14a >时，不等式的解集为1((2))(2)a-∞-+∞ ，， 当0a <时，不等式的解集为1((2)2)a-， 练习1.1 解下列关于x 的不等式（1）22x x a a ->- （2）22(22)4ax a a x --+>（3）221x ax a --> （4）222x x ax ax a +>--二、分式含参不等式解法思路： 分式含参主要分为分母含参、分子含参以及分子分母都含参三种类型，无论是哪一种，都按照移项通分化为因式相乘形式再采用标根法，对于分母含参的不等式，不要讨论分母正负问题，对于分子含参的，可以讨论参数是否为零再进行求解。
含参的线性规划问题
线性规划
【练习3】(2010·安徽)设x,y满足约束条件
2 x y 2 0 8 x y 4 0 ,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的 x 0 ,y 0
最大值为8，则a+b的最小值为_______. 4
线性规划
与函数结合
【例4】若函数 ( x ) x 2 ax 2b在区间 0,1), f ( (1,2)内各有一个零点，则2 (b 2) 2的取值 a 范围是( A. )
线性规划（二）
高三数学组
确定你的方向是正确的，下一步要做的 就是坚持……
线性规划 课时要求 1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元次此不等式组； 2.理解目标函数的几何意义，会用图解法解 线性规划问题； 本节重点是含参问题。 3.通过图解法逐步加强作图能力，渗透数形 结合思想。
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
b 1. z ax by 直线型，z表示纵截距的 倍 2. z ax by 点到直线距离型 3. z OA OB 转化为坐标形式或投影 yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型(距离平方)
线性规划
【例5】已知函数 f ( x )在R上单调递增，函数 y y f ( x 1)的图像关于点1,0)对称，若对于任意 ( 的x , y R, 不等式f ( x 2 6 x 21) f ( y 2 8 y ) 0 恒成立，则 x y 的取值范围是 ________.
线性规划
高一 数学 必修 不等式 第六讲 线性规划含参问题
知识要点
知 识 清 单
典题剖析
题型一：平面区域问题中的参量
x 1,
例
1．不等式组
x
y
4
0,
表示面积为
1
的直角三角形区域，则
k
的值为（
）
kx y 0
A．－2
B．－1
C．0
D．1
思路点拨：写出关于k的 面积关系是本题的关键． 突破点则在于作出符合题 意的画出可行域．
x
，
y
的不等式组
2x x y
y 1
0
0
，表示的平面区域为三A．充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
x 0
【易错典例】“
m=3
”是“关于
x
，
y
的不等式组
2x x y
y 1
0
0
，表示的平面区域为三角形”的（）
x y m 0
题型二：约束条件含参问题
x2y 0
例
2．设
z
x
y
，其中实数
x，y
满足
x
y
0
，若 z 的最大值为 6，则 z 的最小值为（
）
0 y k
A．－3
B．－2
C．－1
D．0
解题总结：首先
作出大致可行域， 然后讨论k的位置细 化可行域，接着根 据最优解反解k，最 后解出最小值．
题型三：目标函数含参问题
x 2
例
3．设
x，y
满足约束条件
3
x
y
1 ，若目标函数
z
ax
by
2020届线性规划中含参问题
件
y mx
下，目标函数 z x my 的最大值小
x y 1
于 2，则 m 的取值范围为
A. 1,1 2 B. 1 2,
（A ）
C. 1,3 D. 3,
练习
x2y5 0
1.设m为实数，若(x, y)
3 x 0
答案：[－2，1]
2x y 1 0,
例
2（8）设关于
x,
y
的不等式组
x
m
0,
表
y m 0
示 的 平 面 区 域 内 存 在 点 P(x0 , y0 ) ， 满 足
x0 2 y0 2 ，求得 m 的取值范围是（ C ）
（A） (, 4) 3
（C） (Байду номын сангаас 2) 3
x y
0 0
对应的可行域如图所示， x y 1
在此条件下，要使ax+by≤1恒成立,只要ax+by的最大
值不超过1即可. 令z=ax+by,则y a x z ,
bb
因为a≥0,b≥0,
则 1 a 0时,b 1 b
或 a 1时, a 1, b
（B）(, 1) 3
（D）(, 5) 3
练习
x y5 0
11.
若
x、y
满足不等式组
x3
时，恒
x y k 0
有 2x 4 y 6 ，则 k 的取值范围是1_1_≥_ k≥0 .
例 3(2011 年高考湖南卷理科 7)设 m 1, 在约束条
yx
含参的线性规划问题
x 0 （3）点M（a, b)在 y 0 区域内， x+y 2 求N(a+b,a-b)所形成区域的面积
x y0 （4）不等式组 2 x y 2 y 0 x ya
表示的平面区域是一个三角形，则 取值范围是 D
4 D.0 a 1或a 3
命题点3 区域图形与面积
x+y-1 0 例3、（1）若不等式组 x-1 0 ax-y+1 0 所表示的平面区域的面积等于2，求a
1 1
D
x 0 例3（2）已知a>0，b 0，且 y 0 , x y 1 恒有ax+by 1,求点（a,b)所成区域的面积
含参数的线性规划（一）
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
直线型， z表示纵截距的 b倍 1. z ax by 2. z ax by+c 点到直线距离型 转化为坐标形式或投影 3. z OA OP yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型 (距离平方 )
线性规划
由区域求参数
【 例1】 ( 2013 新 课 标 II )已 知a 0, x , y满 足 约 束 条 件 x 1 1， 则a ( ) x y 3 , 若z 2 x y的 最 小 值 为 y a ( x 3) 1 A. 4 1 B. 2 C.1 D. 2
4 A.a 3 B.0 a 件中含有参数时，注意直线是定点直线系、 • 还是平行直线系，使直线初步稳定。 • 2、目标函数中含有参数时，注意分析目标函数的 • 几何意义。 • 3、在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合 • “可行域”将“恒成立”加以控制；或者转化为目标函 • 数的最值问题。
如何利用线性规划模型解答含参二次函数问题
解题宝典在解答函数问题时，我们经常遇到含参二次函数问题.此类问题看似简单，其实较为复杂.函数的图象、最值、单调性随着参数、对称轴、定义域区间的变化而变化，我们需灵活运用分类讨论思想和数形结合思想才能顺利解题.当问题中出现两个参数时，解题的难度就会升级，我们采用常规方法求解很难得到问题的答案.这里介绍另外一种方法：利用线性规划模型来求解.线性规划模型主要用于研究线性约束条件下线性目标函数的最值问题.在解答含参二次函数问题时，我们可以结合已知条件建立线性规划模型，将问题转化为线性规划问题，利用几何平面区域（可行域）来求解.例1.若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[]0,1内存在2个零点，求的a +b 取值范围.分析：首先结合函数的解析式画出大致的函数图象，由图象可得到f (0)≥0,f (1)≥0，Δ>0,0<-a 2<1四个不等式关系，将其看作线性约束条件，将z =a +b 看作目标函数，建立线性规划模型.在直角坐标系中画出对应的可行域，求得z 的最值便可解题.解：由题意可得ìíîïïïïf (0)=b ≥0,f (1)=a +b +1≥0,Δ=a 2-4b >0,0<-a 2<1,画出如图1所示的可行域，设z =a +b ，将其变形可得b =a -z ，移动直线b =a ，当b =a -z 过直线a +b +1=0,a 2=4b 的交点，即（-2，1）时，z 有最小值-1，即a +b 的取值范围为[)-1,+∞.图1一般地，对于目标函数为z =ax +by 型的线性规划问题，我们需先将目标函数变形为y =-a b x +zb ，将求z 的最值问题转化为求直线y =-a b x +zb的纵截距的最值.当b >0时，y =-a b x +z b的纵截距最大，z 最小；当纵截距最小时，z 最大.当b <0时，y =-a b x +z b的纵截距最大，；当纵截距最小时，z 最小.例2.已知f （x ）=x 2-2bx +b -3，函数的两个零点分别为x 1，x 2，且-1<x 1<0,x 2>3，求b 的取值范围.分析：本题采用常规方法求解，需先利用一元二次方程的求根公式分别求出x 1,x 2，然后根据已知条件-1<x 1<0,x 2>3分别列出不等式，结合Δ>0，求出b 值的范围.在解题的过程中，需将b 分为b >3或b ≤3两种情况进行讨论，这样计算量较大，且过程繁琐.我们可根据题意建立线性规划模型，利用几何平面区域来解题.解：由题意可绘制如图2所示的图象，观察图2可得ìíîïïf (-1)=3b -2>0f (0)=b -3<0f (3)=-5b +6<0,解得65<b <3.图2由于已知函数零点的范围，所以我们可以根据题意画出函数的大致图象，借助图象便可建立关于零点x 1,x 2的不等式.将上述不等式组看作线性规划问题中的线性约束条件，将z =b 视为目标函数，建立线性规划模型.通过画出可行域，在可行域内找到b 的最值，便可求得问题的答案.例3.若函数f (x )=x 2-ax +b 在区间[]1,2内存在2个零点，求a 2+b 2-3b 的取值范围.分析：我们根据题意列出关于零点和判别式的不等式，将其看作线性约束条件，令z =a 2+b 2-3b ，将其视为目标函数，建立线性规划模型.由目标函数z =a 2+b 2-3b 可以联想到z =a 2+b 2，于是把问题转化为求可行域内动点与定点距离的平方的最值，根据可行域以及点到直线的距离公式求得z 的最小值.40解：要使函数存在2个零点，需使ìíîïïïïf (1)=1-a +b ≥0，f (2)=4-2a +b ≥0，Δ≥0，1≤a 2≤2，绘制如图3所示的可行域（可行域为箭头所指的曲边三角形）.对z =(x -a )2+(y -b )2变形，可得z +94=a 2+æèöøb -322，则将问题转化为求点(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）距离的平方的最值.从图3中可以看出点(0,32)到直线1-a +b =0的距离即为(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）的最小距离，利用点到直线的距离公式d =||Ax 0+By 0+C A 2+B 2，得d =522.则≥522，解得z ≥78.所以a 2+b 2-3b 取值范围为éëöø78，+∞.对于目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2型的目标函数，我们可以依据(x -a )2+(y -b )2的几何意义，把问题转化为求可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )距离的平方的最值，从而求出z 的范围.综上所述，利用线性规划模型解答含参二次函数问题有如下几个步骤:1.根据题意建立不等式组，将其视为线性约束条件;2.将所求目标设为目标函数，将其变形为直线的截距式、两点的距离;3.画出可行域；4.在可行域内寻找使得直线的纵截距、动点到定点的距离取最值的点；5.将最值点的坐标代入求得问题的答案.同学们在解题的过程中要注意根据题意建立线性规划模型，利用线性规划模型来提升解答含参二次函数问题的效率.（作者单位：宁夏育才中学）空间几何体的外接球问题是高考试卷中的重要题型，主要考查球空间几何体的性质、面积公式、体积公式.此类问题的难度系数较大，要求同学们具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力.本文介绍几种常见空间几何体的外接球问题的题型及其解法，以帮助同学们破解此类问题.类型一：三条棱两两互相垂直的三棱锥的外接球问题该类型的三棱锥具有明显的特征：三条棱两两互相垂直.我们可以抓住该特征，将其看作长方体、正方体的一部分，构造出一个完整的长方体、正方体.将三条棱看作长方体、正方体的三条边，于是三棱锥的外接球的直径等于长方体、正方体的对角线.求出三棱锥的外接球的半径、直径，空间几何体的外接球问题便可顺利获解.类型二：一条侧棱垂直于一个底面的三棱锥的外接球问题我们可将该三棱锥看作直棱柱的一部分，将其补成一个直棱柱，再将其补成一个圆柱，如图1、2、3、4所示，那么三棱锥的外接球即为圆柱的外接球.直棱柱的上、下底面为三角形，且三角形的外接圆的直径为a sin A =b sin B =c sin C =2r ，上下底面的距离为OO 1=12PA(此时PA 垂直与底面)，则有①(2R )2=PA 2+(2r )2，即2R =PA 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12，即R =r 2+OO 12，这样便建立了PA 与三棱锥的外接球之间的关系，进方法集锦图341。
21-22版：微专题5 含参数的线性规划问题（步步高）
微专题5 含参数的线性规划问题线性规划问题通常是指在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题，其求解方法就是图解法．根据二元不等式组的解与坐标平面内点的对应关系，将约束条件转化为平面区域，然后利用目标函数的几何意义求最优解和最值．线性规划问题将函数、方程、不等式和最值融为一体，将代数与解析几何有机联系，主要体现了转化与化归和数形结合思想．含参数的线性规划问题主要根据参数是在约束条件中还是在目标函数中分成以下四类．一、约束条件含有参数例1 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则m 的值为________．答案 5解析 把z ＝10代入z ＝3x ＋y 得y ＝－3x ＋10.在同一坐标系下画出三条直线x ＝2，x ＋y ＝4，y ＝－3x ＋10，如图所示．求得直线y ＝－3x ＋10与直线x ＋y ＝4的交点为A (3,1)．因为可行域在直线x ＋y ≤4的下方，所以直线2x －y －m ＝0必过点A .当直线过点A 时求得m ＝5，故m 的值为5.反思感悟 线性规划问题的最值如果存在，若最优解唯一，则最优解必是可行域的某个顶点即为两边界直线的交点，并且取得该最值时的目标函数所表示的直线也经过这个交点，此时形成三线共点的态势．若最优解不唯一，则取得该最值时的目标函数所表示的直线必与某一边界直线重合．以上两点经验直取核心，在解决线性规划的最值等有关问题时具有很好的指导作用．二、目标函数含有参数例2 设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －6≤0，2x －y －1≤0，3x －y －2≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋4，最小值为a ＋1，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2,1]B ．[－1,2]C ．[－3，－2]D ．[－3,1]答案 A解析 不等式组所确定的平面区域是如图所示的阴影部分(含边界)．因为z ＝ax ＋y ，当z ＝a ＋1时，直线z ＝ax ＋y 过点A (1,1)；当z ＝2a ＋4时，直线z ＝ax ＋y 过点B (2,4)．注意到点A ，B 分别在直线3x －y －2＝0和x ＋y －6＝0上．由图知，要直线y ＝－ax ＋z 分别在点A ，B 时截距z 取得最小值和最大值，若a ＝0，则y ＝z ，此时满足条件；若a <0，k ＝－a >0，则其斜率－a 满足－a ≤k AC ＝2，即－2≤a <0；若a >0，k ＝－a <0，则－a ≥k BC ＝－1，即0<a ≤1.综上所述，－2≤a ≤1.反思感悟 直线斜率与截距的几何意义在上述解题过程中发挥得淋漓尽致，其中斜率几何意义理解不透彻是解题受阻或失败的重要原因．斜率的几何意义要注意如下两点，一是符号 ，二是绝对值．斜率大于零，函数递增，直线上升，斜率小于零，函数递减，直线下降．斜率的绝对值越大，直线越陡峭，斜率的绝对值越小，直线越平缓．斜率几何意义全面透彻的理解与应用是解决求最值问题的关键．三、目标函数含有双参数例3 若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是( ) A.12 B.π4 C ．1 D.π2答案 C解析 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1.对应的可行域，在此条件下，要使ax ＋by ≤1恒成立，只要ax ＋by 的最大值不超过1即可．令z ＝ax ＋by ，则y ＝－a b x ＋z b. ∵a ≥0，b ≥0，∴若－1<－a b ≤0时(如图1)，直线y ＝－a b x ＋z b经过点A (0,1)时的截距最大，对应的z 也最大，将(0,1)代入z ＝ax ＋by 得b ≤1，若－a b ≤－1时(如图2)，直线y ＝－a b x ＋z b经过点B (1,0)时的截距最大，对应的z 也最大，将(1,0)代入z ＝ax ＋by 得a ≤1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，此时对应的可行域如图，∴以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成平面区域的面积为1.反思感悟 在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒成立，再进行解答就轻松多了．四、约束条件和目标函数均含有参数例4 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞) 答案 A解析 不等式组所确定的平面区域是如图所示的阴影部分(含边界)．由z ＝x ＋my 得y ＝－1mx ＋z m ，由m >1得－1m >－1＝k AB ，由图知当直线z ＝x ＋my 经过点B ⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1时，截距z m 最大，从而z ＝1m ＋1＋m 2m ＋1最大，依题意得1m ＋1＋m 2m ＋1<2，即m 2－2m －1<0，(m －1)2<2，又m >1，解得1<m <1＋ 2.。
高三第一轮复习含参数的线性和非线性规划问题
含参数的线性和非线性规划问题【提纲挈领】主干知识归纳1．含参数的线性规划问题通常有两种：即线性约束条件中含有参数与目标函数中含有参数两问题. 方法规律总结1、线性约束条件中含有参数问题：可以根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线,进而确定线性约束条件中所含有的参然值,然后画出可行域,把问题转化为一般形式的线性规划问题.2、目标函数含参数的问题：可以根据条件先画出可行域，然后运用数形结合的思想，比较目标函数与边界有关直线的倾斜程度等,直观求解。
【指点迷津】【类型一】在约束条件中仅含一个参数的线性规划问题【例1】：已知x ，y ∈R ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k所表示的平面区域的面积为6，则实数k 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】：作出不等式组对应的平面区域．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝0，y ＝k ，解得⎩⎨⎧x ＝－2k ，y ＝k ，即A(－2k ，k)；由⎩⎨⎧x －y ＝0，y ＝k ，解得⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k ，即B(k ，k)．∵平面区域的面积是6，∴12×(3k)×k ＝6，即k 2＝4，解得k ＝2或k ＝－2(舍去)．答案:B【例2】：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a >1x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为 ( )．A ．4B ．3C ．2D.32【解析】：作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2.答案:C【例3】设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10]【解析】： 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.答案：A【类型二】、在目标函数中仅含一个参数的线性规划问题【例4】：设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18≤0，2x －y ≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为________．【解析】：画出可行域如图，k 为直线y ＝kx ＋2的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，要使k 最大，此直线需过B (2,4)点，所以k ＝4－22－0＝1. 答案：1【例5】：在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( )A ．－5B ．3C ．5D ．7【解析】：直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7. 答案：D【例6】：设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )．A.256B.83C.113D ．4【解析】：由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1.∴2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ·⎝⎛⎭⎫a 3＋b 2＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256.答案：A【类型三】、在约束条件和目标函数中都含参数的线性规划问题【例7】：设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．【解析】：目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋zm，∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与zm同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m 2m ＋1<2，又m >1，得1<m <1＋ 2. 答案：(1,1＋2)【例8】：设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a 等于( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】：当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎨⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．答案：B【例9】：(山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5 D ．2【解析】：方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示． 由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4. 方法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值， 所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方， 故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B. 答案：B【同步训练】【一级目标】基础巩固题组一、选择题1、点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a 的值为（）A 、2B 、3C 、4D 、5【解析】：由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3. 答案：B2、 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为()A ．－2B ．－1C ．0D ．1【解析】：当kx －y ＝0与直线x ＝1垂直时，k ＝0示的平面区域如图①所示，直角三角形的面积S ＝12×3×3＝92满足题意．当kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时，k ＝1，不等式组所表示的平面区域如图②所示，直角三角形的面积S ＝12×(2－1)×(3－1)＝1，满足题意．综上可知，k 的值为1.答案：D3、(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 【解析】：本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值进行解答．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎨⎧x ＝1，y ＝a x －3得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，答案：B4、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值时最优解不唯一，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．－1或1D ．1ax ＋y ＝0，当其与直线BC 重合时，目标函数值最大，此时a ＝1. 答案:D5、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ≥0，0≤x ≤k .若z ＝x ＋ky 的最小值为－2，则z 的最大值为()A ．12B ．16C ．20D ．24【解析】：由题易知k>1.作出不等式组对应的平面区域如图所示，联立⎩⎨⎧x ＝k ，x ＋2y －1＝0，解得B(k ，1－k2)．当直线y ＝－1k x ＋z k 过点B(k ，1－k 2)时，在y 轴上的截距最小，即zk 最小，所以k ＋k ·1－k2＝－2，解得k ＝4(－1舍去)． 当直线y ＝－1k x ＋zk 过点C(4，4)时，z ＝x ＋4y 取得最大值20.答案：C 二、填空题6、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋2y －a ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为6，则a ＝________【解析】：作出不等式组表示的平面区域，即可行域如图中阴影部分所示．直线x ＋2y －a ＝0与x 轴交于点A (a ，0)，目标函数为z ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋z 过可行域内点A (a ，0)时，z 恰好取得最大值6，即z max ＝3a ＋0＝6，得a ＝2，即直线x ＋2y －a ＝0过点(2，0)，故a ＝2. 答案：27、若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．【解析】：如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.答案18、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．【解析】：画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.答案：),21(+∞ 三、解答题9、不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D .若点(x ，y )是区域D 上的点，求（1）2x ＋y 的最大值（2）若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 上，求圆O 的面积的最大值．【解析】：区域D 如下图所示：当直线2x ＋y ＝z 过点A (4,6)时，z max ＝14.又圆x 2＋y 2＝r 2在区域D 上，故半径r 的最大值是原点O 到直线2x －y －2＝0的距离d ＝|－2|2212＝25，∴圆O 的面积的最大值为45π.答案：1445π 10、若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 【解析】：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．答案：(1) z 的最大值为1，最小值为－2 (2) a 的取值范围是(－4,2)【二级目标】能力提升题组一、选择题1、在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3 【解析】：画出⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的平面区域如图，直线l ：y ＝ax ＋1过定点(0,1)，由于ax －y ＋1≥0与⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0围成平面区域的面积为2，∴a >0，令x ＝1得y ＝a ＋1，∴12×(a ＋1)×1＝2，∴a ＝3答案：D2、 [2015·福建卷] 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于()A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】：C [解析] 由约束条件可知，①若m ∈[2，＋∞)，则当⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0时， z max ＝0(舍去)；②若m ∈(12，2)，则当⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，mx －y ＝0，即⎩⎨⎧x ＝22m －1，y ＝2m 2m －1时， z max ＝2×22m －1－2m2m －1＝2，所以m ＝1； ③若m ∈(－∞，12]，则z 无最大值(舍去)．答案：C 二、填空题3、已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若y －mx ≤2恒成立，则实数m 的取值范围为________．【解析】： 由题意作出不等式组表示的平面区域，y －mx ＝2恒过点(0，2)，且m 是y －mx ＝2的斜率，则由图可知，若y －mx ≤2成立，则－1≤m ≤2. 答案:－1≤m ≤2 三、解答题4、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，求ab 的最大值。
线性规划问题 含参数问题
(1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标 系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点组成的平面区域 (半平面)不含边界直线．不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区 域(半平面)包括边界直线．
(2)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax＋By＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其 坐标适合同一个不等式 Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内 的点，其坐标适合另一个不等式 Ax＋By＋C<0.
解:(1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方的点的集 合.x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上
及左方的点的集合.
������-������ + 5 ≥ 0, 所以,不等式组 ������ + ������ ≥ 0, 表示的平面区域如图阴影部分所示.
D．(0,1]∪43，＋∞
(1)解 x－y≥0， 不等式组2x＋y≤2， 表示的平面区域 x＋y＝a.
y≥0
如 求图A，(阴B影两部点分的)，坐标分别为23，23和(1,0)， 若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，
则直线 x＋y＝a 的 a 的取值范围
是
0＜a≤1
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各 个不等式所表示的平面区域的公共部分．
x－ｙ＋５≥０
画出
x＋ｙ≥０ 表示的平面区域
判定方法2：当A>0时
Y
x+y=0
Ax+By+C>0表示直线右方区域；
高考数学巧解：线性规划约束条件中含参数问题
高考数学巧解：线性规划约束条件中含参数问题一、单选题1．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．2742．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]3．已知实数x y ，满足1{21y y x x y m ≥≤-+≤，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．3二、填空题 4．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是9-，则z 的最大值为_______．5．若变量x ，y 满足约束条件0200y x x y x a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的3倍，则实数a =______.参考答案1．B 画出x ，y 满足的0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖……为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9，可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ，使目标函数3z x y =+取得最大值，将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k=-．故选：B ．点评：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．2．B 画出不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t ≤2时，可行域即为如图中的△OAM ，此时目标函数z ＝9x +6y 在A （2，0）取得最大值Z ＝18不符合题意t ＞2时可知目标函数Z ＝9x +6y 在224x y t x y +=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t --，）处取得最大值，此时Z ＝t +16由题意可得，20≤t +16≤22解可得4≤t ≤6故选：B ．点评：此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.3．B 考虑特殊的交点再验证，由题设可能在12101213{{15021333m x x y m m m x m m y +=--=+-⇒⇒-=-⇒=+-=-=，运动变化的观念验证满足，则选B ．4．9如图画出不等式组表示的平面区域，转化2z x y =+为2+y x z =-当z 取得最小值时，直线经过阴影部分，且截距最小因此当经过A 点时，z 取得最小值联立：2,(2,)20y k x k y k A k k x y =⎧∴=-=∴-⎨+=⎩因此：2(2)393z k k k k =⨯-+=-=-∴=当经过点B 时，截距最大，z 取得最大值联立：33,3(3,3)0y x y A x y =⎧∴==∴⎨-=⎩因此：2339z =⨯+=故答案为：95．13作出不等式组表示的区域如图，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，当直线过点A 时，直线截距最大，此时z 也最大，由020y x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得点(1,1)A ，则z 的最大值是213z =+=，同理，当直线过点B 时，z 最小，由0y x x a-=⎧⎨=⎩，解得(,)B a a ，则z 的最小值是23z a a a =+=，又最大值是最小值的3倍，则有333a =⨯，解得13a =.故答案为：13。
含参数线性规划问题
含参数线性规划问题的解法策一、不等式组含参数问题例题1、若直线2y x =上存在点(),x y 满足约束条件3023x y x y o x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ）A. 1-B. 1C. 32D. 2 例题2、若不等式组()221x y y k x ⎧+≤⎪⎨+≤+⎪⎩表示的平面区域是三角形，则实数k 的取值范围是（ ） A. 223k -≤≤B. 2k <-或23k ≥C. 2k <-或203k <≤ D. 20k -<<或23k ≥ 练习1、已知关于x ，y 的不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为( )．A ．1B ．－3C ．1或－3D ．0练习2、已知x ，y 满足()2021x y x y y a x ⎧-≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且z x y =+能取到最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1a <-B. 2a ≥C. 12a -≤<D. 12a -<<练习3、若实数,x y 满足不等式组33023010x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，且z x y =+的最大值为9，则实数m 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2二、目标函数中含参数问题例题1、若x ，y 满足条件3560231500x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，当且仅当3x y ==时，z ax y =+取最大值，则实数a 的取值范围是( ) A. 23,35⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 32,,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 32,53⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 23,,35⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 例题2、已知不等式组4020340x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域为M ，若M 与圆()()()22410x y a a -+-=>至少有两个公共点，则实数a 的取值范围（ ）A. 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,5C. 1,52⎛⎤ ⎥⎝⎦D. (]1,5 练习1、实数对(),x y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则目标函数Z=kx-y 当且仅当3,1x y ==时取最大值，则k 的取值范围是（ ）A ．[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(],1-∞-练习2、设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A. (1,3]B. [2,3]C. (1,2]D. [3,+∞]练习3、设,x y 满足约束条件22084000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为________。
含参数的简单线性规划问题的解法
含参数的简单线性规划问题的解法教学目标：1、知识与技能：掌握目标函数或约束条件中含参数问题的一般解法2、过程与方法：（1）通过例1及其变式的讨论，让学生掌握含参数问题可以抓住直线恒过定点的角度考虑；（2）通过例2的四个小变式的讨论，让学生体会含参数问题可以考虑参数的几何意义，数形结合讨论动直线的几何特征，画出目标函数，列式求解3、情感态度与价值观：以学生为主体，以问题解决为目的，激发学生观察思考，猜想探究的兴趣；培养学生分析问题、解决问题的能力教学重点：解决含参数的简单线性规划问题中的四个解法步骤：动中找静，确定参数几何意义，研究动直线的几何特征，列式求解教学难点：根据参数出现的不同位置，数形结合研究动直线的几何特征，从而能有效解题教学方法：尝试、归纳法教学过程：一、实例探索例1、若不等式组3434xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx=+分为面积相等的两部分，则k的值为（）A. 73B.37C.43D.34变式：若不等式组34040xx ykx y≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域为三角形，则k的取值范围为_________________.设计意图：此类问题中参数的变化导致直线位置不确定，因此先要找到直线恒过的定点，再确定参数的几何意义，根据其它条件进行列式求解例2当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时（1） 若目标函数z ax y =-+取到最大值时的最优解有无穷多个，则实数a 的值是_________________.（2） 若目标函数z ax y =-+取到最大值时的唯一最优解是()2,1，则实数a 的取值范围是_________________设计意图：在平面区域定的前提下，确定参数a Z 、的几何意义，数形结合讨论动直线的变化过程，加强学生分类讨论的思想（3） 若目标函数z ax y =-+取到最大值为12，则实数a 的值是_________. 设计意图：通过上面的讨论分析，学生从形上就能快速找到取到最大值的点（4） 若4ax y -+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________________.设计意图：从最值的角度思考，结合上面的分析，最大值所取的点二、随堂练习若0,0a b ≥≥ ，且当0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩时，恒有1ax by +≤，则以,a b 为坐标点(),p a b 所形成的平面区域的面积等于________________.三、课时小结解决含参数的简单线性规划问题的基本解法：（1）动中找静（2）确定参数的几何意义（3）数形结合研究动直线的几何特征（4）列式求解四、课后作业1、若不等式组()0211y y x y a x ⎧≥⎪≤⎨⎪≤-+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围为________________.2、（2011湖南）设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤+⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）。
巧解一类含参数的线性规划问题
-4表示的区域（ 直线上方） ，再作由约束条件表示的可行
域， 如图3所示. 注意到直线
y
kx-y+2=0恒过点（ 0，2） ，则 要 满 足 题 意 只 能 是 直 线 kx-y+ 2=0过点A（ 4，0） ，代入可求得 k=- 1 .
2
kx-y+2=0 y-x+4=0
x+y-2=0 O
Ax
图3
评注：以上两例中，我们利用平面区域间的包含关
三、举例应用
例1 （2015年 高 考 山 东 卷 ）已 知x，y满 足 约 束 条 件
00x-y≥0，
0
000x+y≤2，若z=ax+y的 最 大 值 为4，则a=_______.
0 0
000y≥0，
分析：按常规解法，先画出可行域，再寻求平行直线
系y=-ax+z的 纵 截 距 何 时 最 大.这 就 需 要 对 斜 率 -a 进 行 分
一、试题解析
简析： 注意到四个命题均为研 究x+2y的取值范围， 故转化为研究 x+y=1 y 目 标 函 数z=x+2y的 最 值 问 题 . 通 过 画
x-2y=4
出可行域（ 如图1） ，结合y=- 1 x+ z 22
中z的几何意义容易求得zmin=0，即z≥0.
O
x
x+2y=0
图1
因此，命题①、②为真命题.
且z=y-x的最小值为-4，则k的值为_______.
分析：与例1一样，若按部就班地作出可行域与目标
函数对应的直线系后再求解， 则不可避免地要针对k的
范围进行分类讨论.而运用平面区域间的包含关系则可
线性规划含参问题
12.如图, 目旳函数u ＝ax －y 旳可行域为四边形OACB(含边界). 若点C( , )是该目旳函数旳最优解, 则a 旳取值范围是________.
解析：由u ＝ax －y 得y ＝ax －u, 于是要使点C( , )是目旳函数旳最优解, 需有kAC ≤a ≤kBC, 而kAC ＝－ , kBC ＝－ .
答案：⎣⎡⎦⎤－125
，－310 19. (本小题满分16分)已知x 、y 满足 设z ＝ax ＋y(a>0), 若当z 取最大值时对应旳点有无数多种, 求a 旳值.
解: 画出可行域, 如图所示, 即直线z ＝ax ＋y(a>0)平行于直线AC, 则直线通过线段AC 上任意一点时, z 均获得最大值, 此时将满足条件, 有无数多种点使函数获得最大值.
分析知当直线y ＝－ax ＋z 刚好移动到直线AC 时, 将会有无数多种点使函数获得最大值.
又由于kAC ＝ ＝－ ,
即－a ＝－ , ∴a ＝ .
9．已知实数x, y 满足 假如目旳函数z ＝x －y 旳最小值为－1, 则实数m 等于________．
解析: x, y 满足旳区域为图中阴影部分, 由题意知, 当(x, y)在点A 处时, z ＝x －y 获得最小值.
由 得A( , ).
∴ － ＝－1,
∴m ＝5.
答案：5。
含参数的线性规划与非线性规划问题(含解析)高三数学备考冲刺
问题11含参数的线性规划与非线性规划问题性一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．二、经验分享(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解．(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号．三、知识拓展常见代数式的几何意义：①x2＋y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,?x－a?2＋?y－b?2表示点(x,y)与点(a,b)的距离；②yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y－bx－a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率．四、题型分析类型一目标函数中含参数若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．1．目标函数中x的系数为参数【例1】x ，y 满足约束条件，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为_______________. 【答案】2或1-【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线y ax =，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线y ax =的斜率，要与直线或的斜率相等，∴2a =或1-．【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系．通过本题应进一步明确两点：（1）线性规划问题可能没有最优解；（2）当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．【牛刀小试】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =___________.【答案】2【解析】将z ax y =+化为z ax y +-=，作出可行域（如图所示），当0≤a 时，当直线z ax y +-=向右下方平移时，直线z ax y +-=在y 轴上的截距z 减少，当直线z ax y +-=过原点时，0max =z （舍）；当0>a 时，当直线z ax y +-=向右上方平移时，直线z ax y +-=在y 轴上的截距z 增大，若01<-≤-a ，即10≤<a 时，当直线z ax y +-=过点)1,1(B 时，，解得3=a （舍），当1-<-a ，即1>a 时，则当直线z ax y +-=过点)0,2(A 时，，解得2=a ．【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率a -的符号，还要讨论斜率a -与边界直线斜率1-的大小关系. 2．目标函数中y 的系数为参数【例2】已知变量,x y 满足约束条件若目标函数的最大值为1，则a = ．【答案】3．【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B （4，1）点是取得最大值，∴141a =-⨯，∴3a =． 【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解，进而用代入法求参数的值． 3．目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】设x ，y 满足约束条件221x x yyx ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，若目标函数的最小值为2，则ab 的最大值为 ． 【答案】41．【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，易求得，要目标函数的最小值为2，∴222=+b a ，即1==b a ，∴，当且仅当21==b a 等号成立．故ab 的最大值为41．【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形，最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可．【牛刀小试】设x y ，满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则ba 32+的最小值为______________. 【答案】625【解析】作出x y ，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点()4,6A 取得最大值12，即，亦即236a b +=，所以＝，当且仅当b a a b =，即65a b ==时等号成立．【评注】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知ax by m +=﹙﹚求的最小值，通常转化为c d x y +＝1()c d m xy+（ax by +)，展开后利用基本不等式求解． 4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()0>r 不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是_______________．【答案】【解析】不等式对应的区域为ABE ∆．圆心为(1,1)--，区域中A 到圆心的距离最小，B 到圆心的距离最大，∴要使圆不经过区域D ，则有0r AC <<或r BC >．由1x y x =⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ．由14x y x =⎧⎨=-+⎩，得13x y =⎧⎨=⎩，即(1,3)B ．∴22AC =，25BC =，∴022r <<或25r >，即r 的取值范围是．【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：，可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方，即；也可看成是以(),Q a b 为圆心，z 为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共点的问题．【牛刀小试】设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠ 1)的图象过区域M 的a 的取值范围是___________. 【答案】[2，9]【解析】平面区域M 如图所示，求得，由图可知，欲满足条件必有且图象在过B 、C 两点的图象之间，当图象过B 点时，，当图象过C 点时，，所以，故的取值范围是．【评注】巧妙地识别目标函数的几何意义是研究此类问题的基础，纵观目标函数包括线性与非线性、非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得线性规划问题得以深化，本题的解答中正确理解目标函数表示指数函数的图象与二元一次不等式组表示的平面区域有公共点这一意义是解得本题的关键。
简单线性规划(含参类)
简单线性规划（含参类）1．已知点A（a，1）与点B（a＋1，3）位于直线x－y＋1＝0的两侧，则a的取值范围是. 2．实数x,y满足，若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为( )(A).2 (B).3 (C).(D).4３．已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数=（）A．2 B．5 C．6 D．7４．点是不等式组表示的平面区域内的一动点，且不等式总成立，则的取值范围是________________.５．已知实数x，y满足若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为__________．６．设变量x、y满足约束条件且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是________．７．已知约束条件对应的平面区域如图所示，其中对应的直线方程分别为：，若目标函数仅在点处取到最大值，则有（）A． B. C. D.或８．若00a b ，≥≥，且当001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，，≥≥≤时，恒有1ax by +≤，则以a b ，为坐标的点()P a b ，所形成的平面区域的面积等于 ． 9．设m ＞1，在约束条件下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为 ( )A ．(1，1＋) B ．(1+，＋∞) C ．(1，3) D ．(3，＋∞)A ．8B ．16C ．32D ．64简单线性规划（含参类）参考答案1．【解析】由已知得，即答案为.2． 【解析】由，得,则表示该组平行直线在轴的截距。
又由约束条件作出可行域如图，先画出，经平移至经过和的交点时，取得最大值，代入，即，所以，故选.３．【解析】画出x ，y 满足的可行域如下图：可得直线y=2x-1与直线x+y=m 的交点使目标函数z=x-y 取得最小值，故，解得x=，y=，代入x-y=-1得-=-1⇒m=5，故选B４．【解析】将不等式化为，只需求出的最大值即可，令，就是满足不等式的最大值，由简单的线性规划问题解法，可知在处取最大值3，则m取值范围是.５．【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，＝－1，k AB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.在点C处取得最小值．又k６．【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故8≤a≤10.７．【解析】是与的交点，目标函数仅在点处取到最大值，所以直线的倾斜角比的要大，比的要小，即有9．令z=ax+by，∵ax+by≤1恒成立，即函数z=ax+by在可行域要求的条件下，z max≤1恒成立．当直线ax+by-z=0过点（1，0）或点（0，1）时，0≤a≤1，0≤b≤1．点P（a，b）形成的图形是边长为1的正方形．∴所求的面积S=12=1．故答案为：19．【解析】因为，所以直线过原点且倾斜角范围为，将目标函数转化为函数，则直线与直线互相垂直，考虑到在函数中的系数为正，所以直线平移到可行域的最上顶点时（如下图所示），目标函数有最大值，则由题意可得，解得，又因为，所以正确答案为A。
线性规划含参问题(,,)_5261
例 1.（2009 福建卷 文）在平 面直角坐 标系中 ，若不等 式组
x y 1 0
x
1
0
（ 为常数）所表示的平面区域内的面积等于 2，
ax y 1 0
则 a 的值为
（）
A. -5
B. 1
C. 2
D. 3
解析解析 如图可得黄色即为满足
x 1 0与x y 1 0的可行域，而 ax y 1 0 的直线恒过（0，
练习：（2007 江苏）在平面直角坐标系 xOy ，已知平面区域
A {(x, y) | x y 1, 且 x 0, y 0} ， 则 平 面 区 域
B {(x y, x y) | (x, y) A}的面积为
（B ）
A． 2
B．1
C． 1 2
D． 1 4
x y 0 若不等式2xyy0 2,表示的平面域是一三角形，
1.设 m为实 ，若 数 (x,y)
3x0
(x,y)x2y225,
mxy0
则 m的取值范围是
0
,
4 3
;
x 0
例4.若a≥0,b≥0,且当
y
0
时，恒有ax+by≤1,
x y 1
求以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积.
解
作出线性约束条件
x y
0 0
x y 1
对应的可行域如图所示，
在此条件下，要使ax+by≤1恒成立,只要ax+by的最大 值不超过1即可. 令z=ax+by,则 y a x z ,
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由得A(，)．
∴－＝－1，
∴m＝5.
12.如图，目标函数u＝ax－y的可行域为四边形OACB(含边界)．若点C(，)是该目标函数的最优解，则a的取值范围是________．
解析：由u＝ax－y得y＝ax－u，于是要使点C(，)是目标函数的最优解，需有kAC≤a≤kB．(本小题满分16分)已知x、y满足设z＝ax＋y(a>0)，若当z取最大值时对应的点有无数多个，求a的值．
解：画出可行域，如图所示，即直线z＝ax＋y(a>0)平行于直线AC，则直线经过线段AC上任意一点时，z均取得最大值，此时将满足条件，有无数多个点使函数取得最大值．
分析知当直线y＝－ax＋z刚好移动到直线AC时，将会有无数多个点使函数取得最大值．
又由于kAC＝＝－，
即－a＝－，∴a＝.
9．已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于________．