苏教版数学高二《演绎推理》名师学案 江苏省徐州市王杰中学
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.1 合情推理与演绎推理》
合情推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学重点，难点归纳推理和类比推理的特点及其创新性和不严谨性．教学过程我们生活中有很多谚语，特别是关于农耕的，例如“瑞雪兆丰年〞“邋遢冬至干净年〞，以及一些看云识天气的方法，这些都是我们的祖先根据多年的观察总结归纳出来的经验．这些经验就是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果农民观察天气，生物学家会去观察鸟类，心理学家会去观察行为和表情，比方说你们也会观察，总结出我上课写在黑板右侧的总是错的，或者我微微一笑，说明接下来就是一个具有挑战性的问题．当然一个对数学感兴趣的数学家就会去观察一些数字．一．问题情境数学教育家G．波利亚在其名著?数学与猜测?中对哥德巴赫猜测的推理过程进行了模拟演示：首先，波利亚说明：归纳法常常从观察开始．一个生物学家会观察鸟类的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个对数论有兴趣的数学家会观察整数1,2,3,4,5,…的性质．这一段表达说明：归纳从观察开始，而观察要有归纳的动因，即要有感兴趣、需研究的问题，归纳推理研究问题、发现规律的手段．接着，波利亚说：假设你想要观察鸟的生活并有可能获得有益的结论的话，那么你就应当对鸟稍有熟悉，对鸟感兴趣，甚至你应当喜欢鸟．同样，假设你要考察数，你就应当对它们感兴趣，并且对它们颇为熟悉，你应当会区别偶数和奇数，你应当知道平方数1,4,9,14,25,…以及素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…．这里，波利亚想要传达的意思是：对你感兴趣的问题你还需要对相关的知识有一定的了解，也即应该从你对这一课题中已经熟悉的、掌握的内容开始你的探究．波利亚又说：即使只有这一点朴素的知识，你也可能观察到一些东西．比方说你可能会碰到这样几个关系：3＋7＝103＋17＝20213＋17＝30并注意到它们之间的类似之处．它会使你想到：3,7,13,和17都是奇素数，10,20210都是偶数…．这三个偶数都能够表示为两个奇素数之和，那么其他偶数又怎么样呢？上述过程说明了归纳推理的非常重要的特征：从特殊情形开始，并且所有的特殊情形都要具有类似之处，这个类似之处正是归纳发现的根底．波利亚接着说：那么其他偶数又怎么样呢？它们也有类似的性质吗？当然头一个等于两个奇素数之和偶数是6＝3＋3．看看超过6的数，我们发现8＝3＋510＝3＋7＝5＋512＝5＋714＝3＋11＝7＋716＝3＋13＝5＋11．这样下去总是对的吗？波利亚想告诉我们的是，对从几个特殊情形经过归纳推理得到的结果不能轻信，需要进一步验证．只有在较多的归纳检验证实的根底上得到的结论才能使我们更有信心．最后，波利亚说：无论如何，所看到的这些个别情况，至少可以启发我们提出一个一般性的命题：任何一个大于4的偶数都是两个奇素数的和．至此，实现了归纳推理的目标：一个一般性的结论〔猜测〕．当然，波利亚还进一步说明了证明的必要性．从波利亚的这个案例我们可以发现，对归纳推理的教学应该突出说明以下几点：1、要使学生认识到归纳推理不是盲目的、毫无目的的尝试，科学发现更不是纯属偶然的巧合，必须有一定的内因的驱动和信念的支撑．2、归纳推理的三个特点：从特殊开始的推理；由归纳推理得到的结论仅仅“似真〞；归纳推理是一种创造性的推理．3、归纳推理的思维规程大致为：【活动一】1．观察以下等式，从中可以得出怎样的一般规律？猜测：任何一个正整数都能表示为四个数的平方和．2．在数列中，，通过计算，试猜测这个数列的通项公式．猜测3．前个正整数的和为，前个正整数的平方和从表中发现，于是猜测．归纳推理要具备下述几个要素：1．多个特例综合分析；特例共性的发现：要存在某种相似性；共性的概括：猜测．归纳推理需要大量的原始数据，这是一个漫长的过程，在大数据时代，电脑已局部取代了这个过程，例如分析你的上网数据，分析你的喜好进行广告推送．但我们还有另外一种常用的推理方法．在高中数学学习中，指数函数与对数函数的类比，等差数列和等比数列的类比，平面几何和立体几何的类比，圆和椭圆和双曲线抛物线的类比，实数与虚数的类比等．〔G波利亚的类比〕类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加〔＋〕乘〔×〕加数、被加数乘数、被乘数和积等等，它们具有以下类似的性质：试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合． 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合． 圆 球 弦截面圆 直径 大圆 周长 外表积 圆面积球体积例如三角形的性质可以往几个方向类比：一般化为四边形，特殊化为正三角形，升维度为三棱锥，改平面为曲面等【活动二】1．选两个相关知识进行类比2．圆的方程是，那么过圆上一点的切线方程为．猜测新命题：1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：〔1〕找出两类事物之间的相似性或者一致性．〔2〕用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜测〕．【活动三】1．设,为实数，满足，，求的最大值．解：设，那么，即，，将，两式相加得．根据以上解答过程进行类比，尝试解决下题：设,为实数，满足，，求的最大值．〔2021年江苏高考第13题〕设，由此可以求出，，而2021江苏高考数学卷中的题目就表达出多种形式的类比思想。
苏教版数学高二《 推理案例赏析》 精品导学案 苏教 江苏省徐州市王杰中学
推理案例赏析导学案章节与课题 第二章第2.1.3节推理案例赏析 课时安排 3课时主备人 常丽雅 审核人 梁龙云 使用人使用日期或周次第一周本课时学习目标或学习任务 了解合情推理和演绎推理的含义。
能正确地运用合情推理和演绎推理 进行简单的推理。
了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
本课时重点难点或学习建议 重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的 本课时教学资源的使用导学案学 习 过 程一、自学准备与知识导学 （一） 课前热身1、 数列123+，138+，1415+，1524+，…由此猜想第n 个数为 ２、如图，已知PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别为BD 、PD 的中点，以下是证明BC MN ⊥的过程。
（在括号里填写适当的小前提、大前提）证明： ， ∴PA BC ⊥（ ） （ ）BC APB ∴⊥平面（）BC PB ∴⊥（ ） ， //MN PB ∴（ ） BC MN ∴⊥ （二）问题情境问题1、在数学考试中，甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似，于是他就用相同的方法来解决考试题，你能说出他的想法用的是什么推理吗？问题2、数列{}n a 的前4项分别是3,3,15,21,有些同学说，数列{}n a 的通项公式63n a n =-，你认为正确吗？问题3、归纳推理和类比推理有何相似之处？问题4、合情推理的结论不一定正确，我们为什么还要学习合情推理呢？ 二、学习交流与问题探讨例1、 推导正整数平方和公式。
提出问题：我们知道，前n 个正整数的和为1()123(1)S n n n =++++1…+n=2，那么，前n 个正整数的平方和2222()123S n =+++2…+n =?数学活动：思路1（归纳的方案） 参照课本 第72页 －73页 三表 猜想 2S （n ）＝6)12)(1(++n n n思考 ：在这个过程中提出了哪些猜想？ 提出猜想时使用了哪些推理方法？。
苏教版高中数学选修1-2《演绎推理》参考学案
第二章推理与证明2.1.2演绎推理学习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
学习过程：一、预习：1、引言：小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。
由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。
但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？分析上面的问题：大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行为。
其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额没有要求。
小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。
结论：小明犯了抢劫罪。
2、我们知道合情推理所得结论不一定正确,那么怎样推理所得的结论就一定正确呢?又怎样证明一个结论呢?3、三段论的基本格式：4、归纳：三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。
三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。
这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”，在两个前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小前提”。
演绎推理的特点:1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。
因此演绎推理是数学中严格的证明工具。
3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。
二、课堂训练：例1、把“函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论例2. 如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD= ∠A,DE∥BA,求证：ED=AF.例3、已知a,b,m均为正实数，b<a，求证：b b m a a m++＜三、练习：1、把下列推理恢复成完全的三段论:1345225.ABC ABC y x ∆∆=+（）因为三边长依次为，，，所以是直角三角形；（）函数的图象是一条直线2、下面说法正确的有（ ）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
苏教版高中数学选修2-2 2.1.2 演绎推理 教案 (2)
学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法．①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．4．数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝k时结论成立，推得当n＝k＋1时结论也成立．类型一 合情推理的应用例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f (n )(n ∈N *)与组的编号数n 的关系式为________． 答案 f (n )＝n 3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)在平面几何中，对于Rt △ABC ，AC ⊥BC ，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则 ①a 2＋b 2＝c 2； ②cos 2A ＋cos 2B ＝1；③Rt △ABC 的外接圆半径为r ＝a 2＋b 22.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明． 解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.下面对①的猜想进行证明．如图在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，面ABC ，面ABD ，面ACD 为三个两两垂直的侧面．设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2，S Rt △ABC ＝12ab .同理，CD ＝b 2＋c 2，S Rt △ACD ＝12bc .BD ＝a 2＋c 2，S Rt △ABD ＝12ac .∴S △BCD ＝14[BC 2·BD 2－14(BC 2＋BD 2－CD 2)2]. 经检验，S 2Rt △ABC ＋S 2Rt △ACD ＋S 2Rt △ABD ＝S 2△BCD .即所证猜想为真命题．反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图形中有________个小正方形．(2)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________. 答案 (1)n 2＋3n ＋22(2)数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝1 解析 (1)第1个图有3个正方形记作a 1， 第2个图有3＋3个正方形记作a 2， 第3个图有6＋4个正方形记作a 3， 第4个图有10＋5个正方形记作a 4， …，正方形的个数构成数列{a n }， 则a 2－a 1＝3， (1) a 3－a 2＝4, (2) a 4－a 3＝5, (3) ⋮⋮ a n －a n －1＝n ＋1，(n －1)(1)＋(2)＋…＋(n －1)，得a n －a 1＝3＋4＋5＋…＋(n ＋1)， a n ＝3＋(n －1)(4＋n )2＝n 2＋3n ＋22.类型二 证明方法命题角度1 综合法与分析法例2 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．证明 方法一 (综合法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥4， 所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (分析法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋a ＋bab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋(1b ＋1a )≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab≥2恒成立，所以原不等式成立．反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 已知x >0，y >0，求证：(x 2＋y 2)21>(x 3＋y 3)31. 证明要证明(x 2＋y 2)21>(x 3＋y 3)31，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2.只需证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 只需证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3. 又x >0，y >0，∴x 2y 2>0， ∴只需证3x 2＋3y 2>2xy . ∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ， ∴3x 2＋3y 2>2xy 成立，故(x 2＋y 2)21>(x 3＋y 3)31.命题角度2 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx <2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋y x<2至少有一个成立． 反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 类型三 数学归纳法 例4 观察下列四个等式： 第一个式子 1＝1 第二个式子 2＋3＋4＝9 第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明． 解 (1)第五个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 证明：①当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立， 即有k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＝(2k －1)2.那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝(2k －1)2＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝4k 2－4k ＋1＋8k ＝(2k ＋1)2 ＝[2(k ＋1)－1]2. 右边＝[2(k ＋1)－1]2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据①②知，等式对任意n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74.a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)方法一 猜想a n ＝2n －12n －1.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，ak ＝2k －12k －1， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k －12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k ，满足上式，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立， 由①②可知，对于n ∈N *，都有a n ＝2n －12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)．设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·q n －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n －12n －1.1．观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为________． 答案 9(n －1)＋n ＝10n －9解析 由已知中的式子，我们观察后分析： 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号， 等式右边是一个等差数列． 根据已知可以推断：第n (n ∈N *)个等式为9(n －1)＋n ＝10n －9.2．猜想数列12×4，14×6，16×8，18×10，…的通项公式是____________________．答案 a n ＝12n (2n ＋2)(n ∈N *)解析 分析式子12×4，14×6，16×8，18×10，…的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积．3．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________________________________________________________________． 答案 方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根． 4．如图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为________．答案5n＋1解析图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为a n＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.5．用数学归纳法证明(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明当n＝1时，左边＝－14，右边＝－1·2·7＝－14，等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)·(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)．那么当n＝k＋1时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[4k2＋12k＋9－4k2－6k－2]＝－(k＋1)[4k2＋3k＋2(6k＋7)]＝－(k＋1)(4k2＋15k＋14)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)＝－(k＋1)[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]．所以当n＝k＋1时等式也成立．根据以上论证可知，等式对任何n∈N*都成立．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n＝n0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n＝k时，结论成立，推得当n＝k＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．。
高中数学 2.1.2 演绎推理导学案(无答案)苏教版选修2-2(2021年整理)
江苏省镇江市丹徒镇高中数学 2.1.2 演绎推理导学案（无答案）苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品演绎推理课时安排1课时2.1。
2演绎推理（一） 问题引入1。
复习巩固：合情推理包括 和 ．(1）归纳推理：从 到 ；（2)类比推理：从 到 ． 2.背景引入:案例1、所有的金属都能导电，铜是金属， 所以，铜能导电．案例2、一切奇数都不能被2整除，2-2的全部内容。
使用人使用日期或周次本课时学习目标或学习任务 1.了解演绎推理的含义;2.能正确地运用演绎推理进行简单的推理；3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．本课时重点难点或学习建议 正确地运用演绎推理进行简单的推理,了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．本课时教学资源的使用导学案学 习 过 程因为（2100+1）是奇数，所以,(2100+1）不能被2整除．案例3、三角函数都是周期函数, tan α是三角函数，所以，tan α是周期函数．思考：像案例1、2、3的推理是合情推理吗？（二）学生活动1．案例1由推理出；2．案例2由推理出；3．案例3由推理出．（三）知识建构1.演绎推理的定义:从_______________出发,推出________________结论，这种推理称为演绎推理．（1）演绎推理是由_______到_______的推理；（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提—___________；⑵小前提—_______________；⑶结论-__________________________．2．三段论的基本格式：_______________________________________________________________________________________________________________．(四)学习交流、问题探讨.522的图象是一条直线）函数（+=x y 例1．把下列推理恢复成三段论：已知8.0lg ,2lg 计算m =；变式1:把下列推理恢复成三段论：是直角三角形；，所以，，三边长依次为）因为（ABC ABC ∆∆5431例2．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：（1）整数是自然数, （2)无理数是无限小数，-3是整数,31是无限小数,-3是自然数; 31是无理数．（五）练习检测与提升1．若通过推理所得的结论一定是正确的，则这样的推理必定是 ． Ａ．归纳推理 Ｂ．类比推理 Ｃ．合情推理Ｄ．演绎推理2．下面说法正确的有______________．（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的;（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．（填上所有符合题意的序号）3．由铜、铁、金、银等金属导电，推得“一切金属都导电”．该推理属于 推理．（填“归纳推理”“类比推理”“演绎推理"）4．用三段论的形式写出下列演绎推理： （1）0.332是有理数;（2）)(sin R x x y ∈=是周期函数．（六）后作业1．由平面上不共线的三点可确定一个圆，猜想空间中不共线的四点确定一个球．该推理属于推理（填“归纳推理”“类比推理”或“演绎推理”）．2．下面几种推理过程是演绎推理的是 （填序号)．(1)两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B ＝1800；（2）由圆的性质，推测球的性质；（3）某校高三共20个班,一班有51人，二班有53人，三班有52人,由此推测各班人数都超过50．3.“因对数函数()0log >=x x y a 是增函数（大前提)，而x y 31log =是对数函数(小前提)，所以x y 31log =是增函数（结论）”．上面推理的错误是 （填“大前提”、“小前提”或“结论”)． 4.三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是 (填序号)．5.求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是错误!有意义时,a ≥0，小前提是错误!有意义，结论是．章节与课题。
高中数学苏教版选修2-2第二章1节《合情推理与演绎推理》第二课时教案设计
课题02. 合情推理（ 2）1. 联合数学实例，认识类比推理的含义教课目的 2. 能利用类比方法进行简单的推理教课要点 体 会 并 实 践 类 比 推 理 的 探 索 过 程 以 及 类 比 推 理 的 局 限教课难点 引 导 和 训 练 学 生 从 已 知 的 线 索 中 归 纳 出 正 确 的 结 论讲课方法讲练联合教课协助手段教师活动课前自学：复习1、什么叫推理 ?推原因哪几部分构成 ?2、合情推理的主要形式有 和.3、归纳推理是从 事实中归纳出结论的一种推理模式4、归纳推理的特色 :5 、 22 2 2, 3 33 3, 44 44,L 6 a6a33 8815 15bb（ a, b 均为实数），请推断 a =b =。
新知由两类对象拥有某些近似特色和此中一类对象的某些已知特色，推出另一类对象也拥有这些特色的推理 . 简言之，类比推理是由特别到特别的推理.讲堂研究：一、创建情形：1. 工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿, 发了然锯2. 模仿鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发了然潜水艇3. 科学家对火星进行研究 , 发现火星与地球有很多近似的特色; 1) 火星也绕太阳运转、饶轴自转的行星;2) 有大气层 , 在一年中也有季节更改 ;3) 火星上大多数时间的温度合适地球上某些已知生物的生计 , 等等 . 科学家猜想 ; 火星上也可能有生命存在 .4．利用平面向量的本定理类比获得空间向量的基本定理.二、研究新知：由两类对象拥有某些近似特色和此中一类对象的某些已知特色，推出另一类对象也拥有这些特色的推理 . 简言之，类比推理是由特别到特别的推理 .类比练习：(i) 圆有切线， 切线与圆只交于一点， 切点到圆心的距离等于半径 . 由此结论如何类比到球体？(ii) 平面内不共线的三点确立一个圆，由此结论如何类比获得空间的结论？由圆的一些特色，类比获得球体的相应特色 . （教材 73 研究 填表）小结：平面→空间，圆→球，线→面 .议论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例此中的一些类比思想.三、剖析归纳：1. 由两类对象拥有某些近似特色和此中一类对象的某些已知特色，推出另一教课多媒体学生活动 二次备课通 过 阅 读 教 材 感 受 归 纳 推 理 的 魅 力 从 我 们 的 生 活 实 际 引 出 类 比 推 理概 念教师活动类对象也拥有这些特色的推理.简言之，类比推理是由特别到特别的推理.2.类比推理的几个特色1）类比是从已经掌握了的事物的属性 , 推断正在研究的事物的属性 , 是以旧有的认识为基础 , 类比出新的结果 .2）类比是从一种事物的特别属性推断另一种事物的特别属性 .3 ）类比的结果是猜想性的不必定靠谱 , 但它却有发现的功能 .3.特色： 1 ）联想2）探索性3）不确定性指出类比推理的结果不一定可靠3.类比推理的一般步骤：学生活动二次备课⑴ 找出两类对象之间能够切实表述的相像特色；⑵ 用一类对象的已知特色去推断另一类对象的特色，进而得出一个猜想；⑶ 查验猜想。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 演绎推理 导学案
2.1.2《演绎推理》导学案学习目标1. 了解演绎推理的含义。
2. 能正确地运用演绎推理进行简单的推理。
3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
学习重点、难点:教学重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
学习过程一、复习：合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊二、问题情境案例1、所有的金属都能导电铜是金属,所以，铜能够导电案例2、一切奇数都不能被2整除，因为(2100+1)是奇数，所以，(2100+1)不能被2整除。
案例3、三角函数都是周期函数,tan α是三角函数，所以，tan α是周期函数。
提出问题：像这样的推理是合情推理吗？三、学生活动案例1、所有的金属都能导电铜是金属,所以，铜能够导电案例2、一切奇数都不能被2整除，因为(2100+1)是奇数，所以，(2100+1)不能被2整除。
案例3、三角函数都是周期函数,tan α是三角函数，所以，tan α是周期函数。
二、建构数学演绎推理的定义：从_______________出发，推出________________结论，这种推理称为演绎推理．1）演绎推理是由一般到特殊的推理；2）“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式_________________________________________________________________________________________________________________________3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。
五、数学运用1、例题例1、如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 、E 是垂足，求证AB 的中点M 到D 、E 的距离相等。
江苏省普通中学2019年高二数学苏教版选修2-2教学案：第2章3演绎推理
江苏省泰兴中学高二数学讲义（46）演绎推理【学习目标】1.结合以及学过的数学实例和生活实例，了解演绎推理的重要性2.掌握演绎推理的基本模式，并能用它进行一些简单的推理3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别【重点难点】重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理难点：演绎推理的含义及一般模式：“三段论”【预习导引】1.推理“①矩形是平行四边形 ②三角形不是平行四边形 ③所以三角形不是矩形”中的小前提是_________________2.“因对数函数y=是增函数（大前提），而是对数函数（小前提），所以log a x x y 31log =是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ ）x y 31log =A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错【典型例题】例1. 用三段论的形式写出下列演绎推理（1）若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不是对顶角，则此两角不相等（2）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等（3）把下列推理恢复成完全的三段论：①不能被2整除； ②函数的图像是一条直线.1021+52+=x y 例2.已知a .b .m 均为正实数，，求证：.b a <b b m a a m+<+例3.求证：函数是奇函数，且在定义域上是增函数.1212+-=x x y[学习反思]1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义.公理.定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程2.演绎推理是一个必然性推理，演绎推理的前提和结论之间有蕴涵关系，因而，只要大前提. 小前提都是真实的，那么结论必是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论3.演绎推理的特点：（1）_________________ ______________________________ （2）_____________________ __________________________（3）_____________________ ________________________江苏省泰兴中学高二数学课后作业（46）班级:姓名:学号：1.推理“因对数函数是增函数（大前提），而是对数函数（小前提），log a y x =13log y x = 所以是增函数（结论）”，其推理错误的原因是___________13log y x =2.把下列推理写成完整的三段论形式：（1）因为ABC 的三边长为5，12，13，所以ABC 是直角三角形；∆∆ （2）函数y=的图象是双曲线.1x3.下面推理是否正确？将其中有错误的地方用波浪线画出：也是无理数+都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，必是无理数.4.为保证信息安全，小明利用一个简单的加密函数对数字进行逐个加密，3log (1)y x =+如数字2经过加密后变成1，若某人收到1002的加密数字，则原数字是_________.5.指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： （1）整数是自然数， （2）无理数是无限小数，－3是整数， 是无限小数，1(0.333)3=K —————————— ———— ———————－3是自然数是无理数136.已知实数p 满足不等式，试判断方程有无实根，并证明2102p p +<+22250x x p -+-=你的结论.7.设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项， 求证：. 2a cx y+=8.已知a ，b ，c 表示ABC 的边长,m>0. 求证:> .∆a b a m b m +++cc m+。
高中数学苏教版选修2-2第二章1节《合情推理与演绎推理》第三课时教案设计
课题03.演绎推理教学目标1.通过演绎推理的学习，让学生对推理有了全新的认识.2.了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理．教学重点正确地运用演绎推理进行简单的推理教学难点正确运用“三段论”证明问题．授课方法讲练结合教学辅助手段教学多媒体教师活动学生活动二次备课课前自学：定义特征一般模式思维过程归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理S1具有性质PS2具有性质P……S n具有性质P(S1，S2，…，S n是A类事物对象)所以A类事物具有性质P实验观察→概括推广→猜测一般性结论类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理类比推理是由特殊到特殊的推理A类事物具有性质a，b，c，dB类事物具有性质a′，b′，c′(a，b，c与a′，b′，c′相似或相同)所以B类事物可能具有性质d′观察、比较猜测新的结论1.归纳推理：从特殊到一般类比推理：从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳．类比――提出猜想．2.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（或逻辑推理）．课堂探究：一、创设情景：观察与思考：1．所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．2．一切奇数都不能被2整除，（2100+1）是奇数，所以，（2100+1）不能被2整除．3．三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．提出问题：像这样的推理是合情推理吗？如果不是，它与合情推理有何不同（从推理形式上分析）二、探究新知：1．所有的金属都能导电←————大前提铜是金属，←-----小前提所以，铜能够导电←――结论学生结合3个例子，尝试举例，加深概念的理解学生探索，发现问题，总结特征（五号楷体加粗）。
高中数学 2.1合情推理与演绎推理学案 苏教版选修2-2
第2章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解合情推理的含义；能利用归纳和类比等进行简单的推理．(2)体会演绎推理的重要性，理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理．(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，体会并认识合情推理、演绎推理在科学发现中的作用．2．预习提纲(1)实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段．通过实验、观察、操作得到的结论常常是正确的，但是仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的．回顾八年级(下册)(江苏科学技术出版社)，第十一章图形与证明(一)第125－133页，体会：“探索中，丰富对图形的认识．”(2)任何推理都包含前提和结论两个部分，_____是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，_____是根据前提推得的命题，它告诉我们推得的知识是什么．(3)从个别事实中推演出一般性的结论，这样的推理通常称为__________．归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理，是一种具有创造性的推理．归纳推理的思维过程为：_________________．(4)根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理通常称为__________．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比推理的思维过程为：_________________．(5)合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．________和________都是数学活动中常用的合情推理．(6)演绎推理是由一般到特殊的推理，在前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确．________式推理是演绎推理的主要形式，其常用的格式为_____________．(7)阅读课本第62页的例1，学习归纳推理，会利用归纳进行简单的推理；阅读课本第65－66页的例1和例2，学习类比推理，会利用类比进行简单的推理；阅读课本第68－69页的例1和例2，学习演绎推理，会利用三段论以及它的简略形式进行简单的推理．阅读课本第72－76页的推理案例，体会合情推理和演绎推理在数学发现活动中的作用．(8)阅读课本第61页至第77页内容，并完成课后练习．(9)成立学习小组，去探索、猜测一些数学结论，并与其他小组交流．3．典型例题(1)任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么，结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推得的知识是什么．例1 你能说出下列推理案例中的前提和结论吗?①4=2＋2；6=3＋3；8=3＋5；10=3＋7=5＋5；12=5＋7；14=3＋11=7＋7；16=3＋13=5＋11；18=5＋13=7＋11；20=3＋17=7＋13；……；所以任何大于2的偶数都可以表示为两个素数的和．②狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的．所以青蛙是有骨骼的．③所有的鸟都会飞，麻雀是鸟．麻雀会飞．分析：任何推理都包含前提和结论两个部分，我们要分清这两部分．①是著名的哥德巴赫猜想，简称“1＋1”，至今没有人能完全证明这个命题．解：①前提：4=2＋2；6=3＋3；8=3＋5； 10=3＋7=5＋5； 12=5＋7； 14=3＋11=7＋7； 16=3＋13=5＋11； 18=5＋13=7＋11； 20=3＋17=7＋13； ……；结论：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数的和． ② 前提：狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的； 鱼是有骨骼的； 蛇是有骨骼的． 结论：青蛙是有骨骼的． ③ 前提：所有的鸟都会飞， 麻雀是鸟．结论：麻雀会飞．(2)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理、提出带有规律性的猜想，这是数学研究的基本方法之一．归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)．例2 ① 已知：0tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=，000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan5=1++，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题_________； ② 已知：2223sin 30sin 90sin 1502++=， 2223sin 5sin 65sin 1252++=， 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： _____________________=32( * )，并给出( * )式的证明．分析：通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．我们要仔细观察，寻找规律，掌握技巧，解决问题． 解： ① 若,,αβγ都不是090，且090αβγ++=， 则tan tan tan tan tan tan 1αββγαγ++=；② 一般形式： 2223sin sin (60)sin (120)2ααα++++=， 证明： 左边 = 1cos 21cos(2120)1cos(2240)222ααα--+-+++ =31[cos 2cos(2120)cos(2240)]22ααα-++++ =31[cos 2cos 2cos120sin 2sin120cos 2cos 24022αααα-+-+- sin 2sin 240]α=3111[cos 2cos 22cos 22]2222ααααα---+= 32=右边∴原式得证(将一般形式写成 2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=， 2223sin (240)sin (120)sin 2ααα︒︒-+-+=等均正确．) 例3 (1)已知数列{}n a 的第1项11a =，且112nn na a a +=+(1,2,)n = ，试归纳出这个数列的通项公式；(2)已知数列{}n a 的第1项11a =，且122nn na a a +=+(1,2,)n = ，试归纳出这个数列的通项公式；(3)已知数列{}n a 的第1项10a =，且1n a +=(1,2,)n = ，则20a =____；(4)已知数列{}n a 满足12a =，111n n na a a ++=-(*n ∈N )，则1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅ 的值为 ．分析： 通常我们会写出数列的前几项，然后寻找其规律，归纳出这个数列的通项公式．但归纳不能代替证明，本题的归纳是不完全归纳，我们不能肯定所得的通项公式是否正确．事实上，我们可以直接求出数列的通项公式．①、②给我们的启发：对满足1nn naa a b ca +=+(0)abc ≠型的数列{}n a ，当a b =时采取取倒数的方法即可得出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出数列{}n a 的通项；③、④给我们的启发：结构与两角和或差的正切公式相似，这样的数列一定是周期数列． 解：(1)法1：213a =，315a =，…，一般地有121n a n =-； 法2：由112n n n a a a +=+得，112112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公差为2的等差数列，则1112(1)n n a a =+-， 而11a =，则121n a n =-； (2)法1：223a =，324a =，…，一般地有21n a n =+； 法2：由122n n n a a a +=+得，1211122n n n n a a a a ++==+，即11112n n a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公差为12的等差数列，则1111(1)2n n a a =+-⨯， 而11a =，则21n a n =+； (3)法1：由于1n a +=，10a =，则2a =3a =40a =，由此归纳出数列{}n a 是以3为周期的数列，则206322a a a ⨯+===法2：1n a +=，令tan n n a α=，则1tan tan()3n n παα+=-，则13n n k πααπ+=-+(k 是整数)，即13n n k πααπ+-=-，20119()3k πααπ=+-，而10α=，则2021973k παππ=-+，2020tan a α== (4)法1：分别求出23a =-、312a =-、413a =、52a =，可以发现51a a =，且12341a a a a ⋅⋅⋅=，故1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅ 2005200620071233a a a a a a =⋅⋅=⋅⋅=．法2：由111nn na a a ++=-，联想到两角和的正切公式，设12tan a θ==，则有2tan 4a πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3tan 2a πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，43tan 4a πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()51tan a a πθ=+=，……．则12341a a a a ⋅⋅⋅=，故1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅ 2005200620071233a a a a a a =⋅⋅=⋅⋅=． (3)类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠． 例4 设N =2n（n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i≤n -2时，将P i 分成2i段，每段2iN个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置.(1)当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置； (2)当N=2n（n≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置.分析： 先仔细审题，读懂题意，然后从N 的特殊值出发，寻找规律. 解： (1)当N=16时,012345616P x x x x x x x = ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16) ,113571524616P x x x x x x x x x = ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16) ,2159133711152616P x x x x x x x x x x x = ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16) , x 7位于P 2中的第6个位置；(2)方法同(1),归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.点评: 本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力、创造性解决问题的能力.同学们要在学习中培养自己动脑的习惯，才能顺利解决此类问题.例5 (1)在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法： 先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得112(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯123(234123),3⨯=⨯⨯-⨯⨯…1(1)[(1)(2)(1)(1)].3n n n n n n n n +=++--+相加，得11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++ 类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果为 ____．(2)通过计算可得下列等式：1121222+⨯=-1222322+⨯=- 1323422+⨯=-┅┅12)1(22+⨯=-+n n n将以上各式分别相加得：n n n +++++⨯=-+)321(21)1(22即：2)1(321+=++++n n n类比上述求法，请你求出2222321n ++++ 的值．分析： 本题是方法的类比，两项积变三项积，二次方变三次方． 解：(1)1(1)(2)(3)4n n n n +++ (2) 1131312233+⨯+⨯=- 1232323233+⨯+⨯=-1333334233+⨯+⨯=-……133)1(233+⨯+⨯=-+n n n n将以上各式分别相加得：n n n n ++++⨯+++++⨯=-+)321(3)321(31)1(222233所以，]2131)1[(3132132222n nn n n +---+=++++ )12)(1(61++=n n n(4) 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 例6 在∆DEF 中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222． 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱111ABC A B C -的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明．分析： 三角形的三条边长对应三棱柱的三个侧面面积，三角形的内角对应三棱柱的两个侧面所成的二面角，根据类比猜想得出斜三棱柱ABC －111C B A 的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式．解：斜三棱柱ABC －111C B A 的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式为θcos 21111111111222B BCC A ABB B BCC A ABB C C AA S S S S S ⋅-+=． 其中θ为侧面为11A ABB 与11B BCC 所成的二面角的平面角．证明：作斜三棱柱111C B A ABC -的直截面DEF ，则D F E ∠为面11A ABB 与面11B BCC 所成二面角，在DEF ∆中有余弦定理：2222cos DE DF EF DF EF θ=+-⋅，两边同乘以21AA ，得222222111112cos DE AA DF AA EF AA DF AA EF AA θ⋅=⋅+⋅-⋅⋅⋅即 θcos 21111111111222B BCC A ABB B BCC A ABB C C AA S S S S S ⋅-+= 例7 请将平面内的一般三角形与空间中四面体的性质进行类比．分析： 我们经常将二维平面内的三角形与三维空间中的四面体作为类比对象．有兴趣的同学可以将得到的四面体的性质一一证明． 解：(5)演绎推理是由一般到特殊的推理，在前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提－－－已知的一般原理；②小前提－－－所研究的特殊情况；③结论－－－－－据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式：M－P(M是P) (大前提)S－M(S是M) (小前提)S－P(S是P) (结论)例8 请看以下3个推理：①所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电；②一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以，(2100＋1)不能被2整除；③三角函数都是周期函数，tanα是三角函数，所以，tanα是周期函数．这样的推理是合情推理还是演绎推理?若是合情推理，则指明是归纳推理还是类比推理；若是演绎推理，则指明大前提、小前提和结论．（小前提）是二次函数函数12++=x x y 分析： 把握合情推理和演绎推理的概念及其一般步骤、一般模式． 解：3个推理都是演绎推理：① 所有的金属都能导电 ←－－－大前提铜是金属 ←－－－－－小前提 所以，铜能够导电 ←――结论 ② 一切奇数都不能被2整除 ←－－－大前提(2100＋1)是奇数，←――小前提所以， (2100＋1)不能被2整除． ←―――结论 ③ 三角函数都是周期函数， ←－－大前提tan α是三角函数， ←――小前提 所以，tan α是周期函数．←――结论例9 21y x x =++把“函数的图像是一条抛物线”恢复成完全的三段论。
2.1.2 演绎推理 学案(苏教版高中数学选修2-2)
2.1.2 演绎推理学案（苏教版高中数学选修2-2）212演绎推理演绎推理学习目标1.了解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系知识点一演绎推理思考分析下面几个推理，找出它们的共同点1所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；2一切奇数都不能被2整除，21001是奇数，所以21001不能被2整除答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论梳理演绎推理的含义及特点含义由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法特点1演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别.特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中；2在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系；3演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰.令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段答案分为三段梳理三段论一般模式常用格式大前提提供了一个一般性的原理M是P小前提指出了一个特殊对象S是M结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系S是P1“三段论”就是演绎推理2演绎推理的结论一定是正确的3演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理4在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况作出的判断类型一演绎推理与三段论例1将下列演绎推理写成三段论的形式1平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；2等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的两底角，则AB；3通项公式为an2n3的数列an为等差数列解1平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分结论2等腰三角形的两底角相等，大前提A，B是等腰三角形的两底角，小前提AB.结论3在数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an 为等差数列，大前提当通项公式为an2n3时，若n2，则anan12n32n132常数，小前提通项公式为an2n3的数列an为等差数列结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大.小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提跟踪训练1将下面的演绎推理写成三段论的形式1所有椭圆的离心率e的取值范围为0,1，曲线Cx22y21是椭圆，所以曲线C的离心率e的取值范围为0,12等比数列的公比都不为零，数列2nnN*是等比数列，所以数列2n的公比不为零解1大前提所有椭圆的离心率e的取值范围为0,1小前提曲线Cx22y21是椭圆结论曲线C的离心率e的取值范围为0,12大前提等比数列的公比都不为零小前提数列2nnN*是等比数列结论数列2n的公比不为零类型二演绎推理的应用命题角度1证明几何问题例2如图，D，E，F 分别是BC，CA，AB上的点，BFDA，DEBA，求证EDAF，写出三段论形式的演绎推理证明因为同位角相等，两直线平行，大前提BFD 与A是同位角，且BFDA，小前提所以FDAE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DEBA，且FDAE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以EDAF.结论反思与感悟1用“三段论”证明命题的格式大前提小前提结论2用“三段论”证明命题的步骤理清证明命题的一般思路找出每一个结论得出的原因把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来跟踪训练2已知在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证EF平面BCD.证明因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，EF为ABD的中位线小前提所以EFBD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF平面BCD，BD平面BCD，EFBD，小前提所以EF平面BCD.结论命题角度2证明代数问题例3设函数fxexx2axa，其中a为实数，若fx的定义域为R，求实数a的取值范围解若函数的定义域为R，则函数对任意实数恒有意义，大前提fx的定义域为R，小前提x2axa0恒成立结论a24a0，0a4.即当a0,4时，fx的定义域为R.引申探究若本例的条件不变，求fx的单调增区间解fxxxa2exx2axa2，由fx0，得x0或x2a.0a4，当0a0.在，0和2a，上，fx0.fx的单调增区间为，0，2a，当a2时，fx0恒成立，fx的单调增区间为，当2a4时，2a0，fx的单调增区间为，2a，0，综上所述，当0a2时，fx的单调增区间为，0，2a，；当a2时，fx的单调增区间为，；当2a1，证明函数fx在1，上为增函数证明方法一定义法任取x1，x21，，且x10，且a1，所以21xxa1，而1x10，x210，所以fx2fx10，所以fx在1，上为增函数方法二导数法fxaxx13x1ax13x1.所以fxaxlna3x12.因为x1，所以x120，所以3x120.又因为a1，所以lna0，ax0，所以axlna0，所以fx0.所以fxaxx2x1在1，上是增函数.1下面几种推理过程是演绎推理的是________填序号两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180；某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人；在数列an中，a11，an12an11an1n2，由此归纳出an的通项公式答案解析是演绎推理，是归纳推理2在求函数ylog2x2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a0；小前提是log2x2有意义；结论是__________________________考点“三段论”及其应用题点三段论的结构答案ylog2x2的定义域是4，解析由大前提知log2x20，解得x4.3推理“菱形的对角线互相垂直，正方形是菱形，正方形的对角线互相垂直”中的小前提是________答案4把“函数yx2x1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提_________________________________________________________ _______________；小前提_________________________________________________________ _______________；结论_________________________________________________________ _______________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数yx2x1是二次函数函数yx2x1的图象是一条抛物线5设m为实数，利用三段论证明方程x22mxm10有两个相异实根证明若一元二次方程ax2bxc0a0的判别式b24ac0，则方程有两个相异实根大前提方程x22mxm10的判别式2m24m14m24m42m1230，小前提所以方程x22mxm10有两个相异实根结论1应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略2合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理3合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论.证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论.猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.。
苏教版数学高二- 选修1-2教案 2.1演绎推理
2.1.2 演绎推理
教 知识与技能
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法， 并能运用它们进行一些简单的推理。.
学 目 过程与方法
引导学生自主完成自学任务，给出问题现有学生自己解决，再小组讨论后师生共同解决；
标 情感态度价值 观
解决生活中的实际问题。
教 材
四、精讲点拨
③ 讨论：因为指数函数 y ax 是增函数， y (1)x 是指数函数，则结论是什么？ 2
（结论→指出：大前提、小前提 → 讨论：结论是否正确，为什么？） ④ 讨论：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）
3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、高结中数论学正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推
高中数学
设 第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
计
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
三、质疑探究
① 出示例 1：证明函数 f (x) x2 2x 在 , 1 上是增函数.
板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论. ② 出示例 2：在锐角三角形 ABC 中， AD BC, BE AC ，D，E 是垂足. 求证：AB 的中点 M 到 D，E 的距离相 等. 分析：证明思路 →板演：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论.
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理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）
五、当堂检测
1 对于任意正整数 n，猜想（2n-1）与(n+1)2 的大小关系？ 2 在平面内，若 a c,b c ，则 a // b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若 a c,b c ，则 a // b ； 或在空间中，若 , ,则 // . 3 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？ 合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢
江苏省徐州市王杰中学高二数学《2.1.1 合情推理》导学案 选修2-2
合情推理导学案一、自学准备与知识导学1.问题情境：在日常生活中我们常常遇到这样的现象（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是 的思维过程。
2.探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37,……,100=3+9，猜想： .问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 。
新知：归纳推理就是由某些事物的 ，推出该类事物的 的推理，或者由 的推理。
简言之，归纳推理是由 的推理。
3.探究任务：类比推理鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理。
新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到的推理。
二、学习交流与问题探讨三、例1已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{n a }中，1=n a ， ),2,1(1221⋯⋯=+=+n a a n n ，试猜想这个数列的通项公式.?,21,32,1,2:54321=====n a a a a a 求拓展例例6试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=b ⇒a+c=b+c; (1) (2) a=b ⇒ ac=bc; (2) (3) a=b ⇒a 2=b 2。
(3) 问：这样猜想出的结论是否一定正确？变式、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.例7 试将平面上的圆与空间的球进行类比.新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。
江苏省徐州市王杰中学高二数学《2.1 合情推理与演绎推理》练习题 人教新课标版选修2-2
合情推理与演绎推理练习卷复习1：归纳推理是由 到 的推理.类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .复习2：演绎推理是由 到 的推理.演绎推理的结论 .例1 观察（1）（2）000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++=由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.变式：已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.例 2 在Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，则22cos cos 1A B +=，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.变式：已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，有如下性质：（1）()n m a a n m d =+-，（2）若*,(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，写出类似的性质.练1.若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f练2. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ,则三角形的面积1()2S r a b c =++，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V = .思考：有金盒、银盒、铝盒各一个，只有一个盒子里有肖像，金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里，银盒子上写有命题q ：肖像不在这个盒子里，铝盒子上写有命题r ：肖像不在金盒里，这三个命题有且只有一个是真命题，问肖像在哪个盒子里？为什么？1. 由数列1,10,100,1000,，猜想该数列的第n 项可能是（ ）.A.10nB.110n -C.110n +D.11n2.下面四个在平面内成立的结论①平行于同一直线的两直线平行②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交③垂直于同一直线的两直线平行④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交在空间中也成立的为（ ）.A.①②B. ③④C. ②④D.①③3.用演绎推理证明函数3y x =是增函数时的大前提是（ ）.A.增函数的定义B.函数3y x =满足增函数的定义C.若12x x <，则12()()f x f x <D.若12x x <, 则12()()f x f x >4.在数列{}n a 中,已知112,31n n n a a a a +==+*()n N ∈,试归纳推理出n a = . 5. 设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f = ；当ｎ＞４时，()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）.6. 证明函数2()4f x x x =-+在[2,)+∞上是减函数.7. 数列{}n a 满足2n n S n a =-,先计算数列的前4项,再归纳猜想n a .。
2.1.演绎推理-苏教版选修2-2教案
2.1.演绎推理-苏教版选修2-2教案一、教学目标1.了解演绎推理的基本概念、规则和方法。
2.学习如何运用演绎推理进行判断、推理和证明。
3.通过实例练习，掌握演绎推理的具体应用。
二、教学重点1.演绎推理的基本概念和规则。
2.演绎推理的应用方法。
三、教学难点1.如何运用演绎推理进行证明。
2.演绎推理与归纳推理的区别。
四、预习导引1.了解演绎推理的基本概念、规则和方法。
2.思考在日常生活中可以运用演绎推理的场景和方法。
五、教学过程1.导入（15分钟）1.老师介绍本节课的内容，并对学生进行简单的预热，引导学生思考演绎推理的概念和应用场景。
2.联系日常生活，以实用的案例阐述演绎推理的应用，引起学生的兴趣。
2.学习与体验（60分钟）1.老师向学生讲解演绎推理的基本概念、规则和方法，包括命题、前提、结论、推理规则等。
2.给出一些演绎推理的例子，让学生独立思考并判断是否符合演绎推理的规则。
3.通过操作练习，让学生逐步掌握演绎推理的方法和技巧，如加法规则、假言规则、析取规则等。
3.拓展与应用（60分钟）1.老师引导学生思考如何在实际生活中运用演绎推理进行判断、推理和证明。
2.分组讨论，给出实际情境，让学生自己设计演绎推理的过程，提高学生的应用能力。
3.老师对学生的思考进行点评和总结，进一步巩固学生的知识和能力。
4.总结与反思（15分钟）1.老师对本节课的内容进行总结，强调演绎推理的重要性和应用价值。
2.让学生自行回顾本节课的收获与不足，进一步巩固所学的知识和技能。
六、作业布置1.针对本节课的内容，设计一份演绎推理的练习题，并进行解答。
（课后完成）2.学生自选一个实际场景，运用演绎推理进行分析、判断和证明，并写下学习笔记。
（下节课前完成）七、教学反馈1.对学生在本节课中的表现进行单独评估和反馈。
2.搜集学生的反馈意见，及时调整和优化下节课的教学内容和方式。
八、教学资料1.PowerPoint课件。
2.练习题和解答。
2017-2018学年高二数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.1 2.1.2 演绎推理
2．1.2 演 绎 推理看下面两个问题：(1)∅是任意非空集合的真子集，A 是非空集合，所以∅是集合A 的真子集；(2)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数．2· 2· 问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？提示：都说的一般原理．问题2：第二句又说什么？提示：都说的特殊示例．问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例作出判断．1．演绎推理含义由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．特点(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.2．三段论一般模式常用格式大前提提供了一个一般性的原理M 是P 小前提指出了一个特殊对象S 是M 结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系S 是P1．演绎推理是由一般到特殊的推理，一种必然性的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提与结论之间的联系是必然的．2．三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论．要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．[对应学生用书P20]把演绎推理写成三段论[例1] 将下面的演绎推理写成三段论的形式：(1)所有椭圆的离心率e 的取值范围为(0,1)，曲线C ：＋y 2＝1是椭圆，所以曲线C x 22的离心率e 的取值范围为(0,1)．(2)等比数列的公比都不为零，数列{2n }(n ∈N *)是等比数列，所以数列{2n }的公比不为零．[思路点拨] 这种类型的题目只要明确各推理案例中的大前提、小前提与结论即可．[精解详析] (1)大前提：所有椭圆的离心率e 的取值范围为(0,1)．小前提：曲线C ：＋y 2＝1是椭圆．x 22结论：曲线C 的离心率e 的取值范围为(0,1)．(2)大前提：等比数列的公比都不为零．小前提：数列{2n }(n ∈N *)是等比数列．结论：数列{2n }的公比不为零．[一点通] 演绎推理的重要形式是三段论，分清大前提、小前提和结论是解题的关键．大前提是给出一般性的原理，小前提是指出特殊对象，结论是体现一般性原理与特殊对象的内在联系的必然结果．1．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不是对顶角，则此两角不相等．(3)0.332是有理数．(4)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．解：(1)因为菱形的对角线相互垂直，(大前提)正方形是菱形，(小前提)所以正方形的对角线相互垂直．(结论)(2)如果两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提)∠1和∠2不是对顶角，(小前提)所以∠1和∠2不相等．(结论)(3)因为所有的有限小数是有理数，(大前提)0．332是有限小数，(小前提)所以0.332是有理数．(结论)(4)因为三角函数是周期函数，(大前提)y ＝sin x (x ∈R )是三角函数，(小前提)所以y ＝sin x 是周期函数．(结论)2．指出下列各演绎推理中的大前提、小前提，并判断结论是否正确．(1)a ∥b 一定有a ＝λb (λ∈R )，向量c 与向量d 平行，所以c ＝λd .(2)指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数，而y ＝x 是指数函数，所以y ＝x 是减函数．(12)(12)解：(1)大前提：a ∥b 一定有a ＝λb (λ∈R )．小前提：向量c 与向量d 平行．结论是错误的，原因是大前提错误．因为当a ≠0，b ＝0时a ∥b ，这时找不到实数λ使得a ＝λb .(2) 大前提：指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数．小前提：y ＝x 是指数函数．(12)结论是正确的．因为大前提、小前提均是正确的．利用三段论证明数学问题[例2] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BC ＝AD ，求证：四边形ABCD 为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．[思路点拨] 原题可用符号表示为：AB ＝CD 且BC ＝AD ⇒四边形ABCD 为平行四边形．用演绎推理来证明命题的方法，也就是从包含在命题中的一般原理推出包含在命题中的个别、特殊事实．为了证明这个命题为真，我们只需在前提(AB＝CD且BC＝AD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论为真．[精解详析] (1)连结AC.(2)AB＝CD，(已知)BC＝AD，(已知)CA＝AC.(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等；(大前提)△ABC和△CDA的三边对应相等；(小前提)△ABC与△CDA全等．(结论)符号表示：AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC⇒△ABC≌△CDA.(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等；(大前提)△ABC和△CDA全等；(小前提)它们的对应角相等，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.(结论)(5)内错角相等，两直线平行；(大前提)∠1与∠2、∠3与∠4分别是AB与CD、AD与BC被AC所截得到的内错角；(小前提)AB∥CD，AD∥BC.(结论)(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形；(大前提)四边形ABCD的两组对边分别平行；(小前提)四边形ABCD是平行四边形．(结论)[一点通] 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．常见的解题错误：①条件理解错误(小前提错)；②定理引入和应用错误(大前提错)；③推理过程错误等．3．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则＝________.a ＋b ＋cx ＋y ＋z 解析：∵由题意可得，＋＋＝10，x 24y 24z 24∴a 2＋b 2＋c 2＋＋＋－ax －by －cz ＝0，x 24y 24z 24即2＋2＋2＝0.(a －x2)(b －y2)(c －z2)∴a ＝，b ＝，c ＝.x2y 2z2∴＝＝.a ＋b ＋cx ＋y ＋z x ＋y ＋z2x ＋y ＋z 12答案：124.梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角．已知：在如图所示的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝AD ，AC 和BD 是它的对角线．求证：AC 平分∠BCD ，BD 平分∠CBA .证明：(1)等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC 是等腰三角形，DA ，DC 为两腰，(小前提)∴∠1＝∠2.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD ，BC 被AC 截出的内错角，(小前提)，∴∠1＝∠3.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)∠2和∠3都等于∠1，(小前提)∴∠2＝∠3.(结论)即AC 平分∠BCD .(4)同理DB 平分∠CBA.5.如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4，将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .求证：AB ⊥DE .证明：在△ABD 中，∵AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°，∴BD ＝ ＝2，AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB 3∴AB 2＋BD 2＝AD 2，∴AB ⊥BD .又∵平面EBD ⊥平面ABD ，平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，∴AB ⊥平面EBD .∵DE ⊂平面EBD ，∴AB ⊥DE .合情推理演绎推理定义根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果)，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程思维方法归纳、类比三段论推理形式由部分到整体、由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理结论结论不一定正确，有待于进一步证明在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确区别作用具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，利于创新意识的培养按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高演绎推理和逻辑证明的能力联系合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过逻辑推理来证明[对应学生用书P22]一、填空题1．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提_____________________________________________________________________；小前提_____________________________________________________________________；结论______________________________________________________________________．答案：一次函数的图象是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图象是一条直线．2．“指数函数y＝a x(a>1)是增函数，y＝xα(α>1)是指函数，所以y＝xα(α>1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的命题序号是________．①推理完全正确 ②大前提不正确 ③小前提不正确 ④推理形式不正确解析：∵y＝xα(α>1)是幂函数，而不是指数函数，∴小前提错误．答案：③3．“公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{b n}的前n项和为S n＝n2＋3n.所以{b n}为等差数列”．上述推理中，下列说法正确的序号是________．①大前提错误 ②小前提错误 ③结论错误 ④正确解析：该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确．答案：④4．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是序号________．解析：该推理的大前提是①，小前提是③，结论是②.答案：③5．α<0，幂函数y＝xα的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，y＝x－2是幂函数，由“三段论”可得结论________．解析：“三段论”的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实，结合大前提，小前提可得答案．答案：y＝x－2的图象在区间(0，＋∞)上是减函数二、解答题6．将下面的演绎推理写成三段论的形式：(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾．(2)两直线平行，同位角相等，如果∠A 与∠B 是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角，则∠A ＝∠B .解：(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃，结论：水会沸腾．(2)大前提：两条直线平行，同位角相等．小前提：∠A 与∠B 是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角．结论：∠A ＝∠B .7．已知函数f (x )＝(a x －a －x )，其中a ＞0，且a ≠1.aa 2－1(1)判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；(2)判断f (2)－2与f (1)－1，f (3)－3与f (2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．解：(1)由已知得f ′(x )＝(a x ＋a －x )＞0，a ln aa 2－1所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．(2)f (2)－2＞f (1)－1，f (3)－3＞f (2)－2.一般的结论：f (n ＋1)－(n ＋1)＞f (n )－n (n ∈N *)．证明如下：上述不等式等价于f (n ＋1)－f (n )＞1，即＞1，a 2n ＋1＋1an ＋1＋an 化简得(a n ＋1－1)(a n －1)＞0，在a ＞0且a ≠1的条件下，(a n ＋1－1)(a n －1)＞0显然成立，故f (n ＋1)－(n ＋1)＞f (n )－n (n ∈N *)成立．8．已知{a n }是各项均为正数的等差数列．lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列，又b n ＝(n ＝1,2,3，…)．证明：{b n }为等比数列．1a 2n 证明：∵lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列，∴2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，即a ＝a 1a 4.2若{a n }的公差为d ，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，a 1d ＝d 2，从而d (d －a 1)＝0.①若d ＝0，{a n }为常数列，相应{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数，公比为1的等比数列．②若d ＝a 1≠0，则a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝2n d ，b n ＝＝.1a 2n 12nd 这时{b n }是首项b 1＝，公比为的等比数列．12d 12综上，{b n }为等比数列．。
苏教版数学高二 选修1-2学案 演绎推理
2.1.2 演绎推理1.理解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单推理.(重点、难点)2.演绎推理与合情推理的区别和联系.(易误点)[基础·初探]教材整理演绎推理阅读教材P36及P39“练习”以上部分，完成下列问题.1.演绎推理(1)含义：由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法.(2)特点：(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.2.三段论“三段论”是演绎推理的一般模式一般模式常用格式大前提提供了一个一般性的原理M是P小前提指出了一个特殊对象S是M结论揭示了一般原理与特殊对象的内在联系S是P1.判断正误：(1)演绎推理是由一般到特殊的推理.()(2)演绎推理的结论一定正确.()(3)“三段论”就是演绎推理.()(4)演绎推理得到的结论是否正确与大前提、小前提和推理形式有关.() 【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√2.“π是无限不循环小数，∴π是无理数.”以上推理的大前提是________.【导学号：97220013】【解析】大前提为：无限不循环小数是无理数.【答案】无限不循环小数是无理数[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]把演绎推理写成三段论的形式(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数.(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列.【自主解答】(1)一切奇数都不能被2整除. (大前提)75不能被2整除. (小前提)75是奇数. (结论)(2)三角形的内角和为180°. (大前提)Rt△ABC是三角形. (小前提)Rt△ABC的内角和为180°. (结论)(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n-a n-1为常数，则{a n}为等差数列.(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n-a n-1＝3n＋2-[3(n-1)＋2]＝3(常数). (小前提)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列. (结论)把演绎推理写成“三段论”的一般方法：(1)用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.(2)在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.[再练一题]1.将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.【解析】(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分. (结论)(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)∠A，∠B是等腰三角形的两底角，(小前提)∠A＝∠B. (结论)演绎推理在几何证明中的应用BFD ＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理.图2-1-14【精彩点拨】用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DE＝AF.【自主解答】(1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥AE. (结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形. (结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以DE＝AF. (结论)1.用“三段论”证明命题的步骤(1)理清楚证明命题的一般思路；(2)找出每一个结论得出的原因；(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.2.几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论.[再练一题]2.证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角.【解】已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明：(1)等腰三角形的两底角相等，(大前提)△DAC是等腰三角形，DC＝DA，(小前提)∠1＝∠2. (结论)(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD，BC被AC所截的内错角，(小前提)∠1＝∠3. (结论)(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)∠2，∠3都等于∠1，(小前提)∠2和∠3相等.即CA平分∠BCD. (结论)④同理BD平分∠CBA.[探究共研型]演绎推理在代数中的应用探究1【提示】演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确.探究2 因为对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)是增函数，而y ＝log 13x 是对数函数，所以y ＝log 13x 是增函数.上面的推理形式和结论正确吗？【提示】 推理形式正确，结论不正确.因为大前提是错误的.已知a ，b ，m 均为正实数，b <a ，用三段论形式证明：b a <b ＋ma ＋m .【精彩点拨】 利用不等式的性质证明.【自主解答】 因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b <a ，m >0， (小前提) 所以mb <ma .(结论) 因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变， (大前提) mb <ma ，(小前提) 所以mb ＋ab <ma ＋ab ，即b (a ＋m )<a (b ＋m ). (结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变， (大前提) b (a ＋m )<a (b ＋m )，a (a ＋m )>0， (小前提) 所以b (a ＋m )a (a ＋m )<a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a <b ＋m a ＋m.(结论)代数问题中常见的利用三段论证明的命题1.函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.2.导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等.3.三角函数的图象与性质.4.数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质.5.不等式的证明.[再练一题]3.“由(a2＋a＋1)x>3，得x>3a2＋a＋1”的推理过程中，其大前提是__________.【答案】不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变.[构建·体系]演绎推理—三段论—⎪⎪⎪⎪—大前提—小前提—结论1.函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_________________________________________________；小前提：_________________________________________________；结论：____________________________________________________.【答案】一次函数的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线2.“指数函数y＝a x(a>1)是增函数，y＝xα(α>1)是指函数，所以y＝xα(α>1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的命题序号是________.①推理完全正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④推理形式不正确.【解析】∵y＝xα(α>1)是幂函数，而不是指数函数.∴小前提错误.【答案】③3.“公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{b n}的前n项和为S n＝n2＋3n.所以{b n}为等差数列”.上述推理中，下列说法正确的序号是________.①大前提错误；②小前提错误；③结论错误；④正确.【解析】该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确.【答案】④4.三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的.”中的小前提是序号________.【导学号：97220014】【解析】该推理的大前提是①，小前提是③，结论是②.【答案】③5.用三段论的形式写出下列演绎推理.(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(2)y＝cos x(x∈R)是周期函数.【解】(1)因为矩形的对角线相等，(大前提)而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的对角线相等. (结论)(2)因为三角函数是周期函数，(大前提)而y＝cos x(x∈R)是三角函数，(小前提)所以y＝cos x(x∈R)是周期函数. (结论)我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
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⑴大前提---已知的一般原理； M—P（M是P） （大前提）
⑵小前提---所研究的特殊情况； S—M（S是M） （小前提）
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．S—P（S是P）（结论）
4、三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
本课时教学资源的使用
导学案
学 习 过 程
一、自学准备与知识导学
1、复习:合情推理
归纳推理从特殊到一般
类比推理从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想
2、问题情境。
（1）所有的金属都能导电←————
铜是金属,←-----
所以，铜能够导电←――
（2）一切奇数都不能被2整除←————
(2100+1)是奇数，←――
所以，(2100+1)不能被2整除.←―――
（3）三角函数都是周期函数,←——
tan 是三角函数,←――
所以，tan 是周期函数。←――
提出问题：像这样的推理是合情推理吗？
2、我们知道合情推理所得结论不一定正确,那么怎样推理所得的结论就一定正确呢?又怎样证明一个结论呢?
5、归纳：
演绎推理的定义：从____________出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
三段论中包含了3个命题，称为“大前提”，它提供了一个的原理；称为“小前提”，它指出了一个对象。这两个判断结合起来，揭示了的内在联系，从而得到第三个命题------结论。
二、学习交流与问题探讨
例2、已知 .
-3是自然数； 是无理数。
5、把下列演绎推理写成“三段论”的形式.
（1）函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线
（2）一切奇数都不能被2整除，（2 100 +1）是奇数，所以（2 100 +1）不能被2整除.
四、课后反思
例3、已知 均为正实数， ，求证：
三、练习检测与拓展延伸
1.给出下列表述：①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
上述表述正确的是哪些？___________________
2、下面说法正确的有______________
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
3、把下列推理恢复成完全的三段论:
4、指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
（1）整数是自然数，（2）无理数是无限小数，
-3是整数，
演绎推理导学案
章节与课题
第二章第2.1.2节演绎推理
课时安排
2课时主备人常丽雅Fra bibliotek审核人
梁龙云
使用人
使用日期或周次
第一周
本课时学习目标或学习任务
了解演绎推理的含义。能正确地运用演绎推理进行简单的推理．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．
本课时重点难点或学习建议
重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理。难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。