第二章波动光学

整个波形不发生空间推移，所以称为驻波
E ( z, t ) E0 ( z ) cos( t
0
)
当 cos(kz
0
)0 时
维纳光驻波实验
e

2 sin
镜面是驻波的波节、电 场矢量在界面有相位跃 变而磁感应强度矢量无 跃变的事实证明了光与 物质的相互作用中起主 要作用的是电场。
干涉场的强度变 化具有空间周期 性
又因为 所以
2 ( f x x f y y f z z) 0
fx
fy
cos 2 cos 1

cos 2 cos 1
f 2 x f 1x
f 2 y f1 y
cos 2 cos 1 fz f 2 z f1z
E0 cos[ 2 ( cos
E (r , t ) E0 cos(k r t 0 )
cos cos

x

y

t z ) 0 ] T
周期
dx

cos
,dy

cos
,dz

cos
空间频率？ 空间周期
1 cos fx dx
E( z, t ) E1 ( z, t ) E2 ( z, t )
0 0 k 2E0 cos z t cos k z t 2 2 2 2
其中 k k1 k 2
1 2
1 1 k (k1 k 2 ) (1 2 ) 2 2
源自文库
维纳光驻波实验既验证了光驻波的存在，也证实了在化 学反应中对物质起主要作用的是电场而不是磁场。
两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠加
E1 ( z, t ) E0 cos(k1 z 1t )
E2 ( z, t ) E0 cos(k 2 z 2t 0 )
任一时刻合振动为
当满足
(2m 1)
2 2
(m 0,1,2)
I m E10 E20 2E10 E20 (E10 E20 ) 2 光强取得最小值
等强度面方程
(cos 2 cos1 ) x (cos 2 cos 1 ) y (cos 2 cos 1 ) z 常数
球面波
柱面波
E (r , t ) E0 cos(k r t 0 ) E0 E (r , t ) cos(kr t 0 ) r E0 E (r , t ) cos(kr t 0 ) r
光的频率极高，难以观测瞬时值，通常 观察光场某处的平均能流密度（即光强)
(eikxsin 2 3e ikxsin )(e ikxsin 2 3eikxsin )
14 16cos(kx sin ) 6 cos(2kx sin )
两列同频率、同向振动、反向传播的平面波的叠加
两列同频率、同向振动、反向传播的平面波的复振幅分别为：
上式矢量形式表示为
f f 2 f1
2
f

sin

2
1 d f

2 sin

2
例（2.3.1）设k1k2均在xz平面内，两列 同频率平面波从xy平面法线异侧入射，入 射角分别为1和2，分析xy平面的干涉图 样 解：因为 1 1 1 2 2 2 z 0
I ( z, t ) A2 2I1[1 cos(k z t 0 )]
其中 I1 E0
2
合成波的强度随时间作差频振荡的现象称为拍。
相应的空间频率和空间周期分别为 空间差频现象所形成 的条纹称为莫阿条纹
| k | f | f 1 f 2 | 2 12 1 d f | 1 2 |
(cos 2 cos 1 ) z ] 20 10
光强仅随位置 （r）的变化而 变化，不同位置 光强分布不同
k[(cos 2 cos1 ) x (cos 2 cos 1 ) y
在某些特殊位置满足
2m
2 2
(m 0 ,1 ,2 )
光强取得最大值 I M E10 E20 2E10 E20 (E10 E20 ) 2
空间角频 率
1 cos fz dz
1 cos fy dy
k x 2 f x k y 2 f y k z 2 f z
波的时空周期性
例：真空中一列波长为， 振幅为E0的平面波，其 波矢方向在xz平面内， 与z轴成角，求波函数 的表达式及x,y,z方向的 空间频率和空间周期。
同频率波函数的线性运算可以直接用复振幅计算
光强的复振幅表示:
~ ~* I (r ) E (r ) E (r )
§2.3 波的叠加
波的叠加原理： 在两列或多列的交叠区域，波场中某点的振动等于各个 波单独存在时在该点所产生振动的矢量和
E(r, t )) E1 (r, t ) E2 (r, t )
设两列波频率相近
| |
| k | k
0 0 k E ( z, t ) 2 E0 cos z t cos k z t 2 2 2 2
低频调制 高频载波
0 k A 2E0 cos z t 2 2 2
0
2
) cos( t
0
2
)
坐标为z处的振动,振幅为：
E0 ( z ) 2 E10 cos(kz
0
2
)
2 0 1 kz (m ) 2 2
kz
0
m
最大值，波腹
最小值，波节
(m 0,1,2,)
2 2 0 0 E ( z, t ) E0 ( z ) cos( t ) 当 cos(kz ) 0 时 2 2
E1 ( z, t ) E10 cos(kz t )
E2 ( z, t ) E20 cos(kz t 0 )
令E10=E20则合成波为
E ( z, t ) E1 ( z, t ) E 2 ( z, t ) 2 E10 cos(kz
0 20 10 20
H 0
c
1
0 0
n r 0
电磁波是横波， 电场和磁场振动 方向相互垂直，
光的检测与光强
在光与物质的相互作用中通常是电场起主要作 用，因此通常把电场矢量称为光矢量
沿z方向平面波 E ( z, t ) E0 cos(kz t 0 )
三维平面波
复振幅的运算
波函数相加为例：
~ i t E1 (r , t ) E10 cos[1 (r ) t ] Re{E1 (r )e }
~ i t E2 (r , t ) E20 cos[ 2 (r ) t ] Re{E2 (r )e } E (r , t ) E1 (r , t ) E2 (r , t ) ~ ~ i t Re{[E1 (r ) E2 (r )]e } ~ ~ ~ 所以 E(r ) E1 (r ) E2 (r )

0
I (r )
2 E (r , t )
1 2 I (r ) E0 ( r ) 2
许多实际问题我们只关 心光强的相对值，因此 常把光强写为简化形式
2 I (r ) E0 (r )
§2.2 波的数学描述
三维平面波为例： E (r, t ) E0 cos(k x x k y y k z z t 0 )
2
2
2
可得xy平面的光强分布
I ( x, y) I1 I 2 2 I1 I 2 cos[k (sin 2 sin1 ) x 20 10 ]
干涉图样在x、y方向的空间频率分别为
fx
sin 2 sin 1

fy 0

空间周期为 d x sin sin 2 1
所以
E1 (r ) E10 exp[i(k1 r 10 )]
2 2 I (r ) E10 E20 2E10 E20 cos
I (r ) I1 I 2 2 I1 I 2 cos 其中 2 1 (k 2 k1 ) r 20 10
2 E0 cos x sin z cos ct
fx sin

, f y 0, f z
cos

dx

sin
, d y , d z

cos
波的复数描述与复振幅
e
i
cos i sin
第二章 波动光学通论
波动光学的基本概念、基本原理 波的时空周期性、波的数学描述
§2.1 波的概念与光的电磁 理论基础
光的波动模型——光波是一种电磁波
麦克斯韦方程组
E 0
光波中的磁场和 电场满足 麦克斯韦方程组
H E t E H t
cos Re e i

三维平面波
波函数
E (r , t ) E0 (r ) cos(k r t 0 )
复数形式 E(r , t ) Re{E0 (r ) exp[i(k r t 0 )]} E (r , t ) Re{E0 (r ) exp[i(k r 0 )]exp(i t )} 复波函数 E0 (r ) exp[i(k r 0 )]exp(i t ) ~ 复振幅 E(r ) E0 (r ) exp[ (k r 0 )] i ~ 复共轭 E* (r ) E (r ) exp[ (k r )] i 0 0
能够使叠加原理成立的媒质称为线性媒质。本 课程的内容仅局限在线性媒质，不满足叠加原 理的介质是非线性光学的内容 研究光的干涉、衍射和偏振等现象主要用到波的叠加原理
两列同频率、同向振动的平面波的叠加
设两列三维平面波频率相同，振动方向相同，其复振幅分别为：
~ E2 (r ) E20 exp[i(k2 r 20 )] 因为 E10 E20 E10 E20
光矢量的函数 又称波函数
能流密度—— 坡印亭矢量
S (r , t ) E(r , t ) H (r , t )
S (r , t )
2 E (r , t )
光强
1 I (r ) S (r , t ) S (r , t )dt
解： , , 2 2
2 E ( x, y, z; t ) E0 cos
x dz 0 2 4 6 z

IdxI


x cos 2 y cos 2 z cos ct
dy
例：(2.3.2)三列同频平面 波在原点的初相为零，振 幅比为1：2：3，传播方向 均在xz面内，求z=0平面上 光强的相对分布。
解：由于研究相对分布，则
~ ~ ~ ikxsin E2 2 E3 3e ikxsin E1 e ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ I E E (E1 E2 E3 )(E1 E2 E3 )