离散数学课件第五章 代数结构 第8节 环与域
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离散数学环与域详解
例 n阶整数矩阵所成集合 (Z)n ,关于矩阵的加法 与乘法作成一个环． n阶有理数矩阵集合(Q)n，n阶实数矩阵集合 (R)n, 在矩阵加法与乘法运算下也均构成环。 例 x的一切整（有理、实）系数多项式所成集 合Z[x]（Q[x]，R[x]）在多项式加法与乘法运 算下构成环．
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例 设i是虚数单位，即i 2 ＝－1，令 Z（i）=｛a + bi｜a，b∈Z｝ 则 < Z（i）,+, > 是一个环。 通常称作高斯环．
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§6.1
定义及基本性质
(2)
6.1.2 环的性质 假设 <A,+,*> 是一个环。 （1）因为<A,+>是Abel群，所以+满足
结合性、交换性、消去律，<A,+>中有
单位元。
2019/1/15
§6.1
定义及基本性质
(3)
6.1.2 环的性质 约定：an = a+a+…+a = na；
对a,bA, (a+b)n = na+nb;
整环、除环和域
6.2.1 零因子
当一个环中不含有零因子时，称它为无零因子环。即对 任意的 a,bA，若 a * b = ，则必有 a = 或 b = 。 定理1： 设 <A,+,*> 是无零因子的环，则 * 在 A 上消去律成 立。a*c=b*c 或c*a=c*b 得 a=b ;反之亦然。
2019/1/15
S={a，b，c}， A ，BP(s)
P(s)={，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}},
（1）封闭，{a}+{a,b}={b} , … 可结合， ({a}+{a,b})+{c}={a}+({a,b}+{c}) , … 可交换, {a}+{a,b}={a,b}+{a} , … 单位元， 逆元，{a}+{a}= ,{a}自身为逆元, … < P(s), +>是abel群
离散数学-第8讲-环和域
例2 (a) <I, +,·>是整环。因为·可交换, 1是乘法义： <R, +, ·>是环, (1) 若R上运算·可交换的, 称〈R, +, ·〉是可交换环; (2) 若R关于运算·有么元，称〈R, +, ·〉是含么环; (3) 如果<R, +, ·>是可交换的，含幺而无零因子环，则称它为整环。
例如 <Q, +, ·>、<R, +, ·>都是域； <I, +, ·> 不是域(因为<I- {0},·>不是阿贝尔群)。
三、域
域的两个定义的等价性： 由整环定义容易得出，定义I 定义II 下面证明定义II 定义I： (1) F-{0}≠Ø知|F-{0}|>0,即|F|>1； (2) <F-{0},·>是阿贝尔群知<F-{0},·>是群； (3) 证明<F, +, ·>是整环。
因此只要说明∀x∈A,x-1存在即可。因为A-{0}有有限个元素，设|A-{0 }|=n，所以x的阶k<=n, xk=e, xk-1·x=x·xk-1=e, 所以 x的逆元x-1= xk-1。
因此<A-{0}, ·>是阿贝尔群，故<A,+, ·>是一个域。
三、域
例3：<Nk,+k,×k>是一个域, 当且仅当k是质数。 证明：必要性(思路：已知<Nk,+k,×k>是一个域，证明k是质数。我们证 明其逆反命题：若k不是质数，则<Nk,+k,×k>不是一个域)。
两式相减可得，a(b-c) = 7(i-j)，那么7| a(b-c)，但由于0<a<7, 0<b-c<7，所 以7不可能整除a(b-c)，矛盾，所以b=c。
例如 <Q, +, ·>、<R, +, ·>都是域； <I, +, ·> 不是域(因为<I- {0},·>不是阿贝尔群)。
三、域
域的两个定义的等价性： 由整环定义容易得出，定义I 定义II 下面证明定义II 定义I： (1) F-{0}≠Ø知|F-{0}|>0,即|F|>1； (2) <F-{0},·>是阿贝尔群知<F-{0},·>是群； (3) 证明<F, +, ·>是整环。
因此只要说明∀x∈A,x-1存在即可。因为A-{0}有有限个元素，设|A-{0 }|=n，所以x的阶k<=n, xk=e, xk-1·x=x·xk-1=e, 所以 x的逆元x-1= xk-1。
因此<A-{0}, ·>是阿贝尔群，故<A,+, ·>是一个域。
三、域
例3：<Nk,+k,×k>是一个域, 当且仅当k是质数。 证明：必要性(思路：已知<Nk,+k,×k>是一个域，证明k是质数。我们证 明其逆反命题：若k不是质数，则<Nk,+k,×k>不是一个域)。
两式相减可得，a(b-c) = 7(i-j)，那么7| a(b-c)，但由于0<a<7, 0<b-c<7，所 以7不可能整除a(b-c)，矛盾，所以b=c。
离散数学代数系统-PPT
如果存在 f : AB、 使 x, yA, f (x y) = f (x) f (y)
则称 f 就是V1到V2得一个同态映射。
如:< R+, ×> ~ < R,+> (只要定义f : R+R, f (ab) = lgab = lga+lgb = f (a)+f (b))
同态象:设V1
=
<
A,
>
～
f V2
=
<
B,
>,
则
称< f (A), > 就是V1在 f 下得同态
象、 同态的性质：设V1 = < A, > ～f V2 = < B, >,
(1) 如果f : AB就是满射,则说f为V1到V2满同态 得 (2) 如果f就是单射, 则说f 为V1到V2单同态 得 (3) 如果f就是双射, 则说f为V1与V2同构, 记作V1 V2
(z1 z1)R(z2 z2 )
三、同余关系得判定:<A, >与< B, >就是两个 代数系统。 f:AB就是同态映射。 利用f 规定A上得二元关系R:aRb当且 仅当 f (a)=f (b),则R就是同余关系。
证明:(1) R就是等价关系
(2) x, y, u, vA,如果xRy, uRv,则 (xu)R(yv)。 这就是因为:xRy即f (x)=f (y); uRv即f (u)=f (v)、 由同态映射得定义知: f (xu) = f (x) f (u) f (yv) = f (y) f (v) 所以 f (xu) = f (yv), 即(xu)R(yv)
§6、4 群
一、几个基本概念
半群:代数系统V = < A, >中, 就是非空集合 A上得二元运算, 且在A中就是可结合 得,即x, y, zA (xy) z = x (yz)
则称 f 就是V1到V2得一个同态映射。
如:< R+, ×> ~ < R,+> (只要定义f : R+R, f (ab) = lgab = lga+lgb = f (a)+f (b))
同态象:设V1
=
<
A,
>
～
f V2
=
<
B,
>,
则
称< f (A), > 就是V1在 f 下得同态
象、 同态的性质：设V1 = < A, > ～f V2 = < B, >,
(1) 如果f : AB就是满射,则说f为V1到V2满同态 得 (2) 如果f就是单射, 则说f 为V1到V2单同态 得 (3) 如果f就是双射, 则说f为V1与V2同构, 记作V1 V2
(z1 z1)R(z2 z2 )
三、同余关系得判定:<A, >与< B, >就是两个 代数系统。 f:AB就是同态映射。 利用f 规定A上得二元关系R:aRb当且 仅当 f (a)=f (b),则R就是同余关系。
证明:(1) R就是等价关系
(2) x, y, u, vA,如果xRy, uRv,则 (xu)R(yv)。 这就是因为:xRy即f (x)=f (y); uRv即f (u)=f (v)、 由同态映射得定义知: f (xu) = f (x) f (u) f (yv) = f (y) f (v) 所以 f (xu) = f (yv), 即(xu)R(yv)
§6、4 群
一、几个基本概念
半群:代数系统V = < A, >中, 就是非空集合 A上得二元运算, 且在A中就是可结合 得,即x, y, zA (xy) z = x (yz)
离散数学讲解第五章PPT课件
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又例如 (a2)3 a6 因为 (a2)3(a (2)1)3(a2)1(a2)1(a2)1
(aa)1(aa)1(aa)1
根据结合(a律 a )(a 1a1)(a1a1)(aa)e 所以 (a a)1 a1a1 因此 (a2) 3 (a1a1)(a1a1)(a1a1)
a 1a 1 a1a1a1a1 (a 1)6 a 6
2021/4/8
7
定理5-2：设h是从代数系统V1＝ <S;*>到V2＝ <S;>的 满同态，其中运算*和都是二元运算，则 （1）若V1是半群，则V2也是半群； （2）若V1是独异点，则V2也是独异点。
2021/4/8
8
四、有限独异点的幂等元 设<S;*>是生成元为g的有限循环独异点，考虑无限序列： e，g，g2，g3，.... ，gn-1，gn，gn+1，......
证明：对任意的a∈S，令Sa＝{ a0,a1,a2,...,an,...} 因为S有限，而SaS，所以Sa也有限。 可以验证<S; * >是一具有生成元a的有限循环独异点。 因此，至少有一幂等元akl，这里的k和l如前定义。 记j＝kl，即aj是幂等元。 注：这里j≥1，有可能aj=e
2021/4/8
（1）令FA={f|f:AA},则<FA;>是一个群。 (N)
（2）令EA = {f|f:AA是双射}, 则<EA;>是一个群。 (Y )
（3）EA 定义同上，<EA;>是一个交换群。 (N)
（4）EA 定义同上，<EA;>是一个循环群。 (N )
2021/4/8
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5.3 群的性质
一、关于相约性 定理5-6 设<G;*>是一个群，则对任意的a,b G， （1）存在唯一的元素xG，使a*x=b； （2）存在唯一的元素yG，使y*a=b。
离散数学第五版第五章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
称+(G)，+(G)，－(G)，－(G)分别为G的最大出度、 最小出度、最大入度和最小入度。
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5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
20
5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
e2 3
1 e1
e3
2
3
1 e1
2
e4
(4)
(5)
(6)
21
5.1 无向图及有向图
23
5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
24
5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
5
2
3
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
25
第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
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5.1 无向图及有向图
五、握手定理(定理5.1-5.2)
设G=<V,E>为任意无向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
n
d ( i ) = 2 m
i =1
设D=<V,E>为任意有向图，V={1,2,……,n}，|E|=m，则
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5.1 无向图及有向图
例5：下列图中那些图具有子图、真子图、生成子图的
关系？
e4 2
1 e5
e1 3
e3 4 e2
(1)
2 e4
1
e5
(2)
e4 1 2
e1 3
e3 4
(3)
1 e1
e3
2
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1 e1
e3
2
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1 e1
2
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(4)
(5)
(6)
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5.1 无向图及有向图
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5.1 无向图及有向图
例3： (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图。
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5.1 无向图及有向图
例4：下列图中那些图互为同构？
e a
b
d
c
1
4
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2
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(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
（6）
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第五章 图的基本概念 5.1 无向图及有向图 5.2 通路、回路、图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径及关键路径
十一、补图的定义（定义5.9）
离散数学PPT教学环与域
1.质数阶的群没有非平凡子群,(<{e},*>,<G,*>称为<G,*>的 平凡子群)
2.有限群<G,*>中的任何元素a的阶可整除|G|
证:若aG的阶是r,则{e,a a2, a3 , …,ar-1}是G的子群
3.质数阶的群,一定是循环群
证:设<G,*>为质数阶群
aG,ae
由推论2知:
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a的阶数可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的阶数等于群的 阶数, {a,a2,,ar}=G
例2.1)<I,+,>是整环
2)<N4,+4,4>不是整环
下一页
域
二.域
1.域的定义
若代数系统<F,+,>具有 1)|F|>1，
2)<F,+>,<F-{0},>均是阿贝尔群，3)乘法对加法可 分配，则称它是域
2.域的举例
1)I为整数集，<I,+,>不是域，
2)<Q,+,>是一个域,其中Q为有理数集合
证:e e a b c
e eabc
e eabc
e eabc
a abce
a aecb
b ceab
b bcea
c ceab
c cbae
生成元为a
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由拉格朗日定理知：a，b，c的阶只能为2
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四.同态与同余关系
同1.同态余关与系 同余关系
定义:<A,>是一个代数系统,R是A上的等价关系,若<a,b>R, <c,d>R<ac , bd>R，称R是A上的同余关系，此同余关系将A 划分的等价类称为同余类
2.有限群<G,*>中的任何元素a的阶可整除|G|
证:若aG的阶是r,则{e,a a2, a3 , …,ar-1}是G的子群
3.质数阶的群,一定是循环群
证:设<G,*>为质数阶群
aG,ae
由推论2知:
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a的阶数可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的阶数等于群的 阶数, {a,a2,,ar}=G
例2.1)<I,+,>是整环
2)<N4,+4,4>不是整环
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域
二.域
1.域的定义
若代数系统<F,+,>具有 1)|F|>1，
2)<F,+>,<F-{0},>均是阿贝尔群，3)乘法对加法可 分配，则称它是域
2.域的举例
1)I为整数集，<I,+,>不是域，
2)<Q,+,>是一个域,其中Q为有理数集合
证:e e a b c
e eabc
e eabc
e eabc
a abce
a aecb
b ceab
b bcea
c ceab
c cbae
生成元为a
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由拉格朗日定理知：a，b，c的阶只能为2
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四.同态与同余关系
同1.同态余关与系 同余关系
定义:<A,>是一个代数系统,R是A上的等价关系,若<a,b>R, <c,d>R<ac , bd>R，称R是A上的同余关系，此同余关系将A 划分的等价类称为同余类
离散数学_第5章_代数系统(学生用)
2013-7-31
离散数学
22
吸收律
定义5-2.5：设<A, *,△>，若x,y,zA, 有x*(x△z)=x称运算*满足吸收律； 有x△(x*y)=x称运算△满足吸收律。 【例】 N为自然数集, x,yN，x*y=max{x,y}，x△y=min{x,y}， 试证：*，△满足吸收律。 证明： x,yN，x*(x△y)=max{x,min{x,y}}=x ∴ *满足吸收律 x,yN，x△(x*y)=min{x,max{x,y}}=x ∴ △满足吸收律。
离散数学
24
【例】设ρ(s)是集合S的幂集，在ρ(s)上定义的两个 二元运算，集合的“并”运算∪和集合的“交” 运算∩，验证∪,∩满足幂等律。
证明：对于任意的A∈ρ(s)，有A∪A=A和A∩A=A，
因此运算∪和∩都满足等幂律。 【例】普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法 的幂等元（0+0=0），0和1是乘法的幂等元（ 0*0=0且1*1=1）。
2013-7-31
离散数学
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例：以下哪些运算是封闭的？
(1) 自然数集合N上的减法运算。 不封闭
(2) 整数集合I上的除法运算。 不封闭
(3) 设A={1,2,3,…,10},二元运算x*y=质数p的个数，
使得x ≤p≤y。 不封闭，当x=y=4时，x与y之间的质数个数为0， 而0不属于A集合。
2013-7-31 离散数学 26
特殊元素
在某些代数系统中存在着一些特定的元素，它们 对于系统的一元或二元运算起着重要的作用。 例：<Z,+>中的+运算有单位元0。 例：矩阵乘法运算中的单位矩阵。 将这些特殊元素作为代数系统的性质进行讨论， 这时称这些元素为该代数系统的特异元素或代数 常数。
离散数学环和域
定理2：环<R, +, ·>是无零因子 <R, +, ·>满足可约律。 证明：(1) 必要性：∀a, b, c∈R, 且a≠0，若a·b=a·c, 则有
a·b-a·c=0, a·b-a·c=a·b+a·(-c)= a·(b-c)=0。 由于无零因子，则b=c , 可见<R, +, ·>满足可约律。 (2) 充分性：∀b, c∈R, b·c=0, 证明b=0或c=0。
又×k可交换, 所以,乘法在加法上可分配。
一、环
定理1：设<R, +, ·>为环， 0是加法么元,那么对任意a,b,cR （1） a·0 = 0·a = 0 (加法么元必为乘法零元) （2） (-a)·b = a·(-b) = -(a·b) （3） (-a)·(-b) = a·b （4） a·(b-c) = a·b-a·c （5） (b-c)·a=b·a-c·a
例2 (b) <N6,+6,×6>不是整环,因为3×62=0, 3和2是零因子。但<N7,+7,×7> 是整环，N7= {0,1,2,3,4,5,6}，根据定理2，只需证明a,源自b,cN7,
a
7
b a
a 0
7
c
b
c
反证：假如b≠c,不妨设b>c,存在整数i, j使得 ab=7i+r， ac=7j+r (0<=r<=6, i>j)
三、域
域一定是整环，但整环不一定是域
例如<I,+,·>是整环但不是域，因<I- {0},·>不是阿贝尔群。
两式相减可得，a(b-c) = 7(i-j)，那么7| a(b-c)，但由于0<a<7, 0<b-c<7，所 以7不可能整除a(b-c)，矛盾，所以b=c。
a·b-a·c=0, a·b-a·c=a·b+a·(-c)= a·(b-c)=0。 由于无零因子，则b=c , 可见<R, +, ·>满足可约律。 (2) 充分性：∀b, c∈R, b·c=0, 证明b=0或c=0。
又×k可交换, 所以,乘法在加法上可分配。
一、环
定理1：设<R, +, ·>为环， 0是加法么元,那么对任意a,b,cR （1） a·0 = 0·a = 0 (加法么元必为乘法零元) （2） (-a)·b = a·(-b) = -(a·b) （3） (-a)·(-b) = a·b （4） a·(b-c) = a·b-a·c （5） (b-c)·a=b·a-c·a
例2 (b) <N6,+6,×6>不是整环,因为3×62=0, 3和2是零因子。但<N7,+7,×7> 是整环，N7= {0,1,2,3,4,5,6}，根据定理2，只需证明a,源自b,cN7,
a
7
b a
a 0
7
c
b
c
反证：假如b≠c,不妨设b>c,存在整数i, j使得 ab=7i+r， ac=7j+r (0<=r<=6, i>j)
三、域
域一定是整环，但整环不一定是域
例如<I,+,·>是整环但不是域，因<I- {0},·>不是阿贝尔群。
两式相减可得，a(b-c) = 7(i-j)，那么7| a(b-c)，但由于0<a<7, 0<b-c<7，所 以7不可能整除a(b-c)，矛盾，所以b=c。
《离散数学》第5章 代数系统简介
x ( x) 0, ( x) x 0 .
在 M n (R) 上，对于矩阵乘法只有可逆矩阵 M M n (R) 存在逆元
M 1 ， M M 1 E 和 M 1 M E 成立， 使得 其中 E 为 n 阶 单位矩阵.
9、设 为 S 上的二元运算，如果对任意的 x, y, z S 满足以下条件 （1）若 x y x z 且 x 不是零元，则 y z ， （2）若 y x z x 且 x 不是零元，则 y z ， 就称运算 满足消去律
例如: 在幂集 P ( S ) 上的 和 是满足吸收律的.
若 算“”满足左分配律； b c a b a c a ， 则运算“ ”对运算“ ”满足右分配律.若左右分配律 均满足， 称运算“ ”对运算“ ”满足分配律. 则
5、 设 是 A 上的二元运算，若存在 a A ，有
1、若 a b b a ，则称运算“ ”在A上是可换的 ，或 者说运算“ ”满足交换律.
例如：在实数集R上，通常的加法和乘法都满足交换律，但减法 和除法不满足交换律.因为2和4都是实数.因为2-4≠4-2.在幂集 P(S)上 , , 都满足交换律，但相对补不满足交换律.
2、若a b c a b c，则称运算“*”在A上是可结合 的.或称“*”满足结合律.
这些相当于前缀表示法，但对二元运算用得较多的还是 a1 a2 b .我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元. 和二元运算．
如果集合Ｓ是有穷集，Ｓ上的一元和二元运算也可以用 运算表给出.表5―1和表5－2是一元和二元运算表的一 般形式.
表5－1
表5－1
例2、(2) 设 S 0,1, 2,3, 4 ，定义 S 上的两个 二元运算如下：
在 M n (R) 上，对于矩阵乘法只有可逆矩阵 M M n (R) 存在逆元
M 1 ， M M 1 E 和 M 1 M E 成立， 使得 其中 E 为 n 阶 单位矩阵.
9、设 为 S 上的二元运算，如果对任意的 x, y, z S 满足以下条件 （1）若 x y x z 且 x 不是零元，则 y z ， （2）若 y x z x 且 x 不是零元，则 y z ， 就称运算 满足消去律
例如: 在幂集 P ( S ) 上的 和 是满足吸收律的.
若 算“”满足左分配律； b c a b a c a ， 则运算“ ”对运算“ ”满足右分配律.若左右分配律 均满足， 称运算“ ”对运算“ ”满足分配律. 则
5、 设 是 A 上的二元运算，若存在 a A ，有
1、若 a b b a ，则称运算“ ”在A上是可换的 ，或 者说运算“ ”满足交换律.
例如：在实数集R上，通常的加法和乘法都满足交换律，但减法 和除法不满足交换律.因为2和4都是实数.因为2-4≠4-2.在幂集 P(S)上 , , 都满足交换律，但相对补不满足交换律.
2、若a b c a b c，则称运算“*”在A上是可结合 的.或称“*”满足结合律.
这些相当于前缀表示法，但对二元运算用得较多的还是 a1 a2 b .我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元. 和二元运算．
如果集合Ｓ是有穷集，Ｓ上的一元和二元运算也可以用 运算表给出.表5―1和表5－2是一元和二元运算表的一 般形式.
表5－1
表5－1
例2、(2) 设 S 0,1, 2,3, 4 ，定义 S 上的两个 二元运算如下：
离散数学代数结构部分演示精品PPT课件
例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba·b，问运算*是否可交换。
解：因为 a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
7
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)，
验证运算*和★满足吸收律。
13
解：对于任意a，b∈N a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a
a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a 因此，*和★满足吸收律。
14
5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算，
23
2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算，
24
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
25
➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
15
➢在自然数集N上加法的幺元是0，乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。
16
17
➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
18
➢定理5.2 设*是S上的二元运算，
如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ，
2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
解：因为 a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
7
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)，
验证运算*和★满足吸收律。
13
解：对于任意a，b∈N a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a
a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a 因此，*和★满足吸收律。
14
5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算，
23
2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算，
24
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
25
➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
15
➢在自然数集N上加法的幺元是0，乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。
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➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
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➢定理5.2 设*是S上的二元运算，
如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ，
2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
《离散数学》代数系统--代数系统的基本概念 ppt课件
解：(1) 封闭、可交换、等幂、幺元是b、无零元
b-1=b a-1=c c-1=a
(2) 封闭、不可交换、无等幂性、幺元是a、
无零元，d是左零元、
a-1=a b-1=b c-1=b b-1=c
23
P184
作业
(1)(2)
24
16
定理2：*是A上的二元运算，且在A中有关于*的左零元l和右零元 r，则l = r = ，且A中零元是唯一的。
证明：(1) r = l * r = l = (2) 设’也是A中关于*的零元，则 * ’= ’ 又∵ 是A中关于*的零元， ∴ * ’= ∴ = ’
定理3：设<A,*>是一个代数系统，且 | A |>1，若<A,*>中存在幺元e 和零元，则e ≠ 。 证明： 假设 = e ，则 对于A中任意元素，有x=e*x= *x= =e 即A中所有元素都是 ，也都是e，所有元素都相同， ∴ | A |=1 与已知矛盾，假设错 ∴e≠
例：代数系统<I,+>满足消去律。
11
代数系统的组成
N元运算法则
如＋、－
×………
特异元素
如×中的1和0
代数载体
(集合：如实数集、整数集)
代数系统
12
4. 代数常元
幺元
定义3：设*是集合A上的二元运算 若elA，对于xA ，都有el*x=x，则称el为A中 关于运算*的左幺元； 若erA，对于xA ，都有x*er=x，则称er为A中 关于运算*的右幺元； 若eA，对于xA ，都有e*x=x*e=x，则称e为A 中关于运算*的幺元。
15
零元
定义4：设*是集合A上的二元运算 若lA，对于xA ，都有l*x=l ，则称l为A中关于运 算*的左零元； 若rA，对于xA ，都有x*r=r ，则称r为A中关于 运算*的右零元； 若A，对于xA ，都有*x=x*=，则称为A中关于 运算*的零元。
离散数学 群与环89页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
离散数学 群与环
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
第08章 环和域
于是，对于任意的a,b∈S，有-b∈S，
从而有 a+(-b) = a-b∈S。
又因 <S,· >是半群，
故 a· b∈S。
8.1 环和子环 第 8 章 环 和 域
充分性: 对于任意的a,b∈S，
因a-b∈S成立，故<S,+>是一个群。
因a· b∈S，故<S,· >是半群。
R中加法的交换律及乘法对加法的分配律在S中都
na a a a
n个
和
a n a a a a
n个
并且约定，在无扩号时，运算顺序是指数优先于 乘法，乘法优先于加法。
8.1 环和子环 第 8 章 环 和 域
【例8-1】整数集I，有理数集Q，实数集R和复数 集C，对于数的加法运算和乘法运算 都构成一个环，即
显然，A*B≠B*A，所以*运算是不可交换的，
因此，<M2(R),+,*>不是整环。
8.1 环和子环 第 8 章 环 和 域
定义8-7 设U=<R,+,· >是一个环，S是R的一个非空 子集。若V=<S,+,· >也构成一个环，则称V 是U的子环，同时称U是V的扩环。 特别地，当S=R或S={0}时，V也都是U的子环，这 两个子环统称为平凡子环。
同理可证(-a)· = -(a· b b)
8.1 环和子环 第 8 章 环 和 域
证明(3) 因为 a· (-b)+(-a)· = [a+(-a)]· (-b) (-b)
= 0· (-b)
=0
和
a· (-b)+a· = a· b [(-b)+b]
= a· 0
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称为“乘法”。 例如，具有加法和乘法这两个二元运算的实数系统
<R，+，>和整数系统<I，+，>都是我们很熟悉的代数系统。
对于任意的a,b,cR(或I)，都有a (b+c)=(a b)+(a c) 以及 (b+c) a=(b a)+(c a)，这种联系就是乘法运算对于加法运 算是可分配的。
作（R）n，那么（R）n关于矩阵的加法和乘法构
成一个环。
例题1 设<K，*>是 Klein四元群，其中K={e,a,b,c}，*的 运算见表5-7.1。
如果再定义K上的二元运算*如表5-9.1所示。
则<K，*，· >是一个环。
证明 先证<K，*>是一个半群。 由表5-9.1可知，对于任意的xK都有x· x=e；a和c e=e· 都是关于运算· 的右幺元；对于任意的xK都有x· b=e。 对于任意的x,y,zK，可以证明必有(x· z=x· z)， y)· (y· 这是因为： 如果z=e或z=b,那么，(x· z=e=x· z) y)· (y· 如果z=a或z=c,那么，(x· z=x· (y· y)· y=x· z) 其次证明· 关于*是可分配的。 先证等式(y*z)· x=(y· x)*(z· x) 如果x=e或x=b,那么，(y*z)· x=e=e*e=(y· x)*(z· x) 如果x=a或x=c,那么，(y*z)· x=(y· x)*(z· x) 再证等式x· (y*z)=(x· y)*(x· z) 如果y=z则y*z=e,所以 x· (y*z)=x· e=e (x· y)*(x· z)=(x· y)*(x· y)=e
其中是加法幺元,-a表示a的加法逆元,并将a+(-b)记 为a-b。
证明思路： （1）先证= a 因为 a=(+)a =a+a 根据消去律 = a 再证 = a （略） （2）先证a(-b)=-(ab) 因为 ab+ a(-b)=a[b+(-b)]=a= 所以 a(-b)是ab的加法逆元, 即 a(-b)=-(ab) 再证 (-a)b=-(ab) （略）
运算，记为“+”，将称为乘运算，记为“”。
根据定义可以知，整数集合、有理数集合、偶
数集合、复数集合以及定义在这些集合上的普通加
法和乘法运算都是可构成环的例子。
例1 系数属于实数的所有x的多项式所组成的集合 记作R[x]，那么R[x]关于多项式的加法和乘法构成 一个环。 例2 元素属于实数的所有n阶矩阵所组成的集合记
a k (b k c) a k [( b c )(mod k )] [a (b c)(mod k )] (a b)(mod k ) k [( a c)(mod k )] (a k b) k (a k c )
又×k可交换, 所以乘法在加法上可分配。
所以，在代数系统<K，*，· >中运算· 对于运算
*是可分配的。因此，是<K，*，· >一个环。
例 (a) 〈I, +, ·〉是个环, 因为〈I, +〉是加法群, 0是么元, 〈I, ·〉
是半群, 乘法在加法上可分配。 (b) 〈Nk, +k, ×k〉是个环, 这里Nk={0, 1, …, k-1〉, k＞0, +k和 ×k分别是模k加法和模k乘法。 因为〈Nk, +k〉是阿贝尔群, 0是么 元, 〈Nk, ×k〉是半群, 对任意元素a, b, c∈Nk, 有
(c) 〈Mn, +, ·〉是个环, 这里Mn是I上n×n方阵集合, +是矩阵 加法, ·是矩阵乘法, 因为〈Mn, +〉是阿贝尔群, 零阵是么元, 〈Mn, ·〉是半群, 矩阵乘法对加法可分配。 (d) 〈R(x), +, ·〉是个环, 这里R(x)是所有实系数的x的多项式
集合, +和·分别是多项式加法和乘法。
2. 环的性质
定理5-9.1 设<A, +, >为环，那么对任意 (加法么元必为乘法零元)
a,b,cR
（1） a=a= （3）(-a)(-b)= ab （4） a (b-c)= (a b) - (a c) （2） a(-b)=(-a)b=-(ab)
（5） (b-c) a = (b a) - (c a)
如果y与z中有一个等于e，则等式 x· (y*z)=(x· y)*(x· z)成立。
如果y，z均不等于e,且yz，那么有以下三种情况：
(1)x· (a*b)=x且(x· a)*(x· b)=x*e=x (2)x· (a*c)=x· b=e且(x· a)*(x· c)=x*x=e (3)x· (b*c)=x· a=x且(x· b)*(x· c)=e*x=x
（3）因为
a(-b)+ (-a)(-b) =[a+(-a)](-b)=(-b)=
和
a(-b)+ (ab) = a[(-b)+b] = a = 所以 (-a)(-b) = (ab) （4）a(b-c)=a[b+(-c)] = ab + a (- c)
= ab+(-ac) = ab-ac
（5） (b-c)a=[b+(- c)]a= ba+ (- c ) a =ba+ (-ca) =ba-ca
ห้องสมุดไป่ตู้5-9 环与域
我们研究了具有一个二元运算的代数系统——半群、独 异点、群。下面讨论具有两个二元运算的代数系统。 对于给定的两个代数系统<A, ★>和<A，>，容易将它 们组合成一个具有两个二元运算的代数系统<A, ★，> 。我 们感兴趣于两个二元运算★和之间有联系的代数系统，通
常，我们把第一个二元运算★称为“加法”，把第二个运算
一、环 1. 环的定义 定义5-9.1 设<A, ★, >是一个代数系统，如果满足 （1） <A, ★ >是阿贝尔群（或加群）． （2） <A, >是半群．
（3）乘运算对加运算★可分配，即对任意元素
a,b,c A ， a(b★c)= (a b) ★ (a c) (b★c)a = (b a) ★ (c a) 称代数结构<A, ★, >为环（ring）。一般将★称为加
<R，+，>和整数系统<I，+，>都是我们很熟悉的代数系统。
对于任意的a,b,cR(或I)，都有a (b+c)=(a b)+(a c) 以及 (b+c) a=(b a)+(c a)，这种联系就是乘法运算对于加法运 算是可分配的。
作（R）n，那么（R）n关于矩阵的加法和乘法构
成一个环。
例题1 设<K，*>是 Klein四元群，其中K={e,a,b,c}，*的 运算见表5-7.1。
如果再定义K上的二元运算*如表5-9.1所示。
则<K，*，· >是一个环。
证明 先证<K，*>是一个半群。 由表5-9.1可知，对于任意的xK都有x· x=e；a和c e=e· 都是关于运算· 的右幺元；对于任意的xK都有x· b=e。 对于任意的x,y,zK，可以证明必有(x· z=x· z)， y)· (y· 这是因为： 如果z=e或z=b,那么，(x· z=e=x· z) y)· (y· 如果z=a或z=c,那么，(x· z=x· (y· y)· y=x· z) 其次证明· 关于*是可分配的。 先证等式(y*z)· x=(y· x)*(z· x) 如果x=e或x=b,那么，(y*z)· x=e=e*e=(y· x)*(z· x) 如果x=a或x=c,那么，(y*z)· x=(y· x)*(z· x) 再证等式x· (y*z)=(x· y)*(x· z) 如果y=z则y*z=e,所以 x· (y*z)=x· e=e (x· y)*(x· z)=(x· y)*(x· y)=e
其中是加法幺元,-a表示a的加法逆元,并将a+(-b)记 为a-b。
证明思路： （1）先证= a 因为 a=(+)a =a+a 根据消去律 = a 再证 = a （略） （2）先证a(-b)=-(ab) 因为 ab+ a(-b)=a[b+(-b)]=a= 所以 a(-b)是ab的加法逆元, 即 a(-b)=-(ab) 再证 (-a)b=-(ab) （略）
运算，记为“+”，将称为乘运算，记为“”。
根据定义可以知，整数集合、有理数集合、偶
数集合、复数集合以及定义在这些集合上的普通加
法和乘法运算都是可构成环的例子。
例1 系数属于实数的所有x的多项式所组成的集合 记作R[x]，那么R[x]关于多项式的加法和乘法构成 一个环。 例2 元素属于实数的所有n阶矩阵所组成的集合记
a k (b k c) a k [( b c )(mod k )] [a (b c)(mod k )] (a b)(mod k ) k [( a c)(mod k )] (a k b) k (a k c )
又×k可交换, 所以乘法在加法上可分配。
所以，在代数系统<K，*，· >中运算· 对于运算
*是可分配的。因此，是<K，*，· >一个环。
例 (a) 〈I, +, ·〉是个环, 因为〈I, +〉是加法群, 0是么元, 〈I, ·〉
是半群, 乘法在加法上可分配。 (b) 〈Nk, +k, ×k〉是个环, 这里Nk={0, 1, …, k-1〉, k＞0, +k和 ×k分别是模k加法和模k乘法。 因为〈Nk, +k〉是阿贝尔群, 0是么 元, 〈Nk, ×k〉是半群, 对任意元素a, b, c∈Nk, 有
(c) 〈Mn, +, ·〉是个环, 这里Mn是I上n×n方阵集合, +是矩阵 加法, ·是矩阵乘法, 因为〈Mn, +〉是阿贝尔群, 零阵是么元, 〈Mn, ·〉是半群, 矩阵乘法对加法可分配。 (d) 〈R(x), +, ·〉是个环, 这里R(x)是所有实系数的x的多项式
集合, +和·分别是多项式加法和乘法。
2. 环的性质
定理5-9.1 设<A, +, >为环，那么对任意 (加法么元必为乘法零元)
a,b,cR
（1） a=a= （3）(-a)(-b)= ab （4） a (b-c)= (a b) - (a c) （2） a(-b)=(-a)b=-(ab)
（5） (b-c) a = (b a) - (c a)
如果y与z中有一个等于e，则等式 x· (y*z)=(x· y)*(x· z)成立。
如果y，z均不等于e,且yz，那么有以下三种情况：
(1)x· (a*b)=x且(x· a)*(x· b)=x*e=x (2)x· (a*c)=x· b=e且(x· a)*(x· c)=x*x=e (3)x· (b*c)=x· a=x且(x· b)*(x· c)=e*x=x
（3）因为
a(-b)+ (-a)(-b) =[a+(-a)](-b)=(-b)=
和
a(-b)+ (ab) = a[(-b)+b] = a = 所以 (-a)(-b) = (ab) （4）a(b-c)=a[b+(-c)] = ab + a (- c)
= ab+(-ac) = ab-ac
（5） (b-c)a=[b+(- c)]a= ba+ (- c ) a =ba+ (-ca) =ba-ca
ห้องสมุดไป่ตู้5-9 环与域
我们研究了具有一个二元运算的代数系统——半群、独 异点、群。下面讨论具有两个二元运算的代数系统。 对于给定的两个代数系统<A, ★>和<A，>，容易将它 们组合成一个具有两个二元运算的代数系统<A, ★，> 。我 们感兴趣于两个二元运算★和之间有联系的代数系统，通
常，我们把第一个二元运算★称为“加法”，把第二个运算
一、环 1. 环的定义 定义5-9.1 设<A, ★, >是一个代数系统，如果满足 （1） <A, ★ >是阿贝尔群（或加群）． （2） <A, >是半群．
（3）乘运算对加运算★可分配，即对任意元素
a,b,c A ， a(b★c)= (a b) ★ (a c) (b★c)a = (b a) ★ (c a) 称代数结构<A, ★, >为环（ring）。一般将★称为加