新课标人教B版教案必修四：单位圆与三角函数线

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高中数学人教B版必修四学案：1.2.2 单位圆与三角函数线

1.2.2 单位圆与三角函数线[学习目标] 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．[知识链接]1．什么叫做单位圆？答以坐标原点为圆心，以一个单位长度为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米)．2．带有方向的线段叫有向线段．有向线段的大小称为它的数量．在坐标系中，规定：有向线段的方向与坐标系的方向相同．即同向时，数量为正；反向时，数量为负． [预习导引]1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .要点一利用三角函数线比较大小例1 分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．解如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.显然|MP |>|M ′P ′|，符号均为正， ∴sin2π3>sin 4π5； |OM |<|OM ′|，符号均为负，∴cos 2π3>cos 4π5；|AT |>|AT ′|，符号均为负，∴tan 2π3<tan 4π5.规律方法利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．跟踪演练1 利用三角函数线比较a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7的大小．解如图，在单位圆O 中分别作出角5π7的正弦线M 1P 1和2π7的余弦线OM 2、正切线AT .由5π7＝π－2π7知M 1P 1＝M 2P 2，又π4<2π7<π2，易知AT >M 2P 2>OM 2，∴cos 27π<sin 5π7<tan 2π7，故b <a <c .要点二利用三角函数线解不等式例2 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32. 解 (1)如图①，作直线y ＝32交单位圆于点P 、Q ，连接OP 、OQ ，则OP 、OQ 与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)，故满足条件的角θ的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π＋π3≤θ≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)如图②，作直线x ＝12和x ＝32分别交单位圆于点M ，N ，P ，Q ，连接OM 、ON 、OP 、OQ ，则OM 、ON 、OP 、OQ 与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)．故满足条件的角θ的集合为θ2k π－2π3≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3，k ∈Z .规律方法用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间．跟踪演练2 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．解 ∵点P 在第一象限内，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0，∴⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π.可知π4<α<π2或π<α<5π4.要点三利用三角函数线求函数的定义域例3 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域．解由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0.即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .规律方法求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．跟踪演练3 求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域．解 ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32. 如图所示．∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )，即x ∈⎝⎛⎭⎫n π－π3，n π＋π3 (n ∈Z ).1．角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦值的符号相异，那么α的值为( ) A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π4答案 D 2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′ B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′ C ．正弦线MP ，正切线AT D ．正弦线PM ，正切线AT 答案 C3．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 C.⎣⎡⎦⎤π6，2π3D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 B4．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)： (1)sin 2π3________sin 3π4； (2)cos2π3________cos 3π4； (3)tan 2π3________tan 3π4.答案 (1)> (2)> (3)< 解析作出2π3和4π5的三角函数线，如图所示．根据三角函数线得：sin 2π3＝MP >sin 3π4＝M ′P ′； cos 2π3＝OM >cos 3π4＝OM ′； tan2π3＝AT <tan 3π4＝AT ′.1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便． 2．三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解容易了．。

2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.2.2 单位圆与三角函数线》

单位圆与三角函数线
教学目标：
1．知识与技能: 使学⊥轴交轴于点M，那么请学生观察，
〔1〕inα等于什么？
〔2〕随着α在第一象限内转动，M⊥轴于M，那么有向线段是正弦线。

C：有向线段是余弦线。

D：设单位圆与轴的正半轴交于点A，过点A作垂线与角α的终边〔或其反向延长线〕交于点T，那么有向线段就是正切线。

简单介绍: “有向线段〞〔带有方向的线段〕的数量：绝对值等于有向线段的长度，方向与坐标轴方向相同时为正，反之为负。

那么有向线段、、的数量等于角的正弦、余弦和正切的值
5、视情形可补充余切线、正割线和余割线〔动态演示，在不同象限的角的三角函数线〕。

三、例题讲解：
例1 分别作出的正弦线、余弦线和正切线
例2 解不等式
例3 求函数的定义域。

思考：当∈〔0，〕时，有 in＜＜tan
四：稳固练习：
练习1画出角的正弦线，余弦线，正切线。

练习2在上，满足的的取值范围是〔〕
A B C D
练习3 假设，那么的取值范围______。

练习4 假设-1＜tan＜1，那么的范围_______。

四、本节小结：
本节课我们学习了
1单位圆:
把半径为1的圆叫做单位圆。

2三角函数线：
〔1〕余弦线OM，正弦线ON，正切线AT
〔2〕其中余弦线，正弦线的起点是O，终点是，ON，AT数量OM，ON，AT 是可正、可负、可零。

三角函数线与坐标轴方向一致为正，相反为负，起点与终点重合为零。

六、课堂练习：第22页练习A、B
七、课后作业：第35页习题1-1A：4、1-1B：5。

单位圆与三角函数线(说案)

单位圆与三角函数线（说课）一、教材分析1、教材的地位和作用著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系以后，使得对三角函数的研究大为简化。

《单位圆与三角函数线》是人教版B版高中数学必修四第一章第二单元的第二课时，安排在“角的概念的推广”、“弧度制”和“三角函数的概念”之后。

通过本节课的学习，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图像及性质等提供了另一种工具，具有承前启后的重要作用。

由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。

2、教学目标：根据教学大纲要求、新课程标准精神，本节课的知识特点以及高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了本节课的教学目标如下：（1）知识与技能：能借助于单位圆理解三角函数线的定义；会画出任意角的三角函数线；能根据三角函数线总结出三角函数值随角度变化的规律；能运用三角函数线解决简单的实际问题。

（2）过程与方法：通过三角函数线的作图，掌握用数形结合的思想解决数学问题的方法。

提高学生自主分析地分析问题和解决问题的能力。

（3）情感、态度、价值观：通过本节课的作图、分析、展示，体验数学的美，感受学习的快乐；通过学生之间、师生之间的交流与合作，创设共同探究、教学相长的教学氛围；通过给学生及时、恰当的评价和鼓励激发学生对数学学习的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神。

通过情景的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

3、教学的重点和难点：根据本节课的地位与作用及教学目标，我认为本节课的重点、难点、关键分别是：重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。

难点：理解三角函数和三角函数线间的关系，准确作图。

高中数学 1.2.2《单位圆与三角函数线》教案新人教B版必修4

单位圆与三角函数线一、学习目标(一)知识目标1.单位圆的概念.2.有向线段的概念.3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.(二)能力目标1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念.2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(三)德育目标通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.二、教学重点、难点重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值三、教学方法（一）讲授法讲清楚单位圆的概念，有向线段的概念，本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的，使学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的对应.对于理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键所在.（二）教具准备幻灯片1X：多媒体课件：课本P19图1—13，在平面直角坐标系中，作出单位圆，角α的终边，标出单位圆与角α的终边的交点P(x，ｙ），过P向x轴作垂线，垂足为M，过点A （1，0）作单位圆的切线与角α的终边或终边的反向延长线交于点T(利用现代教育技术手段的优势，边讲述边作图，使学生看得清楚，听得明白).四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图课题导入前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0°到360°角的三角函数的一组公式，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必可以通过提问与学生自查相结合的形式，对所学知识加以回顾，进而加深对已有知识的巩固和提高，为下一步的学习做好知识储备。

三角函数线的位置与角所在的象限有很大关系，因此在讲解新课之前做好知识的准备是十分必要的。

高中数学第一单元基本初等函数Ⅱ1.2.2单位圆与三角函数线课件新人教B版必修4

跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小. 解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.
如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的
正弦线M1P1，M2P2.
思考2
点的射影是如何定义的？答案过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直于y轴于点N，
则点M，N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影).
答案
梳理
(1)单位圆把半径为1 的圆叫做单位圆. (2)单位圆中角α的坐标角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标 .
知识点二
第一章 §1.2
任意角的三角函数
1.2.2 单位圆与三角函数线
学习目标
1. 了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个
角的正弦、余弦和正切.
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
内容索引
问题导学
题型探究当堂训练
问题导学
Байду номын сангаас
知识点一
单位圆
思考1
什么叫单位圆？
答案把半径为1的圆叫做单位圆.
1 1 解已知角 α 的正弦值，可知 MP＝2，则 P 点纵坐标为2. 1 所以在 y 轴上取点0，2 过该点作 x 轴的平行线，交单位圆于 P1， P2 两点，，
则OP1，OP2是角α的终边，
π 因而角 α 的取值集合为{α|α＝2kπ＋6或 5π α＝2kπ＋ 6 ，k∈Z}.
1 解作直线x＝－交单位圆于C，D两点， 2 连接OC与OD，

高中数学人教B版必修四课件：1.2.2单位圆与三角函数线

如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3
OA 3 OB 3
x
B
O
A
3. 三角函数线
设任意角α的顶点
在原点，始边与x轴的
正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x， A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin) N1

x
O M A(1,0)
y），过P作x轴的垂线，垂足为M；做PN垂直
66
6
sin p < p < t an p
44
4
sin p < p < t an p
33
3
你有什么一般猜想？ sin a < a < tan a
思考：对于不等式 sin a < a < tan a
（其中α 为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
yT P
O M Ax
探究：当0＜α＜π/2时，总有 sinα＜α＜tanα.
我们首先建立下面的坐标系：
在观览车转轮圆面所在的平面
y
内，以观览车转轮中心为原点， P
以水平线为x轴，以转轮半径为

x
单位长建立直角坐标系。
MO
设P 点为转轮边缘上的一点, 它表示座椅的位置，记 xOP ，则由正弦函数的定义可知，
MP sin
1.单位圆的概念
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，
4
变式：写出满足条件 1 ≤cosα＜
2
23的角α
的集合.
2
y
3
1

6
-1 O
4
-1
3
1
x
11
6

2022年高中数学新人教版B版精品教案《1.2.2 单位圆与三角函数线》

本节课伊始，学生遇到了相同类型的问题，应对策略却无法照搬。学生依据以往的知识经验，主动设法研究，却发现已有知识缺乏以解决新问题，需要定义新的知识，拓宽研究的道路。这样做给所有同学一个公平的起点，让学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。这符合?根底教育课程改革纲要试行?提出的，要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导提倡转变原有的学习方式。
在这节课中，学生经历了由符号语言向图形语言的转化，也初步体会了单位圆中的三角函数线作为一种研究工具的应用价值。这可以培养学生借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程，利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系。这也是数学核心素养的重要内容之一。
让学生主动发现单位圆，利于让学生借助单位圆理解任意角三角函数的定义；以后能借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出=in，=co，=tan的图象，了解三角函数的周期性，这符合?普通高中数学课程标准〔实验〕?要求。
在本节内容之前，首先在坐标系中借助角的终边定义三角函数，将终边的问题转化为终边上点的问题，点的取法是任意的，这给学生带来了自由的空间，如何取点简化问题，如果遇到有的角三角函数值不好求，如何借助“形〞对它进行量化，从而可以表示任意角的三角函数定义，是这节课要核心解决的问题。
三角函数定义最初是“形〞的定义，之后在平面直角坐标系中，引入了任意角的三角函数定义式，用“数〞表示三角函数值，本节课内容又进一步参加了单位圆的元素，再次强调可以用“形〞来表示三角函数值，这可以表达本节内容在培养学生数形结合思想方法上的重要价值。
2、重点分析
探索任意角正弦、余弦、正切的几何表示；初步体会“三角函数线〞的工具意义。

人教新课标版数学高一- 人教B版必修4 单位圆与三角函数线导学案

§1.2.2单位圆与三角函数线（课前预习案）班级：___ 姓名：________ 编写：一、新知导学1、单位圆：一般地，我们把的圆叫做单位圆。

2、三角函数线：设任意角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为单位长度1）相交于点P，过P作x轴的垂线，垂足为M，过P作y轴的垂线，垂足为N，过单位圆与x轴正半轴的交点A（1，0）作单位圆的切线，这条切线与角α的终边（当α为第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于点T。

如图所示。

（1）为正弦线，有向线段的方向是，规定与y轴正方向，反之为负；（2）为余弦线，有向线段的方向是，规定与x轴正方向，反之为负；（3）为正切线，有向线段的方向是，规定与y轴正方向，反之为负。

注意：（1）当角α的终边在x轴上时，点与点重合，点与点重合，此时，正弦线和正切线都变成了，它们的数量为，而余弦线OM= ，或；（2）当角α的终边在y轴上时，正弦线MP= 或，余弦线变成了，它表示的数量为，正切线。

二、课前自测1.已知MP，OM，AT分别是60o角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有（）A、MP<OM<ATB、OM<MP<ATC、AT<OM<MPD、OM<AT<MP2.如果42ππθ<<，则下列各式正确的是（）A、cosθ<tanθ<sinθB、sinθ<cosθ<tanθC、tanθ<sinθ<cosθD、cosθ<sinθ<tanθ重点处理的问题（预习存在的问题）：§1.2.2单位圆与三角函数线（课堂探究案）一、学习目标：1.理解单位圆、有向线段的概念。

2.学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来。

二、学习重难点：理解三角函数线的含义并能应用。

人教版高中必修4(B版)1.2.2单位圆与三角函数线课程设计

人教版高中必修4(B版)1.2.2单位圆与三角函数线课程设计一、课程设计背景高中数学是应用数学的基础，也是学生接受高等数学教育的必备基础知识。

在数学教学中，三角函数是一个非常重要的知识点。

本课程设计针对人教版高中必修4(B版)1.2.2单位圆与三角函数线这一章节，旨在帮助学生在学习三角函数时更加深入、全面地了解单位圆和三角函数线的关系，并掌握如何应用它们解决实际问题。

二、课程目标1. 知识目标•理解单位圆的概念和性质；•掌握三角函数线的性质和特点；•能够应用单位圆和三角函数线求解实际问题。

2. 能力目标•能够运用所学知识归纳总结三角函数公式；•能够分析和解决实际问题；•能够进行团队合作、与人沟通、表达自己的观点和想法。

3. 情感目标•培养学生对数学的兴趣和热爱；•培养学生的坚韧不拔、自信自立、敢于探究、勇于创新的精神。

三、教学内容与步骤1. 教学内容1.什么是单位圆2.单位圆的性质3.三角函数线的概念和特点4.三角函数线的公式5.应用三角函数线解决实际问题2. 教学步骤第一步：导入引入单位圆的概念，通过看图、发问的方式引导学生了解单位圆的定义，了解角度的概念。

第二步：讲解讲解单位圆的性质，引导学生了解弧度制和角度制的转换。

第三步：互动引入三角函数线的概念，通过多种途径激发学生的兴趣和积极性，以互动教学的方式深入探讨三角函数线的性质和特点。

第四步：巩固巩固三角函数线的公式，引导学生理解并掌握奇偶性、单调性等概念。

第五步：应用通过解决实际问题的例题，引导学生进一步理解和掌握如何应用三角函数线解决实际问题。

第六步：拓展拓展课外活动，引导学生进行实践操作和实践活动，如进行数学建模、探究相似三角形等知识。

四、教学重点•单位圆与三角函数线的概念和性质；•三角函数公式的掌握和应用。

五、教学方法•讲述法•演示法•互动探究法•实践操作法•讨论交流法六、教学评价1. 同步测验课堂同步测验主要目的是检验学生是否掌握了所学内容，如：简答题、计算题、应用题等。

精品-高中数学第一章基本初等函Ⅱ第4课时单位圆与三角函数线课件新人教B版必修4

类型二利用三角函数线解三角不等式【例 2】在单位圆中画出符合下列条件的角 α 终边的范围，并由此写出角 α 的集合．
(1)sinα≥ 23；(2)cosα≤－12.
解析：
(1)作直线 y＝ 23，交单位圆于 A，B 两点，连接 OA，OB，则 OA 与 OB 围成的区域((图 1)中阴影部分)即为角 α 的终边的范围．
(2)三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角 α 的三角函数线的画法即先找到 P、M、T 点，再画出 MP、OM、AT.
(3)三角函数线的作用三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础.
我们把轴上向量O→M，O→N和A→T分别叫做 α 的余弦线，正弦线和正切线．
讲重点对三角函数线的理解 (1)三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
说方法·分类探究类型一利用三角函数线比较大小
【例 1】比较 cos47π与 cos57π的大小．
解析：
如图所示，射线 OP1 是角47π的终边，射线 OP2 是角57π的终边，过 P1，P2 分别作 P1M1⊥x 轴，P2M2⊥x 轴，垂足分别为 M1，M2，所以 cos47π＝OM1，cos57π＝ OM2.
知识点 2 三角函数线

人教新课标版数学高一B版必修4学案单位圆与三角函数线

1.2.2 单位圆与三角函数线1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．1．什么叫做单位圆？答以坐标原点为圆心，以一个单位长度为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米)．2．带有方向的线段叫有向线段．有向线段的大小称为它的数量．在坐标系中，规定：有向线段的方向与坐标系的方向相同．即同向时，数量为正；反向时，数量为负．1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．2．三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .要点一利用三角函数线比较大小例1 分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．解如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.显然|MP |>|M ′P ′|，符号均为正， ∴sin2π3>sin 4π5； |OM |<|OM ′|，符号均为负，∴cos 2π3>cos 4π5；|AT |>|AT ′|，符号均为负，∴tan 2π3<tan 4π5.规律方法利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．跟踪演练1 利用三角函数线比较a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7的大小．解如图，在单位圆O 中分别作出角5π7的正弦线M 1P 1和2π7的余弦线OM 2、正切线AT .由5π7＝π－2π7知M 1P 1＝M 2P 2，又π4<2π7<π2，易知AT >M 2P 2>OM 2，∴cos 27π<sin 5π7<tan 2π7，故b <a <c .要点二利用三角函数线解不等式例2 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32. 解 (1)如图①，作直线y ＝32交单位圆于点P 、Q ，连接OP 、OQ ，则OP 、OQ 与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)，故满足条件的角θ的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π＋π3≤θ≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)如图②，作直线x ＝12和x ＝32分别交单位圆于点M ，N ，P ，Q ，连接OM 、ON 、OP 、OQ ，则OM 、ON 、OP 、OQ 与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)．故满足条件的角θ的集合为θ2k π－2π3≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3，k ∈Z .规律方法用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间．跟踪演练2 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈0,2π0,2πhslx3y3h ，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________. 答案 ⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π 7．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合： (1)sin x >－12且cos x >12；(2)tan x ≥－1.解(1)由图(1)知：当sin x >－12且cos x >12时，角x 满足的集合：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π6＋2k π<x <π3＋2k π，k ∈Z .(2)由图(2)知：当tan x ≥－1时，角x 满足的集合为： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x <2k π＋π2，k ∈Z∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋34π≤x <2k π＋32π，k ∈Z . 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n π－π4≤x <n π＋π2，n ∈Z .二、能力提升8．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α答案 A解析如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α. 9．不等式tan α＋33>0的解集是______________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z解析不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .10．把sinπ12，sin 512π，cos 57π，tan 512π由小到大排列为________________________________________________________________________. 答案 cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π解析如图可知，sinπ12＝M 1P 1>0，sin 512π＝M 2P 2>0，tan 512π＝AT >0，cos 57π＝OM 3<0. 而0<M 1P 1<M 2P 2<AT ， ∴0<sinπ12<sin 512π<tan 512π. 而cos 57π<0，∴cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 512π.11．求函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域．解由题意得，要使函数有意义，则须⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，如图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求．所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x <2k π＋π2，或2k π＋π2<x <2k π＋2π3，k ∈Z .12．利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合： (1)sin α≥22；(2)cos α≤12. 解 (1)由图①知：当sin α≥22时，角α满足的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪π4＋2k π≤α≤3π4＋2k π，k ∈Z .(2)由图②知：当cos α≤12时，角α满足的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪π3＋2k π≤α≤5π3＋2k π，k ∈Z .三、探究与创新13．当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α. 证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α. 因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12sin α，S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.。

高中数学人教版B版精品教案《单位圆与三角函数线》

单位圆与三角函数线
教学目标核心素养
1．了解三角函数线的意义。

（重点）
2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。

（难点）
1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养。

2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养。

【教学过程】
一、问题导入
1．正弦、余弦正切的定义比较抽象，你能给出它们的一个直观表示吗？
2．这节课我们就来学习三角函数的直观表示——三角函数线。

二、新知探究
1．单位圆和三角函数线的概念
【例1】（1）设，则下列命题成立的是（）。

A．总有M＞1
B．总有M＝1
C．存在角α，使M＝1
D．不存在角α，使M＜0
（2）分别做出错误!π和－错误!π的正弦线、余弦线和正切线。

【答案】（1）C
【解析】显然，当角α的终边不在第一象限时，M＜1，M＜0都有可能成立；当角α的终边落在轴或轴正半轴时，M＝1，故选C。

（2）解：①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以O轴为始边作错误!π角，
角的终边与单位圆交于点⊥ O轴，垂足为M，由单位圆与O轴正方向的交点A
作O轴的垂线，与O，tan错误!π＝AT，即错误!π的正弦线为错误!11M ⊥ 轴，
，N两点，则OM与
ON为角α的终边，如图乙。

高中数学167;1.2.2单位圆与三角函数线导学案新人教B版必修4

§1.2.2 单位圆与三角函数线◆课前导学（一）学习目标1.理解三角函数线的几何意义，能正确画出三角函数线；2.会利用单位圆中的三角函数线解三角不等式；3.会利用单位圆中的三角函数线比较函数值的大小.（二）重点难点重点：三角函数线的概念及几何意义.难点：三角函数线的应用.（三）温故知新1.任意角三角函数概念：正弦函数sinα=_________，余弦函数cosα=_________，正切函数tanα=_________，余切函数cotα=_________，正割函数secα=_________，余割函数cscα=_________.2.单位圆的概念：__________________◆课中导学◎学习目标一：理解三角函数线的几何意义，能正确画出三角函数线（一）概念形成1.设角α的顶角在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于一点P，过点P 作PM垂直x轴于M，作PN垂直y轴于点N，则点M,N别离是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影)，那么点P的坐标为_______其中cosα=_________，sinα=_________；结论：角α的正弦和余弦别离等于____________________________________________________________________；2.若是单位圆与x轴的交点为A(1,0)，过点A作单位圆的切线与角α的终边或终边的反向延长线相交于点T,则tanα=_________结论：1.咱们把轴上向量______________叫做角α的正弦线、余弦线、正切线2.当角α的终边在x轴上时，正弦线________，余弦线_________，正切线______3. 当角α的终边在y 轴上时正弦线________，余弦线_____，正切线______（二）巩固深化例1．别离作出32π与4π-的正弦线，余弦线，正切线【小试身手】别离作出43π与136π-的正弦线，余弦线，正切线◎学习目标二：会利用单位圆中的三角函数线解三角不等式例2.求下列函数的概念域.（1）1cos 2-=x y （2）)sin 43lg(2x y -=【小试身手】求下面函数的概念域. )1cos 2lg(sin 21-++=x x y◎学习目标三：会利用单位圆中的三角函数线比较函数值的大小例3.当)2,0(π∈x 时，利用单位圆，证明x x x tan sin <<【小试身手】（1）当)2,4(ππ∈x 时，比较sinx , cosx , tanx 的大小；（2）当)43,2(ππ∈x 时，比较sinx , cosx , tanx 的大小；（3）当)4,0(π∈x 时，比较sinx , cosx , tanx 的大小.◆ 课后导学一、选择题1．若点P 在角α终边的反向延长线上，且|OP|=1，则P 的坐标为（）A.（cos α, sin α） B(-cos α, sin α)C.（cos α, -sin α）D.（-cos α, -sin α）2．角(02)ααπ<<的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为（） A.4π或34π B.34π或74π C.4π或54π D.4π或74π 3．在[0，2π]上知足1sin 2x ≥的x 的取值范围是（） A.[0，6π] B.[6π,56π] C.[6π ,23π] D.[56π，π] 4．使sinx cos x ≤成立的x 的一个转变区间是（） A.[3,44ππ-] B.[]2,2ππ- C.3[,]44ππ- D.[0，π] 5．知足sin(x 4π-)12≥的x 的集合是（） A.{x|2k π+512π≤2k π+1312π,k Z ∈} B.{x|2k π12π-≤2k π+712π,k Z ∈} C.{x|2k π+6π≤2k π+56π,k Z ∈} D.{x|2k π≤2k π+6π,k Z ∈}⋃{x|2k π+56π≤（2k+1）π,k Z ∈} 二、填空题6．已知(0,)απ∈，且sin cos (01),m m αα+=<<试判断式子sin cos αα-的符号为____.7．适合条件tan 1α≤的角α的集合是______________________.三、解答题8．求函数lg cos tan x y x=的概念域.9．求知足1sin 22θ-≤<的θ的取值范围.。