稳恒磁场 1-(2)

2
+x
2 3/2
2
)
B = ∫ dB =
µ 0 nI
2
∫ (R
x1
x2
R dx
2
+x
2 3/ 2
)
R2 + x2 = R2 csc2 β
B=−
µ 0 nI
2
∫β
β2
1
µ0 nI R 3 csc 2 β d β =− 3 3 R csc β d β 2
∫β
β2
1
sin β d β
讨 论
B=
µ0 nI
λωµ 0
4π
∫
a
dr = r
λωµ 0
a+b ln 4π a
方向垂直纸面向内． 方向垂直纸面向内．
(2)
1 2 d pm = πr d I = λω dr r 2
2
pm = ∫ d pm =
a +b
∫
a
1 λωr 2 d r = λω [( a + b) 3 − a 3 ] / 6 2
方向垂直纸面向内． 方向垂直纸面向内．
cos β 2 =
R2
l l2 + r2
dr l +r
2 2 2 R2 + R2 + l 2
BO = ∫ dBO = ∫ µ0 j ⋅
R1
= µ0 jl ln
R1 + R12 + l 2
§6. 5 运动电荷的磁场
电流的磁效应告诉我们：电流能够激发磁场， 电流的磁效应告诉我们：电流能够激发磁场，而电流是电 荷定向移动所形成的， 荷定向移动所形成的，所以电流的磁场既是运动电荷产生 场的矢量迭加。 场的矢量迭加。
O
ω
B 解： = B1 + B2 + B3
B1、B2分别为带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动产生的 磁感强度， 为沿直径的带电线段转动产生的磁感强度． 磁感强度，B3为沿直径的带电线段转动产生的磁感强度．
πλωb I1 = 2π πλωa I2 = 2π
2b 2b ⋅ 2π 4 µ 0 I 2 µ 0 πλωa µ 0 λω B2 = = = 2a 2a ⋅ 2 π 4
2
(cos β 2 − cos β1 )
点位于管内轴线中点 （1）P点位于管内轴线中点 β1 = π − β 2 cos β1 = − cos β 2 ） 点位于管内
cos β 2 =
l/2
(l / 2 )2 + R 2
B = µ0 nI
B = µ 0 nI cos β 2 =
若 l >> R
µ 0 nI
P
磁场方向： 有关， 磁场方向：与u × r有关，且与电荷的正负有关 P
r
B
u
r
⊗B
θ
θ
u
电流” 补充：“电流”及“电流强 度” 流：电荷的定向移动形成电流。 电荷的定向移动形成电流。 电
电流强度：单位时间内通过导体横截面的电量。 电流强度：单位时间内通过导体横截面的电量。
dq I= dt
电流的分类：传导电流、运载电流。 电流的分类：传导电流、运载电流。 传导电流：电荷的定向移动形成的电流。 传导电流：电荷的定向移动形成的电流。 带电体作机械运动时所产生的电流。 运载电流**：带电体作机械运动时所产生的电流。
斜边AB的方程为 解: 斜边 的方程为
b b y = x− d a a
A 取图示面元： 取图示面元：dS＝ydx，则 ，
I
B
dx y
dΦ = B ⋅ dS =
C
µ0I
2πx
yd x
Φ = ∫ B ⋅ dS
S
o
x
x
=
µ0 I
2π
∫
a+d
d
b bd ( − )dx a ax
b a+d Φ= [b − d ln ] 2π a d
µ0 I
练习2、试求以下各图中圆心处的磁感应强度 图中圆半 练习 、试求以下各图中圆心处的磁感应强度(图中圆半 径均为R，电流均为I 径均为 ，电流均为 )
I
I
O
I I
·O
µoI (cosθ1 − cosθ2 ) 得 解：利用 B = 4πr µoI 方向⊙ µoI π 方向⊙ B = (cos0 − cos ) = 1 4πR 2 4πR µo I µo I 方向⊙ π 方向⊙ B2 = (cos − cosπ ) = 4πR 2 4πR
µ0ωλ
4π
π
2a
3
2π
a dθ
O
sin2 θ dθ
2
O′′
µ 0ωλ
4π
∫ sin
0
θ dθ =
µ0ωλ µ0ωq
8 = 8πa
方向向上． 方向向上．
d pm = πa2 sin2 θ (ωλ/ 2π)adθ (2)
1 = ωλ a 3 sin 2 θ d θ 2
pm = ∫ d pm = ∫ 1 ωλa 3 sin 2 θ dθ 2
也与点电荷运动时的磁矩相同． 也与点电荷运动时的磁矩相同．
λω
练习6、有一闭合回路由半径为 和 的两个同心共面半圆连接 练习 、有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共面半圆连接 而成，如图．其上均匀分布线密度为λ 的电荷， 而成，如图．其上均匀分布线密度为λ 的电荷，当回路以匀 角速度ω 绕过O点垂直于回路平面的轴转动时，求:圆心 点 角速度ω 绕过 点垂直于回路平面的轴转动时， 圆心O点 点垂直于回路平面的轴转动时 圆心 处的磁感强度的大小． 处的磁感强度的大小．
b
B1 =
µ 0 I1
=
µ 0 πλωb
=
µ 0 λω
d I3 = 2λωdr /(2π)
B3 = ∫
a
µ0λω dr
2π ⋅ r
=
µ0λω b
2π ln a
O
B=
µ 0 λω
b (π + ln ) 2π a
ω
练习7. 如图，半径为a， 常量)的半圆 练习 如图，半径为 ，带正电荷且线密度是λ(常量 的半圆 常量 以角速度w 绕轴O′O″逆时针匀速旋转．求： 逆时针匀速旋转． 以角速度 绕轴 逆时针匀速旋转 (1) O点的 B 点的 (2) 旋转的带电半圆的磁矩 p m O'
R
o
* p
dx
x
x
++++++++ +++ ++ +
解 由圆形电流磁场公式
B=
µ 0 IR
2
2 2 3/ 2
（x + R ） 2
β1
β
x1
µ0
2
o p
β2
x2
x = R cot β
dx = − R csc2 βdβ
++ + + + + + + + + + + + + +
x
dB =
(R
R 2 In dx dx
a+b b (3) 若a >> b，则 ， ln ≈ a a µ 0ω λb ωµ 0 q B0 = = 4π a 4πa
过渡到点电荷的情况． 过渡到点电荷的情况．
o
r dr
ω
同理在a 同理在 >> b时， 时 则
(a + b) 3 ≈ a 3 (1 + 3b / a )
3
3b 1 pm = a ⋅ = qω a 2 6 a 2
Φ= 2π ln d1
ld x
o
x
练习、如图， 长直导线与直角三角形共面，已知： 练习、如图，I 长直导线与直角三角形共面，已知：AC=b, 且与 I 平行, BC=a,当 B 点与长直导线的距离为 d 时. 平行 当 求：通过三角形面积的磁通量. 通过三角形面积的磁通量 三角形面积的磁通量
A
I
B C
O
R1 R2
2l
解：如图所示，取微分元dr 如图所示，取微分元 NI j= r 电流密度： 电流密度： 2l ( R2 − R1 ) 由： = µ0 nI (cos β 2 − cos β1 ) B 2
dr
β1
β2
O
B中点 = µ0 nI cos β 2
对于图示微分元：nI = jdr 对于图示微分元： 所以： 所以： dBO = µ0 ⋅ cos β 2 ⋅ jdr
练习5、均匀带电刚性细杆 ， 练习 、均匀带电刚性细杆AB，线电荷密度为λ，绕垂直于直 线的轴O以 角速度匀速转动(O点在细杆 延长线上)． 点在细杆AB延长线上 线的轴 以ω 角速度匀速转动 点在细杆 延长线上 ．求： (1) O点的磁感强度 B0 点的磁感强度 (2) 系统的磁矩 p m (3) 若a >> b，求B0及pm． ，
0
ω
O′ dl
θ
O
a
π
= πωλa 3 / 4 = ωqa2 / 4
方向向上． 方向向上．
O′′
o
a A b B
ω
解： (1) 对r～r+dr段，电荷 dq = λ dr，旋转形成圆电流．则 ～ 段 ，旋转形成圆电流．
dqω λω dI = = dr 2π 2π
它在O点的磁感强度 它在 点的磁感强度
o
r dr
d B0 =
µ0 d I
2r
ຫໍສະໝຸດ Baidu
=
λωµ 0 d r
4π
a +b
ω
r
B0 = ∫ d B0 =
练习1、 如图载流长直导线的电流为I, 试求： 练习 、 如图载流长直导线的电流为 试求：通过矩形面积 的磁通量. 的磁通量 解: B =
µ0 I
2π x
B
B // S
dΦ = BdS =
µ0I
I
l
d1 d2
2π x µ0 Il d2 dx Φ = ∫S B ⋅ dS = ∫d1 2π x µ 0 Il d 2
I
解：将载流圆柱薄壳分成无数多个宽为dl 的无限长细导 将载流圆柱薄壳分成无数多个宽为
I 则其通有电流： 线，则其通有电流： = dI dl πR µ0I 利用： 利用：B = 2πr
y
µ0dI ∴ dB = 2πR
如图所示， 如图所示，因每个 dB 方向不同， 方向不同，而由对称性 可知 By = 0
a O
O"
d 弧元， 解：(1) 对θ～θ +dθ 弧元， q = λa d θ ，旋转形成圆电流
dI =
ω
2π
d q=
ωλ
2π
a dθ
ω
O′ dl
它在O点的磁感强度 为 它在 点的磁感强度dB为： 点的磁感强度
dB=
µ0 R 2
2r
3
dI =
µ 0 a 2 sin 2 θ ωλ
θ
a
=
B = ∫d B =
µ 0 Id l × r 由毕奥—萨伐尔定律 萨伐尔定律： 由毕奥 萨伐尔定律： d B = 3 4π r
I
如图所示， 如图所示， 设：S、n、q、u， I=q n u S 则 即：Idl=q n u S dl=qu dN
代入毕奥—萨伐尔定律得： 代入毕奥 萨伐尔定律得： 萨伐尔定律得
µ 0 Idl × r µ 0 qu × r dB = = dN 3 3 4π r 4π r dB µ0 qu ×r 即运动电荷产生的磁场： 即运动电荷产生的磁场：B = = dN 4π r3 µ qu sin θ 磁场大小： 磁场大小：B = 0 2 4π r
设园弧l 的电流分别为I 则有： 设园弧 1 、l2的电流分别为 1 、I2 ，则有：
1 µoI1 B3 = 4 2R
①
方向⊙ 方向⊙
O
l2 ④ ③ ②
3 µoI2 B4 = 方向⊗ 方向⊗ 4 2R
l1
I 因 I1 ⋅ R = I2 ⋅ R2 即： 1 : I2 = 3:1 1
所以
B3 = B4
方向⊙ 方向⊙
同理: 同理
µ0I Bo = B1 + B2 + B3 + B4 = 2πR
µoI µoI B = B2 = 方向相反 1 4πR 4πR µoI µoI B3 = B4 = 4R 4R ③
方向相反 所以
①
O
④
B=0
②
练习3、在一无限长的半径为 的半圆柱体金属薄片中， 练习 、在一无限长的半径为R 的半圆柱体金属薄片中， 自上而下地流有电流 I。 。 圆柱轴线上任一点的磁感应强度. 求：圆柱轴线上任一点的磁感应强度
2
(l
l
2
/4+ R
2 1/ 2
)
(2) 无限长的螺线管 无限长的螺线管
β1 = π , β 2 = 0 B = µ0nI
(2) 半无限长的螺线管 无限长的螺线管
π β1 = , β 2 = 0 2
1 B = µ 0 nI 2
B
1 µ 0 nI 2
µ0nI
x
O
练习4、一多层密绕螺线管内半径为 外半径为R ， 练习 、一多层密绕螺线管内半径为R1，外半径为 2，长2l. 设 其总匝数为N，导线中流有电流为 其总匝数为 ，导线中流有电流为I. 求：该螺线管中 心 O点的磁感强度 点的磁感强度
dB
dl
θ
俯视图
x
µ0dI ∴ dBx = dBsin θ = sin θ 2πR dl = Rdθ
µ0I µ0I ∴ Bx = dBx = sinθdθ = − 2 2 2π R π R 0
∫
π
∫
µ0I 即 B = 2 （− i ) ： π R
例3 载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为l 半径为R的载流密绕直螺线管 的载流密绕直螺线管， 如图所示，有一长为 , 半径为 的载流密绕直螺线管， 螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管放在真空中， 螺线管的总匝数为 ，通有电流 设把螺线管放在真空中， 管内轴线上一点处的磁感强度. 求:管内轴线上一点处的磁感强度 管内轴线上一点处的磁感强度