九年级上册数学 期末试卷易错题(Word版 含答案)

九年级上册数学期末试卷易错题（Word版含答案）
一、选择题
1．方程 x2＝4的解是（）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝－2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4
2．若x=2y，则x
y
的值为（）
A．2 B．1 C．1
2
D．
1
3
3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
4．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是（）
A．1
4
B．
3
4
C．
1
5
D．
3
5
6．如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠AOC＝80°，则∠ABC的大小是（）
A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．50° 7．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=-
B ．()247x +=-
C ．()2425x +=
D ．()247x += 8．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的
长为（ ）
A ．9 cm
B ．10 cm
C ．11 cm
D ．12 cm 9．如图，BC 是
A 的内接正十边形的一边，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，则下列结
论正确的有（ ） ①BC BD AD ==；②2BC DC AC =⋅；③2AB AD =；④512BC AC -=
．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 10．二次函数y ＝3（x +4）2﹣5的图象的顶点坐标为（ ） A ．（4，5）
B ．（﹣4，5）
C ．（4，﹣5）
D ．（﹣4，﹣5） 11．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ∽△AD
E ，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是
（ ）
A ．∠
B ＝∠D B ．∠
C ＝∠E C ．A
D AB A
E AC = D ．AC BC AE DE
= 12．抛物线y ＝（x ﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A ．(2，3)
B ．(﹣2，3)
C ．(2，﹣3)
D ．(﹣2，﹣3)
二、填空题
13．如图，点A 、B 分别在y 轴和x 轴正半轴上滑动，且保持线段AB ＝4，点D 坐标为（4，3），点A 关于点D 的对称点为点C ，连接BC ，则BC 的最小值为_____．
14．二次函数2
3(1)2
y x
=-+图象的顶点坐标为________．
15．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝________．
16．如图是二次函数2
y ax bx c
=++的部分图象，由图象可知不等式20
ax bx c
++>的解集是_______.
17．如图，平行四边形ABCD中，60
A
∠=︒，
3
2
AD
AB
=.以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于点E，以D为圆心，DE为半径画弧，交CD于点F.若用扇形ABE围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为1r；若用扇形DEF围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为2r，则1
2
r
r的值为______.
18．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__．
19．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为
3
5
，则袋中共有小球_____只．
20．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m．
21．如图，O的弦8
AB=，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且3
OM=，则MN的长为__________．
22．已知3a ＝4b ≠0，那么a b
＝_____． 23．将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于_____．
24．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．
三、解答题
25．如图，分别以△ABC 的边AC 和BC 为腰向外作等腰直角△DAC 和等腰直角△EBC ，连接DE .
（1）求证：△DAC ∽△EBC ；
（2）求△ABC 与△DEC 的面积比．
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数13y x =-的图像与x 轴交于点A .二次函数22y x bx c =-++的图像经过点A ，与y 轴交于点C ，与一次函数13y x =-的图像交于另一点()2,B m -.
（1）求二次函数的表达式；
（2）当12y y >时，直接写出x 的取值范围；
（3）平移AOC ∆，使点A 的对应点D 落在二次函数第四象限的图像上，点C 的对应点E 落在直线AB 上，求此时点D 的坐标.
27．如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 上一点，延长CE 到点F ，使∠FBC ＝∠DCE ，且FB 与AD 相交于点G ．
（1）求证：∠D ＝∠F ； （2）用直尺和圆规在边AD 上作出一点P ，使△BPC ∽△CDP ，并加以证明．（作图要求：保留痕迹，不写作法．）
28．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD =60°， 使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少cm ？
29．在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，E 是射线DC 上的点，连接AE ，将ADE ∆沿直线AE 翻折得AFE ∆．
（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：ABF ∆∽FCE ∆；
（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若1DE =，求EFC ∆的面积； （3）若以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则DE 的长为 ．
30．如图，转盘A 中的6个扇形的面积相等，转盘B 中的3个扇形的面积相等．分别任意转动转盘A 、B 各1次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．
（1）用表格列出这样的点所有可能的坐标；
（2）求这些点落在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上的概率．
31．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．
()1求一次函数y kx b =+的表达式；
()2若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
32．如图示，AB 是O 的直径，点F 是半圆上的一动点（F 不与A ，B 重合），弦AD 平分BAF ∠，过点D 作DE AF ⊥交射线AF 于点AF .
（1）求证：DE 与O 相切：
（2）若8AE =，10AB =，求DE 长；
（3）若10AB =，AF 长记为x ，EF 长记为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并求出AF EF ⋅的最大值.
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
两边开方得到x=±2．
【详解】
解：∵x2=4，
∴x=±2，
∴x1=2，x2=-2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax2+c=0（a≠0）的方程可变形为
2=c
x
a
-，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．2．A
解析：A
【解析】
【分析】
将x=2y代入x
y
中化简后即可得到答案.
【详解】
将x=2y代入x
y
得：
2
2
x y
y y
==，
故选：A.
【点睛】
此题考查代数式代入求值，正确计算即可.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选B．
4．B
解析：B
【解析】
分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选B．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意即从5个球中摸出一个球，概率为3 5 .
【详解】
摸到红球的概率=
33 235
=
+
，
故选：D.
【点睛】
此题考查事件的简单概率的求法，正确理解题意，明确可能发生的总次数及所求事件发生的次数是求概率的关键.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据圆周角与圆心角的关键即可解答.
【详解】
∵∠AOC＝80°，
∴
1
2
ABC AOC4.
故选：C.
【点睛】
此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 7．D
解析：D
【解析】
【分析】
先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】
2890x x ++=，
289x x +=-，
2228494x x ++=-+，
所以()2
47x +=，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 8．B
解析：B
【解析】
【分析】
由CD ⊥AB ，可得DM=4．设半径OD=Rcm ，则可求得OM 的长，连接OD ，在直角三角形DMO 中，由勾股定理可求得OD 的长，继而求得答案．
【详解】
解：连接OD ，设⊙O 半径OD 为R,
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，
∴DM=
12
CD=4cm ，OM=R-2, 在RT △OMD 中， OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,
解得：R=5,
∴直径AB 的长为:2×5=10cm ．
故选B ．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
①③，根据已知把∠ABD ，∠CBD ，∠A 角度确定相等关系，得到等腰三角形证明腰相等
即可;②通过证△ABC ∽△BCD ,从而确定②是否正确,根据AD =BD =BC ,即
BC AC BC AC BC -=解
得BC=12
AC ，故④正确. 【详解】
①BC 是⊙A 的内接正十边形的一边,
因为AB =AC ,∠A =36°,
所以∠ABC =∠C =72°,
又因为BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,
∴∠ABD =∠CBD =12
∠ABC =36°=∠A , ∴AD =BD ,∠BDC =∠ABD +∠A =72°=∠C ,
∴BC =BD ,∴BC =BD =AD ,正确;
又∵△ABD 中，AD+BD ＞AB
∴2AD ＞AB, 故③错误.
②根据两角对应相等的两个三角形相似易证△ABC ∽△BCD , ∴
BC CD AB BC
=,又AB =AC , 故②正确, 根据AD =BD =BC ,即
BC AC BC AC BC -=,
解得BC=
12
AC ,故④正确, 故选C ．
【点睛】
本题主要考查圆的几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质. 10．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标．
【详解】
∵二次函数()2
345y x +=-
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣4，﹣5），
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式()2y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
先求出∠DAE＝∠BAC，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．
【详解】
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加AD AB
AE AC
=可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形
相似，故此选项不合题意；
D、添加AC BC
AE DE
=不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.
【详解】
解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式y=（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，难度不大.
二、填空题
13．6
【解析】
【分析】
取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-
OE=3，即可得到BC的最小值等于6．
解析：6
【解析】
【分析】
取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC的最小值等于6．
【详解】
解：如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，
由题可得，D是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵点D坐标为(4，3)，
∴OD22
34
5，
∵Rt△ABO中，OE＝1
2AB＝
1
2
×4＝2，
∴当O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD﹣OE＝3，
∴BC的最小值等于6，
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，三角形三条边的关系，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用，解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理．
14．【解析】
【分析】
二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
【详解】
解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性
解析：()1,2
【解析】
【分析】
二次函数2()y a x h k =-+（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．
【详解】
解：根据二次函数的顶点式方程2
3(1)2y x =-+知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =-+中的h ，k 所表示的意义． 15．-3
【解析】
【分析】
观察A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B 两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB 中点且平行于y 轴的直线.
【详解】
解：∵ A （3，﹣
解析：-3
【解析】
【分析】
观察A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B 两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB 中点且平行于y 轴的直线.
【详解】
解：∵ A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，
∴A,B 两点关于对称轴对称，
根据中点坐标公式可得线段AB 的中点坐标为(-3,-2)，
∴抛物线的对称轴是直线x= -3.
【点睛】
本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.
16．【解析】
【分析】
求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.
【详解】
由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x
解析：15x -<<
【解析】
【分析】
求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.
【详解】
由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x 轴的一个交点为5，所以，另一交点为2-3=-1. ∴x 1=-1,x 2=5. ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<.
故答案为15x -<<
【点睛】
要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.
17．1
【解析】
【分析】
设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出的值.
【详解】
设AB=a ，
∵
∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，
∵平行四边形中，，∴∠D=120
解析：1
【解析】
【分析】
设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出12
r r 的值. 【详解】
设AB=a ， ∵32
AD AB = ∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，
∵平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，∴∠D=120°，
∴l 1弧长EF=
12020.5360
a π⨯⨯⨯=13a π l 2弧长BE=602360a π⨯⨯⨯=13a π
∴12r r =12
l l =1 故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式及平行四边形的性质.
18．【解析】
【分析】
根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：，
三月份的产量为：.
【详解】
二月份的产量为：，
三月份的产量为：.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟
解析：2500(1)720x +=
【解析】
【分析】
根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +，
三月份的产量为：2
500(1)720x +=.
【详解】
二月份的产量为：500(1)x +，
三月份的产量为：2500(1)720x +=.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）. 19．【解析】
【分析】
直接利用概率公式计算．
【详解】
解：设袋中共有小球只，
根据题意得，解得x ＝10，
经检验，x=10是原方程的解，
所以袋中共有小球10只．
故答案为10．
【点睛】
此题主
解析：【解析】
【分析】
直接利用概率公式计算．【详解】
解：设袋中共有小球只，
根据题意得63
5
x
，解得x＝10，
经检验，x=10是原方程的解，
所以袋中共有小球10只．
故答案为10．
【点睛】
此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知概率公式的运用.
20．5
【解析】
【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题. 【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x
由题可得：1.7:0.85=x：1.1,解得x=2.2,
解析：5
【解析】
【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.
【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x
由题可得：1.7:0.85=x：1.1,解得x=2.2,
则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m
【点睛】
本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题
关键.
21．2
【解析】
【分析】
连接OA，先根据垂径定理求出AO的长，再设ON=OA，则MN=ON-
OM即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接OA，
∵半径交于点，是的中点，
∴AM=BM==4
解析：2
【解析】
【分析】
连接OA，先根据垂径定理求出AO的长，再设ON=OA，则MN=ON-OM即可得到答案．【详解】
解：如图所示，连接OA，
∵半径ON交AB于点M，M是AB的中点，
∴AM=BM=1
2
AB=4,∠AMO=90°，
∴在Rt△AMO中
2
2OM
AM
∵ON=OA，
∴MN=ON-OM=5-3=2.
故答案为2.
【点睛】
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．．
【解析】
【分析】
根据等式的基本性质将等式两边都除以3b，即可求出结论．
【详解】
解：两边都除以3b，得
＝，
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解决此
解析：4
3
．
【解析】
【分析】
根据等式的基本性质将等式两边都除以3b，即可求出结论．【详解】
解：两边都除以3b，得
a b ＝
4
3
，
故答案为：4
3
．
【点睛】
此题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解决此题的关键．
23．．
【解析】
【分析】
根据概率公式计算概率即可．
【详解】
∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，
∴朝上的数字为奇数的概率是＝；
故答案为：．
【点睛】
解析：1
2
．
【解析】
【分析】
根据概率公式计算概率即可．
【详解】
∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，
∴朝上的数字为奇数的概率是3
6
＝
1
2
；
故答案为：1
2
．
【点睛】
此题考查的是求概率问题,掌握概率公式是解决此题的关键．24．y＝－5（x+2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再
解析：y ＝－5（x +2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．
故答案为：y=-5（x+2）2-3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．
三、解答题
25．（1）见解析；（2）
12 【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质证明△DAC ∽△EBC ；
（2）依据△DAC ∽△EBC 所得条件，证明△ABC 与△DEC 相似，通过面积比等于相似比的平方得到结果.
【详解】
（1）证明：∵△EBC 是等腰直角三角形
∴BC ＝BE ，∠EBC ＝90°
∴∠BEC ＝∠BCE ＝45°．
同理∠DAC ＝90°，∠ADC ＝∠ACD ＝45°
∴∠EBC ＝∠DAC ＝90°，∠BCE ＝∠ACD ＝45°．
∴△DAC ∽△EBC ．
（2）解：∵在Rt △ACD 中， AC 2＋AD 2＝CD 2，
∴2AC 2＝CD 2
∴2
AC CD , ∵△DAC ∽△EBC
∴
AC BC ＝DC EC ， ∴EC BC ＝DC AC
， ∵∠BCE ＝∠ACD
∴∠BCE －∠ACE ＝∠ACD －∠ACE ，即∠BCA ＝∠ECD ，
∵在△DEC 和△ABC 中，
EC BC ＝DC AC
，∠BCA ＝∠ECD ， ∴△DEC ∽△ABC ， ∴S △ABC :S △DEC ＝2
DC AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键在于利用（1）中的相似推导出第二对相似三角形.
26．（1）2y x 2x 3=-++；（2）2x <-或3x >；（3）()4,5D -.
【解析】
【分析】
（1）先求出A,B 的坐标，再代入二次函数即可求解；
（2）根据函数图像即可求解；
（3）先求出C 点坐标，再根据平移的性质得到3EF FD ==，设点(),3E a a -，则()3,6D a a +-，把D 点代入二次函数即可求解.
【详解】
解：（1）令0y =，得3x =，∴()3,0A .把()2,B m -代入3y x =-，解得()2,5B --. 把()3,0A ，()2,5B --代入2
y x bx c =-++， 得093542b c b c =-++⎧⎨-=--+⎩，∴23b c =⎧⎨=⎩
， ∴二次函数的表达式为2y x 2x 3=-++.
（2）由图像可知，当12y y >时，2x <-或3x >.
（3）令0x =，则3y =，∴()0,3C .
∵平移，∴AOC DFE ∆≅∆，∴3EF FD ==.
设点(),3E a a -，则()3,6D a a +-，
∴()()2
63233a a a -=-++++，∴11a =，26a =-（舍去）. ∴()4,5D -.
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用.
27．（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，∠FGE＝FBC，再根据已知∠FBC＝
∠DCE，进而可得结论；
（2）作三角形FBC的外接圆交AD于点P即可证明．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠FGE＝∠FBC
∵∠FBC＝∠DCE，
∴∠FGE＝∠DCE
∵∠FEG＝∠DEC
∴∠D＝∠F．
（2）如图所示：
点P即为所求作的点．
证明：作BC和BF的垂直平分线，交于点O，
作△FBC的外接圆，
连接BO并延长交AD于点P，
∴∠PCB＝90°
∵AD∥BC
∴∠CPD＝∠PCB＝90°
由（1）得∠F＝∠D
∵∠F＝∠BPC
∴∠D＝∠BPC
∴△BPC∽△CDP．
【点睛】
此题主要考查圆的综合应用，解题的关键是熟知平行四边形的性质、外接圆的性质及相似
三角形的判定与性质.
28．（203+17）cm ．
【解析】
【分析】
过点B 作BM ⊥CE 于点M ，BF ⊥DA 于点F ，在Rt △BCM 和Rt △ABF 中，通过解直角三角形可求出CM 、BF 的长，再由CE=CM+BF+ED 即可求出CE 的长．
【详解】
过点B 作BM ⊥CE 于点M ，BF ⊥DA 于点F ，如图所示．
在Rt △BCM 中，BC=30cm ，∠CBM=30°，
∴CM=BC•sin ∠CBM=15cm ．
在Rt △ABF 中，AB=40cm ，∠BAD=60°，
∴BF=AB•sin ∠3．
∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，
∴四边形BFDM 为矩形，
∴MD=BF ，
∴33（cm ）．
答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是（3）cm ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形求出CM 、BF 的长是解题的关键．
29．（1）见解析；（2）EFC ∆的面积为
513；（3）53、5、155(345)-【解析】
【分析】
（1）先说明∠CEF=∠AFB 和90B C ∠=∠=，即可证明ABF ∆∽FCE ∆；
（2）过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠=；再结合矩形的性质，证得△FGE ∽△AHF ，得到AH=5GF ；然后运用勾股定理求得GF 的长，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（3）分点E 在线段CD 上和DC 的延长线上两种情况，然后分别再利用勾股定进行解答即可．
【详解】
（1）解：∵矩形ABCD 中，
∴90B C D ∠=∠=∠=
由折叠可得90D EFA ∠=∠=
∵90EFA C ∠=∠=
∴90CEF CFE CFE AFB ∠+∠=∠+∠=
∴CEF AFB ∠=∠
在ABF ∆和FCE ∆中
∵AFB CEF ∠=∠，90B C ∠=∠=
∴ABF ∆∽FCE ∆
（2）解：过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠= ∵矩形ABCD 中，
∴90D ∠=
由折叠可得：90D EFA ∠=∠=，1DE EF ==，5AD AF ==
∵90EGF EFA ∠=∠=
∴90GEF GFE AFH GFE ∠+∠=∠+∠=
∴GEF AFH ∠=∠
在FGE ∆和AHF ∆中
∵,90GEF AFH EGF FHA ∠=∠∠=∠=
∴FGE ∆∽
AHF ∆ ∴EF GF FA AH
= ∴15GF AH
= ∴5AH GF =
在Rt AHF ∆中，90AHF ∠=
∵222AH FH AF +=
∴222(5)(5)5GF GF +-= ∴513
GF = ∴EFC ∆的面积为
155221313⨯⨯= （3）设DE=x ，以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则：
①当点E 在线段CD 上时，∠DAE<45°，
∴∠AED>45°，由折叠性质得：∠AEF=∠AED>45°，
∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°，
∴∠CEF<90°，
∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，
a,当∠EFC=90°时，如图所示:
由折叠性质可知，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°，
∴点A，F，C在同一条线上，即：点F在矩形的对角线AC上，在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，根据勾股定理得，AC=34，由折叠可知知，EF=DE=x，AF=AD=5，
∴CF=AC-AF=34-5，
在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，
∴x2+（34-5）2=（3-x）2，解得x=5(345)
-
即：DE=
5(345)
-
b,当∠ECF=90°时，如图所示: 点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，22
AF AB
-，
∴CF=BC-BF=1，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
（3-x）2+12=x2,解得x=5
3
,即：DE=
5
3
；
②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，
∴∠CFE<90°，
∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，
a、当∠CEF=90°时，如图所示
由折叠知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，
∴四边形AFED是正方形，
∴DE=AF=5；
b、当∠ECF=90°时，如图所示:
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴点F在CB的延长线上，
∴∠ABF=90°，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，22
-，
AF AB
∴CF=BC+BF=9，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∴（x-3）2+92=x2，解得x=15，即DE=15，
5(345)
-5
、5、15．
3
【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理等
知识点，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解答本题的关键．
30．（1）见解析；（2）
19
【解析】
【分析】
（1）根据题意列表，展示出所有等可能的坐标结果；
（2）由（1）可求得点落在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上的结果数，再根据概率公式计算即可解答．
【详解】
（1）根据题意列表如下：
（2）由上表可知，点（1，2）、（4，2）都在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上， 所以P （这些点落在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上）＝
218＝19． 【点睛】
本题考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是不重复不遗漏地列出所有等可能的结果．
31．（1）120y x =-+；（2）销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意将（65,55）,（75,45）代入解二元一次方程组即可；（2）表示出利润解析式,化成顶点式讨论即可解题.
【详解】
解：()1根据题意得65557545k b k b +=⎧⎨+=⎩
，
解得1120k b =-⎧⎨=⎩
． 所求一次函数的表达式为y x 120=-+．
（2）()()w x 60x 120=--+
2x 180x 7200=-+-
2(x 90)900=--+，
∵抛物线的开口向下，
∴当x 90<时，w 随x 的增大而增大，
又因为获利不得高于45%，60 1.4587⨯=，
所以60x 87≤≤，
∴当x 87=时，2w (8790)900891=--+=．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,表示出二次函数的解析式是解题关键.
32．（1）详见解析；（2）4；（3）
252
【解析】
【分析】
（1）首先连接OD ，通过半径和角平分线的性质进行等角转换，得出OD AE ∥，进而得出OD DE ⊥，即可得证；
（2）首先连接BD ，得出AED ADB ∆∆∽，进而得出2A D A A E B =⋅，再根据勾股定理得出DE ；
（3）首先连接DF ，过点D 作DG AB ⊥，得出AED AGD ∆∆≌，再得EDF GDB ∆∆≌，进而得出2AB AF EF =+，然后构建二次函数，即可得出其最大值.
【详解】
（1）证明：连接OD
∵OD OA =
∴12∠=∠
∵AD 平分BAE ∠
∴13∠=∠
∴32∠=∠
∴OD AE ∥
∵DE AF ⊥
∴OD DE ⊥
又∵OD 是O 的半径
∴DE 与O 相切
（2）解：连接BD
∵AB 为直径
∴∠ADB=90°
∵13∠=∠
∴AED ADB ∆∆∽
∴2A D A A E B =⋅
∴280AD =
∴Rt ADE ∆中2228084DE AD AE =-=-=
（3）连接DF ，过点D 作DG AB ⊥于G
∵13∠=∠，DE ⊥AE ，AD=AD
∴AED AGD ∆∆≌
∴AE AG =，DE=DG
∴EDF GDB ∆∆≌
∴EF BG =
∴2AB AF EF =+
即：210x y +=
∴152
y x =-+ ∴2152
AF EF x x ⋅=-+ 根据二次函数知识可知：当5x =时，()max 252AF EF ⋅=
【点睛】
此题主要考查直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质与二次函数的综合应用，熟练掌握，即可解题.。