韦达定理与根的判别式

韦达定理与根的判别式

知识点：

1、根的判别式24b ac -

（1）240b ac -> ，方程有两个不相等的实数根；

（2）240b ac -=，方程有两个相等的实数根；

（3）240b ac -<，方程没有实数根；

2、韦达定理

已知12,x x 是一元二次方程的两根，则有

12b x x a +=- 12c

x x a =

例1：已知一元二次方程2210x x m ++-=

（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设12,x x 是方程的两个实数根，且满足2

1121x x x +=，求m 的值

练习：

1、方程230x ++=的根的情况是（ ）

A 有两个不等的有理实根

B 有两个相等的有理实根

C 有两个不等的无理实根

D 有两个相等的无理实根

2、已知12,x x 是方程2

2340x x +-=的两个根，则（ ）

A 123

2x x +=- ，122x x = B 123

2x x += ，122x x =-

C 123

2x x +=- ，122x x =- D 123

2x x += ，122x x =

3、已知方程220x +-=，则此方程（ ）

A 无实数根

B 两根之和为

C 两根之积为2

D 有一根为2

4、已知12,x x 是方程22310x x +-=的两个根，则

1211x x +的值为（ ） A 3 B -3 C 32-

D 32 5、若将二次三项式26x px --因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p 的值是（ ）

A -5

B -1

C 1

D 5

6、已知12,x x 是方程2430x x -+=的两个根，那么12x x 的值是（ ）

A - 4

B 4

C -3

D 3

7、在一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a 与c 异号，则方程（ ）

A 有两个不相等的实数根

B 有两个相等的实数根

C 没有实数根

D 根的情况无法确定

8、已知一元二次方程的两根分别为123,4x x ==-，则这个方程为（ ）

A (3)(4)0x x -+=

B (3)(4)0x x ++=

C (3)(4)0x x +-=

D (3)(4)0x x --=

9、关于x 的一元二次方程23210x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）

A 43k <

B 413k k <≠且

C 43k ≤

D 43

k > 10、若关于x 的一元二次方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为

（ ）

A 43m <

B 43m ≤

C 423m m >≠且

D 423

m m ≥≠且 11、已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90º ，那么关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++=的

根的情况为（ ）

A 有两个不相等的实数根

B 有两个相等的实数根

C 没有实数根

D 无法确定

12、设12,x x 是方程22430x x --=的两个根，则

1211x x += 13、已知关于x 的方程222(2)0x m x m --+=有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m 的值为

14

、已知方程2(10x x +-=的两根为12,x x ，则2212x x +的值为

15、关于x 的一元二次方程2

(31)0mx m x m --+=，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根。 例2：m 取什么值时，关于x 的方程

2x 2-(m ＋2)x ＋2m －2＝0

有两个相等的实数根？求出这时方程的根.

解：因为方程有两个相等的实数根，所以Δ 0,即

Δ=

= 0

解这个关于m 的方程得

1、用判别式直接判断一元二次方程是否有实数根。

（1）y 2＋y －4＝0 （2）y 2＋y+4＝0； （3）y 2－y －4＝0 （4）y 2－y+4＝0；

2、m 取什么值时，关于x 的方程

2x 2-4mx ＋2m 2 －m ＝0

(1)有两个相等的实数根？

(2)有两个不相等的实数根？

(3)没有实数根？

3、m 取什么值时，关于x 的方程

mx 2-(2m-1)x ＋m －2＝0

没有实数根？

一元二次方程根与系数的关系

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

（1）x 2－2x ＝0；

（2）x 2＋3x －4＝0；

（3）x 2－5x ＋6＝0.

探 索

一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0（p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0），用求根公式求出它的两个根x 1、x 2，

x 1＋x 2= 即：两根之和等于

x 1•x 2= 即：两根之积等于

练习

1、（1）x 2－x －4＝0 （2）x 2－4x+1＝0；

12x x += 12x x +=

12.x x = 12.x x =

2、已知关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，求p 和 q 的值；

3、已知方程x 2+k x

=0的一个根是-1，求k 的值及另一个根.

4、如果2x 2－ m x －4=0的两个根分别是1x 、2x ,且12

11x x +=2，那么实数m 的值是？

5、如果2x 2－ 5x －4=0的两个根分别是α、β，那么α+β+αβ=？

5、已知关于x 的方程x 2－6x ＋p 2－2p ＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值.