平行四边形中的动点问题

平行四边形中的动点问题

动点题是近年来中考的的一个热点问题,解这类题目要“以静制动”，即把动态问题,变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量Ｘ、Y 的变化情况并找出相关常量，第二,按照图形中的几何性质及相互关系,找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求,依据几何、代数知识解出。第三,确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

一、例题:

如图,在平行四边形AB ＣD 中,A Ｄ=4 c ｍ,∠A ＝60°,ＢD ⊥AD. 一动点Ｐ从A 出发,以每秒１ c ｍ的速度沿A →B →Ｃ的路线匀速运动，过点P 作直线ＰM ，使PM ⊥AD .

(1) 当点Ｐ运动2秒时,设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积;

(２) 当点P 运动2秒时，另一动点Ｑ也从A 出发沿A →Ｂ→C 的路线运动,且在A Ｂ上以每秒1 ｃm 的速度匀速运动,在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使Q Ｎ∥ＰM ． 设点Q 运动的时间为t 秒(０≤t ≤10),直线PM 与Q Ｎ截平行四边形ＡB ＣD

所得图形的面积为S c ｍ2 .

① 求Ｓ关于ｔ的函数关系式；② (附加题） 求S 的最大值。

E D C

B A M

P

解题思路：

第（1)问比较简单,就是一个静态问题当点Ｐ运动2秒时，ＡP=２ｃm,

由∠A=60°,知AE=1，

∴ＳΔAPE =2

3 第(2)问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论.

P 点从A →Ｂ→C 一共用了１2秒,走了12 ｃｍ，

Q 点从A →B 用了8秒，B →C 用了2秒，

所以t 的取值范围是 ０≤t ≤10

不变量：Ｐ、Q 点走过的总路程都是12cm,P 点的速度不变,所以A Ｐ始终为:ｔ+2

若速度有变化，总路程 =变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间＋变化后的速度×(ｔ－变化点所用时间）.

如当8≤t ≤1０时，点Q 所走的路程A Ｑ=1×8＋２（t-８)＝2t-８

① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在ＡB 上运动,

设PM 与AD 交于点G,QN 与AD 交于点Ｆ,

则ＡQ=t,ＡF=2t ,QF=t 2

3，AP=t+2,ＡＧ＝１+2t ，ＰG ＝t 233+. ∴此时两平行线截平行四边形A ＢCD 是一个直角梯形,

其面积为（ＰG+ QF ）×AG ÷２ Ｓ＝2

323+t . 当６≤ｔ≤８时，点P 在ＢC 上运动，点Q 仍在ＡB 上运动．

设ＰM 与D Ｃ交于点G,ＱN 与AD 交于点F,

则ＡＱ=ｔ，AF=

2t ,ＤＦ=4-2t (总量减部分量), QF ＝t 2

3，AP ＝ｔ+２,ＢＰ=t-6(总量减部分量）,

ＣP ＝AC － AP ＝１2-（t+2)=10-t （总量减部分量)， PG=3)10(t -,而BD=34,

故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为

平行四边形的面积减去两个三角形面积S ＝3343108

352-+-t t . 当8≤t ≤1０时，点P 和点Q 都在B Ｃ上运动.

设PM 与DC 交于点G ，QN 与ＤC 交于点F ，

则AQ=2t-8，CQ= A Ｃ- AQ ＝ １2-（2t-８)=2０－2ｔ，（难点）

QF ＝(２

，C Ｐ=10－t ，P Ｇ=3)10(t -.

∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S ＝

31503302332+-t t . ②(附加题）当0≤ｔ≤6时,Ｓ的最大值为

237； 当6≤t ≤8时，S 的最大值为36;

当8≤ｔ≤10时，Ｓ的最大值为36；

所以当ｔ=８时，S 有最大值为36 .

二、练习:

1．如图，正方形A ＢCD 的边长为5cm,Rt△EＦG 中，∠G＝90°，FG ＝4ｃm,EG ＝3cm,且点Ｂ、Ｆ、C 、G 在直线l 上,△EFG 由Ｆ、C 重合的位置开始，以1c ｍ/秒的速度沿直线l 按箭头所表示的方向作匀速直线运动.

(1）当△EＦＧ运动时，求点E 分别

运动到CD 上和AB 上的时间；

（２)设x(秒)后，△EFG 与正方形

AB ＣＤ重合部分的面积为ｙ（ｃm 2）,

求y 与x 的函数关系式;

（3)在下面的直角坐标系中,画出

0≤x≤2时（2）中函数的大致图象；如

果以Ｏ为圆心的圆与该图象交于点P （x,9

8),与x 轴交于点Ａ、B(Ａ在Ｂ的左侧）,求∠ＰAB 的度数．

2.已知,如图，在直角梯形C ＯＡＢ中,C Ｂ∥OA,以O 为原点建立平面直角坐标系,Ａ、B 、C 的坐标分别为A(１0，０）、B （4,8）、C （0，８），D 为OA 的中点,动点P 自A 点出发沿A

P N M C

B A O y x →Ｂ→Ｃ→Ｏ的路线移动，速度为每秒１个单位,移动时间记为t 秒，

（１)动点P 在从A 到B 的移动过程中,设△A ＰD 的面积为Ｓ,试写出S 与t 的函数关系式,指出自变量的取值范围，并求出S 的最大值

(２)动点P 从出发，几秒钟后线段PD 将梯形COAB 的面积分成1:3两部分?求出此时P 点的坐标

x

y

O B

A P

C D

3.如图,平面直角坐标系中,四边形OABC 为矩形，点Ａ、B 的坐标分别为(3,0)，（3,4)。动点M 、N 分别从O 、B 同时出发,以每秒1个单位的速度运动。其中,点M 沿OA 向终点Ａ运动,点N 沿ＢC 向终点C 运动。过点Ｎ作N Ｐ⊥AC，交A Ｃ于P,连结M Ｐ。已知动点运动了x 秒。

（1）P 点的坐标为(，）;(用含x 的代数式表示)

（２)试求 ⊿MＰＡ面积的最大值,并求此时x 的值。

（3）请你探索：当x 为何值时，⊿ＭPA 是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。

4.如图，在Rt ABC 中,90B ∠=︒，30C ∠=︒,12AB =厘米，质点P 从Ａ点出发沿线路AB BC -作匀速运动,质点Q 从AC 的中点D 同时．．

出发沿线路DC CB -作匀速运动逐步靠近质点P ，设两质点P 、Ｑ的速度分别为1厘米／秒、a 厘米/秒(1a >)，它们在t 秒后于B Ｃ边上的某一点E 相遇。(１）求出A Ｃ与B Ｃ的长度;(2)试问两质点相遇时所在的Ｅ点会是B Ｃ的中点吗?为什么?（３）若以D 、E 、C 为顶点的三角形与△ＡＢＣ相似,试分别求出a 与t 的值；

5.在三角形ABC 中,60,24,16O B BA cm BC cm ∠===.现有动点P 从点Ａ出发，沿射线AB 向点B 方向运动;动点Q 从点C 出发,沿射线CB 也向点Ｂ方向运动.如果点P 的速度是4cm /秒,点Ｑ的速度是2cm /秒，它们同时出发,求:（1)几秒钟后，ΔP ＢQ 的面积是ΔABC 的面积的一半? (2）在第（1)问的前提下，P,Q 两点之间的距离是多少?

6.如图,已知直角梯形ABCD 中,ＡD ∥BC,∠Ａ=９0o ，∠Ｃ

=60o ,AD=3cm,BC=9cm.⊙O 1的圆心O 1从点A 开始沿A —D —C 折线以1cm ／ｓ的速度向点Ｃ运动,⊙O 2的圆心O 2从点Ｂ开始沿BA 边以3cm/s 的速

度向点Ａ运动，如果⊙Ｏ1半径为２c ｍ，⊙O 2的半径为4cm ，若O 1、Ｏ2

分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为ts

(１)请求出⊙Ｏ2与腰CD 相切时ｔ的值；

(２)在0s

7.如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC(O 为原点）,ＡC ∥OB,OC ⊥

BC ，A Ｃ，OB 的长是关于x 的方程x 2-(k ＋２）x ＋5＝0的两个根，且S △A

ＯC :S △ＢOC ＝1:5。ﻩ