平方差公式分解因式
因式分解公式平方差公式
因式分解公式平方差公式因式分解公式中的平方差公式，那可是数学世界里的一个超级实用的工具！咱们先来看看啥是平方差公式。
简单说，就是 a² - b² = (a + b)(a - b) 。
这公式看着简单，用起来可厉害着呢！就拿我曾经教过的一个学生小明的例子来说吧。
有一次课堂练习，题目是分解因式 x² - 25 。
小明一开始抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。
我就提醒他，看看这式子像不像平方差公式的样子？他眼睛一亮，马上反应过来，25 不就是 5 的平方嘛，这式子不就是 x² - 5²嘛。
然后，他迅速写下 (x + 5)(x - 5) ，那脸上的表情，别提多得意了。
再比如，遇到 9m² - 4n²这样的式子。
咱们一看，9m²就是 (3m)²，4n²就是 (2n)²，那这就可以用平方差公式分解为 (3m + 2n)(3m - 2n) 。
平方差公式在解决实际问题中也大有用处。
比如说，要计算一个长方形场地的面积，已知它的长是 (x + 3) 米，宽是 (x - 3) 米，那面积就是 (x² - 9) 平方米。
这时候用平方差公式一分解，就能更清楚地知道具体数值。
而且啊，平方差公式还能帮我们在做数学证明题的时候找到思路。
有些看起来特别复杂的式子，一旦发现能用平方差公式分解，就好像找到了打开难题大门的钥匙。
我还记得有一次考试，有一道题是分解 16a⁴ - b⁴。
很多同学都被难住了，但那些真正掌握了平方差公式的同学，很快就把它分解为 (4a²+ b²)(2a + b)(2a - b) ，轻松拿下分数。
在数学的学习中，平方差公式就像是我们的得力助手，只要用对了地方，就能让难题变得简单。
所以同学们一定要好好掌握这个公式，多做练习，让它成为我们解题的神器！总之，平方差公式虽然简单，但是用处多多。
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
平方差公式分解因式课件
续化把(简x+。p)和(x+q)各看成一个整体。
公式中的a、b可以代表一个数或一个式，可 以是单项式、也可以是多项式。
比一比谁算得又快又准确
练习：把下列各式分解因式： (1)9a2-4b2 (2)(n+1)2-4
共同探究：分解因式
(1)x4-y4
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
把下列各式转化成平方的形式
(1) 9x²= ( 3x )2
(2)
1 16
y²=(
1 4
y
)2
(3) 215a²b2 =(15 ab)2
探索新知：分解因式 (1)4x2-9
如果两项不是直接的平方差形式，先转化成
a2 - b2 的形式。 (2)(x+p)2-(x+q)2
生活实践
• 一个圆环形花坛的外圆半径R=35米,内圆半 径r=25米,如果要在环形内种植串串红，你 能计算出种植面积吗？（结果保留π）
解： π×352－π×252 =π(352－252) = π(35＋25) (35-25) =π×60×10 =600π（米2）
答：种植的总面积为 600π米2 。
32 – 12 = 8 62 – 32 = 27 1012-992= (101+99)(101-99)
= 400 a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
两个数的平方差，等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
翻牌游戏
下列多项式能否用平方差公式来 分解因式？为什么？
X2+y2 X2-y2
X2-y
-X2+y2
X2 - y2 -z2
用完全平方差公式因式分解
x2 x1
4
(4)4x2 2xy y2
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a2 10a ( 25 ) ( a 5 )2
(2) ( a2 y2) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式
用完全平方公式分解因式的关键是：在判断一个多项式 是不是一个完全平方式。 做一做：下列多项式中，哪些是完全平方式？
(1) a2 4a 4 (2) (3) m2n2 4 4mn
2 (3)a 2a 1
2 (4)4 x 4 x 1
(5)ax2 2a2 x a3
(6) 3x2 6xy 3y2
(7) (a+b)4-10(a+b)2+25
例2.用简便方法运算。
(1)2006 2 62 (2)132 213 3 9 (3)112 39 2 66 13
分解因式4x2-9 =(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
能用平方差公式进行因式分解的多项式有 什么特点？
(1)两项 (2)平方差
下面的多项式能用平方差公式分解因式吗？ (1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
完全平方公式： 完全平方公式
(a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是：
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负
解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2
用平方差公式分解因式(2021精选文档)
法，进行简便计算。
5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再 考虑运用平方差公式分解因式。
随堂练习：
P49 1 2
利用因式分解计算： 1002-992+982-972+962-952+… +22-12 解：原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +… +(2+1)(2-1) =100+99+98+97 +… +2+1 =5050
2) 4x²- 9y²
m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4) a² - b²= (a + b)( a - b )
4x²- 9y²=(2x)²-( 3y)²=(2x+ 3y)(2x- 3y)
例4 分解因式:
(1)x4—y4;
(2) a3b —ab.
分解因式 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.
用平方差公式分解因式课件
运用平方差公式 分解因式
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2); 2) . (x+2y) (x-2y)
看谁做得最快最 正确！
3) 3). (t+4s)(-4s+t)
4). (m²+2n²)(2n²- m²)
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ， 它们有什么共同特征？
=4(2m+n)(m+2n)
2、分解因式： xm+2-xm
解：xm+2-xm =xmx2-xm =xm(x2-1) =xm(x+1)(x-1)
平方差公式分解因式
例4 分解因式:
(1)x4—y4;
(2) a3b —ab.
分解因式 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.
练习
1.下列多项式能否用平方差公式来分 解因式?为什么?
(1) x2+y2 ;
(2) x2－y2;
(3) －x2+y2;
(4) －x2－y2.
2.分解因式: (1)a2－ b2; (2)9a2－4b2; (3) x2y－4y ; (4) －a4 +16.
思维延伸
2. 对于任意的自然数n， (n+7)2－ (n－5)2能被 24整除吗? 为什么?
思维延伸
1. 观察下列各式: 32－12=8=8×1; 52－32=16=8×2; 72－52=24=8×3;
…… 把你发现的规律用含n的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数n，(n+7)2－ (n－5)2能被 24整除吗? 为什么?
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
作业：习题15.4，2、4.
思考
14.3.2 公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2 －解因式吗?这两个多项式有什么 共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
两个数的平方差,等于这两个数的 和与这两个数的差的积.
例3 分解因式: (1)4x2 – 9 ; (2) (2) (x+p)2 – (x+q)2.
多次运用平方差公式因式分解(一)
多次运用平方差公式因式分解(一)平方差公式是初中数学里常见的知识点之一，它的运用范围也非常广泛。
其中最常见的一种运用是因式分解，利用平方差公式将一个多项式分解成两个平方差的形式。
本文将对多次运用平方差公式因式分解的方法进行探讨。
一、平方差公式平方差公式是指两个数的积可以表示成它们两者之差的平方加上这两个数的平均数的平方。
记作a×b=(a+b)²-(a-b)²/4。
例如，当 a=3，b=4 时，a×b=3×4=12，(a+b)²=49，(a-b)²=1，那么根据平方差公式，a×b=(a+b)²-(a-b)²/4=12。
二、平方差公式因式分解平方差公式因式分解是指将一个多项式表示成两个平方差的形式相减的结果，如a²-b²=(a+b)(a-b)。
通过这种方法，我们可以将一个多项式因式分解成两个平方差的形式。
例如，要将a²-4b² 分解，我们可以运用平方差公式将其化为(a+2b)(a-2b) 的形式。
三、多次运用平方差公式因式分解运用平方差公式因式分解将一个多项式分解成两个平方差的形式相减，我们可以继续运用平方差公式因式分解其得到的两个平方差分别。
例如，对于问题 4x⁴-25y⁴，我们可以将其分解为(2x²)²-(5y²)²，然后继续运用平方差公式因式分解，得到(2x²+5y²)(2x²-5y²)。
在多项式中多次运用平方差公式因式分解，可以大大简化得出解的过程，极大提高解决问题的效率。
因此，在进行多项式的解题时，多次运用平方差公式因式分解是非常有必要和重要的。
综上所述，平方差公式因式分解是初中数学中常见的知识点，通过多次运用平方差公式因式分解，可以在解决问题时提高解决效率，节约解决时间，是我们学习数学中常用的方法之一。
平方差公式解题技巧
平方差公式解题技巧
平方差公式是指两个完全平方式之间的乘积可以表示为两个完全平
方式的平方和减去两倍它们的积。
平方差公式的一般形式可以表示为：$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$
在解题过程中，灵活运用平方差公式可以简化计算，加快解题速度。
接下来将介绍几种常见的平方差公式解题技巧，并通过实例进行说明。
1. 同解式求和
对于形式为$(a+b)^2$的完全平方式，可以直接利用平方差公式展开
得到其对应的平方和形式。
例如，对于$(x+5)^2$，可以利用平方差公
式展开为$x^2 + 10x + 25$。
2. 分解因式求差
对于形式为$(a-b)(a+b)$的完全平方差，可以利用平方差公式化简得
到其对应的平方差形式。
例如，对于$16x^2 - 9$，可以利用平方差公式化简为$(4x+3)(4x-3)$。
3. 平方差公式的运用
在解决一些特定的代数题目时，可以通过平方差公式的灵活运用来
简化计算。
例如，对于求解$x^2 - 64$的根时，可以直接利用平方差公
式化简为$(x+8)(x-8)$，从而得到方程的解。
通过以上介绍的平方差公式解题技巧，我们可以更加高效地解决代
数问题，提高解题的准确性和速度。
在实际应用中，熟练掌握平方差
公式的运用将在学习数学的过程中起到重要的作用。
希望以上内容能对您的学习有所帮助。
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=(2x+y)(2x-y)
1.具有两式（或）两数平方差形式的 多项式可运用平方差公式分解因式。 2.公式a²- b²= (a+b)(a-b)中的 a , b可以是数或字母，也可以是 单项式或多项式。 3.分解因式要彻底。要注意每一个因式 的形式要最简，直到不能再分解为止。
9m
x y 3mx y 3m
例：因式分解
(1)16a2－1 =
( 4a)2 －( 1 )2 = ( 4a + 1 ) ( 4a－ 1 )
a2 － b2 = ( a + b )( a － b ) (2)4L2－m2n2 =( 2L)2－(mn)2 = ( 2L+ mn ) ( 2L－mn)
(3) -x2-y2
(4)
4+4y2 -x
(
)
多项式
（1）
分解因式的结果
a 4
2
a 2a 2
（2）
（3） （4）
16 x
2
4 x4 x
1 1 1 ab 1 ab 2 2
2
1 1 a 2b 2 4
x y
2
－－因式分解的平方差公式
整式乘法
(a+b)(a-b)
因式分解
a2-b2
平方差公式：
(a b)(a b) a b
2
2
通过逆用乘法公式，将一个多 项式分解因式的方法叫做公式法。
由平方差公式 (a+b)(a-b) = a² - b² 反过来可得 a² - b² = (a+b)(a-b)
(2)16(a b) 9(a b)
2
2
（3）a b) (a c) (
22Βιβλιοθήκη (4)9 x ( x 2 y )
2
2
把下列各式分解因式：
2-4 (1)x
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y) =(1+a)(1-a)
(2) 9-y2
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2 解： 1－25x2 ＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式， 找出a和b
＝(1+5x)(1-5x)
利用a2-b2=(a-b)(a+b) 分解因式
把下列各式分解因式
（）x p) ( x q ) 1(
2 2
a² - b² ( a + b)( a - b ) =
• 平方前符号为负，平方下的式子（数）为ｂ
1.填空： 4x2=( 2x )2
36a4=(6a2 )2
25m2=( 5m )2 0.49b2=(0.7b)2
16 2 2 4 xy )2 x y =( 25 5
4 6 2 3 2 n =( n ) 9 3
2、将下列各式分解因式 (1)a2－1 =( a )2－(
这个公式叫做因式分解的平方差公式。
a b (a b)(a b)
2 2
公式左边的多项式由两项组成
这两项的符号相反 两部分是两个式子(或数) 平方的形式
因式分解的平方差公式：
a² - b²
= (a+b) (a-b)
运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b?
• 答:平方前符号为正，平方下的式子（数）为ａ
1 )2
(2)x4y2－4
(3) 9 x2－0.01y2
49
7 (4)0.0001－121x2 =( 0.01 )2－( 11x )2
=( x2y )2－( 2 )2 =( 3 x )2－( 0.1y )2
3、判断下列各式能否用平方差
公式分解因式： ( (1) x2+y2 (2)
2+y2 -x ( ( ) ) )