电子科技大学,电磁场与电磁波,典型例题

a c
b
ε1
v v v E1 = D / ε1 ρl v D= er ⇒ v v 2π r E2 = D / ε 2 c v ρl ρl c b v bv v ln + ln ∴ U = ∫ E1 dr + ∫ E2 dr = a c 2πε1 a 2πε 2 c 2πε1ε 2U ⇒ ρl = c b ε 2 ln + ε1 ln a c
典型例题
求无限长线电荷在真空中产生的电场。 例 求无限长线电荷在真空中产生的电场。 分析：电场方向垂直圆柱面。 分析：电场方向垂直圆柱面。 电场大小只与r有关。 电场大小只与r有关。 取如图所示高斯面。 解：取如图所示高斯面。 由高斯定律， 由高斯定律，有
r
v E
v v v Q ∫vS E (r ) dS = ε 0 ρl ⋅ l v v ⇒ E (r ) (2π rl ⋅ er ) = ε0 v ρl v ⇒E= ⋅ er 2πε 0 r
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U， 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U 求空间电位分布及电场强度分布。 求空间电位分布及电场强度分布。 解法一：导体球是等势体。 解法一：导体球是等势体。
r ≤ a 时： v
r > a 时：
ϕ = U E = −∇ϕ = 0
c1 1 d 2 dϕ ∇ 2ϕ = 0 r 2 dr (r dr ) = 0 ϕ = − r + c2 aU ⇒ ϕ r = a = U ⇒ ϕ = ϕ r = a = U ⇒ ϕ r = a = U r ϕ r →∞ = 0 ϕ r →∞ = 0 ϕ r →∞ = 0 v v eϕ v ∂ eθ ∂ ∂ aU v + + )( ) E = −∇ϕ = −(er ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r
由高斯定律，可以求得两边媒质中， 由高斯定律，可以求得两边媒质中，
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c b (ε 2 ln + ε1 ln ) ⋅ r a c ε 2U c b (ε 2 ln + ε1 ln ) ⋅ r v a c ⇒E= ε1U c b (ε 2 ln a + ε1 ln c ) ⋅ r
C=
πε 0
ln( D − a) − ln a
例 计算同轴线内外导体间单位长度电容。 计算同轴线内外导体间单位长度电容。 解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为 + ρl 则内外导体间电场分布为： 和 − ρl ，则内外导体间电场分布为：
v E1 =
ρl v er 2πε 0 r
b
则内外导体间电位差为： 则内外导体间电位差为：
ε1 γ 1 ε2 γ 2
I v I v J = er = er S 2π r
v J
v v E J
a
(a < r < c)
v J
ε1 γ 1 ε2 γ 2
由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为： 由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：
v E1 =
γ1
=
I 2πγ 1r
v er
( a < r < b)
p SP sp
4
v 在线性均匀媒质中， 例 在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 的z分量为 v v v v D 2 Dz = 20nC / m 2，极化强度P = ex 9 − ey 21 + ez 15nC / m v v 求：介质中的电场强度 E 和电位移矢量 D 。
解：由定义，知： 由定义，
v v v ε0 v v D = ε0E + P = D + P ε v v Dz 1 =4 ∴ P = (1 − ) D ⇒ ε r = Pz − Dz εr v εr v 4 v ∴ D= P = P =… ε r −1 3 v 1 v E= D 4ε 0
3）
1 Q − ∇ × ∇( ) v 4πε 0 r ∴∇ × E = =0 v Q ∇×r 4πε 0 a 3
例 半径为a的球形电介质体，其相对介电常数 ε r = 4 , 半径为a的球形电介质体， 若在球心处存在一点电荷Q 求极化电荷分布。 若在球心处存在一点电荷Q，求极化电荷分布。 解：由高斯定律，可以求得 由高斯定律，
r
a
∫
0 v v v Q v 2 ⇒ E (r ) (4π r ⋅ er ) = ⇒ E =
S
v v v Q E (r ) dS =
r
ε
Q 4πε 0 r 2
在球内区域： 在球内区域：r≤a
ε0
v ⋅ er
Q 3Q ρ= = V 4π a 3
4 3 ρ ⋅ πr v v v Q v v v 3 E (r ) dS = ⇒ E (r ) (4π r 2 ⋅ er ) = ∫S ε0 ε0 v Qr v ⇒E= ⋅ er 3 4πε 0 a
v aU = er 2 r
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。 解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。 设导体球带电总量为Q 则可由高斯定理求得，在球外空间， 设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为： 强度为：
v E=
Q 4πε 0 r 2
∞
v er
∞ v v Q 1 Q ∴ U = ∫ E dr = (− ) = ⇒ Q = 4πε 0 aU a 4πε 0 r a 4πε 0 a v aU v ∴ E = 2 er r ∞ v ∞ aU aU v ∴ ϕ = ∫ E dr = ∫ 2 dr = r r r r
v D=
ε1ε 2U
(a < r < c)
(c < r < b )
例 球形电容器内导体半径为a，外球壳半径为b。其间充 球形电容器内导体半径为a 外球壳半径为b 的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q 满介电常数为 ε1和 ε 2的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q，外 球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。 球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。 分析：电场平行于介质分界面， 分析：电场平行于介质分界面，由边界条件 v 可知， 相等。 可知，介质两边 E 相等。
例 同轴线内导体半径为a，外导体半径为b。内外导体间 同轴线内导体半径为a 外导体半径为b 的两种理想介质， 充满介电常数分别为 ε1 和 ε 2的两种理想介质，分界面半径为 已知外导体接地，内导体电压为U c。已知外导体接地，内导体电压为U。 v v :(1)导体间的 分布； 求:(1)导体间的 E 和 D 分布； (2)同轴线单位长度的电容 (2)同轴线单位长度的电容 ε2 分析：电场方向垂直于边界， 分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可 v 知，在媒质两边 D连续 解：设内导体单位长度带电量为 ρl
2
ε1
b
例 同轴线填充两种介质，结构如图所示。两 同轴线填充两种介质，结构如图所示。 种介质介电常数分别为 ε1 和ε 2 ，导电率分别为 γ 1 和γ 2 设同轴线内外导体电压为U ，设同轴线内外导体电压为U。
v v (1)导体间的 J ϕ 求：(1)导体间的 E ， ， ；
2c 2b 2a
(2)分界面上自由电荷分布。 (2)分界面上自由电荷分布。 分界面上自由电荷分布 解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用 这是一个恒定电场边值问题。 高斯定理求解。 高斯定理求解。 由边界条件，边界两边电流连续。 由边界条件，边界两边电流连续。 设单位长度内从内导体流向外导体电流为I 设单位长度内从内导体流向外导体电流为I。 则： v
v E2 =
γ2
=
I 2πγ 2 r
v er
(b < r < c)
U =∫
b
a
v v cv v E1 dr + ∫ E2 dr
b
=
I 2πγ 1
(ln b − ln a) +
I 2πγ 2
(ln c − ln b)
2πγ 1γ 2U 0 ⇒I= γ 2 ln(b / a) + γ 1 ln(c / b) v γ 1γ 2U 0 ∴ J= (a < r < c) [γ 2 ln(b / a ) + γ 1 ln(c / b)]r v v γ 2U 0 J v E1 = = er (a < r < b) γ 1 [γ 2 ln(b / a ) + γ 1 ln(c / b)]r v v γ 1U 0 J v E2 = = er (b < r < c) γ 2 [γ 2 ln(b / a ) + γ 1 ln(c / b)]r c v v ϕ2 = ∫ E2 dr = L (b < r < c) r b v v cv v ϕ1 = ∫ E1 dr + ∫ E2 dr = L (a < r < b)
r b
2）由边界条件： 由边界条件： 面上： 在 r = a 面上：
v ) ρ S 1 = D1 n =
面上： 在 r = b 面上：
ε1γ 2U 0 [γ 2 ln(b / a) + γ 1 ln(c / b)]a
(ε 2γ 1 − ε1γ 2 )U 0 [γ 2 ln(b / a) + γ 1 ln(c / b)]b
v 解：令电场强度为 E ，由高斯定律 v v 2 D dS = q ⇒ 2π r ( D1 + D2 ) = q ∫
S
ε2
a
⇒ 2π r (ε1 E + ε 2 E ) = q v q v ⇒E= e 2 r 2π (ε1 + ε 2 )r b v q 1 1 v ϕ (r ) = ∫ E dr = ( − ) r 2π (ε1 + ε 2 ) r b
2）解为球坐标系下的表达形式。 解为球坐标系下的表达形式。
Q v 0 ( r ≥ a ) ∇( ⋅ er ) (r ≥ a) 4πε r 2 v 0 = 1 ∂ 2 Qr ∇ E= Qr v r 2 ∂r (r ⋅ 4πε a 3 ) (r ≥ a) ∇ ( ⋅ er ) (r ≥ a) 0 3 4πε 0 a 0 v ρ ∴∇ E = 3Q = 4πε a 3 ε 0 0
U =∫
a
v v ρl b ln E dr = 2πε 0 a
内外导体间电容为： 内外导体间电容为：
2πε 0 Q C= = U ln b − ln a
例 同轴线内外导体半径分别为a,b，导体间部分填充介质 同轴线内外导体半径分别为a,b a,b， 如图所示。已知内外导体间电压为U ，介质介电常数为 ε ，如图所示。已知内外导体间电压为U。 导体间单位长度内的电场能量。 求：导体间单位长度内的电场能量。 解：设同轴线内导体单位长度带电量为 ρl
半径为a的球形带电体，电荷总量Q均匀分布在球体内。 例 半径为a的球形带电体，电荷总量Q均匀分布在球体内。
v v v v 求：（1）E (r ) ：（1 （ 2） E ( r ) ∇ v v （3）∇ × E (r )
分析：电场方向垂直于球面。 分析：电场方向垂直于球面。 电场大小只与r有关。 电场大小只与r有关。 取如图所示高斯面。 解：1) 取如图所示高斯面。 在球外区域： 在球外区域：r≥a
ρl v ex 2πε 0 x v − ρl v E2 = ( − ex ) 2πε 0 ( D − x) v v v ρ 1 1 v = l ( + )ex ∴ E = E1 + E2 2πε 0 x D − x
v E1 =
D P
x
x
导线间电位差为： 导线间电位差为：
U =∫
D −a
a
v v ρl D−a ln E dx = πε 0 a
v v Qer v v ∫ S D dS = Q ⇒ D = 4π r 2 v v Qer 在媒质内： 在媒质内： E= 4πε r 2 v v v v v 3Qer P = D − ε 0 E = 3ε 0 E = 16π r 2 v 1 ∂ 2 体极化电荷分布: 体极化电荷分布: ρ P = ∇ P = 2 (r Pr ) = 0 r ∂r v v 3Q 面极化电荷分布: 面极化电荷分布: ρ SP = P er = 16π a 2 在球心点电荷处： 在球心点电荷处： = −Q = ρ ⋅ 4π a 2 = − 3Q Q
ρS 2 ρS 3
v v v = ( D2 − D1 ) er = v v = − D2 er = −
在 r = c 面上： 面上：
ε 2γ 1U 0 [γ 2 ln(b / a) + γ 1 ln(c / b)]c
例 平行双线，导线半径为a，导线轴线距离为D 平行双线，导线半径为a 导线轴线距离为D 平行双线单位长度的电容。（ 。（a<<D) 求：平行双线单位长度的电容。（a<<D) y 解：设导线单位长度带电分别为 + ρl 和 − ρl 则易于求得， 点处， ，则易于求得，在P点处，