卷积代数运算

2．分配律
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
系统并联运算
3．结合律 f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) [ f1 (t ) f 2 (t )]
系统并联，框图表示：
h( t )
系统并联
f (t )
f (t ) f (t )
h1 ( t )
f (t ) h1 (t )
∑
y (t )
f (t ) h1 (t ) f (t ) h2 (t ) f (t ) h(t )
h2 ( t )
h( t )
f (t ) h2 (t )
卷积积分的性质
卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 • 卷积代数运算
• 与冲激函数或阶跃函数的卷
积
• 微分积分性质
• 卷积的时移特性
■
第 1页
一、卷积代数运算
1．交换律
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t )
y (t )
f (t )
ht h1 t h2 t
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于 各子系统冲激响应之和。
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f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) [ f1 (t ) f 2 (t )]
f (t ) h1 (t ) h2 (t ) f (t ) [h1 (t ) h2 (t )]
■
f 1(t) 2 0 1 -1 1 f 2(t) 0 1 t t
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三、卷积的微积分性质
1.
d f1 (t ) d f 2 (t ) d f ( t )* f ( t ) * f ( t ) f ( t )* 1 2 2 1 dt dt dt
证：上式= δ(1)(t) *[f1(t)* f2(t)] = [δ(1)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t)
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t
t
t
卷积微分性质例1
例1：f1(t) 如图, f2(t) = e–tu(t)，求f1(t)* f2(t)
f 1(t)
解： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
系统级联运算
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证明交换律
f1 t f 2 t
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t )




f1 ( ) f 2 ( t ) d

令t ，
则 : :


， d d
f1 t f 2 t
f 2 ( ) f1 (t ) d f 2 t f1 t
•卷积结果与交换两函数的次序无关。 •一般选比较简单函数进行反转和平移。
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f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
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二、与冲激函数或阶跃函数的卷积
1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t)
证： (t ) * f (t ) ( ) f (t ) d f (t )

f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0)
2. f(t)*δ’(t) = f’(t)
系统级联，框图表示：
f (t ) h1 ( t ) h2 ( t )
y (t )
系统级联
ຫໍສະໝຸດ Baidu
f ( t ) h1 ( t )
f (t )
h( t )
y (t )
f ( t ) h1 ( t ) h2 ( t )
ht h1 (t ) h2 (t )
结论：1.子系统级联时，总的冲激响应等于子系 统冲激响应的卷积。 2.子系统级联时，可以交换子系统响应次序。
* 证明见笔记 * f(t-t0) ≠ f1(t-t0)* f2(t-t0)
u(t) *u(t) = tu(t) ∴ u(t-t0) *u(t-t0) = (t-2t0)u(t-2t0)
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卷积时移性质例2
例2：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2u (t) –2u (t –1) f2(t) = u(t+1) –u (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 u(t)* u (t+1) –2 u (t)* u (t –1) –2u (t –1)* u (t+1) +2u (t –1)* u (t –1) 由于u (t)* u (t) = tu (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) u (t+1) - 2 (t –1) u (t –1) –2 tu (t) +2 (t –2) u (t –2)
2. [ f1 ( ) * f 2 ( )] d [ f1 ( ) d ] * f 2 (t ) f1 (t ) * [ f 2 ( ) d ] 证：上式=u(t) *[f1(t)* f2(t)] = [u(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t) 3. 在f1(– ∞) =f2(– ∞) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
证：
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*u(t)
f ( )u(t ) d f ( ) d

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t
u(t) *u(t) = tu(t)
4. 卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)