卷积代数运算
卷积和反卷积的计算公式
卷积和反卷积的计算公式一、卷积计算公式。
（一）离散卷积（一维情况）设离散序列x[n]和h[n]，它们的卷积y[n]定义为：y[n]=∑_m =-∞^∞x[m]h[n - m]（二）离散卷积（二维情况）对于二维离散信号x[m,n]和h[m,n]，其卷积y[m,n]为：y[m,n]=∑_k =-∞^∞∑_l=-∞^∞x[k,l]h[m - k,n - l]（三）连续卷积（一维情况）对于连续函数x(t)和h(t)，它们的卷积y(t)定义为：y(t)=∫_-∞^∞x(τ)h(t-τ)dτ二、反卷积计算公式。
反卷积（也称为去卷积）是卷积的逆运算。
在离散情况下，如果已知y[n]（卷积结果）和h[n]，求x[n]，可以通过求解以下方程（在某些条件下）：y[n]=∑_m =-∞^∞x[m]h[n - m]1. 频域方法（离散情况）- 对y[n]、h[n]分别进行离散傅里叶变换（DFT），得到Y[k]和H[k]。
- 根据卷积定理Y[k]=X[k]H[k]，则X[k]=(Y[k])/(H[k])（假设H[k]≠0）。
- 再对X[k]进行逆离散傅里叶变换（IDFT）得到x[n]。
2. 迭代算法（离散情况）- 一种简单的迭代算法是假设初始的x^0[n]=y[n]/h[0]（当h[0]≠0时）。
- 然后通过迭代公式x^i + 1[n]=x^i[n]+frac{y[n]-∑_m =-∞^∞x^i[m]h[n - m]}{∑_m =-∞^∞h[m]h[n - m]}逐步逼近真实的x[n]，其中i表示迭代次数。
在连续情况下，反卷积的求解更加复杂，通常也可以利用频域方法，通过傅里叶变换将问题转换到频域，利用Y(ω)=X(ω)H(ω)，得到X(ω)=(Y(ω))/(H(ω))（假设H(ω)≠0），再通过逆傅里叶变换得到x(t)，但在实际应用中要考虑到函数的性质、收敛性等诸多问题。
卷积积分基础
f
(i 2
j
)
(t
)
f (t)
f1(1) (t)
f (1) 2
(t
)
d dt
f1(t)
t
f2 ()d
常数信号(直流信号) f (t) E ( t ) 经微分后为零,需特殊考虑, 不能用微分性质
15
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t) (t) f (t)
f (t) (t) ( ) f (t )d f (t)
1 1
2
1
1 2
(t
)d
3t 3 4 16
7
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
h(t )
e( )
t
(3) 1 t 3 2
e(t) h(t) 3 t 3 4 16
(4) 3 t 3
e( )
2
h(t )
t
e(t) h(t) 1 1 1 (t )d
t2
4
t 4
1 16
( 1 t 1) 2
r(t) e(t) h(t)
r(t)
43
t
3 16
(1 t 3) 2
t2
t
3
( 3 t 3)
4 2 4 2
0
其它
t
卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和
10
P842 14(1) f (t) u(t) u(t 1),求s(t) f (t) f (t)
(1) t 0时, s(t) 0
(2)
0 t 1时,
s(t)
t
d t
0
(3)
1 t 2时,
s(t)
1
卷 积 积 分
1.1 卷积积分的推导
函数分解为窄脉冲
解：将 反折，得
，如图（c）所示。由
图可见， 保持不动，将 平移 ，得
，如图（d）所示。
其计算结果如下：
1.2 卷积积分的性质 （1）卷积的代数运算 ①交换律
即：
例：
,求
。
解法一：将 反褶
由于
所以 同理可得 于是
②分配律 ③结合律 （2）卷积的微分与积分 ①卷积的微分
信号与系统
卷积积分
根据LTI系统的性质，如果将作用于LTI系 统的输入信号分解，而且每个分量作用于系统 的响应容易求得。那么，根据叠加原理，将各 个分量产生的响应求和即可得原输入信号引起 的响应。
卷积法的原理就是将信号分解成许多冲激 信号之和，借助系统的冲激响应，求解线性时 不变系统对任意激励信号的零状态响应。它也 是时域与变换域方法之间相联系的重要手段。
② 卷积的积分例：设有源自个函数分别为求这两个函数的卷积
。
利用卷积的微分得
信号与系统
第二章 (4)卷积积分的性质
f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分 其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的 系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广
卷积简单介绍
卷积是分析数学中一种重要的运算。
设：,是上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的，上述积分是存在的。
这样，随着的不同取值，这个积分就定义了一个新函数，称为函数与的卷积，记为。
我们可以轻易验证：，并且仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
例如两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，利用此一性质，能简化傅里叶分析中的许多问题。
由卷积得到的函数一般要比和都光滑。
特别当为具有紧支集的光滑函数，为局部可积时，它们的卷积也是光滑函数。
利用这一性质，对于任意的可积函数，都可以简单地构造出一列逼近于的光滑函数列，这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
函数f与g的卷积记作，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数。
积分区间取决于f与g的定义域。
对于定义在离散域的函数，卷积定义为1. 首先将两个函数都用来表示。
2. 对其中一个函数做水平翻转：→3. 加上一个时间偏移量，让能沿着轴滑动。
4. 让t从-∞滑动到+∞。
两函数交会时，计算交会范围中两函数乘积的积分值。
换句话说，我们是在计算一个滑动的的加权平均值。
也就是使用当做加权函数，来对取加权平均值。
最后得到的波形（未包含在此图中）就是f和g的卷积。
如果f（t）是一个单位脉冲，我们得到的乘积就是g（t）本身，称为冲激响应。
计算卷积的方法[编辑]当为有限长度，为有限长度的信号，计算卷积有三种主要的方法，分别为1.直接计算(Direct Method) 2.快速傅里叶转换(FFT)和3.分段卷积（sectioned∙作法：利用卷积的定义∙若和皆为实数信号，则需要个乘法。
∙若和皆为更一般性的复数信号，不使用复数乘法的快速算法，会需要个乘法;但若使用复数乘法的快速算法，则可简化至个乘法。
因此，使用定义直接计算卷积的复杂度为。
2.4 卷积积分的性质
(t ) f (t ) d t f (0)
证： f (t )* (t ) (t )* f (t ) ( ) f (t ) d f (t )
f t t t0 f t t0
两种运算的不同之处仅在于，卷积运算需将 f2 进行反折
为 f 2 ，而相关运算不需反折，仍为 f2 。其他的移位、相乘 和积分的运算方法相同。
通信与信息工程学院基础教学部
小结： 求卷积是本章的重点与难点。
• 求解卷积的方法可归纳为： • （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比 较有效。如指数函数，多项式函数等。 • （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 • （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。
( ) f (t ) f (t ) ( ) d f (t )
f t
n
t f
n
t
3. f t t f ( ) (t ) d f ( ) d 对函数积分
t t t t
通信与信息工程学院基础教d n f1 (t ) d n f 2 (t ) dn f (t ) * f 2 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * 1. n 1 n dt dt d tn dn f1 t f 2 t 证： n f1 (t )* f 2 (t ) n t dt n f2 t t f t 1
t 0
(t ) (1 e t ) (t )
卷积运算原理
卷积运算原理卷积运算是指对两个函数进行相乘并积分的一种运算方式。
其原理表述如下：在时间域（或空域）里，两个函数进行相乘在函数值上的叠加和，等同于在频域中对其傅里叶变换后的函数进行相乘再傅里叶反变换。
这个原理被广泛应用于信号处理、图像处理等领域。
卷积运算的过程卷积运算的过程可以用下面两个式子表示：$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(a)h(t-a)da $$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t-a)h(a)da $其中，$x(t)$ 和 $h(t)$ 分别代表两个需要进行卷积的函数。
第一个式子中，$x(t)$ 作为卷积操作的输入，$h(t)$ 作为线性时不变系统的响应，输出将得到卷积结果 $y(t)$。
第二个式子中，$h(t)$ 作为卷积操作的输入，$x(t)$ 作为线性时不变系统的响应，输出依然将得到卷积结果 $y(t)$。
卷积运算的应用卷积运算在数字信号处理中被广泛应用于信号滤波、降噪、压缩等领域。
在图像处理领域中，卷积运算也是一个基本操作，被用于模糊、锐化、边缘检测等多种图像处理任务中。
通常在图像卷积运算中，使用的是离散形式的卷积公式。
即对于一个 $M × N$ 的图像矩阵和一个 $K ×K$ 的滤波核，对于图像的每个小区域，均对卷积核和该小区域进行卷积运算，得到图像中每个像素的值。
卷积运算的局限性虽然卷积运算被广泛应用于多个领域中，但是也存在其局限性。
最主要的问题是卷积核的大小和形状的限制。
通常使用的卷积核都是固定大小的，这也限制了其处理的图片或信号的大小。
而且，一些卷积核在处理一些边界系统时，会产生锐利的边界，这也会对图像处理带来一定的问题。
总结卷积运算是广泛应用于信号处理、图像处理等领域的一种基本运算方式。
它通过对两个函数进行相乘并积分的方式，从而实现对信号、图像等的滤波、降噪、压缩等功能。
尽中存在其局限性，但其基本原理和应用依然得到了广泛的应用。
卷积计算(图解法)
(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。
2021/3/11
1
计算卷积时，一般要分几个区间分别加以 考虑，下面举例说明。
例 已知x(n)和h(n)分别为：
1, 0 n 4 x(n) 0, 其它
an , 0 n 6
和 h(n)
0,
其它
a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的卷积。
2021/3/11
2
解 参看图，分段考虑如下：
x(m)
n 04
h(m)
n 06
h(n-m)
(1)对于n<0；
n-6 n
(2)对于0≤n≤4；
(3)对于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6；
(4)对于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10；
(5)对于(n-6)>4，即n>10。
2021/3/11
m
3
(1) n<0
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5
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
4
y(n) x(m)h(n m)
m0
m 04
h(n-m)
4
4
1 anm an am
m0
m0
m
n-6 0
46 n
an 1 a(14) an4 a1n
1 a1
1 a
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6
x(m)
(4)在6<n≤10区间上
n
y(n) x(m)h(n m)
an4 a7
1 a
,
6 n 10
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0,
10 n 8
x(m)
m
y(n) x(n) h(n) 0
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
卷积积分的运算
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量； 2）把其中一个信号翻转、平移；
h( ) 翻转h( ) 平移th(( t)) h(t )
3）将x() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
例11：画出下列系统的模拟图
y(t) 5 y(t) 3 y(t) 3x(t) x(t)
例：引入辅助函数q(t)
q(t) 5q(t) 3q(t) x(t) 利用微分特性法 y(t) 3q(t) q(t)
q(t) x(t) 5q(t) 3q(t)
例12：根据系统的模拟图写出其微分方程模型
et
d
r t
d
et
rt
et
rt
et
T rt
rt de(t)
dt
t
r(t) e(t)dt
rt et rt et T
例10：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
a2 y(t) a1 y(t) a0 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a2 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a1 y(t) a0 y(t)
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(t )
b0 x(t )
a1
y(t)
a0
y(t )]
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(1) (t )
b0 x(2) (t ) a1 y(1) (t ) a0 y(2) (t )]
根据该式，可直接画出系统模拟图
y(t)
卷积
g (t) * g (t)
=
o t o
=
t
o
t
第四节 卷积
4 常用信号的卷积公式
常 用 信 号 的 卷 积 公 式
第四节 卷积
1 F f x 2
f ( x )e i x d x,
5 卷积定理
则 证：
若
F [ f1 ( x )] F1 ( ) 和 F [ f 2 ( x )] F2 ( )
第四节 卷积
2、卷积的图解法(特别适用于求某时刻点上的卷积值)
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
卷积过程可分解为四步：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。
F [ f1 ( x ) f 2 ( x )] 2 F1 ( ) F2 ( )
0
0
f 2 (t ) f1 (t ) t t t
0
f 2 ( ) f1 (t t0 )d f1 (t t0 )* f 2 (t )
推论： 若f1(t)*f2(t)=y(t)， 则
f1 (t t1 ) f 2 (t t2 ) y(t t1 t2 )
( 1) t t g (t ) 2 2
0 ( 1) ( 1) g t g t t 2 2 t
与冲激函数或阶跃函数的卷积
§2.5卷积积分与卷积和( Convolution) 2.5.1借助于信号分解求系统零状态响应 信号分解为冲激信号之和： 求和变积分
e(t )
e(t1 )
t1
e(t ) lim
t1 0
t1
e(t )t (t t )
1 1 1
e( ) (t )d
it c e r f (t ) i
i 1 n
离散系统解的形式： r (t )
ci i
i 1
n
n
r f (t )
2 系统的单位冲激响应与单位样值响应
单位冲激响应h(t)：
定义: （t）
单位样值响应h(n)： （n）
h(t)
（1）零状态响应响应 （2）具有零输入响应的 形式 （3）反映系统本身特性 因果性 稳定性
*
＝
*
t0
＝
t0
*
t1 t2
＝
t1+ t2
推广：任意两函数卷积
卷积的性质.ppt
2、积分
t
t
t
[x()h()]d [ x()d]h(t) x(t) h()d
3、信号与单位冲激和单位阶跃信号的卷积积分
x(t) (t) x()(t )d
()x(t )d x(t)
x(t) (t t0 ) x()(t t0 )d
x(t )( t0 )d
对于连续时间线性时不变系统，当输入为x(t)，其零状
态响应
y(t) x(t)h(t) h(t) x(t) h()x(t )d
于是
y(t) h()x(t )d h() x(t ) d
当 就有
h() M xd M x h() d
h() d Mh
y(t) M xMh M y
x(t t0 )
x(t)
0
t
(t t0 )
(1)
0
t0
t
x(t t0 )
t
0
t0
t
x(t) u(t) x()u(t )d x()d
u()x(t )d x(t )d
0
例如：已知 x(t) u(t) h(t) etu(t)
求系统的零状态响应： y(t) x(t)h(t)
x(n)
0
n
u(n)
0
n
u(n m)
0n
m
x(n m)
0
m
§2-6 LTI系统的因果性与稳定性
一、因果性 第一章曾讲到，所谓因果系统是指响应不会产生于激
励作用于系统之前的系统，否则是非因果系统。
LTI系统的单位冲激响应，是单位冲激作用之下的零 状态响应。单位冲激信号具有当t≠0时，δ(t)=0；t=0时， δ(t)≠0的特性。所以，只要满足当t<0时，系统的单位冲激 响应
§2.4 卷积积分的性质
求卷积是本章的重点与难点. 求卷积是本章的重点与难点.
卷积的方法可归纳为 求解卷积的方法可归纳为: 求解卷积的方法可归纳为: (1)利用定义式,直接进行积分.对于容易求积分的 )利用定义式,直接进行积分. 函数比较有效.如指数函数,多项式函数等. 函数比较有效.如指数函数,多项式函数等. (2)图解法.特别适用于求某时刻点上的卷积值. )图解法.特别适用于求某时刻点上的卷积值. (3)利用性质.比较灵活. )利用性质.比较灵活. 三者常常结合起来使用. 三者常常结合起来使用. ▲ ■
∞ ∞
f (t +τ ) f (t) dt
显然, 偶函数. 显然,R(-τ)= R(τ)偶函数. 偶函数
▲ ■
2. 相关与卷积的关系
R12 (t) =
∫ ∞ f1(x) f2 (x t) d x
∫ ∞ f1(x) f2 (t x) d x
∞
∞
f1(t) * f 2 (t) =
R12(t)= f1(t)* f2(–t) R21(t) = f1(–t)* f2(t) . 可见, 均为实偶函数, 可见,若f1(t)和 f2(t)均为实偶函数,则卷积与相 和 均为实偶函数 关完全相同. 关完全相同.
▲
■
1.定义 1.定义
实能量有限函数f 和 实能量有限函数 1(t)和f2(t)的互相关函数 的互相关函数
R (τ ) = 12
R21(τ ) =
∫ ∞ f1(t) f2 (t τ ) dt = ∫ ∞ f1(t +τ ) f2 (t) dt
∞
∞
∞
∫ ∞
f1(t τ ) f 2 (t) d t =
卷积代数运算 一,卷积代数运算
1.交换律
高等代数与解析几何1 卷积
高等代数与解析几何1 卷积
卷积是高等代数与解析几何中常用的运算符号，用中文表示为“*”。
它是两个函数之间的运算，可以用于信号处理、图像处理、概率论等领域。
设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的卷积定义为：
$$(f*g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(x-t) dt$$
其中，$*$表示卷积运算符，$x$表示自变量，$t$表示积分变量。
卷积运算可以理解为，将一个函数翻转后平移，与另一个函数对应位置的值相乘并累加得到新的函数。
卷积运算的几何意义是，对于一个函数$f(x)$，它与函数
$g(x)$的卷积$(f*g)(x)$在$x$轴上的取值表示$f(x)$与$g(x)$在
$x$处的“重叠程度”，或者说它们在$x$处的相似程度。
卷积运算具有以下几个重要性质：
1. 交换律：$f*g=g*f$
2. 结合律：$(f*g)*h=f*(g*h)$
3. 分配律：$(f+g)*h=f*h+g*h$
卷积运算在实际应用中具有广泛的作用，例如在图像处理中可以用于模糊、锐化、边缘检测等操作，在信号处理中常用于滤波、降噪等任务。
总之，卷积是高等代数与解析几何中的重要运算符号，它通过函数的重叠累加来描述两个函数之间的关系，具有很多实际应用。
6.7.16.4.1卷积复数及其代数运算
0,
t 1
当 t 1 0 且 t 1 0, 即 1 t 1 时，有
f1 t * f2 t
0
0du
t 1
u t1 2 d u 1 t 13 ,
0
3
当 t 1 0, 即 t 1 时，有
f1 t * f2 t
u t1 2 d u 2
t 1
3
3t2 1 ,
故
0,
f1
t
f2
t
1
3
t
13
,
t 1, 1 t 1,
2
3
3t2 1
,
t 1.
f1 t f2 t
f1( ) f2 (t ) d .
• 线性系统：输出可以通过将输入信号与系统函数（系
统响应函数）做卷积
• 概率：两个统计独立变量X、Y，Z=X+Y的概率密度函 数是X与Y的概率密度函数的卷积
0
f2 (t ) d
t u
t
f2 (u) d u,
当
t
0 时，有
f1
t*
f2
t
t
0du
0,
当 t 0 时，有 f1 t * f2 t
0
0du
t eu d u 1 et ,
0
因此，
f1
t
f2
t
0, 1
et
,
t 0, t 0.
例
设
f1
t
1, 0,
t t
1, 1,
(1)交换律 f1 t f2 t f2 t f1 t ;
(2)结合律 f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t ;
(3)分配律 f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f1 t f3 t ;
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f 2 ( ) f1 (t ) d f 2 t f1 t
•卷积结果与交换两函数的次序无关。 •一般选比较简单函数进行反转和平移。
■
第 3页
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
系统级联，框图表示：
f (t ) h1 ( t ) h2 ( t )
y (t )
系统级联
f ( t ) h1 ( t )
f (t )
h( t )
y (t )
f ( t ) h1 ( t ) h2 ( t )
ht h1 (t ) h2 (t )
结论：1.子系统级联时，总的冲激响应等于子系 统冲激响应的卷积。 2.子系统级联时，可以交换子系统响应次序。
2．分配律
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
系统并联运算
3．结合律 f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) [ f1 (t ) f 2 (t )]
▲ ■ 第 9页
t
t
t
卷积微分性质例1
例1：f1(t) 如图, f2(t) = e–tu(t)，求f1(t)* f2(t)
f 1(t)
解： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
y (t )
f (t )
ht h1 t h2 t
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于 各子系统冲激响应之和。
■
第 4页
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) [ f1 (t ) f 2 (t )]
f (t ) h1 (t ) h2 (t ) f (t ) [h1 (t ) h2 (t )]
2. [ f1 ( ) * f 2 ( )] d [ f1 ( ) d ] * f 2 (t ) f1 (t ) * [ f 2 ( ) d ] 证：上式=u(t) *[f1(t)* f2(t)] = [u(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t) 3. 在f1(– ∞) =f2(– ∞) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
* 证明见笔记 * f(t-t0) ≠ f1(t-t0)* f2(t-t0)
u(t) *u(t) = tu(t) ∴ u(t-t0) *u(t-t0) = (t-2t0)u(t-2t0)
▲ ■ 第 7页
卷积时移性质例2
例2：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2u (t) –2u (t –1) f2(t) = u(t+1) –u (t –1) f1(t)* f2(t) = 2 u(t)* u (t+1) –2 u (t)* u (t –1) –2u (t –1)* u (t+1) +2u (t –1)* u (t –1) 由于u (t)* u (t) = tu (t) 据时移特性，有 f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) u (t+1) - 2 (t –1) u (t –1) –2 tu (t) +2 (t –2) u (t –2)
■
第 5页
二、与冲激函数或阶跃函数的卷积
1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t)
证： (t ) * f (t ) ( ) f (t ) d f (t )
f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0)
2. f(t)*δ’(t) = f’(t)
卷积积分的性质
卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 • 卷积代数运算
• 与冲激函数或阶跃函数的卷
积
• 微分积分性质
• 卷积的时移特性
■
第 1页
一、卷积代数运算
1．交换律
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t )
系统级联运算
▲ ■ 第 2页
证明交换律
f1 t f 2 t
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t )
f1 ( ) f 2 ( t ) d
令t ，
则 : :
■
f 1(t) 2 0 1 -1 1 f 2(t) 0 1 t t
第 8页
三、卷积的微积分性质
1.
d f1 (t ) d f 2 (t ) d f ( t )* f ( t ) * f ( t ) f ( t )* 1 2 2 1 dt dt dt
证：上式= δ(1)(t) *[f1(t)* f2(t)] = [δ(1)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t)
系统并联，框图表示：
h( t )
系统并联
f (t )
f (t ) f (t )
h1 ( t )
f (t ) h1 (t )
∑
y (t )
f (t ) h1 (t ) f (t ) h2 (t ) f (t ) h(t )
h2 ( t )
h( t )
f (t ) h2 (t )
证：
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*u(t)
f ( )u(t ) d f ( ) d
▲ ■ 第 6页
t
u(t) *u(t) = tu(t)
4. 卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)