《赛程安排》PPT课件

并且观测得N’(t1)=29.78, N’(0)=38.37 则可以得到
t1 = ln [N*/N(t1)] / λ = ln [N’(0)/N’(t1)] T1/2 / ln 2 = ln (38.37/29.78)×5730/0.6931 =2095.

公元前120年左右西汉中期.



四. 岩石放射性计年的等时线模型 1. 模型: N(t): t 时放射性元素含量, D(t): t 时稳定产 物含量, N0, D0: 初始值, 则有 N(t) + D(t) = N0+D0
D

D0
(N0, D0)
N

又知
N (t ) N0et
, 则有
D(t, N0 ) D0 N (t, N0 )et N (t, N0 ) D0 (et 1) N (t, N0 )
§5.2
放射性计年模型



1. 同位素与放射性衰变 10. 同位素：原子中核电荷数（质子 数）相同，但具有不同的质量（中 子数）的元素称为同位素。 它们的化学性质相同，在周期表中 处于同一个位臵。有相同的元素符 号，但在左上角注名质量数，左下 角为质子数。 如：11H，21H，31H，126C，136C， 14 C，234 U，236 U 等。 6 92 92

例1 马王堆古尸的年龄

—考古计年模型


湖南省长沙市马王堆一号墓于 1972年8月出土。 当时测得出土的木炭样本中放射 14C的放射性蜕变物的速率为 29.78次/分， 而新砍伐烧成的木炭中放射14C 蜕变物的速率为38.37次/分。 使用14C计年法可以确定墓葬的 大致年代。


利用死亡的生物体内14C的含量就可以测定 死亡的时间。 分析：N(t)=N0e-λt.则 t = ln[N0/N(t)]/λ. 如果 生物体在 t = 0 时死亡, 则有 N0=N*。 如果在 t = t1 时被发掘可以得到 t1 = ln [N*/N(t1)] / λ


5.
在考古计年上的应用
N (t ) N0e
半衰期：T1/2，
N( T1/2)=N0/2 N0e
t
T1 / 2
T1 / 2
ln 2

衰变时间：
ln N 0 ln N (t )


3. 放射性元素的平衡 如果随着放射性元素的蜕变衰减，又得到 定常速率的补充， 则放射性元素的变化可以由如下模型来描述



问题： P1来自百度文库2 P143
第 2 题：14C计年法 第 3 题：铀–钍计年法


3. 模型的实现：岩石年龄的铷87Rb—锶87Sr计年 法 10.岩石内不稳定的同位素铷(87Rb)只因放射性而 衰减为稳定的锶(87Sr)， 20.铷(87Rb)的半衰期很长，为48.6 × 109 年， 30.岩石内不同的矿物质中铷(87Rb)的初始含量可 能不同， 40. 岩石生成的初始时刻中锶(87Sr)的含量相同， 50.使用质谱仪可以测量铷(87Rb)和锶(87Sr)的相 对含量Rb = 87Rb /86Sr 和 Sr = 87Sr/86Sr。

对于固定的 t 和不同的 N0, N(t) 和 D(t) 将分布在同一条直线—等时线上。 （Isochron Diagram）
D



D0
(N0, D0) N
2. 假设： 10. 岩石内同位素的含量只随放射性衰变而 变化。 20. 衰变后的生成物是稳定的, 不再衰变 30. 初始时刻稳定元素的含量是一定的。 40. 放射性元素及其衰变产物总量不变。
dN N b dt
模型有一个平衡状态 N*=b/λ，
当N>N*时元素不断减少, N<N*时元素将会增加.
表明放射性元素最终将会达到这个平衡 状态, 我们称这个现象为放射性元素的平衡。



4. 14C计年法 原理： 1.宇宙射线穿过大气，产生中子，使得14N蜕 变为14C。 2. 它与氧原子结合生成14CO2被植物吸收， 进入食物链。 3. 生物体内的14C不断衰变为14N成为气体散 失。 4. 活体还会不断吸收14C，使体内的14C维持 平衡。 5. 生物死亡后，不再吸收14C，则体内的14C 将由于蜕变，在体内的比例数将逐渐降低。


假设：马王堆墓葬的年代生物体中14C 的平衡数量与现代生物体中14C的平衡 数量相同。 如果出土的木炭实在墓葬的当时(t = 0 时)被砍伐烧成的, 则当 t ≥ 0 时木炭内的14C将按模型 N’= - λN，N(0)=N* 衰减。 如果墓葬在t = t1 时出土, 并且用当时新 砍伐烧成的木炭中的14C的(平衡)含量估 计墓葬的当时木炭内14C的平衡量。

由等时线模型可知，对于任意给定的时刻 t 都有


D(t)=m N(t) + r0, 如果我们同时在岩石所含的 n 种不同的矿石中观 测到铷和锶的含量(Ni, Di), i=1,2,…,n, 则利用最小二乘法就可以给出 m, r0 的最小二乘 估计。 从而得到岩石生成的时间
t ln( m 1)


20. 放射性同位素的蜕变 同位素中有稳定的和不稳定的两种。 不稳定的同位素具有放射性， 通过放射粒子而变为同一元素的不同 的同位素或者不同元素的同位素。 称之为同位素的蜕变。
14 C→ 14 N， 87 Rb→ 87 Sr， 6 7 37 38 238U→234U →230Th


2002
赛程安排

五支球队在同一场地进行单循环比赛。共要进行10 场比赛。如何安排赛程使对各队来说都尽量公平。 下面是随便安排的一个赛程：记五支球队分别为 A、B、C、D、E，随便安排的赛程如下： A 1 B 9 2 C 3 5 7 D 6 8 10 4 B C D E



显然这个赛程对A, E 有利, 对 D 不公平.




从上面的例子出发讨论以下问题: 1. 对于五支球队的比赛, 给出一个各队每两场比 赛中间都至少相隔一场的赛程. 2. 当 n 支球队比赛时, 各队每两场比赛中间相隔 的场次数的上限是多少? 3. 在达到 2 的上限的条件下, 给出 n=8, n=9 的 赛程,并说明它们的编制过程. 4. 除了每两场比赛间隔场次数这一指标外, 你还 能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣, 并说明 3 中给出的赛程达到这些指标的程度.
由此可得十场比赛的顺序为：
AB, BC, AD, DE, BD, AE, CD, BE, AC, CE。
这个赛程安排得公平性如何呢? 不妨只看 看各队每相邻两场比赛中间得到的休息时间 是否均等。不难统计五个队每两场比赛的相 隔场次
A: 1,2,2; B: 0,2,2; C: 4,1,0; D: 0,0,1; E: 1,1,1


例2 如何估计地球的年龄？
一. 背景： 1903 居里利用放射性测定地质年代。 1907 伯尔伍德得到了放射性地质年代 的数据。 二. 问题：如何通过岩石的地质年表及 同位素的演化规律确定更可靠的地球年 龄。








三. 用于地质计年的同位素： 1. 出现于岩石形成期， 2. 具放射性的不稳定的同位素， 3. 半衰期足够长， 4.含量可以观测。 同位素 半衰期（年） 衰变系数（/年） 87 Rb 9 -11 48.6 × 10 1.43 × 10 37 238 U 9 -10 4.468 × 10 1.551 × 10 92 234 U -6 248000 2.794 × 10 92 230 Th -6 75200 9.217 × 10 90 14 C -4 5730 1.209 × 10 6


ln( m 1) T1/ 2 1.4427 mT1/ 2 ln 2




例. 1967年采集到一块包含有长石、白云母和黑云母 的岩石。用质谱仪进行分析，测的铷和锶的相对含量 如下： 长 石 白云母 黑云母 Sr 0.77 0.82 0.80 Rb 2.00 7.00 5.00 可以估得 m=0.01，r0=0.75，从而有 t = 1.4427×ln 1.01× 48.6 × 109 年 =6.97×108年。 地球的年龄约为44~46亿年，宇宙约为150~200亿 年





2. 放射性同位素衰变的数学模型： 假设： 1. 粒子同质， 2. 充分光滑， 3. 没有迁移， 4. 大量粒子的平均放射效应， 5. 环境没有影响， 6. 粒子放射相互独立。

模型：N( t ), t 时刻粒子数。
N (0) N 0 , : 衰变常数
t
dN N (t ) , dt