含绝对值的不等式、柯西不等式、排序不等式及应用复习 通用精品课件

4R 2R
所以 x + y + z
=
ax
1 a
by
1 b
cz
1 c
≤ ax by cz 1 1 1= abc 1 1 1
a b c 2R a b c
= abc ab bc ca = 1 ab bc ca
2R
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abc
2R
≤ 1 a2 b2 c2.
C.|x-2y|<3ε
D.|x-2y|>3ε
由|y- a |<ε知|a-2y|<2ε.
2
又|(x-a)+(a-2y)|≤|x-a|+|a-2y|<ε+2ε, 即|x-2y|<3ε，选C.
2.不等式|2x-1|<3的解集是 {x|-1<x<2} .
3.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下 列代数式中值最大的是( A )
图点象评，数由形图结得合使的y运1≤用y2的要x解的出两函数图象的交点.
取值范围是x=-3或2≤x≤4,
所以原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.
题型二 含绝对值不等式的证明
例2 已知a、b∈R,且a≠b,求证:
｜1
a2 1
-
b
1 2
｜<|a-b|.
1
原不等式等价于
(a2
1 1)(b2
(1)对任意x∈[1,2]，φ(2x)= 3 1 x, x∈［1,2］, 3 3≤φ(2x)≤ 3,15< <3 3 <325,
所以φ(2x)∈(1,2).
对任意x1、x２∈［1,2］,
|φ(2x1)-φ(2x2)|
=|x1-x2|
3
(1 2x1)2

3
2 (1 2x1)(1 2x2 )

A.a1b1+a2b2 C.a1b2+a2b1
B.a1a2+b1b2 D. 1
2
因为0<a1<a2，0<b1<b2，由排序不等 式可知a1b1+a2b2最大.
4.若2x+3y=1，则4x2+9y2的最小值为 1 ,且
最小值点为 (1 , 1) .
2
46
由柯西不等式，
所以(4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1,
点距离公式联系起来，运用几何关系、 数形结合法证明不等式，当三点共线时 取等号.
走进高考
| x 1|
学例1 (2009·广东卷)不等式| x 2 | ≥1的实
数解为 (-∞,-2)∪(-2,- 3]. .
2
| x 1|
| x 2 | ≥1
|x+1|≥|x+2|且
|x+2|≠0,解得x≤- 且3 x≠-2.
y= 2 330
330 ,
6
33
x=- 330
解得
22
y=- 2 330
时，Amin=-
330 6
.
33
(2)(x+y+z)2=(
2
x·1
2
+
3
y·1
3
+z)2
≤(2x2+3y2+z2)( 1+ 1+1).
23
因为x+y+z=1,所以2x2+3y2+z2≥
6
11.
点评2配x 凑出3x符合公式的形式，注意公式的
(2)设φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0)， 证明：这样的x0是惟一的;
(3) 设 φ(x)∈A, 任 取 x1∈(1,2), 令 xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,证明:给定正整数k,对任意 的正整数p,不等式|xk+p-xk|≤ LK|x1 2-x1|成立.
1 L
5个人接水分别按4分钟、5分钟、 6分钟、8分钟、10分钟的顺序进行， 因此等待的总时间最少为 4×5+5×4+6×3+8×2+10×1=84 分 钟 .
1.含绝对值不等式的性质(a∈R) (1)|a|≥0(当且仅当a=0时取“＝”号)； (2)|a|≥±a; (3)-|a|≤a≤|a|； (4)① |a|-|b| ≤|a±b|≤② |a|+|b. | 2.柯西不等式 设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是 实 数 ， 则
3
(1 2x2 )2
,
因为6< 3 (1 2x1)2 + 3 (1 2x1)(1 2x2)+ 3 (1 2x2 )2 <9,
所以 <1 .
2<
9
2 3 (1 2x1)2 3 (1 2x1)(1 2x2 ) 3 (1 2x2 )2
3
2
令 3 (1 2x1)2 3 (1 2x1)(1 2x2 ) 3 (1 2x2 )2 =L,
所以原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.
(方法二)
-(x+3)≤x2-9≤x+3
x≤-3或x≥2 x=-3或2≤x≤4, -3≤x≤4
所以原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.
(方法三)设y1=|x2-9|, y2=x+3(x≥-３)，由|x2-9|=x+3 解得x1=4,x2=-3,x3=2, 在同一坐标系下作出他们的
当正数的用x最、+12y值逆+=z，用=11在.3,在一=二z次次即形形x=式式13的1限,条y制=件下121下，,z=，求16求1一时二次, 次函 形Am式in=的1最61 .小值等.
题型四 排序不等式的应用
例4 在△ABC中，角A、B、C所对边分
别为a、b、c.求证: ≤ aA bB cC< .
2R
方法提炼
1.解含绝对值不等式的思路： 化去绝 对值符号，转化为不含绝对值的不等式.解 法如下：
(1)|f(x)|<a(a>0) -a<f(x)<a; (2)|f(x)|>a(a>0) f(x)<-a或f(x)>a;
(3)|f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x); (4)|f(x)|>g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x);
令a=tanα,b=tanβ,则｜a+b｜= ||csoins(cos),||
(a2+1)(b2+1)=
cos
2
1
cos2

,
即证|sin(α+β)|·|cosαcosβ|<1,此式显然成立.
题型三 柯西不等式的应用
例3 (1)设x、y满足2x2+3y2=5,求
A=x+2y的最值; (2) 设 x+y+z=1, 求 A=2x2+3y2+z2 的 最小值.
1)
<|a-b|,
即等价于|a+b|<(a2+1)(b2+1).
(证法一)(a2+1)(b2+1)-(a+b) = 12［2a2b2+a2+b2+(a-1)2+(b-1)2］>0, 所以(a2+1)(b2+1)>a+b.
同理，(a2+1)(b2+1)+(a+b) = 1［2a2b2+a2+b2+(a+1)2+(b+1)2］>0,
所以4x2+9y2≥ 1 .
2
当且仅当2x·1=3y·1，即2x=3y时取等号.
1
由 2x=3y 2x+3y=1
，得
x= 4 y= 1 ,
6
所以4x2+9y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 ).
2
46
5.5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果 水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分 别是4分钟、8分钟、6分钟、10分钟、5 分钟，统筹安排这5个人接水的顺序，使 他们等待的总时间最少为 84 分钟.
abc

3.
又由0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b,
得0<A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)
=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)
=a(π点-2评A)+注b(意π-排2B序)+式c(π的-2轮C)换对称，同时注意
=(内a+角b+和c)π的-2条(aA件+，bB甚+c至C)把, π变成A+B+C寻找
(5)|f(x)|<|g(x)| [f(x)]2<[g(x)]2; (6)|f(x)|>|g(x)| [f(x)]2>[g(x)]2.
(7)含有两个或两个以上绝对值符号的 不等式，一般可用零点分段法求解，对于 型 如 |x-a|+|x-b|>m 或 |x-a|+|x-b|<m(m 为 正 常 数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义 求解较简便.
2
学例2 (2006·广东卷)A是由定义在[2,4]上且满
足如下条件的函数φ(x)组成的集合：①对任意 x∈[1,2] ， 都 有 φ(2x)∈(1,2);② 存 在 常 数 L(0<L<1)，使得对任意的x1、x2∈[1,2]，都有 |φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.
(1)设φ(x)= 3 1 x,x∈[2,4],证明:φ(x)∈A;
2.要重视绝对值的几何意义、数形结合， 快速解出型如|x-a|+|x-b|<c等这类含绝对值 不等式的解集.
3.注意存在性与恒成立问题的区别，不 等式有解，不一定恒成立，但不等式恒成 立，一定有解.
4.注意：①二维形式的柯西不等式；
②向量形式的柯西不等式：设α,β是两 个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向 量或存在实数k,使α=kβ时，等号成立;
2
所以(a2+1)(b2+1)>-（a+b）.
从而原不等式成立.
(证法二)先用比较法后用放缩法.
(a2+1)(b2+1)-(|a|+|b|)=a2b2+(|a|- 1 )2+(|b|- 1 )2+1>0,
2
22
从而|a+b|≤|a|+|b|<(a2+1)(b2+1),
从而原不等式成立.
(证法三)三角代换法.
所不以等aA转 b换B 的 cC条件< . ,
abc
2
所以 ≤ aA bB cC < .
3
abc
2
备选题
P是△ABC内一点，x、y、z分别是P
到三边a、b、c的距离，R是△ABC外接圆
半径,求证： x + y + z ≤
1 a2 b2 c2 .
2R
记S为△ABC的面积， 则ax+by+cz=2S=2 abc = abc ,
(③a12+(aa12b2+1+…a2+ba2n+2…)·(+ba12n+bbn)222+…., +bn2)≥ 当且仅当bi=0(i=1,2,3,…,n)或存在一个数k,使得
④ ai=kbi(i=1,2,3,…,n) 时等号成立.
3.排序不等式
设 a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn 为 两 组 数 ， c1,c2,…,cn 是 b1,b2,…,bn 的 任 一 排 列 ， 那 么 ⑤ a1bn+a2bn-1+…+anb1 . ≤a1c1+a2c2+…+ancn ≤⑥ a1b1+a2b2+…+anbn,
③注意公式的逆用:
如a1b1+a2b2+a3b3≤
≤
; (a1b1 a2b2 a3b3)2
④解(题a12的 a关22 键 a是32 )找(b12出 两b22组 b数32 ).
5.二维形式的三角不等式：设x1、y1、 x2、y2∈R,那么
x12 y12 + x22 y22 ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 ).2 注意：把不等式两边各个式子与两
0<L<1,所以|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|，
所以φ(x)∈A.
(2)反证法：设存在两个x0,x0′∈(1,2),x0≠x0′ 使得x0=φ(2x0),x0′=φ(2x0′)， 则由|φ(2x0)-φ(2x0′)|≤L｜x0-x0′｜, 得｜x0-x0′｜≤L|x0-x0′|， 所以L≥1，矛盾，故假设不成立，从而所证结
当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时，反序 和等于顺序和.排序不等式可简记为 “⑦反序和≤乱序和≤顺序和 ”.
典例精讲
题型一 含绝对值不等式的解法
例1 解不等式|x2-9|≤x+3.
（方法一）
原不等式 x2-9≥0 ①或 x2-9＜0 ②,
x2-9≤x+3
9-x2≤x+3
由①解得x=-3或3≤x≤4，由②解得2≤x<3,
新课标高中一轮总复习
理数
含绝对值的不等式、柯西不 等式、排序不等式及应用
1. 理 解 含 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 ， 及 其中等号成立的条件，并能恰当运用；
2.会解简单的含绝对值的不等式；
3.会应用柯西不等式及排序不等式 求有关最值及证明不等式.
1.若|x-a|<ε,|y- |a2<ε,则下列不等式成立的 是( ) C A.｜x-y｜<ε B.|x-y|>ε
(1)(x+2y)2=(
2
x·1
2
+
1
3 y·3 )
≤（2x2+3y2）( 1+ 4)=(2x2+3y2)· 11.
23
因为2x2+3y2=5,所以(x+2y)2≤ 55,
6
6
所以- 330≤x+2y≤ 33.0
6
6
当
2x 3y
1= 4 2 3 ,即解得 2x2+3y2=5
x=
330 22
时,Amax=
3
abc
2
不妨设a≤b≤c,于是A≤B≤C，由排序 不等式：
a·A+b·B+c·C≥aA+bB+cC;
a·A+b·B+c·C≥bA+cB+aC;
a·A+b·B+c·C≥cA+aB+bC.
三式相加得：3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)
=π(a+b+c),
得
aA bB cC ≥