基本不等式求最值问题 PPT

令 u＝sinx，∵0<x<2π，，0<u<1，∴可利用 y＝u＋2u在(0,1) 上是减函数得出 y＞3.
∴此函数值域为(3，＋∞)．
(2)此解答过程错误，当 x<0 时，y＝x 1－x2≠ x21－x2， 忽视了对符号的关注．
正解：由 1－x2≥0 知－1≤x≤1，当 0＜x≤1 时，x 1－x2 ＝ x21－x2≤x2＋12－x2＝12，
解法 2：(消元法)由1x＋9y＝1，得 x＝y－y 9. ∵x＞0，y＞0，∴y＞9. x＋y＝y－y 9＋y＝y＋y－y－9＋9 9＝y＋y－9 9＋1＝(y－9)＋y－9 9 ＋10. ∵y＞9，∴y－9＞0， ∴y－9＋y－9 9≥2 y－9·y－9 9＝6. 当且仅当 y－9＝y－9 9，即 y＝12 时取等号，此时，x＝4， ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
等号在 x2＝1－x2 即 x＝ 22时成立；当 x＝0 时，x 1－x2＝ 0，当－1≤x＜0 时，x 1－x2＜0，
∴x 1－x2的最大值为12.
(3)此解答过程不对，它没有找出定值条件，只是形式的套 用公式．
正解：利用 a＞3 的条件及结构式中一为分式，一为整式 的特点配凑：
a＋a－4 3＝(a－3)＋a－4 3＋3≥2 a－3·a－4 3＋3＝7，等 号在 a－3＝a－4 3即 a＝5 时成立．
[分析] 要求 x＋y 的最小值，根据极值定理，应构建某个 积为定值．这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行 “1 的代换”，也可以“消元”等．
[解析] 解法 1：(1 的代换)∵1x＋9y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx. ∵x＞0，y＞0，∴yx＋9yx≥2 yx·9yx＝6. 当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
解法 3：(配凑法)由1x＋9y＝1 得，y＋9x＝xy，∴(x－1)(y－ 9)＝9.∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2 x－1y－9＝16.
当且仅当 x－1＝y－9 时取等号． 又∵1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
[点评] 本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且 都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经 常使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法 2，通过消元， 化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另 一个变量范围给出限制．
(2)求 x 1－x2的最大值．
解：令 y＝x 1－x2， 则 y＝ x21－x2≤x2＋12－x2＝12， 等号在 x2＝1－x2，即 x＝± 22时成立， ∴所求最大值为12.
(3)已知 a＞3，求 a＋a－4 3的最小值． 解：∵a＞3，∴a，a－4 3＞0.∴a＋a－4 3≥2 a·a－4 3.当 a ＝a－4 3，即 a＝4 时，a＋a－4 3取最小值 2 a4－a3＝8.
命题方向 变形技巧：“1”的代换
[例 1] 已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常 常将不等式“乘以 1”，“除以 1”或将不等式中的某个常数 用等于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替， 也可以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋yx≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[点评] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
[解析] (1)此解答过程错误，错在忽视了应用基本不等式 求最值时，等号成立的条件．
正解：∵0＜x＜2π，∴0＜sinx＜1，但 sinx＝si2nx时 sinx＝ 2， 不符合正弦函数值域要求，故这里不符合基本不等式成立的条 件，因此取不到值 y＝2 2.
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
3．注意函数 f(x)＝x＋1x是常遇到的一个函数，根据基本不 等式知，x＞0 时，f(x)≥2，x＜0 时，f(x)≤－2，其值域为(－ ∞，－2]∪[2、＋∞)．
另外其单调性为：在(－∞，－1]上单调递增，[－1,0)上单 调递减，(0,1]上单调递减，[1，＋∞)上单调递
记忆方法是|x|很大(|x|＞1)时，1x可忽略，其单调性与 y＝x 单调性相同，|x|很小(|x|＜1)时，x 可忽略，其单调性与 y＝1x单 调性同．进而可扩展到 f(x)＝x＋xk(k＞0)的情形．
基本不等式求最值问题
理解领会基本不等式成立时的三个限制条件，熟练应用基 本不等式求解实际问题中的最大、最小值问题．
1．分析下列各题的解题过程，有错误的加以更正． (1)求函数 y＝sinx＋si2nx(0<x<π2)的值域．
解：y＝sin＋si2nx≥2 sinx·si2nx＝2 2， ∴函数的值域为[2 2，＋∞)．
重点：基本不等式的应用． 难点：将实际问题化为不等式问题．
1．基本不等式的功能在于和与积的互化，应用基本不等 式求最值时一定要注意其“一Fra Baidu bibliotek、二定、三相等”的条件，实 际解题时主要技巧是“拆项”，“添项”，“配凑因式”．
2．由基本不等式导出的结论． (1)反向不等式：a＋b≤ 2a2＋b2(a，b∈R＋)，由 a2＋ b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得． (2)ab≤(a＋2 b)2，(a，b∈R＋)，由a＋2 b≥ ab两边平方即得． (3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ a2＋2 b2≥a＋2 b ≥ ab≥a2＋abb＝1a＋2 1b≥a.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．
巩固练习 已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．