直线与圆高考题精选培优
高考数学复习专题训练—直线与圆(含答案及解析)
高考数学复习专题训练—直线与圆一、单项选择题1.(2021·全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x 216−y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.(2021·湖南湘潭模拟)已知半径为r(r>0)的圆被直线y=-2x和y=-2x+5所截得的弦长均为2,则r的值为()A.54B.√2C.32D.√33.(2021·北京清华附中月考)已知点P与点(3,4)的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.74.(2021·江西鹰潭一中月考)已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为()A.√7+11B.17C.√37+11D.155.(2021·湖北黄冈中学三模)已知直线l:mx+y+√3m-1=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=()A.2B.4√33C.2√3D.46.(2021·重庆八中月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为()A.4√2B.2√2C.8D.8√27.(2021·山西临汾适应性训练)直线x+y+4=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-4)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[8,12]B.[8√2,12√2]C.[12,20]D.[12√2,20√2]8.(2021·山东青岛三模)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法正确的是()A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件B.当m=3√3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点9.(2021·河北邢台模拟)已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=1,圆N:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列不是M,N 两圆公切线的直线方程为()A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y+√5=0D.x+2y-√5=0二、多项选择题10.(2021·广东潮州二模)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是()A.-3B.3C.2D.-211.(2021·海南三亚模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2三、填空题12.(2021·辽宁营口期末)若直线l1:y=kx+4与直线l2关于点M(1,2)对称,则当l2经过点N(0,-1)时,点M到直线l2的距离为.13.(2021·山东滨州检测)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0,圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,则圆N的标准方程为.14.(2021·山东烟台二模)已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且构成正方形ABCD,则|m-n|的值为.15.(2021·河北沧州模拟)已知圆C:x2+y2-4x+2my+1=0(m>0),直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,则k=,直线l与圆C的位置关系为.答案及解析1.A 解析 由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x ,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为√32+(−4)2=95.故选A . 2.C 解析 直线y=-2x 和y=-2x+5截圆所得弦长相等,且两直线平行,则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半,故圆心到直线y=-2x 的距离d=12×√4+1=√52,2√r2-d 2=2√r 2-54=2,解得r=32.3.B 解析 设点P (x ,y ),则(x-3)2+(y-4)2≤1,圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为d=√32+42=6,则点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5. 4.C 解析 依题意,圆C 1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C 1(1,2),半径r 1=3.圆C 2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C 2(2,8),半径r 2=8, 故|MN|max =|C 1C 2|+r 1+r 2=√37+11.5.B 解析 直线过定点(-√3,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB 是等边三角形,圆心O 到直线AB 的距离为√3,所以√3m-1|√1+m 2=√3,m=-√33,直线斜率为k=-m=√33,倾斜角为θ=π6, 所以|CD|=|AB|cosθ=2cosπ6=4√33. 6.A 解析 将圆C 的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C (2,1),半径r=2.将直线l 的方程整理为y=k (x-1)+2,则直线l 恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C 内. 最长弦MN 为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ 为过(1,2),且与最长弦MN 垂直的弦,∵k MN =2−11−2=-1,∴k PQ =1.直线PQ 方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 圆心C 到直线PQ 的距离为d=√2=√2,|PQ|=2√r 2-d 2=2√4−2=2√2.四边形PMQN 的面积S=12|MN|·|PQ|=12×4×2√2=4√2.7.C 解析 直线x+y+4=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,A (-4,0),B (0,-4),故|AB|=4√2.设圆心(4,0)到直线x+y+4=0的距离为d ,则d=√1+1=4√2.设点P 到直线x+y+4=0的距离为h ,故h max =d+r=4√2+√2=5√2,h min =d-r=4√2−√2=3√2,故h 的取值范围为[3√2,5√2],即△ABP 的高的取值范围是[3√2,5√2],又△ABP 的面积为12·|AB|·h ,所以△ABP 面积的取值范围为[12,20].8.C 解析 对于A,曲线C :x 2+y 2+4x+2my+5=0整理为(x+2)2+(y+m )2=m 2-1,曲线C 要表示圆,则m 2-1>0,解得m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件,故A 错误;对于B,m=3√3时,直线l :x+√3y+1=0,曲线C :(x+2)2+(y+3√3)2=26, 圆心到直线l 的距离d=√3×(−3√3)+1|√1+3=5,所以弦长=2√r 2-d 2=2√26−25=2,故B错误;对于C,若直线l 与圆相切,圆心到直线l 的距离d=2√9+m 2=√m 2-1,解得m=±3,所以“m=-3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件,C 正确;对于D,当m=-2时,曲线C :(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=√3,曲线C 与圆x 2+y 2=1两圆圆心距离为√(-2-0)2+(2−0)2=2√2>√3+1,故两圆相离,不会有两个公共点,D 错误.9.D 解析 由题意,圆M :(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为M (2,1),半径为r 1=1,圆N :(x+2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为N (-2,-1),半径为r 2=1.如图所示,两圆相离,有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称,则有两条切线过原点O , 设切线l :y=kx ,则圆心M 到直线l 的距离为√1+k 2=1,解得k=0或k=43.故此时切线方程为y=0或4x-3y=0.另两条切线与直线MN 平行且相距为1,又由l MN :y=12x , 设切线l':y=12x+b ,则√1+14=1,解得b=±√52, 此时切线方程为x-2y+√5=0或x-2y-√5=0. 结合选项,可得D 不正确.10.CD 解析 圆C 方程可化为(x-a )2+y 2=1,则圆心C (a ,0),半径r 1=1;由圆D 方程知圆心D (0,0),半径r 2=2.因为圆C 与圆D 有且仅有两条公切线,所以两圆相交.又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.观察4个选项,可知C,D两项中的a的取值满足题意.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,D正确.12.√5解析因为直线l1:y=kx+4恒过定点P(0,4),所以P(0,4)关于点M(1,2)对称,所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0),此时(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上,可得直线l2的方程y-0-1-0=x-20−2,即x-2y-2=0,所以点M到直线l2的距离为d=√1+4=√5.13.(x-6)2+(y-1)2=1解析圆的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.14.2√10解析由题设知:l1∥l2,要使A,B,C,D四点构成正方形ABCD,正方形的边长等于.直线l1,l2之间的距离d,则d=√5若圆的半径为r,由正方形的性质知d=√2r=2√2,故=2√2,即有|m-n|=2√10.√515.√3相离解析x2+y2-4x+2my+1=0,即(x-2)2+(y+m)2=m2+3,圆心C(2,-m),半径r=√m2+3,)=-1,解得k=√3.因为直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,所以k·√3=√3+m.直线l:y=√3x+m.因为m>0,所以圆心到直线l的距离d=√3+m+m|√3+1因为d2=m2+2√3m+3>m2+3=r2,所以d>r.所以直线l与圆C的位置关系是相离.。
直线与圆的方程培优试题
已知圆 C 的方程为 x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0，求圆 C 的圆心坐标 和半径。
直线方程的一般式和点斜式，以及它们的转换关系 圆的方程的三种形式及其特点 直线与圆的位置关系：相切、相交和相离 求解直线与圆的交点坐标
解析步骤：先确 定圆心和半径， 再利用点到直线 距离公式求出圆 心到直线的距离， 最后根据距离判 断直线与圆的位
圆的参数方程：$(x=a+rcos\theta, y=b+rsin\theta)$，其中 $ ( r, \ t h e t a ) $ 为 参 数
圆的切线方程：圆的切线方程有三种形式，分别为点斜式、斜截式和两点 式
相交：直线与圆有两个交点 相切：直线与圆有一个交点 相离：直线与圆没有交点 相交、相切、相离的判定方法
直接法：根据题意，直接列出 直线方程
点斜式：已知一点和斜率，写 出直线方程
斜截式：已知斜率和y轴截距， 写出直线方程
两点式：已知两点坐标，写出 直线方程
直接法：根据题 意，直接写出圆 的方程
待定系数法：先 假设圆的方程， 再根据条件求出 待定系数
几何法：根据题 意，利用几何性 质确定圆心和半 径，进而写出圆 的方程
XX,a click to unlimited possibilities
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 直 线 与 圆 的 基 本 概 念 03 直 线 与 圆 的 方 程 解 题 方 法 04 直 线 与 圆 的 方 程 培 优 练 习 05 直 线 与 圆 的 方 程 培 优 试 题 解 析 06 直 线 与 圆 的 方 程 培 优 试 题 总 结
置关系。
解析方法：通过 观察直线与圆的 位置关系，选择 合适的解析方法， 如代数法或几何
高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析
专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（ ）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（ ）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4， 以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解； （3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。
2025年高考数学一轮复习-直线与圆-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-直线与圆-专项训练一、基本技能练1.过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A.x－y＋1＝0B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0或x＋y－3＝0D.2x－y＝0或x－y＋1＝02.已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：x＋3y－2＝0，则“r>3”是“直线l与圆C 相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋(2－2k)上存在一点P，使得|OP|＝2，则k 的取值范围为()A.[3－2，3＋2]B.(－∞，2－3]∪[2＋3，＋∞)C.[2－3，2＋3]D.(－∞，3－2]∪[3＋2，＋∞)4.已知直线l：ax＋by＝1是圆x2＋y2－2x－2y＝0的一条对称轴，则ab的最大值为()A.1 4B.1 2C.1D.25.过点P(5，1)作圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的割线l交圆C于A，B两点，点C 到直线l的距离为1，则PA→·PB→的值是()A.32B.33C.6D.不确定6.已知直线x＋y＋1＝0与x＋2y＋1＝0相交于点A，过点A的直线l与圆M：x2＋y2＋4x＝0相交于点B，C，且∠BMC＝120°，则满足条件的直线l的条数为() A.0 B.1C.2D.37.已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为()A.(y－1)2－x2＝65B.x2－(y－1)2＝65C.y2－(x＋1)2＝65D.(x＋1)2－y2＝658.已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是()A.[3－1，23＋1]B.[2－1，32＋1]C.[2－1，22＋1]D.[2－1，33＋1]9.(多选)已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则()A.l1恒过点(2，－2)B.若l1∥l2，则a2＝12C.若l1⊥l2，则a2＝1D.当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限10.(多选)如图，O为坐标原点，B为y轴正半轴上一点，矩形OABC为圆M的内接四边形，OB为直径，|OC|＝3|OA|＝3，过直线2x＋y－4＝0上一点P作圆M 的两条切线，切点分别为E，F，则下列结论正确的是()A.圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1B.直线AB的斜率为2C.四边形PEMF的最小面积为2D.PA→·PC →的最小值为4511.已知直线l 1：y ＝(2a 2－1)x －2与直线l 2：y ＝7x ＋a 平行，则a ＝________.12.过点M (0，－4)作直线与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相切于A ，B 两点，则直线AB 的方程为________.二、创新拓展练13.(多选)已知圆C 1：(x －3)2＋(y －1)2＝4，C 2：x 2＋(y ＋3)2＝1，直线l ：y ＝k (x －1)，点M ，N 分别在圆C 1，C 2上.则下列结论正确的有()A.圆C 1，C 2没有公共点B.|MN |的取值范围是[1，7]C.过N 作圆C 1的切线，则切线长的最大值是42D.直线l 与圆C 1，C 2都有公共点时，k ≥2314.(多选)过点P (1，1)的直线与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A ，B 两点，线段MN 是圆C 的一条动弦，且|MN |＝42，则()A.△ABC 面积的最大值为92B.△ABC 面积的最大值为14C.|AB |的最小值为27D.|PM →＋PN →|的最小值为22－215.在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝1交x 轴于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，若直线x ＋3y ＋m ＝0上存在点P ，使得|PA |＝2|PB |，则实数m 的取值范围为________.16.在平面直角坐标系xOy 中，过点A (0，－3)的直线l 与圆C ：x 2＋(y －2)2＝9相交于M ，N 两点，若S △AON ＝65S △ACM ，则直线l 的斜率为________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案D解析当直线过原点时，满足题意，方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为xa＋y－a＝1，∵直线过(1，2)，∴1a－2a＝1，∴a＝－1，∴方程为x－y＋1＝0，故选D.2.答案A解析由题意知圆心(0，0)到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|－2|1＋3＝1，当r>3时，直线与圆相交，当直线与圆相交，则d＝1<r，故“r>3”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件.故选A.3.答案C解析点O(0，0)到直线l：y＝kx＋(2－2k)的距离d＝|2－2k| k2＋1.由题意得坐标原点到直线l距离d≤|OP|，所以|2－2k|k2＋1≤2，解得2－3≤k≤2＋3，故k的取值范围为[2－3，2＋3]，故选C.4.答案A解析圆x2＋y2－2x－2y＝0的圆心为(1，1)，直线l：ax＋by＝1是圆x2＋y2－2x－2y＝0的一条对称轴.可得a＋b＝1，则ab ＝14，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号.所以ab 的最大值为14，故选A.5.答案B解析由题意，可得向量PA →与PB →共线且方向相同，圆C 的圆心为(－1，2)，半径为2，如图所示，其中PD 为切线，根据切割线定理，则PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|＝|PD →|2＝|PC →|2－|CD →|2＝62＋12－22＝33.故选B.6.答案B解析由题意得点A (－1，0)，圆M ：x 2＋y 2＋4x ＝0的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心(－2，0)，半径r ＝2，由∠BMC ＝120°，可得圆心M 到直线l 的距离d ＝1，直线l 过点A (－1，0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，圆心M 到直线l 的距离d ＝1，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.圆心M (－2，0)到直线l 的距离d ＝|－2k －0＋k |k 2＋1＝|－k |k 2＋1＝1，此方程无解.故满足条件的直线l 的条数为1，故选B.7.答案D解析设动圆圆心P (x ，y )，半径为r ，则P 到l 1的距离d 1＝|2x －3y ＋2|13，P 到l 2的距离d 2＝|3x －2y ＋3|13，因为l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.∴2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，化简后得r 2－d 21＝169，r 2－d 22＝144，相减得d 22－d 21＝25，将d 1，d 2代入距离公式后化简可得(x ＋1)2－y 2＝65，故选D.8.答案B解析依题意，直线l 1：m (x －3)－n (y －1)＝0恒过定点A (3，1)，直线l 2：n (x －1)＋m (y －3)＝0恒过定点B (1，3)，显然直线l 1⊥l 2，因此，直线l 1与l 2交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：(x －2)2＋(y －2)2＝2，圆心N (2，2)，半径r 2＝2，而圆C 的圆心C (0，0)，半径r 1＝1，如图：|NC |＝22>r 1＋r 2，所以两圆外离，由圆的几何性质得：|PM |min ＝|NC |－r 1－r 2＝2－1，|PM |max ＝|NC |＋r 1＋r 2＝32＋1，所以|PM |的取值范围是[2－1，32＋1].故选B.9.答案BD解析l 1：(a ＋1)x ＋ay ＋2＝0⇔a (x ＋y )＋x ＋2＝0，＋y ＝0，＋2＝0，＝－2，＝2，即直线恒过点(－2，2)，故A不正确；若l1∥l2，则有(a＋1)(1－a)＝a2，解得a2＝12，经检验满足条件，故B正确；若l1⊥l2，则有a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，故C不正确；若直线l2恒过点(1，1)且不经过第三象限，则当1－a≠0时，aa－1<0，解得0<a<1，当a＝1时，直线l2：x＝1，也不过第三象限，当a＝0时，直线l2：y＝1，也不过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限，故D正确.10.答案AD解析由题意可得圆M的直径|OB|＝2，线段OB的中点即为圆M的圆心，所以圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1，故A正确；易知∠AOB＝π3，从而可得∠xOC＝π3，所以直线OC的斜率为k OC＝tan π3＝3，由AB∥OC可得直线AB的斜率为k AB＝k OC＝3，故B错误；连接PM，可得Rt△PME≌Rt△PMF，所以四边形PEMF的面积为S＝2S Rt△PME＝|ME|·|PE|＝|PE|＝|PM|2－1，当直线PM与直线2x＋y－4＝0垂直时，|PM|最小，即|PM|min＝|2×0＋1－4|5＝355，所以S min＝255，故C错误；因为PA→·PC→＝(PM→＋MA→)·(PM→＋MC→)＝(PM→＋MA→)·(PM→－MA→)＝PM→2－MA→2＝PM→2－1≥95－1＝45，故D正确.故选AD.11.解析∵两直线平行，a2－1＝7，≠－2，解得a＝2.12.答案x－7y＋18＝0解析圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，圆心为C(－1，3)，半径为2，由圆的切线的性质可得MA⊥AC，则|MA|＝|MC|2－22＝（－1－0）2＋（3＋4）2－22＝46，所以，以点M为圆心、以|MA|为半径的圆M的方程为x2＋(y＋4)2＝46，将圆M的方程与圆C的方程作差并化简可得x－7y＋18＝0.因此直线AB的方程为x－7y＋18＝0.二、创新拓展练13.答案AC解析圆C1的圆心C1(3，1)，半径r1＝2，圆C2的圆心C2(0，－3)，半径r2＝1.对于选项A，圆心距d＝（0－3）2＋（－3－1）2＝5>r1＋r2，所以圆C1，C2外离，选项A正确；对于选项B，|MN|的最小值为d－(r1＋r2)＝2，最大值为d＋(r1＋r2)＝8，选项B 错误；对于选项C，连接C1C2与圆C2交于点N(外侧交点)，过N作圆C1的切线，切点为P，此时|NP|最长，在Rt△C1PN中，|NP|＝（d＋r2）2－r21＝62－22＝42，选项C 正确；对于选项D，直线l方程化为kx－y－k＝0，圆心C1到直线l的距离|2k－1|k2＋1≤2，解得k≥－3 4，圆心C2到直线l的距离|3－k|k2＋1≤1，解得k≥43所以直线l与圆C1，C2都有公共点时，k≥43，选项D错误.故选AC.14.答案BCD解析设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得0≤d ≤2，|AB |＝29－d 2，则S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×29－d 2·d ＝9d 2－d 4当d 2＝2时，(S △ABC )max ＝14，故A 错误，B 正确；由0≤d ≤2，|AB |＝29－d 2知|AB |min ＝29－2＝27，C 正确；过圆心C 作CE ⊥MN 于点E ，则点E 为MN 的中点，又|MN |＝42，则|CE |＝9－8＝1，即点E 的轨迹为圆(x －2)2＋y 2＝1.因为|PM →＋PN →|＝2|PE →|，且|PE →|min ＝|PC |－1＝2－1，所以|PM →＋PN →|的最小值为22－2，故D 正确.因此应选BCD.15.答案－133，1解析由题意得A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y )，则由|PA |＝2|PB |，得（x ＋1）2＋y 2＝2（x－1）2＋y 2，＋y 2＝169，＋y 2＝169与直线x ＋3y ＋m ＝0有交点，即|53＋m |2≤43，解得－133≤m ≤1.故实数m 的取值范围为－133，1.16.答案±3147解析由题意得C (0，2)，直线MN 的斜率存在，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为y ＝kx －3，与x 2＋(y －2)2＝9联立，得(k 2＋1)x 2－10kx ＋16＝0，Δ＝100k 2－64(k 2＋1)＝36k 2－64>0，得k 2>169，x 1＋x 2＝10k k 2＋1，x 1x 2＝16k 2＋1.因为S △AON ＝65S △ACM ，所以12×3×|x 2|＝65×12×|2－(－3)|×|x 1|，则|x 2|＝2|x 1|，于是x 2＝2x 1，x 1＝10kk 2＋1，x 21＝16k 2＋1两式消去x 1得k 2＝187，满足Δ>0，所以k ＝±3147.。
2020版高考数学大二轮培优理科通用版能力升级练：(十七) 直线与圆
能力升级练(十七) 直线与圆一、选择题1.(2019山西运城中学、芮城中学期中联考)直线l :x sin 30°+y cos 150°+1=0的斜率为( )A. B. C.- D.-3333直线方程为x-1=0,整理为斜截式为y=x+,1233233可知直线的斜率为.故选A .32.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x 对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-1)2+(y+2)2=1(1,2).易知(1,2)关于直线y=x 对称的点为(2,1),所以圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x 对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选A .3.圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.243343x 2+y 2-2x-8y+13=0化为标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d==1,解得a=-.|a +4-1|a 2+1434.(2019重庆期末)直线mx+y+1-m=0与圆x 2+y 2+x-2y-6=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.无法确定x+2+(y-1)2=,直线方程可化为m (x-1)+y+1=0,故可得直线过12294定点A (1,-1),点A 到圆心的距离为,即点A 在圆内,故直线与圆相交,故选A .94+4=52<2925.已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0,设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC ,BD ,则以点A ,B ,C ,D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A.10 B.20 C.30 D.40解析已知圆的圆心为(3,4),半径为5,则6666最短的弦长为2=4,最长的弦为圆的直径为10,且最短的弦与最长的弦垂直,于是四边形的52-126面积为×4×10=20.故选B .12666.(2019江西临川第一中学高三上学期期末)已知圆x 2+y 2-4x-5=0的弦AB 的中点为Q (1,1),直线AB 交x 轴于点P ,则|PA|·|PB|=( )A.4B.5C.6D.82+y 2-4x-5=0可化为(x-2)2+y 2=9,所以圆x 2+y 2-4x-5=0的圆心坐标为C (2,0),半径为3.它与坐标轴的交点分别为M ,N ,所以|MO|=1,|NO|=5,因为弦AB 的中点为Q (1,1),所以QC ⊥AB ,k QC ==-1,所以k AB =1,1-01-2所以直线AB 的方程为y-1=x-1,即y=x ,所以点P 的坐标为(0,0),它与原点重合.由圆的性质可得|PA|·|PB|=|MO|·|NO|=5,故选B .7.(2019湖北沙市中学期末)已知圆C :(x-2)2+y 2=4,直线l 1:y=x 和l 2:y=kx-1被圆C 所截得的弦的长3度之比为1∶2,则k 的值为( )A. B. C.1D.12333C :(x-2)2+y 2=4的圆心为(2,0),半径为2,圆心到线l 1:y=x 的距离为,l 1被圆C 所截得的弦33的长度为2=2,圆心到l 2的距离为,l 2被圆C 所截得的弦的长度为2,由l 1,l222-3|2k -1|k 2+14-(2k -1k 2+1)2被圆C 所截得的弦的长度之比为1∶2,可得2=2×2,解得k=,故选A .4-(2k -1k 2+1)2128.(2019湖南永州模拟)自圆C :(x-3)2+(y+4)2=4外一点P (x ,y )引该圆的一条切线,切点为Q ,PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离,则点P 的轨迹方程为( )A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0,圆心C 的坐标为(3,-4),半径r=2,因为|PQ|=|PO|,且PQ ⊥CQ ,所以|PO|2+r 2=|PC|2,所以x 2+y 2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P 的轨迹方程为6x-8y-21=0,故选D .9.直线y=x+m 与圆x 2+y 2=16交于不同的两点M ,N ,且||≥|,其中O 是坐标原点,则实MN 3|OM +ON 数m 的取值范围是( ).A .(-2,-]∪[,2)2222B .(-4,-2]∪[2,4)2222C .[-2,2]D .[-2,2]22MN 的中点为D ,则=2,||≥2|,由=16,得16=OM +ON OD MN 3|OD |OD |2+14|MN |2,从而得||≤2,由点到直线的距离公式可得||=≤2,解得-2|OD |2+14|MN |2≥|OD |2+14(23|OD |)2OD OD |m |2≤m ≤2.22二、填空题10.(2018山东日照六校联考)已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,则两圆有 条公切线.C 1的标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,圆心为C 1(-1,3),半径为r 1=3,圆C 2的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=16,圆心为C 2(2,-1),半径为r 2=4,又|C 1C 2|==5,故r 2-r 1<|C 1C 2|<r 2+r 1,两圆相(-1-2)2+[3-(-1)]2交,公切线有2条.11.(2019山东潍坊期末)已知动直线l 0:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P (1,m ),且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3,则的最小值为 .12a +2cl 0:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P (1,m ),所以a+bm+c-2=0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3,所以=3,解得m=0.所以a+c=2.又a>0,c>0,所以(a+c )(4-1)2+(0-m )212a +2c =12=≥+2=,当且仅当c=2a=时取等号.12a +2c1252+c 2a +2ac1252c 2a ·2a c944312.(2019四川绵阳质检)若A (-3,y 0)是直线l :x+y+a=0(a>0)上的点,直线l 与圆C :(x-)2+(y+2)3332=12相交于M 、N 两点,若△MCN 为等边三角形,则过点A 作圆C 的切线,切点为P ,则|AP|= .△MCN 为等边三角形,圆C 的圆心为C (,-2),半径为r=2,所以根据点C 到直线l 的距离33可得:=3=,即|a+1|=6,因为a>0,所以a=5,所以直线l 的方程为x+y+5=0,又A (-r 2-(r 2)2|3-2+a |3+133,y 0)在直线l 上,所以-9+y 0+5=0,所以y 0=4,即A (-3,4),所以|AP|=33=6.|AC |2-|PC |2=(-33-3)2+(4+2)2-1226213.设圆C :(x-3)2+(y-5)2=5,过圆心C 作直线l 交圆于A ,B 两点,交y 轴于点P ,若A 恰好为线段BP 的中点,则直线l 的方程为 .C :(x-3)2+(y-5)2=5的圆心C 的坐标为(3,5),半径为,设P 点的坐标为(0,b ).因为A 是线段BP5的中点,AP=AB=2r ,CP=3r=3,即(3-0)2+(5-b )2=,解得b=-1或b=11.5(35)2当b=-1时,直线l 的方程为2x-y-1=0,当b=11时,直线l 的方程为2x+y-11=0.x-y-1=0或2x+y-11=0三、解答题14.(2019安徽六安模考)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 与y 轴相切,且过点M (1,),N (1,-).33(1)求圆C 的方程;(2)已知直线l 与圆C 交于A ,B 两点,且直线OA 与直线OB 的斜率之积为-2.求证:直线l 恒过定点,并求出定点的坐标.因为圆C 过点M (1,),N (1,-),33所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线上,即在x 轴上,故设圆心为C (a ,0),易知a>0,又圆C 与y 轴相切,所以圆C 的半径r=a ,所以圆C 的方程为(x-a )2+y 2=a 2.因为点M (1,)在圆C 上,3所以(1-a )2+()2=a 2,解得a=2.3所以圆C 的方程为(x-2)2+y 2=4.(2)记直线OA 的斜率为k (k ≠0),则其方程为y=kx.联立,得消去y ,得(k 2+1)x 2-4x=0,{(x -2)2+y 2=4,y =kx ,解得x 1=0,x2=.4k2+1所以A.4k 2+1,4kk 2+1由k ·k OB =-2,得k OB =-,直线OB 的方程为y=-x ,2k2k 在点A的坐标中用-代换k ,得B.2k 4k 2k 2+4,-8kk 2+4当直线l 的斜率不存在时,,得k 2=2,此时直线l 的方程为x=.4k2+1=4k 2k 2+443当直线l的斜率存在时,,即k 2≠2.4k 2+1≠4k 2k 2+4则直线l 的斜率为4k k 2+1--8k k 2+44k 2+1-4k 2k 2+4=.4k (k 2+4)+8k (k 2+1)4(k2+4)-4k 2(k 2+1)=3k (k 2+2)4-k 4=3k 2-k 2故直线l 的方程为y-x-.4kk2+1=3k 2-k24k2+1即y=x-,所以直线l 过定点,0.3k2-k24343综上,直线l 恒过定点,定点坐标为,0.4315.在以O 为原点的直角坐标系中,点A (4,-3)为△OAB 的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B 的纵坐标大于0.(1)求的坐标;AB (2)求圆x 2-6x+y 2+2y=0关于直线OB 对称的圆的方程.设=(x ,y ),AB 由|AB|=2|OA|,=0,AB ·OA 得{x 2+y 2=100,4x -3y =0,解得{x =6,y =8或{x =-6,y =-8.若=(-6,-8),则y B =-11与y B >0矛盾.AB ∴舍去,{x =-6,y =-8即=(6,8).AB (2)圆x 2-6x+y 2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=()2,其圆心为C (3,-1),半径r=,1010∵=(4,-3)+(6,8)=(10,5),OB =OA +AB ∴直线OB 的方程为y=x.12设圆心C (3,-1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a ,b ),则12{b +1a -3=-2,b -12=12·a +32,解得{a =1,b =3,∴所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.。
高中数学选择性必修一2 5 直线与圆、圆与圆- (解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典2.5直线与圆、圆与圆 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。
一、单项选择题（本题共6小题，每小题满分5分）1．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 圆的圆心为原点，半径，原点到直线的距离，当时，，所以，直线与圆相交；反之，若直线与圆相交，则有，即，解得：，因此，根据充分、必要条件的概念，“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件，故选A ．主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法.2．若关于x 24430x x kx k -+-=有且只有两个不同的实数根,则实数k 的取值范围是( )A ．55,126⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦C ．50,12⎛⎤⎥⎝⎦D ．53,124【答案】D 【解析】 【分析】()2443x x k x -=-+由且只有两个不同的实数根，看成24y x x =-与()43y k x =-+有且只有两个不同的交点，即过()4,3的直线与以()2,0为圆心，2为半径的半圆有且只有两个交点，从而得到斜率k 的范围. 【详解】24430x x kx k -+-=有且只有两个不同的实数根，得()2443x x k x -=-+有且只有两个不同的实数根， 即24y x x =-与()43y k x =-+有且只有两个不同的交点，即过()4,3的直线与以()2,0为圆心，2为半径的半圆有且只有两个交点， 当直线与半圆相切时，圆心()2,0到直线430kx y k --+=的距离为2即22321k k -+=+，解得512k =， 当直线过()0,0时，斜率为34， 所以k 的取值范围为53,124. 故选：D. 【点睛】本题考查根据直线与圆相切求斜率的值，函数与方程，属于中档题.3．已知圆229x y +=的弦过点P （1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为 （ ）A ．250x y +-=B ．20y -=C ．20x y -=D ．10x -=【答案】A 【解析】由题意可得该直线与直线OP 垂直，又2OP k =，所以直线的斜率为12-，由点斜式可求得直线方程为250x y +-=，故选A.4．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A ．2B ．42C ．6D ．210【答案】C 【解析】试题分析：直线l 过圆心，所以1a =-，所以切线长2(4)14(4)216AB =-+-⨯-++=，选C.考点：切线长5．过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的交点，且面积最小的圆的方程为（ ）.A ．22136165525x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．22138165525x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．221384555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】由已知圆的标准方程，可得圆心、半径，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，再根据点到直线的距离公式和勾股定理可求出半径，由此即可求出圆的方程． 【详解】由题知，圆22:2410C x y x y ++-+=的圆心为(1,2)C -，半径2r.设直线l 与圆C 的交点为A 、B ，如图所示，过C 作CD AB ⊥，则经过A 、B 两点面积最小的圆是以AB 为直径的圆. 由直线l 的方程为240x y ++=，CD AB ⊥可得，12CD k =， 所以CD 所在直线的方程为12(1)2y x -=+， 联立24012(1)2x y y x ++=⎧⎪⎨-=+⎪⎩，得13565x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即136,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即D 为以AB 为直径的圆的圆心.又圆心C 到直线l 的距离5d ==，所以||BD ===，所以以AB ； 所以以AB 为直径的圆的方程为221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．6．已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设()00,P x y ，根据点到直线的距离公式得出22000021x y x y +-=，再结合点P 在圆C上，得出2200021x y y +-=，联立两式，求解方程组，即可得出答案. 【详解】设()00,P x y ，由点P 到直线y x =的距离为22=两边平方整理得到22000021x y x y +-=①()00,x y 在圆C 上，()220012x y ∴+-=，即2200021x y y +-=②联立①②得()0010y x -= 解得00y =或01x =当00y =时，由①②可得201x =，解得01x =或01x =-，即(1,0)P 或(1,0)P -当01x =时，由①②可得20020y y -=，解得00y =或02y =，即(1,0)P 或()1,2P综上，满足条件的点P 的个数为3个 故选：C 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线距离公式的应用，属于中档题. 7．已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线420x y ++=相切.点P 在直线8x =上，过点P 引圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如图所示，则直线AB 恒过定点的坐标为（ ）A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(1,0)D ．(0,1)【答案】A 【解析】 【分析】由圆C 的圆心为原点且与直线420x y ++=相切即得圆的方程，又PA ，PB 是它的切线，可知A ，B 一定在以OP 为直径4,2b ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆上，即AB 为两圆的公共弦，即可求出直线AB 的方程，进而找到定点 【详解】依题意知，圆C 的半径2242411r ==+且圆心为O∴圆C 的方程为2216x y += ∵PA ，PB 是圆C 的两条切线∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，即A ，B 在以OP 为直径的圆上若设点P 的坐标为(8,)b ，b R ∈，则线段OP 的中点坐标为4,2b ⎛⎫⎪⎝⎭∴以OP 为直径的圆的方程为2222(4)422b b x y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b R ∈，化简得2280x y x by +--=，b R ∈∵AB 为两圆的公共弦∴直线AB 的方程为816x by +=，b R ∈，即8(2)0x by -+= ∴直线AB 恒过定点(2,0) 故选：A 【点睛】本题考查了圆的切点弦过定点问题，首先根据已知条件求出两圆方程，由两圆过相同的两点，即有公共直线求出切点弦的直线方程，进而确定定点 8．已知点(,1),P t t t R -∈，点E 是圆2214x y +=上的动点，点F 是圆229(3)(1)4x y -++=上的动点，则PF PE -的最大值为（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】由于两圆不在直线的同侧，先做出圆O 关于直线对称的圆1O ，把PF PE -转化为PF PE '-，若PF PE '-最大，必须PF 最大，PE '最小.【详解】 如图：依题意得点(,1),P t t t R -∈在直线1y x =-上， 点E 关于直线1y x =-对称的点E ', 点E '在圆2214x y +=关于直线1y x =-对称的圆2211:(1)(1)4O x y ++-=上，则PE PE '=，设圆229(3)(1)4x y -++=的圆心为2O ， 因为11PE PO E O ''≥-，22PF PO FO ≤+， 所以22112112()()224PF PE PF PE PO FO PO E O PO PO OO ''-=-≤+--=-+≤+=，当12,,,,P E F O O '五点共线，E '在线段1O 上，2O 在线段PF 上时“=”成立. 因此，PF PE -的最大值为4. 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称变换是常采用的方法.二、多选题（3道小题，每小题满分5分，答漏得3分，答错得0分）9．已知圆22:(cos )(sin )1M x y θθ++-=，直线:l y kx =．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点B ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切C ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切D ．存在实数k 与θ，使得圆M 上有一点到直线l 的距离为3 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知可得圆心(cos ,sin )M θθ-，半径1r =，且圆过原点，求出圆心到直线的距离，逐项判断，即可得出结论. 【详解】选项A ，圆22:(cos )(sin )1M x y θθ++-=恒过原点(0,0)O ， 所以A 正确；圆心(cos ,sin )M θθ-到直线l 的距离为d ，|sin()|1d θϕ==+≤∴对于任意实数k ，直线l 与圆相交或相切，所以选项C 正确，选项B 不正确；圆上的点到直线l 距离最大值为12d +≤， 所以选项D 不正确. 故选:AC. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意点到直线距离公式的合理应用，属于中档题. 10．以下四个命题表述正确的是（ ） A ．直线()4120mx y m R +-=∈恒过定点()0,3B ．圆C ：2228130+--+=x y x y 的圆心到直线4330x y -+=的距离为2 C ．圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：224840x y x y +--+=恰有三条公切线D ．两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的直线方程为：260x y ++=【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线过的定点判断A 选项的正确性，根据圆心到直线的距离判断B 选项的正确性，根据两个圆的位置关系判断C 选项的正确性，根据相交弦所在直线方程判断D 选项的正确性. 【详解】对于A 选项，当0x =时3y =，所以直线过定点()0,3，故A 选项正确. 对于B 选项，圆C 的圆心为()1,4，到直线4330x y -+=的距离为412315-+=，所以B 选项错误.对于C 选项，圆1C 的圆心为()1,0-，半径为11r =；圆2C 的圆心为()2,4，半径为24r =.125r r ==+，所以两圆外切，故恰有三条公切线，故C 正确.对于D 选项，由22224402120x y x y x y x ⎧++-=⎨++-=⎩两式相减并化简得260x y -+=，所以D 选项错误.综上所述，正确的选项为AC. 故选：AC【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，考查直线过定点问题，属于中档题.11．如图()()()()2,0,1,11,12,0A B C D --,,，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω.则下面说法正确的是( )A ．曲线Ω与x 轴围成的面积等于32π B ．CB 与BA 的公切线方程为：12=0x y +-- C ．AB 所在圆与CB 所在圆的交点弦方程为：0x y -= D ．用直线y x =截CD 2 【答案】BC 【解析】 【分析】由题知曲线Ω与x 轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个四分之一圆，求面积和，可判断A ；设CB 与BA 的公切线方程，由直线与圆相切的条件，列方程组，可求得直线方程，即可判断B ；由两圆方程联立相减，则可求出AB 所在圆与CB 所在圆的交点弦方程，可判断C ；由弦长公式求出弦长，可判断D. 【详解】各段圆弧所在圆方程分别为：CD ：22(1)1x y ++=，CB ：22(1)1y x +-=，BA ：22(1)1x y -+=曲线Ω与x 轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个14圆，面积为22224πππ++⨯=+，故选项A 错误；设CB 与BA 的公切线方程为：(0,0)y kx b k b =+<>， 则221111b k b k k -++==++，解得1,12k b =-=+，所以CB 与BA 的公切线方程为：12y x =-++， 即120x y +--=，故选项B 正确；由22(1)1y x +-=及22(1)1x y -+=两式相减得：0x y -=即为交点弦所在直线方程，故选项C 正确；CD 所在圆的方程为22(1)1x y ++=，圆心为(1,0)-，圆心到直线y x =的距离为1222d -==， 则弦长为2221()22-=，故选项D 错误. 故选：BC.【点睛】本题考查圆的方程的运用，直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力，综合性较强，运算较繁杂..评卷人得分三、填空题12．以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0公共弦为直径的圆的方程为________． 【答案】x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0 【解析】试题分析：解法一：先两圆方程相减，得到公共弦方程，再联立直线和圆的方程求出公共点坐标，进而求出圆的半径和圆心，写出圆的方程即可；解法二：先两圆方程相减，得到公共弦方程，再利用圆系方程进行求解.试题解析：解法一：联立两圆方程22221221301216250x y x y x y x y ⎧+---=⎨+++-=⎩， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由221221304320x y x y x y ⎧+---=⎨+-=⎩， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为221(51)(62)52++--=， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)． 可求得圆心1212162(,)2(1)2(1)C λλλλ----++．∵圆心C 在公共弦所在直线上， ∴121216243202(1)2(1)λλλλ---⨯+⨯-=++，解得λ＝12. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.13．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为__________； （2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =__________．【答案】3 125【解析】 【分析】（1）设出公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求解即可； （2）设出方程，分别表示出圆心到直线的距离1d，2d =，3d =，结合弦长公式求得k ，m 即可【详解】解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为(4,0)-，(4,0)，设公切线方程为(0)y kx m k =+≠且k 存在，则22==，解得3k =±，0m =，故公切线方程为y x =，则Q 到直线l的距离d =， 故l 截圆Q的弦长3==； （2）设方程为(0)y kx m k =+≠且k 存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：1d2d，3d ，则22221234(4)4(4)4(9)d d d d =-=-=-，即有22=，①2249-=-，②解①得0m =，代入②得2421k =， 则2416144214(4)425121d ⨯=-=+，即125d =，故答案为：3；125． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，公切线方程，方程思想，数形结合思想，属于中档题．14．定义：点()00,M x y 到直线22:0(0)l ax by c a b ++=+≠的有向距离为已知点(2,0)A-，(2,0)B，直线m过点(4,0)P，若圆22(6)36x y+-=上存在一点C，使得A，B，C三点到直线m的有向距离之和为0，则直线m的斜率的取值范围是________.【答案】4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先设直线m的方程为(4)y k x=-，(,)C x y，根据A，B，C三点到直线m的有向距离之和为0得到120kx y k--=，再根据点C在圆22(6)36x y+-=上，即可得到直线m的斜率的取值范围.【详解】因为直线m的斜率存在，设直线m的方程为(4)y k x=-，即40kx y k--=，设(,)C x y，则A，B，C三点到直线m的有向距离之和为++=，化简得120kx y k--=.又点C在圆22(6)36x y+-=上，所以直线120kx y k--=与圆22(6)36x y+-=有交点，6≤，解得403k-≤≤.故答案为：4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，同时考查学生的分析问题的能力，属于中档题. 四、解答题（4道小题，每小题满分10分）15．在直角坐标系xOy中，直线l：40x-=交x轴于M，以O为圆心的圆与直线l相切.（1）求圆O的方程；（2）设点()00,N x y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）224x y +=；（2）03322x -≤≤；（3）()1,0，证明见解析 【解析】 【分析】（1）已知圆心()0,0O ，由点到直线的距离为半径，求出半径，即可得到圆O 的方程； （2）当NP 与圆O 相切时ONP ∠最大，可得2sin 452ON ≥︒=，求解出0x 的取值范围；（3）讨论直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，易知点S 存在；当斜率存在时，由AMO BMO ∠=∠可得0AM BM k k +=，设直线方程并代入圆方程，由韦达定理求出m k =-，即可求出定点S . 【详解】（1）由题意，圆心()0,0O ，直线l 与圆O 相切，所以圆心到直线l 的距离即半径422r ===， 所以圆O ：224x y +=；（2）由题意，当NP 与圆O 相切时ONP ∠最大， 此时2sin OP ONP ON ON∠==， 在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，即2sin 45ON ≥︒=，ON ≤ 设点()00,3N x x -，则ON =，≤0x ≤≤（3）当直线L 斜率不存在时，L 与圆O 交于A 、B 两点， 则点A 和点B 关于x 轴对称，点M 在x 轴上，当0y =时，4x =，所以()4,0M ， 所以AMO BMO ∠=∠成立，点S 存在； 当直线L 斜率存在时，设直线L ：y kx m =+，代入圆O 方程，并整理得，()2221240k x kmx m +++-=， 设点()11,A x y ，点()22,B x y ，则12221km x x k +=-+，212241m x x k -⋅=+，若AMO BMO ∠=∠成立，即0AM BM k k +=，故1212044kx m kx m x x +++=--，整理得()()12122480kx x k m x x m --+-=， 将12221km x x k +=-+，212241m x x k -⋅=+代入得，()22242248011m kmk k m m k k -+--=++，化简得m k =-，所以直线L ：()1y k x =-，恒过定点()1,0. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和求定点问题，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.16．已知两个定点(4,0),(1,0)A B --，动点P 满足||2||PA PB =.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-. （1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的,C D 两点，且90COD ∠=（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若1,2k Q =是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线,QM QN ，切点为,M N ，探究：直线MN 是否过定点.【答案】（1）224x y +=（2）k =3）线MN 过定点1(,1)2-【解析】试题分析：（1）设点P 坐标为(),x y ，由2PA PB =，得：=整理即可得轨迹方程；（2）依题意圆心到直线l 的距离d =l 的斜率k ；（3）由题意可知：,,,O Q M N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设1,42Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其方程为()1402x x t y y t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，即：22402t x tx y y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，又,M N 在曲线22:4E x y +=上，4402MN t l tx y ⎛⎫=+--=⎪⎝⎭，即()4102y x t y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由210y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩可解得定点坐标. 试题解析：（1）设点P 坐标为(),x y 由2PA PB ==整理得：曲线的E 轨迹方程为224x y += （2）依题意圆心到直线l的距离d ==k ∴=（3）由题意可知：,,,O Q M N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设1,42Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 其方程为()1402x x t y y t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，即：22402t x tx y y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭又,M N 在曲线22:4E x y +=上，4402MN t l tx y ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即()4102y x t y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由0210y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线MN 过定点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.17．如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）.规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ，规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于．．．圆O 的半径.已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C ，D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）.（1）若道路PB 和桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P ，Q 两点间的距离.【答案】（1）道路PB 的长为15（百米）；（2）不能，答案见解析；（3）(17321)+百米. 【解析】 【分析】（1）当道路PB 和桥AB 垂直，先确定出点P 的位置，根据题目条件，采用几何法求解；（2）分别假设点P 或点Q 位于点D ，分析道路PB 和QA 上的点到圆心O 的距离是否均不小于．．．圆O 的半径； （3）由题意分析可知，当PB 上所有点到圆心的距离均不小于圆O 的半径时，90OPB ∠≥，且当PB AB ⊥时，PB 最小，验证PB QA d ==时，QA 上的点到圆心O 的距离均不．小于．．圆O 的半径. 【详解】解：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E . 由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6DE BE AC ===，8AE CD ==.因为PB AB ⊥，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==， 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）不能，理由如下：①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连接AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以BAD ∠为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当90OBP ︒∠<时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当90OBP ︒∠≥时，对线段PB 上任意一点F ，OF OB ≥，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当90OBP ︒∠>时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，15d ≥. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得15QA ≥，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当15QA =时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB AB ⊥点Q 位于点C 右侧，且321CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离17321PQ PD CD CQ =++=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为(17321)+百米. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系综合题，难度较大.解答时注意数形结合，灵活运用题目所给几何条件求解.18．已知()0,3A ，,B C 为222(0)x y r r +=>上三点.（1）求r 的值；（2）若直线BC 过点(0，2)，求ABC 面积的最大值；（3）若D 为曲线22(1)4(3)x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+，试问直线AB 和直线AC 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）3r =；（25（3）定值为：15-.【解析】 【分析】（1）由(0,3)A 为圆222:()0O x y r r +=>上的点即可得r ；（2）设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，根据1211||2ABCSx x =-利用韦达定理即可求解； （3）直线AB 和直线AC 的斜率之积为m ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，0(D x ，0)y ，即可得121233y y m x x --=⇒2121223(1)()91m y y y y m +=-+--，12121(3)(3)x x y y m =--，由AD AB AC =+可得1212(3),D x x y y ++-，代入222125(1)4(3)()01m mx y y y y m +++=≠-⇒+=-，求得m 即可．【详解】解：（1）∵()0,3A 为圆()2220x y rr +=>上，所以()222030r r +=>∴3r =（2）由题意知直线BC 的斜率存在，设直线BC 的方程为2y kx =+，()11,B x y ，()22,C x y 将2y kx =+代人229x y +=得，()221450kx kx ++-=所以1211||2ABCS x x =⋅⋅-=△令21k t +=，则ABC S ==△1t ≥ 当1t=，即0k =时ABC （3）设直线AB 和直线AC 的斜率之积为(0)m m ≠ 设()11,B x y ，()22,C x y ，()00,D x y 则121233y y m x x --⋅= ()()1212133x x y y m =--①，()()22122221233y y m x x --=因为B ，C 为圆222:O x y r +=上，所以22119x y +=，22229x y +=()()()()22122221233y y mq y q y --=--化简得()()()()222113333y y m y y --=++整理得()()2222113191m y y y y m +=-+--② 因为AD AB AC =+，所以()()()112200,,3,33x y x y x y -+-=-从而()1212,3D x x y y ++-，又因为D 为曲线()2214(3)x y y +-=≠-的动点 所以()()22121224x x y y +++-=展开得 ()()22221122121212224()44x y x y x x y y y y +++++-++=将①代入得 ()()()21121229933240y y y y y y m++--+-+=化简得 ()()()()1212123910m y y m y y m +-++++=将②代人得()2121223(1)1()9(23)()9(1)01m m y y m y y m m ⎡⎤++-+--++++=⎢⎥-⎣⎦，整理得 ()212501m m y y m +⋅+=-， 因为2133y y +≠--所以120y y +≠从而250m m +=又0m ≠所以15m =-【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查两直线的斜率之积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，属于中档题．。
直线与圆高考题精选培优
01（10安徽文）过面（1，0）且与直线x-2y-2=0仄止的直线圆程是A 之阳早格格创做（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 02(10广东文）若圆心正在x O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的圆程是D A.22(5x y -+= B.22(5x y ++= C.22(5)5x y -+= D.22(5)5x y ++=03（10广东理）已知圆心正在xO 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的圆程是22(2)2x y ++=04（10天津文）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的接面，且圆C与直线x+y+3=0相切.则圆C 的圆程为2x+1y 2+=2（） 05（10上海文）圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d =306（10四川理）直线250x y -+=与圆228x y +=相接于A 、B 二面，则AB ∣07（09辽宁文）已知圆C 与直线x-y ＝0 及x-y-4＝0皆相切，圆心正在直线x+y ＝0上，则圆C 圆程BA ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=08（09宁夏海北文）圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 闭于直线10x y --=对付称，则圆2C 的圆程为BA.2(2)x ++2(2)y -=1B.2(2)x -+2(2)y +=1C.2(2)x ++2(2)y +=1D.2(2)x -+2(2)y -=109（10江苏通州下三检测）已知二圆(x-1)2+(y-1)2＝r 2战(x+2)2+(y+2)2＝R 2相接于P,Q 二面，若面P 坐标为(1,2)，则面Q 的坐标为．（2,1） 10（10安徽理）动面(),A x y 正在圆221x y +=上绕本面沿顺时针目标匀速转动，12秒转一周.已知时间0t =时，面A 的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动面A 的纵坐标y 闭于t （秒）的函数的单调递加区间是DA 、[]0,1B 、[]1,7C 、[]7,12D 、[]0,1战[]7,1211（10山东文）已知圆C 过面（1,0），且圆心正在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦少为，则圆C 的尺度圆程为.22(3)4x y -+=12（10山东理）已知圆C 过面（1,0），且圆心正在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C 所截得的弦少为l 笔直的直线的圆程为x+y-3=013（10江苏卷）正在仄里直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个面到直线12x-5y+c=0的距离为1，则真数c 的与值范畴是14（09上海）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与仄止，则k 的值是C15.Rt △ABC 的斜边为AB ，面A(-2，0),B(4，0)，则△ABC 的沉心G 的轨迹圆程是CA.(x-1)2+y 2=1(x≠0)B.(x -1)2+y 2=4(y≠0)C.(x -1)2+y 2=1(y≠0)D.(x+1)2+y 2=1(y≠0) 16．直线过面(-3,-2)且正在二坐标轴上的截距相等，则那样的直线圆程为_________2x －3y ＝0或者x ＋y ＋5＝017．过面Ｍ(２,１)的直线l 与x 轴，y 轴分别接于Ｐ,Ｑ二面，且MQ MP =,则l 的圆程是__x+2y-4=018．正在仄里直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224xy +=相接于A 、B 二面，以OA 、OB 为邻边做仄止四边形OAMB ，若面M 正在圆C 上，则真数k=019（10湖北文）若分歧二面P,Q 的坐标分别为（a,b ），（3-b,3-a ），则线段PQ 的笔直仄分线l 的斜率为，圆(x-2)2+(y-3)2＝1闭于直线l 对付称的圆的圆程为-1 , 1)1(22=-+y x20（10宁夏理）过面A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于面B(2,1)．则圆C 的圆程为22(3)2x y -+=21（09四川）若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相接于A 、B 二面，且二圆正在面A 处的切线互相笔直，则线段AB 的少度是4 22. 下列命题精确的有⑤ ①每条直线皆有唯一一个倾斜角与之对付应,也有唯一一个斜率与之对付应;②倾斜角的范畴是:0°≤α<180°,且当倾斜角删大时,斜率也删大;③过二面A(1,2),B(m,-5)的直线不妨用二面式表示;④过面(1,1),且斜率为1的直线的圆程为111y x -=-;⑤直线Ax+By+C=0(A,B 分歧时为整),当A,B,C 中有一个为整时,那个圆程没有克没有及化为截距式.⑥若二直线仄止,则它们的斜率必相等;⑦若二直线笔直,则它们的斜率相乘必等于-1.23．ABC ∆中，面A (),1,4-AB 的中面为M (),2,3沉心为P (),2,4供边BC 的少.524．分歧的三条直线mx+y+3=0，没有克没有及成为一个三角形三边地圆的直线，则m=2143---、、25．面)1,2(P 到直线)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈=--+--的最近距离为B26．圆心为C 的圆通过)1,1(A ，)2,2(-B ，且圆心C 正在直线01=+-y x l ：上，供圆心为C 的圆的尺度圆程.25)2()3(22=+++y x27（10江西理）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=接M,N 二面，若23MN ≥，则k 的与值范畴是AA.304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B.[]304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C.3333⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D.203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 28. 供函数545222+--+-=x x x x y 的最大值，并供出最大值时x 的值.2，329．如图，正在∆ABC 中，∠C=900，P 为三角形内的一面，且PCA PBC PAB S S S ∆∆∆==，供证：2225PC PB PA =+ 30．当直线y=1+24x -与直线y=k(x-2)+4有二个相同接面时，真数k 的与值范畴是CA.（0，125） B.（43,31］C.（43,125］D.（125，+∞） 31．已知圆C ：22262(1)102240x y mx m y m m +---+--=，供证：（1）供圆心地圆的直线l 的圆程；x-3y-3=0（2）若直线l ：x-3y+7=0与圆相接于A ，B ，供弦AB 少.152 32．已知圆C ：x 2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0（1）供证：对付m ∈R ，直线l 与圆C 总有二个分歧接面.（2）设l 与圆C 接于A 、B 二面，若|AB|=17，供直线l 的倾斜角.3π或者32π（3）供弦AB 的中面M 的轨迹圆程.21)21()21(22=-+-y x 33．设圆221x y +=的一条切线与x 轴、y 轴分别接于面A 、B ，则线段AB 少度的最小值为234．已知面)1,3(A ，面M 正在直线0=-y x 上，面N 正在x 轴上，则AMN∆周少的最小值是________5235．面P （x,y ）谦脚(x-2)2+y 2=1供：（1）x y 的最大值33（2）供22x y +的范畴]9,1[（3）y-x 的最小值22--36．如直线01=+-y ax ，当]3,2[-∈x 时，]5,3[-∈y ，则a的与值范畴是DA.]2,2[- B.]2,34[- C.]34,2[- D.]34,34[- 37．如图，已知△ABC 的二个顶面A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，供顶面C 的坐标．（6，-6）38（世界1理）圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的二条切线，A 、B 为二切面，则PB PA ⋅ 的最小值为D(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+39（09世界Ⅰ）若直线m 被二仄止线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的少为22，则m 的倾斜角不妨是 ①15②30③45④60⑤75其中精确问案的序号是.（写出所有精确问案的序号）①或者⑤40．已知内接于圆的四边形的对付角线互相笔直，供证圆心到一边的距离等于那条边所对付边少的一半.41. 已知三面A(0,a ）,B(b,0)，C(c,0），b+c ≠0，a ≠0，矩形EFGH 的顶面E 、H 分别正在△ABC 的边AB 、AC 上，F 、G 皆正在边BC 上，没有管矩形EFGH 怎么样变更，它的对付角线EG 、HF 的接面P 恒正在一条定直线l 上，那么直线l 的圆程是2a a y x b c =-+42（09上海）过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，做直线分别接x 、y 正半轴于面A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若那四部分图形里积谦脚III II I S S S S +=+Ⅳ则直线AB 有BA. 0条B. 1条C. 2条D. 3条43（09天津）若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公同弦的少为23，则a =_____144（09世界2）已知AC 、BD 为圆O ：422=+y x 的二条相互笔直的弦，垂脚为(1,2)M ，则四边形ABCD 的里积的最大值为.5 45（09江西）设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对付于下列四个命题：A ．M 中所有直线均通过一个定面B ．存留定面P 没有正在M 中的任一条直线上 C ．对付于任性整数(3)n n ≥，存留正n 边形,其所有边均正在M中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形里积皆相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．B ,C 46（09江苏）正在仄里直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=战圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过面(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦少为23，供直线l 的圆程；（2）设P 为仄里上的面，谦脚：存留过面P的无贫多对付互相笔直的直线1l 战2l ，它们分别与圆1C 战圆2C 相接，且直线1l 被圆1C截得的弦少与直线l被圆C截得的弦少相等，试供所有谦脚条件的面P的坐标。
直线与圆高考题精选培优
直线与圆高考题精选培优引言在高考数学中，直线与圆是一个非常重要的知识点，涉及到的知识点较多，且题目多样化。
本文将为大家精选了一些高考题，旨在帮助大家理解直线与圆的相关概念和解题技巧，加深对该知识点的理解。
1. 直线与圆的基本概念在开始解答高考题之前，我们需要先了解直线与圆的基本概念。
直线：直线是一个无限延伸的平面几何对象，其上的点满足相邻两点间的距离是恒定的。
圆：圆是一个平面几何对象，由一个平面上距离中心恒定为r的点组成，其中r称为圆的半径。
对于直线和圆的相关性质和定理，请参考数学教材和相关学习资料。
2. 高考题精选解析题目一已知点A(-2,3)和点B(4,-1)分别在直线l上，且l与圆C的交点为M(-1,2)和N(3,0)。
求直线l的方程和圆C的方程。
解析：首先求直线l的方程。
由题目可知，直线l过点A(-2,3)和点B(4,-1)，我们可以使用两点式求直线的方程。
直线l的斜率为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 3) / (4 - -2) = -1然后我们可以使用点斜式求直线l的方程。
直线l通过点A(-2,3)，斜率为-1，直线的方程为：y - y1 = m(x - x1) => y - 3 = -1(x - -2) => y - 3 = -x - 2 => y = -x + 1接下来，我们求圆C的方程。
已知圆C的两个交点为M(-1,2)和N(3,0)，我们可以使用两点式求圆的方程。
圆C的半径为r，中心点为O(x0, y0)，则圆的方程为：(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2代入两个交点的坐标，我们有：(-1 - x0)^2 + (2 - y0)^2 = r^2 和 (3 - x0)^2 + (0 - y0)^2 = r^2通过联立方程，我们可以求解圆的方程。
具体的求解过程省略。
题目二已知圆O的半径为4，点A(3,0)为圆上的一点，直线l过点A且与圆O相切。
高考数学培优---圆的“双切线”问题
高考数学培优---圆的“双切线”问题【方法点拨】1.涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，根据对称性,常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”(切点、圆心、圆外点为顶点)，向点与圆心的距离问题转化.2.圆上存在一点、圆心与圆外一点（或圆上存在两点与圆外一点）的张角有最大值，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.【典型题示例】例1已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++=【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据22PAM PM AB S PA ⋅==△可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以12222PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=△，而PA = 当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． ∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :y =kx +6上存在点P ，过点P 作圆O : x 2+ y 2=4的切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x【答案】(－∞，－52]∪[52，＋∞) 【分析】由x 1 x 2+ y 1y 2=－2直线l :y =kx +6上的点P 只需满足PC 以垂线段最短，故只需C 【解析】由x 1 x 2+ y 1y 2=－2得： 1212=cos x x y y OA OB OA OB +=⋅在△P AC ，∠APC =300，PC =4，当直线l 上的点 P 满足PC =4又因为点C 与直线上点间的距离，以垂线段最短，故只需C 到直线的距离不大于4.4≤，解之得22k k ≤-≥ 所以k 的取值范围为(－∞，－52]∪[52，＋∞).例 3 过点)1,1(-P 作圆C :)(1)2()(22R t t y t x ∈=+-+- 的切线,切点分别为B A ,,则PA PB ⋅ 的最小值为__________.【答案】214【分析】为了求出PA PB ⋅的最小值，需建立目标函数，这里选择使用数量积的定义作为突破口，选择线段PC 长为“元”.设∠APC =θ，则1sin PC θ=，222cos 212sin 1PC θθ=-=-， 故222222cos 2(1)(1)3PA PB PA PB PC PC PC PCθ⋅==--=+- 又点(,2)C t t -在直线20x y --=，故22PC ≥即28PC ≥所以2218384PA PB ⋅≥+-=，故PA PB ⋅ 的最小值为214. 点评：（1）求最值问题要牢固树立建立目标函数的意识；（2）涉及从圆外一点向圆引两条切线的相关线段长计算问题，常将双切线问题转化为一条切线问题，抓住“特征直角三角形”，向点与圆心的距离问题转化.例4 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30︒，则a 的取值范围为 ．【答案】[－65，0] 【分析】双动点问题先转化为一点固定不动，另一点动.这里，先将Q 固定不动，则点P 在圆O 运动时，当PQ 为圆O 的切线时，∠OQP 最大，故满足题意，需∠OQP ≥30︒，再将角的范围转化为O 、Q 间的距离问题，即需OQ ≤2.再固定P 不动，易得只需OM ≤3即可，利用两点间距离公式(a ＋3)2＋(2a )2≤9，解得－65 ≤a ≤ 0.点评：圆上存在一点（或两点）与圆外一点的张角问题，张角最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题.例5 平面直角坐标系xOy 中，点P 在x 轴上，从点P 向圆C 1：x 2＋(y －3)2＝5引切线，切线长为d 1，从点P 向圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝7引切线，切线长为d 2，则d 1＋d 2的最小值为_____．【答案】52【分析】求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题.【解析】设点P (x ，0)，则d 1＝x 2＋(－3)2－5，d 2＝(x －5)2＋42－7，d 1＋d 2＝x 2＋4＋(x －5)2＋9，几何意义：点P (x ，0)到点M (0，2)，N (5，－3)的距离和．当M，P，N三点共线时，d1＋d2有最小值52，此时P(2，0).【巩固训练】1.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的长的取值范围是________．2.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．3.已知椭圆C 1：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与圆C 2：22234b x y +=，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是_______4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O : x 2+ y 2= r 2 (r ＞0) 与圆C : (x －6)2+ (y －8)2=4，过圆O 上任意一点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，6PA PB +≥，则实数r 的取值范围为 .5.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)(4)16x y +++=，若对于直线10x my ++= 上的任意一点P ，在圆C 上总存在Q 使∠PQC ＝2π，则实数m 的取值范围为 ． 6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：x ＋ay －3＝0(a >0)，过直线l 上一点P 作圆O的两条切线，切点分别为M ，N .若PM →·PN →＝23，则正实数a 的取值范围是________． 7. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最短时，△P AB 的面积为________．8. 已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10上存在两点A ，B ，P 为直线x ＝5上的一个动点．且满足AP ⊥BP ，那么点P 的纵坐标的取值范围是________．。
2直线与圆培优选填题
A. 5 2 4
B. 5 2 4
C. 26 4
D. 26 4
4. N 为圆 x2 y2 1上的一个动点，平面内动点 M (x0 , y0 ) 满足 y0 1且 OMN 30 ( O 为坐标原
点)，则动点 M 运动的区域面积为（ ）
8 A. 3
2
3
B.
4 3
3
C.
2 3
3
4 D. 3
3
11.已知点 P x1, y1 是单位圆 x2 y2 1上的动点，点 Q x2, y2 是直线 2x y 6 0 上的动点，定
点 LPQ x1 x2 y1 y2 ，则 LPQ 的最小值为（ ）
第 14 页
A． 3 5 2
B． 6 5
65
C．
5
23
D．
3
答案：
选择题答案：
5.圆 O 半径为 1， PA, PB 为圆的两切线， A, B 为切点，求 PA PBmin
6.（09 全国Ⅱ卷）已知 AC, BD 为圆 O : x2 y2 4 的两条互相垂直的弦，垂足为 M (1, 2) ，则四边
形 ABCD 的面积的最大值为
。
7.已知 B,C 为 x2 y2 4 上两点，点 A(1,1) ，且 AB AC ，则线段 BC 的长的取值范围
5.在平面直角 坐标系中， A ， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点 ，若以 AB 为直径的圆 C 与直线
2x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小值为 ( )
A． 4 5
C． (6 2 5)
B． 3 4
D． 5 4
6.已知圆 C : x2 y2 8x 15 0 ，直线 y kx 2 上至少存在一点 ，使得以点 为圆心，半径为1
2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)专题08 直线与圆的方程-(解析版)
2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）专题08 直线与圆的方程姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．以点(2，－1)为半径的圆的标准方程是（ ）A ．(x ＋2)2＋(y －1)2B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2【答案】C【解析】由题意圆标准方程是22(2)(1)2x y -++=．2．设直线1:10l kx y -+=，2:10l x ky -+=，若12l l ⊥，则k =（ ） A ．-1 B ．1C ．±1D ．0【答案】D【解析】12l l ⊥，∴当0k ≠时，11k k⋅=-，矛盾， 当0k =时，符合题意3．圆2228130+--+=x y x y 截直线10ax y +-=所得的弦长为a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2【答案】A【解析】圆2228130+--+=x y x y ，即22(1)(4)4x y -+-=22(3)1根据点到直线距离公式可知1d ==，化简可得22(3)1a a +=+解得43a =-4．直线0x a +-=的倾斜角为 ， ， A ．30 B ．150︒C ．120︒D ．与a 取值有关【答案】B【解析】直线x y ﹣a=0θ，则 又 0°≤θ，180°， ，θ=150°，5．斜率为4的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (，1，b )三点，则a ，b 的值为( ) A ．a ，72，b ，0 B ．a ，，72，b ，，11 C ．a ，72，b ，，11 D ．a ，，72，b ，11 【答案】C【解析】因为4AB AC k k ==，所以25434b a -==--，则7,112a b ==-，故选C， 6．若方程22420x y x y k +-++=表示圆，则k 的取值范围是（ ） A ．5k >B ．5k <C ．5k ≥D ．5k ≤【解析】方程22420x y x y k +-++=表示圆∴22416440D E F k +-=+->，解得：5k <7．已知3(2,)A -,(3,2)B --,直线l 过定点(1,1)P ,且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．344k -≤≤ B ．344k ≤≤ C ．12k ≠D ．4k ≤-或34k ≥【答案】D【解析】画出图像,如图:312134,21314PA PB k k ----==-==--- ∴ 结合图像可知,要保证线段AB 与直线l 相交需满足斜率k 的取值范围: 4k ≤-或34k ≥8．若实数,x y 满足224240x y x y ++-+=，则yx的取值范围是（ ） A ．4,[0,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,[0,)4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】实数,x y 满足224240x y x y ++-+=，即22(2)(1)1x y ++-= 故动点(),x y 是以()2,1C -为圆心，以1r =为半径的圆上的点，则yx表示点(),x y 与()2,1-连线的斜率k ，如图所示，直线0kx y 与圆有交点，相切时是临界状态，当直线0kx y1=解得0k =或43k =-，故4,03k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即4,03y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.二、多选题9．（多选）若直线1l 的倾斜角为α，且12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角可能为（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．90α︒-D ．180α︒-【答案】ABC【解析】（1）当0α︒=时，2l 的倾斜角为90︒（如图1）；（2）当090α︒︒<<时，2l 的倾斜角为90α︒+（如图2）；（3）当90α︒=时，2l 的倾斜角为0︒（如图3）；（4）当90180α︒︒<<时，2l 的倾斜角为90α︒-（如图4）．故直线2l 的倾斜角可能为90,90,|90|ααα︒︒︒-+-，但不可能为180α︒-．10．若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A ．2-B ．C ．2D ．【答案】AC【解析】因为直线y b =+与圆221x y +=相切，1=，解得2b =±.11．直线y x b =+与曲线x =b 可取下列哪些值（ ）A ．B ．1-C ．1D【答案】AC【解析】解：曲线x =221x y +=，0x ≥， 画出直线与曲线的图象，如图，直线y x b =+与曲线x =则(1,1]{2}b ∈--12．古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (0k >且1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，()3,0A ，圆C ：()()22220y x r r +=->上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值可以为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】AD【解析】设(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，又点P 是圆C ：()()22220y x r r +=->上有且仅有的一点，所以两圆相切. 圆()2214x y ++=的圆心坐标为（﹣1，0），半径为2，圆C ：()()22220y x r r +=->的圆心坐标为（2，0），半径为r ，两圆的圆心距为3， 当两圆外切时，r +2＝3，得r ＝1， 当两圆内切时，|r ﹣2|＝3，得r ＝5．三、填空题 13．直线2:sin103l x y π-+=的斜率为__．【解析】由直线2:sin103l x y π-+=，得102x y -+=，即220x +=，则该直线的斜率k ==14．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx -2y -5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 【答案】9【解析】联立23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得1x =，2y =．把(1,2)代入250mx y --=可得：450m --=．9m ∴=．15． 若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是________． 【答案】4【解析】因为m 2，n 2是直线4x，3y，10，0上的点(m，n)到原点距离的平方，所以其最小值就是原点到直线4x，3y，10，02=的平方．16．已知直线l ：340x y m ++=，圆C ：22420x y x +-+=，则圆C 的半径r =______；若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______．[]16,4-【解析】圆的标准方程为22(2)2x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为r =若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，过P 作圆的两条切线,PM PN（,M N 为切点），则90MPN ∠≥︒，而当CP l ⊥时，MPN ∠最大，只要此最大角90≥︒即可，此时，圆心C 到直线l 的距离为65m d CP +==．所以625r m d =≥+，解得164m -≤≤．四、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点()1,0A -，()5,4B -，()1,2C ． （1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求AB 边上的高线所在直线的方程．【解析】（1）由题意得：边BC 的中点D 为()3,1-，所以直线AD 的斜率()011134AD k --==---，所以BC 边上的中线AD 所在直线方程 为()1014y x -=-+，即410x y ++=． （2）由题意得：直线AB 的斜率()042153AB k --==---，所以AB 边上的高所在直线方程为()3212y x -=-， 即3210x y -+=．18．已知圆心为C （4，3）的圆经过原点O ． （1）求圆C 的方程；（2）设直线3x ﹣4y +15＝0与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积． 【解析】解：（1）圆C 的半径为5OC ==，从而圆C 的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝25； （2）作CD ⊥AB 于D ，则CD 平分线段AB ，在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得|CD |＝3，所以4AD ==，所以|AB |＝2|AD |＝8， 所以△ABC 的面积1122S AB CD ==．19．已知圆C 与y 轴相切，圆心在射线()300x y x -=≥，且被直线y x =截得的弦长为． （1）求圆C 的方程；（2）若点P 在圆C 上，求点P 到直线34110x y -+=的距离的最小值．【解析】（1）圆心在射线()300x y x -=≥上，则可设圆心为()3,a a ，其中0a ≥，圆C 与y 轴相切，∴圆的半径为3a ，圆的方程为()()22239x a y a a -+-=， 设圆心到直线0x y -=的距离为d ，则d ==，由弦长的几何关系得()2223d a +=，即)()2223a +=，解得1a =，则圆C 的方程为()()22319x y -+-=；（2）圆心到直线34110x y -+=1635=>， 则直线与圆相离，点P 到直线34110x y -+=的距离的最小值为161355-=. 20．已知圆O ：228x y +=，点()012P -,，直线l 过点0P 且倾斜角为α. （1）判断点0P 与圆O 的位置关系，并说明理由；（2）若3π4α=，求直线l 被圆O 所戴得的弦AB 的长. 【解析】（1）点0P 在圆O 内,理由如下： 由已知得圆O 的圆心为()0,0O ，半径r =因为()012P -,，所以0OP ==因为0OP r <，所以点0P 在圆O 内.（2）因为3π4α=，所以直线l 的斜率为1-. 因为直线l 过点()012P -,， 所以直线l 的方程为()21y x -=-+，即10x y +-=，由圆心O 到直线l的距离2d ==，所以AB == 21．圆224x y +=，点P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若点P 的坐标为(6,2)-，求直线PA 、PB 的方程；（2）求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出该定点Q 的坐标．【解析】解：（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为2(6)y k x +=-，即620kx y k ---=．2=，解得34k =-或0k =． ∴所求切线方程分别为2y =-和34100x y +-=；（2）根据题意，点P 为直线40x y +-=上一动点，设(4,)P m m -，PA ，PB 是圆O 的切线，OA PA ∴⊥，OBPB ⊥，AB ∴是圆O 与以PO 为直径的两圆的公共弦，可得以PO 为直径的圆的方程为2222[(2)]()(2)()2222m m m m x y --+-=-+， 即22(4)0x m x y my --+-=，① 又圆O 的方程为：224x y +=，②，①-②，得(4)40m x my -+-=，即()440m y x x -+-=，则该直线必过点()1,1Q ．22．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠.【解析】（1）设(),Q x yy a =+，化简得24x ay =， 所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =，它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线. （2）不妨设()2,04t A t t a ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 因为24x y a=，所以2x y a '=， 从而直线PA 的斜率为2402t a t a t a+=-，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.设直线m 的方程为y kx a =-，代入24x ay =并整理， 得22440x akx a -+=.所以()221610a k ∆=->，解得1k <-或1k >. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x ak +=，2124x x a =.()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x -+---+=+= ()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x -+-+==- 224204a ak k a ⋅=-=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠，此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞.。
培优专题18 直线与圆的位置关系的判断与证明-原卷版
培优专题18 直线与圆的位置关系的判断与证明【方法讲解】 由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系： （1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 直线与圆的位置关系的数量特征 1、迁移：点与圆的位置关系 （1）点P 在⊙O 内 d<r ； （2）点P 在⊙O 上 d=r ； （3）点P 在⊙O 外 d>r ． 2、归纳概括： 如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么 (1)直线l 和⊙O 相交d<r ； (2)直线l 和⊙O 相切d=r ； (3)直线l 和⊙O 相离 d>r ．【巩固训练】1．（2022·全国·九年级专题练习）在Rt ABC V 中，90,30C B Ð=°Ð=°，O 是AB 上的一点，OA m =，⊙O 的半径为r ，当r 与m 满足怎样的关系时，（1）AC 与⊙O 相交？（2）AC 与⊙O 相切？（3）AC 与⊙O 相离？2．（2022·全国·九年级课时练习）在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4BC =，3AC =，（1）斜边AB 上的高为________；（2）以点C 为圆心，r 为半径作⊙C①若直线AB 与⊙C 没有公共点，直接写出r 的取值范围；②若边AB 与⊙C 有两个公共点，直接写出r 的取值范围；③若边AB 与⊙C 只有一个公共点，直接写出r 的取值范围．3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，C 是⊙O 外一点．若//AD OC ，直线BC 与⊙O 相交，判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，O e 的半径为1，则直线2y x =-与O e 的位置关系怎样？5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，30AOB °Ð=，点M 在OB 上，且5cm OM =，以M 为圆心，r 为半径作圆．（1）讨论射线OA 与M e 公共点个数，并写出r 对应的取值范围；（2）若C 是OA 上一点，OC =，当5cm r >时，求线段OC 与M e 的公共点个数．6．（2021·江苏宿迁·九年级期中）在平面直角坐标系中，已知点A （0，4），B （4，4），C （6，2）(1)请确定经过点A ，B ，C 的圆弧所在圆的圆心M 的位置，并写出点M 的坐标；(2)若一个点D （7，0），试判断直线CD 与圆M 的位置关系，并说明理由．7．（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，O e 的半径是1，B 是O e 上一动点，将点()2,0A 绕着点B 逆时针旋转90°得到点C ．(1)当点B 运动到x 轴的负半轴上时，则直线AC 与O e 的位置关系是______．(2)当直线AB 与O e 相切时①求AB 的长；②求点C 的坐标．8．（2022·广东广州·九年级期末）在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的⊙O 半径为3．(1)试判断点A （3，3）与⊙O 的位置关系，并加以说明．(2)若直线y ＝x +b 与⊙O 相交，求b 的取值范围．(3)若直线y ＝x +3与⊙O 相交于点A ，B ．点P 是x 轴正半轴上的一个动点，以A ，B ，P 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点P 的坐标．9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）试判断直线BC与OD的位置关系，并说明理由.（2）若BD＝BF＝3，求⊙O的半径.10．（2019·江苏南通·九年级期中）如图，∠MAN＝30°，点O为边AN上一点，以O为圆心，4为半径作⊙O交AN于D、E两点．⑴当⊙O与AM相切时，求AD的长；⑵如果AD＝2，那么AM与⊙O又会有怎样的位置关系？并说明理由．。
高中数学-直线、圆与方程压轴题(培优、提高)汇编
高二数学 第3讲 直线与圆综合1.已知圆C ：x 2+y 2+2x -3=0．（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，求证：2111x x 为定值；（3）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大．2.已知点G （5，4），圆C 1：（x -1）2+（x -4）2=25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E 、F 两点，线段EF 的中点为C ．（1）求点C 的轨迹C 2的方程；（2）若过点A （1，0）的直线l 1与C 2相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ；又l 1与l 2：x +2y +2=0的交点为N ，求证|AM|•|AN|为定值．3.已知点C （1，0），点A ，B 是⊙O ：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足0=⋅BC AC ，设M 为弦AB 的中点．求点M 的轨迹T 的方程；4.已知平面直角坐标系上一动点(,)P x y 到点(2,0)A -的距离是点P 到点(1,0)B 的距离的2倍。
（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点(2,1)对称，点(3,0)C ，求22||||QA QC +的最大值和最小值；（3）过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于,E F 两点，点(2,0)M ，则是否存在直线l ，使EFM S △取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由。
5.已知圆22:4O x y +=和点(1,)M a ．（1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求正数a 的值，并求出切线方程；（2）若a =M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直．①求四边形ABCD 面积的最大值；②求||||AC BD +的最大值．6.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2+y 2-6x +5=0相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L ：y =k （x -4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．7.已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（I）求圆A的方程；2时，求直线l的方程；（Ⅱ）当MN＝19（Ⅲ）BPBQ 是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．8.已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．9.平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6.（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．10.已知圆M：x2+（y-4）2=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．11.已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．。
2020新高考文科数学二轮培优直线与圆考点考向考题点拨(92张)
核心知识回顾
热点考向探究
真题VS押题
配套作业
2．已知直线 l 的倾斜角为34π，直线 l1 经过点 A(3，2)，B(a，－1)，且 l1
与 l 垂直，直线 l2：2x＋by＋1＝0 与直线 l1 平行，则 a＋b 等于( )
A．－4
B．－2
C．0
D．2
答案 B
热点考向探究
真题VS押题
配套作业
1．(2019·湘赣十四校高三联考)若 cosθ＝45，sinθ＝－35，则角 θ 的终边所 在的直线方程为( )
A．3x－4y＝0 B．4x＋3y＝0 C．3x＋4y＝0 D．4x－3y＝0
答案 C
核心知识回顾
热点考向探究
真题VS押题
配套作业
解析 因为 cosθ＝45，sinθ＝－35，所以 tanθ＝csoinsθθ＝－34，因此角 θ 的终
配套作业
解析 因为 l1 与 l2 关于 l 对称，所以 l1 上任一点关于 l 的对称点都在 l2 上，故 l 与 l1 的交点(1,0)在 l2 上．又易知(0，－2)为 l1 上一点，设它关于 l 的
对称点为(x，y)，则xy＋ ＋2x 02－ ×y1－＝2 2－－11，＝0，
(2)点到直线的距离：点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝
□02 |Ax0＋By0＋C|
A2＋B2 .
(3)两平行线的距离：若直线 l1，l2 的方程分别为 l1：Ax＋By＋C1＝0，
□03 |C2－C1|
l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则两平行线的距离 d＝
A2＋B2 .
解得xy＝ ＝－ －11， ， 即(1,0)，(－1，
2022年高考数学总复习考点培优——直线与圆、圆与圆的位置关系
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【教材回扣】1．直线与圆的位置关系设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：相离相切相交Δ______0Δ______0Δ______0若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r＞0)上，则以P为切点的切线方程为F7______________.3．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：相离外切相交内切内含____________________________________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．() 2．若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．()3．若两圆相切，则有且只有一条公切线．()4．从两圆的方程中消掉二次项后得到二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()题组二教材改编1．直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长为()A.102B.10C.265D.22652．已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切，则圆C的方程为() A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝5C．x2＋y2＝7 D．x2＋y2＝493．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．题组三易错自纠1．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是()A．[－2，2] B．[－22，22]C．[－2－1，2－1] D．[－22－1,22－1]2．(多选题)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．0＜m＜1 B．－1＜m＜0C．m＜1 D．－3＜m＜13．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________．题型一直线与圆的位置关系的判断[例1](1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)[听课记录]类题通法判断直线与圆的位置关系的一般方法1．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．2．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系.巩固训练1：(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为________．题型二圆的切线与弦长问题高频考点角度|圆的切线问题[例2](1)[2020·浙江卷](一题两空)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________，b＝________.(2)从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________．[听课记录]类题通法1.求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法(1)几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程．(2)当斜率存在时，设为k，则切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．[提醒]当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况.巩固训练2：(1)(多选题)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线的方程为()A．x＝－2 B．x＝2C．4x－3y＋4＝0 D．4x＋3y－4＝0(2)直线l是圆x2＋y2＝4在(－1，3)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于________．角度|圆的弦长问题[例3](1)(多选题)[2021·山东德州模拟]直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为()A．6 B．8C．12 D．16(2)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5 2 B．102C．15 2 D．202(3)[2020·天津卷]已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则r的值为________．[听课记录]类题通法有关弦长问题的2种求法1．几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝(l2)2＋d2.2．代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·(y1＋y2)2－4y1y2.巩固训练3：(1)[2020·全国卷Ⅰ]已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4(2)(多选题)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为()A．4x－3y＋9＝0 B．x＝0C．3x＋4y－12＝0 D．3x＋4y＋12＝0(3)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.题型三圆与圆的位置关系[例4]已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．[听课记录]类题通法(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．(3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长l2，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.巩固训练4：(1)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，圆C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，则圆C1和圆C2的位置关系为()A．相切B．内含C．外离D．相交(2)[2021·山东潍坊模拟]已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋3)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围是________．(3)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a＝________.[预测1] 核心素养——直观现象 过点P(x 0，y 0)作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1的切线，切点分别为A ，B.若|PA|＝|PB|，则x 20＋y 20的最小值为( )A .52B .54C .54 D ．5 [预测2] 新题型——多选题已知圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )A ．圆M 的圆心在定直线x －y －2＝0上B ．圆M 的面积的最大值为50πC ．圆M 的半径的最小值为1D ．满足条件的所有圆M 的半径之积为10第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课前基础巩固[教材回扣]＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜x 0x ＋y 0y ＝r 2 d ＞R ＋r d ＝R ＋r R －r ＜d ＜R ＋r d ＝R －r 0≤d ＜R －r [题组练透] 题组一1．× 2.√ 3.× 4.× 题组二1．解析：由已知可知圆C 的圆心为(1,2)，半径为5，圆心到直线的距离为d ＝|3×1－2－6|32＋12＝102.∴|AB |＝2r 2－d 2＝252－⎝⎛⎭⎫1022＝10. 故选B. 答案：B2．解析：由题意知：圆心到直线4x ＋3y －35＝0的距离d 等于半径r .即d ＝3542＋32＝7＝r ，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝49. 故选D.答案：D3．解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0， 得x －y ＋2＝0.已知圆x 2＋y 2－4＝0的圆心(0,0)，半径r 为2，且圆心(0,0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝22＝2， 则公共弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：22 题组三1．解析：已知圆的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝2. 则圆心到直线l 的距离为d ＝|2－1＋m |2≤r ＝2. 解得－22－1≤m ≤22－1. 故选D. 答案：D2．解析：已知圆的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝2， 则圆心到直线的距离d ＝|1＋m |2＜2，解得－3＜m ＜1，则－3＜m ＜1的一个充分不必要条件是0＜m ＜1或－1＜m ＜0. 故选AB. 答案：AB3．解析：由题意知P 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k ，所以切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，所以|k ×0－0＋1－3k |k 2＋1＝3，解得k ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －15＝0.综上，切线方程为x ＝3或4x ＋3y －15＝0.答案：x ＝3或4x ＋3y －15＝0课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y 得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0. 因为Δ＝16m 2＋20＞0， 所以直线l 与圆相交．法二 (几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1＜1＜5，故直线l 与圆相交．法三 易得直线l 过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜ 5.∴点(1,1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交．(2)计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.故选A.答案：(1)A (2)A巩固训练1 解析：(1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1.所以直线与圆相交．故选B.(2)∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆， ∴8－4b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)， ∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部， ∴6＋b ＜0，解得b ＜－6，∴b 的取值范围是(－∞，－6)． 答案：(1)B (2)(－∞，－6) 题型二例2 解析：(1)解法一 因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以|b |1＋k 2＝|4k ＋b |1＋k 2＝1，得k ＝33，b ＝－233. 解法二 因为直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以直线y ＝kx ＋b 必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2k ＋b ＝0.设直线y ＝kx ＋b 的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k ＞0，所以θ＝π6，所以k ＝tan π6＝33，b ＝－2k ＝－233. (2)如图：圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0的标准方程为：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1.圆心C (－2，－2)，半径r ＝1.∴圆心到直线l ：x ＋y －1＝0的距离|CP |＝|－2－2－1|2＝522，则切线长的最小值为：|CP |2－|CQ |2＝252－1＝462.答案：(1)33 －233 (2)462巩固训练2 解析：(1)根据题意，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径r ＝1.过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x ＝2，符合题意；若切线的斜率存在，设此时切线的斜率为k ，则其方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，则有|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线的方程为4x －3y ＋4＝0.综上可得，切线的方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.故选BC.(2)圆x 2＋y 2＝4在点(－1，3)处的切线为l ：－x ＋3y ＝4，即l ：x －3y ＋4＝0，点P 是圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，圆心(2,0)到直线l ：x －3y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|1＋3＝3，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于d －1＝3－1＝2.答案：(1)BC (2)2例3 解析：(1)圆C 的圆心坐标为(－3,3)，半径为6，所以弦长AB 的最大值为圆C 的直径12.又直线y ＝kx －1过点P (0，－1)，当直线CP 与直线y ＝kx －1垂直时，弦长AB 最短，此时|AB |＝262－|CP |2＝262－52＝211，所以211≤|AB |≤12，故选BC.(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.故选B.(3)由题意得，圆心(0,0)到直线x －3y ＋8＝0的距离d ＝82＝4，因此r 2＝d 2＋|AB |22＝25，又r ＞0，∴r ＝5.答案：(1)BC (2)B (3)5巩固训练3 解析：(1)将圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0化为标准方程(x －3)2＋y 2＝9，设圆心为C ，则C (3,0)，半径r ＝3.设点(1,2)为点A ，过点A (1,2)的直线为l ，因为(1－3)2＋22＜9，所以点A (1,2)在圆C 的内部，则直线l 与圆C 必相交，设交点分别为B ，D .易知当直线l ⊥AC 时，直线l 被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝|AC |＝(3－1)2＋(0－2)2＝22，所以|BD |min ＝2r 2－d 2＝232－(22)2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.(2)将圆的方程化为标准形式为：(x －1)2＋(y －1)2＝4，所以圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，圆心到直线l 的距离为d ＝1，所以|AB |＝24－1＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，易知圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，因为d 2＋|AB |22＝r 2，所以(k ＋2)2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3.即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0，故选BC.(3)记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.答案：(1)B (2)BC (3)±5 题型三例4 解析：两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时， (5－1)2＋(6－3)2 ＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m －11＝5.解得m ＝25－1011.因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有43×1＋3－b 432＋1＝11.解得b ＝133±5113.容易验证，当b ＝133＋5113，直线与后一圆相交，舍去．故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，得公共弦的长为 2×(11)2－|4＋3×3－23|42＋322＝27.巩固训练4 解析：(1)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋1＝0，即(x ＋1)2＋y ＋322＝94，∴C 1－1，－32，圆C 1的半径r 1＝32.圆C 2：x 2＋y 2＋4x －3y －36＝0，即(x ＋2)2＋y －322＝1694， ∴C 2－2，32，圆C 2的半径r 2＝132.∴两圆的圆心距|C 1C 2|＝(－2＋1)2＋32＋322＝10.又∵r 1＋r 2＝32＋132＝8，r 2－r 1＝132－32＝5，∴|C 1C 2|＝10＜r 2－r 1＝5，故两圆内含．故选B.(2)由题意易得∠APO ＝12∠APB ＝30°，|OP |＝|OA |sin ∠APO ＝1sin 30°＝2，∴点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，∴2－1≤|OM |≤2＋1，即1≤|OM |2≤9.∵|OM |2＝a 2＋(a －3)2＝2a 2－6a ＋9，∴1≤2a 2－6a ＋9≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－6a ＋8≥0，2a 2－6a ≤0，解得0≤a ≤3，∴a 的取值范围是[0,3]． (3)两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝6a－a .∵公共弦长为2 3.∴a 2＝(3)2＋6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.答案：(1)B (2)[0,3] (3)±2高考命题预测预测1 解析：如图所示，由圆的切线的性质，得|P A |2＝|PC 1|2－1，|PB |2＝|PC 2|2－1.又|P A |＝|PB |，所以|PC 1|＝|PC 2|，所以点P 在线段C 1C 2的垂直平分线上．因为C 1C 2的垂直平分线为y ＝－21(x －1)＋12，即y ＝－2x ＋52，点P (x 0，y 0)在y ＝－2x ＋52上，所以点P 的坐标满足y 0＝－2x 0＋52，所以x 20＋y 20＝x 20＋－2x 0＋522＝5(x 0－1)2＋54≥54，所以x 20＋y 20的最小值为54.故选B. 答案：B预测2 解析：∵圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，∴直线AM 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，∴直线AM 的斜率为1，则点M 在直线y ＝x －2，即x －y －2＝0上，A 正确；设M (a ，a －2)，∴圆M 的半径r ＝|AM |＝a 2＋(a －2＋2)2＝2|a |，∴圆M 被x 轴截得的弦长为2r 2－(a －2)2＝2a 2＋4a －4＝2，解得a ＝－5或a ＝1，当a ＝－5时，圆M 的面积最大，为πr 2＝50π，B 正确；当a ＝1时，圆M 的半径最小，为2，C 错误；满足条件的所有圆M 的半径之积为52×2＝10，D 正确．故选ABD.答案：ABD。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线与圆高考题精选培优Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】01（10安徽文）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是A（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=002(10广东文）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是DA.22(5x y -+=B.22(5x y ++=C.22(5)5x y -+=D.22(5)5x y ++=03（10广东理）已知圆心在x 的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是04（10天津文）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。
则圆C 的方程为05（10上海文）圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d06（10四川理）直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB∣07（09辽宁文）已知圆C 与直线x-y ＝0 及x-y-4＝0都相切，圆心在直线x+y ＝0上，则圆C 方程BA ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=08（09宁夏海南文）圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为BA.2(2)x ++2(2)y -=1B.2(2)x -+2(2)y +=1C.2(2)x ++2(2)y +=1D.2(2)x -+2(2)y -=109（10江苏通州高三检测）已知两圆(x-1)2+(y-1)2＝r 2和(x+2)2+(y+2)2＝R 2相交于P,Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为 ．（2,1）10（10安徽理）动点(),A x y 在圆221x y +=上绕原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒转一周。
已知时间0t =时，点A 的坐标是1(,22，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （秒）的函数的单调递增区间是DA 、[]0,1B 、[]1,7C 、[]7,12D 、[]0,1和[]7,1211（10山东文）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 . 22(3)4x y -+=12（10山东理）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C 所截得的弦长为l 13（10江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是14（09上海）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 的值是C或3 或5 或5 或215. Rt△ABC 的斜边为AB ，点A(-2，0),B(4，0)，则△ABC 的重心G 的轨迹方程是CA.(x-1)2+y 2=1(x≠0)B.(x-1)2+y 2=4(y≠0)C.(x-1)2+y 2=1(y≠0)D.(x+1)2+y 2=1(y≠0)16．直线过点(-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线方程为_________2x －3y ＝0或x ＋y ＋5＝017．过点Ｍ(２,１)的直线l 与x 轴，y 轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且MQ MP =,则l 的方程是__x+2y-4=018．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数19（10湖南文）若不同两点P,Q 的坐标分别为（a,b ），（3-b,3-a ），则线段PQ 的垂直平分线l的斜率为 ，圆(x-2)2+(y-3)2＝1关于直线l 1)1(22=-+y x20（10宁夏理）过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)．则圆C 的方程为22(3)2x y -+=21（09四川）若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB22. ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大;③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示;④过点(1,1),且斜率为1的直线的方程为111y x -=-; ⑤直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等; ⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1. 23．ABC ∆中，点A (),1,4-AB 的中点为M (),2,3重心为P (),2,4求边BC 的长。
524．不同的三条直线mx+y+3=0，xy2=0，2x-y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，则m= 2143---、、 25．点)1,2(P 到直线)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈=--+--的最远距离为B26．圆心为C 的圆经过)1,1(A ，)2,2(-B ，且圆心C 在直线01=+-y x l ：上，求圆心为C 的圆的标准方程。
25)2()3(22=+++y x27（10江西理）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=交M,N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是A A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B. []304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，， C. 3333⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 28. 求函数545222+--+-=x x x x y 的最大值，并求出最大值时x 的值。
2，3 29．如图，在∆ABC 中，∠C=900，P 为三角形内的一点，且PCA PBC PAB S S S ∆∆∆==，求证：2225PC PB PA =+30．当曲线y=1+24x -与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是CA.（0，125）B.（43,31］C.（43,125］D.（125，+∞） 31．已知圆C ：22262(1)102240x y mx m y m m +---+--=，求证：（1）求圆心所在的直线l 的方程；x-3y-3=0（2）若直线l ：x-3y+7=0与圆相交于A ，B ，求弦AB 长。
15232．已知圆C ：x 2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0（1）求证：对m∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点。
（2）设l 与圆C 交于A 、B 两点，若|AB|=17，求直线l 的倾斜角。
3π或32π（3）求弦AB 的中点M 的轨迹方程。
21)21()21(22=-+-y x 33．设圆221x y +=的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值为 234．已知点)1,3(A ，点M 在直线0=-y x 上，点N 在x 轴上，则AMN ∆周长的最小值是________5235．点P （x,y ）满足(x-2)2+y 2=1求：（1）xy 的最大值33（2）求22x y +的范围]9,1[（3）y-x 的最小值22--36．如直线01=+-y ax ，当]3,2[-∈x 时，]5,3[-∈y ，则a 的取值范围是DA.]2,2[-B.]2,34[-C.]34,2[-D.]34,34[- 37．如图，已知△ABC 的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，求顶点C 的坐标．（6，-6）38（全国1理）圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PB PA ⋅ 的最小值为D(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+39（09全国Ⅰ）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则 m 的倾斜角可以是 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）①或⑤40．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
41. 已知三点A(0,a ）,B(b,0)，C(c,0），b+c ≠0，a ≠0，矩形EFGH 的顶点E 、H 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，F 、G 都在边BC EG 、HF 的交点P 恒在一条定直线l 上，那么直线l 的方程是 2a a y x b c =-+42（09上海）过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足III II I S S S S +=+Ⅳ则直线AB 有BA. 0条B. 1条C. 2条D. 3条43（09天津）若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长为23，则a =_____ 144（09全国2）已知AC 、BD 为圆O ：422=+y x 的两条相互垂直的弦，垂足为(1,2)M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 .545（09江西）设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．B ,C 46（09江苏）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。
(1) 0y =或724280x y +-= (2) 点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-。