信号处理 习题与解答

分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最
高角频率Ωh 的 2 倍，即满足Ωs≥2Ωh。
解：已知采样角频率Ωs=6π，则由香农采样定理，可得
因为 x1(t)=cos2πt，而频谱中最高角频率 h1
2
6 2
3 ，所以 y1(t)无失真；
因为 x2(t)=cos5πt，而频谱中最高角频率 h2
相频响应 () m
H(ejω)
φ(ω)
1
ω
ω
由图可见，该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。 3.2 设 x(n)的傅里叶变换为 X(ejω)，试利用 X(ejω)表示下列序列的傅里叶变换：
（1） x1(n) x(1 n) x(1 n)
（2）
x2 (n)
1 [x(n) 2
x (n)]
（1） x(n) a n RN (n) （2） x(n) (n n0 )， 0 n0 N （3） x(n) nRN (n) （4） x(n) n2 RN (n)
分析：利用有限长序列的 DFT 的定义，即
第 6 页 共 24 页
N 1
X (k)
x(n)W
k N
n，
0 k N 1
14 12e 6 10e 6 8e 6 6e 6 10e 6
对上式依次取 k = 0 ~ 5，计算求得
X~(0) 60， X~(1) 9 j3 3， X~(2) 3 j 3
X~(3) 0， X~(4) 3 j 3， X~(5) 9 j3 3
3.5
设
x(n)
n 1， 0，
N (N 2) 2N
1
W
k N
所以
X (k) N(N 2)WNk N 2 ， 0 k N 1 (1 WNk )2
3.8 试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。
分析：本题可以直接利用循环卷积的公式求解，也可以利用循环移位的概念来求解，即： 有限长序列 x(n)左移 m（m 为正整数）位的循环移位定义为
分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即
x(n) X (e j ) ， x(n) X (e j )
x(m n) e jm X (e j )
解：（1）由于 DTFT [x(n)] X (e j ) ， DTFT [x(n)] X (e j ) ，则
DTFT [x(1 n)] e j X (e j )
0n 其他n
4
，
h(n)
R4
(n
2)
令
~x (n)
x((n)) 6
，
~ h (n)
h((n))6
，试求
~x (n)
与
h~(n)
的周期卷积。
分析：可以利用列表法求解，直观方便。由于
~y(n) ~x (n) ○* h~(n) N1 ~x (m)h~(n m) m0
只要将列表中对应于某个 n 的一行中的 h~(n m) 值和第一行中与之对应的 ~x (m) 值相乘，然
5
6 2
3
，所以 y2(t)失真。
2.2 设模拟信号 x(t)=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt，求：
（1） 该信号的最小采样频率； （2） 若采样频率 fs=5000Hz，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。
○1 采样定理
采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率 fs 不小于其最高频率 fm 的两倍，即 fs≥2fm
第 2 页 共 24 页
则 X (e j ) X (z) ze j e jm
若系统的单位采样响应 h(n)=x(n)，则系统的频率响应
H (e j ) X (e j ) e jm 1• e jm H (e j ) exp{ j()}
故其幅频和相频响应（如图）分别为
幅频响应 H (e j ) 1
则根据循环移位的概念，将序列 x1(n)循环右移 3 个单位后乘以 3 并取其主值序列（n=0~5） 即可，其结果如图所示。
3.9 如图所示的 5 点序列 x(n)，试画出： （1） x(n)*x(n) （2） x(n)○5 x(n) （3） x(n)○10 x(n)
分析：本题可由图解法来计算循环卷积，并利用循环卷积来求解线性卷积。同时应注意循环 卷积代替线性卷积的条件：
第 1 页 共 24 页
x(n)
x(t) t nTs
x(nTs )
x
n fs
3
c os
2
1 5
n
5
sin
2
3 5
n
10
c os
2
6 5
n
3
c os
2
1 5
n
5
sin
2
1
2 5
n
10
c
os
2
1
1 5
n
3
c os
2
1 5
n
5
sin
2
2 5
n
10
c
os
2
1 5
n
后再将所有乘积结果相加，就得到此 n 的 ~y(n) 值
解： 注意：本．题．需．要．利．用．下．一．节．中．有．限．序．列．与．周．期．序．列．的．关．系．以．及．序．列．循．环．移．位．的．概．念．。．
在一个周期（N=6）内的计算卷积值
~y(n) ~x (n) ○* h~(n) N1 ~x (m)h~(n m) m0
e
j
2 N
n0k
（3）由 x(n) nRN (n) ，得
N 1
X (k) nWNkn n0
注意：为．了．便．于．求．解．，．必．须．利．用．代．数．简．化．法．消．除．掉．上．式．中．的．变．量．n．。．
N 1
WNk X (k ) nWNk (n1) n0
N 1
N 1
则 X (k)(1 WNk ) nWNkn nWNk(n1)
xm (n) x((n m)) N RN (n)
且移位时，在主值区间（n=0~N-1）内，当某序列值从区间的一端移出时，与它同值的序列 值又从区间的另一端移入。 解：由循环卷积的定义，可知
第 8 页 共 24 页
y(n) x1 (n) ○6 x2 (n) [x1 ((n)) 6 ○* x2 ((n)) 6 ]R6 (n) [x1 ((n)) 6 ○* 3 ((n 3)) 6 ]R6 (n) 3x1 ((n 3)) 6 R6 (n)
则 ~x (n) 与 h~(n) 的周期卷积 ~y(n) 值（n=0~5）如下表所示：
III. 离散傅里叶变换（DFT）
第 5 页 共 24 页
3.6 已知 x(n)如图所示，为{1，1，3，2}，试画出序列 x((-n))5，x((-n))6 R6(n)，x((n))3 R3(n)， x((n))6， x((n-3))5R5(n) 和 x((n))7 R7(n)的略图。
X (e j ) x(n)e jn n
反变换 （2） 帕塞瓦定理
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
x(n) 2 1 X (e j ) 2 d
n
2
解：（1）由傅里叶正变换公式可知ω=0，则
X (e j0 ) x(n)e j0n x(n) 6
n
n
（2）由于 ej0=1，则由傅里叶反变换公式可知 n=0，故
n0
n0
[WNk 4WN2k 9WN3k (N 1)2WNk(N 1) ]
[WN2k 4WN3k (N 2)2WNk(N 1) (N 1)2WNkN ]
N 1
(N 1)2
(2n
1)W
kn N
n1
N 1
N (N 2) 2 nWNkn n1
N (N 2) 2X1(k)
DTFT [x(1 n)] e j X (e j )
故 DTFT [x1 (n)] X (e j )[e j e j ] 2 X (e j ) cos （2）由于 DTFT [x (n)] X (e j )
故 DTFT [x2 (n)]
X (e j ) X (e j ) 2
Re[ X (e j )]
由 x(n) n2 RN (n) ，则
第 7 页 共 24 页
N 1
X (k)
n
2W
k N
n
n0
根据第（3）小题的结论：若 x1 (n) nRN (n)
则
X 1 (k )
N 1
nWNkn
n0
N 1 WNk
与上题同理，得
N 1N 1ຫໍສະໝຸດ X (k)(1 WNk )
n
W 2 kn N
n W 2 k (n1) N
○2 采样公式
x(n) x(t) t nTs
x(nTs )
解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是 f1=1000Hz，f2=3000Hz，f3=6000Hz
∴信号的最高频率 fm=6000Hz 由采样定理 fs≥2fm，得信号的最小采样频率 fs=2fm =12kHz
（2）由于采样频率 fs=5kHz，则采样后的输出信号
y(t) 13 cos2f1t 5sin2f2t 13 cos 2000 t 5sin 4000 t
可见，恢复后的模拟信号 y(t) 不同于原模拟信号 x(t)，存在失真，这是由于采样频率不满足
采样定理的要求，而产生混叠的结果。
第三章 傅里叶分析
I. 傅里叶变换概述 3.1 [习题 3.2]设序列 x(n)=δ(n-m)，求其频谱 X(ejω)，并讨论其幅频和相频响应 分析：求解序列的频谱有两种方法：
13c