具有最低收益保障的养老保险精算模型

并且一些国家的保险公司须按照合约规定明确告 知投保人这项市场价值，因此对具有收益保障的商 业养老保险的精算现值模型研究至关重要，已成为 当前保险领域研究的重要课题之一。 国外学者首先对合约到期时给付被保人最低 收益保障的养老保险精算现值模型进行了研究， Brennan Schwarz（1976）首次利用 Black—Scholes 公式获得趸缴保费的显式表达，利用有限差分方程 获得期缴保费的数值解，此后 Delbaen（1990）利 用等价鞅测度获得具有收益保障的养老保险合约 期缴保费，Bacinello ，Oru（1993）分析了依赖于 缴费的具有收益保障的养老保险合约，然后许多学 者进一步研究了多阶段均具有收益保障的养老保 险定价模型，Hipp（1996）利用 Black—Scholes 公 式研究了固定利率情况下多阶段具有收益保障的 养老保险精算现值模型， Persson Aase (1997) 、 Miltersen&Persson (1999) 、 Micocci el (2002) 、 Lindset（2003）研究了基于随机利率的多阶段具有 收益保障的寿险合约定价， Henrik Bakken el （2006） 通过降低变量的维数用 MC 方法估计了多阶段具有 收益保障的寿险合约中收益保障值的价值。国内学 者关于具有收益保障的养老保险研究较少，楚军红 （1997） ，崔惠贤（1999）结合国外情况从理论上 探讨了在中国国情下变额寿险的开发与使用；何文 炯（2001）、王传玉（2005）魏静、王永茂（2006） 分别定量研究了随机利率下即时给付的增额寿险 现值问题。 在上述文献研究的养老保险精算现值模型中， 被保人获得的收益保障值依赖于预定利率，不能有 效规避通货膨胀风险。本文在已有的研究模型基础 上，建立具有最低收益保障的商业养老保险精算现
t 0
,βp
p (t ) p (0)
, t ,1 ，则上式变为：
)
s (t ) 遵循几何布朗运动： ds (t ) = µ1 dt + σ 1 dw1 (t ) . s (t )
如同 s (t ) ， 居民消费价格指数 p (t ) 同样遵循几何布 朗运动：
− V0 (b(t )) = D ⋅ e ∫
1 引言
具有收益保障的商业养老保险是为了防止通 货膨胀造成的固定保额购买力下降，实际保障程度 的减弱而设计的一种给付额随经济发展状况变动 的养老保险，在国内外已成为保险界研讨热点并相 继实施的一种现代寿险险种。保险合约中的被保人 能够获得最低的收益保障值，对采取这项政策的保 险公司来说，如果不能正确估计具有最低收益保障 的养老保险的市场价值，公司就要承担经营风险，
定理， Sklar 指出通过研究随机变量的联合分布和边 缘分布，构造一个 Copula 函数，描述变量间的相 关性，但当时条件限制了它的发展和应用，Copula 理论在 90 年代后期才得以发展。自从 Embrechts 等把 Copula 引入到金融上以来， 许多学者已经取得 了较好的成果，De Matteis 对前人的工作做了一个 很好的综述和拓展。 我国对 Copula 的研究刚刚开展 起来， 如张尧庭从理论上探讨了 Copula 在金融上应 用的可行性，张明恒研究了多资产 VaR 的 Copula 计算方法， 吴振翔等探讨了 Copula 相依结构下静态 和动态两种情况下资产的组合投资问题。 由于本文是利用 Copula 表示 s ( t ) , p ( t ) 之间 的相关结构以得到式（4）的数值解，所以在这里 我们简单介绍 Copula 的一些概念和基本性质， 要想 详细了解 Copula 的数学性质以及它本身在数学理 论上尚未解决的问题，可以参考 Nelsen（1998） 。 3.1 Copula简介 定义： (Nelsen，1998) N 元 Copula 函数是指 具有以下性质的函数 C： （1） C = I N = [ 0,1] ；
r ( s )ds
+ D ⋅ M βs
(
s (t ) s (0)
,βp
p (t ) p (0)
, t ,1 (3)
)
Y ( t ) 可看作一项协议价格随着时刻 t 变化， 而执行
价格为 1 单位的看涨期权， M
(β
s (t ) s s (0)
,βp
p (t ) p (0)
, t ,1
)
则是看涨期权 Y (t ) 在 t = 0 时刻的市场价值。
将 max max βs 入式（1）得到
{
,1
p (t ) p (0)
}
,βp
, − 1, 0
}
{
s (t ) s (0)
,βp
代 − 1, 0 记作 Y (t ) ，
}
b(t ) = D + D ⋅ Y ( t )
额外保额 D ⋅ Y ( t ) 构成。
（2）
由式 （2） 可看出被保人获得的收益由最低保额 D 和 给付额的精算现值是计算纯保费和进行风险 管理的重要依据，根据精算理论， b(t ) 在 t = 0 时 刻的现值为：
102206)
empirical analysis and a sensitivity analysis with historical data.
KEY WORDS: a minimum guarantee， actuarial present value， Copula 摘要： 为了能更有效的规避通货膨胀带来的风险， 首先运用 精算学的知识， 构建了一种具有最低收益保障的商业养老保 险精算现值模型， 其中收益保障值依赖于股票价格指数和居 民消费价格指数的增长情况以及二者的参考比例。在采用 MC 方法求解该模型时，利用 Copula 函数充分度量了两个 指数间的相关结构， 并给出了求解模型的详细步骤， 从而改 进了传统的 MC 模拟方法，最后根据历史数据，进行了实 证研究及敏感性分析。 关键词： 最低收益保障 精算现值 Copula
∑ max {max β
k =1
U = ∑ t pxV0 (b(t ))
t =1 T − = ∑ t px ⋅ D ⋅ e ∫ t =1
t 0
r ( s )ds
+ D⋅M
（4）
2.2 模型的估值 养老保险精算现值模型的求解目的就在于动 态跟踪该养老金的负债值 U ，由式（4）可看出其 求解时主要面临 M 值如何计算的问题，本文采用 Harrison&Kreps (1979) 、Harrison&Pliska（1981， 1983） 、 Rapuch&Roncalli (2001) 在二维中性分布下 关于期权定价的研究思想，在风险中性的假设下， 养老保险精算现值模型中的隐含期权 Y (t ) 在 t = 0 时刻的价值计算为：
{
s (t ) s (0)
,βp
p (t ) p (0)
,1
}
（1）
max β s
{
s (t ) s (0)
,βp
p (t ) p (0) s (t ) s (0)
,1
= max max βs
{
}
p (t ) p (0)
,βp
s (t ) s (0) p (t ) p (0)
= 1 + max max βs
ABSTRACT: In order to Evade the inflation risk，First, based on the actuarial theory ,we present an Actuarial model of Pension System with a minimum guarantee, which are dependent on stock index and consumer price index with referenced proportion. when we solve this model with a simulation based on the MC method , The dependence structure between the stock index and the consumer price index was analyzed based on Copula functions and we give the particular calculation steps for solving the model. This paper improves the traditional MC method, Finally, we get an
具有最低收益保障的养老保险精算模型
刘灵会
（华北电力大学工商管理学院，北京 102206）
Actuarial Models of Pension System With a Minimum Guarantee
LIU Ling Hui (Department of Business Administration, North China Electric Power University , Beijing
N
M βs
(
s (t ) s (0)
,βp
p (t ) p (0)
, t ,1 = E0M ( v(t )Y (t ) )
)
（5）
首先采用 MC 方法求解式（５）的数值解，设 定利用 MC 方法进行仿真模拟 N 次， 利用 MC 方法 进行模拟的公式（Marco Micocci，2004） ：
s ( t ) = s (t − ∆t ) ⋅ e
如 Black&Scholes 模型，本文假设股票价格指数
V0 (b(t )) = v(t )b(t ) = v(t )( D + D ⋅ Y (t ))
∫ r ( s )ds ，将 Y t 在 t = 0 时刻的精算 其中 v (t ) = e 0 ()
−
t
现值记作 M
(βБайду номын сангаас
s (t ) s s (0)
值模型，其中收益保障值的增长率依赖于股票价格 指数和居民消费价格指数的增长情况以及二者的 参考比例。
s (t ) 、居民消费价格指数 p(t ) 及二者的参考比例 β s , β p ，因此我们建立模型：
b(t ) = D ⋅ max β s
由于
2 模型
2.1 建立模型 在已有的商业保险中，把股票价格指数作为投 资回报参考变量的变额寿险虽然解决了定额寿险 面临的一些问题，但自身也隐含着风险，据专家预 测，近几年我国将面临着通货膨胀的压力，而居民 消费价格指数能在一定程度上反映通货膨胀的变 化，因此把居民消费价格指数作为投资回报的参考 变量建立商业养老保险，更能有效地降低通货膨胀 带来的风险，从而保障投保人的利益。 假设在完全竞争市场的环境下，无套利，无摩 擦，市场上的主体获得同样的有效信息，不失一般 性，为计算简便，假设：
( r (t −∆t )−0.5σ
2 1 +σ1λs
∆t
)
∆t
p ( t ) = p (t − ∆t ) ⋅ e
ˆ β M s
t
( r (t −∆t )−0.5σ
2 2 +σ 2 λ p
)
（6）
(
s (t ) s (0)
, βp
p (t ) p (0) M
, t ,1
)
s (t ) s s (0)
− r ( s )ds 1 = e ∫0 N
x ：投保人参保时的年龄； r (t ) ： t 时刻的无风险利率； b(t ) ： t 时刻被保人获得的生存年金； p(t ) ： t 时刻的居民消费价格指数； s (t ) ： t 时刻的股票价格指数； D ：被保人获得的最低保障金额； t p x ：被保人生存至 x + t 岁的概率； β s ： D 随股票价格指数增长的比例尺度； β p ： D 随居民消费价格指数增长的比例尺度； β s , β p ：为 (0,1) 之间的比例常数。
dp(t ) = µ2 dt + σ 2 dw2 (t ) p (t )
其中 µi , σ i ∈ R , ωi ( i = 1, 2) 是标准布朗运动。
+
引入死亡率风险， t px 表示 x 岁的投保人再存 活 t 年的概率，根据精算学的知识，趸缴纯保费由 下式计算得到：
T
如果投保人伤残、死亡或合约期满，保险人须 支付投保人一定收益 b(t ) ，t = 1,L , T ，并且 b(t ) 依赖于预先商定的最低保险金额 D 、 股票价格指数