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怎样证明弦切角

怎样证明弦切角设圆心为o，连接oc，ob，oa。过点a作tp的平行线交bc于d，

则∠tcb=∠cda

∵∠tcb=90-∠ocd

∵∠boc=180-2∠ocd

∴,∠boc=2∠tcb

∵∠boc=2∠cab

∴∠tcb=∠cab

2

接oboc过o做oe⊥bc

所以∠a=1/2

又因为∠oct=90°

∠oec=90°

所以∠eoc=∠tcb

所以∠tcb=∠a

3

温馨提示

设切点为a切线ab弦ac圆心为o 过a作直径ad连oc

角cab等于90度减角dac

因为oa等于oc所以角aoc等于180度减去二倍的角dac

即可证明角aoc等于二倍的角cab

参考资料：弦切角是这弦所对的圆心角的一半

4

线段ad与线段ef互相垂直平分。

证明:设ad交ef于点g.

因为ap为切线，所以弦切角等于所对的圆周角，即∠pac=∠b，

又因为ad平分∠bac，所以∠dac=∠bad，

从而∠pac+∠dac=∠b+∠bad,

而∠pac+∠dac=∠pad，

∠b+∠bad=∠pda，所以

∠pad=∠pda，则△pad为等腰三角

形，

因pm平分∠apd，所以pm垂直平分ad，则ef垂直平分ad，

从而ad垂直ef，

则∠age=∠agf=90°，

再由∠gaf=∠gae，得到

△eag≌△fag，

从而eg=fg，从而ad也垂直平分ef。

5

圆心o在∠bac的一边ac上

∵ac为直径，ab切⊙o于a，

∴弧cma=弧ca

∵为半圆,

∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部.

过a作直径ad交⊙o于d,

若在优弧m所对的劣弧上有一点e

那么，连接ec、ed、ea

则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴

圆心o在∠bac的外部,

过a作直径ad交⊙o于d

那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.

解：连结oa，ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a

例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.

求证：ef∥bc.

证明：连df.

ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

弦切角逆定理证明

已知角cae=角abc，求证ae是圆o 的切线

证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，

则角adc=角abc=角cae

而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae 所以角dae=角dac+角cae=90度

故ae为切线

弦切角定理证明弦切角定理

编辑本段弦切角定义

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。