高中数学人教B版必修二234《圆与圆的位置关系》一PPT课件
圆与圆的位置关系ppt课件
设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上,故b=a-4.
则
解得 故圆心为 ,半径为
故圆的方程为
即x²+y²-x+7y-32=0.
(方法2)设所求圆的方程为x²+y²+6x-4+λ(x²+y²+6y-28)=0(λ≠-1),
其圆心为
,代入x-y-4=0,解得λ=-7.
故所求圆的方程为x²+y²-x+7y-32=0.
分析:我们可以通过建立适当的平面直角坐标系,求得满足条件的动点M的轨迹方程,从而得到点M 的轨迹;通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系,判断这个轨迹与圆O的位置关系。
解:如图,以线段AB的中点O为原点,AB 所在直线为x轴,线段AB的 垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系. 由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M 的坐标为(x,y),由 |MA|=|MB|, 得
(1)当|C₁C₂ I=r₁+r₂=5,即a=5时,两圆外切;当|C₁C₂ I=r₁-r₂=3,即a=3时,两圆内切。
(2)当3<|C₁C₂I<5,即3<a<5时,两圆相交.
(3)当|C₁C₂I>5,即a>5时,两圆外离. (4)当|C₁C₂I<3,即O<a<3时,两圆内含.
12 U
典型例题
例2.已知圆O的直径AB=4, 动点M与点A的距离是它与点B的距离的√2倍. 试探究点M的轨迹,并判断该轨迹与圆O的位置关系.
相交弦及圆系方程问题的解决 1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必 须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数. 2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两 圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 3.已知圆C₁ :x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 与圆C₂ :x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 相交,则过两圆交点的圆的方程 可设为x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0(λ≠-1).
圆与圆的位置关系ppt课件
解法一:联立C1,C2方程 x2+y2+2x+8y-8=0 x2+y2-4x-4y-2=0
解法二:化标准方程
类型一 圆与圆的位置关系的判定
1.已知圆C1:x2+y2+4x+2y-1=0,圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0,则圆C1与圆C2 的位置关系是 ( )
A.相离
B.相交
C.外切
D.内切
2.圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为 ( )
2.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3 ,则 a=( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2
类型三 两圆相交问题
圆与圆位置关系的应用【典例】若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+ y2=20相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB
y
X
问题:两圆相交时,圆心距和半径之间有何关系?
Rr
•
O1
d • O2
R-r<d<R+r (R≥r)
01 圆与圆的位置关系
问题:两圆相切时,圆心距和半径之间有何关系?
O1• R r •O2
d (c) 两圆外切: d=R+r(R>r)
O1• O• 2
r R
(d) 两圆内切: d=R-r(R>r)
01 圆与圆的位置关系
类型三 两圆相交问题
公共弦相关的问题
【典例1】已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为
() y
A. 3
B.2 3
《圆与圆位置关系》课件
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点,通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内,到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ,其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时,它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下,两圆相交于两个不 同的交点,但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外,相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况,对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直,倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种,其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ,即如果两圆在某点相切, 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时,两圆外切;当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时,两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时,两圆处于分离状态,没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时,两圆处于外切状态,仅有一个交点。
高中数学人教B版必修2课件:2.3.4 圆与圆的位置关系
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)将两圆方程配方化为标准方程,得 C1:(x-1)2+(y+5)2=50, C2:(x+1)2+(y+1)2=10. 则圆 C1 的圆心为(1,-5),半径 R1=5 2, 圆 C2 的圆心为(-1,-1),半径 R2= 10. 因为|C1C2|=2 5, ������1 + ������2 = 5 2 + 10, ������1 − ������2 = 5 2 − 10, 所以������1-R2<|C1C2|<R1+R2. 故两圆相交.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为 x-2y+4=0. (3)(方法一)两方程联立,得方程组 ������ 2 + ������ 2 -2������ + 10������-24 = 0, ① ������ 2 + ������ 2 + 2������ + 2������-8 = 0, ② 两式相减得 x=2y-4, 把③代入②得 y2-2y=0, ������ = 0, ������ = -4, 所以 y1=0,y2=2.即 1 或 2 ������2 = 2. ������1 = 0 所以交点坐标为(-4,0)和(0,2). 故两圆的公共弦长为 (-4-0)2 + (0-2)2 = 2 5.
2.3.4 圆与圆的位置关系
1.了解两圆的五种位置关系. 2.根据给定的两圆的方程,会用代数法和几何法判断圆与圆的位 置关系. 3.能运用两圆位置关系解决有关实际问题.
1
2
圆与圆位置关系的判定 1.几何法 若两圆的半径分别为R1,R2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系 的判断方法如下:
2.3.4圆与圆的位置关系-高二数学(人教B版选择性必修第一册)课件
学习任务
1.理解圆与圆的位置关系的种类.(数学抽象)
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.(逻辑推理)
3.能够利用上述方法判断两圆的位置关系.(逻辑推理)
4.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.(直观想象)
主体学习
情境与问题
在日常生活中,可以见到很多有关圆与圆的位置关系的形象,如图所示,
又因为2 − 2 < 2 < 2 + 2,所以1 − 2 < < 1 + 2 ,从而两个圆相交.
(2)将两圆的方程化为标准方程,分别为
2 + ( − 1)2 = 1, ( − 3)2 + 2 = 9,
由此可知圆1 的圆心为(0,1),半径1 = 1;圆2 的圆心为( 3,0),半径2 = 3.
∴|C1C2|=2 5,r 1+r 2=5 2 + 10,
|r1-r2|=|5 2 − 10|,
∴|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,∴两圆相交.
将两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0.
(2)方法一:由(1)知圆 C1 的圆心(1,-5)到直线 x-2y+4=0
|1-2×(-5)+4|
的距离为 d=
1+(-2)2
=3 5,
∴公共弦长为 l=2 21 -2 =2 50-45=2 5.
方法二:设两圆相交于点 A,B,则 A,B 两点满足方程组
-2 + 4 = 0,
= -4,
= 0,
解得
或
=0
= 2,
2 + 2 + 2 + 2-8 = 0,
必修二:4.2.2圆与圆的位置关系ppt课件
如何判断? 几何法
代数法
点到直线距离公式:
两点间距离公式:
代数法: 通过联立直线与圆的方程求解的个数
来判断圆与直线的位置关系。
• 当有两个实数解时, 直线与圆相交
• 当只有一个实数解时, 直线与圆相切
• 当没有实数解时,
直线与圆相离
复习 (知识链接)
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
小结
练习3
已知圆 O1 :(x+1)2 +(y-4)2=4 与圆 O2 :(x-2)2 +(y-2)2=9
求:( 1 ) O1与O2有几条公切线? (2 )公共弦所在的直线方程 . (3 )求公共弦长 .
小结
知识探究:相交圆的交线方程
结论:已知两圆
C1 :x2+y2+D1x+E1y+F1=0, C2 :x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交, 则直线(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1F2=0 为两圆的公共弦所在的直线 方程。
圆的一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0
直线与圆有哪些位置关系? 相交,相切,相离
如何判断? 几何法
代数法
点到直线距离公式:
两点间距离公式:
提问:
圆与圆的位置关系有几种?
生活课堂:动手实践
推动桌面上的硬币,它会与圆有怎样的 位置关系?
数学课堂:
• 找规律
!
类比
圆心
圆心
两圆半径
圆与圆的五种位置关系:
TddR rd=R-r R>r)数形结合!
O1 O2
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意: 1.当两个圆是等圆时,它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆,那么经过两个圆的圆心的直线,叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考:两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1,r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系?
(2)将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减,得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>, 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>, 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>, 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗?
新知讲解
例1:画图并判断圆C1:x2 +y2 +2x=0 和圆C2:x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1
高中数学必修二《圆与圆的位置关系》PPT (1)
Rr
O1
O2
相离
Rr
O1
O2
外切
Rr O1 O2
相交
R
OO2
内含
R r
O1O2
同心圆 (一种特殊的内含)
例题探究:
已知圆C1 : x2 y2 2x 8y 8 0, y
圆C2 : x2 y2 - 4x - 4y 2 0
试判断圆C1与圆C2的位置关系 A c2
o
B
x
因为 CAP CBP 90 所以,A、B两点在以CP为直径的圆上。
C、P中点为
3 2
,1 2
且 1 CP
2
10 2
所以,以CP为直径的圆的方程为
x
3 2
2
y
1 2
2
5 2
即:x2 y2 3x y 0
又圆C: x 12 y 22 2 的一般方程为:x2 y2 2x 4 y+3 0
dr
直线和圆的 公共点 位置关系 的个数
△
圆心到直线的距离 d与半径r 的关系
相离
0
△<0
d>r
相切
1
△=0
d=r
相交
2
△>0
d<r
新课引入:圆与圆的位置关系:
r rR r r
r
r
r
O1 O2 O2
O2 O2 O2 O2 O2
(1)相离 (2)外切 (3)相交 (4)内切 (5)内含
圆和圆的五种位置关系
c1
目标检测
跟踪训练 1 a 为何值时,两圆 x2+y2-2ax+4y+a2-5=0 和 x2+y2+2x-2ay+a2-3=0 相切?有几条公切线?
高中数学 2.3.4圆与圆的位置关系课件 新人教B版必修2
y
直线方程
A
.O
C
圆的方程
x
B
体验---形成方法
例1 已知圆C1:x2 y2 2x 8 y 8 0和圆C2 : x2 y2 4x 4 y 2 0,试判断两圆位置关系.
理解提升方法
变式1 已知圆C1:x2 y2 2x 8 y 8 0和圆C2 : x2 y2
相交,求(1)公共弦所在直线; x y 2 0
(2)公共弦长.
22
知识
归纳总结
1.判断圆与圆位置关系的两种方法 2.求相交圆的公共弦
思想方法 1.类比
2.转化 3.数形结合
布置作业
1巩固:课本133页习题10
2提高:课本133页习题11
3探究:
(1)k为何值时,圆C1 : x2 y2 4x 6 y 12 0与圆 C2 : x2 y2 2x 14 y k 0相离,相交,相切?
OB
x
C1
比较
代数法
几何法
反思1:判断圆与圆位置关系时,用哪种方法更简捷?
反思2:若两圆相交求交点,应选用哪种方法?
理解提升方法
变式2 已知圆C1:x2 y2 2x 8 y 8 0和圆C2 : x2 y2 4x 4 y 2 0相交,求公共弦所在直线方程.
解:联立两个方程得
4x 4 y 2 0相交,求交点坐标. 解:联立两个方程得
y
x2 y2 2 x 8 y 8 0 ①
x
2
y2
4x
4y
2
0
②
①-②得 x 2 y 1 0 ③
圆圆与圆的位置关系课件
2023圆圆与圆的位置关系课件pptCATALOGUE目录•引言•圆圆与圆的位置关系概述•圆圆与圆的五种位置关系的判定•圆圆与圆的位置关系的应用•教学过程与步骤01引言理解圆的基本概念和性质。
掌握圆与圆的位置关系及其判定方法。
会用圆心距和半径的关系解决简单的实际问题。
教学内容与目标1教学方法与计划23采用多媒体课件教学,通过直观的图形演示,帮助学生理解圆和圆的位置关系。
以学生为主体,教师引导,采用探究式和合作学习相结合的方式,引导学生主动思考和交流。
通过实例分析和练习,帮助学生掌握圆和圆的位置关系的判定方法和应用。
02圆圆与圆的位置关系概述定义圆心到圆上任意一点的距离相等,且半径相等的两个圆互为内切圆和外切圆。
分类内切、外切、相交、相离。
定义与分类根据定义,可以通过测量圆心到圆上任意一点的距离来判断两个圆的位置关系。
也可以通过比较两个圆的半径大小来判断是否相离或相交。
判定方法涉及圆的位置关系的实际应用场景很多,如机器视觉、图形学等领域中的图像处理,以及工程、生活中涉及到圆形物体的检测和测量等。
在数学中,圆的位置关系也是几何学中的一个重要知识点,对于培养学生的空间想象能力和推理能力具有重要意义。
应用场景03圆圆与圆的五种位置关系的判定总结词两圆处于外离状态,无公共点。
详细描述两圆半径分别为R和r,且R≥r,两圆圆心距为d,当d>R+r时,两圆处于外离状态。
此时,两圆无公共点,且两圆圆心距离等于d。
外离总结词两圆处于外切状态,有一个公共点。
详细描述两圆半径分别为R和r,且R≥r,两圆圆心距为d,当d=R+r时,两圆处于外切状态。
此时,两圆只有一个公共点,且该公共点在两圆连心线上,距离为d。
外切总结词两圆处于相交状态,有两个公共点。
详细描述两圆半径分别为R和r,且R≥r,两圆圆心距为d,当R+r>d>R-r时,两圆处于相交状态。
此时,两圆有两个公共点,且这两个公共点分别在两圆的边缘上,两个公共点之间的距离等于d。
圆与圆的位置关系课件PPT
2.若半径为1和5的两圆相交,则圆心距d的取值范围为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
3.若两圆半径为6cm和4cm,圆心距为10cm,那么这两圆的位置关系为( )
3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5,圆心距为3,则两圆的位置关系是 ( )
拓展迁移
如图,建筑工地的地面上有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的距离为______m.
.
O1
.
O3
.
O2
P
B
实际应用会使学生体会到学习数学的价值,提高学习兴趣。
5.已知两圆的半径为R和r(R>r), 圆心距为d ,
02
6.两圆相切,圆心距等于3,一个圆的半径为5cm,则另一个圆的半径为 .
7.两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点, ⊙O1经过点O2,则 ∠O1AB的度数为 .
8.已知两圆的圆心距为5,⊙O1和⊙O2 的半径分别是方程 的两根,则两圆的关系为 .
思想方法:类比方法与分类讨论
小 结
性质
判定
说明:相切两圆的连心线必经过切点。
02
T
01
02
01
.
T
.
.
.
.
.
小结
外离
1、⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,在下列情况下,分别求出两 圆的圆心距d的取值范围: (1)外离 ________ (2)外切 ________ (3)相交 ____________(4)内切 ________ (5)内含___________
外离
外切
相交
内切
内含
圆与圆的位置关系ppt课件
2.公共弦的性质:相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。
A
O1
3.求两圆公共弦所在直线方程:
法1:联立两圆方程求交点,由两点求直线方程
O2
B
法2:两圆方程作差
已知圆C1 : x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0①, 圆C2 : x 2 y 2 D2 x E2 y F2 0②,
AB
1 62 3 22
5 2
探究交流 题型二 公共弦问题
例2 已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;
解:设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),联立圆C1与圆C2的方程,得
圆心到直线的距离d
(点到直线距离公式)
d r : 相交
d r : 相切
d r : 相离
得到一元二次方程
mx2 nx t 0
0 : 相交
0 : 相切
0 : 相离
探究交流
问题1:在平面中,圆与圆的位置关系有几种?
B. 外离、外切、相交、内切、内含
2
4
2
3
17
圆心坐标是 2, , 半径长r2
2
2
因为2024/7/7
r1 r2 1 r1 r2 ,两圆相交
两圆方程相减, 得2 x 1 0,
所以圆C1与圆C 2的公共弦所
18
在直线的方程为
2x 1 0
1
方法二:两圆方程相减, 得 : x
数学必修2圆与圆的位置关系(1)PPT课件
分析:
方法一,几何法. 判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系. 方法二,代数法. 由两者方程组成方程组,由方程组解的情况决定. 解法一:把圆的方程都化成标准形式,为
C1 : ( x 1)2 ( y 4)2 25
C2 : ( x 2)2 ( y 2)2 10
C1 的坐标是 (1, 4) ,半径长 r1 5;
1.平面几何法判断圆与圆的位置关系公式 第一步:计算两圆的半径r1,r2;
第二步:计算两圆的圆心距d;
第三步:根据d与r1,r2之间的关系,判断两圆的位置 关系. 两圆外离:r1+r2<d; 两圆内切:|r1-r2|=d; 两圆外切:r1+r2=d; 两圆内含:|r1-r2|>d.
两圆相交:|r1-r2|<d<r1+r2;
显然通过两点的直线只有一条,即直线方程唯一, 故公共弦的方程为
( D1 D2 ) x ( E1 E2 ) y F1 F2 0.
消去二次项
所以前面探究问题可通过 (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 得出,
即公共弦的方程为:2x+1=0
例2.已知圆C1:x2+y2-10x-10y=0和圆C2:x2+y2+6x+2y -40=0相交于A、B 两点,求公共弦AB的长. 解法一:由两圆的方程相减,消去二次项得到 一个二元一次方程,此方程为4x+3y=10. 即为公共弦AB 所在的直线方程,
2.利用代数方法判断
( x a) 2 ( y b) 2 r12 , 将两个圆方程联立,得 2 2 2 ( c ) ( y d ) r 2 ,
高中数学必修二课件-2.3.4 圆与圆的位置关系1-人教B版
(xx2 1y)22 y12 16
拓展延伸:
1.如果两个圆的一个公共点关于连心线有 对称点(对称点不是公共点本身),那 么这两圆的位置关系是______.
2. 圆 x2 y2 ax 2y 1 0关于直线x-y=1对称的圆的
方程为 x2 y2 , 1则实数a的值为____. 3. 已知圆C1:x2 y 2 和1 圆C2: (x 1)2 y,2 1动6 圆 C与圆C1外切,与圆C2内切,求动圆C的圆心轨 迹方程.
关于直线x-y=1对称的圆的方程为
课后思考:
已知圆O1:x2 y2 9, 过A(1,4) 所作的圆O2半径为2,若圆O1O2相交, 求圆O2圆心的轨迹方程.
谢谢
唯一的公 共点叫切 点
1个
相交两个Βιβλιοθήκη 有两个公共点公共点叫 交点
2个
内切
两个圆有唯一的公共点, 并且除了这个公共点以 外,一个圆上的点都在 另一个圆的内部
唯一的公 共点叫切 点
1个
两个圆没有公共点,并
内含 且一个圆上的点都在另
0个
一个圆的内部
图形
名称
性质和判定
说明
外离 外切
相交 内切
d>r1+r2
经观察得出
2.3.4 圆与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系 2.点到直线的距离公式 3.两点间距离公式 4.直线和圆的位置关系 5.圆与圆的位置关系
图形
名称
定义
交点名称 交点个数
两个圆没有公共点,并
外离 且每个圆上的点都在另
0个
一个圆的外部
外切
两个圆有唯一的公共点, 并且除了这个公共点以 外,每个圆上的点都在 另一个圆的外部
高中数学必修二教学课件圆与圆的位置关系共9张PPT
图 形
公共 点个
数
性质 及判 定方
法
例题讲解
例1:判断下列两圆的位置关系
(1) x2 y2 4x 4 y 7 0
与 x2 y2 4x 10 y 13 0
(2)
x2
y2
4
与
x y
3 2cos 1 2cos
判断两圆位置关系的方法:
1.几何方法
小结:
1、圆和圆的五种位置关系、判断及应用。 2、相交两圆的有关计算。 3、圆的几何性质及运用。
A
O
Bx
6. 过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0
和 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点 且圆心在直线 x - y - 4 = 0上的圆方程是( ) (A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
的公切线有且仅有
条。
3. 求与点A(1,2)的距离为1,且与 点B(3,1)之距离为2的直线共有 条。
4.已知以C(- 4,3)为圆心的圆
与圆 x2 y2 1相切,求圆C的方程。
5.过圆 x2 + y2 = 4外一点 P( 3 , 4 )
作圆的两条切线,切点分别为数方法
例题讲解
例1:判断下列两圆的位置关系
(1) x2 y2 4x 4 y 7 0 与 x2 y2 4x 10 y 13 0
(2)
x2 y2 4
与
x y
32 1
高中数学人教新课标B版必修2--《4.2.2圆与圆的位置关系》课件
例题
已知圆C1:x 2+y2+2x+8 y-8=0 ,圆 C2:x2+y2-4x-4 y-2=0
试判断圆 C1与圆C2 的位置关系?
解法一: 圆C1与圆C2的方程联立, 得到方程组
x2+y2+2x+8y-8=0 (1)
x2+y2 - 4x - 4 y - 2=0 (2)
(1)-(2),得 x + 2y -1=0
如何判断圆与圆的位置关系步骤:
已知两圆 C1:x 2+y2+D1x+E1 y+F1=0
C2:x 2+y2+D2 x+E2 y+F2=0 ,如何判断圆与圆的位置
关系?
1、将两圆的方程化为标准方程;
2、求两圆的圆心坐标(a,b)和半径r1和r2; 几
3、求两圆的圆心距d;
何 法
4、比较d与|r2-r1|,r2+r1的大小关系。
0个
数
两圆的位置关系
相交 内切或 外离或 外切 内含
法
圆与圆的位置关系判定:
相离:
r1
r2
d > r1 + r2
d
外切:
r1 r2
d
d = r1 + r2
内切: r1 d
r2
d = r1 - r2
相交:
r1 r2
d
r1 - r2 < d < r1 + r2
内含:
r1 d
r2
0 ≤d < r1 - r2
例题
已知圆 C1:x 2+y2+2x+8 y-8=0 ,圆 C2:x2+y2-4x-4 y-2=0
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所以,交点坐标是
-19+
(
6
287,1+ 6287)和(-19-6
287,1- 6287).
故公共弦长是
-19-
6
287--19+6
2872+1- 6287-1+ 62872
= 2987+2987=13 574.
求弦长的另一种方法:因为③式是公共弦所在 直线的方程,所以第一个圆的圆心(-3,0)到直 线的距离为
代数法
___Δ__<__0___ Δ=0___Δ_>__0__ Δ源自0_________ Δ<0
_________
思考感悟 两圆没有交点,一定外离吗? 提示:不一定,还可能内含.
2.相交弦与公切线问题 设两圆圆心距为d,两圆半径分别为R、r(R≥r), 则
(1)当d>R+r时,两圆_外__离____,此时有__四__条___ 公切线; (2)当d=R+r时,两圆_外__切___,连心线过切点, 有__两__条___外公切线,__一__条___内公切线; (3)当R-r<d<R+r时,两圆相交,连心线垂直 平分公共弦,有__两__条___外公切线; (4)当d=R-r时,两圆内切,连心线过切点,只 有一条公切线.
知新益能
1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系如下表所示(注意“⇔”与“⇒” 的不同).
几何法
两圆的位置关 系
|C1C2|>r1+r2 |C1C2|=r1+r2 |r1-r2|<|C1C2|<
r1+r2 |C1C2|=|r1-r2| |C1C2|<|r1-r2|
⇔相离⇒ ⇔外切⇒
⇔相交⇒
⇔内切⇒ ⇔内含⇒
此时a=-1或a=-2. (2)当1<d<5即1<2a2+6a+5<25时,两圆相交, 此时-5<a<-2或-1<a<2. (3)当d>5即2a2+6a+5>25时,两圆外离, 此时a>2或a<-5.
考点二 公共弦问题 研究公共弦所在直线的方程或弦长.
一次方程 f(x,y)=0⇒fxx-,ay2=+0y,-b2=r21, 消去 一个变元得方程求出根⇒回代得方程组的解,即交点
坐标.
(2)求两圆相交时的公共弦长的方法,方法一: 代数法,即求两圆交点,再利用两点间的距离 公式求解;方法二:利用几何法求解,两种方 法比较,选用方法二更简捷.
跟踪训练1 a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+ a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0,(1)相切; (2)相交;(3)外离. 解:将两圆方程化为标准方程(x-a)2+(y+2)2= 9, (x+1)2+(y-a)2=4. 设两圆圆心距为d,则 d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)当d=5即2a2+6a+5=25时,两圆外切, 此时a=-5或a=2. 当d=1即2a2+6a+5=1时,两圆内切,
x2+y2+6x-7=0,
①
x2+y2+6y-27=0,
②
①-②,得 3x-3y+10=0.③ 方程③表示公共弦所在直线的方程.
由③,得 y=x+130,代入①,并整理得 18x2+114x+37=0.
解得 x1=-19+6 287,x2=-19-6 287,
所以
y1=1+
6
287,y2=1-
287 6.
(4)过直线与圆交点的圆系方程 设直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey +F=0相交,则方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax +By+C)=0表示过直线l与圆C的两个交点的圆 系方程.
课堂互动讲练
考点突破 考点一 判断两圆的位置关系 利用几何法计算圆心距.
例1 判断下列两圆的位置关系,若相交,请 求出交点坐标及公共弦长. (1)(x+2)2+(y-2)2=1和(x-2)2+(y-5)2=16; (2)x2+y2+6x-7=0和x2+y2+6y-27=0. 【分析】 由两圆的圆心距与半径关系可判定两 圆的位置关系,两圆相交求交点,可由圆的方程 联立方程组,解方程组求交点坐标,求弦长可由 两点间的距离公式或由几何法求解.
即f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λ≠-1). 当λ=-1时,变为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1- F2=0,表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心 圆时,此直线不存在),当两圆相交时,此直线 为公共弦所在直线;当两圆相切时,此直线为两
圆的公切线;当两圆相离时,此直线为与两圆连 心线垂直的直线.
d′=|-99++190|=3
1= 2
2 6.
又半径 r1=4,所以弦长为 2 16-326=13 574.
【点评】 (1)求两圆 C1:(x-a)2+(y-b)2=r21;C2:
(x
-
c)2
+
(y
-
d)2
=
r
2 2
交
点
的
方
法
是
由
xx- -ca22++yy--db22==rr2221 ⇒先消去二次项得关于 x,y 的
3.圆系与圆系方程 具有某种共同性质的圆的集合,称为__圆__系___. (1)同心圆系(x-x0)2+(y-y0)2=r2,x0,y0为常 数,r为参数. (2)圆心共线且半径相等圆系(x-x0)2+(y-y0)2 =r2,r为常数,圆心(x0,y0)在直线Ax+By+C =0上移动. (3)过两已知圆fi(x,y)=x2+y2+Dix+Eiy+Fi= 0(i=1,2)的交点的圆系方程,x2+y2+D1x+E1y +F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,
【解】 (1)根据题意,得两个圆的半径分别为 r1 = 1 和 r2 = 4 , 两 圆 的 圆 心 距 d =
[2--2]2+5-22=5. d=r1+r2,所以两圆外切. (2)将圆的一般方程化为标准方程,得 (x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36. 故两圆的半径分别为 r1=4 和 r2=6, 两圆的圆心距 d= 0+32+-3-02=3 2. 显然 2<3 2<10,即|r1-r2|<d<r1+r2,所以两圆 相交.
2.3.4 圆与圆的位置关系
学习目标
1. 理解五种圆与圆的位置关系,掌握它的位置 关系的判定方法. 2.会利用圆与圆的位置关系求解圆的方程,了 解圆系的使用方法.
中小学课件站
2.3.4
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 初中平面几何介绍的两个圆的位置关系,画图表 示如图.