5曲面特征操作1
曲面的第一基本形式
第三章 曲面的第一基本形式本章将接触到曲面论的最基本概念．类比于曲线；但内容更加丰富，特别要注意两者的差异．首先要明确曲面的局部表示和相关的基本概念；其次要明确度量几何的基本要素——弧长元素．在学习的过程中，应该注意对概念的深入理解．§1 参数化曲面一．E 3 中参数化曲面的定义r : U →E 3(u , v )→ r (u , v ) = (x (u , v ), y (u , v ), z (u , v )) ．C k 阶参数化曲面，简称参数曲面；参数，或称曲线坐标或曲纹坐标，简称坐标．点． u 坐标曲线，简称u 线； v 坐标曲线，简称 v 线；坐标曲线．坐标曲线网或参数网．自然切向分别表示为∂r ∂u = r u ，∂r ∂v= r v ． 连续曲面，光滑曲面．参数化通常在曲面局部有意义，在整体不一定能做到．以后不声明时在局部总考虑 C 3 类参数曲面，并简称之为曲面．二．正则曲面定义1 奇（异）点；正则点．正则曲面，正则参数． 正则点的几何意义是当参数在该点处作微小变动时动点的轨迹构成二维实体；正则点附近总存在小邻域，使得参数值与其位置向量之间保持一一对应．例5 按定义直接计算可知例1和例2中的参数曲面都是正则的．对于例3中的参数曲面，有r u = (- v sin u , v cos u , 0) ，图3-1r v = (cos u , sin u , 1) ，r u ⨯r v = (v cos u , v sin u , - v ) = v (cos u , sin u , -1) ；r u ⨯r v 当且仅当参数 v = 0 时为零向量，故参数值 (u , 0) 对应于全部非正则点——锥顶．对于例4中的旋转面，当 f (v ) = 0 时，对应点不是正则的．例6 单位圆柱面具有存在奇点的下列参数化：r (t , z ) = (cos t 2 , sin t 2 , z ) ． 一般地，存在奇点的参数曲面在奇点附近的性质需要单独加以讨论，并且往往比较复杂；而对于连续可微参数曲面，正则点附近总存在较小邻域使正则性得到满足．因此将曲面论的局部基本理论建立在正则曲面之上，是具有一般性的．三．正则曲面的切平面和法线已知正则曲面 S : r = r (u , v ) ．考虑过点 r (u 0, v 0) , r (u 0+∆u , v 0) 和 r (u 0,v 0+∆v ) 的平面 ∏ 当 (∆u , ∆v )→(0, 0) 时的极限位置，亦即切平面的位置．正则性保证了平面 ∏ 的极限位置平面 ∏0的法向向量确定为r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0) ．曲面上的曲线在该点处的切向量总落在平面 ∏0 上面；任给坐标曲线自然切向量的线性组合，曲面上总存在曲线以之为点 r (u 0, v 0) 处的切向．定义2 切平面；法线，法向；单位法向特指为单位向量(1.2) n (u 0, v 0) = r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0) |r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0)|； 正定向，简称正向；负定向，简称负向．正则曲面是有正定向的曲面．在切点 P : r (u 0, v 0) 处的切平面通常记为 T P ，它按坐标曲线自然切向量的线性组合可以理解为二维向量空间(1.3) T P = {a r u (u 0, v 0) + b r v (u 0, v 0) | (a , b )∈R 2 } ≅ E 2 ，其中的向量称为曲面的切向量，两个切向量 a 和 b 的内积 (a , b ) 规定为 E 3 的诱导内积，即(1.4) (a , b ) = a ∙b , ∀ a , b ∈T P ．图3-5此时，切平面同时具有向量空间结构和度量结构．切平面的基向量组{r u, r v} 通常称为自然基，而标架场{r;r u, r v, n} 通常称为自然标架场．用经典微积分的观点来看，切平面上的微元(1.5)d r(u, v) =r u(u, v)d u+r v(u, v)d v是位置向量增量 [r(u + d u , v + d v) -r(u, v)] 的线性主部，称为切向微元；按(1.3) 式所表示的同构，其按自然基分解的系数(d u, d v) 亦可视为切平面中的微元，其方向由比例d u:d v确定．例8已知半径为a > 0 的圆柱面的经纬参数方程为r(t, z) = (a cos t , a sin t , a z) ．试求其过点 (a, 0, a) 的任意切向以及分别由比例 1:2 和 1:0 确定的切向．例9已知正则曲面由隐式方程F(x, y, z) = 0 确定，其中梯度向量∇F = (F x, F y, F z) ≠0．证明该曲面上点 (x, y, z) 处的法向确定为∇F(x, y, z) ．四．参数变换定义3给定正则曲面S: r= r(u, v) ，若参数变换{u=u(u*, v*)v=v(u*, v*)满足①是连续可微的一一对应；②Jacobi行列式∂(u, v)∂(u*, v*)=∂u∂u*∂v∂u*∂u∂v*∂v∂v*处处非零，u*图3-6则称之为容许参数变换；当 ∂(u , v ) ∂(u *, v *) > 0 时称之为保向的，当 ∂(u , v ) ∂(u *, v *)< 0 时称之为反向的．注记 容许参数变换只有保向或反向两种．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，有 (1.6) ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ⎝⎛⎭⎫ r ur v， (1.7) r u *⨯r v * = ∂(u , v ) ∂(u *, v *)r u ⨯r v ． 由此可知，在容许参数变换下，正则性和可微性保持不变，切平面不变；单位法向在保向容许参数变换下不变，在反向容许参数变换下变号．五．参数曲面的等价类似曲线的论断：① 一个曲面点集实体允许存在多种参数化方式，有参数变换．② 曲面实体的几何属性不依赖于其参数化的方式，也不依赖于空间直角坐标系的选取．③ 两个合同的曲面实体相当于同一曲面实体的不同位置表现形式． ④ 若两张正则曲面之间仅仅相差一个容许的参数变换，则它们表示同一个几何实体，称这两张正则曲面是相同的．相同的正则曲面实际上是指正则曲面的一种等价类，其在同一实点上的切平面、法线等等几何实体分别是重合的．⑤ 定向相同的；定向相反的．⑥ 定向相同的曲面的单位法向以及有向切平面，对于每个对应点都是唯一确定的．⑦ 曲面的整体概念和整体性质是复杂的，将留待于第八章中进行较为深入的讨论．约定：在以后讨论曲面局部性质的各章中，不声明时总考虑正则曲面和容许参数变换，并分别简称为曲面和参数变换．§2 直纹面与可展曲面直纹面可以由一族直线“织成”，即：过曲面上每一点都存在过该点的直线落在该曲面上．一．直纹面及其上的参数变换直纹面的直纹或（直）母线；准线．直纹的位置和直纹上的点的相对位置，给出直纹面 S 的下列自然参数化(2.1) S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，其中准线为连续可微参数曲线(2.2) C : r * = a (u ) ，过准线上点 a (u ) 处的直纹方向确定为向量l (u ) ，且 l (u ) 连续可微．此时，(2.5) r u ⨯r v = [a '(u ) + v l '(u )]⨯l (u ) = a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) ．由此可确定正则条件．例1 直纹面可按 (2.1) 式准线与直纹方向的关系归为不同的子类． ① 柱面：各直纹平行．正则性条件即为准线不与直纹相切，单位法向沿着直纹是常向量，切平面沿着直纹重合．② 锥面：各直纹相交于锥顶点．准线可以“收缩”为锥顶．不妨设已经规范为a (u ) ≡ a 0 ，则正则性条件化为(2.7) r u ⨯r v = v l '(u )⨯l (u ) ≠ 0 ．故锥顶是奇点；并且，当直纹单位方向向量在单位球面上为正则曲线时，也只有锥顶是奇点．其切平面沿着直纹也重合．③ 切线面：直母线族是某条准线的切线族，即直母线族有包络线可作为准线．不妨设已经规范为a '(u ) = l (u ) ≠ 0 ，且此时不妨设准线以 u 为弧长参数，则正则性条件化为(2.8) r u ⨯r v = v T '(u )⨯T (u ) ≠ 0 ．图3-7① ② ③图3-8此时的准线称为切线面的脊线，其上点点为奇点．当脊线无逗留点时，切线面上除脊线外的各点都是正则点．其切平面沿着直纹也重合．④ 主法线面：直母线族是某条准线的主法线族．⑤ 从法线面：直母线族是某条准线的从法线族．例2 正螺旋面或正螺面；其准线可取为旋转轴．正螺面相应单位法向垂直于z 轴；旋转轴上各点处的切平面公交于旋转轴．例3 Möbius 带实体无所谓“正”的定向．直纹面按照准线和直母线族的自然参数化，具有明显的几何直观．准线的转换以及直纹方向向量长度的转换，在自然参数化下，就等价于适当的参数变换；这是一种具有几何意义的参数变换．设直纹面 S 的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出．作直母线方向向量的“伸缩”变换和准线变换分别为(2.9) l *(u ) = λ(u ) l (u ) , λ(u ) ≠ 0 ，(2.10) a *(u ) = a (u ) + μ(u ) l (u ) ，其中变换系数函数 λ(u ) 和 μ(u ) 都是连续可微的．令(2.12) {u * = uv * = [v - μ(u ) ] λ(u ) ， 则得到容许参数变换，与原有方程的对应关系为(2.14) r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) = r *(u *, v *) = a *(u *) + v * l *(u *) ． 由此可以进一步考察准线和直母线是否允许有特殊关系．引理1 已知直纹面的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出，则存在新的参数化，使其准线与直母线处处正交，并且直纹方向向量为单位向量．二．可展曲面及其局部形状分类柱面、锥面、切线面的切平面分别沿着直纹重合；而从正螺面的图形观察到，沿着所给定的直纹移动时，切平面将发生扭转．图3-9 图3-11定义1若直纹面的切平面沿着每一条直纹都分别重合，则称该直纹面为可展曲面，或称该直纹面可展．例4柱面、锥面、切线面都可展．单叶双曲面和双曲抛物面都不可展——这从图形上可以观察到；也可以在任何直纹上展开计算，而由定义得到验证．定理1(直纹面可展的解析条件)设直纹面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 正则．S可展的充要条件为a' , l , l'共面，即(2.15) (a' , l , l' ) ≡ 0 ．对指定直纹族的直纹面而言，该解析条件不依赖于准线以及直纹方向向量长度的选取．要考虑可展曲面的其它特征；除了本节将继续讨论的以外，可展曲面的“内在特征”将在后续章节中出现．注记直纹面的直纹族并不一定是唯一的，比如单叶双曲面、双曲抛物面都有两族直纹，而平面的直纹族更加随意指定．以后可以证明，两族坐标曲线都是直线的正则曲面若可展，则只能是平面（或其局部）．在“较好”的准线a(u) 和直纹方向向量l(u) 之下，解析条件可以进一步化简．特别当直纹方向向量规范为单位向量场时，即|l(u)|2≡ 1 时，有l'(u)∙l(u) ≡ 0 ；进而分两种情形：①当l'(u)⨯l(u) =0时，自然总有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔l'(u) =0；②当l'(u)⨯l(u) ≠0时，l'(u) ≠0，便有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔∃λ(u), μ(u) 使a'=λl'+μl；从此出发，利用准线变换，对可展曲面的局部形状可构造性地进行分类．参数变换的目标是确定如例1所给出的规范参数方程．在下面定理的证明中，可注意体会几何直观对证法的启发，以及如何明确地加以表述．定理2（可展曲面局部形状分类）可展曲面必是柱面、锥面和切线面之一或由它们沿直母线所适当拼接而成．证明由引理1和定理1，设可展曲面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 满足|l(u)|2≡ 1 ；则由简化的解析条件，可完全分类为以下三种情形：①l'≡0，则l(u) = const. ≠0；此时S为柱面．②l'≠0，∃λ, μ使a'=λl'+μl；此时要证S为锥面或切线面．（注意：锥面存在新准线C*: a*(u) 使a* = const. ，而切线面存在新准线C*:a*(u) 使关于弧长的导数d a*d s C*=l，它们的共同特征是a*'(u)∥l．）作待定的新准线C*: a*(u) =a(u) +b(u) l(u) 使a*'(u)⨯l(u) ≡0，其中待定函数b(u)连续可微，则a*'=a'+b'l+b l'= (λ+b) l'+ (μ+b') l；故取b=-λ即可满足要求．此时，a*'= (μ-λ') l．由此，当a*'≡0即λ'≡μ时，a* = const. ，则S为锥面；当a*'≠0即λ'≠μ时，l=a*'μ-λ'=d a*d s C*，则S为切线面．③其他；由以上两种情形的讨论过程可知，l'以及 (μ-λ') 的例外零点对应于曲面上相应的直母线．综合各种情形，得证．三．单参数曲面族的包络观察例5管状面．定义2单参数曲面族Sλ的包络面S*，简称包络．例6可展曲面是其本身切平面族的包络，切平面族的单参数就取为某条正则准线的参数．在求解包络时的先验假定，反验．定理3给定连续可微单参数λ正则曲面族Sλ: r(u, v; λ) ．如果判别式(2.21) (r u , r v , rλ ) = 0能够决定连续可微的两个函数u(λ, t) 和v(λ, t)，那么，该曲面族的包络若存在则只能确定为判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ)；而若判别式无解函数u(λ, t) 和v(λ, t) ，则该单参数曲面族没有包络．注记：①判别式所确定的函数同时明确了对应点的位置．②判别式如果是平凡的，则判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 有可能蜕化为非正则的；此时需要反验是否符合包络条件．③如果判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 是正则的，则其为包络面；此时在某些具体条件下，两个函数u(λ, t) 和v(λ, t) 允许存在反函数，此即为包络面上的特殊参数变换．④对包络面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) ，当选定参数λ=λ0时，其上曲线r(u(λ0, t), v(λ0, t); λ0) 是与族中曲面S的公切点构成的曲线，称之为包络面λ0的特征线．例7已知具有包络S* 的连续可微单参数λ曲面族Sλ: r(u, v; λ) = (x(u, v; λ),y(u, v;λ) ,z(u, v;λ))是由隐式方程F(x, y,z; λ) =0 给出的，其中梯度向量∇F=(F x ,F y, F z) ≠0．试证S* 的隐式方程为(2.22) {F(x, y, z; λ) = 0 ，Fλ(x, y, z; λ) = 0 ．单参数曲面族由隐式方程给出时，其包络的判别曲面由特征线族方程(2.22) 式给出．有时，隐式方程对于表示曲面整体非常有效，比如球面、双叶双曲面等等；此时，由 (2.22) 式讨论包络是较为方便的．例8求单参数λ球面族x2+y2+ (z-λ)2= 1 的包络．定理4给定连续可微单参数t平面族T t: n(t)∙r-p(t) = 0 ，|n|≡ 1 ，n'(t) ≠0．如果 {T t} 的包络面S存在，则S可展．§3曲面的第一基本形式在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，是曲面几何学基本的问题之一．勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定；子体和原有 Euclid 空间的几何属性将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行．本节总记正则曲面S的参数方程为r=r(u, v) , (u, v)∈U⊂R2．一．曲面上的弧长元素首先考虑曲面S上的曲线段的长度和弧长元素．设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ]是 S 的正则曲线上的一个弧段．通常也用平面区域 U 上的参数方程 {u = u (t )v = v (t ), t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式的双重含义：既表示平面区域 U上的一条参数曲线 C -1 ，同时也表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C时往往强调“在曲面 S 上”．记曲面上的量(3.1) E = E (u , v ) = r u ∙r u = |r u |2 , F = F (u , v ) = r u ∙r v , G = G (u , v ) = r v ∙r v = |r v |2 ,则对曲线 C 有d s 2 = d r ∙d r = [E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2 ]| u =u (t ), v =v (t ) = [E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 ， d s = | d r d t| d t = E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ， 则有s (b ) - s (a ) = ⎰b ad s d t d t = ⎰b a | d r d t | d t = ⎰b a E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2| u =u (t ), v =v (t ) d t ． 可见，使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量，就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度；至于曲面及其上的曲线的位置向量如何，在上述算式中并不直接影响结果．曲面上的量对其上曲线的影响程度，将在进行进一步抽象之后，得到更明确的了解．对此应注意体会．二．第一基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(3.2) Ⅰ = d s 2 = E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2为曲面 S 的第一基本形式，或称线素，其中系数由 (3.1) 式给出．图3-13注记： 第一基本形式系数也称为第一基本量．第一基本形式是由 E 3 的欧氏度量在曲面上所诱导出来的一种Riemann 度量．曲面第一基本形式d s 2 = d r ∙d r 的几何意义可用逼近的观点解释为：切向微元 d r 是位置差向量 [r (u +d u , v +d v ) - r (u , v )] 的线性主部，而弧长元素 d s = |d r | 是相应两点之间的距离微元的主部．第一基本形式在容许参数变换下不变，且在刚体运动下不变．第一基本形式的计算较为简单；但这是关于曲面的最基本和最重要的计算．下例展示了基本运算途径；同时，所得到的结论也是基本的．例1 已知平面 ∏: r (u , v ) = r 0 + u a + v b ，其中三个常向量 r 0, a , b 满足规范条件 |a | = |b | = 1 , a ∙b = 0 ．观察其第一基本形式的三种系数行为．① 平面 ∏ 的第一基本形式为d s 2 = d r ∙d r = (a d u + b d v )∙(a d u + b d v ) = d u 2 + d v 2 ．② 若在平面 ∏ 上采用极坐标系 (ρ, θ) ，即 {u = ρ cos θ v = ρ sin θ，则 r ρ = a cos θ + b sin θ ，r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ ) ；E (ρ, θ) = r ρ∙r ρ = (a cos θ + b sin θ)∙(a cos θ + b sin θ) = 1 ，F (ρ, θ) = r ρ∙r θ = (a cos θ + b sin θ)∙(- a ρsin θ + b ρcos θ) = 0 ，G (ρ, θ) = r θ∙r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ)∙(- a ρsin θ + b ρcos θ) = ρ2 ；此时，平面 ∏ 的第一基本形式（在极点无意义）为d s 2 = E (ρ, θ) d ρ2 + 2F (ρ, θ) d ρd θ + G (ρ, θ) d θ 2 = d ρ2 + ρ2 d θ 2 ．③ 在平面 ∏ 上取任意一条无逗留点弧长 w 参数化曲线 C : ξ(w ) ，则其切线面r (w , t ) = ξ(w ) + t T (w ) 可表示一部分平面区域，其中 T 为 C 的单位切向．局部可得r w = T + t κ N ，r t = T ；E (w , t ) = r w ∙r w = (T + t κ N )∙(T + t κ N ) = 1 + t 2κ 2 ，F (w , t ) = r w ∙r t = (T + t κ N )∙ T = 1 ，G (w , t ) = r t ∙r t = T ∙ T = 1 ；此时，在平面 ∏ 上相应区域内，第一基本形式为d s 2 = E (w , t ) d w 2 + 2F (w , t ) d w d t + G (w , t ) d t 2= [1 + t 2κ 2(w )]d w 2 + 2d w d t + d t 2 ．第一基本形式系数在容许参数变换下必须满足一定的变换规律．改写(3.3) Ⅰ = d s 2 = (d u , d v ) ⎝⎛⎭⎫E F F G ⎝⎛⎭⎫d u d v ；(3.4) d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ,(3.5) d r ∙d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T ⎝⎛⎭⎫d u d v ,(3.6) ⎝⎛⎭⎫E F F G = ⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T = ⎝⎛⎭⎫r u r v ∙ (r u , r v ) ，其中各式之中的位置向量视为行向量，分块矩阵之间用“∙”表示数量积．定义2 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，称二次型 (3.2) 或 (3.3) 的系数矩阵，即 (3.6) 式左端，为曲面 S 的第一基本形式系数矩阵；其行列式(3.7) E F F G= EG - F 2 = |r u |2|r v |2 - (r u ∙r v )2 = |r u ⨯r v |2 > 0 ， 称为曲面 S 的第一基本形式系数行列式．性质 ① 正则曲面 S 的第一基本形式 (3.2) 是正定的二次型，即：d s 2 ≥ 0 ，且等号当且仅当 d u = d v = 0 时成立；② 正则曲面 S 的第一基本形式系数矩阵是正定的．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式分别为 (3.8) J = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第一基本形式为d s 2 = E *(u *, v *) d u *2 + 2F *(u *, v *) d u *d v * + G *(u *, v *) d v *2．则由 (1.6) 式和 (1.7) 式分别代入 (3.6) 式和 (3.7) 式可得(3.9) ⎝⎛⎭⎫E * F *F * G * = ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * ⎝⎛⎭⎫ r u * r v *T = J ⎝⎛⎭⎫ r u r v ⎝⎛⎭⎫ r u r v T J T = J ⎝⎛⎭⎫E F F G J T ， (3.10) E *G * - F *2 = |J |2(EG - F 2) ．这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为(3.11) E *G * - F *2 = ||J || EG - F 2 ． 例2 以平面弧长参数曲线为准线作柱面 S ，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数 (u , v ) 下可以表示为 d s 2 = d u 2 + d v 2 ．三．交角与面积元素确定交角和面积等几何量．交角，有向交角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会．1．曲面上的曲线的交角假设曲面 S 的第一基本形式以 (3.2) 式确定；设点 (u , v ) 处的两个切向微元在自然基 {r u , r v } 下分别为 d u :d v 和 δu :δv ，确定其间夹角余弦(3.12)式——曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系．可参考图3-13观察这个事实．定理1 对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第一基本形式系数矩阵处处是对角阵．定义2 正交参数，正交参数网或正交网．定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．例3 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，求两族坐标曲线的二等分角轨线 C 的微分方程．2．曲面的面积元素和区域面积曲面的面积元素可以表示为(3.13) d σ = |r u ⨯r v | d u d v= EG - F 2 d u d v ．任一有界区域 r (U 0) 的面积 A (U 0)可以表示为(3.14) A (U 0) = ⎰⎰ U 0 d σ = ⎰⎰ U 0 |r u ⨯r v | d u d v = ⎰⎰ U 0EG - F 2 d u d v ． 在参数变换下面积元素对应相同，面积也对应相同．v )图3-14定理2正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．§4局部等距对应曲面间的正则对应．“贴广告”的体验：保持弧长以及由弧长所完全确定的几何量都不变．一．局部等距对应定义1局部等距对应；局部等距．等距对应；等距．等距与局部等距的区别．目前通常只考虑曲面间的局部等距对应，并简称为等距对应．定理1（局部等距对应充要条件）两张曲面局部等距的充要条件是按对应关系具有相同的第一基本形式．等距的曲面之间能够作为容许参数变换的对应关系，并不一定具有明显的解析表达式；同时，第一基本形式按对应关系相同，并不意味着它们的参数已经对应相同，即它们的第一基本形式系数并不总是相等，而只是在对应关系下以变换规律 (3.9) 式相联系．一般而言，寻求等距曲面之间的等距对应关系可以归结为求解由 (3.9) 式所给定的偏微分方程组，但其求解过程往往是困难重重和具有技巧的．从定理1看，通过计算第一基本形式即可验证对应关系是否为等距对应．而对于较为直观和简单的等距对应，通过分析几何直观及其所提供的启示，也可以找到相应的对应关系．例1悬链面与正螺面之间的局部等距对应悬链面与正螺面．悬链面去掉一条母线而“剪开”后，与正螺面的“一个螺纹”之间的等距对应．定理2可展曲面总存在与平面的局部等距对应．分析这个定理的结论和证明过程，可见可展曲面局部存在到平面之间的连续变形，使得变形过程中的每一张中间曲面都是可展的，并且在对应关系下直纹总变到直纹，同时每一张也都是互相等距对应的．这就是平整的“纸张”能够“不撕破”“不褶皱”地“贴合”在可展曲面上的原因．这个定理的逆定理也是成立的，其证明在后续两章给出．形象地说，可展曲面名副其实地“可展”成平面．一般而言，讨论曲面在保持等距意义下的连续形变，是较为复杂的．二．曲面的内蕴几何学概念定义2内蕴量，内蕴性质（内在性质）；内蕴几何体．内蕴几何学．内蕴几何学的核心是讨论第一基本形式的不变量以及相关的几何属性．例如，球面与平面之间不存在局部等距对应，从而具有不同的内蕴几何学；而这个事实的证明，将在第五章利用所谓的Gauss绝妙定理给出．从内蕴几何角度来看，可展曲面的代表就是平面；有理由认为它的“内在弯曲”状况是“平坦”的，尽管有许多可展曲面的“外在弯曲”状况是“弯曲”的．而球面既是“外在弯曲”的，也是“内在弯曲”的．内蕴量和内蕴性质，还可以提示和帮助确定等距对应关系．§5局部正交参数网与等温参数适当坐标系的选取是非常重要的．简化计算．另一种作用是，根据场合选取具有特定几何意义的坐标系，有时会成为揭示和解决问题的关键．本节将给出一个基础性结论，它经常用于建立所需要的局部坐标系，包括确定一些具有特定几何意义的参数曲线网的局部存在性．一．一般结论与正交网定理1设二阶连续可微正则曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈D上已给出两个处处线性无关的连续可微切向量场a(u, v) , b(u, v) ，则对任何点 (u0, v0)∈D满足r u*∥a , r v*存在其邻域D0⊂D，使在D0内存在参数变换{u* =u*(u, v)v* =v*(u, v)∥b，即切向量场a(u, v) , b(u, v) 的积分曲线族分别为u*, v* 曲线族．定理2在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近总可取到正交网．证明对曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈D，取a(u, v) =r u(u, v) ,b(u, v) =r v(u, v) -FEr u(u, v) ，则a, b是两个处处线性无关的连续可微切向量场，并且处处正交．由定理1，可分别取切向量场a, b的积分曲线族为局部的两族坐标曲线，则此两族坐标曲线构成正交网．□注记①曲面正交网的存在性是局部性质；至于大范围内是否存在正交网，往往受到曲面整体性质的约束．②曲面上的处处正交的单位切向量场总是存在的；但是，定理并没有保证它们可以成为自然切向量场，而只是保证它们可以处处平行于某个自然切向量场．二．等温参数定义1曲面的等温参数．在等温参数下，内蕴量的计算较为简单．同时，从(3.12) 式可见，曲面上的曲线的交角，总等于其在等温参数区域中的原像（当视为欧氏平面上的曲线时）的交角．曲面与欧氏平面在等温参数下的这种对应关系，是一类共形对应，或称为保角对应或等角对应．例1Mercator地图．等温参数的存在性是较难证明的．定理3在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近，总可取到等温参数网．推论二阶连续可微正则曲面局部共形对应于平面；二阶连续可微正则曲面之间总可局部共形对应．。
一年级数学认识立体图形优秀精品课件
一年级数学认识立体图形优秀精品课件一、教学内容本节课选自一年级数学下册第五章《认识立体图形》。
详细内容包括教材第5.1节至5.4节，分别是：长方体、正方体、圆柱和球的认识，以及它们的特征和分类。
二、教学目标1. 让学生掌握长方体、正方体、圆柱和球的基本概念，了解它们的特征。
2. 培养学生通过观察、操作、思考等方式，探索和发现立体图形的奥秘。
3. 培养学生的空间观念，提高他们的观察能力和动手操作能力。
三、教学难点与重点教学难点：长方体、正方体、圆柱和球的特征及其分类。
教学重点：引导学生通过观察、实践，掌握立体图形的基本概念。
四、教具与学具准备1. 教具：长方体、正方体、圆柱和球的模型，以及相应的图片。
2. 学具：每组一份长方体、正方体、圆柱和球的模型，以及画图工具。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示生活中的实物，如文具盒、魔方、饮料罐、篮球等，让学生观察并说出它们的形状。
2. 例题讲解：讲解长方体、正方体、圆柱和球的特点，以及它们在生活中的应用。
a. 长方体：长、宽、高都不相等，如文具盒、课本等。
b. 正方体：长、宽、高都相等，如魔方、骰子等。
c. 圆柱：上下底面是圆形，侧面是曲面，如饮料罐、铅笔等。
d. 球：形状为圆形，如篮球、乒乓球等。
3. 随堂练习：让学生分组，通过观察、触摸、比较，找出教具中的长方体、正方体、圆柱和球，并进行分类。
4. 巩固练习：出示一些图片，让学生判断它们分别属于哪种立体图形。
六、板书设计1. 板书认识立体图形2. 板书内容：a. 长方体：长、宽、高都不相等b. 正方体：长、宽、高都相等c. 圆柱：上下底面是圆形，侧面是曲面d. 球：形状为圆形七、作业设计1. 作业题目：b. 画出一个长方体、一个正方体、一个圆柱和一个球。
2. 答案：a. 课本：长方体；魔方：正方体；饮料罐：圆柱；篮球：球。
b. 根据所学知识，画出相应的图形。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等方式，让学生掌握了长方体、正方体、圆柱和球的基本概念，培养了他们的空间观念。
§22 曲面的第一基本形式
u2 + a2 − 1 . u2 + a2 + 1 70
把曲线 u + v = 0 与 u − v = 0 交点的曲线坐标 u = 0, v = 0 代入上式得二曲线的交角余弦 为 cos θ = u2 + a2 − 1 u2 + a2 + 1 = a2 − 1 . a2 + 1
u=0 v =0
3. 求曲面(域)的面积 现在我们来推导曲面 S : r = r (u, v ), (u, v ) ∈ D(平面区域) 上给定区域 D 的面积. (以下 我们只是给出直观推导, 详细的证明参见 C. Goffman 著《多元微积分》) 完整 ① 用 u -线和 v -线划分曲面域 D 成 曲边四边形. 不完整 完整四边形的面积越接近于平行四边形的面积 ② 划分加细, 不完整四边形面积越来越小, 在D 中所占比重愈小 ③ 任取一个完整的曲边四边形 P P1 P2 P3 (如图), 设四个顶点 P 、P1 、P2 、P3 对应的 径矢分别为 r (u, v ), 由 Taylor 公式, 得 − − → P P1 = r (u + ∆u, v ) − r (u, v ) = [r u (u, v ) + − − → P P2 = r (u, v + ∆v ) − r (u, v ) = [r v (u, v ) + 其中 lim
首先我们得到第一基本形式系数之间的如下关系: ¯ = ru E ¯ · ru ¯ = ru ∂u ∂v + rv ∂u ¯ ∂u ¯ · ru ∂u ∂v + rv ∂u ¯ ∂u ¯
=E ¯ = ru F ¯ · rv ¯ =E ¯ = rv G ¯ · rv ¯ =E
人教版(2024)认识立体图形教学设计2024-2025学年一年级上册数学
《认识立体图形》教学设计一、核心素养目标1.空间观念通过观察、操作等活动，让学生初步认识长方体、正方体、圆柱和球等立体图形，发展学生的空间观念。
2.观察能力培养学生观察物体的能力，能够从不同的角度观察立体图形，并描述其特征。
3.实践能力提高学生的动手操作能力，通过摸一摸、滚一滚、搭一搭等活动，感受立体图形的特点。
二、教学重点难点1.教学重点直观认识长方体、正方体、圆柱和球的形状及特征。
能够辨认和区分这些立体图形。
2.教学难点初步感知立体图形之间的区别和联系。
三、教学设想以生活中的实物为基础，通过直观感知、操作体验、小组合作等方式，引导学生认识立体图形。
创设丰富多样的活动，激发学生的学习兴趣，让学生在活动中积累数学活动经验。
四、教学方法1.直观教学法展示各种立体图形的实物和模型，让学生直观感受。
2.操作探究法组织学生进行摸一摸、滚一滚等操作活动，探究立体图形的特征。
3.小组合作法安排小组合作学习，促进学生之间的交流与合作。
五、教学准备1.各种立体图形的实物，如长方体的纸盒、正方体的魔方、圆柱的易拉罐、球等。
2.立体图形的模型。
3.多媒体课件。
六、教学课时1课时七、教学过程（一）情境导入（5分钟）1.播放一段积木搭建的图片，展示各种形状的积木。
提问：“同学们，你们在动画里看到了哪些形状的积木？”（二）认识长方体（10分钟）1.拿出一个长方体的纸盒，让学生观察。
提问：“这个物体是什么形状的？它有什么特点？”2.引导学生数一数长方体有几个面，每个面是什么形状。
3.让学生摸一摸长方体的面，感受其平面特征。
（三）认识正方体（10分钟）1.展示一个正方体的魔方。
提问：“这个和刚才的长方体有什么不同？”2.组织学生比较正方体和长方体的面、棱等特征。
3.强调正方体的六个面都相同。
（四）认识圆柱（10分钟）1.拿出一个圆柱形的易拉罐。
提问：“这个物体又有什么特点？”2.让学生摸一摸圆柱的曲面，感受其与长方体、正方体面的不同。
(2024秋新版)人教版一年级数学上册第三单元《 立体图形的认识》教案
第三单元认识立体图形3.1立体图形的认识单元说明:“认识图形”是学生学习“图形与几何”知识的开始，主要是从形状这一角度使学生初步认识物体和图形。
为了分散难点，这一单元只安排了立体图形的认识，包含三方面的内容：一是在物体分类的活动中，初步认识长方体、正方体、圆柱和球4种立体图形；二是解决简单的实际问题；三是会用同样的立体图形进行拼组。
建议如下:1.注意培养学生的观察意识和能力。
例如，可以让学生观察身边的物体分别是什么形状的，哪些物体的形状相同等。
2.给学生提供充分的动手操作的机会，一方面可以提高学生的学习兴趣，另一方面可以使学生形成初步的动手操作能力。
3.要让学生经历解决问题的全过程，感受解决问题的基本方法；要鼓励学生积极探索，主动利用已有知识发现新知识；要注意保护和鼓励学生的创新意识。
4.重视对“成长小档案”中内容的研讨，重视对学生进行学习方法的指导。
【课题名称】第1课时立体图形的认识【课型、课时】新授课1课时【教学内容】人教版一年级上册67页--69页。
【教学目标】1.通过摸一摸、猜一猜、搭一搭等活动，形成对长方体、正方体、圆柱和球的直观认识，能在实际情境中辨认这些图形，准确说出它们的名称。
2.经历从实物抽象到图形的过程，初步培养学生的观察能力和动手操作能力，建立空间观念。
3.体会数学和实际生活的密切联系，渗透分类的数学思想。
【重点难点】教学重点：对长方体、正方体、圆柱和球的一般形状特征有一定的感性认识。
教学难点：正确区分长方体和正方体。
【课前准备】1.教师：教具：长方体、正方体、圆柱和球的教具和图片教学课件：《》课件2.学生：课前预习：标注完成《素养提升手册预习卡》学具：生活中各种形状的物体。
【教学过程】一、创设情境，导入新课。
1.猜谜语。
教师：同学们，上课前我们先玩一个猜谜语游戏（课件出示谜语）小小一个长方体，肚里装着尺和笔，小朋友们来上学，把它放进书包里。
打一学习用品，猜一猜是什么？学生：文具盒。
CATIA-钣金教程(1)
子使用公式 k 因子 = δ/T 计算。
δ
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8
CATIA Generative Sheetmetal Design
创建壁
1）生成基于草绘轮廓旳壁
A、从草图直 接创建，还能 够从草图直接 生成内涵剪口 旳壁
钣金件切除操作
创建孔 Creating a Hole
创建圆口 Creating a Circular Cutout 创建剪口 Creating a Cutout
展开状态下创建剪口
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折叠状态下创建剪口 折叠后
??再行 探讨在原 面上切孔 操作旳定 位（是目 前面上定 义一点还 是？？）
CATIA 钣金设计
（Generative Sheetmetal Design ）
创成式钣金设计（ Generative Sheetmetal Design ）基于特征 旳造型措施提供了高效和直观旳设计环境，它允许在零
件旳折弯表达和展开表达之间实现并行工程。该模块能 够与目前和将来旳 CATIA V5 应用模块如零件设计、装 配设计和工程图生成模块等结合使用。钣金设计可能从
在展开视图中仅较大旳冲压印痕保存在壁上。 冲压特征不能创建在展开旳钣金件上。
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冲压原则特征
冲压自定义特征
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CATIA Generative Sheetmetal Design
冲压原则特征
冲压开口凸圆Create a flanged hole: 选用面上点,设置冲压参数。 冲压凸起特征Create a bead: 选用开放轮廓(3D能够),设置冲压参数。 冲压凸起圆Create a circular stamp: 选用面上点,设置冲压参数。 冲压曲面凸起特征Create a surface stamp: 选用草绘,设置冲压参数。 冲压桥特征Create a bridge: 选用面上点,设置冲压参数，指定桥特征生
曲面及其方程 1
(1)
yoz面上的双曲线
y2 z2 b2 c2 1
分别绕 y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
1
旋转双叶双曲面
绕 z 轴:
x2 y2 z2 b2 c2 1
旋转单叶双曲面
(2) yoz面上的椭圆
y2 b2
z2 c2
1
分别绕
y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
第三节 曲面及其方程-1 一、曲面方程的概念 ◆曲面的实例：水桶的表面、地球的表面等等． ◆在空间解析几何中,曲面被看成 空间点的几何轨迹． ◆曲面方程的定义：
如果曲面S与三元方程F ( x, y, z) 0有如下关系 : (1)曲面S上的点的坐标 都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标 都不满足方程,
展开 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0; 反之, 任给 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 的图形 ?
( x A)2 ( y B)2 (z C )2 1 ( A2 B2 C 2 4D),
2
2
24
若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是球面; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是一个点; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形不存在.
例2 已知A(1,2,3), B(2,1,4),求线段AB的中垂面方程. 解 设M ( x, y, z)是中垂面上的任意一点, | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32 x 22 y 12 z 42 ,
化简,得 : 2x 6 y 2z 7 0, 又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程, 所以, 上述方程即为所求的中垂面方程.
一、 Proe5.0的工作环境和基础操作
Pro/E 5.0的工作环境和基础操作一、 Pro/E野火5.0的安装、开机、使用特点1.PROE野火5.0绿色版安装方法1)解压文件到你想要安装的文件目录下，如D:\PROE5.0。
2)找出自己电脑的网卡ID，开始-运行-在运行框输入cmd-进入DOS界面-再输入getmac-回车就会出来网卡ID： XX-XX-XX-XX-XX-XX，记下来备用。
3)用记事本打开解压文件里crack文件夹里的license.dat，将里面的00-00-00-00-00-00全部替换为你自己的网卡ID（替换的具体操作为：单击记事本菜单栏上的“编辑”-“替换”，在“查找内容”里输入：00-00-00-00-00-00，在“替换为”里输入你的网卡ID：XX-XX-XX-XX-XX-XX，然后点击“全部替换”），保存后关闭。
4)先不要急着运行程序。
将crack里的如下文件做一些处理：for pro/engineer:复制"proe_WF5_Win32_crack"到\i486_nt\obj 下运行"Next > 确认> Next > 确认 > Next > 确认 > Next > 确认 > Finish > 确认"。
for pro/mechanica复制"proe_mech_WF5_Win32_#1_crack"到\mech\i486_nt\obj 下运行，click "Next > OK > Next > OK > Next > OK > Next > OK > Finish > OK"。
复制"proe_mech_WF5_Win32_#2_crack"到\mech\i486_nt\ptc 下运行，click "Start > OK"。
Creo Parametric快捷键1
PTC Creo Parametric keyboard shortcuts! $F2 翻开文件! $F3 侧面影像曲线! $F4 拨模检测! $F5 增加绘图模型! $F6 增加一般视图! $F7 增加投影视图! $F8 增加剖面视图! $F9 视图管理器! $F10 分解元件! $F11 特征操作! $F12 元件操作! F1 新建零件! F2 新建组件! F3 新建模具型腔! F4 新建NC装配! F5 新建绘图! F6 另存为DWG文件! F7 另存为STP文件! F8 另存为IGS文件! F9 另存为NEU文件! F0 另存为PDF文件! 0 草绘设置! 1 草绘参照! 2 草绘视图! 3 草绘完成! 4 草绘标注尺寸! 5 草绘参考尺寸! 61 竖直约束! 62 水平约束! 63 垂直约束! 64 相切约束! 65 中点约束! 66 重合约束! 67 对称约束! 68 相等约束! 69 平行约束! 7 过滤器为几何! 8 过滤器为面组! 9 过滤器为特征! S` 草绘文本! S1 草绘直线! S2 草绘圆! S3 草绘圆弧! S4 草绘拐角距形! S5 草绘投影! S6 草绘偏移! S7 草绘中心距形! S8 草绘同心圆! S9 草绘相切线! S0 草绘导入! D` 几何点! D1 构造点! D2 几何中心线! D3 构造中心线! D4 分割段! D5 删除段! D6 拐角修剪! D7 圆角修剪! D8 倒角修剪! D9 旋转调整大小! D0 调色板! JH 草绘镜相! JJ 特征镜相! JK 几何镜相! GD 设定当前的视图方向为DEFAULT ! GT 设定当前的视图方向为TOP! GM 设定当前的视图方向为BOTTOM ! GR 设定当前的视图方向为RIGHT! GL 设定当前的视图方向为LEFT! GF 设定当前的视图方向为FRONT! GB 设定当前的视图方向为BACK! GO 视图重定向! G1 使用默认系统颜色! G2 使用深色系统颜色! G3 使用自定义系统颜色! ` 重画! GH 隐藏线! GN 消隐! GG 着色! GY 带边着色! GC 设置旋转中心! ZA 基准平面显示开关! ZS 基准轴显示开关! ZX 基准点显示开关! ZC 坐标系显示开关! ZD 旋转中心开关! KM Creo选项! KN 模型属性! KJ 快捷键设置! KT 模型树设置! KL 切换模型树的显示! KK 显示模型树! LL 显示层树! L, 隐藏并保存图层! L. 取消隐藏图层! L; 一键隐藏基准面及坐标系! LP 层属性! LO 创立新图层并命名为PL! I8 激活插入模式! I9 取消插入模式! IU 插入UDF! IP 发布几何! IG 复制几何! IM 插入合并/继承! IF 复制自零件/模板! ID 独立几何! IO 插入偏移平面! YJ 计算器! YH 拔模增量计算工具! SD 保存并删除旧版本! EC 拭除当前! ED 拭除未显示的! EE 清理旧版本和垃圾文件! SW 设置工作目录! FN 文件重命名! FF 文件重命名(组件下选择零件) ! DA 基准平面工具! DS 基准轴工具! DX 基准点工具! DC 基准座标系工具! UJ 经过点创立曲线! UU 草绘曲线! UP 投影曲线! UI 相交曲线! ZZ 孔放置线性参照! HB 标准轮廓孔! HH 螺纹孔! H3 M3沉头孔! H4 M4沉头孔! H5 M5沉头孔! H6 M6沉头孔! H8 M8沉头孔! H10 M10沉头孔! H12 M12沉头孔! H14 M14沉头孔! H16 M16沉头孔! H18 M18沉头孔! H20 M20沉头孔! H22 M22沉头孔! H24 M24沉头孔! CX 复制曲面! CD 复制->粘贴! CF 选择性粘贴! DD 倒角! RR 倒圆角! RF 编辑定义! RD 编辑选定的特征! RG 重新生成! RE 只读特征! PP 按方向阵列! PI 按轴阵列! DR 定义草绘平面! DW 定义草绘方向为TOP! DE 定义草绘方向为BOTTOM! FC 特征创立! FX 特征复制! FV 特征复制->平移! FT 扭曲特征! FG 创立组! XC 拉伸->贯穿! XD 拉伸->反转方向! XX 拉伸->对称! XF 拉伸->到平面! XZ 拉伸->双侧到平面! CC 拉伸->选项! XV 加材料->高级! CV 去材料->高级! SV 曲面->高级! XS 加材料->扫描! CS 去材料->扫描! SS 曲面->扫描! XE 加材料->拉伸! CE 去材料->拉伸! SE 曲面->拉伸! XR 加材料->旋转! CR 去材料->旋转! SR 曲面->旋转! FD 曲面填充! FB 边界混合! SF 自由曲面! SH 加厚片体! ES 实体化! ER 移除! EX 曲面延伸! ET 曲面延伸到平面! SZ 曲面合并! ZQ 曲面合并(不用选择曲面先进入曲面合并对话框) ! SX 曲面修剪! O 偏距! TY 替换面->保存替换面组! TT 替换面->不保存替换面组! VS 绘图属性! VF 工程图标注尺寸! VD 插入默认视图! VG 绘图模型设置! VH 视图显示隐藏线! VN 视图显示消隐! - 剖面线间距减半! = 剖面线间距加倍! HY 参考零件剖面线! HJ 剖面线间距设置! HG 剖面线角度设置! VV 动态剖切! VB 截面激活! VC 截面取消激活! AS 装配零件! AX 创立零件! AD 零件按缺省装配! AQ 在单独窗口中显示装配元件! AZ 在组件窗口中显示装配元件! AW 激活选中的零件! B 翻开选中的零件! N 关闭窗口! , 隐藏! . 取消隐藏! / 全部取消隐藏! ; 遮蔽! ' 取消遮蔽! HI 遮蔽对话框! HU 取消遮蔽对话框! [ 线框显示选定的零件! ] 着色显示选定的零件! \ 透明显示选定的零件! SM 设置零件密度为1.0g/cm^3! CM 测量零件质量! CH 厚度检查! CP 塑料参谋! CQ 分型面检查! FE 查找单侧边! QQ 测量距离! QA 测量角度! Q1 测量直径! Q2 测量半径! DF 拨模! SC 按比例收缩! PL 创立分型面! PO 分型面关闭! PK 创立虎口! SQ 裙边曲面! M1 从体积块中分割出新的体积块! M2 把工件分割为两个体积块! ML 定位参照零件! MP 装配参照零件! MB 自动创立工件! MF 模具模型特征操作! MM 模具模型创立! MN 模具元件分割! MT 抽取模具元件! RU 创立流道! WA 创立水路! A1 移动! A2 偏移几何! A3 修改解析曲面! A4 编辑倒圆角! AT 替代! AC 陈列识别! AV 对称识别! AB 连接! HM 手动修复菜单! C1 间隙->自动缝合! C2 间隙->手动选取链! C3 间隙->承受! C4 编辑边界! C5 选取围线->选取全部! C6 投影边! C7 组合! C8 合并边! C9 移动顶点! C0 收缩几何! E1 新建EMX工程! E2 EMX工程分类! E3 EMX装配定义! E4 EMX元件状态! E5 EMX定义螺钉! E6 EMX定义顶杆! E7 EMX定义冷却元件! E8 EMX装配库元件! E9 EMX定义顶出限位柱! E0 EMX定义垃圾盘! QW EMX模型轮廓! W1 模型窗口! W2 模具窗口! W3 添加元件到定模! W4 添加元件到动模! WW 视图窗口! WQ 显示定模! WE 显示动模! WS 显示主视图! WX 产品最大边界盒(UDF) ! TR 替换面(UDF)! UB 创立基准符号(UDF)! UN 刻零件名称(UDF)! UR 挖带R角的框(UDF)! UK 挖带避空孔的框(UDF) ! MK 避空孔(UDF)! UH 创立水路(UDF)! UO 创立模板进出水孔(UDF) ! UL 锁紧块楔入槽(UDF)! AG 斜销固定孔(UDF)! UT 面板唧咀孔(UDF)。
UGNX曲面造型经典教程(1)
第六节自由曲面本章主要内容：自由造型特征的构建自由曲面的编辑6.1自由造型特征的构建UG不仅提供了基本的特征建模Create FormFeather模块，同时提供了自由曲面的特征建模Create Free From Feather模块和自由曲面编辑Edit Free Form Feather模块及自由曲面变换FreeForm Shape模块。
通过自由曲面的特征建模模块可以方便的生成曲面薄体或实体模型；通过自由曲面编辑模块和自由曲面变换模块可以实现对自由曲面的各种编辑修改操作。
自用造型特征包括23种特征创建方式，可以完成各种复杂曲面、片体、非规则实体的创建。
通过选择菜单命令【插入】→【自由形式特征】达到如图6-1所示的下拉菜单。
这些命令均能在如图6-2所示的自由形式特征工具条中找到。
图6-1 自由形式特征菜单条图6-2 自由形式特征工具条本节中将对各项功能分别进行讲述。
6.1.1 通过通过点和点和点和通通过极过极点构面点构面单击工具栏中的Through Points （通过点）或From Point Cloud （通过极点）将弹出同样的对话框，如图6-3所示。
由于两个命令具有不同的计算方法，对于同样的点将产生不同的形状。
图6-3 【通过点】对话框补片类型 有两个选项：Single （单一的），创建仅含一个面的片体；Multiple （多个的），创建含有多个面的片体。
沿…方向封闭 用来设置曲面是否闭合或闭合方式，其中Neither （两者都不）是指定义点或控制点的列方向与行方向都不闭合；Rows （行）、Columns （列）分别代表第一行（列）为最后一行（列）；Both （两者）指两个方向都是封闭的。
注意，在这里如果选择了后三者，最后均将生成实体。
单击OK 将弹出如图6-4所示的【选取点信息】对话框。
提供了如图所示的四种选点方式。
图6-4 【选取点信息】对话框 图6-5 完成指定定义点选项选择一种选点方式后（一般选用矩形框内连接或者点构造器），单击OK 开始选点，当选取的点符合所设置的参数要求时，系统即会显示完成设置定义点的选项，如图6-5所示。
微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式复习课
等距
A(t0 )
u, v ) (C ) r P(
B ( t1 ) ( S ) : r r (u, v )
r [u(t ), v(t )]
s AB
t0 t1
du dv du dv E 2F G dt dt dt dt dt
2.曲面上曲线的弧长
du dv du dv s E 2F G dt t0 dt dt dt dt 3.曲面上两方向的夹角
t1
2
2
cos
Eduu F (duv dvu) Gdvv Edu2 2Fdudv Gdv 2 Eu 2 2Fuv Gv 2
作业
P81：
1, 3, 4, 5, 9, 10
2.6 保角变换
定义 曲面( S )与( S )之间的一个变换， 则称这个变换 如果使曲面上对应曲线 的交角相等， 为保角变换 (或保形变换或共形变换 ). 定理 两个曲面之间的变换是 保角变换 它们第一基本形式成比 例. 2 “ ” 若第一基本形式成比例 ， 证： 则 (u, v ) 0, I I .
又 x OP cosv 2 R tanu cosv y OP sinv 2 R tanu sinv
z
u
平面的参数表示为： . P ( x, y, z ) x 2 R tanu cosv y O y 2 R tan u sin v , 易计算出： . P ( x, y,0) v . P ( x , y,0) z0 x 球面的第一基本形式为 ： I ds2 4R2 (du2 sin2 u cos2 udv2 ), 平面的第一基本形式为 ： 2 4R 2 2 2 2 2 I ds ( du sin u cos udv ), 4 cos u 1 的一个保角变换. I I . 球极投影是球面到平面 4 cos u
曲面特征一
第7页/共30页
10-8
确定材料 去除方向
步骤7：建立圆角特征： 用【创建】 /【曲面】/ 【新建】/【圆角】选项， 圆角半径为1
步骤8：以圆角曲面特征切去实体模型：依次 选取【创建】 /【实体】/【去除材料】/【使 用面组】/【实体】选项，然后选取圆角曲面 特征，确定材料移除方向，切除左边实体
注意：当零件为实体模型时，【实体】/【倒圆 角】构建出“实体”的圆角特征，而【曲面】/ 【圆角】则构建出“曲面”的圆角特征。
曲线5
曲线4 曲线3
曲线7 曲线6
曲线2
曲线1
由边界建立的曲面
步骤2：在【第一方向】选项下，选 取曲线1至曲线5作为第1个方向的曲 线；在【第二方向】选项下，选取 曲线6和曲线7作为第2个方向的曲线
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10-18
平整曲面
平整曲面
平整曲面
步骤3：将曲面的前、后、底分别建立3个平整曲面，以形成一个封 闭的曲面
步骤5 ：将曲面模型转换为实体模
型：当曲面模型围成一个封闭的区 域时，则可利用【创建】 /【实体】 /【加材料】/【使用面组】/【实体】 选项，然后选取曲面模型，系统将 封闭区域的内部填入材料，以构建 实体模型。从剖截面可以看出，该 零件已成为实体模型了
步骤6：建立圆角特征：用【创建】 /【实体】/【倒圆角】选项，圆角半 径为1
§10.1 曲面特征的基本概念
曲面的线条有下列两种颜色：
l 黄色：代表曲面的边界线，亦称为单侧边。黄色边的一侧 为此特征的曲面，另一侧即不属于此特征的曲面。
l 紫红色：代表曲面的棱线，亦称为双侧边。紫红色边的两 侧都为此特征的曲面。
棱线 （紫红色）
曲面特征的
创建常需依赖二 基准曲线 维或三维曲线作 （暗红色） 为曲面的边界曲
微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式
2.4 曲面域的面积
D
v v ) P3 (u u, v v ) ru u
P1 (u u, v ) P ( u, v ) PP 1 r ( u u, v ) r ( u, v ) ( ru 1 )u ru u. ( u 0时) PP2 r (u, v v ) r (u, v ) (rv 2 )v rv v. (v 0时) PP 1 PP 2 d ru u rv v ru rv dudv
曲纹坐标方程有关，不 需要知道曲线的形状 .
2.2 曲面上两方向的交角
( S )在点P (u, v )处的两个切方向 定义 已给曲面 称相应的切向量 (d ) du : dv和( ) u : v， dr rudu rv dv和r ruu rvv 之间的夹角 为这两个切方向 (d )和( )之间的夹角 .(0 ) 计算公式 dr r dr r cos , dr r ( ru du rv dv) ( ruu rvv ) cos 2 dr r ( ru du rv dv) ( ruu rvv ) 2
则ds Edu 2Fdudv Gdv .
2 2 2
称为曲面的第一基本形 式. 记作I .
即
其中
I Edu 2Fdudv Gdv 2 2 E ru , F ru rv , G rv
2
2
称为曲面的第一类基本 量. 对于曲面S : z z( x, y )， 有r { x, y, z( x, y)} ， z z 于是rx {1,0, p}， ry {0,1, q}， 其中p ，q ， x y 2 2 2 2 E rx 1 p , F rx ry pq, G ry 1 q .
CATIA V5R20中文版完全自学一本通
7.4.1动手操练——创建曲面印记 7.4.2动手操练——创建凸起特征 7.4.3动手操练——创建曲线印记 7.4.4动手操练——创建轮缘切除 7.4.5动手操练——创建气栅 7.4.6动手操练——创建桥接 7.4.7动手操练——创建轮缘孔 7.4.8动手操练——创建圆形印记 7.4.9动手操练——创建加强肋
03
9.3生成装 饰特征
04
9.4打印工 程图
06
9.6练习题
05
9.5本章小 结
9.1.1动手操练——基本设置 9.1.2动手操练——创建投影视图 9.1.3动手操练——创建截面视图 9.1.4动手操练——创建局部放大视图 9.1.5动手操练——创建局部视图 9.1.6动手操练——创建断开视图 9.1.7动手操练——创建模板视图 9.1.8综合演练——齿轮工程视图
7.2.1动手操练——创建等半径折弯圆角 7.2.2动手操练——创建变半径折弯圆角 7.2.3动手操练——创建折弯 7.2.4动手操练——创建展开 7.2.5动手操练——创建收合 7.2.6动手操练——创建映射
7.3.1动手操练——创建凹槽 7.3.2动手操练——创建止裂槽 7.3.3动手操练——创建圆弧切割
10.3.1动手操练——创建拉伸曲面 10.3.2动手操练——创建偏移曲面 10.3.3动手操练——创建扫掠曲面 10.3.4动手操练——创建填充曲面 10.3.5动手操练——创建多截面曲面 10.3.6动手操练——创建桥接曲面 10.3.7动手操练——创建高级曲面
10.4.1动手操练——创建曲面接合和修复 10.4.2动手操练——曲面的分割与修剪 10.4.3动手操练——提取曲面/曲线 10.4.4动手操练——创建曲面圆角 10.4.5动手操练——创建曲面转换 10.4.6动手操练——创建延伸
CATIA V5详细教程--零件设计(1)
CATIA V5教程--零件设计（1）零件设计延伸了草图设计的概念，通过草图中所建立的二维轮廓，利用零件设计所提供的功能，建立三维实体模型，并对其进行编辑修改，完成整个零件的设计。
在使用零件设计之前，必须有草图，这是零件设计的依据，即在草图设计的基础上，使用零件设计所提供的功能，使二维草图延伸为三维实体。
1.1进入零件设计（1）打开Catia，选择Start－>Mechanical Design－>Part Design；或直接在工作台上打开“Part Design”设计模块；（2）或打开Catia，选择File－>New，选择文件类型为Part。
在零件设计过程中，可能需要多次在草图与零件设计之间进行转换。
绘制完草图之后，再进入零件设计功能来构建实体。
1.2零件设计的功能零件设计为用户提供了各种从二维草图延伸到三维实体的功能，例如旋转、扫掠、拉伸等，让平面图形成为三维实体。
也可以再成形的实体上进行打孔、挖洞和倒角等工作，可以建立新的平面等。
零件设计功能大致可以分为以下几类：➢由二维草图延伸到三维实体的功能，见Sketch-Based Features工具栏➢在实体上进行再加工的功能，见Dress-Up Features工具栏➢在曲面上再加工的功能，见Surface-Based Features工具栏➢实体变换，见Transformation Features工具栏➢不同实体之间的布尔运算，见Boolean Operation工具栏➢零件的标注功能，见Annotations工具栏➢在空间建立点、线、面的功能，见Reference Element工具栏1.3Sketch－Based Features工具栏“Sketch－Based Features”工具栏（如下图所示）以二维草图轮廓曲线为基础，使用凸块Pad、旋转成形Shaft、肋Rib、加强筋Stiffener、Loft等功能，建立三维实体；又可使用减轻槽Pocket、旋转沟槽Groove、挖槽Slot、钻孔Hole、移除Loft曲面等功能，修改三维实体。
第1章 CATIA V5基础知识
3、界面组成
文件名
Since 1978
菜单 罗盘 工具栏 零件特征树
图形工作区
Sketcher 入口...
Since 1978
选择:把鼠标移动到要选择的选项上,点 左键
移动:按住中键,拖动鼠标
放大缩小:按住中键,再按一下右键,中键 不放,拖动鼠标即可 旋转:按住中键及右键拖动鼠标即可
多次选择:某些操作要多次选择时,双击 左键即可
右键弹出对话框:选择窗口中的某物件, 电击右键即可
，打开、关闭文件 ②
最近打开的文件
续。。。。。。（文件管理）
Since 1978
④ 保存文件，从File菜单中选择
，命令。或者按下快捷键Ctrl+S,或者按工具栏中的“保存”按钮。
同时可以进行另存
，全部保存
，保存管理
等保存方式。
5、三键鼠标的使用
6、特征树的操作
Since 1978
树的显示,隐藏:按F3键
移动,放大,缩小:点击右下脚的坐标或者树 干,使屏幕变暗,其它操作参照前面鼠标操 作
集的操作:插入,移动
树的展开及收拢:
查找父代、子代及快速查找功能
7、属性修改
Since 1978
我们可以修改特征或者零部件的名称、颜色、线性等属性
The End
Since 1978
HyperMesh常用操作技巧[1]
![HyperMesh常用操作技巧[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/64666b6300f69e3143323968011ca300a6c3f625.png)
HyperMesh常⽤操作技巧[1]HyperMesh常⽤操作技巧0 HyperWorks软件难点常⽤词句中英⽂对⽐Equivalenc：合并Free Edge Filler Surface：缺失曲⾯⾃缝合Circumference ：圆周Longitudinal：adj，纵向的，轴向的Proceed：vi，继续Criteria：n，标准Batchmesher：⽹格划分批处理Surface fillet midline split：曲⾯圆倒⾓中⼼线切割Min feature angel：最⼩特征⾓Element normal angel：法线⾓，⽤于控制单元间法线夹⾓的最⼤值Tetramesh：四⾯体⽹格Organize and cleanup fillets：圆倒⾓特征识别与⼏何清理0-1 HyperWorks中的常⽤难点术语1. 不完全分割⾯(Fin Faces)：指⾯上所有边界均处于同⼀个实体内，或者说是独⽴实体中的悬着⾯，默认呈现红⾊，可通过⼿动合并实体创建或使⽤内部悬着⾯创建实体的过程中创建；2. 完全分割⾯(Full Partition Faces)：指有⼀个或更多实体共享构成的边界⾯，默认呈现黄⾊，切割实体或者使⽤布尔运算合并多个实体时在共享位置或交叉位置会产⽣完全分割⾯；3. 边界⾯(Bounding Faces)：指定义单⼀实体外边界的曲⾯，默认呈现绿⾊，边界⾯是独⽴存在的并且不与其他实体所共有，⼀个独⽴的实体通常由多个边界⾯组成；4．⾃由边(Free Edges)：指被⼀个曲⾯所占⽤的边界，默认情况下显⽰红⾊。
在仅由曲⾯构成的模型中，⾃由边将出现在模型的外缘和控内壁位置；相邻曲⾯间的⾃由边表⽰这两个曲⾯之间存在间隙，使⽤automesher时会⾃动保留这些间隙特征；5 共享边(Shared Edges)：指相邻曲⾯共同拥有的边界，默认呈现绿⾊。
当两个曲⾯之间的边界是共享边，即曲⾯间没有间隙或者是重叠特征时，即他们是连续的，划分⽹格时，automesher将沿着共享边放置节点并创建连续的⽹格，它不会创建跨越共享边的独⽴单元；6. T⾏边(Non-manifold Edges)：指由3个或者3个以上的曲⾯共同拥有的边界，默认呈现黄⾊。
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• 避免使用非参数化命令构造曲面（Through Point，From Pole，From Point Cloud， Foreign四种方法为非参数化方法，尽量不使用）
•
构造曲面的曲线尽可能采用草图方法生成
•
编辑曲面时尽可能采用参数化的编辑方法，即使用Edit --- Feature --- Parameters方法 来编辑曲面，而Edit --- Free Form Feature方法均为非参数编辑方法，如果必须使用， 建议采用编辑复制体方法（Edit a Copy）
等的参数间隔方式建立。若截面线上包含直线和曲线，点的间隔方式是不同的。 1. 2. 直线：根据等弧长方式间隔点。 曲线：根据等角度方式间隔点。
对齐方式
用点对齐（Alignment By Point）：用点对齐方式用于不同形状的截面线的对齐，特别是截面线
具有尖角或有不同截面形状时，应该采用点对齐方法。该对齐方法可以使用零公差，表明点
通过曲线（Through Curve）
通过曲线方法通过一系列轮廓曲线（大致在同一方向）建立片体或实体。最多150根 曲线。
通过曲线（Through Curve）
操作步骤： 1. 2. 依次选择截面线串，选择OK确认。 选择补片类型。
3.
4. 5. 6. 7.
选择对齐方法。
对多补片可以指定V方向的阶次，是否在V方向封闭。 修改默认的公差。 若有边界实体或曲面，可以选择边界约束条件（与边界几何体相切或曲率匹配） 。 选择OK。
与点之间的精确对齐。选点时应该注意按照同一方向与次序选择，并且在所有的截面线上均 需要有相应的对应点。起点和终点系统会自动对齐。
rule
•
• •
Open file: fff_rule_2.prt
two close section--body by point align
•
•
tolerance=0
start point auto align
全息片体（Smart Sheet）：就是指全参数化、全相关曲面。
•
在UG系统中，大多数命令所构造的曲面都具有参数化的特征，在Free Form Features中称
为Smart Sheet。这类曲面的共同特点是都由曲线生成，曲面与曲线具有相关性，即当构 造曲面的曲线编辑修改后，曲面会自动更新。
全息片体（Smart Sheet）
对齐方式
距离对齐（Distance）：沿每个截面线串，在规定方向等距离间隔点，结果是所有等 参数曲线将位于正交于规定矢量的平面中。
对齐方式
角度对齐（Angle）：沿每个截面线串，绕一规定的轴线等角度间隔点 ，结果是所有等参数曲线将位于含有该轴线的平面中。
通过曲线（Through Curve）
补片类型 对齐方式 在V方向封闭 V方向阶次 公 差
第一截面线串的边界约束 最后截面线串的边界约束
方
向
通过曲线（Through Curve）
阶次与补片类型：
1. 所生成的片体或实体沿U方向（截面线方向）的阶次一般为3次。但是 如果原始截面线为高次曲线，同时公差很小，则U方向的阶次与所选 择的截面线的阶次相同。 2. 所生成的片体或实体沿V方向（垂直于截面线方向）的阶次取决于补 片类型（Patch Type）和所选择的截面线的数量： • • 如果采用单补片，系统自动计算V方向的阶次，其数值等于截面线数 量减去1。 如果采用多补片，用户可以自己定义V方向的阶次，但所选择的截面 线数量至少比V方向的阶次多一组。建议采用多补片，阶次为3次的特 征类型。
7.
8. 9.
尽可能采用修剪实体（Trim B面之间的园角过渡尽可能在实体上进行操作。 内园角半径应略大于标准刀具半径。
曲面工具条
直 纹 面（Ruled）
Open file : fff_rule_1.prt
直 纹 面（Ruled）
直纹特征为通过两条截面线串（Section String）而生成的片体或实体。
据点生成曲线，使用UG提供的各种曲面构造方法构造曲面。
•
一般来讲，对于简单曲面，可以一次完成建模。而实际产品的形状往往比较复杂 ，一般都难于一次完成。
•
对于复杂的曲面，首先应该采用曲线构造方法生成主要或大面积的片体，然后进 行曲面的过渡连接，光顺处理，曲面的编辑等方法完成整体造型。
全息片体（Smart Sheet）
对齐方式 公 差 临时栅格显示
等参数对齐 等弧长对齐
直 纹 面（Ruled）
等弧长对齐（Arclength）：构造特征时，两组截面线和等参数曲线建立连接点，这些连接 点在截面线上的分布和间隔方式是根据等弧长方式建立。
直 纹 面（Ruled）
等参数对齐（Parameter）：构造特征时，等参数曲线与截面线所形成的间隔点，是根据相
• 几何体的形成：点---线，线---面，面---体。 因此，用好曲面的基础是曲线的构造。在构造曲线时应该尽可能仔细精确，避免缺陷，如 曲线重叠、交叉、断点等，否则会造成后续加工的一系列问题。
• 好点---好线---好面。
曲面构造的一般方法
• 根据产品外形要求，首先建立用于构造曲面的边界曲线，或者根据实样测量的数
自由形状特征概述
。绝大多数实际产品的设计都离不开自由形状特征。
DESign
• 自由形状特征（free form features）是CAD模块的重要组成部分。是高端软件的重要标志
• 一般的设计过程：根据产品造型效果（或三维真实模型），进行曲面数据采样、曲线拟合、 曲面构造，生成计算机三维实体模型，最后进行编辑和修改等。
•
尽可能采用实体切割、抽空方法建模
自由形状特征应用范围
1. 2. 3. 4. 构造用标准特征方法无法创建的形状。 修剪（Trim）一个实体而获得一个特殊的形状。 将封闭的片体缝合（Sew）成一个实体。 对线框模型蒙皮。
曲面构造基本原则和技巧
1. 2. 3. 4. 5. 6. 用于构造曲面的曲线尽可能简单，曲线阶次≤3 用于构造曲面的曲线要保证光顺连续，避免产生尖角、交叉、重叠。 曲面的曲率半径尽可能大，否则会造成加工困难和复杂。 曲面阶次≤3，尽可能避免使用高次曲面。 避免构造非参数化特征。 如有测量得到的数据点，建议可先生成曲线，再利用曲线构造曲面。