圆的极坐标方程课件

O
C(a,0)
A
x
解：圆经过极点
O 。设圆与极轴的另一个
交点 O， A
是 A ，那么 OA ＝ 2 a , 设 M ( , ) 为圆上除点 以外的任意一点，那么
OM AM 。在 Rt AMO
中 OM OA cos MOA 即 ＝ 2 a cos .......... .( 1) 可以验证，点

4
)所 表 示 的
A、双曲线 C、抛物线
解：该方程可以化为
B、椭圆 D、圆
＝ cos(
4 )
1 1 以 ( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
解： ＝ cos cos

4
sin sin 2 2

4

2

2
2 2
cos
2 2 x 2 2 2 4

6
), 半 径 为 5
圆心为 ( a , )( a 0 ) 半径为 a 圆的极坐标方程为 此圆过极点 O
＝ 2 a cos( )
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是 C
A . 2 cos 4
C . 2 cos 1
B . 2 sin 4
D . 2 sin 1
题组练习1
求下列圆的极坐标方程
( １ ) 中 心 在 极 点 ， 半 径 为 2 ；
＝2
＝2acos
( ２ ) 中 心 在 Ｃ (a,0) ， 半 径 为 a ；
( ３ ) 中 心 在 (a,/2) ， 半 径 为 a ；
2
x y 5 3x 5 y 即(x
2 2
5 3 2
) (y
2
5 2
) 25
2
所 以 圆 心 为(
5 3 2
,
5 2
), 半 径 是 5
解：原式可化为
＝1 0 (co s
3 2
sin
1 2
) 1 0 co s(

6
)
所 பைடு நூலகம் 圆 心 为 (5,
( ＜ ) 2 2
O
x
圆心
极坐标方程
图形
(r,
2
)
ρ =2rsinθ (0≤θ ＜π )
O
x
(r,π )
ρ =-2rcosθ
( 2 ＜ 3 2 )
O
x
圆心
极坐标方程
图形
O
(r,
3 2
)
ρ =-2rsinθ (π ≤θ ＜2π )
x
（2）一般位置的圆的极坐标方程：
sin 即
x y
2
y 0 )
2
(x
2 4
) (y
2
1 4
4、 圆 ＝1 0 co s(

3
)的 圆 心 坐 标 是 （ C
）
2 3 )
A 、5 , 0 ) (
B 、5 , (

3
)

2
C 、5 , (

3
)
D 、5 , (
5、 写 出 圆 心 在 点 A ( 2,
若圆心为M(ρ 0,θ 0)，半径为r，则 圆的极坐标方程是ρ 22ρ 0ρ cos(θ -θ 0)+ρ
0 2-r2=0.
【即时应用】 （1）极坐标方程ρ =4sinθ （ρ ≥0，0≤θ ＜π ） 表示曲线的 中心的极坐标为_________.
（2）圆心为（2, 3 ），半径为3的圆的极坐标方
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0
有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少 有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲 线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探 究
如 图 ， 半 径 为 a的 圆 的 圆 心 坐 标 为 C ( a , 0 )( a 0 ) 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 ( , )满 足 的 条 件 吗 ？
化为直角坐标方程。
解：方程可化为 即 2 ＝ 4＋ x
2 － cos 4
两边平方得： 4 ＝ ( x 4 )
2
2
4 x 4 y x 8 x 16
2 2 2
3 x 8 x 4 y 16
2 2
所以，等式
O (0,

2
), A ( 2 a , 0 )的坐标满足等式
(1)
(1) 就是圆上任意一点的极
坐标 ( , )
满足的条件，另一方面
，可以验证，坐标适合
等式 (1)的点都在这个圆上。
极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 一点的极坐标中至少有 并且坐标适合方程 ，如果平面曲线 一个满足方程 C 上任意 f ( , ) 0 C 上，
4
程为________.
思 考 ： 已 知 一 个 圆 的 方 程 是 ＝ 5 3 co s 5 sin 求圆心坐标和半径。
解 ： ＝ 5 3 co s 5 sin 两 边 同 乘 以 得
＝ 5 3 co s － 5 sin 即 化 为 直 角 坐 标 为
M
N
O 解 ： 如 图 ， 圆 C 的 圆 心 ( 4, 0 ),
C(4,0)
半 径 r O C 4, 连 结 CM ， M 是 弦 ON的 中 点 CM ON , 所 以 ， 动 点 M 的 轨 迹 方 程 是 ＝ 4 co s
练习 把极坐标方程
＝
4 2－ cos
设 M ( , ) 为圆上任意一点，则
OM r , 即
＝ r
显然，使极点与圆心重 上比 (1) 简单。 合时的极坐标方程在形 式
小结：半径为r的圆的极坐标方程
（1）特殊位置的圆的极坐标方程：
圆心 极坐标方程 图形
（0，0）
r ρ =___ (0≤θ ＜2π )
O
x
2rcosθ ρ =_______ (r,0)
＝ 4 sin 化为直角坐标
x ( y 2) 4
2 2
＝ cos 和 ＝ sin 的两个

2
) co s(

2
)
1 2 圆 ＝ sin 的 圆 心 坐 标 是 ( , ), 所 以 圆 心 距 是 2 2 2
3、 极 坐 标 方 程 co s( 曲线是 （D ）
)处 且 过 极 点 的 圆 的
极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。
解 ： ＝ 4 co s(

2
) 4 sin
2
化 为 直 角 坐 标 系 为 ＝ 4 sin 即 x y 4 y x ( y 2) 4
2 2 2 2
6、 已 知 圆 C 1 : 2 co s , 圆 C 2 : 2 3 sin 2 0,
＝2asin
(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( -
０)= r2
题组练习2
1、曲线的极坐标方程 方程是什么？
2、极坐标方程分别是 圆的圆心距是多少？
解 ： 圆 ＝ co s 圆 心 的 坐 标 是 ( 圆 sin co s( 1 2 , 0)
f ( , ) 0的点都在曲线
那么方程 f ( , ) 0叫做曲线 C 的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M

O

r x
解：如果以圆心
O 为极点，从
O 出发的一条射线 几
为极轴建立坐标系（如 何特征就是它们的极径
图），那么圆上各点的 都等于半径 r.
2
试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角
2 2
坐标方程为
C 1 : ( x 1) y 1, 圆心 O 1 (1, 0 ) 半径为 1 C2 : x ( y
2
3 ) 1，圆心 O 2 ( 0 , 3 ) 半径为 1
2
O 1O 2 2 所以两圆相外切。
7 、 从 极 点 O 作 圆 C ： ＝ 8 co s 的 弦 O N ， 求 ON的 中 点 的 轨 迹 方 程 。