西安高新一中初中校区九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试(答案解析)

一、选择题
1．一面足够长的墙，用总长为30米的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD ，中间用栅栏隔成同样三块，若要围成的矩形面积为54平方米，设垂直于墙的边长为x 米，则x 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．3或5
D ．3或4.5 2．用配方法转化方程2210x
x +-=时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2x += B ．2(1)2x -= C ．2(2)3x += D ．2(1)3x += 3．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设1a =，则b =（ ）
A 51-
B 51+
C 53+
D 21 4．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A ．210x +=
B ．220x -=
C ．21x y +=
D ．211x x
+= 5．若m 是方程220x x c --=的一个根，设2(1)p m =-，2q c =+，则p 与q 的大小关系为（ ）
A ．p ＜q
B ．p ＝q
C ．p ＞q
D ．与c 的取值有关 6．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A ．12
B ．16
C ．l2或16
D ．15 7．一元二次方程2304y y +-
=，配方后可化为（ ） A ．21
()12y += B ．21
()12y -= C ．211()22y +=
D ．213()24y -= 8．若整数a 使得关于x 的一元二次方程()222310a x a x -++=有两个实数根，并且
使得关于y 的分式 方程32133ay y y y -+=--有整数解，则符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5 9．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．x 2+65x-350=0
B ．x 2+130x-1400=0
C ．x 2-130x-1400=0
D ．x 2-65x-350=0 10．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠1
B ．m ＝1
C ．m ≥1
D ．m ≠0 11．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（ ）
A ．0
B ．2020
C ．1
D ．-2020 12．若()()2222230x
y x
y ++--=，则22x y +的值是（ ） A ．3 B ．-1 C ．3或1 D ．3或-1 二、填空题 13．关于x 的方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根，则k =_______．
14．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则
11m n +的值为_________． 15．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______．
16．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．
17．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．
18．若()22214x y +-=，则22x y +=________．
19．已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则
a b c ++=_______．
20．为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率均为x ，可列方程．为____________．
三、解答题
21．解方程．
（1）2560x x -+=．
（2）23(21)(21)x x -=-．
（3）23139
x x x -=--． 22．定义：若关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两个实数根1x ，
()212x x x <，分别以1x ，2x 为横坐标和纵坐标得到点()12,M x x ，则称点M 为该一元二次方程的衍生点．
（1）若关于x 的一元二次方程为()22210x m x m m --+-=．
①求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M 的坐标；
②由①得到的衍生点M 在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上，求m 的取值范围．
（2）是否存在b ，c ，使得不论()0k k ≠为何值，关于x 的方程20x bx c ++=的衍生点M 始终在直线()25y kx k =+-的图象？若有，求出b ，c 的值：若没有，说明理由． 23．已知关于x 的一元二次方程22210x k x k +++=（）有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为12,x x ，当1k =时，求2212x x +的值．
24．解方程
（1）()2
21250x --= （2）()22132x x y x x y ⎧-=+⎪⎨--=⎪⎩
25．解方程：
（1）2x 2+1=3x （配方法）
（2）(2x-1)2=(3-x)2（因式分解法）
26．解下列方程：
（1）x （x －1）＝1－x
（2）(x-3) 2 = (2x-1) (x +3)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
设AD 长为x 米，四边形ABCD 是矩形，根据矩形的性质，即可求得AB 的长；根据题意可得方程x （30−4x ）＝54，解此方程即可求得x 的值．
【详解】
解：设与墙头垂直的边AD 长为x 米，四边形ABCD 是矩形，
∴BC ＝MN ＝PQ ＝x 米，
∴AB ＝30−AD−MN−PQ−BC ＝30−4x （米），
根据题意得：x （30−4x ）＝54，
解得：x ＝3或x ＝4.5，
∴AD 的长为3或4.5米.
故选：D ．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用中的围墙问题，正确列出一元二次方程，并注意解要符合实际意义．
2．A
解析：A
【分析】
方程两边都加上一次项系数的一半，利用完全平方公式进行转化，即可得到答案．
【详解】
解：2210x x +-=
2212x x ++=
∴2(1)2x +=，
故选：A ．
【点睛】
此题考查一元二次方程的配方法，掌握配方法是计算方法是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据上图可知正方形的边长为a+b ，下图长方形的长为a+b+b ，宽为b ，并且它们的面积相等，由此可列出（a+b ）2=b(a+b+b)，解方程即可求得结论．
【详解】
解：根据题意得：正方形的边长为a+b ，长方形的长为a+b+b ，宽为b ，
则（a+b ）2=b(a+b+b)，即a 2﹣b 2+ab=0，
∴2)10a a b b +
-=（，
解得：
a b =， ∵
a b ＞0，
∴a b =，
∴当a=1时，1
2b =
=， 故选：B ．
【点睛】 本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键．
4．B
解析：B
【分析】
直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【详解】
解：A.210x +=，是一元一次方程，故本选项不符合题意．
B.220x -=，是一元二次方程，故本选项符合题意．
C.21x y +=，是二元二次方程，故本选项不符合题意．
D.
211x x
+=，该方程分式方程，故本选项不符合题意． 故选B ．
【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
5．A
解析：A
【分析】
结合m 是方程220x x c --=的一个根，计算p-q 的值即可解决问题．
【详解】
解：∵m 是方程220x x c --=的一个根，
∴220m m c --=
∵2(1)p m =-，2q c =+，
∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-，
∴p ＜q
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．
【详解】
解：∵x2-8x+15=0，
∴（x-3）（x-5）=0，
则x-3=0或x-5=0，
解得x1=3，x2=5，
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；
②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，
所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得．
【详解】
解：∵23
0 4
y y
+-=，
∴y2+y=3
4
，
则y2+y+1
4
=
3
4
+
1
4
，
即（y+1
2
）2=1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
8．B
解析：B
【分析】
对于关于x 的一元二次方程()2
210a x -+=有两个实数根，利用判别式的意
义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4（a-2）≥0，解不等式组得到整数a 为：-1，
0，1，3，4，5；接着解分式方程得到y=
61a -，而y≠3，则61
a -≠3，解得a≠3，从而得到当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，然后求符合条件的所有a 的个数．
【详解】
解：∵整数a 使得关于x 的一元二次方程()2
210a x -+=有两个实数根， ∴a-2≠0且2a+3≥0且△=
2-4（a-2）≥0， ∴31122
a -≤≤且a≠2， ∴整数a 为：-1，0，1，3，4，5；
去分母得3-ay+3-y=-2y ，
解得y=61
a -， 而y≠3，则
61a -≠3，解得a≠3， 当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，
∴符合条件的所有a 的个数是3．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
9．A
解析：A
【分析】
本题可设长为（80+2x ），宽为（50+2x ），再根据面积公式列出方程，化简即可．
【详解】
解：依题意得：（80+2x ）（50+2x ）=5400，
即4000+260x+4x 2=5400，
化简为：4x 2+260x-1400=0，
即x 2+65x-350=0．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．
10．A
解析：A
【分析】
根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：m ﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
11．A
解析：A
【分析】
将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案．
【详解】
解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b
∴2202030a a +-=，即220302a a =-
∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab
∵ab=-3
∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消部分式子是解决本题的关键．
12．A
解析：A
【分析】
用22a x y =+，解出关于a 的方程，取正值即为22x y +的值是．
【详解】
解：令22a x y =+，
则(2)30a a --=，
即2230a a --=，
即(3)(1)0a a ，
解得13a =，21a =-，
又因为220a x y =+>，所以3a =
故22x y +的值是3，
故选：A ．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意22
0a x y =+>． 二、填空题
13．-1【分析】根据方程有两个相等的实数根可得判别式△=0可得关于k 的一元二次方程解方程求出k 值即可得答案【详解】∵方程有两个相等的实数根∴解得：k1=k2=-1故答案为：-1【点睛】此题主要考查了根的
解析：-1
【分析】
根据方程()2
10x k x x -++=有两个相等的实数根可得判别式△=0，可得关于k 的一元二次方程，解方程求出k 值即可得答案．
【详解】
∵方程()22
1(1)0x k x x x k x k -++=---=有两个相等的实数根， ∴()2
140k k =-+=， 解得：k 1=k 2=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），根的判别式△=b 2-4ac ，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；熟练掌握相关知识是解题关键．
14．；【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1mn=-2将其代入中即可求出结论【详解】解：∵方程x2+x ﹣2＝0的两个根分别为mn ∴m+n ＝﹣1mn ＝﹣2故答案为：【点睛】本题考查了根与系数的关系牢 解析：12
； 【分析】
根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入
11n m m n mn
++=中即可求出结论． 【详解】
解：∵方程x 2+x ﹣2＝0的两个根分别为m ，n ，
∴m +n ＝﹣1，mn ＝﹣2， 111122
n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-． 故答案为：
12 ． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a
是解题的关键． 15．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】
解析：2
【分析】
先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．
【详解】
解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，
∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，
∴x 1+x 2=2．
故答案为：2．
【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a
-是解题的关键． 16．729【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人根据经过两轮传染后共有81人患了流感可求出x 进而求出第三轮过后共有多少人感染【详解】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x 人由题意可列得解得（舍去）即每轮传 解析：729
【分析】
设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，可求出x ，进而求出第三轮过后，共有多少人感染．
【详解】
设每轮传染中平均每个人传染的人数为x 人，
由题意可列得，()1181x x x +++=，
解得18x =，210x =-（舍去），
即每轮传染中平均每个人传染的人数为8人，
经过三轮传染后患上流感的人数为：81881729+⨯=（人）.
故答案为：729.
【点睛】
本题考查理解题意的能力，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人，然后求出三轮过后，共有多少人患病．
17．10【分析】设共有x 个队参加比赛根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：设共有x 个队参加比赛根据题意得：2×x （x-1）=90整理得：x2
解析：10．
【分析】
设共有x 个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设共有x 个队参加比赛，
根据题意得：2×12
x （x-1）=90， 整理得：x 2-x-90=0，
解得：x=10或x=-9（舍去）．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x 的一元二次方程是解题的关键．
18．3【分析】根据题意将两边开方即可分情况得出的值【详解】解：两边开方得或故答案为：3【点睛】本题考查开方运算熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键
解析：3
【分析】
根据题意将()2221
4x y +-=两边开方，即可分情况得出22x y +的值．
【详解】
解：两边开方得2212x y +-=±， 223x y ∴+=或221x y +=-，
220x y +≥，
223x y ∴+=．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查开方运算，熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键．
19．3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项可以通过配方法得到三个平方数的和为0然后根据非负数的性质可以得到abc 的值从而求得a+b+c 的值【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：即∴∴a=
解析：3
【分析】
题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．
【详解】
解：题中三个等式左右两边分别相加可得：
2222267117a b b c c a ++-+-=--，
即222226110a b b c c a ++-+-+=，
∴()()()222
3110a b c -+++-=， ∴a=3,b=-1,c=1，
∴a+b+c=3-1+1=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键． 20．48(1-x)2=30【分析】本题的等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=30由此即可求解【详解】解：设平均每次降价的百分率为x 则第一次降价后的价格为48(1-x)第二次降
解析：48(1-x)2=30
【分析】
本题的等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=30，由此即可求解．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为x ，则第一次降价后的价格为48(1-x)，第二次降价后的价格为48(1-x)(1-x)，
由题意，可列方程为：48(1-x)2=30．
故答案为：48(1-x)2=30．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．
三、解答题
21．（1）12x =，23x =；（2）112
x =
，22x =；（3）2x =- 【分析】
（1）利用因式分解法解方程，即可得到答案；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程，即可得到答案；
（3）先把分式方程化为整式方程，然后解方程即可得到答案．
【详解】
解：（1）2560x x -+=，
(2)(3)0x x --=，
∴12x =，23x =，
∴原方程的解为：12x =，23x =．
（2）23(21)(21)x x -=-，
∴2(21)3(21)0x x ---=，
∴(21)(213)0x x ---=，
∴(21)(24)0x x --=， ∴112
x =，22x =． ∴原方程的解为：112x =
，22x =． （3）23139
x x x -=--， ∴2(3)39x x x +-=-，
∴22339x x x +-=-，
∴36x =-，
∴2x =-，
经检验：2x =-为原方程的解，
∴原方程的解为2x =-．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法，注意解分式方程时组要检验．
22．（1）①见解析，()1,M m m -；②12m ≤≤；（2）存在，12b =-，20c =
【分析】
（1）①根据根的判别式和衍生点的定义，即可得出结论；
②先确定点出点M 在在直线y=x+1上，借助图象即可得出结论；
（2）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．
【详解】
解：（1）①()22210x m x m m --+-=，
∵()()
2221410m m m ⎡⎤∆=----=>⎣⎦， ∴不论x 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
()22210x m x m m --+-=，
解得：11x m =-，2x m =，
方程()22210x m x m m --+-=的衍生点为()1,M m m -．
②由①得，()1,M m m -，
令1-=m x ，m y =，∴1y x =+，
∴点M 在在直线1y x =+上，与y 轴交于A 点，
当x=0时，y=1，
∴()0,1A ，
∵直线1l ：3y x =-+与直线1y x =+交于B 点，
解31y x y x =-+⎧⎨=+⎩
， 解得12x y =⎧⎨=⎩
， ∴()1,2B ，
∵点M 的在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上
∴12m ≤≤；
（2）存在．直线()()25210y kx k k x =+-=-+，过定点()2,10M ，
∴20x bx c ++=两个根为12x =，210x =，
∴210b +=-，210c ⨯=，∴12b =-，20c =．
【点睛】
本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
23．（1）14
k >-
；（2）7 【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可求解．
【详解】
（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴()2
221410k k +-⨯⨯>， 解得14
k >-； （2）当1k =时，原方程为2310x x ++=，
∵1x ，2x 是方程的根，
∴123x x +=-，121=x x ，
∴()2
2212121227x x x x x x +=+-=． 【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及韦达定理，熟练掌握一元二次方程根的判别式及韦达定理是解题的关键．
24．（1）123,2x x ==-；（2）51x y =⎧⎨
=⎩
【分析】
（1）方程移项后，运用直接开平方法求解即可；
（2）方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】
解：（1）()221250x --= ()22125x -=
215x -=或215x -=-
∴123,2x x ==-；
（2）()22132x x y x x y ⎧-=+⎪⎨--=⎪⎩
①② 由①得：4x y =+③，
把③代入②可得：
1342
x y y -+-=， 5x =，
∴1y =，
∴方程组的解为51x y =⎧⎨
=⎩
． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．同时还考查了二元一次方程组的解法．
25．（1）11x =，212x =
；（2）12x =-，243x = 【分析】
（1）首先把方程移项变形为2x 2-3x=-1的形式，二次项系数化为1，再进行配方即可; （2）根据平方差公式可以解答此方程．
【详解】
（1）解：移项，得2x 2-3x=-1
二次项系数化为1，得x 2-
32x =12- 配方，得x 2-32x +2
34⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12-+234⎛⎫ ⎪⎝⎭
231416x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ 解得11x =，212
x =． （2）解：原方程化为： ()()222130x x ---=
()()2132130x x x x -+---+=
()()2340x x +-=
20x +=或340x -=
解得 12x =-，243
x =
． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程-因式分解法（公式法），配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
26．（1）12x 1x -1==，；（2）12x 12x 1=-=，．
【分析】
（1）根据因式分解法，可得答案；
（2）根据因式分解法，可得答案．
【详解】
解：（1）x （x －1）＝1－x
方程整理，得，x （x ﹣1）+（x ﹣1）＝0，
因式分解，得，（x ﹣1）（x +1）＝0
于是，得，x ﹣1＝0或x +1＝0，
解得x 1＝1，x 2＝﹣1；
（2）(x-3) 2 = (2x-1) (x +3)
方程整理，得，x2+11x﹣12＝0
因式分解，得，（x+12）（x﹣1）＝0
于是，得，x+12＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣12，x2＝1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．。