圆锥曲线中的焦点三角形
圆锥曲线焦点三角形的三大问题(解析版)
圆锥曲线焦点三角形的三大问题一、焦点三角形定义：椭圆与双曲线有对称中心，称为有心圆锥曲线.有心圆锥曲线上一点与两焦点构成的三角形叫做有心圆锥曲线的焦点三角形.其中我们把椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的等腰三角形称之为椭圆的特征焦点三角形1.焦点三角形的角度与离心率问题离心率是椭圆的一个非常重要的定型的量，椭圆的离心率与焦点三角形中的某些量存在关系：图1图2图3图4结论1：如图1，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21PF F ∠的角平分线交x 轴于点M ，则椭圆的离心率2211PF MF PF MF e ==证明：由角平分线定理及和比定理得==2211PF MF PF MF e ac PF PF MF MF ==++222121结论2：如图2，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，I 为21F PF ∆的内心，PI 的延长线交x 轴于点M ，则椭圆的离心率IPIM e =证明：在M PF 1∆和M PF 2∆中由角平分线定理的2211,PF MF IPIM PF MF IPIM ==所以e acPF PF MF MF PF MF PF MF IPIM ==++===2221212211结论3：如图3，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e 证明：由正弦定理可知βαβαsin sin )sin(222121++=+==PF PF F F a c e 结论4：如图4，设21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点P 是双曲线上不同于左右顶点的任意一点，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则双曲线的离心率βαβαsin sin )sin(-+=e 证明：由正弦定理可知βαβαsin sin )sin(222121-+=-==PF PF F F a c e 结论5：如图5，设21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21PF F ∠的外角平分线交x 轴于点M ，α=∠2MPF ，β=∠2PMF ，则椭圆的离心率βαcos cos =e 证明：由正弦定理得βαβαααβαβααcos cos cos sin 2cos sin 2)sin()sin(2sin 222121==-++=+==PF PF F F a c e 结论6：圆锥曲线中，过焦点F 且不垂直于坐标轴的弦为AB ，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R ，则ABFR e 2=证明：设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，则02122)(2ex a x x e a AB +=++=由点差法（过程略）得02022200y a x b k a b x y k k k AB AB OMAB -=⇒-=⋅=所以AB 的中垂线：)(002020x x x b y a y y -=-，令0=y 得022020x e ax b x x R =-=，所以c x e c x FR R +=+=02，所以222002eex a c x e AB FR=++=，所以ABFR e 2=典例分析例1.设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，以21F F 为直径的圆与椭圆交于点P ，且=∠12F PF 215F PF ∠，则椭圆的离心率为（）A.22B.23 C.32 D.36解析：由题意01202102175,15,90=∠=∠=∠F PF F PF PF F 所以3662426426175sin 15sin 90sin 000==++-=+=e ，故选D 例2.已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，若椭圆上存在点P 使21PF PF ⊥，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.)1,55[B.)1,22[C.]55,0( D.]22,0(解析：要使存在点P 使得21PF PF ⊥，只需当点P 在短轴端点时021902≥=∠θPF F 所以22sin ≥=θe ，所以122<≤e ，故选B 例3.已知椭圆192522=+y x 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有共同焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且321π=∠PF F ，则双曲线的离心率为解法1：由题意知椭圆的离心率541=e ，又1434116cos 6sin 2221222212=+⇒=+e e e e ππ所以131341436425222=⇒=+e e 解法2：由题意知4=c ，由330cot 30tan 92221=⇒==b b S F PF ，所以13222=-=b c a所以13134134===a c e 例4.（2022·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，从2F 发出的光线经过图2中的B A ,两点反射后，分别经过点C 和D ，且53cos -=∠BAC ，BD AB ⊥，则E 的离心率为（）A.25 B.317 C.210 D.5解析：由题意知53cos 1=∠BAF ，AB B F ⊥1，可设4,3,511===BF AB AF ，由双曲线定义知3264434511=⇒=⇒=-+=-+a a a AB BF AF 所以1,222==BF AF ，由勾股定理得172=c ，所以==a c e 22317，故选B 例5.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线右支上存在点P 使得1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则离心率的取值范围为（）A.)12,0(-B.)1,12(- C.)12,1(+ D.),12(+∞+解析：由正弦定理及1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠得a c a PF a a c PF c PF a -=⇒-==221222又a c PF ->2，所以a c ac a ->-221221+<<-⇒e ，又1>e ，所以121+<<r 故选C例6.（2022·河南开封·高二期末）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点M 是C 上点（不在坐标轴上），点N 是2OF 的中点，若MN 平分21MF F ∠，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A.)1,21( B.)21,0( C.)1,31( D.)31,0(解析：由角平分线定理得321232121===c c MF MF PF PF ，又a PF PF 221=+，所以a PF 212=又c a PF c a +<<-2，所以2121>⇒+<<-e c a a c a ，又1<e ，所以121<<e ，选A二、焦点三角形面积公式及其应用有心圆锥曲线（椭圆、双曲线）上一点与有心圆锥曲线的两个焦点构成的三角形，称为有心圆锥曲线的焦点三角形．接下来利用圆锥曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识推导焦点三角形的面积公式，并举例说明其应用结论7：椭圆的焦点三角形面积公式：设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点为21,F F ，点),(00y x P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为r c a b y c PF PF S F PF )(2tan sin 21202121+====∆θθ（其中r 为21F PF ∆的内切圆半径）证明：略结论8：双曲线焦点三角形面积公式：设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，点),(00y x P 为双曲线上不同于左右顶点的任意一点，θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2cot sin 21202121θθb y c PF PF S F PF ===∆证明：略典型例题例1.设P 为椭圆16410022=+y x 上一点，21,F F 是其左右焦点，若321π=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为解析：33646tan6421==∆πF PF S 例2.已知双曲线116922=-y x 的左、右集点分别为21,F F ，若双曲线上点P 使02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积是（）A.12B.16C.24D.32解析：1645cot 16021==∆F PF S ，故选B例3.（2020新课标Ⅰ）设21,F F 是双曲线C ：1322=-y x 的两个焦点，O 坐标原点，点P在C 上且2=OP ，则21F PF ∆的面积为（）A.27 B.3C.25 D.2解析：由题意知221===OP OF OF ，所以02190=∠PF F ，所以345cot 3021==∆F PF S 故选B例4.（2022城厢区校级期中）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P是椭圆C 上的一点，若321π=∠PF F ，且21F PF ∆的面积为33，则=b （）A.2B.3C.6D.9解析：9336tan2221=⇒==∆b b S F PF π3=⇒b ，故选B 例5.（2022连城县校级期中）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P是椭圆C 上的一点，3221π=∠PF F ，若21F PF ∆的面积为39，则=b （）A.9B.3C.4D.8解析：9393tan2221=⇒==∆b b S F PF π3=⇒b ，故选B 例6.（2020·新课标Ⅲ）设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为5，P 是C 上的一点，且21PF PF ⊥，若21F PF ∆的面积为4，则=a （）A.1B.2C.4D.8解析：由2445cot 0221=⇒==∆b b S F PF ，又1541)(122=⇒=+=+=a a ab e ，故选A 例7.（2022·安徽省亳州市第一中学高月考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过原点的直线与双曲线交于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为22a ，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.5解析：连接11,BF AF ，易知BF AF 1为平行四边形，又090=∠AFB ，所以0190=∠AF F 所以2245cot 22221=⇒==∆ab a b S FAF ，所以5)(12=+=a b e ，故选D例8.（2022·吉林吉林·高三期末）已知P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一动点，21,F F 是椭圆的左、右焦点，当321π=∠PF F 时，3421=∆F PF S ，当线段1PF 的中点落到y 轴上时，34tan 21=∠PF F ，则点P 运动过程中，2111PF PF +的取值范围是（）A.]32,21[ B.]32,158(C.158,21[ D.)32,21[解析：由12346tan2221=⇒==∆b b S F PF π，当线段1PF 的中点落到y 轴上时，x PF ⊥2轴，所以a b PF 22=，所以342tan 222121===∠b ac PF F F PF F 8=⇒ac ，又2212c a +=所以162=a ，所以21212121811PF PF PF PF PF PF PF PF =+=+，而]6,2[1∈PF ，所以]16,12[16)4()8(211121∈+--=-=PF PF PF PF PF ，所以∈=+2121811PF PF PF PF 32,21[，故选A例9.已知点F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，P 为C 右支上一点.以C 的实轴为直径的圆与线段PF 交于B A ,两点，且B A ,是线段PF 的三等分点，则C 的渐近线方程为（）A.x y 31±= B.x y 526±= C.x y 1225±= D.x y 597±=解析：设AB 的中点为M ，t BM AM ==，则t PB A F 21==，22t a OM -=所以2222t a PF -=，21PF PF ⊥，所以a t a t PF PF 2262221=--=-a t 53=⇒由勾股定理得2597257292222222212=⇒+=-+=+=e a a t a t OM M F c 又5262597)(122=⇒=+=a b abe ，故选B 三、焦点三角形内切圆的性质在圆锥曲线的考查中，焦点三角形是考查椭圆与双曲线第一定义的良好载体．焦点三角形结合圆，这样的试题难度一定不会小，往往还涉及中位线、角平分线、中垂线、相似等平面几何的知识．接下来归纳椭圆、双曲线焦点三角形内切圆的相关性质，并作进一步的引申和推广椭圆的焦点三角形指的是椭圆上一点与椭圆的两个焦点所连接成的三角形．椭圆的焦点三角形问题，可以将椭圆定义和性质、三角形的几何性质以及解三角形等进行有机结合．圆是平面几何中非常重要的研究对象，焦点三角形的内切圆问题对于问题转化能力、几何性质的应用能力、数形结合能力提出了更高维度的要求，是解析几何综合问题重点考察内容之一下面先看椭圆焦点三角形内切圆的三个性质：如图1，设21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点P 是椭圆上不同于左右顶点的任意一点，21F PF ∆的内切圆圆心为),(I I y x I ，且圆I 与21F PF ∆三边相切于点H E D ,,，设),(00y x P ，则有如下性质：性质1：ca PE PD -==证明：由切线长定理得PE PD =，H F D F 11=，EF PE 2=ca H F H F E F PE D F PD c a F F PF PF 222221212121-=--+++⇒-=-+所以ca PE PD -==性质2：0ex x I =，eey y I +=10，其中e 的椭圆的离心率证法1：⇒-=+-+⇒-==-c a c x ex a c a PD H F PF I )(0110ex x I =eeyc a cy y y c a y c S I I F PF +=+=⇒+==∆1)(00021证法2：设),(00y x P ，则0101,ex a PF ex a PF -=+=由内心的坐标公式得000022)()()(2ex c a c ex a c ex a cx x I =+-⨯-+⨯++=，eeyc a cy y I +=+=122200性质3：椭圆焦点三角形21F PF ∆的旁切圆与x 轴相切于顶点（当点P 点位于y 轴左侧时，切于左顶点，当点P 点位于y 轴右侧时，切于右顶点）证明：设旁切圆与x 轴切于点T ，则由切线长定理得PN PM =，T F N F 22=，TF M F 11=所以TF F F PM PF T F M F 221111+=+⇒=TF c PN PF a 2222+=+-⇒=-⇒N F a 22T F c 22+c a N F T F -==⇒22，所以点T 的横坐标为a ，所以T 为右顶点，即21F PF ∆的旁切圆与x 轴相切于顶点双曲线焦点三角形内切圆的重要性质性质1：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点P 是双曲线上不同于左右顶点的任何一点，则21F PF ∆的内切圆与x 轴切于双曲线的顶点（当点P 在双曲线的右支上时，切点为右顶点，当点P 在双曲线的左支上时，切点为左顶点）证明：由切线长定理得C F A F B F A F PC PB 2211,,===所以a A F A F B F PB C F PC PF PF 2211221=-=--+=-又cA F A F 221=+两式相加得c a A F +=2，所以c a OA O F +=+2，所以a OA =，所以点A 是双曲线的右顶点性质2：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，点),(00y x P 是双曲线上不同于左右顶点的任何一点，),(I I y x I 是21F PF ∆的内切圆圆心为，且圆I 与21F PF ∆的三边切于点H E D ,,，则c a H F D F +==11，a x I =证明：由性质1可知内切圆与x 轴切于右顶点，所以a x I =由切线长定理得ca H F D F +==11性质3：已知21,F F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，过右焦点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线于B A ,两点，若2121,F BF F AF ∆∆的内切圆圆心为21,I I ，半径分别为21,r r ，则（1）21,I I 在直线a x =上；（2）221)(a c r r -=；（3）2cot 221θ=r r 证明：由性质1可知21,I I 在直线a x =上因为21,I I 分别为2121,F BF F AF ∆∆的内心，所以2212,I F I F 分别平分1212,F BF F AF ∠∠，所以022190=∠I F I 所以2122θ=∠F F I ，221θ=∠F HI ，又a c H F -=2所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2cot )(2tan )(2cot )(22122121θθθr r a c r r a c r a c r 从以上性质的证明过程中可以看出，这些性质的背后隐含着椭圆的定义、双曲线的定义、内切圆的定义、三角形全等、切线长定理、中位线定理等基础知识；性质的证明需要具有一定的数学抽象、逻辑推理与数学运算能力，可以考查学生对应核心素养维度的发展水平．另外证明过程中用到了数形结合、转化与化归、类比等数学思想方法．这些都是学生应该掌握的基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验，说明该考点不超纲，可以作为命题的出发点典型例题（一）定值问题例1.已知椭圆1162522=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上异于长轴端点的动点，21F PF ∆的内心为I =PF PI 解析：设21F PF ∆内切圆切2PF 于M ，则=PF PI 235=-=-=c a PM 例2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上不同于左右顶点任意一点，点G I ,分别为21F PF ∆的内心、重心．当IG 恒与x 轴垂直时，椭圆的离心率是解析：设点),(00y x P ，则)3,3(00y x G ，)1,(00e ey ex I +，因为当IG 恒与x 轴垂直，所以300xex =解得31=e 注：若IG 恒与y 轴垂直，则3100y e ey =+，解得21=e 例3.已知椭圆1162522=+y x 左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上一点，21F PF ∆的内心为I ，若内切圆半径为1，则=PI 解析：由题知53=e ，设),(00y x P ，则381831000=⇒==+y y e ey ，代入椭圆方程得3550=x 即点)38,355(P ，所以50==ex x I ，即)1,5(I ，所以=PI 22)138()5355(-+-5=（二）轨迹问题例4.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上不同于左右顶点的动点，21F PF ∆的内心为I ，则点I 的轨迹方程为解析：设点),(),,(00y x P y x I ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==y c c a y x ca x e ey y ex x 00001，因为点P 在椭圆上，所以1)(1)(22222222222222=++⇒=++bc y c a c x b c y c a a c x a ，所以点I 的轨迹方程为1)(222222=++b c y c a c x )0(≠y 例5.双曲线191622=-y x 的左、右焦点分别21,F F ，P 为双曲线右支上的点，21F PF ∆内切圆与x 轴相切于点C ，则圆心I 到y 轴的距离为（）A.1B.2C.3D.4解析：因为4==a x I ，所以圆心I 到y 轴的距离为4，故选D例6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，则点B 的轨迹是（）A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线解析：延长B F 2交1PF 于点M ，因为PI 平分21PF F ∠的角平分线，所以2PF PM =又a PF PF 221=-，所以a MF 21=，又B 为2MF 的中点，O 为21F F 的中点，所以a MF OB ==121，所以点B 的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆，故选B 例7.已知)5,22(P 在双曲线14222=-by x 上，其左、右焦点分别为21,F F ，21F PF ∆的内切圆切x 轴于点M ，则2MF MP ⋅的值为（）A.122- B.122+ C.222- D.222+解析：将)5,22(P 代入双曲线方程得5=b ，所以3=c ，)0,3(2F ，21F PF ∆的内切圆切x 轴于点M ，所以M 为双曲线的右顶点，所以)0,2(M ，所以)5,222(-=MP ，)0,1(2=MF ，所以=⋅2MF MP 222-，故选C例8.点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为左、右焦点，21F PF ∆的内切圆与x 轴相切于点N ，若点N 为线段2OF 中点，则双曲线离心率为（）A.12+ B.2C.2D.3解析：易知点N 为右顶点，又点N 为线段2OF 中点，所以22=⇒=e a c ，故选B 提升训练1.已知21,F F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，P 是以21F F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，则这个椭圆的离心率为（）A.13- B.13+ C.213- D.213+解析：易知02190=∠PF F ，又12212F PF F PF ∠=∠，所以01202130,60=∠=∠F PF F PF 所以1330sin 60sin 90sin 000-=+=e ，故选A2.（2022·重庆一中高一期末）已知B A ,为椭圆E 的左，右焦点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为0120，则E 的离心率为（）A.23 B.36 C.23或36 D.23或313-解析：若0120=∠AMB ，则2360sin 0==e 若0120=∠ABM ，则c MA c MB 32,2==，所以213322222-=+==c c c a c e 故选D3.（2022·贵州遵义·高二期末）椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 左右焦点分别为21,F F ，P为C 上除左右端点外一点，若21cos 21=∠F PF ，31cos 12=∠F PF ，则椭圆C 的离心率为A.634- B.7325- C.5337- D.5627-解析：由21cos 21=∠F PF ，31cos 12=∠F PF 得23sin 21=∠F PF ，322sin 12=∠F PF 所以6223322213123)sin(sin 122121+=⨯+⨯=∠+∠=∠F PF F PF PF F 所以5627322236223sin sin sin 122121-=++=∠+∠∠=F PF F PF PF F e ，故选D4.（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为A.34 B.334 C.4D.364解析：因为130cos 30sin 22022102=+e e 即4312221=+e e ，所以由柯西不等式得31643431311()33111(11(2221221221=⨯=++≤⋅+⋅=+e e e e e e ⇒3341121≤+e e ，故选B 5.（2022·四川成都·模拟预测）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，右顶点为B ，点A 在椭圆上，满足022160=∠=∠ABF AF F ，则椭圆的离心率为（）A.23 B.313- C.332- D.13-解析：因为221ABF AF F ∠=∠，所以21AF F ∆∽BA F 1∆，所以=⇒=2112111AF AF F F BF AF )(2121c a c BF F F +=⋅，所以)(21c a c AF +=，所以)(222c a c a AF +-=所以02030tan 60sin ))(22()(22121b c a c a c a c S F PF =⨯+-⨯+⨯=∆)1(4))1(2)1(22(3)(33))(2)(22(43222e e e e e c a c a c c a c a -=+-+⇒-=+-+⇒0410523=+-+⇒e e e 0)46)(1(2=-+-⇒e e e =⇒e 313-，故选B6.（2022·江西上饶·高二期末）已知21,F F 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点，P 为C 上一点，且02160=∠PF F ，213PF PF =，则C 的离心率为（）A.22 B.621 C.47 D.32解析：因为213PF PF =，又a PF PF 221=+，所以2,2321a PF a PF ==所以16930tan 60sin 223212202021=⇒=⨯⨯⨯=∆a b b a a S F PF ，所以47)(12=-=a b e ，故选C 7.（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ，2BF 的延长线交C 于Q ，Q F BQ 1=，则C 的离心率=e （）A.21 B.32 C.22 D.33解析：不妨设221===a BF BF ，t QF =2，θ221=∠BF F ，则t QF -=41，又Q F BQ 1=，所以12242=⇒=-=t t BF ，所以31==QF BQ ，所以312cos =θ所以33sin 31sin 212=⇒=-θθ，所以==θsin e 33，故选D 8.已知椭圆1422=+y x 上一动点P 到两个焦点21,F F 的距离之积取最大值时，21F PF ∆的面积为（）A.1B.3C.2D.32解析：4)2(22121=+≤⋅PF PF PF PF ，当且仅当21PF PF =即点P 为短轴端点时等号成立，此时321==∆bc S F PF ，故选B9.已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则=21PF PF （）A.2B.4C.6D.8解法1：434330cot 60sin 2121210202121=⋅⇒=⋅⇒=⋅=∆PF PF PF PF b PF PF S F PF ，选B 解法2：4211260cos 120221=-=-=b PF PF ，故选B 10.（2019·新课标Ⅲ）已知F 是双曲线C ：15422=-y x 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若OF OP =，则OPF ∆的面积为（）A.23B.25 C.27 D.29解析：OF OP =，所以02190=∠PF F ，所以2545cot 52121021=⨯⨯==∆∆F PF OPF S S ，选B 11.设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为（）A.5B.2C.25 D.1解析：145cot 0221==∆b S F PF ，故选D12.已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则P 到x 轴的距离为（）A.23 B.26 C.3 D.6解析：26230cot 100021=⇒⨯=⨯=∆y y S F PF ，故选B13.（2022攀枝花市第十五中学校高二期中（理））设21,F F 为椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在此椭圆上，且221-=⋅PF PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.1B.2C.3D.2解析：设θ=∠21PF F ，则21cos 2cos cos 12cos 221-=⇒-=+==⋅θθθθb PF PF 0120=⇒θ，所以36tan 12tan0221=⨯==∆θb S F PF ，故选C 14.双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x轴的距离为解析：516545cot 0221=⇒⨯==∆P P F PF y y b S ，所以点P 到x 轴的距离为51615.如图，21,F F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2OPF ∆是面积为3的正三角形，则=2b 解析：由题意知02190=∠PF F 且3221=∆F PF S ，所以323245tan 22=⇒=b b 16.已知点P 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一点，21,F F 为椭圆的左、右焦点，若21PF F ∠060=，且21F PF ∆的面积为243a ，则椭圆的离心率是解析：434330tan 2220221=⇒==∆a b a b S F PF ，所以21)(12=-=a b e 17.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点O 为双曲线的中心，点P 在双曲线右支上，21F PF ∆内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则下列结论成立的是（）A.OBOA > B.OBOA < C.OBOA = D.OB OA ,大小关系不确定解析：延长B F 2交1PF 于点M ，因为PQ 平分21PF F ∠的角平分线，所以2PF PM =又a PF PF 221=-，所以a MF 21=，又B 为2MF 的中点，O 为21F F 的中点，所以a MF OB ==121，而A 为双曲线的顶点，所以a OA =，所以OB OA =，故选C 18.已知点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上除顶点外的一点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，,,1221βα=∠=∠F PF F PF ，双曲线离心率为e ，则=2tan2tanβα（）A.11+-e e B.11-+e e C.1122-+e e D.1122+-e e 解法1：2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 2cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 22cos 2sin2sin sin )sin(βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+-=-+=-+++=-+=e 2tan 2tan 2tan 2tan βαβα+-=⇒=2tan2tanβα11-+e e ，故选B 解法2：易知21F PF ∆的内切圆切x 轴于点)0,(a A -，设内切圆半径为r ，则ac r-=2tan αa c r +=2tan β，所以=2tan 2tanβα11-+=-+e e a c a c ，故选B 18.已知点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上异于左、右顶点的任意一点，21,F F 是左、右焦点，连接21,PF PF ，作21F PF ∆的旁切圆（与线段P F PF 12,延长线及21F F 延长线均相切），其圆心为'O ，则动圆圆心'O 的轨迹所在曲线是（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析：因为21F PF ∆的旁切圆与x 轴切于椭圆的右顶点，即圆心'O 在x 轴上射影为椭圆的右顶点，所以圆心'O 的轨迹为直线a x =，故选B19.（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，经过1F 的直线交椭圆于B A ,，2ABF ∆的内切圆的圆心为I ，若05432=++IF IA IB ，则该椭圆的离心率是（）A.55 B.32 C.43 D.21解析：由05432=++IF IA IB 及奔驰定理可知，不妨设5,4,322===AB BF AF ，则3125434=⇒=++=a a ，所以点A 为椭圆的短轴的端点，设θ221=∠AF F ，则=⇒=-⇒=θθθsin 53sin 21532cos 255，所以=e =θsin 55，故选A 20.（2022·江苏苏州·模拟预测）已知21,F F 是椭圆)1(1122>=-+m m y m x 的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若21F AF ∆的内切圆半径的最大值是33，则椭圆的离心率为A.12- B.21 C.22 D.13-解析：设),(00y x A ，则ey e r +=10，可知当点A 在短轴端点时21F AF ∆的内切圆半径最大，此时433113311=⇒=+-⇒=+-⨯m m m e m e ，所以21=e ，故选B21.（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是双曲线上一点，且0)(22=⋅+P F OF OP （O 为坐标原点），若21F PF ∆内切圆的半径为2a，则C 的离心率是（）A.13+ B.213+ C.216+ D.16+解析：由0)(22=⋅+P F OF OP 可知21PF PF ⊥，又21F PF ∆内切圆的半径为2a，所以2321a c a a c PF +=++=，222ac a a c PF -=+-=，由勾股定理得=⇒=--⇒-++=e e e ac a c c 0544)2()23(42222216+，故选C 22.（2022·江西·上高二中模拟预测）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左､右焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上的一点，I 为21F PF ∆的内心，且PI IF IF 2221=+，则双曲线的离心率为（）A.31B.52 C.33 D.2解析：022222121=++⇒=+IP IF IF PI IF IF ，结合奔驰定理不妨设12=PF ，21=PF ，221=F F ，所以212222=-==a c e ，故选D 23.（2022·湖北·高二月考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若21F AF ∆的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为A.2B.3C.35 D.47解析：由题意知21F AF ∆的内切圆圆心)4,(b a I ，设渐近线的倾斜角为θ2，则ab =θ2tan 且)(4tan a c b -=θ，所以350583))(4(1)(4222=⇒=+-⇒=---e e e a b a c b a c b，故选C 24.椭圆1C ：)0(1222>=+a y a x 与双曲线2C ：)0(1222>=-m y mx 有公共焦点，左、右焦点分别为21,F F ，曲线1C ,2C 在第一象限交于点P ,I 是21F PF ∆内切圆圆心，O 为坐标原点，H F 2垂直射线PI 于H 点，2=OH ，则I 点坐标是解析：由题意知2==m OH ，所以3=c ，2=a ，点I 的横坐标为2，设θ=∠21PF F由0902cot 12tan121=⇒⨯=⨯=∆θθθF PF S ，所以3232(45tan 1021-=⇒+=⨯=∆r r S F PF 所以I 点坐标是)32,2(-25.已知21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，满足2tan22tan1221F PF F PF ∠=∠，该双曲线的离心率为解析：设21F PF ∆内切圆半径为r ，易知内切圆与x 轴切于点)0,(a -，所以32tan 2tan 2tan 22tan12211221=⇒+⨯=-⇒∠=∠⇒∠=∠e ac ra c r F IF F IF F PF F PF 26.（2022·四川达州·高二期末）已知点)0,3(),0,3(21F F -分别是双曲线C ：12222=-b y a x )0,0(>>b a 的左、右焦点，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2=PQ ，则C 的离心率为解析：设2MPF ∆的内切圆分别与21,MF MF 切于点B A ,，则由切线长定理得MBMA =Q F B F 22=，PQ P A =，所以P A MA MF PF MP MF MF a +=-+=-=2221224222=⇒==--++a PQ Q F MB Q F PQ ，又3=c ，所以23=e 27.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左､右焦点，P 为曲线上一点，02160=∠PF F ，21F PF ∆的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e ，则=2e 解析：设21F PF ∆的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则3260sin 220cR c R ===，所以32c r =，设βα=∠=∠1221,F IF F IF ，则0601806022=+⇒=++βαβα所以)(32)(321)(32)(32tan tan 1tan tan )tan(3a c c a c c a c ca c c -⋅+--++=-+=+=βαβαβα7122=⇒e 28.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）已知双曲线C ：)0,0(18222>>=-b a y a x 的左､右焦点为21,F F ，若点P 在双曲线的右支上，且21F PF ∆的内切圆圆心的横坐标为1，则该双曲线的离心率为解析：易知1=a ，所以3=e 综合训练1.（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆1162522=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，若61=PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.8B.28 C.16D.216解析：由题知42=PF ，621=F F ，所以211F F PF =，所以2843642121=-⨯⨯=∆F PF S 故选B2.（2022·福建南平·高二期末）椭圆两焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，动点P 在椭圆上，若21F PF ∆的面积的最大值为12，则此椭圆上使得21PF F ∠为直角的点P 有（）A.0个B.1个C.2个D.4个解析：由题意知3412=>=⇒=c b bc ，所以当点P 在短轴端点处时0245<∠OPF ，所以02190<∠PF F ，所以椭圆上使得21PF F ∠为直角的点P 有0个，故选A3.（2022·江西鹰潭·高二期末）椭圆C ：1244922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，若81=PF ，则21F PF ∆的面积为（）A.48B.40C.28D.24解析：由题知62=PF ，1021=F F ，所以21PF PF ⊥，所以24862121=⨯⨯=∆F PF S ，选D 4.（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设21,F F 是椭圆1241222=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且31cos 21=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为（）A.6B.26 C.8D.28解析：设θ221=∠PF F ，则22tan 36cos 311cos 2cos 221=⇒=⇒=-=∠θθθPF F 所以26tan 1221==∆θF PF S ，故选B5.（2022北京市第五十七中学高月考）已知椭圆C ：192522=+y x 的左右焦点为21,F F ，BA ,分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A.离心率54=e B.若02190=∠PF F ，则21F PF ∆的面积为8C.21F PF ∆的周长为18D.直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值259-解析：4,3,5===c b a ，离心率54=e ，A 正确；若02190=∠PF F ，则945tan 9021==∆F PF S B 错；21F PF ∆的周长为1822=+c a ，C 正确；由第三定义知259-=⋅PB P A k k ，D 正确，选B6.（2022黑龙江·大庆中学高二期末）已知21,F F 分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，O 为坐标原点，椭圆上存在一点P ，使得212F F OP =，设21F PF ∆的面积为S ，若221)(PF PF S -=，则该椭圆的离心率为（）A.31 B.21 C.23 D.35解析：由212F F OP =知21PF PF ⊥，所以2121PF PF S =，所以221)(PF PF S -=9445tan 94844)(22022221221=⇒==⇒-=-+a b b a S S a PF PF PF PF 所以=-=2)(1abe 35，故选D 7.（2022·山西运城·高二期末）已知点21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左､右焦点，以线段21F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若213PF PF =，则A.1PF 与双曲线的实轴长相等 B.21F PF ∆的面积为223a C.双曲线的离心率为23D.直线023=+y x 是双曲线的一条渐近线解析：由题意21PF PF ⊥，又213PF PF =，所以a PF a PF ==21,3，所以A 错；23321221a a a S F PF =⨯=∆，B 正确；由勾股定理得21094222=⇒+=e a a c ，所以C 错；2612=-=e a b ，所以渐近线方程为x y 26±=即026=±y x ，D 错；故选B 8.（2022·内蒙古赤峰·高三期末）已知双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，P 为双曲线上一点，211F F PF ⊥，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，则=PI （）A.3342 B.334 C.3343 D.234解析：设内切圆切1PF 于点M ，则31621==a b PF ，334612=+=PF PF ，所以内切圆半径222211=-+=PF F F PF r ，所以3101=-=r PF PM ，所以在PMI ∆中由勾股定理得=+=+=4910022r PM PI 33429.（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线C 的离心率为3，21,F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，213PF PF =，若21F PF ∆的面积为2，则双曲线C 的实轴长为A.1B.2C.3D.4解析：因为213PF PF =，所以a PF a PF ==21,3，又a c ace 33=⇒==所以3132129cos 22221-=⨯⨯-+=∠a a a a a PF F 322sin 21=∠⇒PF F ，所以1232232121=⇒=⨯⨯⨯=∆a a a S F PF ，所以双曲线C 的实轴长为2，故选B 10.（2022·广西玉林·模拟预测）已知双曲线C ：1222=-y x 的左、右焦点为21,F F ，P为双曲线右支上的一点，02130=∠F PF ，I 是21F PF ∆的内心，则下列结论错误的是A.21F PF ∆是直角三角形B.点I 的横坐标为1C.232-=PI D.21F PF ∆的内切圆的面积为π解析：设t PF =2，则t PF +=21，由余弦定理得2)2(32212)2(30cos 220=⇒+⨯⨯-++=t t t t 所以22=PF ，41=PF ，3221=F F ，所以02290=∠F PF ，A 正确；P 在右支上，所以点I 的横坐标为1=a ，B 正确；内切圆半径1321212-=-+=PF F F PF r ，D 错；所以232)13())13(2(22-=-+--=PI ，C 正确；故选D11.（2022·全国·高三专题练习）P 是双曲线M ：15422=-y x 右支上的一点，21,F F 是左、右焦点，42=PF ，则21F PF ∆的内切圆半径为（）A.9154 B.3152 C.9152 D.315解析：42=PF ，81=PF ，621=F F ，所以1611842366416cos 21=⨯⨯-+=∠PF F ，所以16153sin 21=∠PF F ，所以=⇒⨯⨯⨯=++=∆r r S F PF 161538421)684(2121315，故选D 12.设P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的点，21,F F 是焦点，双曲线的离心率是34，且02190=∠PF F ，21F PF ∆的面积是7，则=+b a （）A.73+ B.79+ C.10D.16解析：7745cot 0221=⇒==∆b b S F PF ，又33471)(122=⇒=+=+=a a a b e 所以=+b a 73+，故选A13.在直角坐标系xOy 中，)0,(),0,(21c F c F -分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，位于第一象限上的点),(00y x P 是双曲线C 上的一点，21F PF ∆的外心M 的坐标为)33,0(c ，21F PF ∆的面积为232a ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.xy ±= B.x y 22±= C.x y 21±= D.xy 2±=解析：21F PF ∆的外心M 的坐标为)33,0(c ，所以33tan tan 1221=∠=∠F MF F MF 0122130=∠=∠⇒F MF F MF ，所以021********1,120=∠=∠=∠MF F PF F MF F 所以23230cot 2221=⇒==∆aba b S F PF ，所以渐近线方程为x y 2±=，故选D 二、多选题14.已知P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 是21F PF ∆的内心，双曲线的离心率为e ，2121,,F IF IPF IPF ∆∆∆的面积分别为,,21S S 3S ，且321kS S S +=，下列结论正确的为（）A.ek = B.ek 1=C.I 在定直线a x =上D.若m PF =1，则a m PF 22-=或am PF 22+=解析：321kS S S +=ke kc a r c k r PF r PF 1221212121=⇒=⇒⋅⋅⋅+=⇒，A 错；B 正确；点P 在右支上，所以21F PF ∆的内切圆与x 轴切于点)0,(a A ，所以I 在定直线a x =上，C 正确；因为点P 在右支上，所以a m a PF PF 2212-=-=，D 错；故选BC15.（2022福建福州·高三）已知P 是双曲线E ：15422=-y x 在第一象限上一点，21,F F 分别是E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为215．则以下结论正确的是（）A.点P 的横坐标为25B.2321ππ<∠<PF F C.21F PF ∆的内切圆半径为1 D.21PF F ∠平分线所在的直线方程为0423=--y x 解析：设),(00y x P ，3,5,2===c b a ，2521530021=⇒=⨯=∆y y S F PF ，代入双曲线方程得30=x ，A 错；232tan 2152cot 5212121=∠⇒=∠=∆PF F PF F S F PF =∠⇒21tan PF F35122tan 12tan221221>=∠-∠=PF F PF F ，所以2321ππ<∠<PF F ，B 正确；13225200=+⨯=+=x a ay y I 所以21F PF ∆的内切圆半径为1，C 正确；内心)1,2(I ，)25,3(P ，所以21PF F ∠平分线所在的直线方程为)2(231-=-x y ，即0423=--y x ，D 正确；故选BCD16.（2022江苏省天一中学高三）已知点P 是双曲线E ：191622=-y x 的右支上一点，21,F F 为双曲线E 的左、右焦点，21F PF ∆的面积为20，则下列说法正确的是（）A.点P 的横坐标为320 B.21F PF ∆的周长为380C.21PF F ∠大于3πD.21F PF ∆的内切圆半径为23解析：42050021=⇒==∆y y S F PF ，代入双曲线方程得3200=x ，A 正确；21F PF ∆的周长为38052320452200=⨯+⨯⨯=+-++c a ex a ex ，B 正确；202cot 92121=∠=∆PF F S F PF 2092tan 21=∠⇒PF F 3319360)209(12092tan 221<=-⨯=∠⇒PF F ，所以321π<∠PF F ，C 错；23203802121=⇒=⨯⨯=∆r r S F PF ，D 正确；故选ABD三、填空题17.设21,F F 是椭圆C ：)20(14222<<=+m m y x 的两个焦点，),(00y x P 是C 上一点，且满足21F PF ∆的面积为3，则0x 的取值范围是解析：由340221=-=∆y m S F PF 22043m y -=⇒，所以1)4(342220=-+m m x )4(1242220m m x --=⇒，又20<<m ，所以]4,0()4(22∈-m m ，所以]1,0[]1,0[020∈⇒∈⇒x x 18.设21,F F 为椭圆C ：1422=+y x 的两个焦点．M 为C 上点，21F MF ∆的内心I 的纵坐标为32-，则21PF F ∠的余弦值为解析：02121902tan132)(32(21=∠⇒∠⨯=-+=∆PF F PF F S F PF ，所以0cos 21=∠PF F 19.双曲线C ：1322=-y x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 在C 上且34tan 21=∠PF F ，O 为坐标原点，则=OP 解析：71cos 34tan 2121=∠⇒=∠PF F PF F ，所以771132cos 1221221=-⨯=∠-=PF F b PF PF 又2221==-a PF PF ，所以182221=+PF PF，由平行四边形的性质得536164)(2)2(222212212=⇒=+⇒+=+OP OP PF PF F F OP 20.已知椭圆C 的焦点为)0,(),0,(21c F c F -，过点2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A 点，点A 关于坐标原点的对称点为B ，且01120=∠B AF ，3321=∆AB F S ，则此椭圆的标准方程为解析：由题意知四边形21BF AF 为平行四边形，且02130=∠F AF ，02160=∠AF F ，所以233230tan 202211=⇒===∆∆b b S S F AF AB F ，133232211=⇒=⨯==∆∆c c c S S F AF AB F 所以32=a ，所以椭圆的方程为12322=+y x。
盘点圆锥曲线中的焦点三角形
盘点圆锥曲线中的焦点三角形
圆锥曲线中的焦点三角形是指在椭圆、双曲线和抛物线上取三个焦点，并以这三个焦
点为顶点构成的三角形。
下面将分别盘点这三个圆锥曲线中的焦点三角形。
1.椭圆的焦点三角形：
椭圆是一个闭合的曲线，它的焦点三角形有一些特点。
椭圆的焦点在椭圆的中心处，即三个焦点共线且在一条直线上。
椭圆的焦点三角形是等腰三角形，即三条边的长度相等，这是因为椭圆的定义就是到
焦点的距离之和等于常数。
3.抛物线的焦点三角形：
抛物线是一个开放的曲线，它的焦点三角形也有一些特点。
抛物线只有一个焦点，因此抛物线的焦点三角形只有两个顶点是焦点。
抛物线的焦点三角形的底边是抛物线的准线，即与焦点垂直的直线。
抛物线的焦点三角形的底边长度是常数，而顶点到底边的距离相等，这是因为抛物线
的定义就是焦点到顶点的距离等于准线的长度。
总结：
圆锥曲线中的焦点三角形在椭圆和双曲线中具有相同的特点，即焦点共线、等腰三角形，而在抛物线中有一些特殊的特点，即只有两个顶点是焦点，并且底边是抛物线的准线。
在数学研究和应用中，焦点三角形广泛应用于几何学和物理学等领域。
圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧总结与赏析
圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧总结与赏析圆锥曲线中焦点三角形和内切圆的解法技巧1.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点为F1和F2，点M为椭圆上一点。
如果△MF1F2的内切圆周长等于3π，求a^2的值。
解析：根据椭圆的性质，椭圆上到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a=F1F2.又因为内切圆的周长等于3π，所以其半径为r=3a/2π。
根据△MF1F2的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△MF1F2的面积，p为△MF1F2的半周长，可得到S=9a^2/4，p=3a，代入公式可得到a^2=16.2.已知椭圆x^2/25+y^2/16=1，F1、F2为其左、右焦点。
如果△MF1F2的内切圆周长等于3π，求满足条件的点M的个数。
解析：根据椭圆的性质，椭圆上到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即2a=10.又因为内切圆的周长等于3π，所以其半径为r=3a/2π=9/5.根据△MF1F2的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△MF1F2的面积，p为△MF1F2的半周长，可得到S=27/5，p=15/2.代入公式可得到MF1+MF2=8或12，即点M恰好有2个。
3.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为e=√3/2，右焦点到右顶点的距离为3-2，求椭圆C的标准方程；设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆C于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值。
解析：由椭圆的性质，可得到椭圆的长轴为2a=2(3-2)=2，离心率为e=√3/2，所以短轴为b=a√3/2=√3.因此，椭圆C的标准方程为x^2+y^2/3=1.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则F2到直线PQ的距离为2b/3=2√3/3，即y1+y2=4√3/3.根据△PQF1的内切圆半径公式r=S/（p-a-b），其中S为△PQF1的面积，p为△PQF1的半周长，可得到r=2S/（2p-2a-b）。
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。
圆锥曲线焦点三角形专题篇
圆锥曲线——焦点三角形问题焦点三角形的边角关系 如下：三条边：122F F c = 122PF PF a += =22a c +三角形周长ce a=222a b c =+ 三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠， 利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大 1sin 2S ab c = 面积和三边长有关系一、与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围， 前提是三边之间存在可以转化的关系。
若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c -≤≤+例1 椭圆22221x y a b+= 的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线 过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.例2.已知12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则 椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量 之间的大小关系。
学+科网 题目中：2122PF F F c ==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是 常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。
本题的定值为22a F H c c=-在2RT PHF 中，222,2a PF F H c c c>≥- 1e ≤< 例3.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________. 方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为2220x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。
焦点三角形问题(解析版)
第一篇圆锥曲线专题01焦点三角形问题焦点三角形的边角关系如下：三条边：122F F c =122PF PF a+==22a c +三角形周长ce a=222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2S ab c =面积和三边长有关系一、与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。
若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c-≤≤+例1椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.例2.已知12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。
题目中：2122PF F F c==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。
本题的定值为22a F H c c=-在2RT PHF 中，222,2a PF F H c c c >≥-解得：313e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________.方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为2220x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。
圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题
圆锥曲线焦点三角形面积问题指的是在一个圆锥曲线上，给定焦点和一个点P 的坐标，求得由焦点和该点P构成的三角形的面积。
首先，我们需要了解圆锥曲线和焦点的概念。
圆锥曲线是指在三维空间中一个由直线与一个射线共用一个端点且直线在射线上方的几何图形。
常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
焦点是指在一个几何图形或曲线上与该图形或曲线中的点有特殊关系的点。
要计算由焦点和点P构成的三角形的面积，我们可以利用三角形的面积公式。
三角形的面积可以用其底边和高来计算。
在这个问题中，底边是焦点和点P之间的距离，高是点P到焦点所在的直线的垂直距离。
首先，我们可以使用两点间距离公式计算焦点和点P之间的距离。
假设焦点的坐标为F(x1, y1, z1)，点P的坐标为P(x2, y2, z2)，则焦点和点P之间的距离为
√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。
然后，我们需要计算点P到焦点所在的直线的垂直距离。
这个垂直距离也可以被称为焦距。
焦距可以通过焦点到点P之间的线段与焦点所在的直线的垂直距离来计算。
最后，我们可以利用三角形的面积公式：面积 = 1/2 * 底边 * 高，来计算出由焦点和点P构成的三角形的面积。
需要注意的是，在计算过程中，我们要保证点P在圆锥曲线上，以确保三角形的存在。
综上所述，通过给定焦点和点P的坐标，我们可以计算出由这两 points 构成的三角形的面积。
这个问题涉及到了圆锥曲线的性质和三角形面积的计算方法，通过运用相关的几何知识，我们可以解决这个问题。
高中数学之圆锥曲线之焦点三角形面积知识点
高中数学之圆锥曲线之焦点三角形面积知识点
什么是焦点三角形？
定义：
椭圆（双曲线）上任意一点与两个焦点所组成的三角形叫做焦点三角形，它是由焦距和焦半径构成的特别的三角形。
其中焦点三角形的面积也是一个非常重要的几何量。
怎么求焦点三角形的面积呢？先看一道例题
公式推导：
同样的方法可以也可以证明得到双曲线的焦点三角形面积公式。
公式如下：
接下来在给出关于焦点三角形顶角的一个结论：
这个结论可以借助焦点三角形面积公式的推导过程来继续说明：
实战演练：。
圆锥曲线技巧一----焦点三角形
圆锥曲线结论1． 焦点三角形模型例 1. 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D.33例2. 已知12F F ，是双曲线2214x y -=的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若△21PF F 面积为1,，则12PF PF •等于例3. 已知12F F ，是双曲线221x y -=的焦点，P 是双曲线上一点，且01260F PF ∠=，则12||||PF PF •等于【练习】1. 已知12F F ，是双曲线2214x y -=的焦点，P 是双曲线上一点，且01290F PF ∠=，则21PF F ∆面积等于2. 已知12F F ，是双曲线221169x y -=的焦点，P 是双曲线上一点，且01260F PF ∠=，则21PF F ∆面积等于3. 焦点为12,F F 的椭圆2214924x y +=上有一点M ，若120MF MF ⋅=，求12MF F ∆的面积 ．4.已知双曲线221x y -=，设12F F ，是其两个焦点，点P 是双曲线上一点，若 12F P PF ⊥，则12||+||F P PF 的值为2. 焦半径模型椭圆、双曲线焦半径：2||cos b AF a c θ=-，2||cos b BF a c θ=+适用范围（如果是双曲线，AB 必须在同一支上，且双曲线可能需要加绝对值）1. 其中θ表示直线AB 的倾斜角2.不区分椭圆双曲线，不区分左右焦点3.原则：长则除小，短则除大4. 焦点在y 轴上时，cos θ换成sin θ证明：例1. 过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105°的直线交双曲线于P 、Q 两点，求||.||PF FQ 的值例2. 已知椭圆22:184x y C +=(1)已知过点1F （-2,0）倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求证：2||2cos AB θ=- （2）已知过点1F （-2,0）做两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A 、B 和D 、E ，求|AB|+|DE|的最小值例3. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，已知(1,),(,2e e 都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率 （1）求椭圆方程（2）设A 、B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与2BF 相交于P,若直线12||||AF BF -=，求直线AF 的斜率【练习】1. （2019年全国卷1，文、理）设12,F F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F ∆为等腰三角形，则M 的坐标为2.（2019年浙江）已知椭圆22195x y +=的焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是3.焦点弦比例模型已知 AF FB λ=，或(0)FB AF λλ=>则： 1|cos |||1e λθλ-=+或1|1e λλ-=+ 适用范围 1.其中θ表示直线AB 的倾斜角 2.不区分椭圆双曲线抛物线，不区分左右焦点3.注意：上述公式中圆锥曲线是双曲线，点A 和点B 必须是双曲线的同一支（如果是异支，1|cos |||1e λθλ+=-）；4. 焦点在y 轴上时，cos θ换成sin θ例1. 已知双曲线的右焦点为F ，过F 且斜率为的直线交C 于A 、B 两点，若，则C 的离心率为例2. 已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若3AF FB =，则例3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点F ，过点F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60°，若2AF FB =（1） 求椭圆C 的离心率（2） 如果15||4AB =，求椭圆C 的方程【练习】1.（2019年全国卷1）已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>, 12(1,0),(1,0)F F -，过2F 的直线与C 交于A 、B 两点，若221||2||,||||AF F B AB BF ==，则C 的方程（ ）A. 2212x y +=B. 22132x y +=C.22143x y +=D. 22154x y +=2.（2014年安徽）设12F F ，为椭圆2221y x b +=上的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若11||3||AF BF =,2AF ⊥X 轴，则椭圆E3.（北京）直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线交于,A B 两点，若5AF FB =，则直线l ．4. （全国）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴上一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C5．（天津）抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 重合，且相交于A 、B 两点，直线AF 交抛物线于另一个点C ，且与双曲线一条渐近线平行，若1||||2AF FC =,。
专题3-2 圆锥曲线中的三角形面积-(人教A版2019选择性必修第一册) (教师版)
圆锥曲线中的三角形面积圆锥曲线中三角形面积的求法①焦点三角形面积椭圆x 2a2+y2b2=1的焦点三角形∆PF1F2面积S=b2tan∠P2，双曲线x 2a2−y2b2=1的焦点三角形∆PF1F2面积S=b2tan∠P2(其中点P在椭圆或双曲线上).②直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例)(1)S∆=12×底×高，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些，如图，S∆PAB=12∙AB∙PC(其中底为弦长AB，高为点P到直线AB的距离)(2)S∆=12absinC，适合边角已知的题型；(3) 拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；情况1如图，点P在x轴上，直线AB交x轴于点C，当A,B是在x轴异侧时，S∆PAB=S∆PAC+S∆PBC=12∙PC∙|y A|+12∙PC∙|y B|=12∙PC∙|y A−y B|当A,B是在x轴同侧时，S∆PAB=S∆PAC−S∆PBC=12∙PC∙|y A|−12∙PC∙|y B|=12∙PC∙|y A−y B|注:不管A,B 在x 轴同侧还是异侧，公式S ∆PAB =12∙PC ∙|y A −y B |依然成立.若点P 在y 轴类似可得S ∆PAB =12∙PC ∙|x A −x B |. 情况2 如图，点P 在x 轴上，直线AB 的倾斜角为θ， 当AB 是在x 轴异侧时，S ∆PAB =S ∆PAC +S ∆PBC =12∙PC ∙AC ∙sin (π−θ)+12∙PC ∙BC ∙sin θ=12∙PC ∙AB ∙sin θ.当AB 是在x 轴同侧时，S ∆PAB =S ∆PAC −S ∆PBC =12∙PC ∙AC ∙sin θ−12∙PC ∙BC ∙sin θ=12∙PC ∙AB ∙sin θ.注:不管A,B 在x 轴同侧还是异侧，公式S ∆PAB =12∙PC ∙AB ∙sin θ依然成立.(点在y 轴类似)【典题1】设双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(a >0 ,b >0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则离心率e = . 【解析】方法一 由题意可知a =1， 设|PF 2|=m ,|PF 1|=n ，可得|m －n|=2 ∵△PF 1F 2的面积为4 ∴12mn =4⇒mn =8(遇到焦点三角形△PF 1F 2，想到定义和解三角形的内容) ∵F 1P ⊥F 2P ∴m 2+n 2=4c 2∴(m −n )2+2mn =4c 2⇒4c 2=4+16=20⇒c =√5∴e =ca =√5.方法二 由双曲线焦点三角形面积公式S =b 2tan∠P 2，(椭圆焦点三角形面积公式S =b 2tan∠P 2)由题意可知b 2tan45°=4，∴b =2又∵a =1，∴c =√5， ∴e =c a=√5.【典题2】已知直线l 与双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0 ,b >0)的两条渐近线分别交于A (x 1 ,y 1)、 B(x 2 ,y 2)两点，且x 1x 2>0，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，且△AOB 的面积为2√3，则E 的离心率为 . 【解析】∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，S △AOB =2√3， ∴{OA ⋅OB ⋅cos∠AOB =−412OA ⋅OB ⋅sin∠AOB =2√3，∴tan∠AOB =−√3 , ∴∠AOB =120°， 故∠AOx =60° , 又直线OA 方程为y =ba x , ∴ba =tan60°=√3，即b =√3a ， ∴e =c a =2.【点拨】本题对“OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4”的处理是用数量积的定义得到OA ⋅OB ⋅cos∠AOB =−4， 而△AOB 的面积用到S △AOB =12⋅OA ⋅OB ⋅sin∠AOB 比较合理.【典题3】已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于√3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A 、B 两点，F 1为左焦点． (1) 求双曲线的方程；(2) 若△F 1AB 的面积等于6√2，求直线l 的方程． 【解析】(1)过程略，x 2−y 23=1.(2) 方法一 设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)，当直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程x =2， 此时易得S △F 1AB =12≠6√2， 故可设直线l 的方程为y =k(x −2)，由{y =k(x −2)x 2−y 23=1，得(k 2−3)x 2−4k 2x +4k 2+3=0，∵有两个交点，∴k ≠±√3，且x 1+x 2=4k 2k 2−3,x 1x 2=4k 2+3k 2−3，∴|AB |=√1+k 2∙√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2∙6√k 2+1k 2−3=6(k 2+1)k 2−3, ∵F 1(−2 ,0)到直线l 的距离d =√1+k 2，∴△F 1AB 的面积S =12∙d ∙|AB |=12∙√1+k 2∙6(k 2+1)k 2−3=12|k |∙√k 2+1k 2−3=6√2，(利用三角形面积公式S ∆=12×底×高) ∴k 4+8k 2−9=0，解得k =±1， ∴所以直线l 的方程为y =±(x −2)． 方法二 设A(x 1 ,y 1) ,B(x 2 ,y 2)，同方法一可得：k ≠±√3，且x 1+x 2=4k 2k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3，∴|y 1－y 2|=|k(x 1－x 2)|=|k |∙√(4k 2)2−4(k 2−3)(4k 2+3)|k 2−3|=6|k|∙√k 2+1|k 2−3|，∴△F 1AB 的面积S =12|F 1F 2||y 1－y 2|=12∙|k|∙√k 2+1|k 2−3|=6√2，(由于点F 1在x 轴，利用S =12|F 1F 2||y 1－y 2|)化简得k 4+8k 2－9=0，解之得k 2=1，∴k =±1， 得直线l 的方程为y =±(x －2). 【点拨】① 注意分类讨论直线l 的斜率是否存在；② 因为直线过双曲线内的点，故不要看判别式∆是否大于0，但要注意k 2－3≠0⇒k ≠±√3；③ 第二问方法一是利用三角形面积公式S ∆=12×底×高，得S =12∙|AB |∙d ，其中以弦长AB 为底，点F 1到直线AB 的距离为高；方法二利用分拆三角形的方法得S =12|F 1F 2||y 1－y 2|，此时要理解“不管AB 是在x 轴同侧还是异侧，公式依然成立”.【典题4】过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 且倾斜角为π3的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且|AF|=|FC| ,|BC|=2． (1)求抛物线C 的方程；(2)直线l 交抛物线C 于D 、E 两点，且这两点位于x 轴两侧，与x 轴交于点M , 若OD →•OE →=4，求S △DFO +S △DOE的最小值．【解析】(1)过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A 1，过点B 作准线的垂线，垂足为 B 1， 设准线与x 轴交于点G ，如图所示，∵∠AFx =∠CBB 1=π3,BC =2，∴BB 1=1，∴BF =1，又点F 为AC 的中点， ∴AF =CF =BC +BF =3，∴|GF|=12|AA 1|=12|AF|=32，∴p =32，所以抛物线C 的方程为y 2=3x ．(注意抛物线定义和平几知识的运用) (2)设 D(x 1 ,y 1) ,E(x 2 ,y 2) , 设y 1>0 ,y 2<0， l DE ：x =my +t ，(这样设方程计算简便些)联立得方程组 {x =my +ty 2=3x ，得 y 2－3my －3t =0，∴{y 1+y 2=3m y 1y 2=−3t ， ∴OD →⋅OE →=x 1x 2+y 1y 2=y 123⋅y 223+y 1y 2=4，(曲线代换：利用抛物线方程消“x 1x 2”) ∴y 1y 2=3(舍去)或 y 1y 2=－12， ∴－3t =－12，∴t =4，即M(4 ,0)，∴S △DFO +S △DOE =12|OF|⋅y 1+12|OM|⋅(y 1−y 2)=38y 1+2(y 1−y 2)=198y 1+(−2y 2)⩾2√198×2|y 1y 2|=2√194×12=2√57，(当且仅当198y 1=−2y 2，即y 1=8√5719,y 2=−√572时，取到等号) ∴S △DFO +S △DOE 的最小值为2√57．【点拨】在抛物线上设直线方程为l DE ：x =my +t 较为常见，同时也配合上三角形面积S △DFO +S △DOE =12|OF|⋅|y 1|+12|OM|⋅|y 1−y 2|.【典题5】 已知A 、B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右顶点，B(2 ,0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆于点M ,N ，交直线x =4于点P ，且直线PA 、PF 、PB 的斜率成等差数列，R 和Q 是椭圆上的两动点，R 和Q 的横坐标之和为2，RQ 的中垂线交x 轴于T 点 (1)求椭圆C 的方程；(2)求△MNT 的面积的最大值.【解析】(1)由题意知a =2，A(−2 ,0)，设P (4 ,y 0) ,F(c ,0)，∴k PA =y 06 ,k PB =y 02 ,k PF =y 04−c, 依题意可知2y 04−c=y 06+y 02，解得c =1 ,∴b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆C 的方程x 24+y 23=1.(2)设R (x 1 ,y 1) ,Q(x 2 ,y 2)，∵R 和Q 的横坐标之和为2 ， ∴x 1+x 2=2， ∵R 、Q 均在椭圆上， ∴x 124+y 123=1 ① x 224+y 223=1 ② (点差法)①−②得 y 1−y 2x 1−x 2=−32(y1+y 2)，设T(t ,0)，由中垂线性质得TR =TQ ，即√(t −x 1)2+y 12=√(t −x 2)2+y 22，化简得2t =2+y 12−y 22x 1−x 2=2+(y 1+y 2)y 1−y 2x 1−x 2=2−32=12，∴t =14， 即T(14,0). 设M (x 3 ,y 3) ,N(x 4 ,y 4)，直线MN:x =my +1与椭圆联立可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， ∴y 3+y 4=6m 3m 2+4 ,y 3y 4=−93m 2+4，(因为直线MN 过椭圆内一点F ，故m 可取全体实数R ，不需要考虑判别式∆>0) ∴|y 3−y 4|2=(y 3+y 4)2−4y 3y 4=36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=144m 2+1(3m 2+4)2，令n =m 2+1≥1，(使用换元法降次，化难为简，函数思想注意自变量的取值范围) 则|y 3−y 4|2=144∙n(3n+1)2=144∙19n+1n+6∵y =9n +1n 在[1 ,+∞)是递增的，∴y min =10，(由对勾函数图像易得，由于n ∈[1 ,+∞)不能用基本不等式) ∴|y 3−y 4|max 2=144∙110+6=9，即|y 3−y 4|max =3，故S max =12∙FT ∙|y 3−y 4|max =12×34×3=98. 【点拨】① “R 和Q 的横坐标之和为2”这条件可想到“中点弦问题”的点差法，避免设直线RQ 方程导致计算量增大； ② 本题最重要的想法是求△MNT 的面积，用到了公式S =12∙FT ∙|y 3−y 4|，同时设直线方程为MN:x =my +1，联立方程时消x 得到y 的一元二次方程较易得到|y 3−y 4|的表达式，大大减少了计算量，也避免直线斜率是否存在的分类讨论；④ 求函数形如y =a 1x 2+b 1x+c1a 2x 2+b 2x+c 2最值问题，其中涉及对勾函数或基本不等式、换元法等内容，同时要注意自变量的取值范围，这是常考的题型. 巩固练习1(★★) 设F 1 ,F 2是椭圆x 29+y 26=1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1，则△F 1PF 2的面积等于 . 【答案】 2√3【解析】由|PF 1|+|PF 2|=6，且|PF 1|：|PF 2|=2：1， ∴|PF 1|=4,|PF 2|=2，又|F 1F 2|=2√9−6=2√3 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=42+22−(2√3)22×4×2=12，∴sin∠F 1PF 2=√32∴S F 1F 2P =12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=2√32(★★) 过双曲线x 23−y 2=1的右焦点F ，作倾斜角为60°的直线l , 交双曲线的渐近线于点A 、B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为 . 【答案】3√32【解析】不妨设点A 在第一象限，点B 在第四象限，因为∠OFB =60°, 双曲线x 23−y 2=1的渐近线方程：y =±√33x ， 所以∠AOF =30°，所以∠FOB =30°，所以∠OBA =∠OBF =90°，所以|OB|=|OF|cos30°=√3．又∠AOB =60°，则∠OAB =30°，所以|OA|=2|OB|=2√3，所以|AB|=3， 从而△OAB 的面积为：12⋅|OA||OB|sin60°=3√32． 故选：C ．3 (★★) 抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ,N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，且NM →⋅NF →=0，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为 . 【答案】 6√2【解析】由抛物线C ：y 2=8x 可得焦点F(2,0)，准线方程为x =－2 由题意设N(－2,m)，M(0,n),设n >0，MF 的中点E(1，n2)，因为E 在抛物线C 上，所以n 24=8×1，所以n =4√2，① 因为：NM →=(2,n －m)，NF →=(4,－m)，又NM →⋅NF →=0，所以2×4－m(n －m)=0，即m(n －m)=8②， ① 代入②可得m =2√2，所以S △NMF =S △MFO +S 梯形NN ′OM －S △NN ′F=12×2×4√2+12(4√2+2√2)×2−12×4×2√2=6√24 (★★) 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0 ,b >0)的离心率为√5，虚轴长为4． (1)求双曲线的标准方程；(2)过点(0 ,1)，倾斜角为45°的直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求∆OAB 的面积． 【答案】 (1) x 2−y 24=1 (2) 43【解析】(Ⅰ)依题意可得{ca=√5 2b=4c2=a2+b2，解得a=1,b=2,c=√5，∴双曲线的标准方程为x2−y24=1．(Ⅰ)直线l的方程为y=x+1设A(x1,y1),B(x2,y2)由{y=x+1x2−y24=1可得3x2−2x−5=0，由韦达定理可得x1+x2=23,x1x2=−53即|AB|=√1+k2∙√(x1+x2)2−4x1x2=√2∙√49+203=8√23原点到直线l的距离为d=√22于是S∆OAB=12∙|AB|∙d=12∙8√23∙√22=43∴∆OAB的面积为43.5(★★) 椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(1 ,32)，离心率为12，左、右焦点分别为F1 ,F2，过F1的直线交椭圆于C ,D两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当△F2CD的面积为12√27时，求直线的方程．【答案】(1)x24+y23=1(2)x－y+1=0或x+y+1=0【解析】(1)∵椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(1,32)，∴1a2+94b2=1①，又∵离心率为12，∴ca=12, ∴b2a2=34②，联立①②得a2=4,b2=3．∴椭圆的方程为：x24+y23=1(2)①当直线的倾斜角为π2时，取C(−1,32),D(−1,−32)．S△ABF2=12|CD|•|F1F2|=12×3×2≠12√27，不适合题意．②当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程l：y=k(x+1)，代入x 24+y23=1得：(4k2+3)x2+8k2x+4k2－12=0设C(x1,y1),D(x2,y2)，则x1+x2=−8k24k2+3，x1x2=4k2−124k2+3，∴|CD|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[64k4(4k2+3)2−4(4k2−12)4k2+3]=12(1+k2)4k2+3．点F2到直线l的距离d=√1+k2∴S△ABF2=12|AB|•d=12|k|√1+k24k2+3=12√27，化为17k4+k2－18=0，解得k2=1，∴k=±1，∴直线方程为：x－y+1=0或x+y+1=0．6(★★★)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1 ,F2，线段OF1 ,OF2的中点分别为B1 ,B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P ,Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．【答案】(1)e=25,x220+y24=1(2)169√10【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，F2(c,0)∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=|AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即b=c2∵c2=a2－b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴e=ca =25√5在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=12|B1B2||OA|=c2⋅b=b2∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为x220+y24=1；(Ⅰ)由(Ⅰ)知B1(－2,0)，B2(2,0)，由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my－2代入椭圆方程，消元可得(m2+5)y2－4my－16=0①设P(x1,y1)，Q(x2,y2)∴y1+y2=4mm2+5，y1y2=−16m2+5∵B 2P →=(x 1−2,y 1)，B 2Q →=(x 2−2,y 2) ∴B 2P →⋅B 2Q →=(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=−16m 2−64m 2+5∵PB 2⊥QB 2，∴B 2P →⋅B 2Q →=0 ∴−16m 2−64m 2+5=0，∴m =±2当m =±2时，①可化为9y 2±8y －16=0， ∴|y 1－y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=89√10 ∴△PB 2Q 的面积S =12|B 1B 2||y 1－y 2|=12×4×89√10=169√10．7 (★★★) 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 是椭圆的焦点， 点A(0 ,－2)，直线AF 的斜率为2√33，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A 的直线与C 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【答案】(1)x 24+y 2=1 (2) y =±√72x －2【解析】(1)设F(c,0)，由题意k AF =2c =2√33， ∴c =√3，又∵离心率ca =√32，∴a =2，∴b =√a 2−c 2=1，椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，方程为y =kx －2， 联立直线与椭圆方程：{x 24+y 2=1y =kx −2，化简得：(1+4k 2)x 2－16kx +12=0，由△=16(4k 2－3)>0,∴k 2>34，设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则 x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，∴|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2，坐标原点O到直线的距离为d=√k2+1S△OPQ=12√1+k2∙4√4k2−31+4k2∙√k2+1=4√4k2−31+4k2，令t=√4k2−3(t>0)，则S△OPQ=4tt2+4=4t+4t，∵t+4t ≥4，当且仅当t=4t，即t=2时等号成立，∴S△OPQ≤1，故当t=2，即√4k2−3=2，k2=74>34，∴k=±√72时，△OPQ的面积最大，此时直线的方程为：y=±√72x－2．8(★★★★) 已知双曲线C的一个焦点为(−√5 ,0)，且过点Q(2√5 ,2)．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P(x0 ,y0)(y0≥1)在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M(m ,0)(−√5<m<√5)、N，设过点F1 ,N的直线l与C交于D ,E两点．(1) 求C的标准方程；(2) 求△F2DE的面积最大值．【答案】(1)x24−y2=1(2) 4√30【解析】(Ⅰ)知双曲线的左、右焦点分别为F1(−√5,0)，F2(√5,0)，又∵双曲线过点Q(2√5,2)，∴2a=||QF1|−|QF2||=√(2√5+√5)2+(2−0)2−√(2√5−√5)2+(2−0)2=4，解得a=2,b=√5−4=1,则双曲线C的标准方程为x 24−y2=1；(Ⅰ)由F1、F2为C 的左右焦点，F1(−√5,0),F2(√5,0)，直线PF1方程为y=0x+√5+√5)，直线PF2方程为y=0x−√5−√5)，即直线PF1方程为y0x－(x0+√5)y+√5y0=0，直线PF2方程为y0x－(x0−√5)y−√5y0=0,由点M(m,0)在∠F1PF2的平分线上，则点M到直线PF1与到直线PF2的距离相等，故0√5y0√y02+(x0+√5)2=0√5y0√y02+(x0−√5)2由−√5<m <√5，y 0≥1，以及y 02=14x 02－1，解得x 0≥2√2，∴y 02+(x 0+√5)2=54x 02+2√5x 0+4=(√52x 0+2)2，∴√5+m √52x 0=√5−m √52x 0m =4x 0，即M(4x 0,0)，直线PM 的方程为：y −y 0−0x 0−4x 0(x −4x 0)，令x =0，得y =−4y 0x 02−4=−1y 0，故点N(0,−1y 0)，∴k NF 1=0+1y 0−√5=√5y 0由{y =√5y +√5)x 2−4y 2=4，消去x 得(5y 02－4)y 2+10y 0y +1=0,设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2),则y 1+y 2=−10y 05y2−4,y 1y 2=15y2−4,∴|y 1－y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√5y 02+1|5y 02−4|，∴△F 2DE 的面积S =S △F 1EF 2−S △F 1DF 2=12|F 1F 2|×|y 1－y 2|=12×2√5×4√5y 02+1|5y 02−4|=4√5√t +5t，设5y 02－4=t,∵y 0≥1 ∴t ≥1，则△F 2DE 的面积S =4√5•√t+5t=4√5×√5t 2+1t =4√5×√5(1t +110)2−120，∴t =1时，即P 为(2√2,1)时，△F 2DE 的面积最大值为4√30．。
圆锥曲线中焦点三角形几个问题的解法
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焦点三角形中的中点问题
总结词
焦点三角形中的中点问题主要涉及到中点的性质和相关 的计算公式。
详细描述
在焦点三角形中，中点问题主要涉及到中点的性质和相 关的计算公式。例如，在椭圆中，如果一个三角形的一 个顶点与两个焦点的中点相连，那么这个三角形必然是 直角三角形。这是因为中位线的性质，即三角形的中位 线平行于底边且等于底边的一半。类似地，在双曲线中 也有类似的结论。解决这类问题的关键在于理解中点的 性质和相关的计算公式，以及如何应用这些性质和公式 来解决问题。
对于双曲线，标准方程为`(x-a)^2/b^2 - (y-c)^2/d^2 = 1`，其中`(a,b,c,d)`是双曲线的实半轴、虚半 轴、焦点到中心的距离和准线到中心的距离。
圆锥曲线的性质和特点
• 圆锥曲线具有封闭性、对称性和渐近性等性质。封闭性是指 椭圆和双曲线在坐标系中画出来是一个封闭的图形，而抛物 线则无限延伸。对称性是指椭圆和双曲线关于坐标轴对称， 而抛物线则关于准线对称。渐近性是指双曲线在远离中心的 区域逐渐接近两条直线，而椭圆则逐渐接近一个圆。
椭圆上点的离心率性质
在椭圆上，随着点在曲线上的位置变 化，离心率的变化规律是单调递增或 递减的。具体来说，当点从椭圆的长 轴向短轴移动时，离心率单调递增； 当点从短轴向长轴移动时，离心率单 调递减。
抛物线上点的离心率性 质
在抛物线上，随着点在曲线上的位置 变化，离心率的变化规律也是单调递 增或递减的。但是，与椭圆不同，抛 物线上的离心率变化规律取决于曲线 的形状（开口方向）。对于开口向右 的抛物线，离心率单调递增；对于开 口向左的抛物线，离心率单调递减。
VS
焦点三角形的弦长随着圆锥曲线类 型的变化而变化：在相同条件下， 椭圆中的弦长比双曲线中的弦长短 。
焦点三角形公式推导
焦点三角形公式推导在我们学习圆锥曲线的时候，焦点三角形可是个经常出现的“家伙”。
今天咱们就来好好推导一下焦点三角形的公式，瞧瞧它背后的小秘密。
先来说说啥是焦点三角形。
在圆锥曲线中，比如椭圆或者双曲线，以两个焦点和曲线上一点构成的三角形就叫焦点三角形。
咱以椭圆为例来推导这个公式。
假设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），两个焦点分别是$F_1$，$F_2$，椭圆上一点是$P$。
在推导之前，咱们先回忆一下椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴$2a$。
那在焦点三角形$PF_1F_2$中，根据余弦定理可得：$|F_1F_2|^2 = |PF_1|^2 + |PF_2|^2 - 2|PF_1||PF_2|\cos\theta$其中，$\theta$是$\angle F_1PF_2$。
因为$|PF_1| + |PF_2| = 2a$，所以$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 + 2|PF_1||PF_2| = 4a^2$将其变形可得：$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 = 4a^2 - 2|PF_1||PF_2|$把这个式子代入上面的余弦定理式子中：$4c^2 = 4a^2 - 2|PF_1||PF_2| - 2|PF_1||PF_2|\cos\theta$整理一下就得到：$|PF_1||PF_2| = \frac{2b^2}{1 + \cos\theta}$这就是焦点三角形在椭圆中的一个重要公式啦。
那双曲线中的焦点三角形公式又是咋样的呢？其实推导过程和椭圆有点类似。
假设双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，两个焦点还是$F_1$，$F_2$，双曲线上一点是$P$。
同样根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于实轴$2a$，即$||PF_1| - |PF_2|| = 2a$。
圆锥曲线中的焦点三角形问题
解 得：ｌ ｅ Ｖ ， Ｉ ． １ Ｐ ｌ ＝ ６ ４
＝
． ． ．
系定理， 解题中，通过变形， 使之出现Ｉ ｆ ＋ ｌ ｌ ＝ ２ ａ，或 Ｉ Ｉ — Ｉ Ｐ ｛ ＝ ± ２ 口， 然 后找 到相 关关系， 进行 解题。
一
圭 × Ｉ Ｐ Ｆ ２ ［ ｓ ｉ ｎ ６ ０ ￣ ＝ 圭 × ６ ４ × ２ ＿ １ ６
（ ２ ） 的面积 的最 大值 ； （ ３ ） 的周长 的最 大值 。 分析 ： （ １ ） 令ｌ ｌ ＝ｍ ， ｆ Ｉ ＝ ，则 有 ：
ｆ ＋ ＝２ ａ
二 与焦 点三角形有关 的轨迹 问题
例２ ： － ￣Ｍ（ Ｏ ， 一 ５ ） ， Ⅳ （ ０ ， ５ ） ， 脚 的 周长为 ３ ６ ， 则 求△ Ｍ Ｎ Ｐ 的
圆
‘
． ’
］
］ 或
‘
．
．
ａ＝１ ３．又 ‘ ． Ｃ＝５
ＭＮ Ｐ
轨迹方程为一 ｙ ２ Ｐ １ ６ ９＋ １ ４ ４＝ ≠叭 的顶点 的轨迹方程为 。 一 ～。 三、面积 问题
． ・ 。
．
‘ Ｙ
ｆ ，、 Ｓ ． ｅ ｅ ￣ ｅ ， ＝ 曩Ｆ ２ ｌ ＿ ｈ
．
２ｍｎ
又 ． 。 ｍ ＋ｎ ＝４ 口 一２ ｍｎ
４ 口 一２ ｍｎ一４ ｃ
Ｃ ０Ｓ 廿 ＝
‘
２ ６ ．
一１
．
．
２ｍｎ
又・ ． ・ ２ ａ ： ＋ ≥ ２ √
・
． ．
ｍ ｎ 口 （ 当且 仅 当 ｍ＝ｎ 时 ，取 “ ＝ ”）
・ ． ．
。 ａ ｒ ｃ ｃ ｏ ｓ ０
顶 点 Ｐ 的轨迹方 程 。
圆锥曲线焦点三角形面积公式
圆锥曲线焦点三角形面积公式：S=b²·tan（θ/2）。
圆锥曲线定理：
即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面PI'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面PI'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。
又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面PI与PI'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d 为准线。
图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。
证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。
设平面PI′与PI的交角为a，圆锥的母线（如PQ）与平面PI的交角为b。
设P到平面PI 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线（三垂线定理），而∠PRH=a。
又PE=PF，因为两者同为圆球之切线。
如此则PR sina=PH=PE sinb=PF sinb。
圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析
圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。
下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。
一、定值问题例1. 椭圆上一点P ，两个焦点x a y ba b 222210+=>>()， 的内切圆记为，求证：点P 到的切)0,()0,(21c F c F ，-12F PF ∆M e M e 线长为定值。
证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵|F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a －2c 即 |PA|=a －c 为定值．证毕．点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。
二、动点轨迹问题 例2、已知椭圆上一动点P ，两个焦点， x a y ba b 222210+=>>())0,()0,(21c F c F ，-的内切圆记为，试求圆心M 的轨迹方程 。
12F PF ∆M e 解析： 如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定义有，由等比定理有即||sin ||sin ||sin[()]PF PF F F 1212180βααβ==-+°，又由合分比定理知1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a c αβαβαβαβ+=⇒=++++。
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焦点三角形焦点三角形问题是重要考点，考到的内容有：椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式等。
常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。
一：椭圆的焦点三角形椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点12,F F 与椭圆上任意一点P 为顶点组成的三角形。
)0(12222>>=+b a by a x性质有：（1）12||||2PF PF a +=（2）2221212124||||2||||cos c PF PF PF PF F PF =+-∠（3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大.证明：设P 是椭圆22221x y a b+= （0a b >>，c 为半焦距）上的一点，O 为原点，E 、F 是椭圆的两焦点，PE m =，PF n =则222222244222cos 1122m n c b mn b b EPF mn mn mn a+--∠===-≥-，由余弦函数图象性质知EPF ∠有最大值，当且仅当P 在短轴端点时取到该最大值。
（4）设P 为椭圆上的任意一点，角12F F P α∠=，21F F P β∠=，21F PF θ∠=，则有离心率sin()sin sin e αβαβ+=+，122sin 1cos PF F S b θθ∆=+2=b tan 2θ证明：由正弦定理得：βαβαsin sin )180sin(1221PF PF F F o==--由等比定理得：βαβαsin sin )sin(2121++=+PF PF F F而)sin(2)sin(21βαβα+=+c F F ，βαβαsin sin 2sin sin 21+=++aPF PF ∴βαβαsin sin )sin(++==a c e 。
例题：1、椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的两个焦点12,F F ，点P 在椭圆上，且1212414,||,||33PF PF PF PF ⊥==.求椭圆的方程22194x y +=2、设P 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点，F 1、F 2为焦点，如果 7521=∠F PF ，1512=∠F PF ，则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．23 C ．32D ．36 3、1F 、2F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 12AF F ∆的面积为（）A ．7B ．47C ．27D ．2574、1F 、2F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，A 为椭圆上一点，且1290,F AF ∠=，则A 到x 轴的距离为A ．163B ．165C ．161635or D ．非上述答案5、设21F F ，分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，12,F F P ，是直角三角形的一个顶点，则P 点到x 轴的距离是 A.163B . 165 C.161653或 D. 非上述答案 6、设21F F ，分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，12,F F P ， 是是直角三角形的三个顶点，则P 点到x 轴的距离是A.94 B. 95C .9954或 D. 非上述答案 7、过椭圆左焦点F ，倾斜角为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为（构造焦点三角形，两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果）8、已知Rt ABC ∆，1,AB AC ==点C 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，且AB 为经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。
9、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A .)1,12(- B. )1,13(- C.)1,23(-D.)1,22(二：双曲线的焦点三角形双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点12,F F 与双曲线上任意一点P 为顶点组成的三角形。
22221(0,0)x y a b a b-=>>性质有：（1）12||||2PF PF a +=（2）2221212124||||2||||cos c PF PF PF PF F PF =+-∠（3）设P 为椭圆上的任意一点，角12F F P α∠=，21F F P β∠=，21F PF θ∠=，则有离心率sin()sin sin e αβαβ+=-(αβ>)，122sin 1cos PF F S b θθ∆=-2=tan 2b θ（4） 例题：1、设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．63B ．12C ．123D ．242、已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=A ．14B ．35C ．34D ．453、双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为（）A.43B.53C.3D.234、已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A) 32 (B)62(C) 3 (D) 65、设F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则该双曲线的离心率为A ．31+B ．312C ．62+D ．622+6、设点P 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率A B ．2C ．27、过双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左焦点F (-c,0)作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，O 为原点，若12OE (OF OP )=+，则双曲线的离心率8、已知1F 、2F 分别为双曲线2222C :1x y a b-=()0a b >>的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为539、已知1F 、2F 分别为双曲线2222C :1x y a b-=()0a b >>的左、右焦点，若双曲线上存在一点P ，满足12||2||PF PF =，则该双曲线的离心率范围为(1,3]10、已知12,F F 为离心率为2的双曲线的左右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则21cos PF F ∠=A ．14B ．1335C D11、设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF •=，则12PF PF +=（ ）AB ．CD ．12、设12F F ，分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，,A B 是圆2222x y a b +=+与双曲线左支的两个交点，且2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率A B C 1D 13、已知P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S ∆∆∆=成立，则该双曲线的离心率为14、已知P 是双曲线22143x y -=上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若1||5PF =则2||PF =19or15、已知P是双曲线221412x y-=上一点，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点，若1||5PF=则2||PF=9练习：已知双曲线12222=-byax（a＞0，b＞0）的两个焦点为1(,0)F c-、2(,0)F c，若双曲线上存在一点P满足1221sin,sinPF F aPF F c∠=∠则该双曲线的离心率的取值范围是(1,12)+16、已知双曲线12222=-byax（a＞0，b＞0）的两个焦点为1F、2F，点A在双曲线第一象限的图象上，若△21FAF的面积为1，且21tan21=∠FAF，2tan12-=∠FAF，则双曲线方程为A．1351222=-yxB．1312522=-yxC．1512322=-yx D．1125322=-yx17、设12,F F是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左右焦点，过点2F的直线与双曲线的右支交于,A B两点，若1F AB∆是以A为直角顶点的等腰三角形，则2e=522-18、设12,F F是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左右焦点，过点1F的直线与双曲线的左右支交于,A B两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF=1319、如图设12,F F是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左右焦点，12||4F F=，P为双曲线右支上一点，2F P与y轴交于点A，1APF∆的内切圆在边1PF上的切点为Q，若||1PQ=，则双曲线的离心率是(A)3(B)223椭圆与双曲线的焦点三角形例题：若椭圆122=+nymx)0(>>nm和双曲线221x ys t-=)0,(>t s有相同的焦点1F和2F，而P是这两条曲线的一个交点，则21PFPF⋅的值是( ).A m s- B.)(21sm- C.22sm- D.sm-例题：若椭圆()2211xy mm+=>与双曲线()2210xy nn-=>有相同的焦点，点P是两曲线的一个公共点，则12F PF∆的面积是1例题：设1F与2F是曲线1:C22162x y+=的两个焦点，点M是曲线1C与曲线2:C2213xy-=的一个交点，求12MF F∆的面积．例题：如图,21,FF是椭圆14:221=+yxC与双曲线2C的公共焦点,BA,分别是1C,2C在第二、四象限的公共点.若四边形21BFAF为矩形,则2C的离心率是.2.3B3.2C6D例题：已知点P是以12,F F为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且12PF PF⊥，12,e e分别为椭圆和双曲线的离心率，则12.2A e e≥2212.4B e e+≥12.22C e e≥221211.2De e+=例题：已知点P是以12,F F为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且1260,F PF∠=，12,e e分别为椭圆和双曲线的离心率，则1211e e+的最大值为.3A .3B .3C .2D 例题：已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，点P 为它们的一个公共点，1260,F PF ∠=则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值是（ ）A .3 B.3C.3D.2 提示：12222sin 60sin sin sin sin sin sin m n a m n a c m nαβαβαβ+=-=====+-例题：。